QUESTAO 3

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CADERNO DE QUESTÕES – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL A UMA VARIÁVEL 
AULA TEÓRICA 03 
 
1. Calcule a derivada da função ���� = ���� 
Resolução: 
Veja que precisamos utilizar a regra do produto para derivar a função dada. 
�	. ��� = 	�� + �′	 
Nesse caso temos que 	 = �� e � = ��. Logo 	� = 2� e �� = �� 
Portanto, temos que ������� = 2��� + ����, escrevendo os termos de forma mais organizada 
temos que ����� = ����2 + ��. 
 
2. Calcule a derivada da função ���� = ���� 
Resolução: 
Veja que precisamos utilizar a regra do quociente para derivar a função dada. 
�	��
� = �	�� − ��	��� 
Nesse caso temos que 	 = �� e � = ��. Logo 	� = 2� e �� = �� 
Portanto, temos que 
������
�
= �2��� − ���������� 
escrevendo os termos de forma mais organizada temos que 
����� = ��2 + ���� 
 
3. Calcule a derivada implícita 
��
�� de ���1 − �� = �� + 2��� 
Resolução: 
Da tabela de derivadas temos que 
�
�� ����1 − ��� = ��� � �� + 2���� 
Em ambos os lados devemos utilizar a regra do produto para derivar a expressão: 
3���1 − �� + !− "�"�# �� = �1��� + �� + 2� !3��.
"�
"� # 
Como estamos buscando a solução de 
��
�� , devemos escrever a função acima em 
função de 
��
��. 
− "�"� �� − �� + 2� !3��.
"�
"� # = �� − 3���1 − �� 
"�
"� �� + �3��� + 6��� !
"�
"� # = −�� + 3�� − 3��� 
"�
"� ��� + 3��� + 6��� = −�� + 3�� − 3��� 
"�
"� =
−�� + 3�� − 3���
�� + 3��� + 6�� 
 
4. Calcule a reta tangente e a reta normal à função � = �� + 2�� no ponto �% = 4 
 Resolução: 
Repare que um ponto P é representado por ' = ��%; �%�. Como temos apenas a 
informação de �%, podemos calcular �% fazendo a substituição de �% na função �: 
�% = �%� + 2�%� 
�% = 4� + 2.4� 
�% = 96 
Portanto, o ponto que estamos observando é ' = �4; 96�. 
Derivando a função � = �� + 2��, temos 
�′ = 3�� + 4� 
Substituímos o valor de �% em �′ para obter o coeficiente angular da reta tangente a P: 
�′ = 3. 4� + 4.4 
�′ = 64 
Para encontrar a equação da reta sabendo o coeficiente angular (*) e um ponto (') que 
passa por ela, utilizamos a fórmula: 
� − �% = *�� − �%� 
� − 96 = 64�� − 4� 
� − 96 = 64� − 256 
� = 64� − 160 
É a reta tangente ao ponto P. 
A reta normal ao ponto é perpendicular à reta tangente. Portanto o coeficiente angular 
da reta normal se relaciona com o coeficiente da reta tangente por meio da expressão 
*- = − ./. 
Logo, para obter a reta normal ao ponto P, sabendo seu coeficiente angular: 
� − �% = *�� − �%� 
� − 96 = !− 164# �� − 4� 
� − 96 = 4 − �64 
� = 153716 −
�
64 
 
5. Calcule a derivada de ���� = 12 + √�344 
Resolução: 
Da tabela de derivadas temos que 
�
�� 5√�6 = .�√�. 
Repare que ���� é uma composição de função do tipo 	1����3 onde 	�7� = 744 
e ���� = 2 + √� . Logo 	1����3 = 	12 + √�3 = 12 + √�344 = ���� 
Dessa forma, devemos utilizar a regra da cadeira para derivar essa função. 
A fórmula para esse tipo derivada é dada por 
��
�� = ���8 �8�� 
No nosso caso, a fórmula fica 
�8
�� = �8�9 �9�� portanto temos 
"�
"� =
"
"� 52 + √�6 
"�
"� = 0 +
1
2√� 
"	
"� =
"
"� ��44� 
"	
"� = 55�:; 
Como ���� = 2 + √�, podemos fazer essa substituição e obter: 
"	
"� = 5512 + √�3
:;
 
Portanto a derivada 
�8
�� = �8�9 �9�� é 
"	
"� = 5512 + √�3
49. ! 12√�# 
"	
"� =
55
2√� 12 + √�3
49