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estrutura de dados 1
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ESTRUTURA DE DADOS I
Christiano Lima Santos
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Tipos de Dados e
Tipos Abstratos de Dados
(Aula 1)
Christiano Lima Santos
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Sumário
Motivação
Tipos de Dados
Operações
Tipos Primitivos ou Escalares
Tipos Inteiros
Tipos Reais
Tipos Lógicos
Tipo Caracter
Funções Para Conversão
Tipos Coleções ou Não-Escalares
Tipo Vetor
Tipo Registro
Tipo Conjunto
Tipos Abstratos de Dados
Alocação de Memória
Vantagens e Desvantagens da Alocação Dinâmica
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Motivação
Por que estudar os tipos de dados?
Duas são as principais preocupações em um projeto de software
Os procedimentos a serem executados;
Os dados sobre os quais os procedimentos atuam;
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Motivação
“Estruturas de Dados” busca descrever modelos de estruturas de dados e procedimentos
Exemplos: Arrays, Registros, Listas, Pilhas, Filas e Árvores, etc.
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Motivação
Os tipos de dados e operações determinam as estruturas de dados
Exemplo: em uma pilha ou fila você possui operações push e pop para colocar e retirar elementos dela;
A forma como os dados são inseridos ou removidos é que difere uma estrutura da outra!
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Tipos de Dados
Define a forma como um dado deve ser armazenado ou recuperado, bem como os possíveis valores que ele pode assumir ou as operações que podem ser efetuadas sobre os mesmos
Exemplo em Pascal:
integer permite valores inteiros e operações de adição, multiplicação, subtração e divisão;
string permite valores literais e operações de concatenação;
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Tipos de Dados
Primitivos, derivados ou coleções;
Os principais tipos primitivos são: inteiro, real, lógico, caracter, ponteiro;
Estáticos ou dinâmicos (instanciados em tempo de execução);
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Operações
Um conjunto de instruções a fim de manipular um determinado tipo de dado a fim algum objetivo;
Criação (declaração)
Percurso
Busca
Alteração
Retirada
Inserção (em tipos dinâmicos)
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Tipos Primitivos ou Escalares
Inteiro (integer, longint, etc.);
Real (real, double, etc.);
Lógico (boolean);
Caracter (char);
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Tipos Inteiros
Operações numéricas contidas no conjunto dos números inteiros:
Soma, subtração, multiplicação, divisão inteira, resto da divisão;
Permitem comparações de igualdade e/ou de desigualdade;
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Tipos Reais
Satisfaz as operações e comparações possíveis com tipos inteiros;
Operações numéricas contidas no conjunto dos números reais:
Soma, subtração, multiplicação, divisão;
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Tipos Lógicos
Permite operações lógicas (booleanas):
E, OU, NÃO;
Deve-se ter muito cuidado na construção de expressões lógicas
Quanto maiores elas são, maiores as chances de cometermos equívocos.
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Tipo Caracter
Permite a representação de um único caracter;
Operações de igualdade e desigualdade;
Por ser armazenado internamente como um valor inteiro, podemos fazer um “casting” e efetuar outras operações.
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Funções para conversão
De real para inteiro:
Trunc, Floor, Ceil, Round;
De caracter para inteiro:
Ord;
De inteiro para caracter:
Char;
Obs: Dependendo de quais os tipos/classes envolvidos, podemos efetuar “typecasting”;
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Tipos Coleções ou Não-Escalares
Vetor;
Registro;
Conjunto.
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Tipo Vetor
Coleção de dados homogênea indexada que pode ser acessada por meio de um índice numérico;
var v = array [1..5] of integer;
v[3];
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Tipo Registro
Coleção de dados heterogênea cujas informações podem ser acessadas por meio de um campo;
var r = record
c1: integer;
c2: boolean;
end;
r.c1;
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Tipo Conjunto
Coleção de objetos (ou informações) correlatos que podem estar presentes ou não em um dado momento;
var c = set of (V1, V2, V3);
c := [V1, V2];
V1 in c;
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Tipos Abstratos de Dados
Segundo a Wikipédia:
Especificação de um conjunto de dados e operações que podem ser executadas sobre esses dados;
Exemplo:
Quando usamos arrays e registros para criar uma estrutura de dados em vez de usar variáveis de tipos primitivos.
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Tipos Abstratos de Dados
Vetores, registros e conjuntos são interessantes...
... Mas há um problema, são estáticos!
O que acontece se eu tiver um vetor de 5 posições e precisar de outras 1000?
E se meu vetor tiver 100000 posições e eu somente uso 5, isso é bom?
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Alocação de Memória
Alocação estática Variável alocada ocupa espaço fixo e contíguo na memória;
Alocação dinâmica Variável alocada ocupa espaço variável e é criada segundo a necessidade do programa.
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Vantagens e Desvantagens da Alocação Dinâmica
Se alocamos dinamicamente, podemos aumentar e diminuir o tamanho de nossa estrutura quando quisermos!
Entretanto, necessitaremos de mais algumas operações para buscar, inserir e/ou remover informações;
Além disso, um array (estático) de vinte posições geralmente ocupa menos espaço que uma lista cujos elementos foram criados um a um dinamicamente.
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Referências Bibliográficas
[Não foram definidas]
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Matrizes
(Aula 2)
Christiano Lima Santos
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Sumário
Definição e Representação de Matrizes
Compactação de Matrizes
Matrizes Diagonais
Matrizes Triangulares
Matrizes Esparsas
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Definição e Representação de Matrizes
Na Matemática, uma matriz pode ser considerada um conjunto de informações numéricas que podem ser referenciadas por meio de dois parâmetros, comumente chamados linha e coluna;
A =
1 2 3 4
2 0 3 1
0 1 2 5
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Definição e Representação de Matrizes
Na Computação, podemos representar as matrizes matemáticas por meio de estruturas conhecidas como vetores ou arrays, onde cada posição/valor pode ser referenciada por um ou mais parâmetros (dependendo da quantidade de dimensões de nosso vetor);
var A = array [1..3, 1..4] of real;
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Definição e Representação de Matrizes
Enquanto que na Matemática uma matriz possui sempre duas dimensões, na Computação podemos chamar qualquer vetor de matriz, podendo assim ter uma ou mais dimensões;
Matrizes unidimensionais;
Matrizes bidimensionais;
Matrizes n-dimensionais.
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Compactação de Matrizes
Quanto memória ocupa uma matriz 5000 x 5000 de reais?
Um valor real = 4 bytes;
Aproximadamente 100 MB!
E se somente alguns poucos elementos da matriz fossem diferentes de zero, poderíamos reduzir o tamanho dela?
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Compactação de Matrizes
Como representar
de forma compactada:
Matrizes Diagonais;
Matrizes Triangulares;
Matrizes Esparsas;
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Matrizes Diagonais
Os elementos da diagonal de uma matriz são: a[1,1], a[2,2], a[3,3], ... a[n,n];
Podemos armazená-los, então, em uma matriz unidimensional de n elementos.
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Matrizes Triangulares
Podem ser superior ou inferior;
Podemos armazenar todos os elementos da parte triangular em uma matriz unidimensional de m elementos (inclui os elementos da diagonal).
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Matrizes Esparsas
Podem ser n-dimensionais;
Podemos armazenar somente os elementos diferentes de zero em uma matriz unidimensional;
Problemas:
Como saber qual o índice de cada elemento na matriz?
Armazenar também o índice (tupla índice-valor);
E se um dos elementos for alterado para um valor não-nulo?
Deve-se reservar algumas posições vazias para o caso de incluir novos elementos.
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Exercícios
De volta às aulas? De volta aos jogos.
Vamos criar um simulador de exploração espacial (modo texto, claro)! Crie um universo que possa ser “navegado tridimensionalmente” por meio da indicação de três coordenadas X, Y e Z, onde o jogador precisa pilotar uma nave até um dos planetas existentes.
O sistema de coordenadas de nosso “universo” vai de 0 a 4100 (para cada coordenada);
Temos um total de 100 planetas no espaço;
Para facilitar para o jogador, cada vez que ele indicar as coordenadas, dizer quão longe ele está do planeta mais próximo;
O jogo encerra quando ele encontrar um dos planetas;
Os planetas são criados em posições aleatórias a cada vez que é gerada uma nova partida;
E há um total de combustível para o jogador, o qual é consumido de acordo com a distância percorrida!
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Referências Bibliográficas
VELOSO, Paulo, SANTOS, Clésio, AZEREDO, Paulo, FURTADO, Antônio, Estruturas de Dados, Editora Campus Ltda
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Recursividade
(Aula 3)
Christiano Lima Santos
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Sumário
Definição de Recursão
Exemplo de Recursão
Recursão versus Iteração
Observações
Referências Bibliográficas
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Definição de Recursão
Possibilidade de um objeto buscar definir-se em função dele próprio;
Na Computação, um método é recursivo quando ele invoca a si próprio a fim de resolver um problema;
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Definição de Recursão
Na Matemática, podemos encontrar claramente a recursividade na resolução de problemas por meio de recorrência;
Fatorial de um número;
Potenciação;
Seqüência de Fibonacci.
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Exemplo de Recursão
Recorrência para encontrar um elemento da seqüência de Fibonacci:
x1 = 1;
x2 = 1;
xn = xn-1 + xn-2;
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Exemplo de Recursão
Função em Pascal:
function fibonacci(n: integer): integer;
begin
if (n < 1) then
fibonacci := 0
else if (n <= 2) then
fibonacci := 1
else
fibonacci := fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);
end;
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Recursão versus Iteração
Iteração na definição de algoritmos – cada um dos “passos”/repetições de um comando de repetição (“loop”);
Diversos problemas resolvidos de forma recursiva podem ser resolvidos de forma iterativa;
Chamadas recursivas precisam salvar o “contexto” atual da execução do programa a fim de recuperá-lo após a execução de cada chamada recursiva;
A implementação do cálculo do fatorial de forma iterativa, por exemplo, consome menos memória e processamento.
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Recursão versus Iteração
Por outro lado, há problemas que não podem ser resolvidos de forma iterativa;
Percorrer uma árvore para encontrar um elemento, por exemplo;
Além disso, recursão é muito útil na resolução de diversos problemas que possam se beneficiar do “dividir-para-conquistar”, exemplos:
Ordenação por meio de quicksort ou mergesort;
Programação dinâmica;
Diversas técnicas de busca em grafos.
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Observações
Quando escrevendo funções recursivas, atente-se a:
Ordem em que cada comando deve aparecer dentro da função – o resultado final pode ser totalmente diferente se trocarmos duas linhas de código de lugar!
Definição de todos os casos base – se esquecermos de definir um dos casos base e o algoritmo procurar por ele em algum momento, ele não saberá que é um caso de parada e continuará a sua execução, talvez indefinidamente!
Cuidado com a passagem de parâmetros por valor ou por referência.
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Referências Bibliográficas
COSTA, Raimundo M, Programação Pascal, 1995
WIKIPÉDIA, Recursividade em Ciência da Computação, disponível em http://pt.wikipedia.org/wiki/Recursividade_(ciência_da_computação)
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Noções de Complexidade de Algoritmos
(Aula 4)
Christiano Lima Santos
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Sumário
Motivação
Alguns Mitos
Como Medir a Eficiência de um Algoritmo?
Avaliação Empírica
Contagem do Número de Operações Efetuadas
Determinação da Complexidade Assintótica de um Algoritmo
Notação O
Notação Ω
Notação θ
Principais Classes de Comportamento Assintótico
Tabela Comparativa das Principais Classes
Os “Três Casos”
O Melhor Caso
O Pior Caso
O Caso Médio
Calculando a Complexidade para cada Caso
Referências Bibliográficas
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Motivação
Quais os dois recursos de hardware mais importantes para a execução de um algoritmo?
Tempo de processamento;
Quantidade de memória consumida;
Devemos, então, observar quanto de cada recurso nossos algoritmos consomem;
Temos que medir quanto de cada recurso nossos programas utilizam!
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Motivação
Um exemplo bem simples é o caso de dois programas que precisam fazer a ordenação de um grande conjunto de dados:
Cada qual deles pode usar uma abordagem bem diferente do outro;
Desta forma, cada qual pode resolver o problema com mais ou menos tempo, ocupando mais ou menos memória;
Como exímios Cientistas da Computação, buscamos sempre compreender e trabalhar com a melhor solução possível!
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Alguns Mitos
Basta um computador mais rápido para resolver o problema;
Pena que até mesmo um grande cluster com dezenas de computadores não conseguem resolver eficientemente alguns problemas somente por “força bruta”;
Ninguém efetua cálculo de complexidade ou busca de solução mais eficiente em um sistema!
É, se você considerar somente os sistemas do tipo “controle de locadora”, pois sistemas de tempo real, simulações físicas, sistemas para cálculos estatísticos e estimativas razoavelmente pesadas e tantos outros precisam!
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Alguns Mitos
Por que eu tenho que aprender sobre isso? Eu posso simplesmente contratar alguém!
Pois é, que tal alguém da área de Computação? Ei, esse alguém é você!
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Como Medir a Eficiência de um Algoritmo?
Avaliação empírica (medir o tempo de execução);
Contagem do número de operações efetuadas;
Determinação da complexidade assintótica de um algoritmo;
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Avaliação Empírica
Experimento 1: Verificar o tempo que dois programas levam para efetuar uma busca em um array e recuperar um dado;
Primeiro programa: 750 ns;
Segundo
programa: 600 ns;
Qual programa é mais eficiente?
E se o primeiro foi executado em um core duo de 2,4 GHz cada, e o segundo em um 486 DX2?
E se ambos foram executados na mesma máquina, mas o segundo executou em paralelo com algum outro programa?
Somente por avaliação empírica, conseguimos ter certeza de qual o programa mais eficiente?
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Considerações sobre a Avaliação Empírica
Em meu supercomputador o programa “rodou” normal...
... Mas nos computadores do cliente não!
Programas podem possuir “casos especiais” para alguns tipos de casos
Deve-se então aumentar o número de casos de testes tentando cobrir o maior número possível de situações;
Em uma dada linguagem, um programa pode ser mais eficiente do que quando implementado em outra linguagem;
Não estamos analisando o algoritmo em si, mas somente o programa!
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Contagem do Número de Operações Efetuadas
Experimento 2: Dado o algoritmo abaixo, vamos contar quantas operações são necessárias para calcular fatorial(5):
function fatorial (n: integer): longint;
var f, i: integer;
begin
if (n < 0) then
f := -1
else
begin
f := 1;
for i := 1 to n do
f := f*i;
end;
fatorial := f;
end;
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Contagem do Número de Operações Efetuadas
No algoritmo anterior:
fatorial(1) 5 operações;
fatorial(5) 13 operações;
fatorial(10) 23 operações;
fatorial(n) 2*n + 3;
Perceba que para calcular o fatorial de um número N qualquer, vamos executar 2*N operações, ou seja, um número de operações diretamente proporcional;
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Considerações do Número de Operações Efetuadas
Em Computação, geralmente não nos preocupamos com a eficiência do algoritmo quando tratando poucos elementos
Se são poucos, por pior que nosso algoritmo seja, provavelmente ele executará rápido e sem ocupar muito espaço!
2*n + 3 operações parecem piores que n2 operações para n = 0, 1 ou 2;
Entretanto, quanto maior o número de elementos ou o valor do dado de entrada...
Para n = 1.000, 2*n + 3 é 2003;
Mas e se nosso algoritmo executasse n2 operações? 1.000.000!
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Determinação da Complexidade Assintótica de um Algoritmo
Definição de Complexidade
Quantidade de "trabalho" necessária para a execução de um algoritmo, expressa em função das operações fundamentais, as quais variam de acordo com o algoritmo, e em função do volume de dados;
Complexidade Assintótica
Trata-se de uma função que expressa a relação entre o volume de dados ( n ) e o tempo ( t ) necessário para o processamento dos mesmos;
No algoritmo do experimento 2, poderíamos dizer que:
f(n) = 2*n + 3
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Determinação da Complexidade Assintótica de um Algoritmo
Notações O (“O Grande”), Ω (Omega) e θ (Theta);
Obs: Funções assintoticamente não-negativas;
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Notação O
Dadas duas funções f e g, diz-se que f está na ordem O de g ( f = O(g) ) se:
f(n) ≤ c * g(n)
Para algum c positivo e para todo n suficientemente grande.
g(n) é, então, o limite assintótico superior (upper bound) de f(n)
Exemplos:
3x2 + 5 = O ( x2 )
x3/2 = O ( x3)
1 + 2 + 3 + ... + x = O ( x2 )
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Notação Ω
Dadas duas funções f e g, diz-se que f está na ordem O de g ( f = Ω(g) ) se:
f(n) ≥ c * g(n)
Para algum c positivo e para todo n suficientemente grande.
g(n) é, então, o limite assintótico inferior (lower bound) de f(n)
Exemplos:
3x3 + 5 = Ω ( x2 )
x3/2 = Ω ( x3/3)
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Notação θ
Dadas duas funções f e g, diz-se que f está na ordem O de g ( f = θ(g) ) se:
f(n) ≥ c1 * g(n) e f(n) ≥ c2 * g(n)
Para algum c1 e c2 positivos e para todo n suficientemente grande.
Exemplo:
3x3+ 5 = θ ( x3 )
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Principais Classes de Comportamento Assintótico
O (1) : O uso do algoritmo independe do tamanho de n. Neste caso as instruções do algoritmo são executadas um número fixo de vezes;
O (log n): ocorre tipicamente em algoritmos que resolvem um problema transformando-o em problemas menores;
O (n): linear – Um conjunto de operações de tamanho constante é aplicado a cada elemento da entrada;
O (n log n): Ocorre em algoritmos que resolvem um problema quebrando-o em problemas menores, resolvendo cada um deles independentemente e depois juntando as soluções;
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Principais Classes de Comportamento Assintótico
O (n2): quadrático. Algoritmos desta ordem de complexidade ocorrem quando os itens de dados são processados aos pares, muitas vezes em um loop dentro de outro. Úteis para resolver problemas de tamanhos relativamente pequenos;
O (nk): polinomial – OK para k pequeno;
O (kn), O (n!), O (nn): exponencial – Geralmente não são úteis sob o ponto de vista prático. Eles ocorrem na solução de problemas quando se usa força bruta para resolvê-los.
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Tabela Comparativa das Principais Classes
Sheet1
CLASSE NOTAÇÂO O n=10 n=100 n=1000 ... n=1000000
constante O(1) 1 1 1 1
logaritmico O(lg n) 3.32 6.64 9.97 19.93
linear O(n) 10 100 1000 1000000
O(n lg n) O(n lg n) 33.2 664 9970 199,3*10^5
quadrático O(n²) 100 10000 1000000 10^12
cúbico O(n³) 1000 1000000 10^9 10^18
exponencial O(2^n) 1024 10^30 10^301 10^301030
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Os “Três Casos”
Para qualquer algoritmo, sempre há situações em que ele resolverá de forma muito rápida e outras em que “nem tanto”;
Exemplo: ordenação dos dados de um vetor
Se ele já estiver ordenado? Ótimo!
E se os dados estiverem em ordem inversa? Dependendo do algoritmo, pode ser muito ruim;
Desta forma, para determinar a eficiência de um algoritmo, precisamos conhecer a sua complexidade para o melhor caso, o pior caso e o caso médio.
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Melhor Caso
Caso para o qual o algoritmo executa da melhor forma possível:
Menor número de instruções;
Menor tempo de processamento necessário;
Menor consumo de memória.
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Pior Caso
Ao contrário do melhor caso, este é o caso para o qual o algoritmo executa da pior forma possível;
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Caso Médio
A complexidade para o caso médio é dada por meio de cálculo tempo médio esperado para a resolução de um problema qualquer, independente de como os dados estão (se ordenados ou não, etc);
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Calculando a Complexidade Para Cada Caso
Geralmente, é necessário conhecer qual o volume de dados que atende a cada um dos casos e, então, busca-se definir a função matemática que expressa o número de operações necessárias para cada caso;
No caso de algoritmos recursivos, deve-se determinar primeiro a fórmula de recorrência capaz de expressá-los e, então, “resolvê-la”.
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Referências Bibliográficas
MADEIRA, Gonçalo, Complexidade Computacional, disponível em http://w3.ualg.pt/~hshah/algoritmos/aula8/Aula8.htm
SILVA, Elton, Análise Assintótica da Complexidade de Algoritmos, disponível em http://www.decom.ufop.br/prof/elton/cic210/cap2.pdf
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Exercícios Sobre Matrizes, Recursividade e Complexidade de Algoritmos
(Aula 5)
Christiano Lima Santos
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Primeiro Exercício
Implemente um programa capaz de armazenar e recuperar dados de uma matriz triangular
inferior;
Qual a ordem de complexidade desse algoritmo para:
Armazenar n elementos;
Para recuperar um elemento qualquer, dada a sua posição na matriz inicial;
Para buscar a posição de um elemento qualquer, dado o valor do elemento;
Você consegue identificar quais são os casos pior, médio e melhor?
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Segundo Exercício
Implemente um programa que localiza uma substring dentro de outra string;
Qual a ordem de complexidade desse algoritmo para:
Encontrar uma letra em uma frase de tamanho N;
Encontrar uma palavra de tamanho K em uma frase de tamanho N;
Você consegue identificar quais são os casos pior, médio e melhor?
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Terceiro Exercício
Implemente um programa que armazena os telefones armazenados em ordem alfabética de acordo com os nomes das pessoas seguindo a seguinte “fórmula”:
Toda vez que for inserir um novo telefone, procura qual será a posição correta dele e, para inseri-lo ali, move antes todo mundo daquela posição em diante para uma após e, então, copia seus dados para lá (inserção direta);
Qual a ordem de complexidade deste algoritmo?
Você consegue identificar quais são os casos pior, médio e melhor?
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Quarto exercício
Implemente a função de potenciação de forma recursiva;
Qual a complexidade deste algoritmo?
Faça uma comparação das vantagens e desvantagens desta implementação em relação à iterativa.
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Ponteiros e Alocação Dinâmica
(Aula 6)
Christiano Lima Santos
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Sumário
Motivação;
Definição de ponteiro;
Tipos de ponteiro;
Apontando para um endereço nulo;
Apontando e recuperando uma variável;
Apontando e Invocando um Subprograma;
Alocação Dinâmica de Memória;
Alocando e desalocando memória;
Referências Bibliográficas.
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Motivação
Por que estudar alocação dinâmica se podemos criar todas as estruturas de forma estática?
O que acontece em um programa com alocação estática quando precisamos de estruturas maiores do que as que foram criadas?
Ponteiros e alocação dinâmica permite-nos criar diversos Tipos Abstratos de Dados;
É fácil criá-los somente com alocação estática? Como seria?
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Definição de ponteiro
Tipo de variável que “aponta” para um outro endereço de memória;
O conteúdo de uma variável ponteiro é o endereço de memória para o qual está apontando;
Um ponteiro pode referenciar e “des-referenciar”;
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Definição de ponteiro
Um ponteiro pode apontar para:
Uma área com informação (uma variável ou conteúdo de uma variável);
Uma rotina (procedimento ou função);
Endereço nulo.
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Tipos de Ponteiro
Tipado – irá interpretar o dado do endereço referenciado segundo o seu tipo;
Declaração:
var p : ^integer;
Não-Tipado – não está associado a um tipo, logo, é necessário fazer o typecasting da informação referenciada a fim de acessá-la;
Declaração:
var p : Pointer;
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Apontando para um endereço nulo
Em Pascal, nil representa um endereço nulo que qualquer ponteiro pode apontar;
ponteiro := nil;
if ponteiro = nil then
writeln(‘Não está apontando’)
else
writeln(‘Está apontando para ’, ponteiro);
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Apontando e Recuperando uma variável
program ponteiro1;
uses crt;
var p: ^integer;
a: integer;
BEGIN
a := 12;
p := @a;
writeln(‘O endereço de a é: ’, p);
writeln(‘O valor de a é: ’, p^);
p^ := 6;
writeln(‘O novo valor de a é: ’, p^, ‘. Confirmando: ’, a);
readkey;
END.
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Apontando e Invocando um Subprograma
program ponteiro2;
uses crt;
var D: procedure(Arg: Byte);
procedure rotina1(Arg: Byte);
Begin
writeln('Rotina 1 recebeu ', Arg);
end;
procedure rotina2(Arg: Byte);
Begin
writeln('Rotina 2 recebeu ', Arg);
end;
BEGIN
D := @rotina2;
D(10); { Irá imprimir: 'Rotina 2 recebeu 10' }
END.
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Alocação Dinâmica de Memória
É a criação (reserva) de um endereço de memória para uma dada variável do tipo ponteiro;
Geralmente, quando alocamos dinamicamente um endereço de memória, devemos desalocá-la (na alocação estática, o compilador é encarregado disso).
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Alocando e Desalocando Memória
program ponteiro3;
uses crt;
var p: ^integer;
BEGIN
new(p);
p^ := 12;
writeln(‘Endereço apontado: ’, p);
writeln(‘Valor armazenado: ’, p^);
readkey;
dispose(p);
END.
Não confunda nil com new!
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Referências Bibliográficas
Blog de João Morais, http://blog.joaomorais.com.br/2008/08/23/ponteiros.html
http://www2.dc.ufscar.br/~bsi/materiais/ed/u7.html
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Listas
(Aula 7)
Christiano Lima Santos
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Sumário
Definição de Lista
Características
Tipos de Implementação
Lista Seqüencial
Lista Encadeada ou Dinâmica
Outros Tipos de Listas
Implementação de uma Lista
Referências Bibliográficas
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Definição de Lista
TAD que permite representação e manipulação de seus elementos de forma linear;
Também chamada lista linear;
L e1, e2, ... , en;
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Características
Uma coleção de dados homogênea;
Itens dispostos em seqüência;
Quantificável;
Ordenável;
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Tipos de Implementação
Seqüencial
Encadeada ou Dinâmica
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Lista Seqüencial
Os itens são armazenados em posição contígua na memória;
Podem ser implementadas por meio de um array!
O programa executa um determinado cálculo para encontrar a posição na memória em que se encontra o elemento ei;
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Lista Encadeada ou Dinâmica
A lista cresce dinamicamente, isto é, cada novo elemento é criado e inserido nela em tempo de execução;
Se é criado em tempo de execução, precisamos usar ponteiros... Onde estará o ponteiro para cada elemento?
Cada elemento possui o ponteiro para o próximo elemento;
Listas podem ser encadeadas, duplamente encadeadas ou n-uplamente encadeadas (só depende de sua criatividade)!
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Outros Tipos de Listas
Podemos precisar de listas que satisfaçam certas restrições quanto à forma de recuperar um elemento ou de inserção do mesmo;
Pilhas;
Filas.
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Implementação de uma Lista
Lista Seqüencial
var lista: array [1..N] of integer;
Lista Encadeada
type PNo = ^TNo;
TNo = record
valor: integer;
proximo: PNo;
end;
var lista: TNo;
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Referências Bibliográficas
[Não foram definidas]
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Buscas em Listas
(Aula 8)
Christiano Lima Santos
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Sumário
Definição de Busca
Tipos de Busca
Busca Seqüencial
Implementação
Complexidade
Busca Binária
Implementação
Complexidade
Busca Interpolada
Implementação
Complexidade
Comparando os Três Métodos
Referências Bibliográficas
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Definição de Busca
Operação de percurso de uma estrutura de dados e recuperação de uma informação baseado em algum campo-chave;
Recuperação de informações em uma lista é uma operação importante e o tempo que operações de inserção, remoção e busca levam para serem processadas afetam diretamente a eficiência de um algoritmo.
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Tipos de Busca
Busca Seqüencial baseia-se no percurso de todos os elementos de uma lista de forma seqüencial;
Busca Binária baseia-se no percurso dos elementos de uma lista levando em consideração o valor de chave esperado e o valor encontrado;
Busca Interpolada similar à busca binária, introduz cálculo de próxima posição a ser verificada levando em consideração os valores dos “elementos-limite”.
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Busca Seqüencial
“Se você não sabe por onde começar, comece pelo começo”;
Não se conhece uma ordenação dentro da lista;
Somos forçados a verificar um por um.
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Busca Seqüencial - Implementação
function buscaSeq(lista: TLista; tamanho, chave: integer): integer;
var i : integer;
Begin
For i := 1 to tamanho do
If lista[i] = chave then
Begin
buscaSeq := i;
exit;
End;
buscaSeq := -1;
End;
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Busca Seqüencial - Complexidade
Qual a complexidade para:
O melhor caso;
O pior caso;
O caso médio.
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Busca Binária
Quando os elementos de uma lista estão ordenados segundo um campo-chave, podemos tirar proveito disso;
O primeiro elemento é o menor;
O último elemento é o maior;
O elemento do meio... é o do meio!
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Busca Binária
Suponha uma lista com valores ordenados de forma crescente;
Dado um intervalo [A, B] (inicialmente, A é 1 e B é o tamanho da lista), calculo um elemento X = floor((A + B) / 2);
Se lista[X] é o valor que procuro, retorno a posição / elemento encontrado;
Senão, se lista[X] é maior que o valor que procuro, então devo olhar o intervalo que possui os valores menores que lista[X], ou seja, [A, X-1];
Senão, se lista[X] é menor que o valor que procuro, então devo olhar o intervalo que possui os valores maiores que lista[X], ou seja, [X+1, B];
Repito todo o processo até encontrar (ou não!) o elemento.
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Busca Binária - Implementação
function buscaBin(lista: TLista; tamanho, chave: integer): integer;
var A, B, X: integer;
Begin
A := 1;
B := tamanho;
While (A <= B) do
Begin
X := floor( (A + B) / 2);
If lista[X] = chave then
Begin
buscaBin := X;
exit;
End
Else If lista[X] < chave then
A := X + 1
Else
B := X - 1;
End;
buscaBin := -1;
End;
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Busca Binária - Complexidade
Qual a complexidade para:
O melhor caso;
O pior caso;
O caso médio.
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Busca Interpolada
Similar à busca binária, leva em conta a ordenação dos dados de uma lista;
Entretanto, em vez de “olhar” sempre o elemento mediano, efetua um cálculo que busca estimar onde o elemento desejado deve estar.
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Busca Interpolada
Se tenho uma lista ordenada crescente com 50 elementos, o primeiro é o 1 e o último é o 1000, onde provavelmente estará o 999?
Próximo do início;
No meio;
Próximo do fim.
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Busca Interpolada
Basta mudar o cálculo do termo X:
X := 1 + floor((tamanho - 1)*(chave – lista[A])/(lista[B] – lista[A]));
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Busca Interpolada - Implementação
function buscaInterp(lista: TLista; tamanho, chave: integer): integer;
var A, B, X: integer;
Begin
A := 1;
B := tamanho;
While (A <= B) do
Begin
X := 1 + floor((tamanho - 1)*(chave – lista[A])/(lista[B] – lista[A]));
If lista[X] = chave then
Begin
buscaInterp := X;
exit;
End
Else If lista[X] < chave then
A := X + 1
Else
B := X - 1;
End;
buscaInterp := -1;
End;
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Busca Interpolada - Complexidade
Qual a complexidade para:
O melhor caso;
O pior caso;
O caso médio.
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Comparando os Três Métodos
Em que ocasiões o busca seqüencial é melhor?
O que é melhor: busca interpolada ou busca binária?
E se na busca binária / interpolada comparássemos também os valores dos extremos com o valor da chave, melhoraríamos a eficiência?
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Referências Bibliográficas
[Não foram definidas]
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Listas Encadeadas
(Aula 9)
Christiano Lima Santos
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Sumário
Definição de Lista Encadeada
Listas Encadeadas Estáticas
Listas Encadeadas Dinâmicas
Listas Encadeadas Simples
Operações em Listas Encadeadas
Definindo nossa Lista Encadeada
Inserção na Lista Encadeada
Busca na Lista Encadeada
Remoção na Lista Encadeada
Referências Bibliográficas
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Definição de Lista Encadeada
Toda lista linear onde cada elemento (geralmente chamado nó) possui algum apontador para o próximo elemento;
Esse encadeamento produz a estrutura linear da lista.
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...
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Lista Encadeadas Estáticas
Alguns autores consideram a possibilidade de listas encadeadas criadas de forma estática;
Exemplo de lista encadeada não dinâmica;
O apontadores são inteiros.
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Listas Encadeadas Dinâmicas
Permitem a inserção de novos elementos com menos restrições quanto à posição (não precisa ser contígua) ou quantidade.
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Listas Encadeadas Simples
Cada nó possui um único apontador para o próximo nó;
Para fins de facilitar a inserção, alteração (quando ordenada), remoção e busca pelo valor presente em um nó qualquer da lista, podemos eleger um campo (ou atributo) do nó para ser o campo-chave do mesmo;
Podem ser implementadas com listas seqüenciais ou dinâmicas.
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Operações em Lista Encadeada
Criação;
Inserção;
Busca / Recuperação;
Remoção.
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Definindo Nossa Lista Encadeada (opção 1)
type PNo = ^TNo;
TNo = record
valor: integer;
proximo: PNo;
end;
TLista = PNo;
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Definindo Nossa Lista Encadeada (opção 2)
type PNo = ^TNo;
TNo = record
valor: integer;
proximo: PNo;
end;
TLista = record
primeiro: PNo;
ultimo: PNo;
tamanho: integer;
end;
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Inserção na Lista Encadeada
//Inserção no fim da Lista
procedure inserirFim(var a: TLista; var v: integer);
var p, t: PNo;
Begin
new(p);
p^.valor := v;
p^.proximo := nil;
if a = nil then
a := p
else
begin
t := a;
while (t^.proximo <> nil) do
t := t^.proximo;
t^.proximo := p;
end;
end;
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Inserção na Lista Encadeada
//Inserção no início da Lista
procedure inserirInicio(var a: TLista; var v: integer);
var p, t: PNo;
Begin
new(p);
p^.valor := v;
p^.proximo := a;
a := p;
end;
*
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Inserção na Lista Encadeada
//Inserção ordenada
procedure inserirOrdenado(var a: TLista; var v: integer);
var p, t: PNo;
Begin
new(p);
p^.valor := v;
p^.proximo := nil;
if a = nil then
a := p
else if a^.valor >=
v then
begin
p^.proximo := a;
a := p;
end
else
begin
t := a;
while ((t^.proximo <> nil) && ((t^.proximo^).valor < v)) do
t := t^.proximo;
if (t.proximo = nil) then
t^.proximo := p
else
begin
p^.proximo := t^.proximo;
t^.proximo := p;
end;
end;
end;
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Busca na Lista Encadeada
//Busca Seqüencial
function buscaSeq(a: TLista; v: integer): PNo;
var t: PNo;
Begin
t := a;
while ((t <> nil) && (t^.valor <> v))
t := t^.proximo;
buscaSeq := t;
End;
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Busca na Lista Encadeada
Em Listas Encadeadas Dinâmicas, Busca Binária ou Interpolada, é possível? Há vantagens em seu uso em relação à Busca Seqüencial?
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Remoção na Lista Encadeada
Como seria a remoção de um elemento em uma lista encadeada? E a remoção de todos os elementos?
No caso de remoção de um elemento (e), tomar o cuidado para garantir que o anterior (t) dele passe a apontar para o sucessor dele (t.proximo := e.proximo);
No caso de remoção de todos os elementos, a idéia é percorrer todos os elementos da lista, removendo-os (dispose);
Cuidado para não remover um elemento antes de guardar a referência para o próximo como saber quem é o próximo elemento de um elemento que não mais existe?
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Referências Bibliográficas
[Não foram definidas]
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Pilhas & Filas
(Aula 10)
Christiano Lima Santos
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Sumário
Definição de Pilha
Exemplo de Pilha no Mundo Real
Implementação de uma Pilha
Definição de Fila
Exemplo de Fila no Mundo Real
Implementação de uma Fila
Exercícios
Referências Bibliográficas
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Definição de Pilha
Toda lista linear onde o último elemento a entrar é o primeiro a sair (ou o primeiro a entrar é o último a sair, FILO);
Para satisfazer esta condição, basta que a inserção e remoção sejam feitas na mesma extremidade da lista (head);
Obviamente, não é necessário ordenar;
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Exemplo de Pilha no Mundo Real
Um baralho de cartas, colocadas uma a uma sobre a mesa, umas sobre as outras, formando um monte;
A carta mais ao topo (a primeira a ser removida) foi a última a ser colocada sobre o monte;
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Implementação de uma Pilha
type PNo = ^TNo;
TNo = record
valor: integer;
proximo: PNo;
end;
TPilha = record
head: PNo;
end;
function push(var pilha: TPilha; valor: integer): Boolean;
function pop(var pilha: TPilha): integer;
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Implementação de uma Pilha
Push: Nada mais é que o nosso método inserirInicio!
Pop: Como devemos inserir e remover da mesma extremidade da lista, devemos então remover do início, devolvendo então o valor daquele elemento.
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Implementando o Método Push
function push(var pilha: TPilha; valor: integer): Boolean;
var p, t: PNo;
Begin
new(p);
p^.valor := v;
p^.proximo := pilha.head;
pilha.head := p;
push := true;
end;
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Implementando o Método Pop
function pop(var pilha: TPilha): integer;
var p: PNo;
Begin
if (pilha.head = nil) then
pop := -1
else
begin
p := pilha.head;
pilha.head := pilha.head^.proximo;
pop := p^.valor;
dispose(p);
end;
end;
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Definição de Fila
Toda lista linear onde o primeiro elemento a entrar é o primeiro a sair (FIFO);
Para satisfazer esta condição, basta que a inserção seja feita em uma extremidade (tail) da lista e a remoção seja feita na outra extremidade (head);
Obviamente, também não é necessário ordenar;
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Exemplo de Fila no Mundo Real
Muitas coisas são ordenadas por fila;
A fila de um banco por exemplo;
... e a fila do RESUN?
Muitos processos e requisições em um computador são organizados e gerenciados por meio de filas.
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Implementação de uma Fila
type PNo = ^TNo;
TNo = record
valor: integer;
proximo: PNo;
end;
TFila = record
head: PNo;
tail: PNo;
end;
function push(var pilha: TFila; valor: integer): Boolean;
function pop(var pilha: TFila): integer;
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Implementação de uma Fila
Push: Apesar de inserir no final, nós não precisaremos percorrer toda a fila para inserir no fim;
Nós mantemos um ponteiro para o último elemento!
Pop: A remoção continua sendo feita na cabeça, o que facilita muito as coisas.
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Implementando o Método Push
function push(var fila: TFila; valor: integer): Boolean;
var p, t: PNo;
Begin
new(p);
p^.valor := v;
p^.proximo := nil;
if (fila.tail = nil) then
fila.head := p
else
fila.tail^.proximo := p;
fila.tail := p;
push := true;
end;
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Implementando o Método Pop
function pop(var fila: TFila): integer;
var p: PNo;
Begin
if (fila^.head = nil) then
pop := -1;
else
begin
p := fila;
fila^.head := fila^.head^.proximo;
if (fila^.head = nil) then
fila^.tail := nil;
pop := p^.valor;
dispose(p);
end;
end;
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Exercício
Crie um jogo para ser disputado por duas pessoas com dois “modos” (o modo pilha e o modo fila) e a opção de sair;
Primeiro, Deve-se escolher quantos números serão embaralhados e ocultos e qual o modo de organização dos mesmos;
Em segundo lugar, o jogo deverá ir inserindo cada número (0 <= K <= 9) na pilha/fila, mostrando um de cada vez na tela (lembre-se de limpar ela por inteiro a cada número mostrado);
Após isso, os jogadores devem alternar-se tentando adivinhar qual o próximo número a ser removido do jogo. Ganha quem não errar. Caso acabem todos os números, declarar empate;
Quando os jogadores escolherem sair, mostrar o placar final e encerrar o jogo.
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Referências Bibliográficas
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Outros Tipos de Listas
(Aula 11)
Christiano Lima Santos
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Sumário
Lista Duplamente Encadeada
Declaração
Operações
Lista Circular
Declaração
Operações
Exercícios
Referências Bibliográficas
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Lista Duplamente Encadeada
Uma estrutura de dados linear que se utiliza de dois ponteiros (um apontando o elemento anterior e outro o posterior) a fim de permitir percorrer a mesma não somente avançando, como também recuando;
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Lista Duplamente Encadeada
Vantagem:
Facilidades na hora de procurar um elemento, principalmente se o mesmo estiver antes da atual posição pesquisada;
Desvantagem:
Nas inserções, remoções e alterações, isso significa mais ponteiros para atualizar, o que pode levar programadores não muito bons a cometer falhas (o que não é o caso de vocês!).
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Declaração de uma Lista Duplamente Encadeada (opção 1)
type PNo = ^TNo;
TNo = record
valor: integer;
anterior: PNo;
proximo: PNo;
end;
TLista = PNo;
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Declaração de uma Lista Duplamente Encadeada (opção 2)
type PNo = ^TNo;
TNo = record
valor: integer;
anterior: PNo;
proximo: PNo;
end;
TLista = record
primeiro: PNo;
ultimo: PNo;
tamanho: integer;
end;
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Operações em Lista Duplamente Encadeada
Operações Básicas:
Criação;
Inserção;
Busca / Recuperação;
Remoção;
Como seriam essas operações em uma Lista DE se ela não estiver ordenada? E se estiver ordenada?
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Lista Circular
Estrutura de dados linear em que o último elemento aponta para o primeiro;
Lista em que todo elemento possui um “sucessor” (o sucessor do último é o primeiro elemento);
Pode-se adotar encadeamento simples, duplo ou outro qualquer;
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Lista Circular
Observações:
Não há mais elementos apontando para nil, logo não podemos mais identificar o último elemento desta forma!
Mas podemos parar quando percebermos que o próximo é o “primeiro elemento” (apontado pela lista circular);
Podemos até mesmo deslocar a “cabeça” da lista sem que se perca a referência para nenhum dos elementos;
Mas isso não é interessante caso a lista seja ordenada.
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Declaração de uma Lista Circular (opção 1)
type PNo = ^TNo;
TNo = record
valor: integer;
proximo: PNo;
end;
TLista = PNo;
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Declaração de uma Lista Circular (opção 2)
type PNo = ^TNo;
TNo = record
valor: integer;
proximo: PNo;
end;
TLista = record
primeiro: PNo;
tamanho: integer;
end;
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Operações em Lista Circular
Operações Básicas:
Criação;
Inserção;
Busca / Recuperação;
Remoção;
Como seriam essas operações em uma Lista Circular se ela não estiver ordenada? E se estiver ordenada?
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Exercícios
Implemente as operações de inserção, busca, alteração e remoção para:
Lista duplamente encadeada não-ordenada;
Lista duplamente encadeada ordenada;
Lista circular.
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Referências Bibliográficas
[Não foram definidas]
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Árvores
(Aula 12)
Christiano Lima Santos
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Sumário
Definição de Árvore
Representação Gráfica
Classificação das Árvores
Declaração de uma Árvore N-ária
Declaração de uma Árvore Não N-ária
Nível de um Nó
Altura ou Profundidade de uma Árvore
Percurso de uma Árvore
Inserção em uma Árvore
Remoção em uma Árvore
Árvores Binárias
Árvores Binárias de Busca
Inserção em uma Árvore Binária de Busca
Busca em uma Árvore Binária de Busca
Deleção em uma Árvore Binária de Busca
Comparações entre Ordens de Complexidade
Referências Bibliográficas
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Definição de Árvore
Estrutura de dados não linear;
Um grafo totalmente conexo e acíclico;
Analogia a uma árvore (reino vegetal):
Raiz;
Folhas;
“galhos” ou sub-árvores – conceito de poda.
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Representação Gráfica
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Classificação das Árvores
Uma árvore pode ser classificada de diversas formas diferentes, uma delas é pelo número máximo de nós-filhos que cada nó-pai pode ter:
Binária (dois nós);
Ternária (três nós);
Quaternária (quatro nós);
N-ária (N nós);
Não N-ária (quando não conhecemos ou não há um número máximo de nós-filhos para cada nó-pai).
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Declaração de uma Árvore N-ária
const N = 2;
type
PNo = ^Tno;
TNo = record
valor: integer;
filhos: array [1..N]
of PNo;
end;
TArvore = PNo;
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Declaração de uma Árvore Não N-ária
type
PNo = ^TNo;
TNo = record
valor: integer;
irmao: PNo;
filho: PNo;
end;
TArvore = PNo;
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Nível de um Nó
Refere-se à distância do mesmo até a raiz;
0
1
2
3
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Altura ou Profundidade de uma Árvore
É o nível máximo que um nó da árvore atinge;
0
1
2
3
A altura desta árvore é 3! Ela possui 4 níveis!
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Percurso de uma Árvore
Também conhecido como travessia;
Consiste em percorrer (em uma dada ordem) todos os nós de um árvore ou até encontrar algum que satisfaça ao problema em questão;
É empregado, por exemplo, na busca de um nó a partir de uma chave;
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Percurso de uma Árvore
Tipos
Pré-ordem / pre-order;
Em-ordem / in-order;
Pós-ordem / pos-order.
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Percurso Pré-Ordem
Processa primeiro a informação do nó atual, para só então processar a informação de seus filhos;
função x (no)
Início
processa no;
aplica função x para cada filho de no;
Fim;
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Percurso Pré-Ordem
function buscaTelefone(no: PNode; nome: String): String;
var s: String;
Begin
if no = nil then
buscaTelefone := “”
else if no.nome = nome then
buscaTelefone := no.telefone
else
begin
s := buscaTelefone(no.filho1, nome);
if s <> “” then
buscaTelefone := s
else
begin
s := buscaTelefone(no.filho2, nome);
if s <> “” then
buscaTelefone := s
else
buscaTelefone := “”;
end;
end;
End;
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Percurso Em-Ordem
Neste caso, um filho (ou parte dos filhos) é processado primeiro, o nó atual é então processado e, por fim, o outro filho (ou parte dos filhos);
função x (no)
Início
aplica função x para parte dos filhos de no;
processa no;
aplica função x para parte dos filhos de no;
Fim;
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Percurso Pós-Ordem
Neste caso, todos os filhos do nó atual devem ser processados antes que o mesmo o seja;
função x (no)
Início
aplica função x para cada filho de no;
processa no;
Fim;
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Inserção em uma Árvore
Cria-se o novo nó (método new) e popula-se o mesmo com as informações desejadas;
Pode utilizar algum critério para determinar em qual nó e em qual posição o novo nó deverá ficar;
O pai deve apontar para o filho.
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Remoção em uma Árvore
Utiliza-se de um outro ponteiro ( t ) para apontar para o objeto que se deseja remover;
Após isso, reorganiza-se seus filhos a fim de que seu pai possa apontara para esses e ninguém ficar “abandonado”, eliminando o vínculo entre a árvore e o nó-alvo;
Por fim, elimina-se o nó (método dispose);
E se nosso objetivo for remover TODOS os nós de uma árvore, qual método de percurso você utilizaria? Por quê?
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Árvores Binárias
Árvores onde cada nó possui no máximo dois filhos;
Muito usadas em computação;
Cada nível pode ter no máximo 2N nós, onde N é o valor do nível;
Quantidade de níveis que uma árvore binária com N nós pode ter:
Máximo: N; (árvore degenerada)
Mínimo: Log2 N + 1; (árvore completa)
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Árvores Binárias
Dado um nó qualquer, ele possuirá uma sub-árvore esquerda e uma sub-árvore direita (podendo qualquer uma delas ou ambas não possuir elementos);
Sub-árvore
esquerda
Sub-árvore
direita
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Árvores Binárias de Busca
Ou árvores de busca binária (tanto faz!);
São árvores em que é possível determinar
em que direção buscar um dado nó a partir do valor do pai e levando-se em consideração alguma regra quanto à disposição dos filhos;
Nós com valores menores que o pai à esquerda, nós com valores maiores que o pai à direita;
Nós que satisfazem uma condição expressa pelo pai de um lado e nós que não satisfazem do outro;
O que acontecerá se a árvore de busca não estiver bem balanceada?
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Inserção em uma Árvore Binária de Busca
function inserir(var arvore: TArvore; valor: integer): boolean;
var p, t: PNode;
Begin
new(p);
p.valor := valor;
p.filho[1] := nil;
p.filho[2] := nil;
if arvore = nil then
arvore := p
else
begin
t := arvore;
while t <> nil do
begin
if (t^.valor > valor) then
begin
if t^.filho[1] = nil then
begin
t^.filho[1] := p; inserir := true; exit;
end
else
t := t^.filho[1];
end
else if t^.valor < valor then
begin
if t^.filho[2] = nil then
begin
t^.filho[2] := p; inserir := true; exit;
end
else
t := t^.filho[2];
end
else
begin
inserir := false;
exit;
end;
end;
inserir := false;
end;
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Busca em uma Árvore Binária de Busca
function buscar(arvore: TArvore; valor: integer): PNode;
var t:PNode;
Begin
if (arvore = nil) then
buscar := nil
else
begin
t := arvore;
while (t <> nil) do
begin
if t^.valor > valor then
t := t^.filho[1]
else if t^.valor < valor then
t := t^.filho[2]
else
begin
buscar := t;
exit;
end;
end;
buscar := nil;
end;
end;
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Deleção em uma Árvore Binária de Busca
Caso 1: Remover um nó que não possui filhos
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Deleção em uma Árvore Binária de Busca
Caso 2: Remover um nó que possui um filho
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Deleção em uma Árvore Binária de Busca
Caso 3: Remover um nó que possui dois filhos
Escolher o nó mais à esquerda da sub-árvore direita (ou mais à direita da sub-árvore esquerda) para “substituí-lo;
Com isso, teremos que remover o nó selecionado de onde ele está abordagem recursiva.
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Comparações entre Ordens de Complexidade
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Referências Bibliográficas
[Não foram definidas]
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Árvores AVL
(Aula 13)
Christiano Lima Santos
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Sumário
Definição de Árvore AVL
Representação Gráfica
Operações
Inserção
Remoção
Rotação
Simples
À Esquerda
À Direita
Dupla
Pesquisa
Referências Bibliográficas
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Definição de Árvore AVL
Trata-se de uma Árvore de Busca Binária Auto-Balanceada, isto é, que mantém o balanceamento de sua árvore em cada operação executada;
A maior diferença possível entre os níveis de dois nós-folhas é 1;
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Representação Gráfica
Árvore Não-Balanceada
Árvore AVL (Balanceada)
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Operações
Inserção
Remoção
Rotação
Simples (à esquerda ou à direita);
Dupla.
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Inserção
Efetua-se a busca pelo nó (igual a qualquer outra árvore de busca binária);
Insere-se o nó;
Verifica-se se ela está balanceada, caso não esteja, efetuar rotação (simples ou dupla) até que esteja.
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Remoção
Efetua-se a busca pelo nó (igual a qualquer outra árvore de busca binária);
Rotaciona-se até que o mesmo seja um nó-folha e remova-o;
Por quê? A remoção de um nó sem filhos é o caso mais simples!
Verifique se a árvore se encontra balanceada, caso não esteja, efetue rotações.
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Rotação
Operação em que a ordem dos nós em uma árvore de busca binária pode ser invertida a fim de manter o balanceamento da mesma;
Pode ser simples (um único passo, rotacionando à esquerda ou à direita) ou dupla (efetuando mais de uma vez a rotação, em qualquer combinação de rotações simples);
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Rotação Simples
Ocorre quando o nó desbalanceado e o seu filho estão no mesmo sentido de inclinação da árvore;
Formam “uma linha reta”;
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Rotação à Esquerda
Dado um nó X com um filho à direita Y e este tendo um filho à esquerda Z;
Pseudo-código:
Seja Y o filho à direita de X;
Torne X o filho à esquerda de Y;
Torne o filho à esquerda de Y (Z) o filho à direita de X;
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Rotação à Direita
Dado um nó X com um filho à esquerda Y e este tendo um filho à direita Z;
Pseudo-código:
Seja Y o filho à esquerda de X;
Torne X o filho à direita de Y;
Torne o filho à direita de Y (Z) o filho à esquerda de X;
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Rotação Dupla
Ocorre quando o nó desbalanceado está em um sentido da inclinação e o seu filho em outro;
Formam, assim, “um joelho”.
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Pesquisa
O tempo médio para encontrar um elemento em uma árvore AVL é da ordem de O (log n)
Aproximadamente 1.44 log2 n no pior caso
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Referências Bibliográficas
http://www.csi.uottawa.ca/~stan/csi2514/applets/avl/BT.html - Aplicação interessante para compreender árvores AVL
http://pt.wikipedia.org/wiki/Árvore_AVL
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Classificação de Dados
(Aula 14)
Christiano Lima Santos
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Sumário
Por que estudar métodos para classificação de dados?
Alguns tipos de algoritmos de classificação
Seleção Direta (Selection Sort)
Inserção Direta (Insertion Sort)
Método da Bolha (Bubble Sort)
Método do Balde (Bucket Sort)
QuickSort
MergeSort
HeapSort
Referências Bibliográficas
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Por que estudar métodos para classificação de dados?
Qual a importância da ordenação dos dados quando se deseja uma busca mais eficiente ou classificar os mesmos segundo algum critério?
Há muita diferença entre o tempo de processamento de um algoritmo de ordenação O(n log n) e o tempo de um algoritmo de ordenação O(n2), quando executados sobre uma base com um milhão de dados?
Sendo assim, torna-se interessante o estudo dos diversos tipos de algoritmos de ordenação?
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Alguns Tipos de Algoritmos de Classificação
Seleção direta (selection sort)
Inserção direta (insertion sort)
Método da Bolha (bubble sort)
Método do “Balde” (bucket sort)
Quicksort
Mergesort
Heapsort
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Seleção Direta (Selection Sort)
Definição
Trata-se de um algoritmo de comparação in-loco, isto é, executa comparações e operações de troca na própria estrutura original, sem necessidade de usar uma estrutura auxiliar;
É o algoritmo mais simples de implementar, infelizmente, é também o mais ineficiente de todos os aqui apresentados;
Dado um array/lista não ordenado, varre-o por completo procurando
o primeiro menor elemento presente no mesmo, trocando o mesmo de lugar com o primeiro elemento do array; Após isso, procura o segundo menor elemento presente no mesmo e troca de posição com o segundo elemento do array. Procede desta forma até processar os N elementos;
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Seleção Direta (Selection Sort)
Ilustração
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Seleção Direta (Selection Sort)
Implementação
function selecaoDireta(var a: array [1..N] of real):boolean;
var i, j, menor : integer;
v: real;
begin
for i := 1 to N do
begin
menor := i;
for j := i+1 to N do
begin
if a[menor] > a[j] then
menor := j;
end;
if menor <> i then
begin
v := a[i];
a[i] := a[menor];
a[menor] := v;
end;
end;
selecaoDireta := true;
end;
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Seleção Direta (Selection Sort)
Complexidade
Tanto para o pior caso, quanto para o caso médio e para o melhor caso, o algoritmo sempre precisará efetuar:
N operações para encontrar o primeiro menor elemento;
N-1 operações para encontrar o segundo menor elemento;
...
1 operação para encontrar o n-ésimo menor elemento;
Total: 1 + 2 + ... + N = N(N+1)/2 = O(n2)
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Inserção Direta (Insertion Sort)
Definição
Dado um array/lista Y não ordenado, inicia com uma lista X vazia. Pega o primeiro elemento de Y e varre toda a lista X procurando a posição correta para inseri-lo e, então, o insere. Pega o segundo elemento e também varre toda a lista X, procurando a posição correta e insere-o. Procede desta forma até processar os N elementos;
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Inserção Direta (Insertion Sort)
Ilustração
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Inserção Direta (Insertion Sort)
Implementação
function insercaoDireta(var y: array [1..N] of real):boolean;
var x,t: TLista;
i: integer;
begin
x := nil;
for i := 1 to N do
insercaoOrdenada(x, y[i]);
t := x;
i := 1;
while (x <> nil) do
begin
y[i] := x^.valor;
x := x^.proximo;
dispose(t);
t := x;
end;
insercaoDireta := true;
end;
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Inserção Direta (Insertion Sort)
Complexidade
Melhor Caso: O(n), pois ele simplesmente pegará cada elemento e inserirá na cabeça da lista;
Pior Caso: O(n2), pois para cada elemento ele terá que inseri-lo na cauda da lista, o que significará 1 + 2 + 3 + ... + N = N(N+1)/2 operações;
Caso Médio: O(n2).
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Método da Bolha (Bubble Sort)
Definição
Varre do início ao fim, sempre checando se o elemento xi é menor ou igual ao xi+1. Se for, passa para o próximo par (xi+1 e xi+2), caso não seja, inverte suas posições e recua uma posição para checar então com o anterior (xi-1 e xi). Procede desta forma até varrer toda a estrutura e chegar ao fim;
Este algoritmo de classificação também é in-loco, isto é, dispensa a utilização de estruturas auxiliares para efetuar a classificação dos dados.
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Método da Bolha (Bubble Sort)
Ilustração
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Método da Bolha (Bubble Sort)
Implementação
function metodoDaBolha(insercaoDireta(var y: array [1..N] of real):boolean;
var i: integer;
c: real;
begin
i := 1;
while (i < N) do
begin
if (y[i] <= y[i+1]) then
i := i + 1
else
begin
c := y[i];
y[i] := y[i+1];
y[i+1] := c;
i := i – 1;
if (i < 1) then
i := 1;
end;
metodoDaBolha := true;
end;
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Método da Bolha (Bubble Sort)
Complexidade
Melhor Caso: O(n), pois passa uma vez só por cada par (todos os dados já estão ordenados);
Pior Caso: O(n2), onde os dados estão na ordem inversa e portanto levará executará 1 + 2 + ... + N trocas;
Caso médio: O(n2);
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Método do Balde (Bucket Sort)
Definição
Cria K buckets identificados e ordenados segundo algum critério (buckets contendo elementos de 1 a 10, buckets contendo elementos de 11 a 20, etc.) e então armazena os elementos dentro de cada bucket correspondente. Após isso, pode-se aplicar a cada bucket o algoritmo de ordenação que melhor convier;
Este método geralmente se utiliza de um array de buckets como estrutura auxiliar, cada qual podendo ser implementado como um array ou uma lista.
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Método do Balde (Bucket Sort)
Ilustração
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Método do Balde (Bucket Sort)
Implementação (pseudo-código)
function bucket-sort(array, n) is
buckets ← new array of n empty lists
for i = 0 to (length(array)-1) do
insert array[i] into buckets[position(array[i], k)]
for i = 0 to n - 1 do
next-sort(buckets[i])
return the concatenation of buckets[0], ..., buckets[n-1]
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Método do Balde (Bucket Sort)
Implementação
function metodoDoBalde(var y: array [1..N] of real; k: integer):Boolean;
var bucket: array [1..k] of record
slots: array [1..N] of real;
index: integer;
end;
menor, maior: real;
i,j,c: integer;
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Método do Balde (Bucket Sort)
Implementação (continuação)
begin
menor := y[1];
maior := y[1];
for i := 1 to N do
begin
if y[i] > maior then
maior := y[i];
if y[i] < menor then
menor := y[i];
end;
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Método do Balde (Bucket Sort)
Implementação (continuação)
for i := 1 to N do
begin
j := 1 + k*(y[i] - menor)/(maior – menor + 1);
bucket[j].index := bucket[j].index + 1;
bucket[j].slots[bucket[j].index] := y[i];
end;
c := 1;
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Método do Balde (Bucket Sort)
Implementação (continuação)
for j := 1 to k do
begin
selecaoDireta(bucket[j].slots, bucket[j].index);
for i := 1 to bucket[j].index do
begin
y[c] := bucket[j].slots[i];
c := c + 1;
end;
end;
metodoDoBalde := true;
end;
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Método do Balde (Bucket Sort)
Complexidade
Depende do algoritmo de classificação a ser usado em cada bucket;
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Quicksort
Definição
Algoritmo “dividir para conquistar”. Escolhe um pivô dentro da lista de dados a ordenar e cria dois grupos, um com os números menores que ele (à esquerda) e outro com números maiores que ele (à direita). Após isso, o algoritmo é executado para cada grupo, escolhendo-se novamente um pivô e dividindo-se em dois grupos menores. O processo procee até que cada grupo contenha somente um elemento, concatenando todos e formando uma lista ordenada;
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Quicksort
Ilustração
[Ops! Não escrevi aqui!]
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Quicksort
Implementação
function quicksort(var y: array [1..N] of real, IniVet, FimVet: integer): boolean;
var i, j: integer;
pivo, aux: real;
Início
i := IniVet;
j := FimVet;
pivo := y[(IniVet + FimVet) div 2];
repeat
while (y[i] < pivo) AND (i < FimVet) do
i := i + 1;
while (y[j] > pivo) AND (j > FimVet) do
j := j – 1;
if (i <= j) then
begin
aux := y[i];
y[i] := y[j];
y[j] := aux;
i := i + 1;
j := j – 1;
end;
until (i > j);
if (j > IniVet) then
quicksort(y, IniVet, j);
if (i < FimVet) then
quicksort(y, i, FimVet)
end;
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Quicksort
Complexidade
[Ops! Não escrevi aqui!]
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Mergesort
Definição
Também algoritmo “dividir para conquistar”. “Quebra” a lista em listas menores, até que cada lista contenha somente um elemento, quando então começa a ordená-las fazendo um “merge”, isto é, juntando duas listas diferentes por vez mantendo a nova ordem dos elementos;
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Mergesort
Ilustração
[Ops! Não escrevi aqui!]
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Mergesort
Implementação
[Ops! Não escrevi aqui!]
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Mergesort
Complexidade
[Ops! Não escrevi aqui!]
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Heapsort
Definição
Utiliza uma árvore binária chamada “heap” para ordenar os dados. Todo o problema aqui resume-se à criação desta árvore, bem como a remoção de cada nó da mesma sem alterar a ordenação.
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Heapsort
Ilustração
[Ops! Não escrevi aqui!]
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Heapsort
Implementação
[Ops! Não escrevi aqui!]
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Complexidade
[Ops! Não escrevi aqui!]
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Referências Bibliográficas
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