Lista de Exercício Calculo lll

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LISTA DE EXERCÍCIOS - 1º SEMESTRE 
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS, LIMITES E CONTINUIDADE, DERIVADAS PARCIAIS E PLANOS 
TANGENTES 
 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III 
Professor: Diogo Albino de Queiroz 
Curso: Engenharia Civil 4º Semestre / Engenharia de Produção 5º Semestre 
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1. Determine o domínio e a imagem das funções abaixo: 
 
A. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥² − 𝑦² + 50 
 
B. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥² − 𝑦² + 10 
 
C. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 + 𝑦 
 
D. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √25 − 𝑥² − 𝑦² 
 
E. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √16 − 𝑥² − 𝑦² 
 
F. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥² + 𝑦² + 50 
3
 
 
G. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √−𝑥² + 𝑦² − 20 
3
 
 
H. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 16 − 𝑥² − 𝑦² 
 
I. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 9 − 𝑥² − 𝑦² 
 
J. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 
1
𝑥² + 𝑦² − 10
 
 
K. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 
1
𝑥² + 𝑦² − 20
 
 
L. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 
1
𝑥² − 𝑦² + 5
 
 
2. Sendo 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙² + 𝒚² cujo domínio é {(𝒙, 𝒚)|𝒙² + 𝒚² ≤ 𝟏𝟔}: 
A. Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥, 𝑦). 
B. Apresente os traços nos planos 𝑧 = 0, 𝑧 = 3, 𝑧 = 6, 𝑧 = 12, considerando que 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). 
 
3. Sendo 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙² + 𝒚² − 𝟏𝟔: 
A. Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥, 𝑦). 
B. Apresente os traços nos planos 𝑧 = −12, 𝑧 = −9, 𝑧 = 0, 𝑧 = 9, considerando que 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). 
 
4. Sendo 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙² + 𝒚² − 𝟏𝟔 cujo domínio é {(𝒙, 𝒚)|𝒙² + 𝒚² ≤ 𝟏𝟔}: 
A. Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥, 𝑦). 
B. Apresente os traços nos planos 𝑧 = −16, 𝑧 = −9, 𝑧 = −4, 𝑧 = 0, considerando que 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). 
 
5. Sendo 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟏𝟔 − 𝒙² − 𝒚²: 
A. Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥, 𝑦). 
B. Apresente os traços nos planos 𝑧 = 12, 𝑧 = 4, 𝑧 = 0, 𝑧 = −9, considerando que 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). 
 
6. Sendo 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟏𝟔 − 𝒙² − 𝒚² cujo domínio é {(𝒙, 𝒚)|𝒙² + 𝒚² ≤ 𝟏𝟔}: 
A. Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥, 𝑦). 
B. Apresente os traços nos planos 𝑧 = 12, 𝑧 = 8, 𝑧 = 4, 𝑧 = 0, considerando que 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). 
 
7. Sendo 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟗 − 𝒙² − 𝒚²: 
A. Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥, 𝑦). 
B. Apresente os traços nos planos 𝑧 = 9, 𝑧 = 8, 𝑧 = 4, 𝑧 = 0, considerando que 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). 
 
8. Sendo 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟗 − 𝒙² − 𝒚² cujo domínio é {(𝒙, 𝒚)|𝒙² + 𝒚² ≤ 𝟗}: 
A. Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥, 𝑦). 
B. Apresente os traços nos planos 𝑧 = 9, 𝑧 = 8, 𝑧 = 4, 𝑧 = 0, considerando que 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). 
 
9. Sendo 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟗 − 𝒙² − 𝒚² cujo domínio é {(𝒙, 𝒚)|𝒙² + 𝒚² ≤ 𝟏𝟔}: 
A. Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥, 𝑦). 
B. Apresente os traços nos planos 𝑧 = 8, 𝑧 = 4, 𝑧 = 0, 𝑧 = −3, 𝑧 = −7 considerando que 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). 
 
10. Sendo 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟗: 
A. Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥, 𝑦). 
B. Apresente os traços nos planos 𝑧 = 0, 𝑧 = −7, considerando que 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). 
 
11. Sendo 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟗 cujo domínio é {(𝒙, 𝒚)|𝒙² + 𝒚² ≤ 𝟗}: 
A. Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥, 𝑦). 
B. Apresente os traços nos planos 𝑧 = 0, 𝑧 = −7, considerando que 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). 
 
12. Sendo 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟗 cujo domínio é {(𝒙, 𝒚)|𝒙² + 𝒚² ≤ 𝟏𝟔}: 
A. Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥, 𝑦). 
B. Apresente os traços nos planos 𝑧 = 7, 𝑧 = 3, 𝑧 = 0, 𝑧 = −7, considerando que 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). 
 
13. Esboce as curvas de nível de 𝒇(𝒙, 𝒚) para os valores dados de 𝒌. 
A. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥² + 𝑦² , 𝑘 = 0, 𝑘 = 1, 𝑘 = 4, 𝑘 = 9, 𝑘 = 16. 
 
B. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥² + 𝑦² − 16 , 𝑘 = −12, 𝑘 = −9, 𝑘 = 0, 𝑘 = 4, 𝑘 = 9. 
 
C. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 16 − 𝑥² − 𝑦² , 𝑘 = 12, 𝑘 = 7, 𝑘 = 0, 𝑘 = −2, 𝑘 = −9. 
 
D. 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 1)² + (𝑦 − 3)² , 𝑘 = 0, 𝑘 = 1, 𝑘 = 4, 𝑘 = 9, 𝑘 = 16. 
 
E. 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 2)² + (𝑦 − 4)² , 𝑘 = 0, 𝑘 = 1, 𝑘 = 4, 𝑘 = 9, 𝑘 = 16. 
 
F. 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 3)² + (𝑦 + 1)² , 𝑘 = 0, 𝑘 = 1, 𝑘 = 4, 𝑘 = 9, 𝑘 = 16. 
 
14. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. 
 
A. lim
(𝑥,𝑦)→(1,2)
(5𝑥3 − 𝑥2𝑦2) 
 
B. lim
(𝑥,𝑦)→(2,4)
(𝑥2 + 2𝑥 − 𝑦) 
 
C. lim
(𝑥,𝑦)→(3,−1)
(𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 2𝑦) 
 
D. lim
(𝑥,𝑦)→(1,−1)
𝑒−𝑥𝑦 cos (𝑥 + 𝑦) 
 
E. lim
(𝑥,𝑦)→(1,0)
𝑙𝑛 (
1 + 𝑦²
𝑥² + 𝑥𝑦
) 
 
F. lim
(𝑥,𝑦)→(2,1)
 
4 − 𝑥𝑦
𝑥² + 3𝑦²
 
 
G. lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
 
𝑥4 − 4𝑦²
𝑥² + 2𝑦²
 
 
H. lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
 
𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠(𝑦)
3𝑥² + 𝑦²
 
 
I. lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
 
𝑥3+ 𝑦3
𝑥²+ 𝑦²
 
 
 
15. Verifique se a função 𝒇(𝒙, 𝒚) é contínua no ponto (0,0): 
 
A. 𝑓(𝑥, 𝑦) = {
𝑥2− 𝑦2
𝑥² + 𝑦²
 , 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
0 , 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) = (0,0)
 
 
B. 𝑓(𝑥, 𝑦) = {
𝑥³ + 𝑦³
𝑥² + 𝑦²
 , 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
0 , 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) = (0,0)
 
 
C. 𝑓(𝑥, 𝑦) = {
𝑥² + 𝑦
𝑥²+𝑦²
 , 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
0 , 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) = (0,0)
 
 
 
16. Determine as derivadas parciais das funções abaixo (𝒇𝒙 , 𝒇𝒙𝒙 , 𝒇𝒙𝒙𝒙 , 𝒇𝒙𝒚 , 𝒇𝒙𝒚𝒙 , 𝒇𝒚 , 𝒇𝒚𝒚 , 𝒇𝒚𝒚𝒚 ,
𝒇𝒚𝒙 , 𝒇𝒚𝒙𝒚 ) 
 
A. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦5 − 3𝑥2𝑦 
 
B. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4𝑦³ + 8𝑥²𝑦 
 
C. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒−𝑦cos (𝜋𝑥) 
 
D. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 ln (𝑦) 
 
E. 𝑓(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 + 3𝑦)10 
 
F. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦) 
 
G. 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥2
𝑦2
 
 
H. 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥
(𝑥+𝑦)
 
 
17. Encontre a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado: 
 
A. 𝑧 = 3𝑦³ − 2𝑥 + 𝑥², (2, −1, −3) 
 
B. 𝑧 = 𝑥²𝑦², (1, 1, 1) 
 
C. 𝑧 = 3𝑥² + 2𝑦², (1, 1, 5) 
 
D. 𝑧 = √𝑥²𝑦², (1, 1, 1) 
 
E. 𝑧 = 3𝑦² − 2𝑥² + 𝑥, (2, −1, −3) 
 
F. 𝑧 = √𝑥𝑦, (1, 1, 1) 
 
G. 𝑧 = 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦), (−1, 1, 0) 
 
H. 𝑧 = 2𝑦2 + 3𝑥³ + 2𝑥, (1, 2, 13) 
 
I. 𝑧 = −5𝑦 + 7𝑥³ + 𝑦³, (2, 1, 52) 
 
J. 𝑧 = 2𝑥² + 3𝑦, (1, 1, 5) 
 
K. 𝑧 = 𝑥3 + 2𝑦² + 3𝑥, (1, 2, 12) 
 
L. 𝑧 = 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦), (−1, 1, −1) 
 
M. 𝑧 = 3𝑥√𝑦, (−1, 4, −6)