GRADIENTE

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No cálculo vetorial o gradiente (ou vetor gradiente) é um vetor que indica o 
sentido e a direcção de maior alteração no valor de uma quantidade por unidade 
de espaço. Possui diversas aplicações, desde o cálculo de derivadas direccionais 
à maximização das mesmas.Por exemplo, o gradiente do potencial elétrico é o 
campo elétrico. O gradiente da energia de campo é a força de campo. 
Noção intuitiva de gradiente 
O gradiente é o vetor que aponta para onde a grandeza resultante da função tem 
seu maior crescimento . 
Observação: “Gradientes de tensão” 
Os gradientes de tensão em redes elétricas são, depois dos transientes, os 
maiores causadores de danos em circuitos eletro-eletrônicos. O retorno da 
energia elétrica numa linha de transmissão longa, após uma interrupção da 
mesma, faz-se acompanhar por transientes de tensão elevada até à estabilização 
do circuito. Simultaneamente, manifesta-se na rede um movimento oscilatório de 
baixa frequência, composto por gradientes positivos e negativos, denominados 
harmônicos, que fazem elevar e reduzir a tensão, acima e abaixo do seu valor 
nominal. 
 
GRADIENTE 
DEFINIÇÃO: O gradiente de uma função f(x,y) num ponto 
 00 , yx
, designado por 
 00 , yxf
ou grad f , 
 00 , yx
é o vetor livre cujas coordenadas são: 
   0000 ,, yx
y
f
eyx
x
f



 
 
PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DO VETOR GRADIENTE 
Se f é diferenciável no ponto (a,b) e grad f(a,b)≠0 então: 
a) A direção de grad f(a,b) é: 
- Perpendicular ao contorno de f que passa por (a,b) 
- Paralelo à direção de f crescente 
b) O módulo do gradiente é: 
-Taxa de variação máxima de f no ponto. 
-Grande quando os contornos estão próximos uns dos outros e pequena quando 
estão afastados. 
 
ENGENHARIA BÁSICA – Santos/Rangel 
DISCIPLINA: CFVV 
(Cálculo de Funções de Várias Variáveis) 
 
Profª. Me Ângela Maria 
 angelamaria26@yahoo.com.br 
profa_angelamaria@hotmail.com 
 
Exemplo: 
– Calcule o gradiente da função f(x,y)=x²+xy+3y², no ponto (2,1) 
 
 
)8,5()1,2(),1,2(()1,2(,
81.62)1,2(512.21,2
62



yx
yx
yx
fffLogo
ff
yxfyxf
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Qual o vetor gradiente da função x² + xy + 3y², no ponto (2, 1). 
2) Calcule o gradiente da função f(x,y)= 3x²y - x32 y², no ponto(1,3). 
 
3) Calcule o gradiente da função f(x,y)= x²+y², no ponto(1,1). 
 
4) Calcule o gradiente das seguintes funções nos pontos indicados: 
 
a) g(x,y) = 
xsene
y
.
 no ponto P(0, 0) 
 
b) 
1
1



y
x
z
 no ponto P(1, 2) 
 
 
EXERCÍCIO EXTRA 
 
1) Calcule o gradiente das funções abaixo, nos pontos (1,1) e (-1,1) 
 
a) f(x,y)= x²- y² 
 
b) f(x,y)= 
²² yx
xy

 
 
c) f(x,y)= 4x²-3xy+y²