Estruturas Isostáticas Parte III

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'Y'-. ,··i 2L ± V2L
2
x'= 2+v2l
2 -
2-v2
2 L ..
Assim x tera que ser igual a 29,3 % do valor de 1..
VA = VB = 2P + q (2a.+ b) qb
2 =P+qa+Z
Momento fletor num ponto qualquer do trecho A - B, afastado:tO de A.
MI = x X (p + qa+ ~) _ (0 + x) X P _ q (a ~ 2.)2
dMI qb
~=P+qo+2-P-qa-qx=0 bx =-
2
qb2 2
Mf+ = 8 - P X a - q~
Momento fletor maximo negativo:
MI_= -Pxa-~
2
qb2 qa2 2
g-PXa--2-=PXa+ q;
P = 2~ (-} -a') que e 0 valor de P.
2.43. Problema tnverSQ .
extremidades.
Para passar ao DMF ca1cula.-sea area do DEC ate a ~il.o a ser estudada:
,Mfc = 4,5 Xl = 4,5mtf
Mf D = 4,5 + 4,5; 0,5 X 2 = 9,5 mLf
Mf E = 9,5 - 1,5; 3,5 X 1 = 7,0 mtf
A - C: constante, 0 que indica auso'lnciade carga
C - D: inclinado, portanto carregamento uniformemen te distribuido, cujo
4,5 - 0,5
q = 2
- 1,5 - (- 3,5)
q = 1 = 2 tf/m
auso'lncia de carga.
A
Para passar ao dia.grama de carga DC
Trecho:
A - C: auso'lncia de carga
C - D: carga. uniformemente distribuida
4,5 - 0,5 =: 2 tf/m
2
".".j ..:,~~c
!,~~ •• ,
~- 1,5 - ( - 3,5) = 2 tf/m: <,q = 1 ,
tE - B: aus~ncia de carga. L
~No ponto D ha' urna descontilluidade de 2 tf, que corresponde a uma carga Cllllcentrad" l
de 2 tl; entiio: •
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t
~
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B
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1
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A
D
2 HIm 2 It
..
4-0
q = --2- = 2tf/m:
- 3 - (- 5)
2
I
J.,,-----------t
No ponto D ha descontinuidade de 3 tf, indicando a existencia de uma carga COO<1entrada
de 3 tf; entao, 0 DC sera como a Fig. 2.58b mostra.
. ":';'.\1'(.';0; ik .\1 f f.' (-'. :'il/ V I qll(' 1".i\(1 Ct....•Vah.ll"eS dati are::..-; H.lt:Para 0 IJ-li F La:~1.:( do(:t.t:rroll,a.:: fJ> •. ~
C e D l'e.-;pel~tiv:\j(Jt'~lllP
Passar do DM F pam II DC uma vig" biapo;ad" 115., exlremidade:;;
'2,8 mtf..,--'
: ;
I I i
. 4 4Tl ! 2 m ; . __ .. ? .."'-_ ..... -tJ_~.-tt------' ------.-t.- ....-..---.,.-t'.
Fig. 2.59••.
~ WR = 8 WR .'. q = 1 tf/m.
ql2 .
- ~,8 = 4 X VA - 2 .. V A = 1,3 tL
.'
t
iNo ponto C h~ uma angulosidade, 0 que indica uma carga concentrada, dirigida para cima. .,
..
M/ D = 0,4 = 6 X V A - 4 X 4 + 2 X PI = ... PI = 4,3 tf i
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f
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1
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f.
t
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~t.,
t
. N~' ponto E, a angulosidade nos indica urna cargji concentrada, dirigida para baixo, cujo
valor tuamos a partir do valor do M/ D = 0,4 mtL
Resta ainda deterroinar a forca concentrada existente em D, revelada tambem pela angu-
losidade. Utilizando 0 valor do M/a = - 2,8rotf tirareroos 0 valor de P2•
I tf/m
t"'"
~; 2 If
C E1 B
6
f P,' ','"
i 2 m
iVB" 1,6ft
}
t
I. I t f '" fi~ l
I, 2m '1m ~I· r-----...--- -' ~
l ~
I Fig. 2.60a. ~
_"~L....... ~ \~--L
Diagrama de carga
'11f
A
1v" , "
I81 = 2 X 1 = 2 mtf./ 82 = 1 X 4 = 4 rotLMa 83 = - 4 X 1 = - 4 mtf.8.= -2X 1= -2mtf.
B 3tfJ:=
;
!
t
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~Fig. 2.60a. t,
_~L_. ----~_\--l
T
I: Diagrama de carga4"------ - -
1m
A C 52 8 3tf
1v,· , "
5, 53 J:=542 m
Ilf
:> ,
2 m 4 m I
'11.
q{l 8 . 1 fl2 WR = WR.. q = t m.
ql2 .
- ~,8 = 4 X VA - T .. VA = 1,3 tL
t
l
.lNo pon~o C hAuma angulosidade, 0 que indica uma carga concentrada, dirigida para cima. t
l·
l
~,
t
t,
~;
No' ponto E, a angulosidade nos indica urna cargll concentrada, dirigida para baixo, cujo
valor tiramos a partir do valor do Mf D = 0,4 mtL·
I81 = 2 X 1 = 2 mtf.82 = 1 X 4 = 4 mtf.M'c 83 = - 4 Xl = - 4mtf.8, = - 2 Xl = - 2mtLRes~a ainda determinar a forQa concentrada exis~ente em D, revelada tambem pela angu-losidade. Utilizando 0 valor do M'c = - 2,8 mtf tiraremos 0 valor de P2.
I Him
t·,·", ~; 2 If
C EI , B
6
rVB"',6tf.
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Eill'""".------12 m
. . 2 m
4 If- --
2-¥. 3,125 mil
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.., l')=-
5 If 1Sit-4ft
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3 m ,i I m I iii
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1 4ft I4tf t41f
411
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B~f
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VA" 0,61"
ttf
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90 / ESTFli-JT-t-I"-,"'-'I.s-'/-S-O-SCA--T/-C-~-\S----------------------T
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~:I\}J hY j ~(.~ 5t>' HY = 0,83
{ t'j:; 56·:) 1 'J" = O. 6~;
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2 If
2 m
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f
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3 m 5 m !
l-
fDiagrarna de carga
!3 If
S. 0 S, B Hs=2lf- -
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S,
2 m
21f-
2m
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LA: 4tl
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L- 3 m 5 m I---..r
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He= 5 If
B ..,;----
rVe' 3 It
I
I
I
I
I
••I.
Mfe = - 2,5 X 5 = - 12,5rotf
Mf D = - 3 X 5 = - 15 rotf
;,"
~lW:·
:1~
j\·fl B = -- -1 - fi X 2 = - 11 nltf
life:-::: -3X2= -omtf
14ml~/
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l ~__~
8 m . --fS=O.Z5If
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I
I
2 t f I-.,
12,~ 'IIR 4 "'tf
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105mlf - -1/ __. l!8' 'L.t~~ll'.2m:iA _
®
D M F C
"JlJJ!OJnJIIID=]B
DEC §
11 IVeI B
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' iI O£N !1 Fig.2_.73. ---j
MA = 14.7~ mil
HA=4.~tff= 5m--I-- It
DEN
Fig. 2.H. ~l BII'!lM
E
Sm,f
55 F 56
54
1,5 m r'f~ 52--.- . -0
5,
115m
A HA= I If
r
II Fig. 2.7611. !
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He=llf
B~
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--~ r-----o- -- .0--------·--·
!; 108 / ESTRUTURAS ISOSTATfCAS T
f
f
I
t
I
8, = 1,5 X 1 = l,5rotf
S. = - 1 X 2 = - 2 rotf
83 = 1,5 X 1 + 1 X 2 = 3,5 rotf
J
8.=3Xl+IX2=5mtf
},fly 86 = 5mtf
86 = 5+ 5 = 10 mtf
81=6XI-2X3=O
88= -2X3= -6mtf
89 = 6 X 1 = 6 rotf
f
1
rn J { ITITITD
zmr----- ---.r--
6 mil I-c= ·
1
DiagrnJDa de carga
;'2 If
I~!:;;;;::-l
- - 0 E,r--
6 mtlr 52 S~\...----HC
51
,
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t
f
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I
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I
f
I
l
I
L..- -
Sl = - -( X ;J = - 12 Intf
Mf c 32 = - Ij mtf
S3 = - (j - 12 = - 18 mtf
36 WR
--------~----f;C:-~~~--~
--
________________ Fi_t>- 2_77b__ _ __ I
~ 41f
6mlf
1)
6 mlf
s~
2
1
Sl=4X4-2X4=8mtf
S2 = - 2 X· 4 = - 8 mtf
S2= -2X4-2X4+4X4=O
MI
D
{Sl=-6mtf
S. = 0
c
l--I
1~_3
l----J
~,~I---J
l- II-------j
At !
3 If
I~ 8 If
1
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12 m
I
1
4m
I
J
4m L:B=2lf
-1<---- ..- ----l
___l-----------------F-ig-" 2_"_79_" _
l;Y = 0 V A + Vn = 8
l;MA=O 8Va-8X2=O
Va = 2 tf
VA = 6 tf
L _
Mf C = - 2,5 X 0,5 = - 1,25mtf
.1[fD = - 5 X 0,5 - 2,5 X 4 = - 12,5mtf
.lIfE = - 5 X 9,5 = - 47,5 mtf
DEN
Fig. 2.801>.
21ft
25 mff
DMF
j. 2m 2 m 4 m L,
DiagrOJlla de cnrga
5 tf '116 If
s. SOl
B
, 2 m fvB: e,51f V•• CDS 45° = 8,84 If
'--'-
J 2 m
~ A
I
1 ~ III l 2 III 4 III, .,L
VA'I2,5tf
I
I
I
I_h ,, ._.
'M! {Esq, = 2 X 12,5 = 25 mtf
C Dir. = 25 + 4 = 29 mtf
81 = 4 X 12,5 + 4 = 54 mtf
82 = - 4 X 5 - 2 X 8 = - 36mtf
8a = 4 X 8,5 - 2 X 8 = 18mtf
"'I
I
I
__ Po. ~'f I
I 2 m i-
f VA:I,6"1lf'
V
~tf
I
B
f Ve=8,i541f
81 = 4 X 4 - 2 X 1,64 = 12,72mtf
82 = 5 X 8,64 + 2,5 X 5 = 55,7mtf
8a = - 2 X 4 - 2,5 X 10 - 5 X 2 =
/
/
/
I
I
35 mr,'
C. Estncturas line(lres adieuladas
Para"", vigils Gerber, tra~r os diagramllS soli"itlllll.e;.
~~ Ilf/m~jDIIIIID
is
e
13.641f
Diagram" de CRrgo
~ - . 1
41f
AC. ~-B-+-Ct 2_~. ; 2 m ~ I m of 2 ",. __ JI_~~:2'_~ t _
~2.4011· tVO:4,611f iVC-O.93tf
Fig. 2.83a.
Rc-,
H
i, .\
I,u 4lf
L
i Fig. 2.1;31>.
·...---------------------- __ I!_•• IIIili••• Ili1•••• IiI~
2 If! m
~I -.- 2m l. 3 m •. 1~ ,
I
lIDr
- 1,5 X 6 = - 9mtfMIA =
I -3X35-2X6=MB- ,
3tt
~
\
Iv
I
I1 .....•
\ 4 lit If
8 II1tf
O,125111U
1m:
j
.\fIE = 3 X 4,2 - 2 X 4,5 = 3,6mtf
MI p = 4 X 4,2 - 3 X 4,5 = 3,3 mtf
F
5,211 1$II \
"HO:5,2 If
I m 1m
\
J•••
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~ 2_,5_m ~_~,_5.m__ ----+---- 6_"' ~
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j 2,7lf
1,21fi ~J"'Hlh-
~..,.c::._ J,6If~-----L- I '.2I1/n
Ie ~ ~H 2 to
tVC:l3,7ltf IVD:i2,51f
j ,
05m1 15 15m -1M 1'''ll,33mO.6-'ml,5'''.0.,,,5,,, I'M,_,p,r'r I"'~,~ m~ ' M k' .' f _ I'- ~_~~
I 2 - 5Sl = 2 X 12,5 - 5 - 3 X 5 X "MIH S2 = 2 X 12,5 - + X 5 >< 7,5 = 0
01BIfI[
1 8,7 Itl
5,7/11
G I '+ .Ie 6,3tfr~~8 ~r • H t.tu.l1::tAW~TTrto
5 iiLilLU OJ, 2H
A
'''''[I]]]HmJt
2 Him
PJol CD
2m -J- 2", I 6,.It 3 m
Diagrama de ca
1
1011 rga
G B~
4 2 m t 2 m ~o,s, 2,5 m C
~:14,5Ir
.1/1" = -7,5mtf
;\'/fe = [}
.I,/Iu = - 7,5 + .5 X 2 Co
;\/ I lJ _ • ,., = ;. IIlLf
- " X 3 - 2,.0 >< III = - llJ mlf
""U1 . "'fittL '
, A •• IIIII(ilI[[lt1~7.5 It _ 1 - ~ ....,-"C~,~~ :1tf
. 2 mt--=-
/4 If
A f E
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IVA= 1,331 f
A !Slt T
J
I I ~ il,sm
·"PJ;fiT~-g/ I . "" 1".
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L' m t 2 M -- 4 m . f J''' 2 .r r t· __·_+-'~L_~-+ 2 In L 2 In
~m f I m ,~ ,f 2 m + 4 m Jim j l 2 m 2 m 2 m L, ,
Fig. 2.91b.
G
l
A
D
2,67 mlt D M F
1,331H
A
E!1
2,671f
\
At I B = - 2 X 2,{l7 - I X 2 = - 7,34 mtf
Mlc= -IX2-0,5X!= -2,5mtf
MIl = 2 X 4 - 1,5 X 1,33 = li mtf
2.78. Para a viga Gerber, tr;u;ar os diagramas solicitantes, utilizando para 0 fletor 0
.metodo de superposi9ao de efeitos e 0 do carregamento fictlcio. e para 0 cortante, 0 processo da<
tangentes.
1
2lf· J1311
~ I 111m .
AITD:IIIITIJ
LS I :::¢Ji I
I 2m r 2m 2m r
3 If) 11 If
I tf/m
~QIIIJD
i§ZST. :6
1m: 2m 3mt .--,j-.- -1--· ------'[
P' = 2 + ~ = 4 tf (Viga da Extrema Esquerda).
2
P' = 1+ 1 ~ 2 + 1 ~ 3 = 3,5 tf (Viga da Extrema Direita).
Vp' =. 3,aX 3~ 5
Trecho A-I; 1-8; B-E e C-2:
ql' 1 X 2'
-8- = --8-- ~ 0,5 mtf.
lilt
C !,'t D~"-;-®-2--.-6
IV~:2,llt VO'1,4:r
ql' 2 X 3'8- = --8- = 2,25 mtf.
ql' I X 3'
-8- = -8-- = 1,125mtf.
qt' 1X I'8 = --8- = 0,125mtf.
r-------
r 140 / ESTRUTURAS ISOSTATlCAS
i: Esfor~o cortante obtido atraves das tangentes externas ao DMF, no qual podemos ler as reayOes fin.is:
I.;; 1tf
10 tf
7,8 tf
2,2 tf
13,75lf
!6,15 If
I
___b
"
,8125" I 11118/11111 U
0,812511
l-J +
--
I :!lm
r 1~[[OJ-=I~I~lJI-I I I
4 m \
!
1--n!,), 'rr
t-.~__3_~_- -+----- ..~~--....... --/
Fig 2.~ la.
A HA01,125tf----l' 3 m
'lVA = 3 If
Y'
I
2ml
I
t
2 m I
I1,- I
DMF
Fi~. 2.91.•·.
3 "
D
i
I
r
l
i:::
f"
f
A DEe B
1,125 'f 1,125 It
~. Fig. 2.94d.,
D
1.1251t
I,2m-t-----{--
----- --
'"l_-_.-
I
2 m I
j HA: 2~251f A
i 2 m
!VA:4,75tf
B
I
...
HB: 4 If
VB: 8 If
BA
0.35 II
4tfFig. 2.95b (continual.'ao)
rtf A2.82. --_.-
j
4m
1 I A /f,.
I I I
1 I I
3m -,f-- 3 m4m ,
1
Fig. 2.96. DEN
Fig. 2.96 (Continual.'ao)
L
B HB:O,2tf---...
1VB:I,Btf
T] 0,2 tf
B
Ha:I•2:1t1 B
3 m· LB: IH
---------~-----~---~~~---
{
83 = - 2 x 2,,5+ 2,5 X 1+ 5 = 2,5 mtf
MfB
84 = - 2 X 2,5 + 2,5 X 1 = - 2,5 mtf
Mf D { 81 = 2 X 2,5 - 2,5 X 3-= - 2,5 mtf
82 = - 2,5 + 5 = 2,5 mtf
i
i
L ---------------------------
2.87.:
.'k~ 18 WR
~
~•.... 2m 4_m ~~_2_m __ -./
'l>iagru.ma ue ca.rgn
16 If
1
EI~IF
C
A HA=2lf HB:2tt BI •. •.
+~2_m 1 4m 2m 1
'-V-
A
-:-7-'-' ----------- VB = 1 tf
~
S, = - 3 X 2 = - 6 rotf
MID S.=-2X2=-4mtf
Sa = - 2 X 2 - 3 X 2 = - 10 mtf
MIE;" -2X2-4X2= -12mtf
JI1lc = 0
MIF = -2X4+4X2=O
~~
JI,Ii
, ",It'
1·1", f 158 / ESTRUTURAS ISOSTA TlCAS
'f':./-! 2.88.
,(
J~t;
it
11'
f ~
ISOSTATICA /159
B 16 mil
E
16 mtf
- 24 mlf
D
24 mIl
8 If :f
B E
r,
4 tf .(.
r
I
I
!
---L ..,__,_
),,, --I
2 If1m 2m
2 m
2 m
I. -.1
l 2,5 m l 2,5 m 1-. ,
3.12511--t9.85 If
7,12511-!0.85 If
49,25 mtf
9.85 If
(f)
0,85 If' 0,85 If
9.85lf 9,85tt
Fig. 2.103 (Continua~iio)
l
[:J
h
,>I
, .,~
,
,.
Ii
lU
i'
i'')
1:1
'I ,;
j',I
r
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i
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1
I
r~
( 2.91.)
"'---
4 m
I
I
I
\
t 'Z m 3 m r 3 m 2 m ll' ,
2 WA
0,5 m II
I
I
I
I.~-------------------
~ 3 m l 2 m 2 m l 2 m L1 1 , 1
Diagrama de cargo.
19 II
E
C
3 m 3 II
S2 HA=O,3311 He'2,6711
D ~I ~, S,
2 mJ 3 m 1,5 m ,O,5m
VA=6,75tl
Fig. 2.106••.
{
81 = 3 x.· 6,75 = 20,25 mtf
MDf I
82 = - ~O,25mtf
ME1 - 3 X 6,75 - 3 X 0,33 = - 21,25 mt,[
MF1 - 2 X 2,25 + 3 X 2,67 - 1,5 X -3= 1,!)mtf
{
83 = - 2 X 2,25 = 4,5 mtfMI
- G 8. = 4,5mtf
""",
f,,
I
I
121.25mtf
------------------------ ....•
il,
~I
.J~I
;!Ii
'~
~
iro;
'£!
~
.jjj
~,
'j•..,.
Diagrama de carga i 8 If~;
===== IG
8, = 6 X 3 - 12 X 3 = - 18mtf
82 = - 18+ 30 = 12mtf
8a = - 30mtf
{
84 = 4 X 8 = 32 mtf
Mlp
8~= - 32mtf
---- ...........••...••. "
32 mIl ,
\,
\
\
\
I
G 32 mIl,
0 30 mtf F
.C 32 mtf ,12 mIl ,
I,
I
I
I
.4 w. + / I;, 32 mlf/
/
/'
1 mtl /
~/';~~~~:;;,,
I,
'30,9375 ",t
v'2 V2 V2
D - C -> Q = 0,4375X -2- + 5,375 X -2- + 4,5 XT = 7,29 tf
v'2 V2 V2
C - E -> Q = - 1,5625 X -2- - 5,375 X -2- - 4,5 X -2- = - 8,08 tf
He:5,375tfB
"""""
3 m \
VB: 1,5625 If
A j
5.375 If
a~
5,375 If
MID = - 4,5 X 5,375 - 1,5 X 4,5 =; 30,9375mtf
NIle = 0
MI E = - 4,5 X 5,375 - 2,25 X 4,5 = 34,3125mtf
Vi V2 Vi
D - C -> N =.0,4375-
2
- - 5,375 -2- - 4,5 -2- = - 6,67tf
Vi Vi_45 Vi fC - E -> N.= 1,5625-2- - 5,375 2 '-2- = - 5,88t
B
1,56251'A 0,4375 tf
{
81 = - 6 X 1= - 6 mtf
MI B 82 = - 1 X 2 = - 2 mtf
83 = - 6 X 1 - 1 X 2 = - 8mtf
:I mlf
S HO"I tf .
4-'
r~o.4tf
!Vo.4tf~I'D
MS= 3 mtl B
SHe'llft:=
MIl' =. - 5 - 3 X 1 = - 8mtf
MID. = - 5mtf
MIB6 3mtf
!
I
__L
8 mtf 32 WR
---------~-----I-------
I If I Lilli IBI I
f-B- -J
.\
DEN
ISOSTATICA /177 /'---'
M~ = - 10,5mtf
Mlc = 0
MID = 0
MIB = 2 X 3 - 1 X 2 = 4mtf
I
~--- ------_~ __ .l..
HA: 2 U
rVA:2tf
DEN
fig. 2.111b (C()ntinua~iio)
5m L 5m t
i '
Fill:. 2.113a.
Separando a estrutura, temos 0; ;cgllintes diagramas de carga:
~IF
G
c
1VC~2,5tf
MID'" 0
.W/g = 0
.111 B = - 12mLf
.Wla = 0
MIl' = 0
k
I
j,
I',
i
IL _
A
I,!llt
C
2,5t'
8, - 45 Xfyfl -, 10,5=472"
F 82 = _ 4 5 ' "mtf, X 6 - 2258
3
= 4 5 X 7 5 ' X 4,5 = - 37 12, , _ 4,5 X 3 _ 22 ' mtf, 5 X 4,5 = 10 12 f
M' ' m,
G = - 4 X 2,53 = - 10,12 mtf