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1 CÁLCULO INTEGRAL E DIFERENCIAL I Modulo 4: DERIVADA IPOG – ENGENHARIA CIVIL Prof. Marlos José Ribeiro Guimarães 2017/2 TEOREMAS SOBRE DERIVADAS DE FUNÇÕES ALGÉBRICAS 2 1. Se � for uma constante e se � � � � para todo �� então �′ � � �. DEDUÇÃO: � � � lim∆�→� � � �∆� �� � ∆� � lim ∆�→� � � �∆� �� � ∆� � lim ∆�→� ��� ∆� � lim ∆�→� � ∆� � lim ∆�→� � � � � � � lim�→� � � �� � ��� � lim �→� ��� ��� � lim �→� � ��� � lim �→� � � � Ex.1: � � � � → �′ � � � Ex.2: �� � � � (� � � � → �′ � � �) Ex.3: � �� � � � Ex.4: � �� � � � 2. Se � for um inteiro positivo e se � � � �� então �′ � � �����. Ex.1: � � � �� → �′ � � ����� � ��� Ex.2: �� �� � ��� Ex.3: � �� ��� � ����� Ex.4: � � � � → � � � ����� � �. �� � �. � � � 3. Se � for uma função, � uma constante e � a função definida por � � � �. ��� , então, se �′ � existir � �� � �. �′�� . Ex.1: � � � ��� → � � � �. ����� � ���� Ex.2: �� ��� � �. ��� � ��� Ex.3: � �� ���� � ������ Ex.4: � � � �� → � � � �. ����� � �. �� � �. � � � 3 4. Se � � e � � forem funções tal que �′ � e �′ � existam, e se ! � for uma função definida por ! � � � � " ��� , então !′ � � �′ � " �′�� . Ex.: � � � ��� # ��� " �� # �� # � → � � � ��� " #��� " �� " #�� " �#� � � � �� ��� " �� #��� " �� �� " �� #�� "�� #� � ��� �� " #��� �� " �� �� " �#��� � " � � �. ����� # �. ����� " ����� # �. ����� " � � ���� # $�� " ��� # ��� " � � ���� # $�� " �� # � 5. Se � � e � � forem funções tal que �′ � e �′ � existam, e se ! � for uma função definida por ! � � � � . ��� , então !′ � � �′ � . ��� " � � . �′�� . Ou seja: �� ! � � �� � � . ��� � �′ � . ��� " � � . �′�� . Ex.: ! � � ���� # ��� ���� " �� ! � � �� ��� # ��� ���� " �� " ���� # ��� ������ " �� � �. ����� # �. ����� ���� " �� " ���� # ��� ��. ����� " ����� � $�� # ��� ���� " �� " ���� # ��� ����� " ��� � $�� # �� ���� " �� " ���� # ��� ����� " �� � ���� " $�� # ���$ # ��� " ���� " ��� # $��$ # ��� � ���� " ���� " $�� " ��� # ���$ # $��$ # ��� # ��� � ���� " ���� # ���$ # �$�� � ���� # ���$ " ���� # �$�� 4 6. Se � � e � � forem funções tal que �′ � e �′ � existam e � � % � , e se ! � for uma função definida por ! � � � � ��� , então !′ � � � � .� � �� � .� � &��� '� . Ou seja: �� ! � � �� � � /��� � � � .��&� � '�� � .��&� � ' &��� '� . Ex.: ! � � ����� ���� ! � � ���� �� �� ��� ������� ���� ��� ����� � � � ���� �.���)��� ������� ����)��� �������� � ���� $�� ������� ���� �������� � $���$���������� �������� � ����$����� �������� 7. Se � � � ��� onde " # �“ é um inteiro negativo e � % �, então � � � #�. ����� Ex.1: � � � ��� � � �� � � � ��.�� � ��.�� � � �� � � ��.���.��)� ��� � #�. ����. ���� � #�������� � #������ Ex.2: � � � � �� � � � ��.�� � ��.�� � � �� � � ��.���.�.�� ��� � ����.�� ��� � #�������� � #����$ � # �� �$ Ex.3: � � � ���� # �, " - /��� (OBS: “y” e “z” sendo constantes quaisquer) � � � ����� �� ���,�- �������,�- .�� �� � ��� � � ��� �������� �������,�- . ���� �.�$ � ������$��������,�����- �.�$ � ���������,�����- �.�$ � �� �. ���$ " �� �. ���$, # �� �. ���$z � $ � �� " $ � ,��� # � � -��� � $ � � " $ � ,��� # � � -��� 5 8. Se � � � �� onde "�“ é um inteiro racional, então � � � �. ���� Ex.: � � � � �� � � � � � �� � � �. � � �0 � �. � � � � � � � � � � � � �� � � � � �)� � � � � � )� � � � � �� � � � � �� � � � � � �� EXERCÍCIOS: Ex.1: � � � � → � �� � Ex.2: � �� �, ����… � Ex.3: � �� ��� � Ex.4: � � � $�� → � � � Ex.5: ! � � �� # ��� → ! � � Ex.6: 3 � � �� �� # ��� → 3 � � Ex.7: , 3 � �3�"� /��3 # �3� → , �3 � Ex.8: � �� � �� � Ex.9: � � � � �� � → � �� � Ex.10: � � � � → � �� � 6 SOLUÇÕES: Ex.1: � � � � → 4 �5 � 0 Ex.2: � �� �, ����… � 0 Ex.3: � �� ��� � 1459:�9 � 1459; Ex.4: � � � $�� → 4 5 � 6.85>�9 � 485? Ex.5: ! � � �� # ��� → @ 5 � 3. 5;�9 # 2.7. 5?�9 � 35D # 145E � 5D 3 # 145: Ex.6: 3 � � ����� # ��� → F 5 � GH�5 ; . 5D # 35I " �5; GH 5 D # 35I � 35D. 5D # 35I " �5; 259 # 155: � 35: # 95? " 25: # 155? � 55: # 245? Ex.7: , 3 � �3�"� /��3 # �3� → L 5 � �DM�IMN OP�M Q�9 ��MQ�9 OP�DM�IM N �DM�IMN N � �DM�IMN �;MN ��MQ�9 �D�9RM �DM�IMN N � �EMQ�9IMS ��DMQ�D�9RMS�9RM �DM�IMN N � �IMS�:MQ�9RM�D �DM�IMN N Ex.8: � �� � �� → T TH 35�? � 3. #7 . 5�?�9 � #215�> Ex.9: � � � � �� � � �� � � → � �� �? 4 5 � 5. ; : . 5 Q S �9� 9I : 5 Q)S S � 9I : 5� V S � 9I :H V S � 9I : HS Ex.10: � � � � → 4 5 � 159�9 � 15R � 1 DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 7 WXY Z � [\ ]^W Z � [_ `a Z � bG OBS.: `a Z � cde f ghc f Círculo Trigonométrico O A B D C ]^WWX] Z � 1 WXY Z � 1 [\ WX] Z � 1 ]^W Z � 1 [_ ]^`a Z � 1 `a Z � 1 bG � cosZ WXY Z 1. GH WXY 5 � cos 5 2. GH ]^W 5 � #WXY 5 3. GH `a 5 � WX]D 5 4. GH ]^`a 5 � #]^WX]D 5 5. GH WX] 5 � WX] 5. `a 5 6. GH ]^WWX] 5 � #]^WWX] 5. ]^`a 5 Ex.1: � � � ��lm� � � � � �� �� . lm� � " ��. �� lm� � � �. ����. lm� � " ��. �nl� � �. ��. lm� � " ��. �nl� � ��lm� � " ���nl� Ex.2: � � � lm� � ���.�nl � � � � ����.�nl � .�� lm� � �lm� �.�� ���.�nl � ���.�nl � � � ���.�nl � �nl ��lm� ����� �lm� � ����.�nl � � � �nl ����nl���lm� ����lm� � ����.�nl � � � �nl ����nl����lm��� ����.�nl � � � �nl �����nl���lm��� ����.�nl � � � �nl ����� ����.�nl � � � �nl ��� ����.�nl � � Ex.3: �� o� � �� o� � � �� lm� � �nl � � �nl �.�� lm� � �lm� �.�� �nl � ��nl � � � �nl �. �nl � �lm� �. �lm� � �nl�� � �nl���lm��� �nl�� � � �nl�� � lm��� 8 DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA E REGRA DA CADEIA Se a função � for derivável em � e a função � for derivável em � � , então a função composta � n � será derivável em � e, � n � ′ � � � � � �′�� . RECAPITULANDO FUNÇÕES COMPOSTAS: Sejam � e � funções dadas por: � � � �� " � e � � � ��, logo: � n � � � ��� � ���� " � � ��� " � � n � � � ��� � ��� " � �� 4�� " ��� " . Sejam ! e , funções dadas por: ! � � � # .p " �� e , � � � # �, logo: ! n , � ! ,�� � �� # � # .p " �� # � �� #� # $p " �� # � � , n ! � , !�� � � # � # .p " �� � # � # .p # �� " � 9 Derivada da função composta: Seja q � � ���� " � � que pode ser escrito como: r 5 � �45D " 1 D�45D " 1 Aplicando o teorema da derivada de uma multiplicação: q �� � �� �� � " � � ��� " � " ��� " � � �� �� � " � � �� �� � " � ��� " � ��� " � " ��� " � � . �� � �� �� � " � ��� " � " ��� " � �� �� � " � ��� " � " ��� " � � . �� � &�� ��� " � " ��� " � ��' ��� " � " ��� " � � �� � &�. �� . ��� " � ' ��� " � " ��. ��� " � � � �. �� . ��� " � � " �� . ��� " � � � �. �� . ��� " � � � �. ��� " � � . �� Observe que q � � �n� � � � � � ���� " � � onde � � � �� e � � � ��� " � Logo: q � � �. ��� " � ��� �� ��� " � � ����� " � ��� � � � � .�′�� com: �′ � � ��� e � �� � �� �� �� � " � � �. ����� " � � ��� � �� REGRA DA CADEIA: ��n� ′�� � �′ � � �′ � Ex.: Dado que � � � � ������������ encontre �′ � . � � � ���� " ��� # �� " � �� � �� � #�. ��� " ��� # �� " � ���� ������ " ��� # �� " � � �� � # ��� " ��� # �� " � �� ��. ����� " �. ����� # �. ��� " � � �� � # ��� " ��� # �� " � �� ����� " ���� # �. � " � � � � # ���" ��� # �� " � �� ���� " ���� # � � � � # ����������� ������������ � 10 Para uma função , qualquer da variável independente �, escreve-se: , � ��� e �� � � �&�' �� � � �� , � ,´ � �&,' �� Logo, aplicando-se a Regra da Cadeia: t&35:LD' t5 � GH �35 : �LD � GH 35 : LD " 35:GH L D � 3.45:�9GH 5 L D " 35: 2LD�9GH L � 125;1 LD " 65:L9GH L � 125 ;LD " 65:LGH L � 125 ;LD " 65:L T&u' TH t&75L;' t5 � GH �75 �L ; � GH 75 L ; " 75GH L ; � 7.159�9GH 5 L ; " 75 3L;�9GH L � 75R1 L; " 215LDGH L � 7L ; " 215LDGH L � 7L ; " 215LD T&u' TH t:L' t5 � #2GH 5 : L � #2 GH 5 : L " 5:GH L � #2 45 :�9L " 5:GH L � #2 45;L " 5:GH L � #85 ;L # 25:GH L � #85 ;L # 25: T&u' TH t 5; L: ' t5 � #5GH 5 ; L�: � #5 GH 5 ; L�: " 5;GH L �: � #5 35;�9L�: " 5;�#4 L�:�9GH L � #155DL�: " 205;L�IGH L � #155 DL�: " 205;L�I T&u' TH � #15 HN uS " 20 HQ uv T&u' TH DERIVAÇÃO IMPLÍCITA Uma função explícita: , � ��� " �� " �. A variável y é definida explicitamente em função da variável x. Uma função implícita: , � ���,� # �,�� # �,��� # ��. A variável y não é definida explicitamente em função da variável x. Ex.: ���,� # ��,� � � # �, → �� ���,� # ��,� � � # �, → �� ���,� # ��,� � �� � # �, → �� ���,� # �.�� ��,� � �� � # ��� , � ��� �� ,� " ��� � ,� �� # �. � �� �� �,� " ��� � ,� �� � � � �� # � � , �� �. �����,� " ���. �. ,��� � , �� # ��. �. ����. ,�"��. �. ,���. � , �� � � # � � , �� ����,� " $��,� � , �� # �,� # ���,� � , �� " � � , �� � � $��, � , �� # ���,� � , �� " � � , �� � �,� # ����,� � , �� $��, # ���,� " � � �,� # ����,� → � , �� � �,������,� $��,����,��� 11 DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR ��: Derivada enésima da função �. � : Derivada de primeira ordem de �. � : Derivada de segunda ordem de �. � : Derivada de terceira ordem de �. Ex.: � � � ��� " ��� # �� " � � �� � �. �. ���� " �. �. ���� # �. ���� " � � ���� " ���� # ��� � ���� " ���� # �� � � � ��. �. ���� " ��. �. ���� # �.�. ���� � .$�� " ���� # ��� � .$�� " ��� # � � � � .$. �. ���� " ��. �. ���� # � � �.��� " ���� � �.�� " �� ��� � � �.�. �. ���� " � � �.��� � �.� ��� � � � ��$ � � � A DIFERENCIAL α o a tan Z � ^ { o=a. tan Z Q P s t y=f(x) R M y x ∆ y ∆x=dx d y ∆ y -d y x x+∆x f(x) f(x+∆x) P: (x;f(x)) Q: (x+∆x;f(x+∆x)) 4´ 5 � lim ∆H→R ∆L ∆5 → ∆u ∆H ≅ 4´ 5 → ∆L ≅ 4´ 5 . ∆5 Para ∆5 muitíssimo pequeno: Tu TH � 4´�5 ∆5 → t5 tL � 4´ 5 . ∆5 � 4´ 5 . t5 Resumindo: ∆L � 4 5 " ∆5 # 4 5 t5 � ∆5 tL � 4´ 5 . t5 � 4´ 5 . ∆5 Uma aproximação 12 Exemplo Dado: L � 35D # 5, encontre para x=1 e ∆5 � 0,1: a) ∆L b) tL c) ∆L # tL L � 35D # 5 → L´ � 65 # 1 (x=1; ∆5 � 0,1) a) ∆L � 4 5 " ∆5 # 4 5 � 3 1 " 0,1 D # 1 " 0,1 # 3 1 D # 1 � 3 1,1 D # 1,1 # 3 # 1 � 2,53 # 2 � 0,53 b) tL � 4´ 5 . t5 � 6. 1 # 1 . 0,1 � 0,5 c) ∆L # tL � 0,53 # 0,5 � 0,03 Q P s t y=f(x) R M y x ∆ y ∆x=dx d y ∆ y -d y x x+∆x f(x) f(x+∆x) P: (x;f(x)) Q: (x+∆x;f(x+∆x)) ∆L � 4 5 " ∆5 # 4 5 t5 � ∆5 tL � 4´ 5 . t5 � 4´ 5 . ∆5 EXERCÍCIO: Dado que L � 45D # 35 " 1, encontre ∆L, tL e ∆L # tL, para: a) quaisquer 5 e ∆5; b) 5 � 2 e ∆5 � 0,1; c) 5 � 2 e ∆5 � 0,01; e, d) 5 � 2 e ∆5 � 0,001. 13 EXERCÍCIO: Dado que L � 45D # 35 " 1, encontre ∆L, tL e ∆L # tL, para: a) quaisquer 5 e ∆5; b) 5 � 2 e ∆5 � 0,1; c) 5 � 2 e ∆5 � 0,01; e, d) 5 � 2 e ∆5 � 0,001. L � 45D # 35 " 1 → L´ � 85 # 3 a) ∆L � 4 5 " ∆5 # 4 5 � 4 5 " ∆5 D # 3 5 " ∆5 " 1 # 4 5 D # 3 5 " 1 � 4 5D " 25∆5 "∆5D # 35 # 3∆5 " 1 # 45D # 35 " 1 � 45D " 85∆5 " 4∆5D # 35 # 3∆5 " 1 # 45D # 35 " 1 � 45D " 85∆5 " 4∆5D # 35 # 3∆5 " 1 # 45D " 35 # 1 � 85∆5 " 4∆5D # 3∆5 � ∆5 85 " 4∆5 # 3 � �85 # 3 ∆5 " 4∆5D tL � 4´ 5 . t5 � 85 # 3 . t5 � 85 # 3 . ∆5 ∆L # tL � 85 # 3 ∆5 " 4∆5D # 85 # 3 . ∆5 � 4∆5D Caso x ∆x ∆y dy ∆y-dy b 2 0,1 1,340 1,30 0,040 c 2 0,01 0,13040 0,130 0,00040 d 2 0,001 0,0130040 0,0130 0,0000040 TEOREMAS tL � 4´ 5 . t5 → Tu TH � 4´�5 Para F � 4�5 , } � 4�5 e c � constante: t�] t5 � 0 t ] � �t5 � � t�5e t5 � Y5e�9 t 5e � Y5e�9t5 t�]. F t5 � ] tF t5 t ]. F � ]tF t�F " } t5 � tF t5 " t} t5 t F " } � tF " t} t�F. } t5 � F t} t5 " } tF t5 t F. } � Ft} " }tF t� F } t5 � } tF t5 # F t} t5 }D t F } � }tF # Ft} }D t�Fe t5 � YFe�9 tF t5 t Fe � YFe�9tF OBS.: Mesmas regras de derivação!!!
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