Cálculo Numérico Interpolação Método de Newton

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
MAT174 – CÁLCULO NUMÉRICO I 
Prof.ª Christiane da Costa Santana Soares
Fernando Humberto de A. M. Neto
Ives Vergne Matos
 João Elias Vieira Jr.
Trabalho Semestral
Salvador 
2016
Fernando H. de A. M. Neto
Ives Vergne Matos
 João Elias Vieira Júnior
Trabalho Semestral
Atividade vinculada à disciplina Cálculo Numérico I, do Instituto de Matemática da Universidade Federal da Bahia, ministrada pela professora Christiane da Costa Santana Soares, como requisito parcial para aprovação na disciplina.
Salvador 
2016
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Proposta Escolhida: Proposta 1
Descrição do Problema
O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) divulga regularmente diversas pesquisas relativas à população brasileira, dentre as quais a Tábua Completa de Mortalidade� (ANEXO II), onde se pode verificar a expectativa de sobrevida a partir de uma determinada idade. O objetivo do presente trabalho é encontrar, utilizando interpolação, um polinômio por meio do qual seja possível relacionar, com razoável precisão�, idade e expectativa de sobrevida.
Análise do Problema
O IBGE divulga três tabelas de mortalidade, uma relativa às mulheres, outra referente aos homens e uma terceira relativa a ambos os sexos. Obviamente, seria possível trabalhar com qualquer dessas tabelas e até mesmo estudar todas elas. Optou-se aqui, entretanto, por analisar a tabela que consolida dados para ambos os sexos, sendo o estudo para as demais tabelas inteiramente análogo. 
A partir de agora, toda vez que for utilizada a palavra “Tabela”, estaremos nos referindo à Tábua Completa de Mortalidade – Ambos os Sexos – 2013, divulgada pelo IBGE, constante do Anexo II.
Pode-se observar na Tabela que há 81 diferentes idades (zero a oitenta anos) a partir das quais é calculada uma expectativa de vida, com, portanto, 81 resultados distintos. Ou seja, temos à disposição 81 valores de
 e o mesmo número de valores correspondentes para 
. 
Uma primeira tarefa será escolher um método para se chegar ao objetivo deste trabalho e, logo em seguida, escolher os pares (
,
) que serão utilizados nos cálculos. Trataremos dessa escolha no tópico seguinte.
 
Vale observar que, no dado correspondente à idade de 80 anos, o IBGE agrupou todas as idades a partir dessa. Certamente, tal decisão implica uma distorção nos resultados de expectativa de vida para pessoas de idade superior a 80 anos, sendo maior essa distorção à medida que se tome idades mais elevadas, pois, para todas as idades de 80 anos e acima, a Tabela apresenta uma expectativa de vida de 9,2 anos. Na realidade, não seria de se esperar que uma pessoa que já conte com, por exemplo, 110 anos ainda tenha o mesmo tempo de sobrevida que alguém com 80 anos. 
Em razão do problema acima apontado, restringiremos nosso estudo à faixa de zero a 80 anos, significando dizer que o polinômio que pretendemos obter deve retratar a expectativa de vida dentro dessa faixa etária.
 Não obstante, acreditamos que ser possível utilizar o polinômio obtido para estimar a expectativa de vida das pessoas com idade entre 80 e 100 anos, de maneira mais precisa que o divulgado pelo IBGE na Tabela constante do anexo II.
Método Escolhido
Tendo em vista que o objetivo desse trabalho é, utilizando método de interpolação, obter um polinômio que se aplique à faixa etária entre zero e 80 anos, inclusive, havendo 81 pares de dados nesse intervalo, verifica-se que para se obter um polinômio que nos apresente resultados mais precisos seria adequado trabalhar com muito mais que apenas três pares de resultados. Todavia, sabemos que quanto maior o número de pontos escolhidos, maior será também o esforço de cálculo para obtenção do polinômio. Assim, optou-se por trabalhar com 5 pontos, distribuídos de modo equidistante ao longo da Tabela, e avaliar se o polinômio obtido atende à precisão deseja. Para tanto, fixamos que o erro absoluto entre o resultado obtido por meio do polinômio e o valor correspondente constante da Tabela deverá ser igual ou menor que 1,0 (
), isto é, um erro absoluto igual ou menor que 1 ano. Como a própria a expectativa de sobrevida apresentada na Tábua de Mortalidade do IBGE já se constitui uma mera estimativa, consideramos que não há por que estabelecer uma margem de erro muito reduzida. Para realizar a interpolação, foi escolhido o Método de Newton, por entendermos que esse método implica menor esforço de cálculo, em comparação, por exemplo, com o método de Lagrange.
Cálculo do Polinômio
Sendo,
Daí,
Portanto, 
Verificação do Resultado
6.1	Verificação para os pontos escolhidos
 
6.2	Verificação para outros pontos
	
 
Conclusão
Conforme se pode verificar no item 6.2, os valores obtidos por meio do polinômio 
, calculado no item 5, para os demais valores de idade, que não os inicialmente escolhidos para o cálculo do polinômio, apresentam erro absoluto igual ou menor que 1,0, conforme se desejava inicialmente (item 4). Com isso, concluímos que o polinômio obtido é adequado para a finalidade aqui pretendida, sendo alcançado, com isso, o objetivo deste trabalho.
Oportunamente, verifica-se que o polinômio obtido produz maior erro nas idades iniciais, sendo seu valor reduzido gradativamente à medida que a idade considerada aumenta. O erro começa com valor de 1,0 para 1 ano de idade e decresce até 0,1 para uma idade igual a 15 anos, sendo que, a partir dos 15 até os 80 anos, o erro absoluto não ultrapassa 0,1.
Portanto, verifica-se que o polinômio obtido é bastante preciso para idades a partir dos 15 anos e, para idades inferiores, o erro é menor à medida que se toma idades próximas à referida, ficando sempre igual ou menor que 1,0, conforme desejado.
Com o intuito de aproveitar o esforço intelectual utilizado na obtenção do polinômio 
, estenderemos a sua aplicação a valores de idade entre 80 e 100 anos, embora tenhamos construído nosso polinômio para o estudo da faixa etária do zero aos 80. Apresentamos os resultados obtidos no AnexoI, que nos parecem bem mais realistas que o único valor (9,2) apresentado pelo IBGE para a expectativa de sobrevida relativa a todas as idades a partir de 80 anos.
Referência
- BARROSO, Leônidas Conceição. et. al. Calculo numérico: com aplicações. São Paulo: Harbra, 1992.
ANEXO I
ANEXO II
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� Disponível em: � HYPERLINK "http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/tabuadevida/2013/defaulttab_pdf.shtm" �http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/tabuadevida/2013/defaulttab_pdf.shtm�. Acesso em: 22/10/2016.
� 	A precisão desejada no presente trabalho será de um erro absoluto igual ou menor que 1 ano para o valor da expectativa de vida obtido por meio do polinômio, em comparação com o valor constante da tabela divulgada pelo IBGE.
_1538709421.unknown
_1538710855.unknown
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