AP1 GPI Métodos Quantitativos

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Métodos Quantitativos
Aula Prática 1
Prof. Jéderson da Silva
Organização da Aula
� Exercício 1: Técnicas 
de estatística descritiva
� Exercício 2: Conceitos
de probabilidade
� Exercício 3: Conceitos
de probabilidade
� Exercício 4: Conceitos
de probabilidade
� Exercício 5: Distribuição 
de Poisson
� Exercício 6: Distribuição
normal
Exercício 1: 
Estatística Descritiva
� Os seguintes dados são as 
temperaturas (oF) das juntas 
dos O-rings para cada teste de 
incêndio ou de lançamento real 
de espaço-naves: 84, 49, 61, 40, 
83, 67, 45, 66, 70, 69, 80, 58, 
68, 60, 67, 72, 73, 70, 57, 63, 
70, 78, 52, 67, 53, 67, 75, 69, 
70, 81, 76, 79, 75, 76, 58, 31
� (a) Calcule a média, moda, 
desvio-padrão e a variância 
da amostra e construa o 
diagrama de pontos para 
os dados de temperatura
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Cálculo da média
Cálculo da moda
� Neste caso temos um conjunto 
bimodal cujas modas são: 67 e 70
Cálculo da variância da amostra
Cálculo do desvio-padrão amostral
� (b) Não considere a menor 
observação (31oF) e recalcule 
a média e o desvio-padrão. 
Comente o que achou. 
Quão “diferentes” as outras 
temperaturas são desse 
último valor?
Cálculo da média
Cálculo da variância da amostra
Cálculo do desvio-padrão amostral
� Note que, além da média ter 
aumentado, pois o valor 31 
funcionava diminuindo a média 
inicial (65,86ºF), o desvio-
padrão da amostra possui 
um valor menor também
Exercício 2: Probabilidade
� Amostras de emissões de 3 
fornecedores são classificadas 
com relação a satisfazer as 
especificações de qualidade do ar. 
Os resultados de 100 amostras 
são resumidos a seguir:
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� Seja A o evento em que uma 
amostra seja proveniente 
de fornecedor 1 e B o evento 
em que uma amostra atenda 
as especificações. Se uma 
amostra for selecionada 
ao acaso, determine as 
seguintes probabilidades:
� (a) P(A)
� (b) P(B)
� (c) P(A’)
� (d) P(A ∩ B)
� (e) P(A U B)
� (f) P(A’ U B)
(a) P(A)
(b) P(B)
(c) P(A’)
(d) P(A ∩ B)
(e) P(A U B)
(f) P(A’ U B)
Exercício 3: Probabilidade
� A análise de resultados de um 
experimento de transmutação de 
uma folha (tornando uma folha 
em pétala) é resumida pelo tipo 
de transformação completada:
� (a) Se a folha completa a 
transformação da cor, qual 
a probabilidade de que ela 
completará a transformação 
textural?
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� Seja A o evento de que a folha 
completa a transformação da cor
� Seja B o evento de que a folha 
completa a transformação 
da textura
� Do conceito de probabilidade 
condicional:
Neste caso:
Logo:
� (b) Se a folha não completar 
a transformação textural, 
qual é a probabilidade 
de que ela completará a 
transformação da cor?
� Do conceito de probabilidade 
condicional:
Exercício 4: Probabilidade
� Uma batelada de 25 peças 
moldadas por injeção contém 
5 delas que sofreram 
excessivo encolhimento
� (a) Se 2 peças forem 
selecionadas ao acaso e 
sem reposição, qual será 
a probabilidade de que a 
segunda peça tenha sofrido 
excessivo encolhimento?
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Solução
� Seja A o evento de que a primeira 
peça sofra excessivo encolhimento
� Seja B o evento de que a segunda 
peça sofra excessivo encolhimento
� Aplicando o Teorema da 
Probabilidade Total:
Neste caso:
Portanto:
� (b) Se 3 peças forem escolhidas 
ao acaso e sem reposição, qual 
será a probabilidade de que a 
terceira peça tenha sofrido 
excessivo encolhimento?
Solução
� Seja A o evento de que a primeira 
peça sofra excessivo encolhimento
� Seja B o evento de que a segunda 
peça sofra excessivo encolhimento
� Seja C o evento de que a terceira 
peça sofra excessivo encolhimento
Neste caso:
Aplicando o Teorema da 
Probabilidade Total:
Exercício 5: Distribuição
de Poisson
� Cada amostra de água tem 
10% de chance de conter um 
determinado poluente orgânico. 
Considere que as amostras 
sejam independentes em 
relação à presença do poluente
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� (a) Encontre a probabilidade 
de que nas próximas 18 
amostras, exatamente 2 
contenham o poluente
Solução
� Seja X = número de amostras 
que contém o poluente nas 
próximas 18 amostras. Então, 
X é a variável aleatória 
binomial com p = 0,1 e n = 18. 
Assim, k, que indica o número 
de ensaios com ocorrência 
de sucesso, é igual a 2
Logo:
Lembrando que:
Portanto:
� (b) Determine a probabilidade 
de que no mínimo 4 amostras 
contenham o poluente
Solução
� Seja X = número de amostras que 
contém o poluente nas próximas 
18 amostras. Neste caso X ≥ 4. 
Então, X é a variável aleatória 
binomial com p = 0,1 e n = 18. 
Assim, k, que indica o número 
de ensaios com ocorrência de 
sucesso, é igual ou superior a 4
Logo:
Utilizando o conceito de 
um evento complementar:
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Exercício 6: Distribuição
Normal
� A resistência à compressão de 
amostras de cimento pode ser 
modelada por uma distribuição 
normal, com uma média de 
6000 Kg/cm2 e um desvio-
padrão de 100 Kg/cm2
� (a) Qual a probabilidade de 
a resistência da amostra ser 
menor que 6250 Kg/cm2?
Solução
Realizando uma transformação 
linear de variáveis
Logo:
� (b) Qual a probabilidade 
da resistência da amostra 
estar entre 5800 Kg/cm2
e 5900 Kg/cm2?
Solução
Onde:
Logo:
Lembre-se:
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� (c) Que resistência 
é excedida por 95% 
das amostras?
Solução
Da tabela de distribuição normal:
Neste caso:
Portanto:
Logo:
Referência de Apoio
�MONTGOMERY, D. C. 
Estatística Aplicada 
e Probabilidade para 
Engenheiros. 5. ed. 
Editora LTC, 2011.