Simulado P 2 para 2sem2017(a)

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Nº sequencial 
 
DISC: MA 2121  NA 2121 CÁLCULO II 
I 
Exercícios para P- 2 DATA: nov / 2017 
NOME: TURMA: 
ASSINATURA DO ALUNO: NOTA: 
Instruções Gerais: A duração da prova é 80 minutos. Não é permitida a consulta e nem o uso de calculadoras e celulares. 
 Respostas desacompanhadas de suas resoluções ou resoluções confusas não serão consideradas. 
 O valor de cada questão é 2.0 pontos. Respostas a tinta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Respostas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(7) D é a região do plano limitada pelas retas y = x , 
 y = 3 – 2x e x = 0. Esboçar D e calcular o volume do sólido 
compreendido entre a região D e o gráfico da função 
z = f(x,y) = 2xy. 
 
(5) Determinar os valores máximo/mínimo local e os pontos de 
sela de f(x,y) = 𝑥3 + 3𝑦2 − 6𝑥𝑦 + 1. 
 
(1) Determinar e esboçar o domínio da função 
z = f(x,y ) = f(x,y ) = 
ln(4−𝑥2−𝑦2)
√𝑥−2𝑦+2
 
 
 
 
(4) Suponha que T(x,y,z) = x.𝑒2𝑥+𝑦𝑧 represente uma 
distribuição de temperatura em uma região do espaço, onde T 
é medido em C e x, y, z em metros. 
 
a) Determinar a taxa de variação da temperatura no ponto 
P = ( 1, 2, −1 ) e na direção do vetor �⃗� = 𝑖 + 2𝑗 + 2�⃗⃗�. 
b) Determinar a direção de crescimento mais rápido da 
temperatura no ponto P. 
c) Calcular a taxa máxima de crescimento de T em P. 
 
 
(11) Resolver y + y = 2x + 6𝑒𝑥 
 
(2) Sendo z = f(x,y) = arctg(
𝑥+𝑦
1−𝑥𝑦
) , com xy ≠ 1, determinar 
∂z
∂y
 e 
 2𝑧
𝑥𝑦
. 
 
 
(6) Determinar os pontos da curva 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 3 mais 
próximos e mais afastados da origem. 
 
 
(10) Resolver o problema de valor inicial 
 
𝑥2. 𝑦′ + 3𝑥. 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛(𝑥2 − 1) para x > 0 e y(1) = 2 
 
Nº 
 
(3) Determinar um plano que seja paralelo ao plano 
β: 2x − 10y – 2z + 8 = 0 e tangente ao gráfico da função 
z = f(x,y) = 𝑥2 − 3𝑥𝑦 +
1
2
𝑦2 . 
 
 
 
(8) Verificar se a função 𝑦 = 𝑥. 𝑒−2𝑥 é uma solução da 
equação diferencial 𝑦′′′ + 3𝑦′′ − 4𝑦 = 0. Justifique sua 
resposta. 
 
(9) Resolver a EDO y.y’.secx = 𝑠𝑒𝑛5𝑥 
 
 
 
1) D = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2| 4 − 𝑥2 − 𝑦2 > 0 𝑒 𝑥 − 2𝑦 + 2 > 0} 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
∂z
∂y
=
1
𝑦2 +1
 ; 
 2𝑧
𝑥𝑦
= 0 3) 2x – 10y – 2z + 3 = 0 
4) 
5
3
 
 𝐶
𝑚
 ; 
( 3,−1,2 )
√14
 ; √14  𝐶 𝑚⁄ 
5) f( 2, 2 ) = 3 é valor mínimo local e ( 0,0 ) é ponto de sela. 
6) Resp: 𝑃1= (1,1) e 𝑃2= (−1,−1) são os pontos da curva mais 
próximos da origem e, 𝑃3= (√3, −√3) e 𝑃4= (−√3, √3) , os 
mais afastados. 
7) V = ∫ [∫ 2𝑥𝑦. 𝑑𝑦 
3−2𝑥
𝑥
] 𝑑𝑥 = 
5
4
 𝑢. 𝑣.
1
0
 
 
8) Sim, a função satisfaz a equação diferencial. 
9) 𝑦 = ±√
𝑠𝑒𝑛6𝑥
3
+ 𝐾 10) 𝑦 =
3−cos (𝑥2−1)
𝑥3
 
11) 𝑦𝑔 = 𝐶1 + 𝐶2𝑒
−𝑥 + 𝑥2 − 2𝑥 + 3𝑒𝑥 
 
 
 
 
0 1 
1 
3 
x = 0 
y = x 
y = 3 – 2x 
2 
−2