3ListaMC 2016 2

Prévia do material em texto

Lista III – Mecânica Clássica – 2016-2 
1. Determine o centro de massa do compensado de madeira uniforme mostrado na figura 
1. 
2. Uma molécula de água consiste de um átomo de oxigênio e dois átomos de hidrogênio. 
O oxigênio tem uma massa de 16 unidades de massa unificadas (u), e o hidrogênio 1 u. 
Cada átomo de hidrogênio está a uma distância média de 96 pm (96 x 10
-12
 m) do átomo 
de oxigênio, e estão separados um do outro por um ângulo de 104,5°. Determine o 
centro de massa de uma molécula de água. 
 
Figura 1 Figura 2 
3. Você esta em pé sobre uma camada de gelo de um estádio de futebol em um país frio; 
despreze o atrito entre seus pés e o gelo. Um amigo joga para você uma bola de 0,400 
kg que se desloca horizontalmente com velocidade 10 m/s. Sua massa é igual a 70 kg. 
(a) Se você agarra a bola, com que velocidade você e a bola se deslocarão logo a seguir? 
(b) Se a bola colide com você e rebate em seu peito, passando a adquirir uma 
velocidade horizontal de 8 m/s em sentido oposto ao inicial, com que velocidade você 
se desloca após a colisão? 
4. Na figura abaixo, temos três barras finas e uniformes, cada uma de comprimento L = 22 
cm, formam um U invertido. Cada barra vertical tem massa de 14 g; a barra horizontal 
tem massa de 42 g. Quais (a) a coordenada x e (b) a coordenada y do centro de massa 
do sistema? 
 
Figura Q. 4 Figura Q. 5 
5. A figura Q.5 mostra um sistema de três partículas, com massas m1 = 3 kg, m2 = 4 kg e 
m3 = 8 kg. Quais são (a) a coordenada x e b) a coordenada y do centro de massa do 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido – UFERSA 
Centro de Ciências Exatas e Naturais - CCEN 
Curso: Ciência e Tecnologia 
Disciplina: Mecânica Clássica 
Professora: Jusciane da Costa e Silva 
sistema? (c) Se m3 crescer gradualmente, o centro de massa do sistema se aproxima de 
m3, se afasta de m3 ou permanece onde está? 
6. Um automóvel de 1000 kg está em repouso em um semáforo. No instante em que a luz 
fica verde, o automóvel acelera constantemente a 4 m/s
2
. No mesmo instante, um 
caminhão de 2000 kg, deslocando-se no mesmo sentido com velocidade constante de 8 
m/s ultrapassa o automóvel. (a) Qual a distância entre o CM do sistema carro-caminhão 
e o semáforo em t = 3s? (b) Qual a velocidade do CM neste instante? 
7. Um caminhão de 2100 kg viajando para o norte a 41 km/h vira para leste e acelera até 
51 km/h. (a) Qual é a variação na energia cinética do caminhão? Quais são (b) o módulo 
e (c) o sentido da variação em seu momento? 
8. A figura abaixo dá uma vista superior da trajetória descrita por uma bola de bilhar de 
0,165 kg quando ela bate na borda de uma mesa. O módulo da velocidade inicial é 2,0 
m/s e o ângulo é de 30°. A rebatida inverte a componente y da velocidade da bola mais 
não altera a componente x. Quais são (a) o ângulo 2 e (b) a variação no momento 
linear da bola em termos dos vetores unitários? (o fato de que a bola rola é irrelevante 
para o problema). 
 
9. Uma força no sentido negativo de um eixo x é aplicada por 27 ms a uma bola de 0.40 kg 
inicialmente se movendo a 14 m/s no sentido positivo do mesmo eixo. A força varia em 
módulo e o impulso tem módulo igual a 32,4 N.s. Quais são (a) o módulo e (b) o 
sentido da velocidade da bola imediatamente após a aplicação da força? Quais são (c) a 
intensidade da força e (d) o sentido do impulso sobre a bola? 
10. Uma bola de 1,2 kg cai verticalmente sobre um piso, atingindo-o com velocidade de 25 
m/s. Ela é rebatida com uma velocidade inicial de 10 m/s. (a) Que impulso atua sobre a 
bola neste contato? (b) Se a bola fica em contato com o piso por 0,020 s, qual é a 
intensidade da força média da bola sobre o piso? 
11. Um homem de 91 kg está inicialmente em repouso sobre uma superfície de atrito 
desprezível e arremessa uma pedra de massa de 68 g para longe de si com uma 
velocidade de 4 m/s. Que velocidade o homem adquire? 
12. Uma bala de 5,20 g movendo-se a 672 m/s atinge um bloco de madeira de 700 g, 
inicialmente em repouso sobre uma superfície sem atrito. A bala atravessa o bloco e 
emerge, viajando no mesmo sentido, com sua velocidade reduzida a 428 m/s. (a) Qual a 
velocidade final do bloco? (b) Qual a velocidade do centro de massa do sistema bala-
bloco? 
13. Na situação “antes” da figura abaixo, o carro A (massa de 1100 kg) está parado em um 
semáforo é atingido na traseira pelo carro B (massa de 1400 kg). Os dois carros, então, 
deslizam com as rodas travadas até que a força de atrito com o asfalto (com coeficiente 
de atrito µ de 0,13) os leva ao repouso após as distâncias dA = 8,2 m e dB = 6,1 m. Quais 
são os módulos das velocidades (a) do carro A e (b) do carro B no início do 
deslizamento, imediatamente após a colisão?(c) suponha que o momento linear é 
conservado na colisão, encontre a velocidade do carro B imediatamente antes da 
colisão. 
 
14. Um carinho de massa igual a 340 g movendo-se sobre um trilho de ar linear a uma 
velocidade inicial de 1,2 m/s sobre uma colisão elástica com outro carrinho inicialmente 
em repouso de massa desconhecida. Após a colisão, o primeiro carrinho continua no seu 
sentido original com 0,66 m/s. (a) Qual é a massa do segundo carrinho? (b) Qual é sua 
velocidade após a colisão? (c) Qual é a velocidade do centro de massa do sistema dos 
dois carrinhos? 
 
15. Um projétil lançado no ar ao nível do solo apresenta um alcance de 55 m. No ponto 
mais alto de sua trajetória ele explode, fragmentando-se em duas partes de massa 
idênticas. Imediatamente após a explosão um de seus fragmentos apresenta uma 
velocidade instantaneamente nula, e cai em linha reta em direção ao solo. Onde o outro 
fragmento cairá? Despreze a resistência do ar. Figura Q.16. 
16. Uma bola de beisebol possui massa igual a 0,145 kg. (a) Sabendo que a velocidade da 
bola arremessada é de 45 m/s e a velocidade da bola rebatida é de 55 m/s na mesma 
direção, mas em sentido contrário, calcule o módulo da variação do momento linear e 
do impulso aplicado pelo bastão sobre a bola. (b) Se o bastão e a bola permanecerem 
em contanto durante 2 ms, qual é o módulo da força média do bastão sobre a bola? 
17. Um carro equipado com um boneco instrumentado para testes de impacto colide com 
uma parede rígida a 25 m/s. Estime a força, que o cinto de segurança exerce sobre o 
boneco durante o impacto. (estime a massa do boneco de 80 kg, que seria a massa de 
um adulto e o deslocamento do boneco com a colisão é de 1 m). 
18. As três partículas na Figura 18 estão inicialmente em repouso. Cada uma delas sofre a 
ação de uma força externa devido a agentes fora do sistema das três partículas. Os 
sentidos estão indicados e os módulos são F1 = 6 N, F2 = 12 N e F3 = 14 N. Qual é a 
aceleração do centro de massa do sistema e que sentido se move? 
 
Figura 18 Figura 19 
19. Em uma competição pública de tiro, você atira um projétil contra um bloco de madeira 
pendurado, conforme mostra a figura 20. O bloco, com o projétil cravado, oscila 
subindo até a posição mostrada com linhas tracejadas. Observe que, com a altura 
atingida no topo da oscilação, você calcula de imediato a velocidade do projétil. Qual é 
a velocidade com que o projétil foi lançado? 
20. A posição angular de um ponto em uma roda em rotação é dada por 
, onde θ está em radianos e t está em segundos. Em t = 0, quais 
são (a) a posição angular do ponto e (b) sua velocidade angular? (c) Qual é a sua 
velocidade angular em t = 4,0 s? (d) Calcule sua aceleração angular em t = 2,0 s. (e) A 
aceleração angular da roda é constante? 
21. A roda de uma bicicleta possui velocidade angular inicial de 1,50 rad/s. (a) Se uma 
aceleração angular é constante e igual a 0,300 rad/s
2
, qual é sua velocidade angularpara 
t = 2,5 s? (b) Qual foi o deslocamento angular da roda entre t=0 e t=2,5s? 
22. Uma roda com diâmetro de 40 cm parte do repouso e gira com aceleração angular 
constante de 3 rad/s
2
. No instante em que a roda realiza a sua segunda revolução, 
calcule a aceleração radial de um ponto da borda, de duas maneiras: (a) usando a 
relação arad= 
2
r e (b) a partir da relação arad=v
2
/r. 
23. Um volante de motor a gasolina deve fornecer uma energia cinética igual a 500 J, 
quando sua velocidade angular diminui de 650 rev/min para 520 rev/min. Qual é o 
momento de inércia necessário? 
24. As lâminas de um ventilador giram com velocidade angular dada por tt, 
onderad/s e rad/s2. (a) Calcule a aceleração angular em função do tempo. 
(b) calcule a aceleração instantânea para t = 3,00 s e a aceleração angular média para o 
intervalo de tempo t = 0 s até t = 3,00 s. Como essas duas grandezas podem ser 
comparadas? Caso elas sejam diferentes, por que são diferentes? 
25. O volante do protótipo de um motor automotivo está sendo testado. A posição angular θ 
= (2,0 rad/s3)t3. O diâmetro do volante é igual a 0,36 m. (a) Ache o ângulo θ, em 
radianos e em graus, nos instantes t1 = 2,0 s e t2 = 5,0 s; (b) Ache a distância percorrida 
por uma partícula na periferia do volante neste intervalo de tempo. (c) Calcule a 
velocidade angular média, em rad/s e em ver/mim (rpm), entre t1 = 2,0 s e t2 = 5,0 s. (d) 
Ache a velocidade angular instantânea para t = t2 = 5,0 s. 
26. Um carrossel gira a partir do repouso com uma aceleração angular de 1,50 rad/s2. 
Quanto tempo leva para ele executar (a) as primeiras 2,00 rev e (b) as próximas 2,00 
rev? 
27. Quais são os módulos (a) da velocidade angular, (b) da aceleração radial, e (c) da 
aceleração tangencial de uma nave espacial que faz uma curva circular de raio igual a 
3220 km a uma velocidade de 29 000 km/h? 
28. Na figura abaixo, uma roda A de raio rA = 10 cm está acoplada por uma correia B a uma 
roda C de raio rC = 25 cm. A velocidade angular da roda A é aumentada a partir do 
repouso a uma taxa constante de 1,6 rad/s
2
. Encontre o tempo necessário para a roda C 
atingir uma velocidade angular de 100 rev/min, supondo que a correia não desliza. 
(Sugestão: Se a correia não desliza, as velocidades lineares nas duas horas devem ser 
iguais.) 
 
 
29. Calcule a velocidade angular necessária (em rev/min) de uma ultracentrífuga para que a 
aceleração radial de um ponto a 2,50 cm do eixo seja igual a 400.000g (isto é, 400.000 
vezes maior do que a aceleração da gravidade). 
30. A figura abaixo fornece a velocidade angular em função do tempo para uma haste fina 
de raio unitário e que gira em torno de uma de suas extremidades. (a) Qual é o módulo 
da aceleração angular da haste? (b) Em t = 4,0 s, a haste tem uma energia cinética de 
1,60 J. Qual é a energia cinética da haste em t = 0 s? 
 
 
31. Quatro pequenas esferas, todas consideradas massas puntiformes com massa de 0,200 
kg, estão dispostas nos vértices de um quadrado de lado igual a 0,400 m e conectadas 
por hastes leves (figura abaixo). Calcule o momento de inércia do sistema em relação a 
um eixo (a) perpendicular ao quadrado e passando pelo seu centro (um eixo passando 
pelo ponto O na figura); (b) cortando ao meio dois lados opostos do quadrado (um eixo 
ao longo da linha AB indicada na figura); (c) passando pelo centro da esfera superior da 
esquerda e pelo centro da esfera inferior da direita e através do ponto O. 
 
 Figura Q.27 Figura Q. 28 
 
32. Uma roda de carroça é feita como indicado na figura. O raio da roda é igual a 0,300 m e 
o aro possui massa igual a 1,40 kg. Cada um dos seus oito raios, distribuídos ao longo 
de diâmetros, possuem comprimento de 0,300 m e massa igual a 0,280 kg. Qual é o 
momento de inércia da roda em relação a um eixo perpendicular ao plano da roda e 
passando pelo seu centro? (Use as fórmulas indicadas na tabela apresentada no final da 
lista). 
33. 
34. A figura 34 mostra um bloco uniforme de massa M e arestas de comprimentos a, b e c. 
Calcule a sua inércia rotacional em torno de um eixo que passe em um vértice e seja 
perpendicular à face maior do bloco. 
 
 Figura 34 Figura 35 
35. Desejamos calcular a inércia rotacional de um disco de massa M e raio R em torno de 
um eixo que passa através de seu centro, perpendicular à superfície. Considere um 
elemento de massa DM na forma de um anel de raio r e largura dr (veja figura 35). (a) 
Qual é a massa DM desse elemento, escrito como fração da massa total M do disco? (b) 
Qual é a inércia rotacional dI desse elemento? (c) Integre o resultado de (b) para 
encontrar o momento de inércia do disco como um todo. 
36. Use o teorema dos eixos paralelos para mostrar que os momentos de inércia das partes 
(a) e (b) da tabela descrita no final da lista são coerentes. 
37. Uma barra delgada e uniforme de massa M e comprimento L é curvada no seu centro, 
de modo que os dois segmentos passam a ser perpendiculares um ao outro. Ache o 
momento de inércia em relação a um eixo perpendicular ao seu plano e que passe (a) 
pelo ponto onde os dois segmentos se encontram e (b) pelo ponto na metade da linha 
que conecta as duas extremidades. 
38. Uma das peças de articulação mecânica possui massa igual a 3,6 kg. Medimos seu 
momento de inércia em relação a um eixo situado a uma distância 0,15 m do seu centro 
de massa e encontramos um Ip = 0,132 kg.m
2
. Qual é o momento de inércia Icm em 
relação a um eixo paralelo que passa pelo centro de massa? 
 
Figura 38 Figura 39 
39. Você acabou de assistir um filme em DVD, e o disco está diminuindo a rotação para 
parar. A velocidade angular do disco é igual a 27,5 rad/s no instante t= 0 e sua 
aceleração angular é constate e igual a -10 rad/s
2
. Uma linha PQ na superfície do disco 
coincide com o eixo +Ox no instante t =0 (figura 40). (a) Qual é a velocidade angular 
do disco no instante t =0,300 s? (b) Qual é o ângulo formado entre a linha PQ e o eixo 
+Ox neste instante. 
40. Calcule o torque (módulo, direção e sentido) em trono de um ponto “O” de uma força F 
em cada uma das situações mostradas na figura abaixo. Em cada caso, a força e a barra 
estão no plano da página, o comprimento da página é igual a 4,00 metros e a força 
possui módulo igual a 10,0 N. 
 
41. Um livro de 2 kg está em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. Uma 
corda amarrada a um livro passa sobre uma polia com diâmetro igual a 0,150 m e na sua 
outra extremidade está preso outro livro suspenso com massa de 3 kg. O sistema é solto 
a partir do repouso, e os livros se deslocam 1,20 m em 0,800 s. (a) qual é a tensão em 
cada parte da corda. (b) Qual é o momento de inércia da polia em torno do seu eixo de 
rotação? 
42. Uma caixa de 12 kg em repouso sobre uma superfície horizontal e livre de atrito está 
atada a um peso de 5 kg por um cabo delgado e leve que passa sobre uma polia com 
atrito desprezível. A polia possui a forma de um disco maciço e uniforme com massa de 
2 kg e diâmetro de 0,500 m. Após o sistema ser libertado, ache (a) a tensão no cabo 
sobre ambos os lados da polia, (b) a aceleração da caixa e (c) os componentes horizontal 
e vertical da força que o eixo exerce sobre a polia. 
 
43. Um carro de 1000 Kg possui quatro rodas de 10 Kg. Quando o carro está se movendo, 
que fração de energia cinética total é devido a rotação das rodas em torno dos seus 
eixos? Suponha que as rodas têm o mesmo momento de inércia que disco de mesma 
massa e tamanho. (P.S: momento de inércia para o disco uniforme I = ½ MR
2
). 
44. Um automóvel viajando a 80 km/h possui pneus com 75,0 cm de diâmetro. (a) Qual a 
velocidadeangular dos pneus em torno dos seus eixos? (b) Se o carro é parado 
uniformemente em 30 voltas completas dos pneus (sem deslizar), qual o módulo da 
aceleração angular das rodas? (c) que distância o carro percorre durante a frenagem? 
45. Um cilindro maciço e uniforme com massa 8,25 kg e diâmetro de 15,0 cm está girando 
a 220 rpm sobre um eixo delgado e de atrito desprezível, que passa ao longo do eixo do 
cilindro. Você projeta um freio de atrito simples, que pára o cilindro pressionando o 
freio de encontro com a periferia externa com uma força normal. O coeficiente de atrito 
cinético é 0,003. Qual ser a força normal para colocar o cilindro em repouso após ele ter 
girado 5,26 revoluções? 
46. Uma bola sólida rola suavemente a partir do repouso (começando na altura H=6,0 m) 
até deixar a parte horizontal do fim da pista, a uma altura de 2,00m. Qual a velocidade 
que a bola atinge o piso? (P.S: momento de inércia para uma esfera maciça I = 2/5 
MR
2
). 
 
Figura Q.46 Figura Q.49 
47. O volante de uma máquina possui momento de inércia igual a 2,50 kg.m2 em torno do 
seu eixo de rotação. Qual o torque constante necessário para que, partindo do repouso, 
sua velocidade angular atinja o valor de 400 rev/min em 8,00 s? 
48. Um fio é enrolado diversas vezes em torno da periferia de um pequeno aro de raio 8,0 
cm e massa 0,180 kg. Se a extremidade livre do fio é mantida fixa e o aro é libertado a 
partir do repouso. Após o aro cair por 75 cm, calcule (a) a velocidade escalar angular do 
aro em rotação e (b) velocidade no seu centro. 
49. Uma casca esférica de massa igual a 2,00 kg rola sem deslizar ao longo de um plano 
inclinado de 38,0
o
. Ache a aceleração, a força de atrito e o coeficiente de atrito mínimo 
necessário para impedir o deslizamento. PS: I = 2/3 MR
2
. 
50. Um motor fornece 175 hp para uma hélice de um avião para uma rotação de 2400 
rev/min. (a) qual o torque fornecido pelo motor do avião? (b) Qual o trabalho realizado 
pelo motor em uma revolução da hélice? (1 hp = 746 w). 
51. Uma roda de 32 kg, essencialmente um aro fino com raio de 1,20 m, está girando a 280 
rev/min. Ela precisa ser parada em 15, 0 s. (a) que trabalho deve ser realizado para pará-
la? (b) qual a potência média necessária? 
52. (a) Calcule o torque desenvolvido por um motor industrial de potência de 150 KW para 
uma velocidade angular de 4000 rev/min. (b) um tambor de massa desprezível, com 
diâmetro igual a 0,400 m, é ligado ao eixo do motor e a potência disponível do motor é 
usada para levantar um peso pendurado em uma corda enrolada em torno do tambor. 
Qual o peso máximo que pode ser elevado com velocidade constante? (c) com que 
velocidade constante o peso sobe? 
53. Uma mesa giratória grande possui forma de disco com raio igual a 2,00 m e massa igual 
a 120 kg. A mesa giratória está inicialmente a 3,00 rad/s em torno de um eixo vertical 
que passa em seu centro. Repentinamente um pára-quedista pousa suave em um ponto 
próximo a periferia da mesa. (a) Ache a velocidade angular da mesa depois que o para- 
quedista pousa (suponha o paraquedista como uma partícula). (b) Calcule a energia 
cinética antes e depois do pouso do pára-quedista. 
54. Uma roda está girando livremente com uma velocidade angular de 800 rev/min sobre 
uma haste cujo momento de inércia é desprezível. Uma segunda roda, inicialmente em 
repouso e com o dobro do momento de inércia da primeira, é repentinamente acoplada a 
mesma haste. (a) Qual a velocidade angular da combinação resultante da haste e das 
duas rodas? (b) Que fração da energia cinética rotacional original é perdida? 
55. Uma mulher com massa de 50 kg está em pé sobre a periferia de um grande disco que 
gira com 0,500 rev/s em torno de um eixo que passa através do seu centro. O disco 
possui massa de 110 kg e raio igual a 4 m. Calcule o módulo do momento angular total 
do sistema mulher-disco. (suponha que a mulher possa ser tratada como um ponto). 
56. Um pequeno bloco apoiado sobre uma mesa horizontal sem atrito possui massa de 
0,0250 kg. Ele está preso a uma corda sem massa que passa através de um buraco na 
superfície. No início, o bloco está girando a uma distância de 0,3 m do buraco com uma 
velocidade angular de 1,75 rad/s. A seguir a corda é puxada por baixo, fazendo com que 
o raio do circulo se encurte para 0,15 m. O bloco pode ser considerado uma partícula. 
(a) o momento angular é conservado? (b) Qual é a velocidade angular? (c) Calcule a 
variação da energia cinética do bloco. (d) Qual o trabalho realizado ao puxar a corda? 
 
Tabela: