Mapas e Seções 1 Apostila Prática G.Estrutural 2010

Prévia do material em texto

�PAGE �
�PAGE �1�
Geologia Estrutural Prática
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CENTRO DE GEOCIÊNCIAS 
DEPARTAMENTO DE GEOLOGIA
DISCIPLINA: GEOLOGIA ESTRUTURAL
			
									Prof. Milton Matta
GEOLOGIA ESTRUTURAL - PRÁTICA
Cap. 01 – Projeção Estereográfica
	1.1- Introdução
	A projeção estereográfica constitui um processo gráfico que, através de diagramas especiais, permite a representação (locação) de elementos estruturais, principalmente retas e planos, para que posteriormente possam ser determinadas suas relações geométricas.
	Esse tipo de projeção tem diversas aplicações no campo da geologia estrutural, constituindo-se um método prático de representar, no plano, elementos planares e lineares situados no espaço, com preservação de suas relações angulares. 
	1.2- Fundamentos Básicos
	Considerando-se uma esfera de raio R, conforme a mostrada na Figura 01, por cujo centro O passe um plano não horizontal ( (Pi). A interseção desse plano com a esfera descreve um círculo de raio R e diâmetro AB. A reta AB representa, também, a direção do plano (. O plano equatorial (PE) divide ao meio o círculo de interseção entre o plano ( e a esfera de referência.
Figura 01 – Elementos fundamentais dos fundamenmtos da Projeção Estereográfica. 
	Eliminando-se o hemisfério superior da esfera de referência e imaginando um observador postado no ponto V, a uma distância R verticalmente acima do centro O (Fig. 02), o semicírculo formado pela interseção do plano com a esfera será visualizado pelo observador segundo o arco AB, projetado no plano equatorial.
	Cada ponto do semicírculo 1,2,3 etc., será projetado no plano equatorial segundo os pontos 1’, 2’, 3’, etc. Diz-se, então, que o arco AB representa a projeção estereográfica do plano considerado e a linha AB corresponde à direção do plano.
Figura 02 – Projeção estereográfica do plano ( sobre o plano equatorial da esfera.
	Se imaginarmos o plano ( com seu ângulo de mergulho diminuído, o que aconteceria com o arco que representa sua projeção estereográfica? Com certeza se aproximaria mais da periferia do plano equatorial !
Se acontecesse o oposto, um aumento do ângulo de mergulho do plano, o arco que representa sua projeção seria mais fechado , até que, ao ser atingido um ângulo de 90o , o arco estaria restrito à própria reta AB.
Da mesma forma, se o ângulo de mergulho do plano fosse gradualmente reduzido, o arco de sua projeção se aproximaria mais e mais da borda do plano equatorial, até ser confundido com o próprio, ao ser atingido o valor de mergulho igual a zero.
A Figura 03 mostra a projeção de todos os planos que possuem direção AB e que mergulham de 10 em 10 graus para direita e esquerda.
Figura 03 – Projeção de todos os planos com direção AB com mergulhos sucessivos
 de 10 em 10 graus.
	Pode-se, também, variar a direção da reta AB, dividindo-se o plano equatorial em intervalos de 10 graus (Fig. 04). Obtém-se, então, uma rede de projeção estereográfica (Fig. 05) com a qual pode-se projetar quaisquer feições planares e lineares de interesse. 
Figura 04 – Variação na direção do plano (.
		Figura 05 – Diagrama de projeção estereográfica.
Existem vários tipos de rede estereográfica para serem utilizadas em geologia estrutural, as mais comuns delas são as redes de Wulff (Fig. 06) e a rede de Smith-Lambert ou rede de igual área (Fig. 07)
Figura 06 – Rede de Wulff.
Figura 07 – Rede de Igual Área
A rede de igual área é mais apropriada para a representação de feições lineares e planares de forma estatística, onde tem-se interesse na distribuição desses elementos na área do diagrama. A rede de Wulff, por sua vez, é mais utilizada para exercícios de relações angulares.
Resta, agora, aprender a utilizar a rede estereográfica, na plotagem de elementos estruturais.
Antes que se comece a manipular a rede de projeção, faz-se necessário que se lembre das nomenclaturas utilizadas para representar planos e retas.
1.3- Atitude de Feições Planares
	
	A atitude de uma feição planar é a sua representação espacial, através de suas coordenadas geológicas e pode ser expressa através de sua direção, seu mergulho e do sentido do mergulho.
Fig. 08 - Desenhos ilustrativos da atitude de uma feição planar. A) Afloramento ilustrando, em pontilhado, a direção do plano, enquanto a seta indica o sentido do mergulho. B) Bloco diagrama mostrando geometricamente a relação entre a direção e o mergulho (ângulo () , e na parte inferior a representação em mapa. C) Modo de traçar no mapa, em referência ao norte, o símbolo da direção e do mergulho de um plano (Segundo Loczy & Ladeira, 1976)
	Direção de um plano ( é a orientação em relação ao norte de uma linha resultante da interseção desse plano com um plano horizontal imaginário. Representa o orientação de uma linha horizontal contida no plano em questão (Fig. 08). 
Mergulho de um plano ( é o ângulo diedro entre o plano em questão e um plano horizontal. Esse ângulo deve ser tomado perpendicularmente à direção do plano. A linha de mergulho representa a linha de maior declive do plano considerado (Fig. 08)
	Para se representar a atitude de um plano em mapas utiliza-se o símbolo mostrado na Figura 08B, semelhante ao sinal utilizado em geometria para indicar o perpendicularismo ((). A linha maior representa a direção da camada, sendo traçada paralela a mesma no mapa. A linha menor indica o sentido do mergulho, sendo perpendicular à direção. O número disposto entre as duas linhas é o valor angular do mergulho em graus. Para o caso de planos horizontais e verticais usam-se os símbolos mostrados na Figura 09.
Fig. 09 - Blocos diagramas e mapas ilustrando os símbolos de coordenadas geológicas para planos: A) inclinados, B) verticais e C) horizontais (Segundo Loczy & Ladeira, 1976).
 
	Em diversas situações práticas tem-se mergulhos aparentes de feições planares segundo variadas direções (Fig. 10)
Fig. 10 - Relação entre mergulho verdadeiro e mergulho aparente em uma determina direção.
	Diversas são as nomenclaturas existentes para se escrever a atitude de uma feição planar. A seguir, alguns exemplos.
	N 200 W 350/NE ( representa um plano que tem a direção de 200 com o norte, no sentido anti-horário e tem um mergulho de 350 para o quadrante nordeste .
	350/700 Az ( a mesma atitude acima escrita de uma outra forma
	200 Az 350/NE ( outra maneira de escrever a mesma atitude acima
	
	350 / N70E ( idem !
	S200 E 350/NE ( idem !
	1600 Az 350/NE ( idem !
1.4- Atitude de Feições Lineares
	As retas podem ser representadas, basicamente, de duas maneiras:
Pelo mergulho da reta e o rumo ou azimute da direção desse mergulho:
Ex. = 140 /330 0 Az
Pela direção da reta, acrescida do valor do mergulho e do seu sentido:
Ex. = 330 Az 140 /NW
	1.5- Utilizando a Projeção Estereográfica
Preparação da rede e papel de projeção
Plotar planos
Plotar retas
Polos de planos
Interseção entre planos
Ângulos entre retas
Ângulo entre planos
Mergulhos verdadeiros e aparentes
Rotação
1.6- Diagramas
Existem, basicamente, dois tipos de diagramas: Diagrama Beta (() e Diagrama Pi ((), Figs. 11 e 12). 	
No diagrama (, mostrado na Figura 11 são representadas as próprias projeções esteográficas dos planos em questão.
Figura 11 – Diagrama (.
	Nos diagramas ( os planos são representados por suas projeções polares. Isso, obviamente, torna muito mais fácil a visualização do comportamento espacial de cada estrutura.
		
Figura 12 – Diagrama Pi (()
Ao se analisar um determinada feição estrutural planar ou linear plotada em um diagrama Pi (Fig. 13), pode-se notar alguns tipos de comportamento em sua distribuição espacial. 
 
Figura 13 – Representação de 130 lineações (a) e 1000 polos de foliação.
	A Figura 13 (a) mostra o que chamamos deum máximo de concentração. Isso se verifica quando a distribuição se concentra ao longo de um determinado ponto. Nesse caso pode-se dizer que a lineação representada tem uma atitude média de 45o /270 Az. Pode-se dizer, ainda, que a direção dessa estrutura linear varia entre os azimutes 2550 e 2950 . Os valores de mergulho também mostram uma pequena variação entre 750 e 300 .
	A distribuição dos polos da foliação na Fig. 13(b) obedece o que se denominou de guirlanda . Isso ocorre quando os polos se distribuem segundo um dos arcos da rede de projeção. Esse caso ocorre quando a estrutura planar encontra-se dobrada, através de uma dobra cilíndrica (Fig. 12) e pode-se determinar o eixo da dobra que, no caso em questão, tem uma atitude aproximada de 200 60 Az . 
	Mas o que fazer quando a distribuição de um determinado elemento estrutural se dá segundo o diagrama da Figura 14 ? Nesses casos é necessário que se construa diagrama de freqüência de pontos para que se possa visualizar o comportamento espacial da estrutura em questão.
	Existem diversas maneiras de construir esses diagramas de freqüência. Pode-se utilizar diversos tipos de redes de contagem de pontos. Essas redes permitem que se conte o número de elementos existentes em uma determinada área e se represente esse número num determinado lugar que variará dependendo da geometria da rede de contagem. A Figura 15 mostra um exemplo de rede de contagem.
		Figura 14 – Diagrama Pi para 230 medidas de fraturas.
Figura 15 – Exemplo de rede para contagem de pontos na construção dos 
 diagramas de freqüência.
	O processo de construção dos diagramas de freqüência continua quando se traça curvas de iso-freqüência de pontos, a exemplo do que é mostrado na Figura 16. Com as curvas, é necessário que se estabeleça uma escala de valores para os diversos campos entre as linhas de iso-freqüência, de tal forma que se consiga visualizar as diversas concentrações de interesse ao estudo (Fig. 17).
	Depois de construir os diagramas de freqüência de pontos, é importante que se aprenda a interpretá-los. Alguns exemplos de interpretação são mostrados na Figura 18. 
			Figura 16 – Curvas de iso-freqüência de pontos. 
Figura 17 - Diagrama de freqüência de pontos.
Figura 18 – Exemplos de diagramas de frequência de pontos para interpretação.
Cap. 02 - Mapas e Seções Geológicas
Mapas 
Um mapa é uma representação, no plano horizontal, das informações geológicas de uma determinada área. Um mapa representa o projeção dessas informações sobre um plano horizontal.
	Tem-se diversos tipos de mapa de interesse para o aluno de geologia:
	Mapas Topográficos: são aqueles que mostram as características topográficas de uma determina área. Para tanto são utilizadas as curvas de nível, que representam linhas que unem pontos de mesma cota topográfica (Fig.19)
	Como cota topográfica entende-se a distância na vertical do ponto considerado até uma base de referência (datum), normalmente considerada o nível do mar local.
	Para se obter o mapa de curvas de nível procede-se como mostrado na Figura 20. As curvas de nível representam projeções, no plano horizontal, das linhas de interseção da topografia com planos horizontais imaginários tomados em intervalos de cota específicos.
Fig. 19 - Exemplo de um mapa topográfico.
Fig. 20 - Esquema de mapa topográfico obtido de um bloco
 diagrama (Segundo Loczy & Ladeira, 1976)
	Mapas Estruturais: são aqueles que mostram as principais feições estruturais de uma determinada área (Fig. 21), independentemente de outras informações geológicas.
	Mapas Geomorfológicos: são mapas que mostram as principais características geomorfológicas de determinada área, incluindo formas de relevo, aspectos das bacias de drenagem, etc.
	Mapas de Ocorrências Minerais: mostram as principais ocorrências minerais de uma área. 
Mapas Geológicos: são aqueles que mostram as informações geológicas de uma área, incluindo, principalmente as unidades litológicas e/ou estratigráficas (Fig. 22)
 De interesse especial para os objetivos desse estudo são os mapas topográficos, estruturais e geológicos.
Seções
Seções Topográficas
	Seção ou perfil topográfico é a representação das características topográficas de um local no plano vertical. Normalmente é construindo a partir de um corte vertical sobre mapas topográficos conforme ilustram as Figuras 23 e 24. 
Fig. 21 - Exemplo de mapa estrutural. 
Seções Geológicas
	São seções que mostram, além da topografia, os contatos entre as diversas unidades litológicas ou estratigráficas. A Figura 25 ilustra o processo de construção dessas seções. 
Fig. 22 - Mapa geológico.
Fig. 23 - Esquema de construção de mapa topográfico.
Fig. 24 - Esquema de construção de perfil topográfico.
Fig. 25 - Método de construção de seção geológica apartir de mapas.
	
Título do desenho : Ex.: Mapa estrutural da região de Araçá
Escalas Horizontal e vertical: Ex.: 1:20 000
Orientação: NW - SE
Legenda : deve esclarecer a que se referem as principais referências contidas no mapa.
Cap. 03 - Cálculo de Profundidades e Espessuras de Camadas
	Muitas vezes o geólogo se depara com a necessidade de fazer cálculo de espessura e profundidades de determinadas feições geológicas, partindo de dados de afloramentos.
Espessuras de Camadas
Camadas horizontais
Fig. 26 - Exemplo de camada horizontal.
	Espessura = Cota do Topo - Cota da Base
Camadas inclinadas
Topografia horizontal
 L 
 ( 
 e
Fig. 27- Camada inclinada em topografia horizontal
		b) Topografia inclinada no mesmo sentido da camada
 ( L ( 
 e
Fig. 28 - Camada inclinada no mesmo sentido da inclinação da topografia.
			
		c) Topografia e camadas inclinadas em sentidos contrários
 (
 e ( 
 
		
Fig. 29 - Camada inclinada no sentido oposto à inclinação topográfica.
Profundidades
		a) Terreno horizontalizado
Fig. 30- Exemplo de terreno horizontalizado.
	b) Terreno com inclinação em sentido oposto à camada
 
 A
 L
 ( p
 M B 
 
 C
	
Fig. 31 - Camada inclinada no sentido oposto à inclinação topográfica.
P = AB + BC
	AB = L Sem (
	MB = L Cos (
	BC = MB tg (
	BC = L Cos ( Tg (
	
Terreno com a mesma inclinação da camada
 A
 B L (
 
 P
 C 
Fig. 32 - Camada inclinada no mesmo sentido que a topografia
 P = AC - AB
	AB = L Sen (
	AC = MB tg ( 
		MA = L Cos (
	AC = L Cos ( tg (
		P = L Cos ( tg ( - L Sen 
			
Cap. 04- Atitude de camadas em mapas
	Para se determinar a atitude de uma feição estrutural planar em um mapa geológico parte-se,inicialmente, para a determinação de sua direção. Para tanto, utiliza-se a definição de que a direção de um plano representa uma linha horizontal contida no plano considerado. Em um mapa geológico, para de encontrar uma linha horizontal de uma superfície basta se encontrar dois pontos, pertencentes a essa superfície e que estejam sobre curvas de nível de mesmo valor (Fig. 33)
	Figura 33 – Esquema de obtenção da direção de um plano em mapa.
	A linha obtida da forma mostrada acima é denominada de linha de contorno estrutural (strike line). Tem uma conotação semelhante à linha de nível para caracterização da topografia. No caso da strike line, porém, ela se refere à um horizonte estratigráfico ou estrutural e não topográfico ( Figs. 34 a 36)
Fig. 34- Determinação das linhas de contorno estrutural de uma camada
	
Fig. 35 - Esquema de obtenção da linha de contorno estrutural. 
Fig. 36 - Esquema de construção de mapas de contorno estrutural
Pode-se construir mapas de contorno estrutural que possibilitará interpretações de estruturas geológicas em mapas (Fig. 37)
 200m 300m 400m
100
 
200
300
400
500
Fig. 37 - Mapa de contorno estrutural, mostrando um sinforme assimétrico, com eixo na
 direção NW - SE
	Para se determinar o mergulho do plano no mapa, traça-se duas linhas de contorno estrutural para a mesma superfície e, geométrica ou graficamente, determina-se o mergulho (Fig. 38)
 d
 e 
Tg ( = d/e , onde
		d = distância, na escala do mapa, equivalente a diferença de cota
 entre as duas linhas de contorno estrutural;
e = menor distância entre as duas linhas de contorno estrutural;
( = ângulo de mergulho da superfície
Figura 38 - Determinação do ângulo de mergulho de uma superfície.
Cap. 05- Problema dos 3 Pontos
	O problema dos 3 pontos constitui uma técnica bastante útil na resolução de diversos problemas de geologia estrutural. 
	Suponha que seja necessário se determinar a atitude de uma camada geológica e suas linhas de afloramento em um mapa com curvas de nível. Será necessário que se conheça as cotas de, pelo menos, 3 pontos diferentes.
 A (400m)
 400m 
 B(300m)
 300m
 C(200m)
 200m
Fig. 39 - Determinação da direção de uma camada pelo problema dos 3 pontos.
Consideremos os pontos A, B e C na Figura 39, os quais estão em cotas conhecidas (400m, 300m e 200m, respectivamente).
Fecha-se o triângulo através dos 3 pontos e encontra-se a posição da cota de valor intermediário na linha que une os pontos de maior valor de cota com o de menor cota. No caso do exemplo da Figura 39, encontra-se a linha de contorno estrutural de valor de cota igual a 300m. Passa-se, então, paralelas por essa linha para que sejam encontradas as linhas de contorno estrutural de valores 200m e 400m (Fig. 39)
Para se obter o mergulho dessa superfície procede-se da mesma forma explicada no item 4, anterior. Ele pode ser obtido gráfica ou analiticamente.
Para se encontrar os pontos em que essa superfície afora ao longo de todo o mapa, deve-se encontrar todos os pontos em que a linha de contorno estrutural encontra curvas de nível de mesmo valor de cota. 
	A Figura 40 exemplifica esse método. Nela, as linhas pretas representam curvas de nível, as linhas azuis se referem às linhas de contorno estrutural para uma determinada superfície. A linha vermelha mostra o afloramento da superfície e foi obtida unindo-se os pontos em que curvas de nível e linhas de contorno estrutural apresentam os mesmos valores de cotas.
Fig. 40 - Esquema de obtenção da linha de afloramento de uma superfície pelo
 problema dos 3 pontos.
PARTE A – PROJEÇÃO ESTER.
PARTE B – MAPAS E SEÇÕES
PARTE A – PROJEÇÃO ESTEREOGRÁFICA
EXERCÍCIO NO 01
Escreva as atitudes dos planos abaixo de outras 5 formas diferentes:
240 /2250 Az
N10 0E 540 /SE
500 /N
S750 W 200 /NW
100 /100 Az
3350 Az Vert.
720 /90 Az
260 / S650 E
1800 Az 210/E 
850 /850 Az
Faça o mesmo para as lineações abaixo:
230/ 2250 Az
N200W 460 NW
S180E 210NW
220 /N
EW Horizontal
050 /2700 Az
3200 Az 120 /SE
800 /S240W
N670E 28
Vertical
EXERCÍCIO NO 02
Plotar os seguintes planos e seus polos.
N62ºW 18NE
42º / 117º Az
238º Az 23º/SE
horizontal
115o Az vertical
EW vertical
Plotar as seguintes retas.
37º / 12º Az
72º / N
314º Az 13º/NW
vertical
37º Az horizontal
112º Az 40º / SE
Achar as atitudes das retas de interseção entre os seguintes pares de planos e os ângulos formados entre os mesmos.
A-150º Az 07º / SW			B- 33º / 97º Az
C- horizontal				D- 222o vertical
E- N 78º W 45º/SW			F- horizontal
03º / 74º Az				H- S 08º W 28º/NW
Achar o ângulo entre os seguintes pares de retas.
30º /E			b- 72º Az horizontal
137º Az 42º/SE	d- vertical
87º / 154º Az		f- 338º Az 49º/NW
vertical		h- 25º Az horizontal 
EXERCÍCIO NO 03
1- Com os planos: 	A: 220/3320 AZ
B: 820/S
	C: N550W 480/SW
		D: 3600 Vertical
a-Plote os planos e os seus respectivos polos;
b-Encontre as atitudes das lineações de interseção entre (AB),(AD) e (BD)
c-Ache os ângulos entre os planos (AB), (AC), (AD), (BC) e (CD)
d-Encontre os mergulhos aparentes do plano C nas direções 3600 e 900 Az
2- 	a) Plote os planos e seus polos =	A: 212 Az 45/SE
							B: Horizontal
						C: 35/N
Encontre as atitudes das lineações de interseção =
	s: A/B
	r: A/C
			t: B/C	
Quais os ângulos entre A e B; A e C; B e C 
Quais os mergulhos aparentes do plano A nas direções 180o e 130o Az
Foram medidos dois mergulhos aparentes de um mesmo plano:
32o /222o Az
29o / 306o Az
Encontre a atitude correta desse plano!
 
EXERCÍCIO NO 04
1- Com a projeção estereográfica encontre:
a) - O ângulo entre os planos: M= 30/120 e N= 330 Az Vertical
b) - A atitude do plano perpendicular à N (da questão anterior)
c) - O mergulho aparente do plano M acima nos rumos N30E
 e S30E
d) - A atitude do plano perpendicular ao plano simétrico a 88o /S
2- Encontre as novas atitudes do plano M= 200o Az 68o SE e da reta 
 r= 17o/S, depois de rotacionados de 45o , no sentido anti-horário, 
 segundo o eixo E= 62o /90o Az.
3- Uma camada foi rotacionada de 40o , no sentido anti-horário por uma falha e sua atitude depois da rotação passou a ser C= 35o /N. Sabendo-se que o eixo de rotação tem a atitude e= 46o /W, encontre a atitude da camada antes do falhamento.
4- Encontre a atitude do plano P: 42o/178o Az e da linha l: 10o/10o Az, depois de rotacionados segundo o eixo: 32/190 Az, com ângulo de rotação de 200 , no sentido horário. 
EXERCÍCIO NO 05
1- Interprete os diagramas abaixo, da forma mais completa
 possível:Diagrama A: polos de foliação milonítica (cinza) e lineação de estiramento
 (preto)
Diagrama B: polos de fraturas
Diagrama C: polos de acamamento
EXERCÍCIO NO 06
EXERCÍCIO NO 07
Interprete os diagramas abaixo !
PARTE A – MAPAS E SEÇÕES
EXERCÍCIO NO 08
Determine as espessuras das camadas;
Determine o empilhamento estratigráfico;
Faça uma seção geológica (A-B)
EXERCÍCIO NO 09
Com o mapa 2, encontre as atitudes das camadas, suas espessuras, empilhamento estratigráfico e faça duas seções a) perpendicular às strike lines, com EV= 3 EH e b) oblíqua às strike lines com EV=EH
EXERCÍCIO NO 10
Com o mapa anexo encontre:
A atitude do contato entre as camadas D e C, escrita de 5 formas diferentes;
As espessuras das camadas B, C, D, E, justificando como as encontrou ;
O empilhamento estratigráfico da área, justificando como o encontrou; 
As profundidades em que os contatos A/B, B/C e C/D serão encontrados em perfuração localizada no ponto X.
A área do mapa em que o contato B/C seria encontrado a menos de 100m de profundidade.
EXERCÍCIO NO 11
No Mapa 4, a base de um arenito de 100m de espessura vertical aflora nos pontos A,B e C. Encontre:	
atitude dessa camada;
afloramentos do topo e base do arenito na área do mapa;
um horizonte de carvão 100m abaixo do arenito afloraria no mapa? Onde?
em que profundidade o arenito seria encontrado no ponto C?
EXERCÍCIO NO 12
No Mapa 5, uma sondagem encontra um horizonte de carvão em uma profundidade de 50m no ponto A e encontra um horizonte inferior em profundidades de 150 e 250m respectivamente nos pontos B e C. Trace, no mapa, os afloramentos dos dois horizontes de carvão. Em qual área do mapa o horizonte inferior seria encontrado a menos de 50m de profundidade?
EXERCÍCIO NO 13
Complete o mapa geológico abaixo. Qual a coluna estratigráfica? Justifique!
EXERCÍCIO NO 14
Encontre as atitudes dos dois conjuntos de camadas separados pela superfície de discordância. Trace essa superfície. Mostre uma seção geológica representativa da estratigrafia da área. Escreva uma breve história geológica. 
EXERCÍCIO NO 15
Classifique a falha e calcule a componente vertical de seu rejeito.
�
EXERCÍCIO NO 16
Interprete o mapa da maneira mais completa possível.
EXERCÍCIO NO 17
Interprete o mapa da forma mais completa que puder. Elabore uma história geológica para a área.
Obs.: Em todos esses desenhos de mapas e seções geológicas deve-se sempre observar a necessidade de serem incluídos os seguintes dados:
e= L Sem (
e = L Sen (( - ()
e = L Sem (( + ()
P
L
A
B
(
P = L tg (
(
P = L (Sem ( + Cos (tg ()
(
P = l (Cos ( tg ( - Sen)
N
200m
(
400m
O ângulo de mergulho pode ser obtido graficamente, através do desenho da Figura 38, em escala, lendo-se diretamente o valor angular (
EXERCÍCIOS
Data da entrega: 
Data da entrega: 
Data da entrega: 
Data da entrega: 
Data da entrega: 
 B
 A
 F
 E
 C
 C
Data da entrega: 
�
�
�PAGE �10�
Prof. Milton Matta