Teste 3 2017/2 - Fundamentos de Mecânica UFMG Luiz Paulo

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GABARITO DO 3o TESTE DE FUNDAMENTOS DE MECAˆNICA - TURMA B2 - 22/11/2017
1- A figura ao lado mostra 4 estrelas de mesma massa m colocadas nos
ve´rtices de um quadrado plano de lado a e isoladas do resto do Universo.
1.a– Calcule o mo´dulo da forc¸a gravitacional resultante em cada uma
das estrelas e desenhe essa forc¸a na figura, para uma das estrelas.
1.b– Calcule a velocidade angular que o sistema tem que possuir, para
que girem em o´rbita em torno umas das outras mantendo a con-
figurac¸a˜o de um quadrado, sem se aproximarem ou se afastarem
umas das outras.
Soluc¸a˜o
A forc¸a gravitacional e´ conservativa possui uma energia potencial associada.
Cada par de part´ıculas de massas m1 e m2 separadas por uma distaˆncia r
possui um par de forc¸as associado, sempre de atrac¸a˜o, cujo mo´dulo e´
ra
io
m
a
am m
a
a m
2
34
F21
F31
F41
CM
F21 =
Gm1m2
r2
(1)
1.1– Enumerei artificialmente as part´ıculas nos ve´rtices do quadrado de 1 a 4, em sua posic¸a˜o inicial. Cada
estrela sofre a atrac¸a˜o das outras 3 estrelas (e, pela 3a Lei de Newton, os atrai tambe´m). Forc¸a e´ um vetor e
deve ser somado como tal. Considere a forc¸a que a estrela 1 sofre das estrelas que esta˜o nos outros 3 ve´rtices
do quadrado que formam, as estrelas 2, 3 e 4. A forc¸a resultante claramente apontara´ para o centro do
quadrado e valera´
Fres,1 = F21 cos 45
◦ + F31 + F41 cos 45
◦ = 2
Gm2
a2
√
2
2
+
Gm2
2a2
=
Gm2
a2
(√
2 +
1
2
)
(2)
1.2– Pela segunda Lei de Newton, a forc¸a resultante sobre uma massa constante e´ igual ao produto dessa
massa pela sua acelerac¸a˜o. Se as estrelas devem rodar em torno do centro do quadrado sem alterar sua
forma, o raio desse movimento sera´ igual a` metade da diagonal do quadrado, r = a
√
2
2
. Portanto, cada
estrela, que sofre uma forc¸a igual a` dada pela Eq.(2), sofrera´ a acelerac¸a˜o centr´ıpeta devida ao movimento
circular
Fres,1 =
Gm2
a2
(√
2 +
1
2
)
= ma1c = mω
2r = mω2a
√
2
2
(3)
de onde se tira
ω =
√
2Gm
a3
(
1 +
1
2
√
2
)
(4)
2- Considere 2 sate´lites artificiais, B e C, de mesma massa e em o´rbita circular em torno da Terra. O raio
da o´rbita de C em relac¸a˜o ao cento da Terra e´ duas (2) vezes o da o´rbita de B, RC/RB = 2. Qual e´
2.a– a raza˜o de suas velocidades tangenciais,
vB
vC
.
2.b– a raza˜o so mo´dulo de seus momentos angulares em relac¸a˜o ao centro da Terra,
LB
LC
,
2.c– a raza˜o de suas energias potenciais (em relac¸a˜o a` separac¸a˜o infinita),
Epot,B
Epot,C
,
Soluc¸a˜o
2.a– A velocidade de um sate´lite em o´rbita pode ser calculada com a segunda Lei de Newton e a expressa˜o
que relaciona a velocidade tangencial com a acelerac¸a˜o centr´ıpeta em um movimento circular. Por exemplo,
para o sate´lite B:
FB = G
MTmB
R2B
= mBaB = mB
v2B
RB
ou, rearranjando os termos vB =
√
GMT
RB
. (5)
A equac¸a˜o vale, de forma ana´loga, para C e podemos calcular
vB
vC
=
√
RC
RB
=
√
2. (6)
2.b– A quantidade de movimento angular de um sate´lite em o´rbita circular pode ser calculada de va´rias
formas, inclusive com a definic¸a˜o, ~L = ~r × ~p. No caso de uma o´rbita circular a velocidade e o raio sera˜o
constantes e, para o sate´lite B, o mo´dulo da quantidade de movimento angular sera´, usando a Eq.(5),
LB = mBvBRB = mB
√
GMTRB. (6)
Portanto LB
LC
=
√
RB
RC
=
√
1
2
. (7)
2.c– A energia potencial gravitacional, por exemplo, do sate´lite B e´
Epot,B = −G
MTmB
RB
, (8)
com uma expressa˜o ana´loga para C. Enta˜o
Epot,B
Epot,C
=
mBRC
mCRB
= 2. (9)
3– Uma barra fina de massa M e comprimento L repousa sobre
uma superf´ıcie horizontal sem atrito. Um pequeno disco de
massa m se movimenta, tambe´m sem atrito, com velocidade
v e colide elasticamente com a barra, batendo nela a uma
distaˆncia b de seu centro, como mostra a figura. O disco fica
parado apo´s a colisa˜o.
3.a– Quais grandezas, entre (A) quantidade de movimento linear,
(B) quantidade de movimento angular e (C) energia cine´tica,
se conservam no processo? Explique porque se conservam ou
na˜o.
3.b– Escreva (em termos de m, M , L, b, v) as equac¸o˜es que rela-
cionam os valores iniciais das grandezas A, B e C da questa˜o
3.a– com seus valores finais.
3.c– Qual deve ser o valor de m, em termos de M , L, b e v, para
que o disco de massa m fique parado apo´s a colisa˜o?
m
v
b
M,L
V =0
ω =0
0
0
Soluc¸a˜o
3.a– O enunciado fala claramente que houve uma colisa˜o ela´stica entre os dois corpos. Pelo simples fato
de ter havido uma colisa˜o, se considerarmos os dois corpos como sendo um sistema, as forc¸as internas que
aparecem na˜o conseguem produzir qualquer variac¸a˜o de momento linear ou de momento angular. Portanto
tanto o (A) momento linear quanto o (B) momento angular se conservam imediatamente antes e depois da
colisa˜o. Pelo fato de o enunciado dizer que a colisa˜o foi ela´stica, a (C) energia cine´tica do sistema tambe´m
se conserva durante a colisa˜o.
3.b– Considerando a informac¸a˜o que a massa m deve parar apo´s a colisa˜o, as equac¸o˜es que relacionam essas
grandezas antes e depois da colisa˜o sa˜o:
pantes = mv + 0 = pdepois = 0 +MVCM (10)
LCM,antes = mvb+ 0 = LCM,depois = 0 + ICMω =
ML2
12
ω (11)
Ecin,antes =
1
2
mv2 + 0 + 0 = Ecin,depois = 0 +
1
2
MV 2CM +
1
2
ICMω
2 =
1
2
MV 2CM +
1
2
ML2
12
ω2 (12)
onde calculou-se o momento angular em relac¸a˜o ao centro de massa da barra e usou-se a tabela de momentos
de ine´rcia fornecida no in´ıcio do teste.para o momento de ine´rcia da barra em relac¸a˜o a seu centro de massa.
3.c– Reescrevendo, temos
mv =MVCM ou v =
M
m
VCM (10a)
(mv)b = (MVCM)b =
ML2
12
ω ou ω =
12VCMb
L2
(11a)
1
2
mv2 =
1
2
MV 2CM +
1
2
ML2
12
ω2. (12a)
Levando tanto v da Eq.(10a) como ω da Eq.(11a) na Eq.(12a),
1
2
m
(
M
m
VCM
)2
=
1
2
MV 2CM +
1
2
ML2
12
(
12VCMb
L2
)2
. (13)
Apo´s simplificac¸a˜o, a Eq.(13) fica
M
m
= 1 +
12b2
L2
=
L2 + 12b2
l2
ou m =M
(
L2
L2 + 12b2
)
.
4a– Um planeta em o´rbita el´ıptica em torno de uma estrela possui quantidade de movimento linear contante
em todos os pontos de sua o´rbita.
A afirmativa esta´ INCORRETA. A justificativa pode ser obtida pela pro´pria forma da o´rbita, que e´ curva e
varia em direc¸a˜o. Como a velocidade e´ sempre tangente a` o´rbita, e sua direc¸a˜o varia, o vetor velocidade varia.
Consequentemente, o momento linear varia. Podemos, ainda, usar a segunda lei de Newton, lembrando que a
forc¸a da estrela sobre o planeta so´ seria nula se a separac¸a˜o entre eles fosse infinita. Como a forc¸a resultante
sobre o planeta na˜o e´ nula, sua acelerac¸a˜o e´ diferente de zero e a velocidade, portanto, tem que variar.
4b– Um planeta em o´rbita el´ıptica em torno de uma estrela possui menor quantidade de movimento angular
quando esta´ mais pro´ximo da estrela que quando esta´ mais distante.
A afirmativa esta´ INCORRETA. A justificativa pode ser obtida pela segunda Lei de Kepler, que afirma que
o raio vetor que liga o planeta a` estrela varre a´reas iguais em tempos iguais. Foi demonstrado, tanto no
livro como em sala de aula, que a a´rea de um setor de o´rbita e´ proporcional ao momento angular do corpo
na o´rbita. Portanto, se a a´rea varrida pelo raio vetor do planeta e´ a mesma num determinado tempo, o
momento angular tambe´m e´ o mesmo. Podemos, ainda, usar o fato de que a forc¸a gravitacional na˜o consegue
exercer torque em relac¸a˜o a quem a exerce. Se o torque for nulo, a segunda Lei de Newton para rotac¸a˜o
implica que a variac¸a˜o do momento angular e´ nula e, portanto, o momento angular e´ contante em todos os
pontos da o´rbita.
4c– Se a forc¸a resultante que age sobre um sistema fornula, o torque resultante sobre esse sistema pode na˜o
ser nulo.
A afirmativa esta´ CORRETA. Apesar de relacionados, forc¸as
e torques dependem das condic¸o˜es do problema. Considere a
figura ao lado, onde uma roda esta´ sob a ac¸a˜o de duas forc¸as
iguais e opostas, ~F1 e ~F2. A resultante das mesmas e´ nula, mas
o torque que elas produzem em torno do eixo na˜o o e´.
F2
F1
4d– Se o torque resultante que age sobre um sistema for nulo, necessariamente a forc¸a resultante sobre esse
sistema tambe´m e´ nula.
A afirmativa esta´ INCORRETA. Apesar de relacionados, forc¸as
e torques dependem das condic¸o˜es do problema. Considere a
figura ao lado, onde uma roda esta´ sob a ac¸a˜o de duas forc¸as
iguais, ~F1 e ~F2. A resultante das mesmas na˜o e´ nula, mas o
torque que elas produzem em torno do eixo e´ nulo.
F2
F1