Buscar

CID 1 M 04 Derivada Aul 02

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 3, do total de 13 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 6, do total de 13 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 9, do total de 13 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Prévia do material em texto

1
CÁLCULO INTEGRAL E DIFERENCIAL I
Modulo 4: DERIVADA
IPOG – ENGENHARIA CIVIL
Prof. Marlos José Ribeiro Guimarães
2017/2
TEOREMAS SOBRE DERIVADAS DE FUNÇÕES 
ALGÉBRICAS
2
1. Se �	 for uma constante e se � � � � para todo �� então �′ � � �.
DEDUÇÃO:
�	 �
 � lim∆�→�
� �
�∆� �� �
∆�
� lim
∆�→�
� �
�∆� �� �
∆�
� lim
∆�→�
���
∆�
� lim
∆�→�
�
∆�
� lim
∆�→�
� � �
�	 �
 � lim�→�
� � �� �
���
� lim
�→�
���
���
� lim
�→�
�
���
� lim
�→�
� � �
Ex.1: � � � � → �′ � � �
Ex.2: �� � � � (� � � � → �′ � � �)
Ex.3:
�
��
� � �
Ex.4:
�
��
� � �
2. Se �	 for um inteiro positivo e se � � � �� então �′ � � �����.
Ex.1: � � � �� → �′ � � ����� � ���
Ex.2: �� �� � ���
Ex.3:
�
��
��� � �����
Ex.4: � � � � → �	 � � ����� � �. �� � �. � � �
3. Se �	 for uma função, �	 uma constante e �	 a função definida por � � � �. ��� , então,
se �′ � existir �	�� � �. �′�� .
Ex.1: � � � ��� → �	 � � �. ����� � ����
Ex.2: �� ��� � �. ��� � ���
Ex.3:
�
��
���� � ������
Ex.4: � � � �� → �	 � � �. ����� � �. �� � �. � � �
3
4. Se � � e � � forem funções tal que �′ � e �′ � existam, e se ! � for uma
função definida por ! � � � � " ��� , então !′ � � �′ � " �′�� .
Ex.: � � � ��� # ��� " �� # �� # � → � � � ��� " #��� " �� " #�� " �#� 
�	 � � �� ��� " �� #��� " �� �� " �� #�� "�� #�
� ��� �� " #��� �� " �� �� " �#��� � " �
� �. ����� # �. ����� " ����� # �. ����� " �
� ���� # $�� " ��� # ��� " � � ���� # $�� " �� # �
5. Se � � e � � forem funções tal que �′ � e �′ � existam, e se ! � for uma função
definida por ! � � � � . ��� , então !′ � � �′ � . ��� " � � . �′�� . Ou seja:
�� ! � � �� � � . ��� � �′ � . ��� " � � . �′�� .
Ex.: ! � � ���� # ��� ���� " �� 
!	 � � �� ��� # ��� ���� " �� " ���� # ��� ������ " �� 
� �. ����� # �. ����� ���� " �� " ���� # ��� ��. ����� " ����� 
� $�� # ��� ���� " �� " ���� # ��� ����� " ��� 
� $�� # �� ���� " �� " ���� # ��� ����� " �� 
� ���� " $�� # ���$ # ��� " ���� " ��� # $��$ # ���
� ���� " ���� " $�� " ��� # ���$ # $��$ # ��� # ���
� ���� " ���� # ���$ # �$��
� ���� # ���$ " ���� # �$��
4
6. Se � � e � � forem funções tal que �′ � e �′ � existam e � � % � , e se ! � for
uma função definida por ! � �
� �
��� 
, então !′ � �
� � .�	 � �� � .�	 �
&��� '�
. Ou seja:
�� ! � � �� � � /��� �
� � .��&� � '�� � .��&� � '
&��� '�
.
Ex.: ! � �
�����
����
!	 � �
���� �� ��
��� ������� ����
��� 
����� �
�
�
���� �.���)��� ������� ����)��� 
��������
�
���� $�� ������� ���� 
��������
�
$���$���������� 
��������
�
����$�����
��������
7. Se � � � ��� onde " # �“ é um inteiro negativo e � % �, então �	 � � #�. �����
Ex.1: � � � ��� �
�
��
�	 � �
��.�� � ��.�� �
�
�� �
�
��.���.��)�
���
� #�. ����. ���� � #�������� � #������
Ex.2: � � �
�
��
�	 � �
��.�� � ��.�� �
�
��
� �
��.���.�.��
���
�
����.��
���
� #�������� � #����$ � #
��
�$
Ex.3: � � � ���� # �, " - /��� (OBS: “y” e “z” sendo constantes quaisquer)
�	 � �
����� ��
���,�- �������,�- .�� ��
�
���
� �
��� �������� �������,�- . ����
�.�$
�
������$��������,�����-
�.�$
�
���������,�����-
�.�$
�
��
�.
���$ "
��
�.
���$, #
��
�.
���$z
�
$
�
�� "
$
�
,��� #
�
�
-��� �
$
�
� "
$
�
,��� #
�
�
-���
5
8. Se � � � �� onde "�“ é um inteiro racional, então �	 � � �. ����
Ex.: � � � � ��
�
� � � � ��
�
� �. �
�
�0 � �. �
�
�
�	 � � �
�
�
�
�
�
�� �
�
�
�
�)�
� �
�
�
�
)�
� �
�
�
��
�
� �
�
��
�
�
�
�
� ��
EXERCÍCIOS:
Ex.1: � � � � → �	�� �
Ex.2: 
�
��
�, ����… �
Ex.3: 
�
��
��� �
Ex.4: � � � $�� → �	 � �
Ex.5: ! � � �� # ��� → !	 � �
Ex.6: 3 � � �� �� # ��� → 3	 � �
Ex.7: , 3 � �3�"� /��3 # �3� 	→ ,	�3 �
Ex.8: 
�
��
�
��
�
Ex.9: � � � � ��
�
→ �	�� �
Ex.10: � � � � → �	�� �
6
SOLUÇÕES:
Ex.1: � � � � → 4	�5 � 0
Ex.2: 
�
��
�, ����… � 0
Ex.3: 
�
��
��� � 1459:�9 � 1459;
Ex.4: � � � $�� →
4	 5 � 6.85>�9 � 485?
Ex.5: ! � � �� # ��� →
@	 5 � 3. 5;�9 # 2.7. 5?�9
� 35D # 145E � 5D 3 # 145:
Ex.6: 3 � � ����� # ��� 	→
F	 5 � GH�5
; . 5D # 35I "	�5; GH 5
D # 35I
� 35D. 5D # 35I " �5; 259 # 155:
� 35: # 95? " 25: # 155?
� 55: # 245?
Ex.7: , 3 � �3�"� /��3 # �3� 	→
L	 5 �
�DM�IMN OP�M
Q�9 ��MQ�9 OP�DM�IM
N 
�DM�IMN N
�
�DM�IMN �;MN ��MQ�9 �D�9RM 
�DM�IMN N
�
�EMQ�9IMS ��DMQ�D�9RMS�9RM 
�DM�IMN N
�
�IMS�:MQ�9RM�D
�DM�IMN N
Ex.8: 
�
��
�
��
	→
T
TH
35�? � 3. #7 . 5�?�9 � #215�>
Ex.9: � � � � ��
�
� ��
�
� → �	�� �?
4	 5 � 5.
;
:
. 5
Q
S
�9�
9I
:
5
Q)S
S �
9I
:
5�
V
S �
9I
:H
V
S
�
9I
: HS
Ex.10: � � � � → 4	 5 � 159�9 � 15R � 1
DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
7
WXY	Z � [\
]^W	Z � [_
`a	Z � bG
OBS.: `a	Z �
cde	f
ghc	f
Círculo Trigonométrico
O A B
D
C
]^WWX]	Z �
1
WXY	Z
�
1
[\
WX]	Z �
1
]^W	Z
�
1
[_
]^`a	Z �
1
`a	Z
�
1
bG
�
cosZ
WXY	Z
1. GH WXY	5 � cos 5
2. GH ]^W	5 � #WXY	5
3. GH `a	5 � WX]D	5
4. GH ]^`a	5 � #]^WX]D	5
5. GH WX]	5 � WX]	5. `a	5
6. GH ]^WWX]	5 � #]^WWX]	5. ]^`a	5
Ex.1: � � � ��lm�	�
�	 � � �� �� . lm�	� " ��. �� lm�	� � �. ����. lm�	� " ��. �nl�
� �. ��. lm�	� " ��. �nl� � ��lm�	� " ���nl�
Ex.2: � � �
lm�	�
���.�nl	�
�	 � �
����.�nl	� .�� lm�	� �lm�	�.�� ���.�nl	�
���.�nl	� �
�
���.�nl	� �nl	��lm�	����� �lm�	� 	
����.�nl	� �
�
�nl	����nl���lm�	����lm�	� 	
����.�nl	� �
�
�nl	����nl����lm���
����.�nl	� �
�
�nl	�����nl���lm��� 
����.�nl	� �
�
�nl	����� 
����.�nl	� �
�
�nl	���
����.�nl	� �
Ex.3: �� o�	�
�� o�	� � ��
lm�	�
�nl	�
�
�nl	�.�� lm�	� �lm�	�.�� �nl	�
��nl	� �
�
�nl	�. �nl	� �lm�	�. �lm�	�
�nl��
�
�nl���lm���
�nl��
�
�
�nl��
� lm���
8
DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA E REGRA DA 
CADEIA
Se a função � for derivável em � e a função � for derivável em � � , então a função
composta �	n	� será derivável em � e, �	n	�	′	 � � �	 � � �′�� .
RECAPITULANDO FUNÇÕES COMPOSTAS:
Sejam �	e � funções dadas por: � � � �� " � e � � � ��, logo:
�	n	� � � ��� � ���� " � � ��� " �
�	n	� � � ��� � ��� " � �� 4�� " ��� " .
Sejam !	e , funções dadas por: ! � � � # .p " �� e , � � � # �, logo:
	!	n	, � ! ,�� � �� # � # .p " �� # � �� #� # $p " �� # � �
,	n	! � , !�� � � # � # .p " �� � # � # .p # �� " �
9
Derivada da função composta:
Seja q � � ���� " � � que pode ser escrito como: r 5 � �45D " 1 D�45D " 1 
Aplicando o teorema da derivada de uma multiplicação:
q	�� � �� ��
� " �
�
��� " � " ��� " �
�
�� ��
� " �
� �� ��
� " � ��� " � ��� " � " ��� " �
�
. ��
� �� ��
� " � ��� " � " ��� " � �� ��
� " � ��� " � " ��� " �
�
. ��
� &�� ��� " � " ��� " � ��' ��� " � " ��� " �
�
��
� &�. �� . ��� " � ' ��� " � " ��. ��� " �
�
� �. �� . ��� " �
�
" �� . ��� " �
�
� �. �� . ��� " �
�
� �. ��� " �
�
. ��
Observe que q � � �n� � � � � � ���� " � � onde � � � �� e � � � ��� " �
Logo: q	 � � �. ��� " �
���
�� ��� " � � ����� " � ��� � �	 � � .�′�� 
com: �′ � � ��� e �	�� � ��
�� ��
� " �
� �. ����� " �
� ��� � ��
REGRA DA CADEIA:
��n� ′�� � �′ � � �′ �
Ex.: Dado que � � �
�
������������
encontre �′ � .
� � � ���� " ��� # �� " � ��
�	�� � #�. ��� " ��� # �� " �
����
������ " ��� # �� " � 
�	�� � # ��� " ��� # �� " �
��
��. ����� " �. ����� # �. ��� " � 
�	�� � # ��� " ��� # �� " �
��
����� " ���� # �. � " � 
�	 � � # ���" ��� # �� " �
��
���� " ���� # �
�	 � � #
�����������
������������
�
10
Para uma função ,	qualquer da variável independente �, escreve-se:
, � ��� e �� � �
�&�'
��
� � �� , � ,´ �
�&,'
��
Logo, aplicando-se a Regra da Cadeia:
t&35:LD'
t5
� GH �35
: �LD � GH 35
: LD " 35:GH L
D � 3.45:�9GH 5 L
D " 35: 2LD�9GH L
� 125;1 LD " 65:L9GH L � 125
;LD " 65:LGH L � 125
;LD " 65:L
T&u'
TH
t&75L;'
t5
� GH �75 �L
; � GH 75 L
; " 75GH L
; � 7.159�9GH 5 L
; " 75 3L;�9GH L
� 75R1 L; " 215LDGH L � 7L
; " 215LDGH L � 7L
; " 215LD
T&u'
TH
t&#25:L'
t5
� #2GH 5
: L � #2 GH 5
: L " 5:GH L � #2 45
:�9L " 5:GH L
� #2 45;L " 5:GH L � #85
;L # 25:GH L � #85
;L # 25:
T&u'
TH
t&#5
5;
L:
'
t5
� #5GH 5
; L�: � #5 GH 5
; L�: " 5;GH L
�: � #5 35;�9L�: " 5;�#4 L�:�9GH L
� #155DL�: " 205;L�IGH L � #155
DL�: " 205;L�I
T&u'
TH
� #15
HN
uS
" 20
HQ
uv
T&u'
TH
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
Uma função explícita: , � ��� " �� " �. A variável y é definida explicitamente em função
da variável x. Uma função implícita: , � ���,� # �,�� # �,��� # ��. A variável y não é
definida explicitamente em função da variável x.
Ex.: ���,� # ��,� � � # �, → �� ���,� # ��,� � � # �,
→ �� ���,� # ��,� � �� � # �, 				→ 				�� ���,� # �.�� ��,� � �� � # ��� ,
� ���
��
,� " ���
� ,�
��
# �.
� ��
��
�,� " ��� 
� ,�
��
�
� �
��
# �
� ,
��
�. �����,� " ���. �. ,���
� ,
��
# ��. �. ����. ,�"��. �. ,���.
� ,
��
 � � # �
� ,
��
����,� " $��,�
� ,
��
# �,� # ���,�
� ,
��
" �
� ,
��
� �
$��,
� ,
��
# ���,�
� ,
��
" �
� ,
��
� �,� # ����,�
� ,
��
$��, # ���,� " � � �,� # ����,� 								→ 									
� ,
��
�
�,������,�
$��,����,���
11
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
��: Derivada enésima da função �.
�	: Derivada de primeira ordem de �.
�		: Derivada de segunda ordem de �.
�			: Derivada de terceira ordem de �.
Ex.: � � � ��� " ��� # �� " �
�	�� � �. �. ���� " �. �. ���� # �. ���� " � � ���� " ���� # ��� � ���� " ���� # ��
�		 � � ��. �. ���� " ��. �. ���� # �.�. ���� � .$�� " ���� # ��� � .$�� " ��� # �
�			 � � .$. �. ���� " ��. �. ���� # � � �.��� " ���� � �.�� " ��
��� � � �.�. �. ���� " � � �.��� � �.�
��� � � �
��$ � � �
A DIFERENCIAL
α
o
a
tan Z �
^
{
o=a. tan Z
Q
P
s
t
y=f(x)
R
M
y
x
∆
y
∆x=dx
d
y
∆
y
-d
y
x x+∆x
f(x)
f(x+∆x)
P: (x;f(x))
Q: (x+∆x;f(x+∆x))
4´ 5 � lim
∆H→R
∆L
∆5
	→
∆u
∆H
≅ 4´ 5
	→ ∆L ≅ 4´ 5 . ∆5
Para ∆5 muitíssimo pequeno:
Tu
TH
� 4´�5 
∆5 → t5
tL � 4´ 5 . ∆5 � 4´ 5 . t5
Resumindo:
∆L � 4 5 " ∆5 # 4 5
t5 � ∆5
tL � 4´ 5 . t5 � 4´ 5 . ∆5
Uma 
aproximação
12
Exemplo
Dado: L � 35D # 5, encontre para
x=1 e ∆5 � 0,1: 
a) ∆L
b) tL
c) ∆L # tL
L � 35D # 5				 → 				L´ � 65 # 1 (x=1; ∆5 � 0,1)
a) ∆L � 4 5 " ∆5 # 4 5
� 3 1 " 0,1 D # 1 " 0,1 # 3 1 D # 1 � 3 1,1 D # 1,1 # 3 # 1 � 2,53 # 2 � 0,53
b) tL � 4´ 5 . t5 � 6. 1 # 1 . 0,1 � 0,5
c) ∆L # tL � 0,53 # 0,5 � 0,03
Q
P
s
t
y=f(x)
R
M
y
x
∆
y
∆x=dx
d
y
∆
y
-d
y
x x+∆x
f(x)
f(x+∆x)
P: (x;f(x))
Q: (x+∆x;f(x+∆x))
∆L � 4 5 " ∆5 # 4 5
t5 � ∆5
tL � 4´ 5 . t5 � 4´ 5 . ∆5
EXERCÍCIO:
Dado que L � 45D # 35 " 1, encontre ∆L, tL e ∆L # tL, para: a) quaisquer 5 e ∆5; b) 5 �
2 e ∆5 � 0,1; c) 5 � 2 e ∆5 � 0,01; e, d) 5 � 2 e ∆5 � 0,001.
13
EXERCÍCIO:
Dado que L � 45D # 35 " 1, encontre ∆L, tL e ∆L # tL, para: a) quaisquer 5 e ∆5; b) 5 �
2 e ∆5 � 0,1; c) 5 � 2 e ∆5 � 0,01; e, d) 5 � 2 e ∆5 � 0,001.
L � 45D # 35 " 1			 → 			L´ � 85 # 3
a) 
∆L � 4 5 " ∆5 # 4 5
� 4 5 " ∆5 D # 3 5 " ∆5 " 1 # 4 5 D # 3 5 " 1
� 4 5D " 25∆5 "∆5D # 35 # 3∆5 " 1 # 45D # 35 " 1
� 45D " 85∆5 " 4∆5D # 35 # 3∆5 " 1 # 45D # 35 " 1
� 45D " 85∆5 " 4∆5D # 35 # 3∆5 " 1 # 45D " 35 # 1
� 85∆5 " 4∆5D # 3∆5
� ∆5 85 " 4∆5 # 3 � �85 # 3 ∆5 " 4∆5D
tL � 4´ 5 . t5 � 85 # 3 . t5 � 85 # 3 . ∆5
∆L # tL � 85 # 3 ∆5 " 4∆5D # 85 # 3 . ∆5
� 4∆5D
Caso x ∆x ∆y dy ∆y-dy
b 2 0,1 1,340 1,30 0,040
c 2 0,01 0,13040 0,130 0,00040
d 2 0,001 0,0130040 0,0130 0,0000040
TEOREMAS
tL � 4´ 5 . t5 →
Tu
TH
� 4´�5 
Para F � 4�5 , } � 4�5 e c � constante:
t�] 
t5
� 0 t ] � �t5 � �
t�5e 
t5
� Y5e�9 t 5e � Y5e�9t5
t�]. F 
t5
� ]
tF
t5
t ]. F � ]tF
t�F " } 
t5
�
tF
t5
"
t}
t5
t F " } � tF " t}
t�F. } 
t5
� F
t}
t5
" }
tF
t5
t F. } � Ft} " }tF
t�
F
} 
t5
�
}
tF
t5 # F
t}
t5
}D
t
F
}
�
}tF # Ft}
}D
t�Fe 
t5
� YFe�9
tF
t5
t Fe � YFe�9tF
OBS.: Mesmas regras de derivação!!!

Continue navegando