Fundamentos de Matemática: Lógica e Conectivos

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Universidade Federal de Santa Catarina
Notas de Aula
Fundamentos de Matemática
Autores: Rafael Aleixo e Luiz-Rafael Santos
Blumenau, SC
21 de agosto de 2017
ii
Sumário
Prefácio v
1 Lógica 1
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Conectivos e, ou, não e tabelas verdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Implicação e a bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Tautologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Argumentos e o princípio da demonstração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Quantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7 Mais quantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.8 Métodos de demonstração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 Conjuntos, Relações e Funções 41
2.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Conjuntos Verdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3 Relações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4 Mais relações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.5 Relações de Equivalência e Partições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.6 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.7 Mais Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3 Indução Matemática 101
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.2 Princípio da Indução Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.3 Formas Equivalentes do Princípio da Indução Matemática . . . . . . . . . . . 106
Exercícios Resolvidos 113
Referências Bibliográficas 169
Índice Remissivo 171
iii
iv
Prefácio
Os fundamentos de matemática são essenciais para o entendimento e construção de ma-
teática. Os objetos de estudo (lógica, conjuntos, relações, funções e indução matemática)
darão ao leitor as ferramentas básicas para entender a linguagem e formalismo matemático.
Esse passo rumo à maturidade matemática é por um lado muito interessante pois nos faz
enxergar a matemática de um ponto de vista mais lógico-formal, por outro lado pode “dar
um nó” em nossa cabeça pois exige muito raciocínio e uma forma de pensar que muitos dos
leitores ainda não estão acostumados.
v
vi
Capítulo 1
Lógica
1.1 Introdução
Um amigo meu recentemente me disse que quando ele estudou lógica ele ficava com sono.
Eu respondi que ele parecia com sono e ele disse, “Sim, estou como sono”. Então ele adicionou,
“Portanto, você pode concluir que eu estava estudando lógica.” “Certamente, não!” eu respndi.
“Este é um bom exemplo de um argumento inválido”. De fato, se você estivesse estudando
lógica é óbvio que você não teria aprendido muito.
Este pequeno excerto de uma situação da vida real foi criado para ilustrar o fato que
usamos lógica em todos os dias de nossas vidas, embora nem sempre a usamos corretamente.
A lógica fornece o significado pelo qual obtemos conclusões e estabelecemos argumentos. A
lógica também fornece regras pelas quais raciocinamos em matemática. Para ser bem sucedido
em matemática teremos que entender precisamente as regras da lógica. Claramente, podemos
também aplicar estas regras a outras áreas da vida além de matemática e surpreender (ou
desanimar) nossos amigos com nossa lógica, mentes bem treinadas.
Neste capítulo descreveremos os vários conectivos usados em lógica, desenvolver a notação
simbólica, descobrir algumas regras úteis de inferência, discutir quantificação e exibir alguma
formas típicas de demonstração. Embora nossa dicussão sobre conectivos e tabelas verdade
no começo seja bastante mecânica e não requereira muita reflexão, ao final do capítulo esta-
remos analisando demonstrações e escrevendo algumas por nós mesmos, um processo menos
mecânico e bem profundo.
1.2 Conectivos e, ou, não e tabelas verdade
Os blocos básicos da lógica são as proposições. Por proposições entendemos como uma
sentença declarativa a qual é verdadeira ou falsa, mas não ambas. Por exemplo, “2 é maior que
3” e “todo triângulo equilátero tem os três ângulos congruentes” são proposições, enquanto
“x ≤ 3” e “esta sentença é falsa” não o são (a primeira é uma sentença declarativa mas não
podemos dizer se é verdade até definirmos o valor de x, tente determinar se a segunda é
verdade). Denotaremos proposições por letras minúsculas, p, q, r, s, etc. Em uma discussão
letras diferentes podem ou não representar proposições diferentes, mas uma letra aparecendo
mais de uma vez em uma dada discussão sempre será representada pela mesma proposição.
Uma proposição verdadeira dará um valor verdade de V (de verdadeiro) e uma proposição
1
2
falsa dará um valor verdade de F (de falso). Por exemplo, “2 + 3 < 7” tem valor verdade de
V enquanto “2 + 3 = 7” tem valor verdade de F.
Estamos interessados em combinar simples proposições (às vezes chamadas subproposi-
ções) para gerar proposições mais complicadas (ou compostas). Combinamos proposições com
conectivos, entre os quais são “e”,“ou”, e “implica”. Se p, q são duas proposições então “p e
q” é também uma proposição, chamada de conjunção de p e q, e denotadas por
p ∧ q.
O valor verdade de p∧q depende dos valores verdade das proposições p e q : p∧q é verdade
quando ambos p e q são verdade, caso contrário é falso. Note que, esse é o significado usual
de “e” que utilizamos em Português. A palavra “mas” tem o mesmo sentido lógico que “e”
mesmo que no Português corrente tenha uma conotação ligeiramente diferente. Uma maneira
conveniente para representar este fato é utilizando a tabela verdade. Quando cada uma de
duas proposições p e q tem dois possíveis valores verdade, juntos eles têm 2× 2 = 4 possíveis
valores verdade, a tabela abaixo lista todas as possibilidades:
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Então, por exemplo, quando p é V e q é F (linha 2 da tabela verdade), p∧ q é F. De fato,
a tabela verdade pode ser tomada como a definição do conectivo ∧.
Deve-se comentar aqui que a tabela verdade acima não tem nada a ver com p e q, já que é
apenas utilizada para definir p∧q. A tabela verdade pode ser vista como o x em f(x) = 3x+8.
O que a tabela verdade nos diz, por exemplo, é que quando a primeira proposição é F e a
segunda é V (terceira linha da tabela) a conjunção das duas proposições é F. Você pode
verificar sua compreensão disso fazendo o exercício 5 desta seção.
Outro conectivo comum é o “ou”, às vezes chamado de disjunção. A disjunção de p e q,
denotada por
p ∨ q,
é verdade quando pelo menos um de p, q é verdade. Isso é chamado de o “ou inclusivo”,
e corresponde ao “e/ou” que às vezes encontramos em documentos. Note que, em nossas
conversas do dia a dia utilizamos o “ou” de maneira exclusiva, isto é, tem valor verdade V
somente quando exatamente uma das subproposições é verdade. Por exemplo, a verdade de
“Quando você me ligou eu devo ter ido tomar banho ou ter passeado com o cachorro” não é
esperada quando se inclui ambas as possibilidades. Em matemática nós sempre usamos “ou”
no sentido inclusivo como definido acima e a tabela verdade é dada abaixo:
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
3
Dada uma proposição p, podemos formar uma nova proposição com o opostos do valor
verdade, chamada de negação de p, também denotada por
¬p,
e é normalmente lida como “não p”.
A tabela verdade da negação é:
p ¬ p
V F
F V
Podemos formar a negação de uma proposição, sem o entendimento do significado da
mesma, com “ é falso que” ou “não é o caso que”, mas a proposição resultante é estranha
e não passa a real natureza da negação. Uma consideração
mais precisa do siginificado da
proposição em questão geralmente indicará uma melhor maneira de expressar a negação. Mais
adiante veremos métodos para negar proposições compostas.
Considere os seguintes exemplos abaixo:
a) 3 + 5 > 7
b) Não é o caso que 3 + 5 > 7
c) 3 + 5 ≤ 7
d) x2 − 3x+ 2 = 0 não é uma equação quadrática
e) Não é verdade que x2 − 3x+ 2 = 0 não seja um equação quadrática
f) x2 − 3x+ 2 = 0 é uma equação quadrática
Note que, b) e c) são negações de a); e) e f) são negações de d), mas c) e f) são mais adequadas
que b) e e) respectivamente.
Usaremos a mesma convenção para ¬ da que se usa em álgebra elementar; com efeito, a
negação é aplicada somente ao próximo símbolo, o qual, neste caso, representa uma propo-
sição. Então, ¬p ∨ q significará (¬p) ∨ q ao invés de ¬(p ∨ q), assim como −3 + 4 representa
1 e não −7. Com esta convenção evitamos ambiguidade quando negamos uma composta de
proposições em Português. Por exemplo, como distinguimos entre ¬p ∨ q e ¬(p ∨ q) em Por-
tuguês? Suponha que, p representa “2 + 2 = 4” e q representa “3 + 2 < 4”. A proposição
“Não é o caso que 2 + 2 = 4 ou 3 + 2 < 4” deve significar ¬(p ∨ q) ou ¬p ∨ q? Se usamos a
mesma convenção que utilizamos para nosso símbolos, devemos ter ¬p∨ q. Mas, se tomarmos
esse significado, como diremos ¬(p ∨ q)? O problema parece ser o mesmo do equivalente ao
parênteses que usamos para agrupamento. Vamos adotar a convenção que “não é o caso que”
(ou uma negação similar) aplica-se a tudo que segue até algum tipo grupamento claramente
estabelecido. Então “Não é o caso que 2 + 2 = 4 ou 3 + 2 < 4” significaria ¬(p∨ q), enquanto
que “Não é o caso que 2+2 = 4, ou 3+2 < 4” significaria ¬p∨q. Claramente, quando falamos,
devemos ser muito cuidadosos usando pausas para, assim, indicar o significado correto.
Tabelas verdade podem ser utilizadas para expressar os possíveis valores verdade de pro-
posições compostas construindo colunas de uma maneira metódica. Por exemplo, desejamos
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construir uma tabela verdade para ¬(p ∨ ¬q). Começamos uma tabela verdade de quatro
linhas (existem quatro possibilidades) da seguinte forma:
p q ¬ ( p ∨ ¬ q )
V V
V F
F V
F F
Os valores verdade são preenchidos passo por passo:
p q ¬ ( p ∨ ¬ q )
V V V V
V F V F
F V F V
F F F F
preenchemos as colunas p e q
p q ¬ ( p ∨ ¬ q )
V V V F V
V F V V F
F V F F V
F F F V F
preenchemos a coluna ¬ q
p q ¬ ( p ∨ ¬ q )
V V V V F V
V F V V V F
F V F F F V
F F F V V F
preenchemos a coluna p ∨¬ q
p q ¬ ( p ∨ ¬ q )
V V F V V F V
V F F V V V F
F V V F F F V
F F F F V V F
preenchemos a coluna ¬ (p ∨¬ q)
Depois que alguma experiência é obtida, muitos dos passos escritos acima podem ser
eliminados. Note, também, que se a proposição composta envolve n subproposições então sua
tabela verdade requerirá 2n linhas. Portanto, por exemplo, a proposição composta de quatro
subproposições necessitará de 24 = 16 linhas.
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Exercícios 1.2
1. Determine os valores verdade das seguintes proposições
a) 3 ≤ 7 e 4 é um inteiro ímpar.
b) 3 ≤ 7 ou 4 é um inteiro ímpar.
c) 2 + 1 = 3 mas 4 < 4.
d) 5 é ímpar ou divisível por 4.
e) Não é verdade que 2 + 2 = 5 e 5 > 7.
f) Não é verdade que 2 + 2 = 5 ou 5 > 7.
g) 3 ≥ 3.
2. Suponha que representamos “7 é um número par” por p e “3+1 = 4” por q e “24 é diísivel
por 8” por r.
a) Escreva na forma símbólica e determine os valores verdade para:
i) 3 + 1 6= 4 e 24 é divísivel por 8.
ii) Não é verdade que 7 é ímpar ou 3 + 1 = 4.
iii) 3 + 1 = 4 mas 24 não é divísivel por 8.
b) Escreva o que vem a seguir em palavras e determine os valores verdade para:
i) p ∨ ¬ q.
ii) ¬ (r ∧ q).
iii) ¬ r ∨ ¬ q.
3. Construa a tabela verdade para:
a) ¬ p ∨ q.
b) ¬ p ∧ q.
c) (¬ p ∨ q) ∧ r.
d) ¬ (p ∧ q).
e) ¬ p ∧ ¬ q.
f) ¬ p ∨ ¬ q.
g) p ∨ ¬ p.
h) ¬ (¬ p).
4. Construa negações úteis para:
a) 3− 4 < 7.
b) 3 + 1 = 5 e 2 ≤ 4.
c) 8 é divisível por 3 mas 4 não é.
5. Suponha que definimos o conectivo ? dizendo que p ? q é verdade somente quando q é
verdade e p é falso, e é falso caso contrário.
a) Escreva a tabela verdade de p ? q.
b) Escreva a tabela verdade de q ? p.
c) Escreva a tabela verdade de (p ? p) ? q.
6
6. Vamos denotar o “ou exclusivo” às vezes utilizado nas conversas do dia a dia por ⊕.
Portanto, p ⊕ q será verdade exatamente quando uma condição de p, q é verdade e falso
caso contrário.
a) Escreva a tabela verdade de p⊕ q.
b) Escreva a tabela verdade de p⊕ p e (p⊕ q)⊕ q.
c) Mostre que “e/ou” realmente significa “e ou ou”, isto é, a tabela verdade para (p∧q)⊕
(p⊕ q) é a mesma tabela verdade que (p ∨ q).
d) Mostre que não faz diferença se tomamos o “ou” em “e/ou” como sendo inclusivo (∨)
ou exclusivo (⊕).
7. Explique a seguinte piada: Ansioso, o pai pergunta ao obstetra: “Doutor, é menino ou
menina?” O médico responde: “Sim.”
1.3 Implicação e a bicondicional
Se tivéssemos que escrever a tabela verdade de ¬ (p ∧ q) e ¬ p ∨ ¬ q (como, de fato,
já fizemos nos exercícios 3d e 3f acima) e compará-las então, notaríamos que essas duas
proposições tem os mesmos valores verdade e, portanto, em algum sentido são iguais. Esse
conceito é importante (importante suficiente para ter um nome), então a seguir fazemos a
seguinte definição:
Suponha que as duas proposições p, q tem a mesma tabela verdade. Então p e q são ditos
logicamente equivalentes, e denotaremos por
p ⇐⇒ q.
Basicamente, quando duas proposições são logicamente equivalentes elas têm a mesma forma,
e assim podemos utilizar uma ou a outra em outra proposição ou teorema. É importante
enfatizar que é a forma e não o valor verdade da proposição que determina se é (ou não)
equivalente a uma outra proposição. Por exemplo, “2 + 2 = 4” e “7 − 5 = 2” são ambas
proposições verdadeiras, mas não são logicamente equivalentes pois elas têm tabelas verdade
diferentes (se representamos a primeira proposição por p então a outra necessita um outro
símbolo, digamos q, e sabemos que elas não têm as mesmas tabelas verdade). Por outro lado,
“2+3 = 5 ou3−4 = 2” e “3−4 = 2 ou 2+3 = 5” são logicamente equivalentes. Para ver isso,
tome p representando “3− 4 = 2” e q representando “2 + 3 = 5”. A primeira proposição tem
a forma q ∨ p enquanto a segunda tem a forma p ∨ q. Uma rápida inspeção das duas tabelas
verdade nos mostra que estas duas proposições têm, de fato, a mesma tabela verdade.
Usando a ideia da equivalência lógica podemos formular certas relações entre negação,
disjunção e conjunção, também chamadas de Leis de DeMorgan:
Sejam p, q proposições quaisquer. Então
¬(p ∨ q) ⇐⇒ ¬p ∧ ¬q.
¬(p ∧ q) ⇐⇒ ¬p ∨ ¬q.
Já verificamos a segunda destas relações no exercícios 3d e 3f da seção 1.2. O leitor pode
verificar a outra simplesmente comparando as tabelas verdade. Em outras palavras, as lei de
7
DeMorgan dizem que, a negação de uma conjunção é logicamente equivalente a disjunção das
negações; e a negação de uma disjunção é logicamente equivalente a conjunção das negações.
Um erro comum é tratar ¬ em lógica como − em álgebra e pensar que ¬ distribui sobre ∨ e
∧ assim como − distribui sobre +. Isto é, desde que −(a+ b) = −a+ (−b), alguém poderia
pensar que ¬(p ∨ q) ⇐⇒ ¬p ∨ ¬q. Usando tabelas verdade pode-se ver que isso não está
correto. Então, enquanto nossa notação lógica parece de alguma forma “tipo-álgebra” (e, de
fato, é um certo tipo de álgebra), suas regras diferem daquelas da ágebra dos números reais
e não devemos fazer o mesmo erro de assumir que certas operações lógicas se comportam de
maneira análoga aos nosso amigos algébricos +, × e −.
Umas das formas proposicionais mais importantes em matemática é a da implicação ,
também chamada de condicional. De fato, todos os teoremas matemáticos são de alguma
forma uma implicação: Se “hipótese” então “conclusão”. A forma geral de implicação é “se p
então q”, onde p, q são proposições; vamos denotar este fato por:
p→ q.
Na condicional p→ q, p é chamada
de premissa (ou hipótese ou antecedente) e q é chamada
de conclusão (ou consequência ou tese ou consequente). A tabela verdade para p→ q é
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
Se pensarmos da maneira usual como damos significado ao implica, devemos concordar
que as duas primeiras linhas da tabela verdade acima correspondem ao uso comum que
fazemos, mas as duas últimas linhas podem não ser tão claras. É claro que, somos livres
para definir os valores verdade dos vários conectivos da maneira que quisermos e podemos
ter a posição que é essa a maneira que queremos definir implica (o que é de fato o caso) mas
vale a pena ver que a definição acima também está de acordo como usamos de forma diária.
Para este fim, vamos considerar o que será chamada “A parábola do cliente não satisfeito”.
Imagine que compramos um produto, digamos um sabão em pó chamado Limpão, depois
de ouvir o comercial que dizia, “Se você usar Limpão então sua roupa ficará branca!” Sob
quais circunstâncias podemos reclamar com o fabricante? Uma rápida reflexão revela que
certamente não podemos reclamar se não usamos Limpão (o comercial não dizia nada sobre
o que aconteceria se usassemos Omu, por exemplo), e não poderíamos reclamar se usassemos
Limpão e nossa roupa ficasse branca; portanto poderíamos reclamar somente no caso que
tivessemos usado Limpão e nossa roupa não ficasse branca (como prometido). Entretanto, a
promessa do comercial é falsa somente quando “Usamos Limpão e obtemos uma roupa que
não é branca” é verdade. Vamos utilizar nossa notação lógica para examinar essa situação
de forma precisa. Sejam, p representando “Usamos Limpão,” e q representando “Nossa roupa
está branca.” Então a promessa do comercial é
p→ q
8
e podemos reclamar (isto é, a promessa é falsa) somente no caso quando
p ∧ ¬q
é verdadeira. Portanto, p ∧ ¬q deve ser logicamente equivalente a ¬(p → q), chamada a
negação de p→ q. Escrevendo a tabela verdade para p ∧ ¬q, obtemos (convidamos o leitor a
verificar isso):
p q p ∧ ¬ q
V V F
V F V
F V F
F F F
Como esta proposição é logicamente equivalente à negação de p→ q, a tabela verdade de
p→ q deve ser a negação da tabela verdade acima (o qual é, veja o que foi feito anteriormente
para verificar isso) e a nossa definição lógica da implicação realmente concorda com o senso
comum.
Note que, somente o caso no qual p → q é falso é quando p é verdade e q é falso, isto é,
quando a hipótese é verdadeira e a conclusão é falsa. Portanto as seguintes implicações são
todas verdadeiras:
a) Se 2 + 2 = 4 então 1 + 1 = 2.
b) Se 2 + 3 = 4 então 1 + 1 = 5.
c) Se verde é vermelho então a lua é feita de queijo.
d) Se verde é vermelho então a lua não é feita de queijo.
e) 7 < 2 se 2 < 1.
Deve-se também notar que se uma implicação é verdade então sua conclusão pode ser
verdadeira ou falsa (veja os itens a) e b) acima), mas se a implicação é verdade e a hipótese
é verdade então a conclusão necessariamente é verdade. Isso, claramente, é a forma básica
de um teorema matemático: se sabemos que o teorema (uma implicação) é correto (verdade)
e a hipótese do teorema é verdade, podemos tomar a conclusão desse teorema como sendo
verdade.
Existem diversas maneiras de exprimir a condicional em Português e todas a seguir são
consideradas logicamente consistentes:
a) Se p então q.
b) p implica q.
c) p é mais forte que q.
d) q é mais fraca que p.
e) p somente se q.
9
f) q se p.
g) p é suficiente para q.
h) q é necessária para p.
i) Uma condição necessária para p é q.
j) Uma condição suficiente para q é p.
Na maior parte do tempo iremos utilizar as duas primeiras, mas é importante se familiari-
zar com o resto. Lembrando da definição de p → q nos ajudará a lembrar algumas dessas
maneiras. Por exemplo, quando dizemos que “r é suficiente para s”, significa que a verdade
de r é suficiente para garantir a verdade de s, isto é, queremos dizer que r → s. De forma
similar, quando dizemos que “r é necessária para s”, significa que quando s é verdade, r deve
necessariamente ser verdade também, isto é, queremos dizer que s→ r.
Quando observamos a tabela verdade para p → q notamos que não é simétrica com
respeito a p e q, isto é, a tabela verdade para p→ q não é a mesma tabela verdade para q → p.
Em outras palavras, estas duas proposições não são logicamente equivalentes e portanto não
podem ser substituídas uma pela outra. Por causa desta falta de simetria é conveniente fazer
a seguinte definição.
Dada a implicação p→ q:
i) q → p é chamada sua recíproca.
ii) ¬q → ¬p é chamada sua contrapositiva.
iii) ¬p→ ¬q é chamada sua inversa.
Mesmo que o leitor já tenha percebido isso, vale a pena dizer que a inversa de uma implicação
é a contrapositiva de sua recíproca (é também a recíproca da contrapositiva).
Talvez o erro lógico mais comum é aquele de confundir uma implicação com sua recíproca
(ou inversa). De fato, este erro parece estar na base de muitas propagandas. Por exemplo, se
nos dizem que “Se você usar Limpão então sua roupa ficará branca!” (que pode ser verdade),
espera-se que aparentemente acreditemos que se não usarmos Limpão então nossa roupa
não ficará branca. Mas isso é a inversa, a qual é logicamente equivalente a recíproca da
reivindicação original. Portanto, vemos que podemos acreditar na fala da Limpão e, ainda,
usar Omu com a consciência limpa e usar roupas brancas. Entretanto, uma implicação e sua
contrapositiva são logicamente equivalentes (veja nos exercícios a seguir) e, portanto, podem
ser usadas da mesma forma. Neste caso, isso significa que se nossas roupas não são brancas
então não usamos Limpão.
O conectivo final que vamos considerar é o bicondicional. Se p, q são duas proposições
então “p se e somente se q”, denotado por
p↔ q,
é chamado de bicondicional (não confundir com a equivalência lógica “ ⇐⇒ ”, embora haja
uma relação entre eles que será mostrada na próxima seção). Dizemos que p ↔ q é verdade
quando p, q têm o mesmo valor verdade e falso quando eles têm valor verdade distintos. Então
a tabela verdade para a bicondicional é
Outras maneiras de expressar p↔ q são:
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p q p↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
i) p é necessária e suficiente para q.
ii) p é equivalente a q.
Como os nomes (bicondicional, se e somente se) e a notação sugerem, existe uma estreita
conecção entre a condicional e a bicondicional. De fato, p ↔ q é logicamente equivalente a
(p→ q) ∧ (q → p).
Exercícios 1.3
1. Escreva as senteças a seguir usando os símbolos da lógica matemática:
a) Se eu sou feliz, você é infeliz e se você é infeliz, eu não sou feliz.
b) José virá a festa e Maria não gostará ou José não virá a festa e Maria gostará da festa.
c) A novela será exibida, a menos que seja exibido programa político.
d) Se chover irei para casa, caso contrário, ficarei no escritório.
e) Se Maria é bonita, inteligente e sensível, e se Rodrigo ama Maria, então ele é feliz.
f) Se Sr. Oscar é feliz, Sra. Oscar é infeliz e se Sra. Grotta é feliz, Sr. Grotta é infeliz.
g) Maurício virá à festa e Kátia não virá, ou Maurício não virá festa e Kátia ficará Infeliz.
h) Irei ao teatro hoje somente se for uma peça de comédia.
i) Se minha namorada vier, irei ao teatro somente se for uma peça de drama.
2. Seja as proposições “p: Rafael joga futebol” e “q: Rafael joga basquete”. Escreva na lin-
guagem usual as seguintes proposições:
a) p ∨ q
b) p ∧ q
c) p ∧ ¬q
d) ¬p ∧ ¬q
e) ¬(¬p)
f) ¬(¬p ∧ ¬q)
3. Quais das seguintes proposições são logicamente equivalentes?
a) p ∧ ¬q.
b) p→ q.
c) ¬(¬p ∨ q).
d) q → ¬p.
e) ¬p ∨ q.
f) ¬(p→ q).
g) p→ ¬q.
h) ¬p→ ¬q.
4. Mostre que os seguintes pares são logicamente equivalentes:
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a) p ∧ (q ∨ r); (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) .
b) p ∨ (q ∧ r); (p ∨ q) ∧ (p ∨ r).
c) p↔ q; (p→ q) ∧ (q → p).
d) p→ q; ¬q → ¬p.
5. Mostre que os seguintes pares não são logicamente equivalentes:
a) ¬(p ∧ q); ¬p ∧ ¬q.
b) ¬(p ∨ q); ¬p ∨ ¬q
c) p→ q; q → p.
d) ¬(p→ q); ¬p→ ¬q.
6. Determine:
a) a contrapositiva de ¬p→ q.
b) a recíproca de ¬q → p.
c) a inversa da recíproca de q → ¬p.
d) a negação de p→ ¬q.
e) a recíproca de ¬p ∧ q.
7. Indique quais das proposições a seguir são verdadeiras:
a) Se 2 + 1 = 4 então 3 + 2 = 5.
b) Vermelho é branco se, e somente se, verde é azul.
c) 2 + 1 = 3 e 3 + 1 = 5 implicam que 4 é ímpar.
d) Se 4 é ímpar então 5 é ímpar.
e) Se 4 é ímpar então 5 é par.
f) Se 5 é ímpar então 4 é ímpar.
8. Conforme o caso, dê exemplos de, ou então, explique porque não pode existir:
a) Uma implicação verdadeira com uma conclusão falsa.
b) Uma implicação verdadeira com uma conclusão verdadeira.
c) Uma implicação falsa com uma conclusão verdadeira.
d) Uma implicação falsa com uma conclusão falsa.
e) Uma implicação falsa com uma hipótese falsa.
f) Uma implicação falsa com uma hipótese verdadeira.
g) Uma implicação verdadeira com uma hipótese verdadeira.
h) Uma implicação verdadeira com uma hipótese falsa.
9. Traduza em símbolos:
a) p sempre que q.
b) p a menos que q.
10. Dê a negação para p↔ q na forma que não envolva uma bicondicional.
11. Suponha que p, ¬q e r são verdade. Quais a seguir são proposições verdadeiras?
12
a) p→ q
b) q → p
c) p→ (q ∧ r)
d) p↔ q
e) p↔ r
f) (p ∧ q)→ p
g) (p ∨ q)→ q
12. Note que temos cinco “conectivos” lógicos: ∧, ∨, →, ↔ e ¬, cada qual corresponde a
uma construção da linguagem comum. Acontece que do ponto de vista lógico isto é, de
alguma forma, um deperdício já que podemos expressar todos estes conectivos em termos
de, apenas, ¬ e ∧. Ainda mais, se definirmos p | q para ser falsa quando ambos p e q
são verdadeiros, e verdadeiro caso contrário, podemos expressar todas as cinco formas em
termos deste único conectivo (| é conhecido como Conectivo de Sheffer ou Conectivo Nou).
Verifique parcialmente que os argumentos dados acima por
a) Encontrando a proposição a qual equivale a p ∨ q usando apenas ∧ e ¬.
b) Escrevendo a tabela verdade para p | q.
c) Mostrando que p | p é logicamente equivalente a ¬p.
d) Mostrando que (p | q) | (q | p) é logicamente equivalente a p ∧ q.
13. Escreva a recíproca, a negação e a contrapositiva das seguintes afirmações:
a) Cão que ladra não morde.
b) Nem tudo que reluz é ouro.
c) O que não mata engorda.
d) Quem não tem cão caça com gato.
e) Em boca fechada não entra mosca.
f) Onde há fumaça, há fogo.
1.4 Tautologias
Uma importante classe de proposições são aquelas que apresentam tabelas verdade con-
tendo apenas V’s na coluna final, isto é, proposições que são sempre verdadeiras e o fato de
serem smpre verdadeiras depende da sua forma e não a qualquer significado que pode ser
dado a elas (por exemplo o exercício 3g da seção 1.2: p∨¬p). Tais proposições são chamadas
tautologias. É importante fazermos uma distinção entre proposições verdadeiras e tautologias.
Por exemplo, “2+2=4” é uma proposição verdadeira mas não é uma tautologia pois sua forma
é p a qual não é sempre verdadeira. Por outro lado, “5 é a raíz primitiva de 17 ou 5 não é
uma raíz primitiva de 17” é uma tautologia não importanto o significado de raíz primitiva.
É uma tautologia em virtude de sua forma p ∨ ¬p apenas.
A negação de uma tautologia, isto é, a proposição que sempre é falsa, é chamada de
contradição . Devemos, também, fazer uma distinção entre contradições e proposições falsas
da mesma forma que distinguimos tautologias de proposições verdadeiras. Uma proposição é
uma contradição baseada apenas em sua forma. Como exemplos, considere as tabelas verdade:
Observe que, p→ (p ∨ q) é uma tautologia e (p→ q) ∧ (p ∧ ¬q) é uma contradição.
13
p q p → (p ∨ q)
V V V V V V V
V F V V V V F
F V F V F V F
F F F V F F V
p q (p → q) ∧ (p ∧ ¬ q)
V V V V V F V F F
V F V F F F V V V
F V F V V F F F F
F F F V F F F F V
Usando a ideia de tautologia, talvez podemos deixar claro a distinção entre “equivalente”
e “logicamente equivalente”. Duas proposições p, q são logicamente equivalentes se e somente
se p↔ q é uma tautologia. De fato, p↔ q e p ⇐⇒ q são proposições em dois níveis diferen-
tes. Se pensarmos que “p é equivalente a q” como uma proposição, então “ p é logicamente
equivalente a q” é uma proposição sobre essa proposição , chamada (meta)-proposição “p é
equivalente a q é verdade.” Por exemplo, (p→ q)↔ (¬q → ¬p) é uma implicação lógica en-
quanto p→ (p∧q) não é, esta implicação é “apenas” uma implicação que pode ser verdadeira
ou não.
Usamos a ideia de tautologia para definir o seguinte: dizemos que p→ q é uma implicação
lógica (também “p implica logicamente q ou q é uma consequencia lógica de p”) se p → q é
uma tautologia. p implica logicamente q é denotado por
p⇒ q.
Se p implica logicamente q, e p é verdade, então q tem que ser verdade também. Por exemplo,
p→ (p ∨ q) e (p ∧ q)→ p são implicações lógicas enquanto p→ (p ∧ q) não é (quando p é V
e q é F então a última implicação é F e portanto não é uma tautologia).
Tautologias são as regras pelas quais nós raciocinamos. Para referência futura uma lista,
com as mais comuns e com alguns de seus nomes, é dada abaixo. Para isso, p, q, r representam
proposições, c representa uma contradição e t representa uma tautologia.
14
Lista de tautologias
1. p ∨ ¬p
2. ¬(p ∧ ¬p)
3. p→ p
4. a) p↔ (p ∨ p) Leis idempotentes
b) p↔ (p ∧ p)
5. ¬¬p↔ p Dupla negação
6. a) (p ∨ q)↔ (q ∨ p) Comutatividade
b) (p ∧ q)↔ (q ∧ p)
c) (p↔ q)↔ (q ↔ p)
7. a) (p ∨ (q ∨ r))↔ ((p ∨ q) ∨ r) Associatividade
b) (p ∧ (q ∧ r))↔ ((p ∧ q) ∧ r)
8. a) (p ∧ (q ∨ r))↔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) Distributividade
b) (p ∨ (q ∧ r))↔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r))
9. a) (p ∨ c)↔ p Identidades
b) (p ∧ c)↔ c
c) (p ∨ t)↔ t
d) (p ∧ t)↔ p
10. a) ¬(p ∧ q)↔ (¬p ∨ ¬q) Leis de DeMorgan
b) ¬(p ∨ q)↔ (¬p ∧ ¬q)
11. a) (p↔ q)↔ ((p→ q) ∧ (q → p)) Equivalência
b) (p↔ q)↔ ((p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q))
c) (p↔ q)↔ (¬p↔ ¬q)
12. a) (p→ q)↔ (¬p ∨ q) Implicação
b) ¬(p→ q)↔ (p ∧ ¬q)
13. (p→ q)↔ (¬q → ¬p) Contrapositiva
14. (p→ q)↔ ((p ∧ ¬q)→ c) Reductio ad absurdum
15. a) ((p→ r) ∧ (q → r))↔ ((p ∨ q)→ r)
b) ((p→ q) ∧ (p→ r))↔ ((p→ (q ∧ r))
16. ((p ∧ q)→ r)↔ (p→ (q → r)) Lei de exportação
17. p→ (p ∨ q) Adição
18. (p ∧ q)→ p Simplicação
19. (p ∧ (p→ q))→ q Modus ponens
20. ((p→ q) ∧ ¬q)→ ¬p Modus tollens
21. ((p→ q) ∧ (q → r))→ (p→ r) Silogismo hipotético
22. ((p ∨ q) ∧ ¬p)→ q Silogismo disjuntivo
23. (p→ c)→ ¬p Absurdo
24. ((p→ q) ∧ (r → s))→ ((p ∨ r)→ (q ∨ s))
25. (p→ q)→ ((p ∨ r)→ (q ∨ r))
15
Observe na lista acima que, 4-16 são equivalências lógicas enquanto 17-25 são implicações
lógicas.
Uma das primeiras perguntas que os estudantes fazem quando vêm uma lista como a
acima é “Tenho que memorizar esta tabela?” A resposta é “Não, memorização não é sufici-
ente, você tem que saber todas elas! Elas têm que estar na sua forma de pensar.” Em um
primeiro momento, isto parece uma tarefa difícil, e talvez o seja. Mas algumas destas já es-
tão incorporadas na forma como pensamos. Por exemplo, se alguém diz: “vendemos garrafas
de água é com gás ou sem gás. Está não é com gás,” o que concluímos sobre a garrafa de
água? Concluímos que é uma garrafa de água sem gás e fazendo isso estaremos usando o
silogismo disjuntivo (item 22 da tabela de tautologias). De forma similar, alguém poderia
dizer “se eu leio o livro de fundamentos de matemática antes da aula então eu gosto da aula.
Eu li o livro de fundamentos de matemática hoje antes da aula.” Concluímos que a pessoa
que disse isso, gostou da aula de hoje. Esta é uma aplicação do modus ponens (item 19 da
tabela de tautologias), uma das mais básicas e importantes equivalências lógicas e formas de
racioncínio.
Não é importante que aprendamos os nomes das várias equivalências e implicações, mas é
importante que aprendamos suas formas para reconhecermos quando estamos utilizando-as.
É importante também reconhecer quando elas não parecem ou soam corretas, isto é, quando
utilizamos
alguma coisa que não é uma implição lógica.
Exercícios 1.4
1. Verifique que 7 a), 9 b), 13 e 14 da lista acima são tautologias.
2. Determine quais das seguintes proposições têm alguma forma presente na lista de tauto-
logias (por exemplo, (¬q ∧ p)→ ¬q tem a forma 18 da lista) e nestes casos, indique qual
forma:
a) ¬q → (¬q ∨ ¬p).
b) q → (q ∧ ¬p).
c) (r → ¬p)↔ (¬r ∨ ¬p).
d) (p→ ¬q)↔ ¬(¬p→ q).
e) (¬r → q)↔ (¬q → r).
f) (p→ (¬r ∨ q))↔ ((r ∧ ¬q)→ ¬p).
g) r → ¬(q ∧ ¬r).
h) (¬q ∨ p) ∧ q)→ p.
3. Dê exemplos ou diga porque as proposições a seguir não existem:
a) Uma implicação lógica com uma falsa conclusão.
b) Uma implicação lógica com uma conclusão verdadeira.
c) Uma implicação lógica com uma hipótese verdadeira e uma conclusão falsa.
4. Quais das seguintes são corretas?
a) (p→ (q ∨ r))⇒ (p→ q).
16
b) ((p ∨ q)→ r)⇒ (p→ r).
c) (p ∨ (p ∧ q)) ⇐⇒ p.
d) ((p→ q) ∧ ¬p)⇒ ¬q.
5. Quais das seguintes são tautologias, contradições ou nenhuma das duas?
a) (p ∧ ¬q)→ (q ∨ ¬p).
b) ¬p→ p.
c) ¬p↔ p.
d) (p ∧ ¬p)→ p.
e) (p ∧ ¬p)→ q.
f) (p ∧ ¬q)↔ (p→ q).
g) [(p→ q)↔ r]↔ [p→ (q ↔ r)].
6. Quais dos seguintes são corretos?
a) (p↔ q)⇒ (p→ q).
b) (p→ q)⇒ (p↔ q).
c) (p→ q)⇒ q.
7. → é associoativa? Isto é ((p→ q)→ r) ⇐⇒ ((p→ (q → r)).
8. ↔ é associoativa? Isto é ((p↔ q)↔ r) ⇐⇒ ((p↔ (q ↔ r)).
9. Quais das seguintes proposições verdadeiras são tautologias?
a) Se 2 + 2 = 4 então 5 é ímpar.
b) 3 + 1 = 4 e 5 + 3 = 8 implica 3 + 1 = 4.
c) 3 + 1 = 4 e 5 + 3 = 8 implica 3 + 2 = 5.
d) Vermelho é amarelo ou vermelho não é amarelo.
e) Vermelho é amarelo e vermelho é vermelho.
f) 4 é ímpar ou 2 é par e 2 é ímpar implica que 4 é ímpar.
g) 4 é ímpar ou 2 é par e 2 é ímpar implica que 4 é par.
10. Quais das seguintes são consequências lógicas do conjunto de proposições p ∨ q, r → ¬q,
¬p?
a) q.
b) r.
c) ¬p ∨ s.
d) ¬r.
e) ¬(¬q ∧ r).
f) q → r.
17
1.5 Argumentos e o princípio da demonstração
Quando ganhamos uma discussão? Claramente, tirando intimidação, coerção ou ameaças.
Estamos dizendo, convencer alguém da exatidão lógica de sua posição. Poderíamos começar
dizendo, “Você aceita p,q e r verdade?” Se a resposta é, “Sim, qualquer pateta pode ver isso!”
então você diz “Bem, então segue que t deve ser verdade.” Para ganhar essa discussão, deve
ser o caso (e isso é o que podemos argumentar) que (p∧q∧r)→ t é uma tautologia, isto é, não
existe de forma alguma que suas premissas (p, q, r que seu amigo já aceitou) sejam verdade
e sua conclusão, t, seja falsa. É assim a prova (demonstração) de um teorema matemático.
Na demonstração devemos mostrar que sempre que as premissas do teorema são verdade,
então a conclusão é verdade também. Agora, tentaremos colocar esta ideia de uma maneira
mais formal e então discutir algumas técnicas para demonstrar que um teorema está correto.
Começaremos com algumas definições.
Um argumento (ou teorema) é uma proposição da forma
(p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn)→ q.
Diremos que p1, p2, . . . , pn são premissas (ou hipótese) e q é a conclusão. Um argumento é
válido (ou um teorema é verdade) se é uma tautologia. Neste caso, dizemos que q (a conclusão)
é uma consequência lógica de p1, p2, . . . , pn (as premissas).
Observe que um argumento válido é uma implicação lógica. Pensando em tabelas verdade
para a implicação vemos que isto significa que sempre que p1, p2, . . . , pn são verdade então q
também é verdade. Vista por esta perspectiva, a definição de argumento válido dada acima
parecer concordar com o significado que usualmente damos. Se as premissas são todas verdade
e o argumento é válido então a conclusão é necessariamente verdade. Note que, se o argumento
é válido, a conclusão pode ser verdade ou falsa, tudo que está afirmado é que se as premissas
são todas verdade então a conclusão necessariamente é verdade. Por exemplo, considere o
seguinte argumento:
(¬q ∧ (p→ q))→ ¬p.
Uma maneira comum de exibir os argumentos é listar as premissas, traçar uma linha
horizontal e então escrever a conclusão. Assim, o argumento acima seria exibido como:
¬q
p→ q
¬p.
(1.1)
Para testar a validade deste argumento, podemos utilizar a tabela verdade:
p q (¬q ∧ p→ q) → ¬p
V V F F V V F
V F V F F V F
F V F F V V V
F F V V V V V
Como o argumento é uma tautologia, isto é, um argumento válido. Note que, isto significa
que sempre que as premissas são todas verdades (neste caso linha 4), a conclusão também é
verdade.
18
Agora, considere o argumento:
¬p
p→ q
¬q.
(1.2)
Novamente, escrevamos a tabela verdade:
p q (¬p ∧ p→ q) → ¬q
V V F F V V F
V F F F F V V
F V V V V F F
F F V V V V V
Este argumento não é uma tautologia (na linha 3 vemos que as premissas são verdade
mas a conclusão é falsa), não é válido.
Para deixar estes exemplos um pouco mais concretos, sejam p “2 + 2 = 4” e q “3 + 5 = 7”.
Então, o primeiro argumento 1.1 se torna
3 + 5 6= 7
Se 2 + 2 = 4, então 3 + 5 = 7
2 + 2 6= 4.
O segundo é argumento 1.2 é
2 + 2 6= 4
Se 2 + 2 = 4, então 3 + 5 = 7
3 + 5 6= 7.
No primeiro caso (um argumento válido) vemos que a conclusão é falsa, enquanto no
segundo caso (um argumento inválido) a conclusão é verdade! O que está acontencendo aqui?
A resposta é que a validade (ou falta dela) de um argumento é somente baseada na forma do
argumento e não tem nada a ver com a falsidade ou verdade das proposições envolvidas (se
esse não fosse o caso, não haveria maneira de representar de forma simbólica). Também, é
importante lembrar que a validade de um argumento garante a verdade da conclusão somente
quando todas as premissas são verdades. No primeiro argumento 1.1 vemos que a segunda
premissa, “Se 2 + 2 = 4, então 3 + 5 = 7”, é falsa.
Embora o procedimento acima de usar tabelas verdade para verificar a validade do argu-
mento seja simples, não é muito conveniente quando o número de proposições é grande. Por
exemplo, se existem oito proposições, então a tabela verdade requeriria 28 = 256 linhas.
Outro método de demonstrar (provar) a validade de um argumento é chamada de princípio
de demonstração :
A demonstração de que o argumento (p1 ∧ p2 ∧ . . .∧ pn)→ q é válido é uma sequência de
proposições s1, s2, . . . , sk de forma que sk (a última proposição na sequência) é q e cada si,
1 ≤ i ≤ k, na sequência satisfaz um ou mais dos seguintes requerimentos:
a) si é uma das hipóteses.
b) si é uma tautologia.
19
c) si é uma consequência lógica das proposições anteriores da sequência.
Então vemos que sob esta suposição de que as premissas são verdade, cada proposição na
demonstração também será verdade e como a última proposição da sequência é a conclusão
do argumento, a demonstração mostra (demonstra) que se todas as premissas são verdade
então a conclusão deve, necessariamente, ser verdade, isto é, o argumento é válido.
Como exemplo disso, vamos considerar o exemplo acima o qual verificamos usando a
tabela verdade:
¬q
p→ q
¬p.
Quando se escreve uma demonstração é útil que o leitor inclua a justificativa para cada
proposição da sequência. Geralmente, não incluímos os nomes e números das tautologias que
usamos, mas como ajuda aos iniciantes, as justificativas estão incluidas aqui.
Proposição Razão
1. ¬q hipótese
2. p→ q hipótese
3. ¬q → ¬p contrapositiva de 2. (13 da lista de tautologias)
4. ¬p consequência lógica de 1. e 3. (19 da lista de tautologias, modus ponens)
Existem outras maneiras de fazer a demonstração corretamente e mesmo neste caso po-
demos proceder um pouco diferente:
Proposição Razão
1. ¬q hipótese
2. p→ q hipótese
3. ¬p consequência lógica de 1. e 2. (20 da lista de tautologias, modus tollens)
Considere o exemplo um pouco mais complicado:
p ∨ q
q → ¬p
p→ q
q.
(1.3)
Proposição Razão
1. q → ¬p hipótese
2. p→ q hipótese
3. ¬q → ¬p contrapositiva de 2.
4. (q ∨ ¬q)→ ¬p consequência lógica de 1. e 3. (15a da lista de tautologias)
5. q ∨ ¬q tautologia
6. ¬p consequência lógica
de 4. e 5. (19 da lista de tautologias, modus ponens)
7. p ∨ q hipótese
8. q consequência lógica de 6. e 7. (22 da lista de tautologias, silogismo disjuntivo)
20
Outra demonstração para o mesmo argumento (você poderia tentar encontrar outras
demonstrações):
Proposição Razão
1. q → ¬p hipótese
2. p→ q hipótese
3. p→ ¬q contrapositiva de 1.
4. p→ (q ∧ ¬q) consequência lógica de 2. e 3. (15b da lista de tautologias)
5. ¬p consequência lógica de 4. (23 da lista de tautologias, absurdo)
6. p ∨ q hipótese
7. q consequência lógica de 5. e 6. (22 da lista de tautologias, silogismo disjuntivo)
Uma extensão do princípio de demonstração, chamado de método de demonstração indi-
reta (ou demonstração por contradição) é baseada na equivalência lógica reductio ad absur-
dum (item 14 da lista de tautologias). Aplicando esta forma para nosso argumento temos:
((p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn)→ q)↔ ((p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn ∧ ¬q)→ c).
Como esta é uma equivalência lógica podemos substituir o lado esquerdo pelo lado direito.
Isto significa que em nossa demonstração temos uma hipótese adicional, ¬q (a negação da
conclusão). Nossa demonstração estará completa assim que obtermos uma contradição.
Como um exemplo deste método, considere o argumento (1.3) usado no exemplo anterior:
Proposição Razão
1. ¬q hipótese (negação da conclusão na prova indireta)
2. p ∨ q hipótese
3. p consequência lógica de 1. e 2. (22 da lista de tautologias, silogismo disjuntivo)
4. p→ q hipótese
5. q consequência lógica de 3. e 4. (19 da lista de tautologias, modus ponens)
6. q ∧ ¬q consequência lógica de 1. e 5. (essa é a contradição que procurávamos)
7. q consequência lógica de 6. (prova indireta)
É interessante notar que a hipótese q → ¬p não foi usada nesta prova, embora estivesse nas
duas provas anteriores. Você poderia tentar encontrar uma demonstração direta da validade
do argumento sem usar esta hipótese.
O princípio de demonstração fornece um bom método de estabelecer a validade de um
arguento mas tem a desvantegem de não mostrar que um argumento é inválido. O fato
que de não podermos dar uma demonstração de um argumento particular não é suficiente
para mostrar que um argumento é inválido. Entretanto, existe uma outra forma, sem usar
tabelas verdade, de mostrar que um argumento é inválido. Se recordarmos o que significa
um argumento válido, lembraremos que uma conclusão deve ser verdade sempre que todas as
premissas são verdade, portanto se encontrarmos uma maneira de encontrar um caso onde as
premissas são verdade e a conclusão é falsa, então mostramos que o argumento é inválido. Às
vezes, fracassar em obter a demonstração, nos leva ao caso geralmente, chamado de contra
21
exemplo de um arguento. Por exemplo, considere o seguinte argumento:
p→ q
¬p ∨ q
q → p.
Sem muito esforço podemos ver que se q é V e p é falso então a conclusão é F enquanto ambas
a premissas são V, portanto, o argumento é inválido.
Exercícios 1.5
1. Determine a validade dos seguintes argumentos usando tabelas verdade:
a)
p→ q
¬p ∨ q
q → p. b)
p ∨ q
r → q
q
¬r.
c)
p ∨ ¬q
¬p
¬q.
2. Dê exemplos nos itens a seguir sempre que possível. Se não for possível, diga porque:
a) Um argumento inválido com conclusão falsa.
b) Um argumento válido com uma conclusão verdadeira.
c) Um argumento inválido com uma conclusão verdadeira.
d) Um argumento válido com uma conclusão falsa.
e) Um argumento válido com hipóteses verdeiras e uma conclusão falsa.
f) Um argumento inválido com hipóteses verdeiras e uma conclusão falsa.
g) Um argumento válido com hipóteses falsas e uma conclusão verdadeira.
3. Determine a validade dos seguintes argumentos usando o princípios de demonstração ou
mostre por contra exemplo que é inválido:
a)
¬p ∨ q
p
q.
b)
p→ q
r → ¬q
p→ ¬r.
c)
¬p ∨ q
¬r → ¬q
p→ ¬r.
d)
q ∨ ¬p
¬q
p.
e) ¬p
p→ q.
f)
(p ∧ q)→ (r ∧ s)
¬r
¬p ∨ ¬q.
g)
p→ q
¬q → ¬r
s→ (p ∨ r)
s
q.
h)
p ∨ q
q → ¬r
¬r → ¬p
¬(p ∧ q).
i)
p→ q
¬r → ¬q
r → ¬p
¬p.
j) p→ ¬p¬p.
k)
p ∨ q
p→ r
¬r
q.
22
l)
p
q → ¬p
¬q → (r ∨ ¬s)
¬r
¬s.
m)
p→ (q ∨ s)
q → r
p→ (r ∨ s).
n)
p→ ¬q
q → p
r → p
¬q.
o)
p→ q
r → s
¬(p→ s)
q ∧ ¬r.
1.6 Quantificadores
Quando iniciamos nossa discussão sobre proposições notamos que “x < 3” não era uma
proposição porque não sabíamos o que x representava, portanto não pudemos definir um valor
verdade. Neste caso, chamamos x uma variável (um símbolo que pode tomar vários valores)
e “x < 3” uma função proposicional. De fato, isto é um pequeno abuso de linguagem pois
“x < 3” é realmente função de valor proposicional, isto é para cada (devidamente escolhido)
valor de x temos uma proposição. Esta é similar as funções de valores reais que estudamos
nos cursos de pré cálculo. Por exemplo, se f é uma função dada por f(x) = 2x−3, então para
cada valor de x no domínio de f (o qual tomaremos como o conjunto dos números reais),
f retorna um valor real, isto é f(x) é um número real. Portanto, f(−1) = −5, f(5) = 7.
Se adotarmos uma notação funcional para “x < 3,” digamos p(x) e seja o domínio de p
o conjunto dos números reais, então para cada escolha de x no domínio de p, p(x) é uma
proposição. Por exemplo, quando x = 2, obtemos p(2) que significa “2 < 3” e quando x = 8,
obtemos p(8) ou “8 < 3.” note que p(2) é uma proposição verdadeira enquanto p(8) é uma
proposição falsa.
Assim, diremos que se r é uma sentença declarativa contendo uma ou mais variáveis e r
se torna uma proposição quando valores particulares (às vezes chamados interpretações) são
dados para as variáveis, então r é uma função proposicional. Como é no caso com funções
que tomam valores reais do pré cálculo, o conjunto dos possíveis valores para a variável é
chamado domínio da função proposicional. Às vezes o domínio será explicitamente definido,
às vezes o domínio será inferido do contexto. Denotaremos as funções proposicionais por p, q,
etc., e (como no caso das funções reais) usamos p(x), q(x, y) (para ser lidos como “p de x”,
“q de x, y”) para indicar “fórmulas” para estas funções. Portanto, se p(x) é “x < 3” então
p(1), p(−7), p(0) são verdadeiras, enquanto p(3), p(12), p(pi) são falsas, se q(x, y) é “x < y”,
então q(1, 2), q(−2, 14), q(0, 5) são verdadeiras, enquanto q(0, 0), q(2, 1), q(pi, 3) são falsas.
Suponha que D é o domínio da função proposicional p. Sabemos que podemos transformar
p em uma proposição substituindo vários membros de D em p, entretanto esta não é a única
forma na qual p pode ser transformada em uma proposição. O outro método é chamado
quantificação e existem duas formas de quantificarmos funções proposicionais. Na primeira,
procedemos a função proposicional com “para todo x em D” (ou “para cada x em D”), na
segunda procedemos a função proposicional com “existe um x em D tal que” (or “algum x
em D tem a propriedade que”). A notação que usaremos para isso é
Para todo x em D, p(x) é denotada por ∀x em D, p(x).
Existe um x em D, tal que p(x) é denotada por ∃x em D 3 p(x).
23
∀ é chamado o quantificador universal e é lido como “para todo”, ∃ é chamado quan-
tificador existencial e é lido como “existe” e 3 é o símbolo para “tal que”. Determinamos
valores verdade para estas proposições de acordo com o significado usual que damos para
“para todos” e “existe”:
∀x em D, p(x)
será dado valor verdade de V se p(x) for verdade para cada interpretação de x em D, caso
contrário, o valor verdade é F.
∃x em D 3 p(x)
será dado valor verdade de V se p(x) é verdade para pelo menos uma interpretação de x em
D, caso contrário será dado o valor verdade de F. Portanto, vemos que se D é finito, digamos
com elementos x1, x2, . . . , xn, então
∀x em D, p(x)
é equivalente a uma conjunção, isto é,
p(x1) ∧ p(x2) ∧ . . . ∧ p(xn),
enquanto
∃x em D 3 p(x)
é equivalente a uma disjunção, isto é
p(x1) ∨ p(x2) ∨ . . . ∨ p(xn).
Por exemplo, se D = {1,
2, 3, 4}, S = {−1, 0, 1, 2} e p é a função proposicional dada por p(x)
é “x < 3” então
∀x em D, p(x)
é falsa (pois p(3) é falsa), enquanto
∀x em S, p(x); ∃x em D 3 p(x); ∃x em S 3 p(x)
são verdade. Note que o valor verdade da função proposicional quantificada depende do
domínio usado. Com p e S como acima, vamos dar uma olhada de outra forma.
∀x em S, p(x)
é equivalente a
p(−1) ∧ p(0) ∧ p(1) ∧ p(2),
enquanto,
∃x em S 3 p(x)
é equivalente a
p(−1) ∨ p(0) ∨ p(1) ∨ p(2).
Portanto, se você fosse uma programa de computador (digamos) checando os valores verdade
para ∀x em S, p(x), você teria que tomar cada elemento x em S e verificar o valor verdade
24
para p(x). Assim que você encontrasse uma valor falso você retornaria o valor falso para
∀x em S, p(x), caso contrário retornaria o valor verdade depois de verificar cada elemento
de S. De forma similar, para determinar o valor verdade de ∃x em S 3 p(x), você tomaria
cada elemento x de S e verificaria o valor verdade de p(x). Assim que você encontrasse um
verdade, você retornaria verdade para o valor verdade de ∃x em S 3 p(x), caso contrário,
você retornaria falso depois de verificar todos os elementos de S.
Com o vimos acima, em mente devemos ser capazes de considerar o caso especial (dege-
nerado) quando o domínio em questão é vazio (contém nenhum elemento). Por exemplo, qual
valor verdade deve ser atribuído as proposições “Todos matemáticos com altura superior a 3
metros gostam de chocolate” e “ Existe um matemático com mais de 3 metros de altura que
gosta de chocolate”? Se D é o conjunto dos matemáticos com mais de 3 metros de altura (um
exemplo de conjunto vazio) e seja p(x) “x gosta de chocolate” as proposições enunciadas se
tornam
∀x em D, p(x) e ∃x em D 3 p(x).
Para o primeiro ser falso devemos encontrar matemático alto que não gosta de chocolate.
Como não há (suficientes) matemáticos altos, certamente não podemos encontrar um que
não goste de chocolate, assim, a primeira proposição deve ser verdade. De forma similar, para
a segunda ser verdade devemos encontrar um matemático alto que goste de chocolate. Não
podemos, logo a segunda proposição é falsa. Para resumir, se D é vazio então não importando
o que seja p(x) temos,
∀x em D, p(x) verdade e ∃x em D 3 p(x) falso.
O leitor pode não gostar disso, mas é assim que é.
Um pouco de reflexão revelará como formar negações de funções proposicionais quanti-
ficadas. Considere, ∀x em D, p(x). Se esta proposição é falsa então p(x) não é verdade para
todas as interpretações de x em D, isto é, existe pelo menos um valor de x tal que p(x) é
falso. Assim, vemos que:
¬(∀x em D, p(x))↔ ∃x em D 3 ¬p(x).
Usando raciocínio similar, obtemos
¬(∃x em D 3 p(x))↔ ∀x em D,¬p(x).
Se D, é finito, estas são apenas extensões das leis de DeMorgan, tente criar um exemplo para
ver isso.
Para ilustrar a negação de uma função proposicional quantificada, considere
∀x em D, [p(x)→ q(x)].
Usando as ideias acima, obtemos como negação
∃x em D 3 [p(x) ∧ ¬q(x)].
Uma das principais dificuldades para lidar com as funções proposicionais quantificadas
dadas em nossa língua (neste caso Português) é determinar a correta forma lógica das de-
25
clarações quantificadas. É claro que, se nos é dado algo como “Existe um inteiro tal que seu
quadrado é 9,” é fácil ver que que sua forma é
∃x em Z 3 p(x),
onde Z é o conjunto dos inteiros e p(x) é “x2 = 9.” Infelizmente, na maior parte dos casos
a representação em Português não é tão simples e uma tradução correta em símbolos (que
mostra claramente a forma lógica) requer um entendimento do significado da sentença. A
tradução não pode ser feita de uma maneira determinada e fácil, ou de acordo a um simples
algoritmo. Às vezes, a própria quantificação não é mencionada explicitamente, mas enten-
dida ou inferida. Isto, também, é verdade para o domínio, mesmo que o quantificador estiver
presente. Por exemplo, a maioria das definições e teoremas matemáticos envolvem quanti-
ficadores, entretanto, muito frequentemente não estão aparentes para os leitor descuidado
(claro que nenhum de nosos leitores estuda matemática de forma descuidada). Assim, “Se
f é diferenciável então é contínua” realmente significa “Para todas as funções f (em algum
conjunto de funções), se f é diferenciável, então f é contínua.” É geralmente uma aposta
segura assumir que todo teorema tem um quantificador universal escondido em algum lugar,
expressado ou implícito.
Além de encontrar os quantificadores, outro problema que pode surgir é a determinação
da forma correta para a função proposicional quantificada. Por exemplo, “Todos estudantes
de lógica entendem quantificadores” claramente envolve o quantificador universal, mas qual
é a sua forma correta? Se deixamos o domínio D ser o conjunto dos estudantes, p(x) será
“x é um estudante de lógica” e q(x) será “x entende quantificadores” então a possibilidade
parece ser ∀x em D, p(x)∧ q(x). Mas isto significa “Todo estudante é um estudante de lógica
e entende quantificadores”, que não é a mensagem da proposição original. A correta inter-
pretação é: “∀x em D, p(x)→ q(x),” que significa “Para todo estudante, se o estudante é um
estudante de lógica então aquele estudante entende quantificadores.” De forma similar, pode-
mos ficar tentados a representar “Alguns estudantes de lógica entendem quantificadores” por
∃x em D 3 p(x)→ q(x). Entretanto, isto não está correto, pode não existir estudantes de ló-
gica em nosso conjunto de estudantes, fazendo ∃x em D 3 p(x)→ q(x) ser verdade enquanto
a verdadeira proposição será verdade somente se existir pelo menos um estudante de lógica o
qual entende de quantificadores. A proposição dada pode ser corretamente interpretada por
∃x em D 3 p(x)∧ q(x), que significa que existe pelo menos um estudante que é estudante de
lógica e que entende de quantificadores. Devemos perceber que estas formas são de alguma
meneira dependentes do domínio pois se simplificamos coisas ou restringimos nosso domínio
para apenas o conjunto de estudante de lógica (digamos D′), então a primeira proposição se
torna ∀x em D′, q(x) e a segunda se torna ∃x em D′ 3 q(x). Para resumir:
todo p é um q
pode ser representado por
∀x em D, p(x)→ q(x)
enquanto para
algum p é um q
é dado por
∃x em D 3 p(x) ∧ q(x),
26
(D sendo o domínio em questão).
Uma forma de determinar se você entende a versão em linguagem de uma função proposici-
onal quantificada é tentar negá-la. Existem várias maneiras de abordar este tipo de problema.
Aquela que requer a menor experiência é traduzir a sentença para a forma simbólica, usar as
já bem conhecidas regras para a negação de proposição e funções proposicionais quantificadas
e então traduzir o resultado de volta para o Português. Depois de alguma prática você deve
ser capaz de negar algumas sentenças diretamente, mas mesmo com considerável experiência
é útil usar as representações simbólicas para clarificar a estrutura.
Como exemplo do fato descrito acima, suponha que desejamos negar “Todos estudantes
de lógica entendem quantificadores.” Com D, p e q como antes, a representação simbólica é
∀x em D, p(x)→ q(x).
Procedendo com a negação passo a passo, temos
¬[∀x em D, p(x)→ q(x)]
↔ ∃x em D 3 ¬[p(x)→ q(x)]
↔ ∃x em D 3 p(x) ∧ ¬q(x).
Assim, a negação de “Todos estudantes de lógica entendem quantificadores.” é “Existe um
estudante que é estudante de lógica e que não entende quantificadores,” ou, ainda mais, no
estilo da proposição original “Alguns estudante de lógica não entendem quantificadores.” Para
um entendimento mais profundo você poderia se perguntar “O que faria ‘Todos os estudante
de lógica entende quantificadores’ ser falsa?” Depois de um pouco de reflexão, responderíamos,
“Tem que existir um estudante de lógica que não entende quantificadores,” que, claramente,
será verdade quando nossa negação “Algum estudante de lógica não entende quantificadores”
é verdade.
Exercícios 1.6
1. Traduza as seguintes sentenças para a forma simbólica, indicando as escolhas apropriadas
para domínios:
a) Existe um inteiro x tal que 4 = x+ 2.
b) Para todos inteiros x, 4 = x+ 2.
c) Todo triângulo equilátero é equiângulo.
d) Todos estudantes gostam de lógica.
e) Alguns estudantes não gostam de lógica.
f) Nenhum homem é uma ilha.
g) Todo mundo que entende lógica gosta dela.
h) Cada pessoa tem uma mãe.
i) Entre todos os inteiros existem uns que são primos.
j) Alguns inteiros são pares e divisíveis por 3.
k) Alguns inteiros são pares ou divisíveis por 3.
l) Todos grupos cíclicos são abelianos.
m) Pelo menos uma das letras de banana é uma vogal.
27
n) Um dia no próximo mês é uma sexta-feira.
o) x2 − 4 = 0 tem uma solução positiva.
p) Cada solução de x2 − 4 = 0 é positiva.
q) Nenhuma solução de x2 − 4 = 0 é positiva.
r) Um candidato será o vencedor.
s) Cada elemento do conjunto A é um elemento do conjunto B.
2. Encontre a negação para cada uma das proposições no exercício acima.
3. Sejam D o conjunto dos números naturais (isto é, D = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}), p(x) “x é par”,
q(x) “x é divisível por 3” e r(x) “x é divísivel por 4.” Para cada uma das proposições abaixo,
expresse em Português, determine seu valor verdade e dê uma negação em Português.
a) ∀x em D, p(x).
b) ∀x em D, p(x) ∨ q(x).
c) ∀x em D, p(x)→ q(x).
d) ∀x em D, p(x) ∨ r(x).
e) ∀x em D, p(x) ∧ q(x).
f) ∃x em D 3 r(x).
g) ∃x em D 3 p(x) ∧ q(x).
h) ∃x em D 3 p(x)→ q(x).
i) ∃x em D 3 q(x)→ q(x+ 1).
j) ∃x em D 3 p(x)↔ q(x+ 1).
k) ∀x em D, r(x)→ p(x).
l) ∀x em D, p(x)→ ¬q(x).
m) ∀x em D, p(x)→ p(x+ 2).
n) ∀x em D, r(x)→ r(x+ 4).
o) ∀x em D, q(x)→ q(x+ 1).
4. Para cada uma das proposições do exercício acima (se possível) dê um exemplo de um
domínio D′ tal que as proposições tenham o valor verdade oposto daquele que tinha em
D, o conjunto dos números naturais.
5. As seguintes proposições são sempre, às vezes ou nunca verdade? Dê exemplos de domínios
D e a função proposicional p ou razões para justificar suas respostas.
a) [∀x em D, p(x)]→ [∃x em D 3 p(x)].
b) [∃x em D 3 p(x)]→ [∀x em D, p(x)].
c) [∀x em D,¬p(x)]→ ¬[∀x em D, p(x)].
d) [∃x em D 3 ¬p(x)]→ ¬[∃x em D 3 p(x)].
e) ¬[∀x em D, p(x)]→ [∀x em D,¬p(x)].
f) ¬[∃x em D 3 p(x)]→ [∃x em D 3 ¬p(x)].
28
1.7 Mais quantificadores
Muitas sentenças matemáticas envolvem mais de um quantificador. Alguns exemplos des-
tas sentenças são:
• “Para cada número inteiro n existe um inteiro k tal que n = 2k”,
• “Para cada linha ` e para cada ponto p não pertencente a `, existe uma linha `′ que
passa por p e é paralela a `”,
• “Para todo y em B existe um x em A tal que f(x) = y”,
• “Para todo x no domínio de f e para cada � > 0 existe um δ > 0 tal que |x − c| < δ
implica |f(x)− L| < �”,
• “Para cada x em G existe um x′ em G tal que xx′ = e”.
Como pode ser esperado, as dificuldades que se apresentavam quando consideramos um
quantificador persiste quando temos mais de um quantificador e, adicionalmente, novas di-
ficuldades surgem, portanto teremos que ser especialmente cuidadosos nas análises destas
quantificações de nível superior.
Vamos dar uma olhada na estrutura de uma proposição envolvendo dois quantificadores
diferentes, digamos
∀x em S, ∃y em T 3 p(x, y).
Como lemos isto? Como sempre, lemos da direita para a esquerda, a proposição acima significa
∀x em S, [∃y em T 3 p(x, y)].
Assim, se S = {1, 2} e T = {3, 4} então teremos (aplicando o quantificador universal primeiro,
como requerido):
[∃y em T 3 p(1, y)] ∧ [∃y em T 3 p(2, y)].
Agora, aplicando o quantificador existencial
[p(1, 3) ∨ p(1, 4)] ∧ [p(2, 3) ∨ p(2, 4)]. (1.4)
Em contraste, considere a mesma função proposicional com a ordem dos quantificadores
invertida, isto é
∃y em T 3 ∀x em S, p(x, y).
Procedendo da mesma forma, obtemos
[∀x em S, p(x, 3)] ∨ [∀x em S, p(x, 4)].
e consequentemente,
[p(1, 3) ∧ p(1, 4)] ∨ [p(2, 3) ∧ p(2, 4)]. (1.5)
Note que as duas funções proposicionais apresentadas não são equivalentes, por exemplo, se
p(1, 3) e p(2, 4) são ambas verdade enquanto p(2, 3) e p(1, 4) são ambas falsas então (1.4) é
verdade mas (1.5) é falsa.
29
Um exemplo um pouco mais concreto disso é: sejam S = {1, 2} e p(x, y) “x = y.” Então
(o leitor deverá fornecer os detalhes)
∀x em S, ∃y em S 3 p(x, y)
se torna
[∃y em S 3 1 = y] ∧ [∃y em S 3 2 = y]
que é,
[1 = 1 ∨ 1 = 2] ∧ [2 = 1 ∨ 2 = 2],
uma proposição verdadeira, enquanto
∃y em S 3 ∀x em S, p(x, y)
é
[∀x em S, x = 1] ∨ [∀x em S, x = 2]
ou
[1 = 1 ∧ 1 = 2] ∨ [2 = 1 ∧ 2 = 2],
uma proposição falsa.
Note que se a proposição da forma
∀x em S, ∃y em T 3 p(x, y)
é verdadeira, então para cada x em S deve necessariamente existir algum y em T tal que
p(x, y) seja verdade, entretanto a escolha de y pode depender da escolha de x. Por outro lado,
para que
∃y em T 3 ∀x em S, p(x, y)
seja verdade deve existir algum y em T , digamos y0, tal que, para este particular y0, p(x, y0)
seja verdade para cada escolha de x em S.
Seria útil se tivéssemos uma forma gráfica para olhar para isto. Suponha que S =
{1, 2, 3, 4} e T = {1, 2, 3}. Podemos representar todas as doze possívies escolhas em uma
tabela retangular como abaixo, com ◦ indicando as possibilidades.
3 ◦ ◦ ◦ ◦
T 2 ◦ ◦ ◦ ◦
1 ◦ ◦ ◦ ◦
1 2 3 4
S
Como sempre, vamos representar o primeiro conjunto (S) ao longo do eixo horizontal
e o segundo conjunto (T ) ao longo do eixo vertical. Para entender como as coordenas são
representadas, os valores são mostrados abaixo:
30
3 (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3)
T 2 (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2)
1 (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1)
1 2 3 4
S
Agora, suponha que p(1, 1), p(2, 3), p(3, 2) e p(4, 1) são verdade e para todos os outros
valores de x e y, p(x, y) é falsa (os valores verdadeiros são representados por retângulos na
figura abaixo):
3 ◦ ◦ ◦ ◦
T 2 ◦ ◦ ◦ ◦
1 ◦ ◦ ◦ ◦
1 2 3 4
S
Baseada na figura acima vemos que para
∀x em S, ∃y em T 3 p(x, y) (1.6)
ser verdade deve existir pelo menos um retângulo em cada coluna vertical, enquanto para
∃y em T 3 ∀x em S, p(x, y) (1.7)
ser verdade deve existir uma linha horizontal inteira de retângulos. Assim, para o exemplo
dado, (1.6) é verdade enquanto (1.7) é falsa. Deve estar claro que sempre que (1.7) for verdade
(uma linha inteira de retângulos), (1.6) deve também ser verdade (pelo menos um retângulo
em cada coluna).
Para um exemplo mais “caseiro” disso, sejam S o conjunto de todas as pessoas e p(x, y)
representando “y é mãe de x.” Então ∀x em S, ∃y em T 3 p(x, y) significa todo mundo tem
uma mãe enquanto ∃y em T 3 ∀x em S, p(x, y) significa que existe uma pessoa que é mãe de
todo mundo, claramente duas sentenças diferentes.
Vamos tentar entender outro exemplo caseiro: “Para cada cachorro no sofá existe uma
pulga no carpete com a propriedade que se o cachorro é preto então a pulga mordeu o ca-
chorro.” Algumas questões que devemos ser capazes de responder (se entendemos o significado
da sentença) são:
• “Qual é a negação desta sentença?”
• “O que podemos dizer de seus valores verdade se
a) não há nenhum cachorro preto no sofá?
b) uma pulga em particular mordeu todos os cachorros?
c) existe um cachorro preto não mordido?
d) não há pulgas no carpete?”
Como responderíamos estas questões? Se não podemos respondê-las imediatamente, uma boa
maneira para começar é traduzir a proposição para a forma simbólica. Sejam S o conjunto
31
dos cachorros, C o conjunto das pulgas no carpete, p(x) “x é preto”, e q(x, y) “y mordeu x.”
Então a proposição é
∀x em S,∃y em C 3 p(x)→ q(x, y).
A negação pode ser tratada de uma maneira simples passo a passo:
¬[∀x em S, ∃y em C 3 p(x)→ q(x, y)]
↔ ∃x em S 3 ¬[∃y em C 3 p(x)→ q(x, y)]
↔ ∃x em S 3 ∀y em C,¬[p(x)→ q(x, y)]
↔ ∃x em S 3 ∀y em C, p(x) ∧ ¬q(x, y).
Assim a negação, em Português, é “Existe um cachorro no sofá tal que, para cada pulga
no carpete, o cachorro é preto e a pulga não mordeu o cachorro,” ou de forma mais fluida,
“Tem um cachorro preto no sofá que não foi mordido.” Agora devemos ser capazes de res-
ponder as outras questões que foram formuladas anteriormente. Na situação a) a proposição
é verdade pois deve existir um cachorro preto não mordido para esta ser falsa; a situação b)
é verdade pois q(x, y) será verdade para todos os cachorros x; a situção c) é falsa pois sua
negação é verdade. O valor verdade na situação na situação d) não pode ser decidido sem
mais informações. Se existe um cachorro preto no sofá então a proposição é falsa, se não há
cachorros pretos então é verdade. Isto nos dá um exemplo de uma variedade de questões que
podemos ser capazes de responder se entendermos so significado de tal função proposicional
quantificada.
Com dois quantificadores e dois domínios existem oito ordens possíveis nas quais os quan-
tificadores podem ocorrer. Já notamos que quando os quantificadores são mistos (isto é, um
universal e um existencial), a ordem é importante:
∀x em S, ∃y em T 3 p(x, y)
não é necessariamente o mesmo que
∃y em T 3 ∀x em S, p(x, y)
Se ambos os quantificadores são os mesmos, temos equivalência (isto se deve ao fato que os
conectivos são todos os mesmos, ∨ para ∃ e ∧ para ∀; apenas a ordem é diferente e sabemos
que ambos ∨ e ∧ comutam), assim:
[∃x em S 3 ∃y em T 3 p(x, y)]↔ [∃y em T 3 ∃x em S 3 p(x, y)]
e
[∀x em S,∀y em T, p(x, y)]↔ [∀y em T, ∀x em S, p(x, y)]
Se o domínio é o mesmo para ambos os quantificadores, geralmente encurtamos as equiva-
lências acima escrevendo-as como:
∀x, y em S, p(x, y) para ∀x em S, ∀y em T, p(x, y) e
∃x, y em S 3 p(x, y) para ∃x em S 3 ∃y em T 3 p(x, y).
32
Enquanto as forma mistas não são equivalentes, podemos dizer que
[∃y em T 3 ∀x em S, p(x, y)]⇒ [∀x em S,∃y em T 3 p(x, y)].
Isto se deve ao fato, como observamos acima, que se o lado esquerdo é verdadeiro então existe
pelo menos um elemento de T , digamos y0, que faz p(x, y0) ser verdade para todos os x em
S, portanto este y0 pode ser usado para cada x no lado direito.
Há outro conjunto de dificuldades que podem surgir, e que é distinguir, por exemplo
“Todo inteiro é par ou ímpar,”
e
“Todo inteiro é par ou todo inteiro é ímpar.”
É fácil ver (esperamos), que estas proposicões não são equivalentes, pois a primeira é
verdade enquanto a segunda é falsa. Para ajudar a analisar esta situação, vamos pôr estas
proposições na forma simbólica. Sejam D o conjunto dos inteiros, p(x) “x é par,” e q(x) “x
é ímpar,” então a primeira proposição é
∀x em D, [p(x) ∨ q(x)],
enquanto que a segunda é
[∀x em D, p(x)] ∨ [∀x em D, q(x)].
A razão para estas duas proposicões não serem equivalentes é essencialmente a mesma razão
para não termos equivalência para quantificadores mistos; o ∀ envolve “e’s” e tomado em
conjunção com o “ou,” a ordem na qual as interpretções ocorrem muda de sentido. Usando o
mesmo raciocínio poderíamos suspeitar que
∃x em D 3 [p(x) ∧ q(x)],
e
[∃x em D 3 p(x)] ∧ [∃x em D 3 q(x)],
não sejam equivalentes. Também, como p → q é equivalente a uma disjunção (¬p ∨ q),
esperaríamos que
∀x em D, [p(x)→ q(x)]
e
[∀x em D, p(x)]→ [∀x em D, q(x)].
não sejam equivalentes. Nossas supeitas são bem fundamentadas como nenhum destes pares
é equivalente. Entretanto, em cada par existe uma que implica a outra, portanto temos as
seguintes implicações lógicas:
{[∀x em D, p(x)] ∨ [∀x em D, q(x)]} ⇒ ∀x em D, [p(x) ∨ q(x)],
∃x em D 3 [p(x) ∧ q(x)]⇒ {[∃x em D 3 p(x)] ∧ [∃x em D 3 q(x)]},
∀x em D, [p(x)→ q(x)]⇒ {[∀x em D, p(x)]→ [∀x em D, q(x)]}.
33
Devemos, também, suspeitar que a ordem de “∀” e “∧” ou “∃” e “∨” não muda o significado
e, novamente, estaria correto que
{[∀x em D, p(x)] ∧ [∀x em D, q(x)]} ⇔ ∀x em D, [p(x) ∧ q(x)],
e
∃x em D 3 [p(x) ∨ q(x)]⇔ {[∃x em D 3 p(x)] ∨ [∃x em D 3 q(x)]}.
As ideias e métodos de análise que usamos para sentenças envolvendo dois quantificadores
podem ser extendidas para três (ou mais) quantificadores. Alguns destes exemplos foram
incluídos nos exercícios.
Exercícios 1.7
1. Traduza as seguintes sentenças para a forma simbólica, indicando as escolhas apropriadas
para domínios:
a) Para cada inteiro par n existe um inteiro k tal que n = 2k.
b) Para cada reta l e cada ponto p que não está em l existe uma reta l′ que passa por p
que é paralela a l.
c) Para cada y em B existe um x em A tal que f(x) = y.
d) Para cada x no domínio de f e para cada � > 0 existe δ > 0 tal que |x− c| < δ implica
|f(x)− L| < �.
e) Para cada x em G existe um x′ em G tais que xx′ = e.
f) Se todo inteiro é ímpar então todo inteiro é par.
g) Alguém ama alguém em algum momento.
h) Entre todas as pulgas do carpete existe uma para a qual existe em todos os cachorros
no sofá uma mordida que aquela pulga fez.
i) Para cada inteiro n existe outro inteiro maior que 2n.
j) A soma de quaisquer dois inteiros pares é par.
k) Todo subconjunto fechado e limitado de R é compacto.
2. Encontre a negação para cada uma das proposições no exercício acima.
3. Sejam p(x, y) representando “x + 2 > y” e D o conjunto dos números naturais (D =
{1, 2, 3, . . .}, também denotado por N). Escreva em palavras e determine o valor verdade
de
a) ∀x em D,∃y em D 3 p(x, y).
b) ∃x em D 3 ∀y em D, p(x, y).
c) ∀x em D,∀y em, p(x, y).
d) ∃x em D 3 ∃y em D 3 p(x, y).
e) ∀y em D,∃x em D 3 p(x, y).
f) ∃y em D 3 ∀x em D, p(x, y).
34
4. Sejam D = {1, 2}, p(x) “x é par” e q(x) “x é ímpar.” Escreva em detalhes as seguintes
quantificações como conjunções e disjunções das interpretações (como feito no começo
desta seção):
a) ∀x em D, [p(x) ∧ q(x)].
b) [∀x em D, p(x)] ∧ [∀x em D, q(x)].
c) ∀x em D, [p(x) ∨ q(x)].
d) [∀x em D, p(x)] ∨ [∀x em D, q(x)].
e) ∃x em D 3 [p(x) ∧ q(x)].
f) [∃x em D 3 p(x)] ∧ [∃x em D 3 q(x)].
g) ∃x em D 3 [p(x) ∨ q(x)].
h) [∃x em D 3 p(x)] ∨ [∃x em D 3 q(x)].
i) ∃x em D 3 [p(x)→ q(x)].
j) [∃x em D 3 p(x)]→ [∃x em D 3 q(x)].
5. Dê alguns exemplos para mostrar que as seguintes implicações lógicas não são equivalências
lógicas:
a) {[∀x em D, p(x)] ∨ [∀x em D, q(x)]} ⇒ ∀x em D, [p(x) ∨ q(x)].
b) ∃x em D 3 [p(x) ∧ q(x)]⇒ {[∃x em D 3 p(x)] ∧ [∃x em D 3 q(x)]}.
c) ∃x em D 3 [p(x)→ q(x)]⇒ {[∃x em D 3 p(x)]→ [∃x em D 3 q(x)]}.
6. Determine a relação (se existir uma) entre
∃x em D 3 [p(x)→ q(x)]
e
[∃x em D 3 p(x)]→ [∃x em D 3 q(x)].
7. Mostre que a segunda equivalência lógica em cada uma dos pares pode ser obtida da
primeira por negação:
a)
[∃x em S 3 ∃y em T 3 p(x, y)]⇔ [∃y em T 3 ∃x em S 3 p(x, y)]
e
[∀x em S, ∀y em T, p(x, y)]⇔ [∀y em T, ∀x em S, p(x, y)]
b)
{[∀x em D, p(x)] ∧ [∀x em D, q(x)]} ⇔ ∀x em D, [p(x) ∧ q(x)]
e
∃x em D 3 [p(x) ∨ q(x)]⇔ {[∃x em D 3 p(x)] ∨ [∃x em D 3 q(x)]}.
8. Considere as seguinte proposicão: “Para toda galinha na gaiola e para toda cadeira na
cozinha existe uma frigideira no armário tal que se o ovo da galinha está na frigideira
então a galinha está a menos de dois metros da cadeira.”
35
a) Traduza esta proposicão para a forma simbólica.
b) Expresse a negação em símbolos e em Português.
c) Dê dois exemplos de ciscunstâncias nas quais a proposição seria verdade.
d) Dê dois exemplos de ciscunstâncias nas quais a proposição seria falsa.
1.8 Métodos de demonstração
Agora que aprendemos o básico de lógica, precisamos colocar em prática nossas ideias
para demonstração de teoremas. Claramente que, como já observamos lendo livros texto de
matemática, as demonstrações são escritas de uma maneira informal em vez do estilo bas-
tante formal em nossas demonstrações na seção 1.5. Mas, apesar desta óbvia diferença de
estilo, a estrutura lógica é a mesma em cada caso: assumindo que as hipóteses são verdade,
escrevemos uma sequência de proposições que são consequências lógicas do que escrevemos
anteriormente, encerrando com a conclusão do teorema. Por exemplo, considere o seguinte
teorema
e prova:
Teorema: Se m e n são inteiros pares então m + n é um inteiro par. (Lembre-se que um
inteiro n é par se, e somente se, existe um inteiro k tal que n = 2k; n é ímpar se, e somente
se, existe um inteiro k tal que n = 2k = 1.)
Demonstração: Sejam m e n inteiros pares. Então existem j e k inteiros tais que m = 2j e
n = 2k. Então m+ n = 2j + 2k = 2(j + k). Portanto, m+ n é par.
�
Aqui apresentamos o que é conhecido por demonstração direta: começamos assumindo a
hipótese (m e n são inteiros pares) e desenvolvemos uma sequência de consequências lógicas,
encerrando com a conclusão (m+n é par). Note que há alguns quantificadores escondidos que
precisam ser examinados. Uma sentença completa do teorema seria “∀m,∀n (m é um inteiro
par e n é um inteiro par) → (m+ n é um inteiro par).” Como foi que provamos este teorema
considerando apenas dois inteiros (m e n) quando queríamos demonstrar que a conclusão vale
para todos os inteiros? Seria diferente se tivessemos observado que 2 e 4 são pares e que sua
soma, 6, é par? Sim, muito diferente! A demonstração acima contém um exemplo do uso de
variáveis “fixas mas arbitrárias.” Observando que 2 + 4 = 6 e que 6 é par somente mostra qie
o teorema é verdade para estes dois números. Entretanto, se escolhemos dois inteiros pares e
não assumimos nada mais sobre eles então o mesmo raciocínio pode ser usado para qualquer
par de inteiros pares, então a prova é geral e vale para todos os inteiros pares. Assim, o termo
“fixo mas arbitrário”: m e n são fixos (e podemos fazer cálculos com eles), mas são arbitrários
(não têm nenhuma propriedade que não são compartilhas por todos os inteiros pares).
Existem dois outros métodos de demonstração usados usualmente, ambos baseados nas
familiares equivalências lógicas: as equivalências contrapositiva e reductio ad absurdum. Para
conveniência listamos as duas equivalências aqui novamente (lembre que c representa uma
contradição, a proposição que é sempre falsa):
(p→ q)⇔ (¬q → ¬p) contrapositiva
(p→ q)⇔ ((p ∧ ¬q)→ c) reductio ad absurdum.
36
Vejamos o que elas nos dizem para demonstrar um teorema. Suponha que estamos interessa-
dos em provar um teorema, digamos p→ q. A lei contrapositiva nos diz que isso é equivalente
a sua contrapositiva, ¬q → ¬p. Assim, poderíamos provar o teorema assumindo ¬q e encer-
rando com ¬p; isto é começamos com a negação da conclusão do teorema e encerramos com
a negação da hipótese. Chamaremos esta demonstração de demonstração por contrapositiva.
Por exemplo, considere a demonstração por contrapositiva do teorema acima, onde nosso
ponto de partida será que m+ n não é par (a negação da conclusão):
Demonstração: Suponha que m,n sejam inteiros e que m + n não é par, isto é m + n
é ímpar. Então existe um inteiro k tal que m+ n = 2k + 1. Agora, m é par ou ímpar. Se m
for ímpar, a demonstração estará finalizada, portanto assuma que m é par. Então existe um
inteiro j tal que m = 2j. Portanto,
n = (m+ n)−m = 2k + 1− 2j = 2(k − j) + 1,
portanto n é ímpar e a demonstração está completa.
�
Existem vários pontos neste demonstração por contrapositiva que devem ser analisados.
Para ajudar a ver isso, vamos analisar a forma do teorema negligenciando os quantificadores.
Sejam p “m é um inteiro par,” q “n é um inteiro par” e r “m+ n é um inteiro par.” Então o
teorema é
(p ∧ q)→ r.
Assim a contrapositiva é
¬r → ¬(p ∧ q).
Podemos usar a lei de DeMorgan para obter a forma logicamente equivalente:
¬r → (¬p ∨ ¬q),
e essa é a forma usada na demonstração acima. Uma tradução disto em palavras seria “Se
m+n é ímpar então m é ímpar ou n é ímpar.” Assim a forma contrapositiva do teorema tem
uma disjunção como conclusão. Relembre que uma disjunção é verdade quando pelo menos
uma das subproposições é verdade, então para mostrar que a conclusão é verdade precisamos
mostrar que m é ímpar ou n é ímpar. A demonstração acima fez isso dizendo que se m é
ímpar ou par (lembre-se que p∨¬p é uma tautologia) e então analisando ambos os casos (um
exemplo de análise exaustiva): se m é ímpar então “m é ímpar ou n é ímpar” é verdade e o
teorema está demonstrado; se m é par então n é ímpar (um pouco de trabalho foi requerido
aqui) então “m é ímpar ou n é ímpar” é ainda verdade, o que completa a demonstração. Essa
é a técnica comum para mostrar que uma disjunção é verdade, isto é se uma subproposição é
verdade, estamos prontos, portanto assumimos que uma subproposição é falsa e mostramos
que a outra subproposição deve necessariamente ser verdade.
O método de demonstração baseado na equivalência reductio ad absurdum é chamado de
demonstração indireta ou demonstração por contradição foi discutido na seção 1.5. Lembre-se
que isso envolve começar com uma hipótese adicional, a negação da conclusão, e a demonstra-
ção estará completa quando uma contradição é obtida. Como um exemplo, a demonstração
indireta ou por contradição do teorema enunciado acima:
37
Demonstração: Suponha que m,n sejam inteiros pares e que m + n seja ímpar. Então
existem inteiros j, k tais que m = 2j e m+ n = 2k + 1. Assim
n = (m+ n)−m = 2k + 1− 2j = 2(k − j) + 1.
Portanto, n é ímpar e par, uma contradição, que completa a demonstração.
�
Antes de analisar esta demonstração, estejamos certos que entendemos a equivalência
reductio ad absurdum. Lembre-se que p ∧ ¬q é a negação de p → q portanto a equivalência
reductio ad absurdum é equivalente a
(p→ q)⇔ (¬(p→ q)→ c).
Se a proposição implica uma contradição (relembre que c representa uma contradição) então
a proposição deve ser necessariamente falsa (absurdo, número 23 da lista de tautologias na
seção 1.4). Assim, se ¬(p → q) → c é verdade, ¬(p → q) deve necessariamente ser falso,
isto é, p → q é verdade. O que isso nos diz sobre a demonstração indireta é que ao invés
de demonstrar p → q, podemos mostrar (p ∧ ¬q) → c, isto é mostrar que a conjunção da
hipótese original, p, e a negação da conclusão, ¬q, nos leva a uma contradição.
Traduzindo isso para o teorema enunciado acima, a forma da demonstração indireta é
(usando p, q, r como antes):
(p ∧ q ∧ ¬r)→ c,
ou, em palavras, “m é um inteiro par e n é um inteiro par e m + n é um inteiro ímpar
implica em uma contradição.” A particular contradição que obtemos em nosso caso foi “n é
par e n é ímpar (não par),” embora qualquer contradição tenha servido também. Uma das
vantagens da demonstração indireta é que ela nos dá uma hipótese adicional para trabalhar
e é particularmente útil para provar a não existência de objetos matemáticos.
Vamos, agora, resumir os três métodos de demonstração:
a) Demonstração direta: Assuma as hipóteses, desenvolva a demonstração (corpo da de-
monstração) e chegue a conclusão.
b) Demonstração por contrapositiva: Assuma a negação da conclusão, desenvolva a
demonstração (corpo da demonstração) e chegue na negação das hipóteses.
c) Demonstração indireta ou por contradição: Assuma as hipóteses e a negação da
conclusão, desenvolva a demonstração (corpo da demonstração) e chegue a uma contra-
dição.
Em cada uma destas formas, “corpo da demonstração” representa as consequências lógicas
que seguem das premissas e nos levam a uma “conclusão,” que pode ser a conclusão original,
a negação das hipóteses ou uma contradição.
Se um teorema a ser demonstrado tem a forma p ↔ q, então a demonstração deve ser
quebrada em duas partes, uma para mostrar que p → q e a outra para mostrar a recíproca,
q → p.
38
Como foi no caso dos princípios de demonstração, não usamos nossas técnicas de demons-
tração para mostar que uma conjectura é falsa. Naturalmente, nossa incapacidade de produzir
uma demonstração para a verdade da conjectura não é suficiente para garantir sua falsidade,
logo devemos utilizar contra-exemplos. Se tivessemos a seguinte conjectura:
“Se x é um inteiro ímpar e y é um inteiro par então x+ y é par”
podemos mostrar que ela é falsa produzindo um contra-exemplo x = 3 e y = 2 e observar
que x é ímpar e y é par e que sua soma, 5, é ímpar. Assim, teríamos produzido um exemplo
satisfazendo as hipóteses, mas não a conclusão.
É importante perceber que o processo de produzir demonstrações escritas de proposições
consiste de duas partes: entender as ideias que fazem a demonstração funcionar e escrever
a demonstração de uma maneira lógica e inteligível. Estas duas partes requerem atividades
mentais distintas e, por um lado, a interação de insights criativos é necessária para o rigor
da lógica. Por outro lado, elas são uma das principais atrações da matemática.
Quando alguém lê um livro de matemática, é possível ter a impressão que a matemática se
desenvolve de uma forma linear e lógica, cada novo resultado seguindo o rastro dos resultados
anteriores. Isto é de alguma forma ilusório, a apresentação formal da matemática não espelha
a atividade mental envolvida em sua criação. Tem mais tentativa e erro, consideração de
exemplos, começos errados e outras atividades que acontecem nos bastidores antes que a
forma final da demonstração surja ao olhos do público. De fato, na tentativa de escrever uma
demonstração, a escrita acontece ao final, depois que um entedimento é obtido de porque
a conclusão segue das hipóteses. Assim, quando perguntado para demonstrar alguma coisa,
não espere começar a escrever a demonstração imediatamente, pensar e entender vêm antes.
Exercícios 1.8
1. Escreva a primeira e última linhas da demonstração direta, por contrapositiva e indireta
dos seguintes teoremas abaixo:
a) Se m é um inteiro par então m2 é par.
b) Se f é uma função diferenciável então f é uma função contínua.
c) L é uma tranformação linear injetora se e somente se Ker(L) = {0}.
d) Se (an) é monotônica e limitada então (an) converge.
e) A imagem homomórfica de um grupo cíclico é um grupo cíclico.
f) Se o único termos não zero de uma expansão p−ádica de n é 1 então n = pk para
algum k ≤ 0.
g) Se f não é contínua em c então limx→c f(x) não existe ou limx→c f(x) 6= f(c).
h) Todo conjunto fechado e limitado de R é compacto.
i) Se m é um inteiro da forma 2, 4, pn, 2pn onde p é um primo ímpar e n é um inteiro
positivo então m tem raízes primitivas.
2. Determine quais das seguintes “demonstrações” são corretas e quais são incorretas. Se
a demonstração está correta, indique o tipo e se a demonstração está incorreta, indique
porque a demonstração é incorreta.
Teorema: Se x e y são inteiros pares então x− y é um inteiro par.
39
a) “Demonstração 1”: Suponha que x e y são ambos inteiros ímpares. Então existem
inteiros j, k tais que x = 2j + 1 e y = 2k + 1. Assim,
x− y = 2j + 1− (2k + 1) = 2(j − k)
que é par.
b) “Demonstração 2”: Suponha que x− y seja par e x ímpar. Então existem inteiros j, k
tais que x− y = 2j e x = 2k + 1. Assim,
y = y − x+ x = −2j + (2k + 1) = 2(k − j) + 1
portanto y é ímpar, uma contradição.
c) “Demonstração 3”: Suponha que x − y seja ímpar. Então existe um inteiro j tal que
x− y = 2j + 1. Se y é par , oteorema está demonstrado. Portanto, suponha que y seja
ímpar, digamos y = 2k + 1 para algum inteiro k. Assim,
x = x− y + y = 2j + 1− (2k + 1) = 2(j − k) + 1
logo x é par e a demonstração está completa.
d) “Demonstração 4”: Suponha que x seja par e x − y seja par também. Então existem
inteiros j, k tais que x = 2j e x− y = 2k. Assim,
y = x− (x− y) = 2j − 2k = 2(j − k)
logo y também é par.
e) “Demonstração 5”: Suponha que x, y sejam pares e x−y ímpar. Então existem inteiros
j, k tais que x = 2j e y = 2k. Assim,
x− y = 2j − 2k = 2(j − k)
portanto x − y é par. Mas isto contradiz nossa premissa que x − y é ímpar, logo a
demonstração está completa.
f) “Demonstração 6”: Suponha que x− y seja ímpar, digamos x− y = 2j + 1 para algum
inteiro j. Se x é ímpar o teorema estará demonstrado. Portanto, assuma que x seja
par, digamos x = 2k para algum inteiro k. Então,
y = x− (x− y) = 2k − (2j + 1) = 2(k − j)− 1 = 2(k − j − 1) + 1
logo, y é ímpar e o teorema está demonstrado.
g) “Demonstração 7”: Suponha que x e y sejam ambos pares. Então existem inteiros j, k
tais que x = 2j e y = 2k. Assim,
x− y = 2j − 2k = 2(j − k)
portanto, x− y é par.
h) “Demonstração 8”: Suponha que x − y seja par. Então se x for ímpar, o teorema
estará demonstrado. Logo, suponha que x seja par. Então existem inteiros j, k tais que
40
x− y = 2j e x = 2k. Assim,
y = x− (x− y) = 2k − 2j = 2(k − j)
logo, y também é par.
i) “Demonstração 9”: Suponha que x− y seja ímpar, digamos x− y = 2j + 1 para algum
inteiro j. Então se x é ímpar, digamos x = 2k + 1 para algum k, teremos
y = x− (x− y) = 2k + 1− (2j + 1) = 2(k − j)
logo y é par e a demonstração está completa.
j) “Demonstração 10”: Suponha que x e y sejam ímpares e x− y ímpar também. Então
existem inteiros j, k tais que x = 2j + 1 e y = 2k + 1. Assim,
x− y = 2j + 1− (2k + 1) = 2(j − k)
logo, x− y é ímpar e par, uma contradição.
3. Dê a demonstração direta, por contrapositiva e indireta (se possível) de:
a) Se x é um inteiro par e y é um inteiro ímpar então x+ y é um inteiro ímpar.
b) Se x e y são inteiros ímpares então xy é um inteiro ímpar.
4. Para as seguintes conjecturas, demonstre que é verdade ou dê um contra-exemplo para
mostrar que é falso:
a) Se x é um inteiro e 4x é par então x é par.
b) Se x é um inteiro par então 4x é par.
c) Se x é um inteiro e x2 é par então x é par.
d) Se x é um inteiro e 3x é par então x é par.
e) Se x, y, z são inteiros e x+ y + z é ímpar então um número de x, y, z é ímpar.
5. Pareceria que poderia existir uma quarta forma de demonstração, uma demonstração
indireta da contrapositiva de um teorema. Explique porque este fato não foi mencionado
na discussão acima.
Capítulo 2
Conjuntos, Relações e Funções
2.1 Conjuntos
A teoria dos conjuntos forma a base de quase toda a matemática. Surpreendentemente,
seu desenvolvimento é relaticamente recente, tendo começado com Georg Cantor, uma mate-
mático alemão, no século XIX (para uma breve história do assunto verifique [7]). A príncipio
a teoria de conjuntos parece ser bem simples, mas alguns dos problema que surgem desta
teoria são bem sútis. Estes problemas são ainda objetos de estudo e debate entre matemáticos
e este estudo nos leva a um entendimento mais profundo dos fundamentos da matemática.
Assim, a teoria dos conjuntos se tornou uma das mais frutíferas ideias em toda a matemática.
Embora seja possível desenvolver a teoria dos conjuntos de um ponto de vista axiomá-
tico, uma abordagem informal será mais adequada para nosso propósitos ([6] fornece uma
introdução, relativamente fácil de ler, para um desenvolvimento axiomático). Para começar,
podemos pensar em um conjunto como Cantor fez, como “uma coleção objetos distinguívies,
chamados elementos, pensado como um todo.” Obviamente, isto não serve como uma defini-
ção para conjunto a menos que coleção tenha sido definida proviamente e facilmente vemos
que estamos presos em um padrão circular de definições. De fato, em qualquer língua existem
termos que são indefinidos dentro daquela língua. Isto também é verdade em mateática e
tomaremos conjunto e elemento de um conjunto para serem primitivos, termos indefinidos.
Do ponto de vista intuitivo pareceria que qualquer coleção de objetos podeira ser conside-
rada como um conjunto (certamente, na consideração de Cantor isso procedia), entretanto,
este não é o caso. Nos fins do século XIX matemáticos descobriram que permitindo uma co-
leção ser um conjunto levou a paradoxos lógicos de todas as formas. Duas formas principais
foram descobertos para eliminar este paradoxo; conjuntos não foiram permitidos para ser
“muito grande” ou restrições foram colocadas sobre a espécie que poderiam ser elementos dos
conjuntos (para um discussão interessante das questões envolvidas, veja [10]). Estas dificulda-
des não precisam nos preocupar aqui, mas faremos a premissa que todos os conjuntos em dis-
cussão consistem
de elementos de um conjunto universal, usualmente denotado por U. Muito
frequentemente U não será mencionado explicitamente, logo esta situação é muito similar a
ideia de domínio da uma variável para uma função proposicional. Assim, quando escrevemos
∀a, a em A → a em B, estamos realmente querendo dizer ∀a ∈ U, a em A → a em B, para
algum conjunto universal U.
Denotaremos usualmente comjuntos por letras maiúsculas A, B, C, etc. Os elementos
41
42
dos conjuntos serão representados por lebras minúsculas a, b, c, etc. “a é um elemento do
conjunto A” ou “a é um membro de A” ou “a pertence a A” é denotado por
a ∈ A
e “a não é um elemento do conjunto A” por
a /∈ A.
Se um conjunto não tem muitos elementos, é conveniente listá-los, entre parênteses: {. . .}.
Assim, de A é um conjunto com elementos 1, 2, 3, 4, indicaremos isto por
A = {1, 2, 3, 4}.
Outra forma de especificar os elementos de um conjunto é dar a regra de formação dos membro
do conjunto. Portanto, se A é como acima, poderíamos também indicar este conjunto por
A = {a : a é um inteiro e 1 ≤ a ≤ 4} ou
A = {x : (x− 2)(x− 1)(x− 4)(x− 3) = 0}.
A notação {a : p(a)} é lida como “o conjunto de todos a tais que p(a) é verdade” (aqui p é
alguma função proposiciponal). Este conjunto pode ser escrito também como {a|p(a)}. No
que, a ordem na qual os elementos de um conjunto são listados não fazem diferença, pelo
simple caso que se a odem fosse importante então o método de especificar os elementos de
um conjunto por uma regra de formação não funcionaria, para tal especificação não implica
necessariamente uma ordem particular.
O leitor mais alerta pode ter notado que já usamos igualdade de conjuntos sem mencionar
qual é o significado de “conjunto A é igual ao conjunto B.” Para solucionar esta deficiência,
definamos o seguinte:
Definição 2.1. O conjunto A é igual ao conjunto B, denotado por A = B, se e somente
se todo elemento de A é um elemento de B e todo elemento de B é um elemento de A.
Em símbolos,
(A = B)↔ [(∀x, x ∈ A→ x ∈ B) ∧ (∀x, x ∈ B → x ∈ A)] ou
(A = B)↔ (∀x, x ∈ A↔ x ∈ B).
Assim dois conjuntos são iguais se e somente se eles têm os mesmos elementos, por exem-
plo,
{1, 2, 3} = {2, 3, 1} = {x : a ≤ x ≤ 3 e x é um inteiro.}.
Existem muitos conjuntos que são frequentemente usados em matemática, por isso damos
43
a eles nomes especiais. Talvez este conjuntos são familiares a você:
N = {x : x é um inteiro e x ≥ 1} = {1, 2, 3, 4 . . .} (conjunto dos números naturais)
Z = {x : x é um inteiro} = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} (conjunto dos números inteiros)
Q =
{
x
y
: x, y ∈ Z, y 6= 0
}
=
{
. . . ,
−4
3 ,
−3
2 ,
−2
1 ,
−1
1 ,
0
2 ,
1
3 ,
2
4 , . . .
}
(conjunto dos números racionais)
R = {x : é um número real} (conjunto dos números reais)
Suponha que A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4}. Facilmente vemos que A 6= B (4 ∈ B mas
4 /∈ A) mas podemos ver que todos os elementos de A são também elementos de B. Isto é
um importante conceito, por isso daremos um nome:
Definição 2.2. Sejam A,B conjuntos. Dizemos que A é um subconjunto de B (ou
equivalentemente, B é um superconjunto de A) se e somente se, todos elementos de A
são um elemento de B. Isto é denotado por
A ⊆ B ou B ⊇ A.
Em símbolos,
A ⊆ B ↔ (∀x, x ∈ A→ x ∈ B).
Se A não é um subconjunto de B, escreveremos A 6⊆ B. Aplicando nossas técnicas para
negação de funções proposicionais quantificadas obtemos:
A 6⊆ B ↔ ¬(∀x, x ∈ A→ x ∈ B)↔ (∃x 3 x ∈ A→ x /∈ B).
Note que, para qualquer conjunto A, é verdade que A ⊆ A. Se A ⊆ B mas A 6= B então
diremos que A é um subconjunto próprio de B e escrevemos
A ⊂ B ou B ⊃ A.
De forma similar, se A não é um subconjunto próprio de B escreveremos A 6⊂ B. [Note que,
alguns autores não fazem uma distinção e usam ⊂ como usamos ⊆ e assim não tem um
símbolo distinto para subconjuntos próprios].
Como exemplos desta notação, se A = {1, 2, 3, 4}, B = {x : (x−2)(x−1)(x−4)(x−3) = 0}
e C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} então
A ⊆ B, B ⊆ C, C ⊆ N
e
A 6⊂ B, B ⊂ C, C ⊂ N.
Permitindo que um conjunto seja uma colação de objetos, obviamente é possível ter uma
coleção sem objetos, poe exemplo, o conjunto de todos os estudantes de matemática que
tem mais de seis metros de altura. Chamamos um conjunto se elementos de conjunto vazio.
Se tivermos dois conjuntos, digamos, o conjunto descrito acima e o conjunto de todos os
professores de matemática que têm menos de seis milimetros de altura. Podemos ver que
estes conjuntos são iguais desde que ambos satisfazem a definição de igualdade de conjuntos.
Assim, como quaisquer dois conjuntos como os acima são iguais, então existe apenas um
44
conjunto vazio com isso podemos dizer o conjunto vazio que é representado, ∅ e em símbolos
por
∅ = {x : p(x) ∧ ¬p(x)},
onde p é qualquer função proposicional.
Como “∀x ∈ D, x ∈ ∅” é falso seD é não vazio, “∀x ∈ D, x ∈ ∅→ (qualquer função proposicional)”
é verdade (às vezes dizemos que tal implicação é verdade por vacuidade pois a premissa nunca
é verdade) portanto em particular
∀x, x ∈ ∅→ x ∈ A
é verdade para qualquer conjunto A, temos que ∅ ⊆ A.
Se você estiver um pouco confuso, pode ser possível confundir as ideias de elementos
(regra de formação) e subconjunto. Para manter estas ideias distintas, lembre que “é um
subconjunto de” é uma relação que existe (ou não) entre conjuntos, enquanto “ser membro
de”, isto é “é um elemento de,” é uma relação que existe (ou não) elementos e conjuntos.
Assim„ para uma senteça envolvendo ⊆ para fazer sentido deve ter conjuntos em ambos os
lados de ⊆, enquanto um elemento deve estar a esquerda de ∈ e um conjunto que contenha
elementos deste tipo a direita. Por exemplo, todas a proposições abaixo são verdade:
1 ∈ {1, 2}, 1 6⊆ {1, 2}, {1} ⊆ {1, 2}, ∅ /∈ {1, 2}, ∅ ⊆ {1, 2}
enquanto as seguintes são falsas:
1 ⊆ {1, 2}, 1 /∈ {1, 2}, {1} ∈ {1, 2}, ∅ ∈ {1, 2}.
Seguindo este padrão de lógica onde combinamos proposições usando conectivos para obter
novas proposições, desejamos combinar conjuntos para obter novos conjuntos usando o que
chamaremos de operações de conjuntos. Suas definições são
Definição 2.3. Sejam A,B conjuntos. Então a união de A e B (denotada por A ∪B)
é o conjunto de todos os elementos que estão pelo menos um de A ou B. Em símbolos,
A ∪B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.
A intersecção de A e B (denotada por A ∩ B) é o conjunto de todos os elementos que
estão em ambos A e B. Em símbolos,
A ∩B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.
Se A ∩ B = ∅, dizemos que A e B são disjuntos. O complemento relativo de A em B
(ou complemento de A com respeito a B), denotado por B − A (às vezes por B\A) é o
conjunto de todos os elementos em B que não estão em A. Em símbolos,
B −A = {x : x ∈ B ∧ x /∈ A}.
Se B é U, o conjunto universal, então U − A = {x : x ∈ U ∧ x /∈ A} = {x : x /∈ A} é
45
chamado o complemento de A e é denotado por AC .
Uma forma conveniente de exibir conjuntos é tendo uma imagem visual de uniões, inter-
secções e complementos relativos. Para isso usamos um diagrama de Venn (veja os exemplos
abaixo). Para este tipo de diagramas usamos regiões para representar conjuntos a região
cercada por um retângulo representa o conjunto universal e as regiões dentro de círculos
representam os conjuntos indicados (e portanto a região fora do círculo A representa AC).
Assim, aregião compartilhada por dois círculos representa A ∩ B (sombreada no seguinte
diagrama):
A B
A ∩B
enquanto as duas regiões para A e B tomadas juntas representam A ∪B
A B
A ∪B
e a região sombreada abaixo representa A−B
A B
A−B
46
O mesmo princípio pode ser usado quando temos três conjuntos envolvidos, por exemplo
(o leitor deve verificar este fato), a região sombreada abaixo representa (A ∩ C) ∪ (B ∩ C):
A
B
C
(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
Note que quando tínhamos dois conjuntos o diagrama de Venn consistia de quatro regiões
enquanto que quando
tínhamos três conjuntos existiam oito regiões. Com um pouco mais de
trabalho podemos mostrar porque este é o caso: para um elemento em U e cada conjunto
envolvido, exatamente uma de duas possibilidades devem ocorrer: o elemento pertence ou
não pertence ao conjunto. Assim com dois conjuntos temos 2×2 = 4 possibilidades enquanto
que para três conjuntos temos 2×2×2 = 8 possibilidades. Você provavelmente nunca viu um
diagrama de Venn com seis conjuntos, tal diagrama teria 26 = 64 regiões e sua complexidade
faria que sua utilidade fosse limitada.
Existe um outro conjunto obtido de um conjunto dado o qual chamamos de chamamos
de o conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado.
Definição 2.4. Seja A um conjunto. Então o conjunto de todos os subconjuntos de A,
denotado por P(A) (ou 2A) é chamado de o conjunto potência de A. Em símbolos,
P(A) = {B : B ⊆ A}.
Para ter certeza que estas ideias estão claras, vamos considerar alguns exemplos.
Seja U o conjunto dos números naturais (usualmente denotado por N), isto é,
U = N = {x : x é um inteiro e x ≥ 1} = {1, 2, 3, 4 . . .}
Definimos
A = {x : x é par},
B = {x : x = 2k − 1 para algum k ∈ N},
C = {y : y ≤ 4},
D = {1, 3}.
47
Portanto (o leitor deve verificar):
A ∪B = U,
A ∩B = ∅,
A e D são disjuntos,
AC = B,
BC = A,
A−B = A,
C ∩D = D,
P(D) = {∅, {1}, {3}, {1, 3}},
C 6⊆ D,
D − C = ∅,
D ⊆ C,
D ⊂ C,
DC ⊇ A,
1 6⊆ D,
1 ∈ D,
A ∪ C = A ∪D,
∅ ∈ P(D),
∅ ⊆ P(D),
{1} ∈ P(D),
1 /∈ P(D).
Vamos provar alguns teoremas envolvendo conjuntos, mas primeiro será útil fazer algu-
mas observações sobre tais demonstrações. Um dos tipos mais comuns de demonstração é
a demonstração direta para mostrar que um conjunto é um subconjunto de outro conjunto.
Apresentamos um exemplo específico:
Teorema: Sejam A e B conjuntos tais que A ∩B = A. Então A ⊆ B.
Demonstração: Suponha que A,B são conjuntos tais que A ∩ B = A. Seja a ∈ A. En-
tão,
. . .
“alguma coisa utilizando a hipótese A ∩B = A”
. . .
portanto, a ∈ B. Assim A ⊆ B.
Alguns comentários sobre esta demonstração estão em ordem. Note que começamos a de-
monstração por “preparando o terreno”, isto é definimos o que nossos símbolos representam
e que hipóteses foram feitas sobre eles. Esta é uma boa form para começar qualquer demons-
tração, embora você pode ter notado que em livros texto de matatemática, especialmente
os mais avançados, geralmente omitem isso e assumem que o leitor pode inferir do contexto
48
que os símbolos representam e que premissas estão sendo feitas sobre eles. Isto mostra um
aspecto da escrita de demonstrações que requer o julgamento: quantos detalhes devem ser
incluidos. Não existe uma resposta correta para esta pergunta, mas uma boa prática é incluir
os detalhes suficientes para que a pessoa com um nível entendimento mais baixo dentro dos
universo dos possíveis leitores seja capaz de compreender a demonstração. Quando estamos
começando devemos ter como objetivo para o detalhe suficiente de tal forma que possamos
entender nossa própria demonstração na semana seguinte, isto é depois que algum tempo te-
nha passado e as ideias da demonstração não estejam tão claras em nossa mente. Na dúvida,
erre no exagero, ou seja, abuse dos detalhes.
Depois que “preparamos o terreno,” a demonstração começou. “Seja a ∈ A.” Este é outro
exemplo do uso de uma vraiv´el “fixa mas arbritrária.” Assumimos que a é um elemento de A,
nada mais que isso é assumido. Mas, espere! Há mais do que foi dito. Estamos aqui, de fato,
considerando dois casos, um que nem é mesmo mencionado. Quando dizemos “seja a ∈ A,”
estamos assumindo que A 6= ∅. E se tivéssemos A = ∅? Este é o caso não mencionado
que ficou implícito. A razão para não mencionar este caso é que se A = ∅, a demonstração
estará completa, pois ∅ é subconjunto de qualquer conjunto, em particular B. Uma forma
mais geral de pensar nisso é perceber que a proposição que estamos tentando demonstrar
(∀x, x ∈ A → x ∈ B) é uma implicação universalmente quantificada. Se não há elementos
em A, a implicação é verdade por vacuidade. Se fossemos escrever isto em detalhes (que
usualmente não é feito), começaríamos com: “Consideremos dois casos: A = ∅ e A 6= ∅. Se
A = ∅ então A ⊆ B e a demonstra]ção estará terminada. Se A 6= ∅, seja a ∈ A . . . ” O ponto
para lembrar é que sempre que escrevemos alguma coisa como “seja a ∈ A,” devemos ter
claro que o caso A = ∅ não causa nenhum problema. Outro ponto importante para notar é
que devemos mostrar que a conclusão do teorema (A ⊆ B ou ∀x, x ∈ A→ x ∈ B) é verdade,
nossa escolha do elemento “fixo mas arbitrário” é determinado pela conclusão ao invés das
hipóteses (que neste caso é A∩B = A). Mais geralmente o “alguma coisa ou outra” no corpo
da demonstração vem a ser apenas uma tradução das definições, por exemplo, x ∈ A ∩ B
implica que x ∈ A e x ∈ B. O “�” ao fim da demonstração é um símbolo para indicar que
demonstração está completa.
Podemos usar esta mesma técnica duas vezes para mostrar que dois conjuntos são iguais,
isto é A = B se e somente se A ⊆ B e B ⊆ A. Portanto, para mostrar que A = B, mostramos
que A ⊆ B e então demonstramos que B ⊆ A. Como exemplo deste tipo de demonstração
considere:
Teorema 2.1. Sejam A e B conjuntos. Então A−B = A ∩BC .
Demonstração: Suponha que A e B sejam conjuntos. Primeiro, mostremos que A − B ⊆
A ∩ BC . Seja x ∈ A − B. Então x ∈ A e x /∈ B (esta é apenas a definição de A − B). Mas
x /∈ B implica que x ∈ BC . Portanto, x ∈ A e x ∈ BC assim temos que x ∈ A ∩ BC e
A−B ⊆ A ∩BC .
Agora, suponha que X ∈ A∩BC . Isto significa que x ∈ A e x ∈ BC (novamente, usando a
definição do conjunto em questão, neste caso a intersecção). Mas x ∈ BC significa que x /∈ B.
Portanto, x ∈ A e x /∈ B, ou seja, X ∈ A−B, logo A ∩BC ⊆ A−B.
Como mostramos que A−B ⊆ A ∩BC e A ∩BC ⊆ A−B, demonstramos que A−B =
A ∩BC .
49
Incluímos aqui uma demostração mais detalhada que o normal pois esta é a nossa primeira
demonstração de um teorema. Usualmente os lembretes entre parênteses não apareceriam no
corpo da demonstração e menos explicação seria dada.
Abaixo está outro exemplo, com um pouco menos de explicação:
Teorema 2.2. Sejam A, B e C conjuntos com A ⊆ B e B ⊆ C. Então A ⊆ C.
Demonstração: Suponha que A, B e C sejam conjuntos com A ⊆ B e B ⊆ C. Seja x ∈ A.
Então como A ⊆ B temos que a ∈ B. Além disso, como B ⊆ C e a ∈ B temos que a ∈ C.
Portanto, A ⊆ C.
Observe que a conclusão, A ⊆ C, determinou nosso ponto de partida. Precisamos mostrar
que cada elemento em A também estava em C, por isso que começamos um elemento fixo
mas arbitrário a ∈ A que ao final mostramos que pertencia a C.
Para um exemplo um pouco mais complicado, considere:
Teorema 2.3. Sejam A e B conjuntos. Então A ⊆ B ↔ A ∩B = A.
Demonstração: Suponha que sejam A e B conjuntos. Primeiro, para mostrar que A ⊆ B
implica que A ∩B = A, suponha A ⊆ B. Seja z ∈ A ∩B. Então z ∈ A e z ∈ B. Logo, z ∈ A
então A ∩ B ⊆ A. Agora, seja z ∈ A. Como A ⊆ B, z ∈ B então temos que z ∈ A e z ∈ B
que significa que z ∈ A ∩B. Desta forma mostramos que A ⊆ A ∩B que junto com o que já
havia sido demonstrado, A ∩B ⊆ A, implica que A = A ∩B.
Agora, para mostrar que A ∩B = A implica A ⊆ B, assuma que A ∩B = A. Seja a ∈ A.
Então, como A = A ∩B, a ∈ A ∩B então a ∈ B. Mas, isto implica que A ⊆ B.
Há vários pontos desta demonstração que merecem comentários. Primeiro note que a
forma básica do teorema é uma equivalência, que significa que a demonstração provavelmente
involverá mostrar que duas implicações são verdadeiras. A implicação que começamos era
A ⊆ B → A ∩B = A. Agore, relembre que é a conclusão que determina a forma de começar
a demonstração e aqui a conclusão é que os dois conjuntos são iguais, que em geral exige
duas partes, isto é, A ∩ B ⊆ A e A ⊆ A ∩ B. Também note que a hipótese A ⊆ B foi
somente usada em uma delas (para mostrar que A ⊆ A∩B) e não foi usada como o ponto de
partida da demonstração. A segunda
implicação, A∩B = A→ A ⊆ B, tinha como cunclusão
A ⊆ B usamos nossa técnica usual de demonstrar subconjuntos. Para um pouco de variedade,
poderíamos ter usado uma demonstração indireta para esta parte:
“Suponha que A ∩ B = A e A 6⊆ B. Então existe um elemento a tal que A ∈ A e a /∈ B.
Mas a /∈ B significa que a /∈ A∩B. Como A∩B = A então a /∈ A, uma contradição. Portanto
A ⊆ B.”
Como último exemplo, incluímos a demonstração que um certo conjunto é vazio. Tais
demonstrações são usualmente feitas de forma indireta.
Teorema 2.4. Sejam A e B conjuntos. Então A ∩ (B −A) = ∅.
Demonstração: Suponha que A e B sejam conjuntos. Como ∅ é um subconjunto de qual-
quer conjunto, temos que ∅ ⊆ A ∩ (B − A), logo tudo que temos que demonstrar é que
50
A ∩ (B − A) ⊆ ∅. Faremos isso de forma indireta, o que significa que iremos assumir que
existe um elemento em A ∩ (B − A) que não é um elemento de ∅ e obter uma contradição
(como não há elementos em ∅, isto correponde a assumir que um elemento pertencente a
A ∩ (B − A) leve a uma contradição). Suponha que exista y ∈ A ∩ (B − A). Então y ∈ A e
y ∈ B−A. Mas y ∈ B−A implica que y ∈ B e y /∈ A. Assim, temos que y ∈ A e y /∈ A, uma
contradição, que completa a demonstração.
A demonstração acima é bastante típica para mostrar que um certo conjunto, digamos
C, é vazio que é da forma: x ∈ C → uma contradição. Este é o método geralmente usado.
Agora o leitor terá a chance de tentar algumas demonstrações, uma ótima oportunidade
para usar os conhecimentos de lógica e conjuntos!
Excercícios 2.1
1. Sejam
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},
A = {1, 2, 3, 4},
B = {x : (x− 2)2(x− 3) = 0},
C = {x : x é ímpar}.
Encontre:
a) A ∪B.
b) A ∩ (B ∪ C).
c) C −A.
d) C ∪AC .
e) (A ∪ C)C .
f) AC ∩ CC .
g) P(B).
2. Escreva em Português a negação de A ⊆ B dada nesta seção.
3. Seja U = R, o conjunto dos números reais. Considere os seguintes conjuntos:
(a, b) = {x : a < x < b},
(a, b] = {x : a < x ≤ b},
[a, b) = {x : a ≤ x < b},
[a, b] = {x : a ≤ x ≤ b},
(−∞, a) = {x : x < a},
(−∞, a] = {x : x ≤ a},
(a,∞) = {x : a < x},
[a,∞) = {x : a ≤ x}.
Encontre:
51
a) [1, 3] ∩ (2, 4).
b) (−∞, 2) ∩ [−1, 0].
c) (−∞, 2) ∩ [−1, 3].
d) [0, 10] ∪ (1, 11).
e) (0,∞) ∩ (−∞, 1).
f) (1,∞) ∩ (−∞, 0).
g) [−2, 0] ∪ [0, 2].
h) [−2, 0] ∪ (0, 2].
i) [−2, 0) ∪ (0, 2].
j) [−2, 0] ∪ [2, 0].
k) (0, 4]C .
l) P([1, 1]).
m) P([0, 1]).
4. Mostre que dois conjuntos vazios, mencionados na discussão de conjuntos vazios, são iguais.
5. Suponha que A, B, e C sejam conjuntos e U é o conjunto universal. Prove que:
a) A ∪∅ = A.
b) A ∩∅ = ∅.
c) A−∅ = A.
d) A ∪ U = U.
e) A ∩ U = A.
f) A ∪AC = U.
g) A ∩AC = ∅.
h) A−A = ∅.
i) A−B ⊆ A.
j) A ∩B ⊆ A.
k) A ∪B ⊇ A.
l) A ∩B ⊆ A ∪B.
m) (AC)C = A.
n) (A ∪B)C = AC ∩BC .
o) (A ∩B)C = AC ∪BC .
p) A ∪ (B −A) = A ∪B.
q) (A ∪B)− (A ∩B) = (A−B) ∪ (B −A).
r) A− (B ∪ C) = (A−B) ∩ (A− C).
s) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).
t) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).
52
6. Suponha que A, B, C e D sejam conjuntos e U é o conjunto universal. Para cada dos
seguintes teoremas enuncie as hipóteses e conclusãoe indique a forma de uma demonstração
direta. Então escreva a demonstração para cada um deles.
a) A ⊆ ∅↔ A = ∅.
b) A ⊂ B ∧B ⊂ C → A ⊂ C.
c) A ⊆ B ↔ A ∪B = B.
d) A ⊆ B ↔ P(A) ⊆ P(B).
e) A ⊆ BC ↔ A ∩B = ∅.
f) (A ∪B = C ∧A ∩B = ∅)→ B = C −A.
g) (A ⊆ C ∧B ⊆ C)↔ A ∪B ⊆ C.
h) (A ⊆ C ∧B ⊆ D)→ (A ∪B ⊆ C ∪D).
i) [(A ∩ C = A ∩B) ∧ (A ∪ C = A ∪B)]→ B = C.
j) A ⊆ B ↔ AC ∪B = U.
k) A−B ⊆ B ↔ A ⊆ B.
l) A ∩B = U↔ A = B = U.
m) A ∪B 6= ∅↔ A 6= ∅ ∨B 6= ∅.
n) P(A) = P(B)→ A = B.
7. Acredite se quiser: Instruções. Estes exercícios aparecerão ao longo deste livro. uma
conjectura é dada, seguida por uma “demonstração” pretende mostrar que a conjectura é
verdadeira e um “contraexemplo” que pretende mostrar que a conjectura é falsa. Sua tarefa
é separar o trigo da palha e determinar qual é correta, mantendo em mente a possibilidade
de todas as três estarem incorretas. A solução completa envolve apontar qualquer erro
presente (pelo menos uma parte deve estar incorreta) e eliminá-lo da conjectura, isto é,
demonstrando que se é verdade ou dando um contraexemplo adequado se é falso.
Conjectura: Seja A e B conjuntos tais que A ⊆ B. Então A−B = ∅.
“Demonstração”: Suponha que A e B sejam conjuntos com A ⊆ B. Seja x ∈ A − B.
Então x ∈ B e x /∈ A. Mas A ⊆ B assim x /∈ A implica x /∈ B, uma contradição. Logo,
A−B = ∅.
“Contraexemplo”: Seja A = {1, 2, 3}, B = {2, 3}. Então A ⊆ B mas A−B 6= ∅.
8. Acredite se quiser:
Conjectura: Sejam A,B,C,D conjuntos com A ⊂ C e B ⊂ D. Então A ∪B ⊂ C ∪D.
“Demonstração”: Suponha A,B,C,D sejam conjuntos tais que A ⊂ C e B ⊂ D. Seja
x ∈ A∪B. Então x ∈ A ou x ∈ B. Suponha que x ∈ A. Então, como A ⊂ C, x ∈ C. Assim,
x ∈ C ∪D. Se x ∈ B, também obtemos x ∈ C ∪D, pois B ⊂ D. Portanto, A∪B ⊂ C ∪D.
“Contraexemplo”: Sejam A = {1}, B = {2} e C = D = {1, 2}. Então A ⊂ B, C ⊂ D
mas A ∪B 6⊂ C ∪D.
9. Com os exercícios acredite se quiser existem oito possibilidades: a conjectura é verdadeira
ou falsa, a demonstração é correta ou não e o contraexemplo é correto ou não. Qual destas
oito possibilidades não podem ocorrer?
53
10. Sejam A, B e C conjuntos. Mostre usando alguns resultados dos excercícios 5 e 6 ao invés
do nosso método usual de ir ao princípio com as definições:
a) A ⊆ B → A ∩BC = ∅.
b) A ∪ (A ∩B) = A.
c) A ∩ (AC ∪B) = A ∩B.
d) A ∩ C = ∅→ A ∩ (B ∪ C) = A ∩B.
e) A ⊆ B → A = B − (B −A).
11. Suponha que qualquer coleção se objetos pudesse ser um conjunto. Então poderíamos ter
o “conjunto de todos os conjuntos.” Considere o subconjunto S do conjunto de todos os
conjuntos dados por
S = {A : A /∈ A}.
Assim S é o conjunto de todos os conjuntos que não são elementos de si mesmos.
a) Dê exemplos de dois conjuntos que são elementos de S.
b) Dê exemplos de dois conjuntos que não são elementos de S.
c) Mostre que S /∈ S.
d) Mostre que S /∈ SC .
Note que se qualquer coleção de objetos pudesse ser um conjunto então exatamente um
de c) ou d) seria verdade. Sendo nenhuma verdade, este fato é chamado de paradoxo de
Russell, que foi proposto por Bertrand Russell, matemático e filósofo Inglês que descobriu
este fato nos princípios da teoria dos conjuntos.
12. Sejam A e B conjuntos. Considere as seguintes conjecturas. Prove as verdadeiras e dê
contraexemplos para as falsas.
a) P(A) ∪ P(B) ⊆ P(A ∪B).
b) P(A) ∩ P(B) ⊆ P(A ∩B).
c) P(A ∪B) ⊆ P(A) ∪ P(B).
d) P(A ∩B) ⊆ P(A) ∩ P(B).
e) P(A ∩B) ⊆ P(A ∪B).
13. Sejam A, B, C eD conjuntos tais que A ⊂ C e B ⊂ D. Demonstre ou dê um contraexemplo
para a conjectura: A ∩B ⊂ C ∩D.
14. Sejam A e B conjuntos de proposições. Dizemos que A é mais forte que B, denotado por
A =⇒ B,
e se somente se,
∀p ∈ B, ∃q1, q2, . . . , qn ∈ A 3 (q1 ∧ q2 ∧ . . . ∧ qn)⇒ p.
54
Assim, se A é mais forte que B, então toda proposição pertencente a B é uma consequência
lógica de uma conjunção de proposições pertencentes a A. Por exemplo, se
A = {p ∨ q,¬q, r → q},
B = {p,¬r,¬q, s ∨ ¬q},
C = {p ∨ q, q},
então A =⇒ B mas A 6=⇒ C.
a) Escreva em símbolos e em Portugês ¬(A =⇒ B).
b) Dê (outro) exemplo de conjuntos de proposições A,B,C tais que A =⇒ B mas A 6=⇒
C.
c) Mostre que para qualquer conjunto de proposições A, A =⇒ ∅.
d) Mostre que para qualquer conjunto de proposições A, A =⇒ A.
e) Mostre que se A e B são quaisquer conjuntos de proposições, A ⊆ B implica B =⇒ A.
f) Se A =⇒ B e B =⇒ A, seria este o caso que A = B?
g) Se A =⇒ B e C =⇒ D, então A ∪ C =⇒ B ∪D?
2.2 Conjuntos Verdade
Como uma recente aplicação da teoria de conjuntos que aprendemos recentemente, usare-
mos estes conjuntos para ajudar-nos a entender funções proposicionais e quantificadores um
pouco melhor. Primeiro, comecemos com uma definição:
Definição 2.5. Seja p uma função proposicional com domínio D. O conjunto verdade
de p é
{x ∈ D : p(x) é verdade}.
Usualmente denotaremos o
conjunto verdade de uma função proposicional usando a letra
maiúscula, assim o conjunto verdade de p seria P e para q, Q. Note que, se p tem domínio D
então P ⊆ D.
Como um exemplo, sejam D = {1, 2, 3, 4, 6}, p(x) “x é par,” e q(x) “x é um número
primo.” Então temos,
P = {2, 4, 6},
Q = {2, 3}.
Como outro exemplo, sejam D = R e p(x) “x2 − 3x + 2 = 0” e q(x) “sin2 x + cos2 x = 1.”
Então o conjunto verdadepara p é {1, 2} enquanto que o conjunto verdade para q é R. Em
álgebra provavelmente o leitor chamava isto de “conjuntos solução” e que “identidades” foram
aquelas equações cujos conjuntos soluções são R, como no q acima.
Podemos utilizar nossas operações de conjuntos para expressar os conjuntos verdade da
composição de funções proposicionais. Deve estar claro que se P,Q correpondem, respectiva-
55
mente, aos conjuntos verdade das funções proposicionais p, q então
P ∩Q = {x : p(x) ∧ q(x))} é o conjunto verdade para p(x) ∧ q(x),
P ∪Q = {x : p(x) ∨ q(x))} é o conjunto verdade para p(x) ∨ q(x),
PC = {x : ¬p(x)} é o conjunto verdade para ¬p(x).
O que podemos dizer do conjunto verdade para p(x)→ q(x)? Recordemos que
(p→ q)⇔ (¬p ∨ q)
portanto, vemos que
PC ∪Q = {x : ¬p(x) ∨ q(x)} é o conjunto verdade para p(x)→ q(x).
Como um exemplo disso, sejam D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, p(x) “x é par,” q(x) “x é ímpar” e r(x)
“x é 2 ou 3.” Então (o leitor é convidado a verificar os resultados por si mesmo):
O conjunto verdade de p(x) ∨ q(x) é P ∪Q = D,
O conjunto verdade de p(x) ∧ q(x) é P ∩Q = ∅,
O conjunto verdade de p(x)→ q(x) é PC ∪Q = {1, 3, 5},
O conjunto verdade de ¬r(x) é RC = {1, 4, 5, 6}.
Para outro exemplo de nosso passado algébrico, seja D = R e p(x) “x2−3x+2 > 0.” Sabemos
da álgebra que p(x) é equivalente a “(x−2)(x−1) > 0.” Se tomarmos p1(x) como “x−2 > 0,”
p2(x) como “x − 1 > 0,” p3(x) como “x − 2 < 0,” e p4(x) como “x − 1 < 0,” então p(x) é
equivalente a
[p1(x) ∧ p2(x)] ∨ [p3(x) ∧ p4(x)]
(isto é porque o produto de dois fatores é positivo se e somente se, ambos os fatores têm
o mesmo sinal). Tomando P1 = (2,∞), P2 = (1,∞), P3 = (−∞, 2) e P4 = (−∞, 1) (veja
excercício 3, seção 2.1 para rever a notação de intervalos), o conjunto verdade para p(x) é
(P1 ∩ P2) ∪ (P3 ∩ P4)
que é
[(2,∞) ∩ (1,∞)] ∪ [(−∞, 2) ∩ (−∞, 1)] = (2,∞) ∪ (−∞, 1) = R− [1, 2].
Vejamos o que quantificadores significam em termos de conjuntos verdade:
∀x ∈ D, p(x)↔ P = D,
∃x ∈ D 3 p(x)↔ P 6= ∅.
Além disso, agora podemos ser um pouco mais explícitos sobre o que quisemos dizer acima
quando falamos que duas funções proposicionais eram equivalentes. Quisemos dizer que seus
conjuntos verdade são iguais, isto é,
[p(x)↔ q(x)]↔ P = Q.
56
Podemos, também, utilizar conjuntos verdade para lançar luz sobre algumas das equivalências
e implicações envolvendo quantificadores introduzidos no capítulo anterior. Por exemplo,
∀x ∈ D, p(x) ∧ q(x)
será verdade se e somente se
P ∩Q = D.
Mas, isto é equivalente a
P = D e Q = D,
portanto,
[∀x ∈ D, p(x)] ∧ [∀x ∈ D, q(x)]
é também verdade e consequentemente
[∀x ∈ D, p(x) ∧ q(x)]↔ [[∀x ∈ D, p(x)] ∧ [∀x ∈ D, q(x)]].
Da mesma forma,
∃x ∈ D 3 p(x) ∨ q(x)
será verdade se e somente se
P ∪Q 6= ∅,
isto é, quando
P 6= ∅ ou Q 6= ∅,
consequentemente, isto é equivalente a
[∃x ∈ D 3 p(x)] ∨ [∃x ∈ D 3 q(x)].
Além disso,
∀x ∈ D, p(x)→ q(x) (cada p é um q)
será verdade quando,
PC ∪Q = D.
Mas este será exatamente o caso quando a área sombreada no diagrama de Venn abaixo está
vazia, isto é, quando P ⊆ Q.
P Q
(PC ∪Q)C
57
Entretanto,
[∀x ∈ D, p(x)]→ [∀x ∈ D, q(x)]
será verdade quando P = Q = D ou quando P 6= D (Q pode ser qualquer coisa neste caso).
P ⊆ Q implica esta condição, logo a primeira proposição é mais forte que a segunda (como
observado na seção 1.7).
Excercícios 2.2
1. Sejam D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, p(x) “x é par”, q(x), “x é ímpar” e r(x) “x é um número
primo.” Encontre:
a) O conjunto verdade para p(x) ∧ q(x).
b) O conjunto verdade para r(x)→ ¬p(x).
c) PC ∪Q.
d) A função proposicional que tem {1, 2, 3, 5, 7} como seu conjunto verdade.
e) O conjunto verdade de ∃x ∈ D 3 r(x)→ p(x).
f) O conjunto verdade de ∀x ∈ D, p(x) ∨ q(x).
g) O conjunto verdade de [∀x ∈ D, p(x)] ∨ [∀x ∈ D, q(x)].
h) O conjunto verdade de [∀x ∈ D, q(x)]→ [∀x ∈ D, r(x)].
2. Encontre o conjunto verdade para a função proposicional “x2 − x− 2 ≤ 0.” Tome R como
domínio.
3. Considere os seguintes pares de proposições. Para cada proposição do par determine as
condições para P,Q que garantam que ela seja verdade. E mostrar que sempre que a
segunda (de cada par) seja verdade, a primeira deverá ser verdade. Dê um exemplo para
mostrar que a primeira pode ser verdade e a segunda falsa.
a) [∀x ∈ D, p(x) ∨ q(x)]; [∀x ∈ D, p(x) ∨ ∀x ∈ D, q(x)].
b) [∃x ∈ D 3 p(x) ∧ ∃x ∈ D 3 q(x)]; [∃x ∈ D 3 p(x) ∧ q(x)].
c) [∃x ∈ D 3 p(x)→ q(x)]; [∃x ∈ D 3 p(x)→ ∃x ∈ D 3 q(x)].
4. Acredite se quiser:
Conjectura: Sejam A,B conjuntos com B ⊆ A e p uma função proposicional. Então
∀x ∈ A, p(x) implica ∀x ∈ B, p(x)
“Demonstração”: Suponha que A,B sejam conjuntos como acima e que a implicação
seja falsa. Então existe um z ∈ B tal que p(z) seja falsa. Como B ⊆ A, z ∈ A. Mas isto
significa ∀x ∈ A, p(x) é falso, uma contradição.
“Contraexemplo”: Sejam p(x) “x < 2,” A = {1, 2, 3} e B = ∅. Então B ⊆ A, ∀x ∈
A, p(x) é falso e ∀x ∈ B, p(x) é verdadeiro.
58
2.3 Relações
Sabemos que um conjunto é determinado por seus elementos, isto é, {a, b} = {b, a} e a
ordem na qual os elementos são listados não faz diferença. Às vezes, entretanto, gostaríamos
de distinguir os elementos listados em ordem diferente. Para isso, introduzimos o conceito
de um par ordenado. É possível definir pares ordenados em termos de conjuntos (veja os
ecercícios no final da sseção), mas esta definição não é muito útil, assim iremos considerar
par ordenado como um termo indefinido, em vez disso, definimos as principais propriedades
que queremos que os pares ordenados tenham. Nossa notação é padrão: um par ordernado
com primeiro elemento a e segundo elemento b será denotado por (a, b). A propriedade na
qual estamos interessados é:
Definição 2.6. Sejam (a, b) e (c, d) pares ordenados. Então (a, b) = (c, d) se e somente
se a = c e b = d.
Vemos que esta propriedade, de fato, distingue a ordem nos pares ordenados, pois (a, b) 6=
(b, a) a menos que a = b. Com este coneito em mãos podemos definir uma nova operação
de conjuntos, o produto cartesiano (às vezes referido como produto cruzado ou simplesmente
produto) de dois conjuntos:
Definição 2.7. Sejam A,B conjuntos. O produto cartesiano de A com B, denotado por
A×B é o conjunto de todos os pares ordenados com primeiro elemento em A e segundo
elemento em B. Em símbolos,
A×B = {(a, b) : a ∈ A e b ∈ B}.
Por exemplo, se A = {1, 2, 3}, B = {a, b} e C = ∅ então
A×B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)},
B ×A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)},
A× C = ∅,
B ×A = ∅.
Podemos ilustrar A×B com um arranjo retangular: Note que A×B 6= B×A e que A×C =
b (1, b) (2, b) (3, b)
B
a (1, a) (2, a) (3, a)
1 2 3
A
B × C não implica que A = B.
Muito frequentemente no Português comum (que é diferente da linguagem que os ma-
temáticos “falam”) nos referimos a objetos relacionados a outros. Por exemplo, poderíamos
dizer, “Ela está relacionada a mim, ela é minha tia” ou “A notas que obtenho estão relacio-
nadas a quantidade de tempo que estudo.” Em matemática, relações entre objetos são muito
59
importantes, por isso queremos deixar este conceito mais preciso. A seguinte definição faz
isso, embora provavelmente não seja imediatamente óbvio que ela personifica nossa ideia de
relação.
Definição 2.8. Sejam A,B conjuntos. Uma relação de A em B é um subconjunto de
A×B. Se R é uma relação de A em B e (a, b) ∈ R será denotada por aRb. O domínio de
R, denotado por Dom(R), é o conjunto de todos os primeiros
elementos dos elementos
de R, em símbolos
Dom(R) = {a : (a, b) ∈ R}
= {a : aRb}.
A imagem de R, denotado por Im(R), é o conjunto de todos os segundos elementos dos
elementos de R, em símbolos
Im(R) = {b : (a, b) ∈ R}
= {b : aRb}.
Note que, Dom(R) ⊆ A e Im(R) ⊆ B. Se A = B dizemos que R é uma relação em A.
Como um exemplo de relação, suponha que A = {1, 2, 3} e R é a relação “menor que”
em A, isto é, aRb se e somente se a < b. Podemos ilustrar isso com um diagrama, com ◦
representando elementos de A×A e ◦ indicando aqueles pares em R:
3 ◦ ◦ ◦
B 2 ◦ ◦ ◦
1 ◦ ◦ ◦
1 2 3
A
Neste exemplo Dom(R) = {1, 2} e Im(R) = {2, 3}.
Exemplos
Antes de procedermos adiante, alguns outros exemplos nos ajudarão a fixar as novas ideias
em nossas mentes.
1. As relações de A em B mais triviais são o conjunto vazio e o produto cartesiano A × B.
Na primeira, nenhum elemento de A é relacionado com elementos de B e, na segunda,
todos elementos de A estão relacionados com todos os elementos de B.
2. Sejam A o conjunto de todas as pessoas vivas no mundo e para x, y ∈ A defina xRy se e so-
mente se y é um dos pais de x. Então R é uma relação em A. Os pares ordenados pertencen-
tes a R são da forma (x, um dos pais de x). Dom(R) = {x : um dos pais de x está vivo}
e Im(R) = {x : x é um pai com uma criança viva.}
3. Seja A = R (o conjunto dos números reais) e para x, y ∈ R defina xRy se e somente se
y = x2. Então R é uma relação em R e os pares ordenados de R são da forma (x, x2). De
fato, os pares ordenados em R são apenas pares ordenados na função y = x2, a parábola.
60
Na verdade, todas as funções de pré-cálculo e cálculo são relações em R. Neste exemplo,
Dom(R) = R e Im(R) = {x : x ≥ 0}.
4. Seja A um conjunto qualquer e para x, y ∈ A defina xRy e e somente se x = y. Então
R é uma relação em A. Os pares ordenados em R são da forma (x, x). Aqui, Dom(R) =
Im(R) = A.
5. Seja A um conjunto qualquer. Se B,C são subconjuntos de A dizemos que BRC se e
somente B ⊆ C. Então R é uma relação em P(A) e Dom(R) = Im(R) = P(A). Em
particular, se A = {1, 2} então
R = {(∅,∅), (∅, {1}), (∅, {2}), (∅, A), ({1}, {1}), ({1}, A), ({2}, {2}), ({2}, A), (A,A)}.
6. Seja A o conjunto das pessoas do Brasil e seja B o conjunto dos inteiros positivos menores
que 1010. Então para x ∈ A e y ∈ B dizemos que xRy se e somente se y é o número do CPF
de x. Então R é uma relação de A em B. Os pares ordenados de R são da forma (pessoa,
CPF da pessoa). Dom(R) = {x : x tem CPF} e Im(R) = {x : x é o CPF de alguém}. Não
podemos listar todos os elementos de R aqui, seria insano!
7. Seja A = {1, 2, 3} e seja B = {1, 2} Então R = {(3, 1), (3, 2)}, S = ∅ e T = A × B são
todos relações de A em B. Dom(R) = {3} e Im(R) = {1, 2}, Dom(R) = Im(R) = ∅,
Dom(R) = A e Im(R) = B. Note que, as relações não precisam “fazer sentido” ou ter
alguma regra especial ou ter algum padrão. A definição permite que qualquer subconjunto
de A×B seja uma relção de A em B.
8. Sejam A,B conjuntos de proposições e para p ∈ A e q ∈ B define-se xRy se e somente se
p→ q é uma tautologia. Então R é uma relação de A em B e um par ordenado (p, q) ∈ R se
e somente se q é uma consequência lógica de p. Podemos pensar na Im(R) como o conjunto
de todas as conclusões que podem ser implicadas logicamente de elementos individuais de
A
9. Seja A o conjunto de todos os triângulos no plano. Se s, t ∈ A, diremos que sRt se e
somente se s é similar a t (uma notação que já vem do ensino médio é s ∼ t). Então R é
uma relação em A com Dom(R) = Im(R) = A (pois cada triângulo é similar a si mesmo).
10. Seja R o conjunto dos números reais e para x, y ∈ R define-se xRy se e somente se x ≤ y
(note que: x ≤ y se e somente se x < y ou x = y). Então R é uma relação em R com
Dom(R) = Im(R) = R. Alguns elmentos típicos pertencentes a R são (2, 3) (2, 2) (3, pi)
(pi, 4) (2, e) ou (e, 3).
11. Seja Z o conjunto dos números inteiros e para x, y ∈ Z definimos xRy se e somente se x
divide y, denotados por x|y (note que: isto está definido como: x|y ↔ ∃z ∈ Z,3 y = xz.
Assim, 3|6, 2|8, −3|6, 3| − 9 e 2|0, enquanto que 2 não divide 9, denotado por 2 6 | 9).
Então R é uma relação em Z com Dom(R) = Im(R) = Z (todo inteiro divide a si mesmo).
Alguns elementos típicos pertencentes a R são (1, 3), (7, 21), (1001, 1001), (−1, 3), (−2, 6),
(1001, 2002) e (3, 0).
12. Seja N o conjunto dos números naturais e para x, y ∈ N, define-se xRy se e somente se
5|(x − y). Então R é uma relação em N com Dom(R) = Im(R) = N. Alguns exemplos
típicos pertencentes a R são (10, 5), (5, 10), (3, 43) e (482, 257).
61
Observe que nossa maneira de escrever relações, xRy, que pode ter parecido um pouco
estranho em um primeiro momento, é de fato a forma que usualmente escrevemos algumas
“relações bem conhecidas”, como = (igual a), ≤ (menor ou igual a), ⊆ (subconjunto de), ∼
(similar a), | (divide), ⇔ (logicamente equivalente a). Devemos também notar que, muitos
dos exemplo acima são familiares a nós, só não sabíamos que eles eram chamados de relações!
Existem certas propriedades que uma relação me uma conjunto pode ou não ter. Algumas
das mais importantes são definidas abaixo:
Definição 2.9. Seja R uma relação em um conjunto A. Então dizemos que:
a) R é reflexiva se e somente se ∀a ∈ A, aRa.
b) R é simétrica se e somente se ∀a, b ∈ A, aRb→ bRa.
c) R é transitiva se e somente se ∀a, b, c ∈ A, (aRb ∧ bRc)→ aRc.
d) R é antisimétrica se e somente se ∀a, b ∈ A, (aRb ∧ bRa)→ a = b.
e) R é irrelexiva se e somente se ∀a ∈ A,¬(aRa).
f) R é completa se e somente se ∀a, b ∈ A, a 6= b→ (aRb ∨ bRa).
g) R é assimétrica se e somente se ∀a, b ∈ A, aRb→ ¬(bRa).
h) R é uma relação de equivalência se e somente se R é reflexiva, simétrica e transitiva.
i) R é uma ordem parcial se e somente se R é reflexiva, transitiva e antisimétrica.
j) R é uma ordem parcial estrita se e somente se R é irreflexiva e transitiva.
k) R é uma ordem total (ou ordem linear) se e somente se R é uma ordem parcial
completa.
l) R é uma ordem total estrita se e somente se R é uma ordem parcial estrita completa.
Pode ser útil tentar caracterizar algumas destas propriedades de uma maneira informal
para que elas não parecessem tão estranhas. Se R é reflexiva tudo em A está relacionado a si
mesmo. Se R é simétrica, então sempre que a estiver relacionada a b devemos ter b relacionada
a a. Um exemplo comum de uma relação transitiva é a “preferência,” isto é, se eu prefiro torta
de maça ao bolo de chocolate e eu prefiro o bolo de chocolate à alface murcha, então eu prefiro
torta de maça à alface murcha. Se R é uma relação antissimétrica então a unica forma de
termos ambos aRb e bRa é tendo a = b. um exemplo para este tipo de relação é ⊆, de fato,
esta é a propriedade que usamos para demonstrar a igualdade de conjuntos. R é irreflexiva
se nenhum elemento de A está relacionado a si mesmo. A relação “ser pai de” é irreflexiva.
R é completa se dados dois elementos distintos em A o primeiro deve estar relacionado com
o primeiro ou vice-versa. Um exemplo de uma relação que não é comleta é ⊆ no conjunto
potência de um conjunto com pelo menos dois elementos (tente encontrar dois subconjuntos
que não estão relacionados). Normalmente pensamos na preferência como sendo uma relação
assimétrica, se eu prefiro torta de maça ao bolo de chocolate então eu também não prefiro
bolo de chocolate à torta de maça. Note que as relações simétricas e antissimétricas não são
62
mutualmente exclusivas, uma relação pode ter ambas as propriedades (ou nenhuma delas).
Este pode ser um bom momento para para fazer algums comentários gerais sobre defini-
ções matemáticas. É muito frequente o caso (como nos exemplos acima) que definições dão
nomes a objetos que possuem uma certa propriedade. Isto significa que se um certo objeto
tem tem a propriedade definida de “qualquer coisa,” então chamaremos isto de “qualquer
coisa,” e se chamamos um objeto uma “qualquer
coisa” então este tem a proriedade definida
de “qualquer coisa.” Por isso usamos “se e somente se.” Se olharmos em muitos livros de mate-
mática (e possivelmente neste livro também, por isso fique de olho) encontraremos definicões
dadas usando apenas “se-então,” ao inveés de “se e somente se”. Esta é convenção e escritas
matemáticas e deve ser entendida como “se e somente se,” mesmo quando o “somente se”
não aparecer explicitamente.
Existe outra caractística das definições matemáticas que muitos estudantes podem achar
deconcertantes. Quando vamos a um dicionário para ver a definição de uma nova palavra,
esperamos sair com alguma ideia de que a palaravra significa. Por outro lado, uma definição
matemática muito raramente dá muita ajuda de forma a entendê-la, usualmente ela diz de
forma oculta a definição das propriedades e as consequências destas propriedades (e portanto
o “significado”) são desenvolvidas por teoremas e exemplos que seguem. Se pensarmos na
definição de derivada em cáculo, não há muito significado naquele limite, de fato o maior
esforço em um primeiro curso de cáculo é direcionado a dar significado a esta definição. As
definições matemáticas são importantes, mesmo se elas não contribuem imediatamente ao
nosso entendimento? A reposta é sim, elas são muito importantes. Sem definições precisas
não podemos executar qualquer demonstração, assim, não devemos esperar sermos capazes de
demonstrar que uma dada relação é reflexiva sem sabermos a definição de reflexiva. Devemos
esperar obter muitos significados de uma definição matemática? A resposta é não, este não é o
propósito de uma definição matemática. O significado de termos matemáticos é desenvolvido
através de teoremas e exemplos.
Quando confrontado a uma nova definição de um novo conceito, uma atividade útil é
tentar contruir exemplos de objetos apropriados que satisfçam a definição e exemplos que
não satisfaçam. Isto ajuda a tornar algumas das consequências da definição mais aparentes
e ajuda a tornar os conceitos mais concretos. Para ajudar a estabelecer este bom hábito
vamos começar olhando para alguns exemplos relacionados as adefinições acima (o leitor
deve verificar que afirmações feitas e criar por si próprio alguns outros exemplos): com A =
{1, 2, 3, 4}, seja
R = {(1, 2), (2, 3)},
S = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (3, 4)},
T = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}.
Então, R é não reflexiva, não simétrica, antissimétrica, irreflexiva, não completa e assimétrica.
S é não reflexiva, não simétrica, transitiva, não antissimétrica, não irreflexiva, não completa
e não assimétrica. T é reflexiva, simétrica, transitiva, antissimétrica, não irreflexiva, não
completa e não assimétrica.
Seria útil ter algumas figuras destas propriedades. Com A = {1, 2, 3, 4}, então se R é
reflexiva, a mesma deve conter pelo menos a diagonal principal (os quadrados na figura
abaixo):
Se R é simétrica, então seu gráfico deve ser simétrico com respeito a diagonal principal,
isto é, se (2, 3) e (4, 2) são elementos de R então (3, 2) e (2, 4) devem pertencer a R também:
63
4 ◦ ◦ ◦ ◦
3 ◦ ◦ ◦ ◦
A
2 ◦ ◦ ◦ ◦
1 ◦ ◦ ◦ ◦
1 2 3 4
A
4 ◦ ◦ ◦ ◦
3 ◦ ◦ ◦ ◦
A
2 ◦ ◦ ◦ ◦
1 ◦ ◦ ◦ ◦
1 2 3 4
A
Vemos que os exemplos dados anteriormente também satisfazem algumas destas propri-
edades. Por exemplo, = e ∼ são relações de equivalência, ≤ e ⊆ são ordens parciais, < e
⊂ são ordens parciais estritas, ≤ é uma ordem parcial total e < é uma ordem prcial total
estrita. De fato, podemos pensar em “relação de equivalência” como uma abstração da ideia
de igualdade e “ordem parcial” como uma abstração da ideia de ordenamento que temos nos
números reais. Isto da um bom exemplo do poder da abstração. Podemos pensar na relações
de equivalência como contendo a “essência” das ideias de igualdade (reflexiva, simétrica e
transitiva), qualquer coisa que façamos com isso pode pararecer uma ideia distante, mas não
é, lembre-se disso. Como podemos imaginar, mais a frente vamos demonstrar alguns fatos
interessantes e úteis sobre relações de equivalência. No meio tempo temos alguns exercícios
para fazer eassim checar nosso entendimento sobre este assunto. Mas primeiro, um exemplo
de teorema e demonstração envolvendo algumas dessa ideias e uma discussão das forma de
demonstração.
Teorema 2.5. Seja A um conjunto não vazio. Suponha que R é uma relação em P(A)
definida por BRC se e somente se B ⊂ C. Então R é transitiva e irreflexiva, isto é, ⊂
é uma ordem parcial estrita.
Demonstração: Suponha que B,C e D sejam subconjuntos de A com B ⊂ C e C ⊂ D. Para
mostrar que ⊂ é transitiva devemos mostrar que B ⊂ D. Seja a ∈ B. Então como B ⊂ C,
a ∈ C. Também, como C ⊂ D, a ∈ C → a ∈ D. Quase terminamos, como já temos B ⊆ D, o
que falta é mostrar que B é um subconjunto próprio de D, isto é, B 6= D. Mas, como B ⊂ C,
então existe um x ∈ C tal que x /∈ B. Portanto, x deve necessariamente ser um elemento
de D, pois C ⊂ D. Assim B 6= D e ⊂ é transitiva. Para mostrar que ⊂ é irreflexiva, seja
B ∈ P(A). Então B 6⊂ B, pois B = B, e portanto temos que ∀B ∈ P(A), ¬(B ⊂ B).
64
Vamos parar um momento para pensar sobre as formas de demonstração para estas pro-
priedades. Iremos considerar alguns tipos representativos, deixando alguns outros como exer-
cícios. Suponha que R seja uma relação em um conjunto não vazio A. Uma prova direta que
R é reflexivo teria a forma: Seja a ∈ A.
. . .
“alguma coisa ou outra dependendo de R”
. . .
portanto, (a, a) ∈ R e R é reflexiva.
Para demonstrar simetria: Sejam a, b ∈ A com (a, b) ∈ R.
. . .
“alguma coisa ou outra dependendo de R”
. . .
portanto, (b, a) ∈ R e R é simétrica.
Para transitividade: Sejam a, b, c ∈ A com (a, b) ∈ R e (b, c) ∈ R.
. . .
“alguma coisa ou outra dependendo de R”
. . .
portanto, (a, c) ∈ R e R é transitiva.
Para completude: Sejam a, b ∈ A com a 6= b. Suponha que (a, b) /∈ R.
. . .
“alguma coisa ou outra dependendo de R”
. . .
portanto, (b, a) ∈ R e R é completa.
Note que nesta última demonstração usamos nossa técnica usual para a conclusão que é
uma disjunção. Assumimos que subproposição era falsa e então provamos que a outra deve ser
verdade. Vale também a pena notar que em cada caso nosso ponto de partida foi determinado
pela conclusão e não pelas hipóteses que teria a ver com quaisquer propriedades que R tivesse.
Excercícios 2.3
1. Sejam A = {a, b, c}, B = {1, 2} e C = {4, 5, 6}
a) Liste os elementos de A×B, B ×A, e A× C.
b) Dê exemplos de relações de A em B e de B em A, cada uma dos quais tem quatro
elementos.
c) Dê exemplo de uma relação simétrica em C que tenha três elementos.
2. Suponha A = {1, 2, 3}. Para cada uma das relações dadas abaixo, liste os elementos de R,
encontre Dom(R) e Im(R) de diga quais das propriedades da definição 2.9 R tem:
a) R é a relação < em A.
b) R é a relação ≥ em A.
c) R é a relação ⊂ em P(A).
3. Suponha que A,B,C,D sejam conjuntos. Prove ou dê contraexemplos para as seguintes
conjecturas:
65
a) A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C).
b) A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C).
c) (A×B) ∩ (AC ×B) = ∅.
d) (A ⊆ B ∧ C ⊆ D)→ A× C ⊆ B ×D.
e) A ∪ (B × C) = (A ∪B)× (A ∪ C).
f) A ∩ (B × C) = (A ∩B)× (A ∩ C).
g) (A×B) ∩ (C ×D) = (A ∩ C)× (B ∩D).
h) A× (B − C) = A×B −A× C.
4. Suponha que R seja uma relação em um conjunto não vazio A. Dê a forma de demonstração
direta para:
a) R é antissimétrica.
b) R é irreflexiva.
c) R é assimétrica.
5. Sejam A = {1, 2, 3, 4} e R uma relação em a. Dê um exemplo utilizando a representação
gráfica do que segue, assim como foi feito anteriormente para R reflexiva e simétrica.
a) Transitiva
b) Irreflexiva
c) Assimétrica
d) Relação de equivalência
6. Sejam A,B conjuntos com R,S relações de A para B. Demonstre:
a) Dom(R ∪ S) = Dom(R) ∪Dom(S).
b) Dom(R∩S) ⊆ Dom(R)∩Dom(S) e dê um exemplo para mostrar que a igualdade não
é válida.
c) Im(R ∪ S) = Im(R) ∪ Im(S)
d) Im(R ∩ S) ⊆ Im(R) ∩ Im(S) e dê um exemplo para mostrar
que a igualdade não é
válida.
7. Seja A um conjunto não vazio. Mostre que
a) Se R = A × A então R é reflexiva, simétrica, transitiva e completa. O que poderia se
dizer se R fosse assimétrica ou antissimétrica?
b) Se R = ∅ então R é simétrica, transitiva, assimétrica, antissimétrica, irreflexiva mas
não reflexiva.
c) Se R = {(a, a) : a ∈ A} então R é uma relação de equivalência e também ántissimétrica
mas não assimétrica.
8. Referente aos exemplos dados anteriormente nessa seção, mostre que:
a) Exemplo 2 é assimétrico mas não reflexiva.
66
b) Exemplos 4, 12 são relações de equivalência.
c) Exemplo 4, 5, 10 são ordens parciais.
d) Exemplo 3, 11 não são completas.
e) Exemplo 10 é uma ordem total.
9. Seja R a relação de equivalência dada no exemplo 12 acima. Determine todos os elementos
nestes conjuntos:
a) {x : xR1}.
b) {x : xR2}.
c) {x : xR7}.
10. Seja R a relação | em Z descrita no exemplo 11 acima.
a) Liste três elementos de Z× Z que não sejam elementos de R.
b) Quais dos elementos (0, 0), (0, 1), (1, 0) são elementos de R?
c) Prove o seguinte:
i) ∀n ∈ Z, n|0.
ii) ∀n ∈ Z, 0|n→ n = 0.
iii) ∀a, b, c ∈ Z, (a|b ∧ a|c)→ a|(b+ c).
iv) ∀a, b, c ∈ Z, a|b→ a|bc.
11. Sejam R,S relações em um conjunto não vazio A. Demonstre ou dê contraexemplos para
as seguintes conjecturas:
a) R é completa → R é reflexiva.
b) R é transitiva e irreflexiva → R é assimétrica.
c) R é reflexiva → R não é assimétrica.
d) R é assimétrica → R não é reflexiva.
e) Dom(R) ∩ Im(R) = ∅→ R é transitiva, antissimétrica, irreflexiva e assimétrica.
f) R uma relação de ordem parcial estrita → R é antissimétrica e assimétrica.
g) R não reflexiva → R é irreflexiva.
h) R e S simétrica → R ∩ S simétrica.
i) R ou S simétrica → R ∩ S simétrica.
j) R e S simétrica → R ∪ S simétrica.
k) R ou S reflexiva → R ∪ S reflexiva.
l) R e S transitiva → R ∪ S transitiva.
m) R e S transitiva → R ∩ S transitiva.
12. Dê exemplos (se possível) de relações que sejam:
a) Reflexiva e simétrica mas não transitiva.
b) Simétrica e transitiva mas não reflexiva.
67
c) Assimétrica mas não antissimétrica.
d) Simétrica e antissimétrica.
e) Nem reflexiva, nem irreflexiva.
13. Se R é uma relação de A para B e C ⊆ A, definimos restrição de R em C, denotada por
R|C , como
{(x, y) ∈ R : x ∈ C}.
a) Sejam A = B = {1, 2, 3, 4} e C = {2, 4}. Seja R a relação < de A em B. Encontre R e
R|C .
b) Se R é uma relação de A em B e C ⊆ A, mostre que Dom(R|C) = Dom(R) ∩ C.
c) Se R é uma relação de A em B e B ⊆ A, R|B é uma relação em B? Prove ou de um
contraexemplo.
14. (Continuação do exercício 13) Suponha que R seja uma relação em A com as propriedades
listadas abaixo. Se B ⊆ A e R|B é considerada como uma relação em A, quais destas
propriedades R|B deve também ter? Prove ou dê contraexemplos.
a) Simétrica
b) Transitiva
c) Antisimétrica
15. Suponha que tivéssemos definido o par ordenado (a, b) pot
(a, b) = {{a}, {a, b}}.
Mostre que com essa definição temos
(a, b) = (c, d)↔ (a = c ∧ b = d).
16. Suponha que tivéssemos definido “tripla ordenada” usando pares ordenados como
(a, b, c) = ((a, b), c).
Mostre que a mesma tem a propriedade de ordenação desejada, isto é:
(a, b, c) = (d, e, f) se e somente se a = d, b = e, c = f.
17. Seja R uma ordem total estrita em um conjunto não vazio A. Mostre que R tem a pro-
priedade da “tricotomia,” isto é,
∀a, b ∈ A, exatamente um dos seguintes é verdade a = b, aRb, bRa.
18. Seja R uma relação em um conjunto não vazio A. O fecho transitivo de R é a menor
relação transitiva contendo R, isto é, se S é o fecho transitivo de R, e T é uma relação
qualquer contendo R, então
R ⊆ S ⊆ T.
68
Criamos definições similares para os fechos reflexivos e simétricos. Vamos denotar estes
fechos por Rtrans, Rsim e Rref .
a) Se A={1,2,3,4} e R = {(1, 2), (1, 4), (2, 3)}, encontre Rtrans, Rsim e Rref .
b) Demonstre ou dê contraexemplo para as seguintes conjecturas (R,S são relações em
um conjunto não vazio A):
i) (R ∪ S)trans = Rtrans ∪Rtrans.
ii) (R ∩ S)trans = Rtrans ∩Rtrans.
iii) (R ∪ S)sim = Rsim ∪Rsim.
iv) (R ∩ S)sim = Rsim ∩Rsim.
v) (R ∪ S)ref = Rref ∪Rref .
vi) (R ∩ S)ref = Rref ∩Rref .
c) O que pode ser dito sobre os correpondentes conceitow de fechos antissimétrico e assi-
métrico?
19. Seja R uma relação em um conjunto não vazio A. Suponha que R é assimétrica e também
satifaz a condição (às vezes também chamada de transitividade negativa):
∀x, y ∈ A, xRz → (xRy ∨ yRz).
a) Mostre R é transitiva. Tais relações são às vezes chamadas de ordens fracas.
b) Se R fosse transitiva e assimétrica, ela também deveria satifazer a condição dada acima?
Prove ou dê um contraexemplo.
20. Seja R uma relação em um conjunto não vazio A. Seja x ∈ A. Definimos uma R-classe de
x, denotada por < x >R, como
< x >R:= {y : yRx}.
O símbolo := significa “por definição.”
a) Seja A = {1, 2, 3, 4} e
R = {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (1, 1), (2, 3), (4, 2)}.
Encontre < 1 >R, < 2 >R, < 3 >R e < 4 >R.
b) Mostre que R é reflexiva se e somente se ∀x ∈ A, x ∈< x >R .
c) Mostre que R é simétrica se e somente se ∀x, y ∈ A, x ∈< y >R → y ∈< x >R.
d) Mostre que ∀x ∈ A,< x >R 6= ∅ se e somente se Im(R) = A.
e) Suponha que Dom(R) = A e que R seja simétrica e transitiva. Mostre que
∀x, y ∈ A,< x >R ⊆ < y >R → xRy.
Mostre também que,
< x >R ⊆ < y >R → < x >R = < y >R .
69
f) Suponha que R seja simétrica e transitiva. Mostre que:
∀x, y ∈ A,< x >R ∩ < y >R 6= ∅→ < x >R =< x >R .
21. Acredite se quiser:
Conjectura: Suponha que A e B sejam conjuntos tais que A×B = B×A. Então A = B.
“Demonstração”: Suponha A×B = B×A. Seja a ∈ A, com b ∈ B tais que (a, b) ∈ A×B.
Como A × B = B × A, (a, b) ∈ B × A. Assim a ∈ B e portanto A ⊆ B. Um argumentos
similar mostra que B ⊆ A.
“Contraexemplo”: Sejam A = {1, 2, 3} e B = ∅. Então A × B = B × A = ∅, mas
A 6= B.
22. Acredite se quiser:
Conjectura: Suponha que R seja uma relação em um conjunto não vazio A. Se R é não
simétrica então R é assimétrica.
“Demonstração”: Seja R uma relação em um conjunto não vazio A. Suponha a, b ∈ A
com (a, b) ∈ R. Como R não é simétrica, (b, a) /∈ R logo R é assimétrica.
“Contraexemplo”: Sejam A = {1, 2, 3} e R = {(1, 2), (2, 1), (1, 3)}. Então R não é
simétrica nem assimétrica.
23. Acredite se quiser:
Conjectura: Suponha que R seja uma relação em um conjunto não vazio A. Se R é
simétrica e transitiva então R é reflexiva.
“Demonstração”: Suponha que R seja uma relação simétrica e transitiva em um con-
junto não vazio A. Sejam a, b ∈ A com (a, b) ∈ R. Como R é simétrica, (b, a) ∈ R. Mas R
também é transitiva, logo temos que (a, a) ∈ R e consequentemente R é reflexiva.
“Contraexemplo”: Sejam a = {a, b, c} e R = {(a, b), (b, a), (a, c), (b, c), (a, a)}. Então R
é simétrica e transitiva, mas não é reflexiva pois (b, b) /∈ R.
2.4 Mais relações
Nunca satisfeitos com o que já temos, continuaremos com a tradição estabelecida para
ambas proposições e conjuntos e fazer novas revelações do passado. Naturalmente precisamos
de algumas definições:
Definição 2.10. Seja R uma relação de A em B. R inversa, denotada por R−1, é a
relação de B em A dada por xR−1y se e somente se yRx. Em símbolos,
R−1 = {(x, y) : (y, x) ∈ R}.
Observe que, Dom(R−1) = Im(R)) e Im(R−1) = Dom(R). Isto é os domínios e imagens de
R e R−1 estão relacionados pelo fato que o domínio de um é a imagem do outro e vice-versa.
Por exemplo, se R é a relação “pai/mãe” (exemplo 2 da seção 2.3, xRy → y é o pai/mãe
de x) então R−1 é a relação “filho,” xR−1y se e somente se y é “filho” de x. Então se (x,
70
pai/mãe de x)∈ R então (pai/mãe de x, x)∈ R−1. Como outro exemplo disso, se R é uma
relacao em N dada por xRy se e somente se x < y então xR−1y se e somente se y < x.
Embora possamos usar operações de conjuntos para obter novas relações de antigas (pois
relações são conjuntos) podemos também ter uma operação
particular para relações chamadas
composições:
Definição 2.11. Seja R uma relação de A em B e seja S uma relação de B em C.
Então R composta com S, denotada por S ◦R, é a relação de A em C dada por
S ◦R = {(x, z) : ∃y ∈ B 3 [(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ S]}.
A razão para a aparente ordem reversa de S e R na notação acima é porque esta é a
forma que escreveremos funções mais a frente (que vem a ser a forma que escrevemos funções
também, f(x)). Observe também que, de fato, S ◦ R é uma relação de A em C pois se
(x, y) ∈ R então x ∈ A se e somente se (y, z) ∈ S então z ∈ C, logo S ◦R ⊆ A× C.
Um exemplo de como “construir” S ◦ R a partir de S e R é: Sejam A = {1, 2, 3, 4},
B = {a, b, c} e C = {4, 5, 6} e, R = {(1, a), (1, b), (3, a)} e S = {(a, 5), (b, 4), (a, 6), (c, 6)}.
Então podemos pensar: “Quais das segundas coordenadas dos elementos de R coincidem
com as primeiras coordenadas dos elementos de S?” Estes elementos serão combinados para
produzir os elementos de S ◦ R. Assim, (1, a) ∈ R e (a, 5) ∈ S nos dá (1, 5) ∈ S ◦ R.
Continuando, obtemos
(1, 4) ∈ S ◦R, pois (1, b) ∈ R e (b, 4) ∈ S.
(3, 5) ∈ S ◦R, pois (3, a) ∈ R e (a, 5) ∈ S.
(1, 6) ∈ S ◦R, pois (1, a) ∈ R e (a, 6) ∈ S.
(3, 6) ∈ S ◦R, pois (3, a) ∈ R e (a, 6) ∈ S.
Logo, S ◦R = {(1, 5), (1, 4), (3, 5), (1, 6), (3, 6)}.
Agora enunciaremos mais uma definição e então estaremos prontos para ver mais exem-
plos:
Definição 2.12. Seja A um conjunto. A relação identidade em A, denotada por IA, é
dada por
IA = {(x, x) : x ∈ A}.
Reconhecemos isso com a velha amiga relacional, a “igualdade”, em um novo casaco de
respeitabilidade. Assim aIAb se e somente se a = b.
Exemplo: Seja A = {1, 2, 3} e seja R a relação em A tal que R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}.
Então:
a) R−1 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2)}.
b) IA = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}.
c) R−1 ◦R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 1)}.
d) R ◦R−1 = {(2, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 2)}.
71
e) R ◦R = {(1, 3)}.
f) R−1 ◦R−1 = {(3, 1)}.
g) R ◦ IA = IA ◦R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}.
h) R−1 ◦ IA = IA ◦R−1{(2, 1), (3, 1), (3, 2)}.
Algumas observações podem ser feitas sobre este exemplo, R ◦ R−1 6= R−1 ◦ R, logo a com-
posição de relações não é comutativa. Também vemos que R ◦ IA = IA ◦ R = R talvez seja
verdade para qualquer relação R em um conjunto A.
Outro exemplo: SejamA = {1, 2, 3},B = {4, 5, 6} e C = {2, 3, 4} comR = {(1, 4), (1, 5), (2, 6), (3, 4)}
uma relação de A em B e S = {(4, 2), (4, 3), (6, 2)} uma relação de B em C. Seria útil ilustrar
o que foi mencionado nestes exemplo com um diagrama:
 
1
2
3
4
5
6
2
3
4
A B C
R S
Alguns cálculos revelam:
a) S ◦R = {(1, 2), (1, 3), (3, 2), (3, 3), (2, 2)}.
b) R−1 = {(4, 1), (5, 1), (6, 2), (4, 3)}.
c) S−1 = {(2, 4), (3, 4), (2, 6)}.
d) R−1 ◦ S−1 = {(2, 1), (3, 1), (2, 3), (2, 2), (3, 3)}.
e) (S ◦R)−1 = {(2, 1), (3, 1), (2, 3), (3, 3), (2, 2)}.
Note que, R ◦ S e S−1 ◦R−1 não estão definidos e que R−1 ◦ S−1 = (S ◦R)−1.
Para um pouco mais de prátrica em demonstração de teoremas vamos mostrar que esta
ultima igualdade sempre vale:
Teorema 2.6. Sejam A,B,C conjuntos, R uma relação de A em B e S uma relação de
B em C. Então (S ◦R)−1 = R−1 ◦ S−1.
Demonstração: Para esta demonstração, considere a figura abaixo para manter em mente
os vários conjuntos e relações involvidas. Primeiro, observe que (S ◦ R)−1 é uma relação de
C em A assim como (S ◦ R)−1, isso diz que estas relações têm a chance de serem iguais.
Lembrando que relações são conjuntos, portanto para mostrar que duas relações são iguais,
devemos mostrar que elas são iguais como conjuntos. Para começar, seja (x, z) ∈ (S ◦ R)−1.
72
 
A B C
R S
R-1 S-1
R-1 ο S-1
S ο R
Então (z, x) ∈ S ◦R, logo existe um y ∈ B tal que (z, y) ∈ R e (y, x) ∈ S. Consequentemente,
(y, z) ∈ R−1 e (x, y) ∈ S−1. Portanto, (x, z) ∈ R−1 ◦ S−1, assim (S ◦R)−1 ⊆ R−1 ◦ S−1.
Agora para mostrar a outra inclusão , seja (x, z) ∈ R−1 ◦ S−1. Então existem um y ∈ B,
tal que (x, y) ∈ S−1 e (y, z) ∈ R−1. Consequentemente, (y, z) ∈ S e (z, y) ∈ R, portanto
temos (z, x) ∈ S ◦R, logo (x, z) ∈ (S ◦R)−1 como desejado.
Embora a demonstração anterior possa parecer um pouco complicado, mas cada passo
apenas envolveu tradução para linguagem de conjuntos uando as definições, por exemplo
(x, y) ∈ S−1 significa que (y, x) ∈ S. Em outras palavras, este resultado nos diz que a inversa
de uma composição de relações é acomposição das inversas na ordem oposta.
Agora apresentamos um exemplo envolvendo composição. Seja A = {1, 2, 3},B = {4, 5, 6},
C = {6, 7, 8} e D = {1, 4, 6} com
R = {(1, 4), (3, 5), (3, 6)} uma relação de A em B,
S = {(4, 6), (6, 8)} uma relação de B em C,
T = {(6, 1), (8, 6), (6, 4)} uma relação de C em D.
Estas relações estão ilustradas na figura abaixo:
Então podemos formar
S ◦R = {(1, 6), (3, 8)} uma relação de A em C,
T ◦ S = {(4, 1), (4, 4), (6, 6)} uma relação de B em D.
73
 
1
2
3
4
5
6
6
7
8
1
4
6
A B C D
R S T
Agora, estas podem ser compostas com T e R para obter:
T ◦ (S ◦R) = {(1, 1), (1, 4), (3, 6)} uma relação de A em C,
(T ◦ S) ◦R = {(1, 1), (1, 4), (3, 6)} uma relação de B em D.
Incrivelmente, estas duas igualdades são iguais! Não somos excepcionalmente sortudos
em nossas escolhas de R, S e T . Entretanto, esta igualdade é sempre válida. Matemáticos
expressam isto dizendo “a composição de relações é associativa.” Agora apresentamos a de-
monstração disso:
Teorema 2.7. Sejam A,B,C e D conjuntos com R uma relação de A em B, S uma
relação de B em C e T uma relação de C em D. Então
T ◦ (S ◦R) = (T ◦ S) ◦R.
Demonstração: A figura abaixo nos ajudará a ver as várias relações envolvidas:
Precisamos mostras a inclusão de conjuntos em ambos os lados. Primeiro, para ver que
T ◦ (S ◦ R) ⊆ (T ◦ S) ◦ R, seja (x, y) ∈ T ◦ (S ◦ R). Então x ∈ A e y ∈ D e exsite z ∈ C
tal que (x, z) ∈ S ◦ R e (z, y) ∈ T . Como, (x, z) ∈ S ◦ R, existe w ∈ B tal que (x,w) ∈ R e
(w, z) ∈ S. Agora, (w, z) ∈ S e (z, y) ∈ T implicam que (w, y) ∈ T ◦S. Mas (x,w) ∈ R, assim
(x, y) ∈ (T ◦S)◦R. A demonstração de que a outra inclusão é válida fica como excercício.
Podemos tambem combinar algumas das propriedades especiais de relações com estas
operações. Por exemplo, temos:
Teorema 2.8. Seja R uma relação em A. Então R é transitiva se e somente se R◦R ⊆ R
Demonstração: Como este teorema é uma equivalência, temos que demostrar duas implica-
ções. Começaremos mostrando que R transitiva implica R◦R ⊆ R. Seja (x, y) ∈ R◦R. Então
existe z ∈ A tal que (x, z) ∈ R e (z, y) ∈ R. Mas, como R é transitiva temos que (x, y) ∈ R.
Portanto, R ◦R ⊆ R.
Agora, mostremos que R◦R ⊆ R implica que R seja transitiva. Suponha que (x, y) e (y, z)
sejam elementos de R. Então, (x, z) ∈ R ◦R e como R ◦R ⊆ R, (x, z) deve necessariamente
ser um elemento de R e assim, R é transitiva.
74
 
A B C D
R S T
S ο R
T ο (S ο R)
(T ο S) ο R
T ο S
Não podemos abster-nos de notar mais uma vez qua a forma de demonstração aqui foi
determinada pela conclusão de cada implicação. Para a primeira, a conclusão era R ◦ R ⊆
R, postanto usamos a técnica usual de subconjunto para começar com elemento fixo mas
arbitrário em um conjunto e mostrando que este era um elemento do outro conjunto. Na
segunda implicação , a conclusão era que R seria transitiva, neste caso, mostramos que R
stisfazia a definição de transitividade. Em ambos os casos as hipóteses vieram durante a
demonstração e não no começo.
Excercícios 2.4
1. Sejam A = {1, 2, 4} e B = {1, 3, 4}. Sejam R = {(1, 3), (1, 4), (4, 4)} uma relação de A em
B, S = {(1, 1), (3, 4), (3, 2)} uma relação de B em A e T = ∅ uma relação de A em B.
Encontre:
a) Dom(R).
b) Dom(S).
c) Dom(T ).
d) Im(R).
e) Im(S).
f) Im(T ).
g) S ◦R.
h) R ◦ S.
i) Dom(S ◦R).
75
j) Im(S ◦R).
k) Dom(R ◦ S).
l) Im(R ◦ S).
m) R−1.
n) S−1.
o) IA.
p) IB.
q) R−1 ◦ S−1.
r) S−1 ◦R−1.
s) (R ◦ S)−1.
t) (S ◦R)−1.
u) T−1.
v) I−1B .
w) (R ◦ S) ◦R.
x) R ◦ (S ◦R).
2. Seja R uma relação em um conjunto não vazio A. Mostre que:
a) (R−1)−1 = R
b) I−1A − IA
c) R é reflexiva se e somente se IA ⊆ R ⊆ R ◦R.
d) R é simétrica se e somente se R = R−1.
e) R é transitiva se e somente se R−1 é transitiva.
f) R é uma relação de equivalência e se somente se R−1 é uma relação de equivalência.
g) Suponha que Dom(R) = A. R é uma relação de equivalência se e somente se R =
R−1 = R ◦R.
h) R á assimétrica se e somente se R ∩R−1 = ∅.
i) R ∪R−1 = A×A implica que R é completa.
j) R simétrica implica R ◦R é simétrica.
k) IDom(R) ⊆ R−1 ◦R.
l) R é uma ordem parcial se e somente se R−1 é uma ordem parcial.
m) R é uma ordem parcial se e somente se R ∩R−1 = IA e R ◦R = R.
n) R é uma ordem parcial estrita se e somente se R−1 é uma ordem parcial estrita.
3. Seja A um conjunto não vazio com R,S relações em A. Considere as seguintes conjecturas.
Prove as verdadeiras e dê exemplos para aquelas que são falsas.
a) R é simétrica implica R ◦R simétrica.
b) R ◦ S−1 = S ◦R−1 implica que R ◦ S−1 seja simétrica.
76
4. Seja R uma relação de A em B e S uma relação de B em C. Mostre que:
a) Dom(S ◦R) ⊆ Dom(R).
b) Im(S ◦R) ⊆ Im(S).
c) Im(R) ⊆ Dom(S) implica Dom(S ◦R) = Dom(R). A recíproca é verdadeira?
5. Complete a demonstração do teorema 2.7.
6. Suponha que R e S sejam relações de equivalência em um conjunto não vazio A. Considere
as seguintes conjecturas. Prove as verdadeiras e dê exemplos para aquelas que são falsas.
a) R ∪ S é uma relação de equivalência implica que R ◦ S = S ◦R.
b) R ∪ S = R ◦ S implica que R ∪ S é uma relação de equivalência.
c) R ∪ S = R ◦ S implica que R ◦ S = S ◦R.
7. Seja R a relação < nos inteiros. Mostre que R é uma ordem parcial estrita. Também
mostre que R ∪ IZ (que é ≤) é uma ordem parcial.
8. Seja R uma ordem parcial em um conjunto não vazio A. Mostre que R− IA é uma ordem
parcial estrita em A.
9. Seja R uma relação em um conjunto não vazio A. Prove ou dê contraexemplos (refira-se
ao excercício 18, da seção 2.3):
a) Rref = R ∪ IA.
b) Rsim = R ∪R−1.
c) Rtrans = R ∪ (R ◦R).
10. Sejam R,S e T relações entre conjuntos. Determine algumas condições sobre R,S e T
para garantir as seguintes conclusões. Demonstre que suas conjecturas estão corretas.
a) R ◦ S = R ◦ T implica S = T .
b) S ◦R = T ◦R implica S = T .
11. Acredite se quiser:
Conjectura: Seja R uma relação em um conjunto não vazio A. Se R é transitiva então
R ◦R é transitiva.
“Demonstração”: SejaR uma relação transitiva emA. Sejam a, b, c ∈ A com (a, b), (b, c) ∈
R ◦ R. Então existem d, e ∈ A tais que (a, d), (d, b), (b, e), (e, c) ∈ R. Como R é transitiva
(a, b), (b, c) ∈ R, isso implica que (a, c) ∈ R ◦R, logo R ◦R é transitiva.
“Contraexemplo”: Seja, A = {1, 2, 3} R = {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (1, 3)}. Assim,
R ◦R = {(1, 3), (1, 2), (2, 3), (2, 2)},
logo temos R transitiva e R ◦R não.
77
12. Acredite se quiser:
Conjectura: Sejam R,S relações de equivalência em um conjunto não vazio A. Se R◦S =
S ◦R então R ∪ S é uma relação de equivalência.
“Demonstração”: Sejam R,S como acima. Claramente, R∪S é reflefiva. Se (a, b) ∈ R∪S
então (a, b) ∈ R ou (a, b) ∈ S. Se (a, b) ∈ R, e como R é simétrica, (b, a) ∈ R, logo
(b, a) ∈ R ∪ S. Por argumentos semelhantes, se (a, b) ∈ S então (b, a) ∈ S, isto demonstra
que R ∪ S é simt´rica. Aogra, sejam (a, b), (b, c) ∈ R ∪ S. Se ambos pertencem a R, ou
se ambos pertencem a S, a transitividade de cada um implica que R ∪ S é transitiva.
Portanto, suponha que (a, b) ∈ R e (b, c) ∈ S. Como R ◦ S = S ◦ R e (a, c) ∈ S ◦ R,
(a, c) ∈ R ◦ S. Assim existe d ∈ A tal que (a, d) ∈ S e (d, c) ∈ R. Mas, ambos R e S são
simétricos, portanto (c, d) ∈ R e (d, a) ∈ S. Logo, (c, a) ∈ R. Mas R é simétrica, assim
temos (a, c) ∈ R e consequentemente R ∪ S é transitiva. Argumentos similares podem ser
utilizados no caso (a, b) ∈ S e (b, c) ∈ R.
“Contraexemplo”: Sejam
A ={a, b, c, d},
R =IA ∪ {(a, b), (b, a), (a, c), (c, a)},
S =IA ∪ {(c, d), (d, c), (a, c), (c, a), (d, a), (a, d)}.
Então R,S são relações de equivalência com R ◦ S = S ◦ R, mas R ∪ S contém (b, a) e
(a, d) mas não (b, d) e assim não é transitiva.
13. Acredite se quiser:
Conjectura: Seja R uma ordem total estrita em um conjunto não vazio A. Então S =
(A×A)−R é uma ordem total em A.
“Demonstração”: Como R é irreflexiva, IA ∩ R = ∅ portanto IA ⊆ S e S é reflexiva.
Agora suponha que (a, b), (b, c) ∈ S. R é completa, assim como (a, b), (b, c) ∈ S, temos
que (b, a), (c, b) ∈ R. A trnasitividade de R implica que (c, a) ∈ R. Se (a, c) ∈ R então
(a, a) ∈ R, que é impossível, consequentemente (a, c) ∈ S e S é transitiva. Agora, suponha
que (a, b), (b, a) ∈ S. Então devemos ter a = b, caso contrário R não seria completa.
Assim S é uma ordem parcial. Se a, b ∈ A, a 6= b e (a, b) /∈ S, então (a, b) ∈ R, e como
notado anteriormente, isto implica (b, a) ∈ S e consequentemente S é completa e assim
uma ordem total.
“Contraexemplo”: Sejam A = {1, 2, 3} e R = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)}. Então
S = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 1), (1, 3), (3, 2)}
não é uma ordem total pois não é transitiva ((1, 3), (3, 2) ∈ S, mas (1, 2) /∈ S).
2.5 Relações de Equivalência e Partições
Vamos dar uma olhada mais de perto nas relações de equivalência R que estavam no
exemplo 12 da seção 2.3 (lembremos que R era uma relação em N dada por xRy se e somente
78
se 5|(x− y)). Se definirmos Si = {x : xRi}, vemos que:
S1 = {x : xR1} = {1, 6, 11, 16, . . .},
S2 = {x : xR2} = {2, 7, 12, 17, . . .},
S3 = {x : xR3} = {3, 8, 13, 18, . . .},
S4 = {x : xR4} = {4, 9, 14, 19, . . .},
S5 = {x : xR5} = {5, 10, 15, 20, . . .},
S6 = {x : xR6} = {1, 6, 11, 16, . . .} = S1,
S7 = S2,
S8 = S3,
...
ou melhor graficamente:
 
1
6
11
.
.
.
2
7
12
.
.
.
3
8
13
.
.
.
4
9
14
.
.
.
5
10
15
.
.
.
S1 S2 S3 S4 S5
ℕ
Existem muitas coisas interessantes sobre estes conjunto para serem notadas. Enquanto
em um primeiro momento alguém poderia supor que existe um número infinito deles, mas
existem apenas cinco. Também, a união destes cinco conjuntos é todo o N, isto é dado um
elemento y ∈ N, y é um elemento de um destes cinco conjuntos. Para ser mais preciso, existe
exatamente um destes conjuntos que tem y como elemento. Isto significa (ceja exemplo 2
abaixo) que, dados quaisquer dois destes conjuntos, ou eles são iguais, ou eles são disjuntos.
Veremos em breve que toda relação de equivalência gera conjuntos com essas propriedades,
mas primeiro precisamos de algumas definições.
Definição 2.13. Seja A um conjunto não vazio. Uma partição Π de A é uma coleção
de subconjuntos não vazios de A tais que cada elemento de A é elemento de exatamente
um destes conjuntos.
Note que se Π é uma partição de A, então os elementos de Π são subconjuntos de A,
chamamaremos eles de os blocos de Π. Vemos então, devido a definição, que se B e C são
blocos de Π, então ou B = C ou B∩C = ∅. Também, a união de todos os elementos de Π é A.
79
Assim, podemos pensar que uma partição de um conjunto como uma separação do conjunto
em partes disjuntas, por exemplo, podemos considerar as três classes de ensino (fundamental,
médio e superior) como uma partição do corpo de estudantes. Agora apresentamos alguns
exemplos de partições:
Exemplos
1. Seja A não vazio. Então Π1 = {{x} : x ∈ A} e Π2 = {A} são partições de A. Em certo
senso, Π1 é apartição mais “fina” de A equanto Π2 é a mais grossa (veja o exercício 3
desta seção).
2. Seja A = {1, 2, 3, 4}. Então Π1 = {{1}, {2, 3}, {4}} e Π2 = {{1, 4}, {2, 3}} são partiçõesde
A.
3. Referindo-se aos conjuntos Si mencionados no começo desta seção, vemos que {S1, S2, S3, S4, S5}
é uma partição de N.
Exsite uma relação próxima entre partições e classes de equivalência, de fato, dada uma
relação de equivalênvia em um conjunto podemos gerar uma partição(como fizemos com N
acima) e dada uma partição
podemos gerar uma relação de equivalência. Para ver como isto
realmente funciona, precisamos de mais uma definição:
Definição 2.14. Seja R uma relação de equivalência em um conjunto não vazio A. Seja
x ∈ A. A classe de equivalência de x módulo R, denotada por [x]R (ou às vezes x/R), é
o conjunto de todos os elementos de A que são R-relacionados a x. Em símbolos,
[x]R = {y ∈ A : yRx}.
O conjunto de tais classes de equivalência é denotado por [A]R (ou às vezes A/R) e é
chamado A módulo R. Em símbolos,
[A]R = {[x]R : x ∈ A}.
Referindo-se mais uma vez ao exemplo do começo da seção, temos:
[2]R = S2 = {2, 7, 12, 17, . . .},
[4]R = [9]R = [14]R,
[N]R = {[1]R, [2]R, [3]R, [4]R, [5]R} = {[6]R, [12]R, [18]R, [9]R, [25]R}.
Para dois exemplos extremos, seja A um conjunto não vazio e seja R a igualdade (isto é, xRy
se e somente se x = y) e seja S = A×A (também uma relação de equivalência). Então
∀x ∈ A, [x]R = {x} e [x]S = A,
[A]R = {{x} : x ∈ A},
[A]S = {A}.
No caso de R temos cada classe de equivalência contendo exatamente um elemento enquanto
que no caso de S existe apenas uma grande classe de equivlência consistindo de todo o
conjunto A.
80
Talvez por agora o leitor pensou que [A]R é uma partição de A, com as classes de quiva-
lência formando os blocos da partição. Isto é, de fato, o caso que demonstraremos em breve,
mas antes vamos estabelecer algumas propriedades das classes de equivalência.
Teorema 2.9. Seja R uma relação de equivalência em um conjunto não vazio A. Então
a) ∀x ∈ A, [x]R 6= ∅.
b) ∀x, y ∈ A, [x]R ∩ [y]R 6= ∅ se e somente se xRy.
c) ∀x, y ∈ A, [x]R = [y]R se e somente se xRy.
d) ∀x, y ∈ A, [x]R 6= [y]R se e somente se [x]R ∩ [y]R = ∅.
Demonstração:
a) Como R é reflexiva, xRx para todo x ∈ A, logo x ∈ [x]R e assim ∀x ∈ A, [x]R 6= ∅.
b) Suponha que z ∈ [x]R ∩ [y]R. Então xRz e yRz. Como R é simétrica, zRy e como R é
também transitiva, temos xRy como desejado. Agora, suponha que xRy. Então y ∈ [x]R.
Mas y ∈ [y]R também, portanto, [x]R ∩ [y]R 6= ∅.
c) Se [x]R = [y]R entao y ∈ [x]R, logo xRy. Agora suponha xRy e seja z ∈ [x]R. Então xRz.
Pela simetria de R temos que yRx e pela transitividade de R obtemos yRz, logo z ∈ [y]R
e consequentemente, [x]R ⊆ [y]R. Um argumento similar (apenas trocar os papeis de x e
y) mostra que [y]R ⊆ [x]R, que completa a demonstração.
d) Segue diretamente dos partes b) e c).
Terminamos a maior parte do trabalho para mostrar que [A]R é uma partiçãode A, o que
resta está na demonstração do teorema abaixo.
Teorema 2.10. Sejam A um conjunto não vazio e R uma relação de equivalência em
A. Então [A]R é uma partição de A.
Demonstração: Devemos mostrar que [A]R é uma coleção de subconjuntos não vazios de A
que tem a propriedade que cada x ∈ A é um elemento de exatamente uma dos conjuntos de
[A]R. Como [A]R = {[x]R : x ∈ A} e x ∈ [x]R para casa x ∈ A, cada membro de [A]R é não
vazio. Isto também mostra que cada x ∈ A é um elemento de pelo menos um conjunto, cha-
mado sua própria classe de equivalência. Suponha que existe y ∈ A tal que y é um elemento
de dois conjuntos de [A]R. Mas, o teorema anterior 2.9 mostrou que distintos elementos de
[A]R são disjuntos, o que contradiz o fato de y pertencer a ambas classes de equivalência. Por-
tanto, cada elemento de A é um elemento de exatamente uma das classes de equivalência.
Assim, vemoa que uma relação de equivalência em um conjunto induz uma partição deste
conjunto. Este processo também funciona a recíproca, isto é uma partição de um conjunto
induz uma relação de equivalência no conjunto. Antes de mostrar este fato precisamos dar
um nome para tal relação.
81
Definição 2.15. Seja Π uma partição de um conjunto A. Definimos a relação A/Π
(lê-se “A módulo Π”) em A por (x, y) ∈ A/Π se e somente se existe B ∈ Π tal que
{x, y} ⊆ B. Em palavras, x é relacionado a y se e somente se x e y são ambos elementos
do mesmo bloco da partição.
Referindo-se a Π2 do exemplo 2 dado anteriormente nesta seção, temos
A/Π2 = {(1, 1), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4)}.
Uma rápida olhada revela que A/Π é uma relação de equivalência, embora, claramente,
devemos provar que isto é sempre o caso.
Teorema 2.11. Seja Π uma partição de um conjunto não vazio A. Então A/Π é uma
relação de equivalência em A.
Demonstração: Seja Π uma partição de A e para conveniência de notação vamos escrever
A/Π como R. Devemos mostrar que R é reflexiva, simétrica e transitiva. Seja x ∈ A. Como
x é elemento de algum bloco de Π, temos xRx, logo R é reflexiva. Se xRy então x e y são
ambos pertencentes ao mesmo bloco de Π, então claramente y e x estão no mesmo bloco de
Π que implica que yRx, logo R é simétrica. Agora, suponha que xRy e yRz. Então existem
B,C ∈ Π tais que {x, y} ⊆ B e {y, z} ⊆ C. Então vemos que y ∈ B ∩ C, logo B ∩ C 6= ∅
e assim B = C. Portanto {x, z} ⊆ B e xRz, logo R é transitiva e consequentemente uma
relação de equivalência.
Fechamos agora o círculo. Uma partição induz uma relação de equivalência A/Π e uma
relação de equivalência induz uma partição [A]R. Podemos ainda ver que a partição induzida
por uma relção de equivalência induz a partição original e vice-versa. Em símbolos,
[A]A/Π = Π e A/[A]R = R
A demonstração deste fato interessante será deixada como excercício.
Excercícios 2.5
1. Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e Π = {{2, 4, 6}, {1, 5}, {3}}. Liste os elementos de A/Π. En-
contre [2]A/Π.
2. Seja Π uma partição de A e sejam B,C ∈ Π. Mostre que se B ∩ C = ∅ então B = C
3. Sejam Π1 e Π2 partições de A. Dizemos que Π1 é mais fina que Π2 e escrevemos Π1 � Π2
se e somente se ∀B ∈ Π1,∃C ∈ Π2 3 B ⊆ C.
a) Se A = {1, 2, 3, 4}, dê exemplos de partições Π1 e Π2 tais que:
i. Π1 � Π2
ii. Π1 não é mais fino que Π2 e Π2 não é mais fino que Π1
b) Sejam Π1 e Π2 como no exemplo 1 desta seção e seja Π qualquer outra partição de A.
Mostre que Π1 � Π � Π2.
82
4. Seja R uma relação de equivalência em A. Mostre que A/[A]R = R.
5. Seja Π uma partição de A. Mostre que [A]A/Π = Π.
6. Sejam R1, R2 relações de equivalência em A. Dizemos que R1 é mais fina que que R2 e
escrevemos R1 � R2 se e somente se R1 ⊆ R2.
a) Seja A = {1, 2, 3, 4}. Dê exemplos de relações de equivalência R1, R2 tais que:
i) R1 � R2.
ii) R1 não é mais fino que R2 e R2 não é mais fino que R1.
b) Seja A um conjunto não vazio e seja Ω = {R : R uma relação de equivalência em A}.
Mostre que � é uma ordem parcial em Ω. O que pode ser dito sobre � ser ou não
completa?
c) Se R1 e R2 são relações de equivalência em uma conjunto não vazio A com R1 � R2,
a partição induzida por R1 é mais fina que a partição induzida por R2? A recíproca?
Ou nada?
7. Seja Ψ e Π partições de um conjunto não vazio A. Definimos
Ψ ?Π = {C ∩D : C ∈ Ψ, D ∈ Π, C ∩D 6= ∅}.
a) Seja A = {1, 2, 3, 4, 5}, Ψ = {{1, 2, 3}, {4, 5}} e Π = {{1, 2}, {3, 4}, {5}}. Encontre
Ψ ?Π.
b) Mostre que se Ψ e Π são partições de um conjunto não vazio A, então Ψ ? Π é uma
partição de A.
c) Mostre que Ψ ?Π é mais fina que Ψ e Π.
8. Vamos generalizar a relação de equivalência dada no exemplo 12 sa seção 2.3 e discutido
no começo desta seção. Seja m ∈ N. Se x, y ∈ Z, dizemos que x ≡ y(mod m) se e somente
se m|(x − y). [Note que: x ≡ y(mod m) é lido como “x é congruente a y módulo m.”]
Assim, a relação de equivalência mencionada anteiriormente era a congruência módulo
5. Mais uma notação, escreveremos as classes de equivalência de congruência módulo m
como [x]m e denotaremos o conjunto de todas as classe de equivalência módulo m por Zm.
Assim, Z5 = {[1]5, [2]5, [3]5, [4]5, [5]5}.
a) Encontre [3]3, [2]3, [5]1,.
b) Encontre duas soluções para cada uma das seguintes:
i) x ≡ 3(mod 14).
ii) x2 ≡ 2(mod 7).
iii) x2 ≡ 3(mod 7).
c) Sejam m,n ∈ N. Mostre que se m|n então Zn é mais fina que Zm.
d) Seja m ∈ N. Mostre que ∀x, y, z ∈ Z, x ≡ y(mod m) implica x + z ≡ y + z(mod m) e
xz ≡ yz(mod m).
9. Seja R e S relações de equivalência
de um conjunto não vazio A. Sabemos que R ∩ S é
também uma relação de equivalência em A.
83
a) Seja x ∈ A. Mostre que [x]R∩S = [x]R ∩ [y]S .
b) Mostre que [A]R∩S = [A]R ? [A]S , onde ? é a operação definida no excercício 7.
10. Se p, q ∈ N, sabemos do excercício 7 que Zp ?Zq é uma partição de Z. Existe n ∈ N tal que
Zp ? Zq = Zn? Se for verdade, demonstre o resultado. Se for falso, dê um contraexemplo
para mostrar que esta partição não é desta forma.
11. Acredite se quiser:
Conjectura: Seja A um conjunto não vazio e Π,Ψ partições de A. Se Π � Ψ e Ψ � Π
então Π = Ψ.
“Demonstração”: Sejam Π,Ψ como acima e seja B ∈ Π. Como Π � Ψ, existe C ∈ Ψ
tal que B ⊆ C. Mas como Ψ � Π, C ⊆ B, e portanto B = C, logo B ∈ Ψ. Um argumento
parecido mostra que Ψ ⊆ Π e consequentemente temos Π = Ψ.
“Contraexemplo”: Seja A = {1, 2, 3}.
A ={1, 2, 3, 4, 5},
Π ={{1, 2}, {3}, {4, 5}},
Ψ ={{1}, {2, 3, 4}, {5}},
Então Π � Ψ ({3} ⊆ {2, 3, 4}) e Ψ � Π ({1} ⊆ {1, 2}), mas claramente Ψ 6= Π.
2.6 Funções
Uma das ideias mais predominantes em matemática é o de função. Sem dúvida, fomos
expostos às funções no ensino médio, além disso funções têm o papel mais importante cáculo.
Embora as funções sejam objetos familiares em nosso repertório matemático, o leitor pode
se sentir um pouco embaraçado para dar uma definição precisa delas. Vamos remediar esta
situação imediatamente e descobrir que funções são relações especiais.
Definição 2.16. Seja f uma relação de A em B. Então f é uma função de A em B
(denotada por f : A→ B, se lê “f é uma função de A em B”) se e somente se
a) Dom(f) = A.
b) ∀x ∈ A, ∀y, z ∈ B, [(x, y) ∈ f ∧ (x, z) ∈ f ]→ y = z.
Em palavras, a definição acima diz que se f é uma relação de A em B tal que para todos
x ∈ A existe exatamente um y ∈ B tal que (x, y) ∈ f então f é uma função. Condição a)
garante que para cada x ∈ A existe pelo menos um y, e a condição b) garante que existirá
no máximo um, portanto tomadas juntas obtemos “exatamente uma.”
Se f é uma função de A em B então a “propriedade funcional” de cada x ∈ A estando
relacionado a exatamente um y ∈ B nos permite usar a notação funcional familiar y = f(x). Se
f fosse qualquer das relações “antigas” poderia existir vários (ou mesmo nenhum) elementos
em B para cada elemento de A e a notção f(x) não se referiria a um elemento de B, mas
teríamos que referir a um subconjunto de B.
84
Como exemplo de algumas relações que são funções e algumas que não são, sejam
A ={1, 2, 3, 4},
B ={1, 2, 3, 4, 5},
f ={(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)},
g ={(1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 5)},
h ={(1, 1), (2, 2), (3, 3)}.
Então, f , g e h são todas relações de A em B, mas apenas f é uma função, g não é uma função
pois ambos (1, 2) e (1, 3) são elementos de g e h não é uma função pois Dom(h) = {1, 2, 3} 6= A.
f tem uma forma particularmente simples para a qual podemos descrever com a fórmula:
∀x ∈ A, f(x) = x + 1. Embora a maioria das funções de pré-cáculo e cáculo são dadas de
uma maneira parecida, não é necessário que funções sejam descritas desta forma. De fato, a
maioria das funções não podem especificadas em tal forma simples.
Vamos utilizar a seguinte notação e nomes quando estivermos trabalhando com funções.
Se f : A→ B e (x, y) ∈ f então esvrevemos y = f(x). Note que, o nome da função é f e que
f(x) não é o nome da função mas é um elemento de B, é este elemento particular que está
relacionado com um certo elemento de A, chamado x. Se y = f(x) então dizemos que y é a
imagem de x e x é a ıpré-imagem de y. Também observe que devemos dizer “a” quando falamos
de imagem, mas devemos usar “uma” quando falamos de pré-imagens como um elemento de
B pode ter vários elementos de A relacionados ao elemento da pré-imagem. Como f é uma
relação, podemos tratá-la como uma relação e falar de seu domínio e imagem, composta
dela com outras funções e falar de sua inversa. Note também que, embora Dom(f) = A não
precisamos que Im(f) = B, portanto seria conveniente ter um nome para B, chamaremos a
B de codomínio de f .
Considere o seguinte exemplo: sejam A = {1, 2, 3, 4, 5} eB = {a, b, c, d} e defina f : A→ B
como f(1) = b, f(2) = b, f(3) = a, f(4) = d e f(5) = a (veja a figura abaixo):
 
1
2
3
4
5
A B
a
b
c
d

Então a imagem de 2 é b, a pré-imagem de a é 5 (outra pré-imagem de 5 é 3), c não tem
pré-imagem.
O seguinte teorema é útil para determinar quando duas funções são iguais:
85
Teorema 2.12. Sejam f : A → B e g : A → B. Então f = g se e somente se
∀x ∈ A, f(x) = g(x).
Demonstração: Primeiro, suponha que f = g e seja z ∈ A. Então ∃y ∈ B 3 (z, y) ∈ f . Mas
como f = g, (z, y) ∈ g. Assim y = g(z) portanto f(z) = g(z).
Agora, suponha que ∀x ∈ A, f(x) = g(x). Como funções são relações e relações são con-
juntos de pares ordenados, para mostrar que f = g devemos mostrar que são iguais como
conjuntos de pares ordenados. Para este fim, seja (w, z) ∈ f . Então z = f(w) = g(w), por-
tanto (w, z) ∈ g e assim temos que f ⊆ g. Trocando f por g no argumento acima, mostramos
que g ⊆ f . Assim segue que f = g.
Existem certas propriedades que funções podem ou não ter que aparecem com frequência
suficiente para terem um nome. Algumas destas são dadas abaixo.
Definição 2.17. Seja f : A→ B. Então
a) Dizemos que f é injetora se e somente se ∀w, z ∈ A, f(w) = f(z) implica w = z.
b) Dizemos que f é sobrejetora se e somente se Im(f) = B.
c) Dizemos que f é bijetora (ou uma correspondência um a um) se e somente se f é
injetora e sobrejetora.
A figuras abaixo ilustram as várias possibilidades:
Recorde que como funções são relações, elas têm inversas que são relações. Assim, po-
demos falar de inversa de qualquer função, mas não há nenhuma razão para esperar que a
inversa de uma função será uma função. Acontece que correspondências um a um (bijeções)
são particularmente importantes porque elas são aquelas funções cujas inversas também são
funções. Abaixo enunciamos e demonstramos este fato:
Teorema 2.13. Seja f : A → B. Então f−1 : B → A se e somente se f é uma bijeção
(correspondência um a um).
Demonstração: Primeiro, suponha que f−1 seja uma função de B em A. Devemos mostrar
que f é injetora e sobrejetora. Suponha que f(x) = f(y) = z. Isto significa (x, z) ∈ f e
(y, z) ∈ f . Consequentemente, f−1(z) = x e f−1(z) = y. Mas f−1 é uma função, portanto
x = y e assim f é injetora. Para mostrar que f é sobrejetora, seja y ∈ B. Então como
Dom(f1) = B, existe x ∈ A tal que f−1(y) = x. Assim (y, x) ∈ f−1 que significa que
(x, y) ∈ f portanto Im(f) = B.
Agora, suponha que f seja injetora e sobrejetora. Devemos mostrar que f−1 é uma função
de B em A, isto é, devemos mostrar que Dom(f−1) = B e que se (y, x) ∈ f−1 e (y, z) ∈ f−1,
então x = z. Primeiro, seja y ∈ B. Então como f é sobrejetora, existe x ∈ A tal que f(x) = y
ou (x, y) ∈ f . Assim (y, x) ∈ f−1 portanto Dom(f−1) = B. Aogra, suponha qye (y, x) ∈ f−1
e (y, z) ∈ f−1. Então f(x) = y e f(z) = y. Mas como f é injetora, isto implica que x = z e
consequentemente f−1 é uma função.
86
Vale a pena mencionar que foi a injetividade de f que deu a f−1 a propriedade de função
e a sobrejetividade de f gerou o fato que Dom(f−1) = B. Devemos ser um pouco cudadosos
sobre exatamente o que o teorema diz. Suponha que f : A → B é uma função injetora
mas não uma função sobrejetora. Então f−1 é uma funcaoi, mas não de B em A e sim
f−1 : Im(f)→ A.
Poderíamos, de fato, ter mostrado um pouco mais sobre f−1 no teorema 2.13, que f−1 é
também uma bijeção. Uma demonstração direta é possível seguindo a demonstração aicma,
mas para checar nosso entendimento da notação funcional, considere a seguinte demosntra-
ção:
Teorema 2.14. Se f : A→ B é injetora e sobrejetora então f−1 : B → A é uma bijeção.
Demonstração: Usaremos o teorema acima duas vezes: primeiro, o teorema nos diz que
f−1 é uma função de B em A. Agora, trocando os papéis de f e f−1, o teorema também
diz
que (f−1)−1 é uma função, então f−1 deve ser injetora e sobrejetora. Mas (f−1)−1 = f .
No excercício 3 abaixo, o leitor irá demonstrar que a composição de funções é novamente
uma função. Usando este fato, se f : A→ B e g : B → C então (g◦f) : A→ C. Para ver como
nossa notação funcional pode ser usada com a composição de funções, regressemos a deifnição
de composição de relações. Se (g ◦ f)(x) = z, então (x, z) ∈ (g ◦ f) que significa que existe
um y ∈ B tal que (x, y) ∈ f e (y, z) ∈ g. Consequentemente, f(x) = y e g(y) = z. Portanto,
z = g(y) = g(f(x)) ou (g ◦ y)(x) = g(f(x)), a notação de composição que usamos em cáculo.
Agora o leitor pode ver porque escrevemos a composição de relações na ordem que fazemos,
de mode que quando escrevemos composição de funções a ordem está de acordo com nossa
notação funcional usual. (Digressão: algumas pessoas (principalmente algebristas) contornam
esta dificuldade tra??ando suas notações funcionais, ao invés de f(x), eles escrevem xf , que
resolve este problema, mas gera outros. Mesmo o mundo inventado das notações matemáticas
não está livre de dificuldades!)
Como funções são relações podemos compor-las e os resultados que demonstramos para
relações continuam válidos. Se f, g são funções com domínios e imagens adequados, (g◦f)−1 =
f−1 ◦ g−1, embora (g ◦ f)−1, f−1 e g−1 possam não serem funções. O teorema 2.14 nos diz
que se f, g são bijeções, então f−1 e g−1 serão funções. Para completar nossa visão sobre esse
tema, provaremos mais dois teoremas sobre composição de inversas de funções.
Teorema 2.15. Sejam f : A → B e g : B → C bijeções. Então g ◦ f : A → C é uma
bijeção.
Demonstração: Contando com os resultados do excercício 3 abaixo, assumiremos que g ◦ f
é uma função de A a C, portanto precisamos apenas mostrar que é uma bijeção. Primeiro,
suponha que exista x, y ∈ A tais que g ◦ f(x) = g ◦ f(y). Assim, g(f(x)) = g(f(y)). Mas g é
injetora, portanto f(x) = f(y). Agora, o fato que f é injetora nos diz que x = y, logo g ◦ f
é injetora. Para mostrar que g ◦ f é sobrejetora, seja z ∈ C. Como g é sobrejetora, existe
y ∈ B tal que g(y) = z. Mas f é sobrejetora então existe x ∈ A tal que f(x) = y. Assim,
z = g(y) = g(f(x)) = g ◦ f(x), logo g ◦ f é sobrejetora.
87
A demonstração acima é uma típica demosntração que mostra que uma certa função é
injetora e sobrejetora. Para ter certeza que entendemos a forma deste tipo de demonstração,
vamos dar uma olhada mais de perto. Suponha que f : A → B. Uma demonstração direta
para mostrar que f é injetora seria tomar a forma: Seja x, y ∈ A, com f(x) = f(y).
. . .
“alguma coisa ou outra dependendo de f”
. . .
portanto x = y e assim f é injetora.
A demonstração por contrapositiva seria da forma: Sejam x, y ∈ A, com x 6= y.
. . .
“alguma coisa ou outra dependendo de f”
. . .
portanto f(x) 6= f(y) e assim f é injetora.
A demonstração direta para mostrar que f é sobrejetora se pareceria como: Seja y ∈ B.
. . .
“alguma coisa ou outra dependendo de f”
. . .
portanto existe x ∈ A tal que f(x) = y e f é sobrejetiva.
Resumo: para mostrar que f é injetora, devemos mostrar que elementos distintos em um
domínio têm imagens distintas e para mostrar que f é sobrejetora, devemos mostrar que
todos elementos de B têm uma pré-imagem.
Como exemplo, vamos mostrar que f : R → R dada por f(x) = ax + b, com a 6= 0
é uma bijeção. Primeiro, uma demonstração direta que f é injetora. Sejam x, y ∈ R com
f(x) = f(y). Então ax + b = ay + b que implica que ax = ay. Como a 6= 0, temos x = y
e portanto f é injetora. A demonstração por contrapositiva deste fato seria: Sejam x, y ∈ R
com x 6= y. Então como a 6= 0, ax 6= ay portanto temos que ax+b 6= ay+b, logo f(x) 6= f(y).
Para mostrar que f é sobrejetora, seja z ∈ R. Então (z − b)/a é também um elemento de R
(pois a 6= 0) e
f
(
z − b
a
)
= a
(
z − b
a
)
+ b = z − b+ b = z.
portanto f é sobrejtora. Devemos notar que a escolha de (z − b)/a não veio do nada, foi o
resultado de resolver d equação f(x) = ax+ b = z para x.
Teorema 2.16. Sejam f : A → B e g : B → C bijeções. Então (g ◦ f)−1 : C → A e
∀x ∈ C, (g ◦ f)−1(x) = (f−1 ◦ g−1)(x) = f−1(g−1(x)).
Demonstração: Já fizemos a maior parte do trabalho, assim devemos apenas fazer algumas
observações. Primeiro, como f e g são bijeções, g◦f também é uma bijeção, portanto (g◦f)−1
é uma função de C em A. Das relações sabemos que, (g ◦ f)−1 = (f−1 ◦ g−1 e como f−1 e
g−1 são funções também, o resultado segue.
Note que a relação identidade em A, IA, é uma função de A em A a qual chamaremos
de função identidade. Usando nossa notação funcional, IA(x) = x para todo x ∈ A. A razão
para este nome (e para o nome inversa) ficará mais claro no róximo teorema.
88
Teorema 2.17. Seja f : A→ B. Então
a) f ◦ IA = f .
b) IB ◦ f = f .
c) Se f é uma bijeção então f1 ◦ f = IA (ou ∀x ∈ A, f1(f(x)) = x) e f ◦ f1 = IB (or
∀x ∈ B, f(f1(x)) = x).
Demonstração: Itens a) e b) seguem facilmente, para isso suponha que x ∈ A. Então
f ◦ IA(x) = f(IA(x)) = f(x) e IB ◦ f(x) = IB(f(x)) = f(x). Para c), primeiro observe que
como f é uma bijeção, f−1 é uma função, logo f(x) = y se e somente se f−1(y) = x. Agora,
seja x ∈ A e suponha que f(x) = y. Então (f−1 ◦ f)(x) = f−1(f(x)) = f−1(y) = x = IA(x).
Para a segunda asserção, seja x ∈ B e suponha que f−1(x) = y. Assim, (f ◦ f−1)(x) =
f(f−1(x)) = f(y) = x = IB(x).
Excercícios 2.6
1. Seja A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e seja f : A→ A dada por
f(x) =
{
x+ 1, se x 6= 6;
1, se x = 6.
a) Encontre f(3), f(6), f ◦ f(3), f(f(2)).
b) Encontre a pré-imagem de 2 e 1.
c) Mostre que f é bijetora.
2. Mostre que f : R→ R dad por f(x) = x3 é injetora e sobrejetora, enquanto que g : R→ R
dada por g(x) = x2 − 1 não é injetora nem sobrejetora.
3. Suponha f : A→ B e g : B → C. Mostre que g ◦ f : A→ C.
4. a) Sejam A,B e f : A→ B dados por:
A ={1, 2, 3, 4},
B ={1, 2, 3, },
f ={(1, 3), (2, 1), (3, 1), (4, 2)}.
Encontre f−1 ◦ f .
b) Sejam A,B conjuntos não vazios e f : A → B. Mostre que f−1 ◦ f é uma relação de
equivalência em A. (Note que f−1 pode ou não ser uma função). Também mostre que
[x]f−1◦f = {y : f(x) = f(y)}.
5. Seja f : A→ B. Prove que
a) f é injetora se e somente se existe g : B → A tal que g ◦ f = IA.
89
b) f é sobrejetora se e somente se existe g : B → A tal que f ◦ g = IB.
c) f é sobrejetora se e somente se f ◦ f−1 = IB.
6. Sejam f : A → B e g : B → A. Mostre que se g ◦ f = IA e f ◦ g = IB então f é uma
bijeção e g = f−1
7. Seja R uma relação de equivalência em um conjunto não vazio A. Definimos a relação α
de A em [A]R por
α = {(x, [x]R) : x ∈ A}.
a) Mostre que α : A→ [A]R.
b) Mostre que α é sobrejetora.
c) Sob quais condições α será injetora?
8. Seja f : A→ A. Suponha que f também seja uma relação de equivalência. O que podemos
dizer sobre f?
9. Sejam f : A → B e g : A → B. Demonstre ou dê contraexemplos para as seguintes
conjecturas:
a) f ∪ g : A→ B.
b) f ∩ g : A→ B.
c) f ∪ g : A→ B implica f = g.
d) f ∩ g : A→ B implica f = g.
10. Seja f : A→ B e g : C → D, com A∩C = ∅. [Para refrescar sua memória sobre restrições,
veja o excercício 13 da seção 2.3].
a) Mostre que f ∪ g : A ∪ C → B ∪D.
b) Mostre que f ∪ g|A = f e f ∪ g|C = g.
11. Seja f : R→ R definida por f(x) = sen(x).
a) Mostre que f não é injetora.
b) Mostre que f |[pi/2,pi/2] é injetora.
12. Seja A um conjunto não vazio e seja
Ψ = {φ : φ é uma partição de A}.
Lembre-se que � (mais fino que) é uma relação de ordem parcial em Ψ. Seja
< = {R : R é uma relação de equivalência em A}.
Sabemos que existe uma bijeção entre os elementos de Ψ e <, assim denotemos a relação
de equivalência associada com a partição θ por Rθ. Definimos s relação v em < por
Rφ v Rθ se e somente se φ � θ.
90
a) Mostre que v é uma ordem parcial em <.
b) Mostre (ou dê um contraexemplo):
Rφ v Rθ se e somente se Rφ ⊆ Rθ.
13. Suponha que f : A→ B e g : B → C, onde A,B e C são conjuntos não
vazios. Demonstre
ou dê contraexemplos para as seguintes conjecturas:
a) g ◦ f bijeção implica que f é injetora.
b) g ◦ f bijeção implica que f é sobrejetora.
c) g ◦ f bijeção implica que g é sobrejetora.
d) g ◦ f bijeção implica que g é injetora.
14. Seja f : A→ B, com R uma ordem total estrita em A e S uma ordem total estrita em B.
Dizemos que f é monotônica se e somente se ∀x, y ∈ A, xRy implica f(x)Sf(y).
a) Com a ordem usual (<) em R, de um exemplo de uma função que seja monotônica.
b) Com a ordem usual (<) em R, de um exemplo de uma função que não seja monotônica.
c) Se f : A→ B é monotônica, mostre que f é injetora.
15. Acredite se quiser:
Conjectura: Seja f : A→ B e seja R uma ordem total estrita em A. Definimos a relação
S em B por
xSy ↔ ∃a, b ∈ A 3 aRb ∧ f(a) = x, f(b) = y.
Então S é uma ordem parcial estrita.
“Demonstração”: Suponha que f e R são como acima e S é definida como indicado.
Seja x ∈ B com xSx. Mas isto significa que existe a ∈ A tal que f(a) = x. Assim aRa,
que é impossível, pois R é irreflexiva, portanto S é irreflexiva. Agora, suponha x, y, z ∈ B
com xSy, ySz. Então existem a, b, c ∈ A tais que f(a) = x, f(b) = y e f(c) = z e aRb e
bRc. Como R é transitiva, aRc e portanto xSz, logo S é transitiva.
“Contraexemplo”: Sejam A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4} e f : A→ B dada por f(1) = 1,
f(2) = 1 e f(3) = 4. Suponha,
R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}
Então S = {(1, 2), (1, 4)}, que é transitiva mas não irreflexiva.
16. Acredite se quiser:
Conjectura: Seja f : A→ B e g : B → A. Se g ◦ f = IA então g = f−1.
“Demonstração”: Sejam f, g como acima e seja x ∈ B. Suponha que y ∈ A é tal que
(x, y) ∈ g. Seja x ∈ B tal que (y, z) ∈ f . Como g ◦ f = IA, (x, y) ∈ g. Mas (x, y) ∈ g e
g é uma função, portanto x = z. Assim, (x, y) ∈ f−1, logo g ⊆ f−1. Agora suponha que
(x, y) ∈ f−1. Então (y, x) ∈ f . Como g ◦f = IA, (x, y) ∈ g, logo f−1 ⊆ g e portanto temos
que g = f−1.
91
“Contraexemplo”: Sejam A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4} com
f = {(1, 2), (2, 1), (3, 3)}
g = {(2, 1), (1, 2), (3, 3), (4, 3)}
Então g ◦ f = IA mas g 6= f−1, pois (4, 3) ∈ g.
17. Acredite se quiser:
Conjectura: Seja f : A→ B. Se f−1 ◦ f = IA então f é injetora.
“Demonstração”: Suponha que f é como descrito acima e x, y ∈ A com f(x) = f(y) = z.
Então f−1(z) = x e f−1(z) = y. Mas f−1 é uma função, portanto x = y e assim f é
injetora.
“Contraexemplo”: Sejam A = {a, b, c} e B = {1, 2, 3} com f(a) = 1, f(b) = 2 e
f(c) = 2. Então f−1 = {(1, a), (2, b), (2, c)} mas f não é injetora.
2.7 Mais Funções
Podemos extender a ideia de função de uma forma natural de elementos individuais do
domínio em subconjuntos do domínio, isto é, f : A→ B pode ser extendido para f : P(A)→
P(B).
Definição 2.18. Seja f : A → B. Se C ⊆ A então definimos f(C) = {f(x) : x ∈ C}.
Se D ⊆ B então f−1(D) = {x : f(x) ∈ D}. f(C) é chamada a imagem de C e f−1(D) é
chamada a pré-imagem de D.
Por exemplo, seja f : A → B onde A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5} e f dada por f(1) = 1,
f(2) = 1, f(3) = 5 e f(4) = 5. Então
f({1, 3}) ={1, 5},
f({1, 2}) ={1},
f−1({1}) ={1, 2},
f−1({4}) =∅.
Note que até agora definimos alguns conjuntos: com A,B, f, C,D como acima, f(C) é um
subconjunto de B e f−1(D) é um subconjunto de A. Entretanto, podemos utilizar estas
definições de uma forma natural para definir algumas funções (com o mesmo nome)
f : P(A)→ P(B),
f−1 : P(B)→ P(A).
Estas duas funções induzidas por conjuntos têm muitas propriedades importantes (incluindo
o fato de que elas são funções!), que em sua maioria serão deixadas para os excercícios, mas
provaremos uma aqui para dar uma dica de como são estas demonstrações.
92
Teorema 2.18. Seja f : A→ B e sejam C ⊆ D ⊆ B. Então
f−1(C) ⊆ f−1(D).
Demonstração: Seja x ∈ f−1(C). Então x ∈ A e f(x) ∈ C. Como C ⊆ D, f(x) ∈ D. Mas
isto significa que x ∈ f−1(D).
Todas as nossas familiares operações aritméticas (+, −, · e ÷) são funcois, assim como
todos os conectivos lógicos (∧, ∨, → e ↔) e todas operações de conjuntos (∩, ∪ e −). Temos
um nome especial para funções deste tipo:
Definição 2.19. Seja A um conjunto. • é chamada operação binária em A se e somente
se
• : A×A→ A.
Assim vemos que a operção binária em A associa cada par de elementos de A a um
elemento de A. Por causa disso iremos nos afastarde nossa notação funcional usual e escrever:
a · b = c ao invés de · ((a, b)) = c.
Por exemplo, com + : R × R → R (adição de números reais), escrevemos 2 + 3 = 5 ao
invés de +((2, 3)) = 5.
Existem muitas propriedades que as operações binárias podem ou não ter:
Definição 2.20. Seja • uma operação binária em um conjunto A. Então:
a) Dizemos que • é comutativa se e somente se ∀a, b ∈ A, a • b = b • a.
b) Dizemos que • é associativa se e somente se ∀a, b, c ∈ A, a • (b • c) = (a • b) • c.
c) Dizemos que e ∈ A é uma identidade para • se e somente se ∀a ∈ A, a • e = e • a = a.
d) Se e é uma identidade para • e x ∈ A, dizemos que x é invertível se e somente se
∃y ∈ A 3 x • y = y • x = e. Tal y é chamado um inverso de x.
e) Dizemos que a ∈ A é idempotente para • se e somente se a · a = a.
Alguns exemplos destas propriedades, + em R é comutativa, associativa, tem 0 como
identidade e todo elemento é invertível (o inverso de x é −x). O único elemento idempotente
é 0. Por outro lado, − em R não é comutativo, não é associativo, não tem identidade e o único
elemento idempotente é 0. ∪ em P(A) para algum conjunto A é comutativo, associativo, ∅ é
a identidade e cada elemento é idempotente.
Vamos demonstrar alguns poucos teoremas envolvendo operções binárias e deixar alguns
outros para os ecercícios.
93
Teorema 2.19. Seja • uma operação binária em A. Então existe no máximo uma iden-
tidade para •.
Demonstração: Suponha que e e e′ são ambos identidades para •. Então
e = e • e′ = e′
Assim e = e′ e • pode ter no máximo uma identidade.
[Nota: A primeira igualdade é válida pois e′ é uma identidade e a segunda é válida porque e
é uma identidade.]
Teorema 2.20. Se • é uma operação binária associativa com identidade e em A e x ∈ A,
então x tem no máximo um inverso.
Demonstração: Suponha que x ∈ A tem dois inversos, que chamaremos de y e y′. Então
x • y = y • x = e
e
x • y′ = y′ • x = e
Assim,
y = y • e = y • (x • y′) = (y • x) • y′ = e • y′ = y′.
Em virtude dos teoremas acima podemos falar em “a” identidade e “o” inverso de um
elemento (se tais existem).
A última ideia que gostaríamos de introduzir nesta seção pode, de alguma forma, ser sutil,
mas o esforço para entende-la será recompensado no futuro (por exemplo, quando o leitor
estiver estudando em álgebra o “teorema fundamental de homomorfismos de grupos”).
Teorema 2.21. Seja f : A→ B. Definimos a relação R em A por xRy se e somente se
f(x) = f(y). Então R é uma relação de equivalência em A e consequentemente [A]R é
uma partição de A. Definimos duas novas funções:
α : A→ [A]R por α(x) = [x]R,
f∗ : [A]R → B por f∗([x]R) = f(x).
Então f∗ é injetora e f = f∗ ◦ α.
Demonstração: Será útil manter a figura abaixo na mente durante nosso trabalho na de-
monstração.
Devemos observar que há quatro coisas que devem ser provadas:
a) R é uma relação de equivalência.
94
 
A
[A]R
B


b) f∗ é uma função.
c) f∗ é injetora.
d) f = f∗ ◦ α.
Que R é uma relação de equivalência segue facilmente do fato que = é uma relação
de equivalência em B, os detalhes são deixados como excercício. Que f∗ é uma função
é um ponto mais sutil porque classes de equivalência estão envolvidas e f∗ está definida
de um representante da classe de equivalência. Para explicar isso um pouco mais, supo-
nha [x]R = [y]R com x 6= y. Para f∗ ser uma função e não apenas uma relação , neces-
sitaríamos que f∗([x]R) = f∗([y]R) (pois [x]R = [y]R) mas nossa definição de f∗ é dada
em termos dos representantes das classes de equivalência, isto é f∗([x]R) = f(x) enquanto
f∗([y]R) = f(y). Obviamente,
nossa única esperança de livra-nos com sucesso desta dificul-
dade é ter f(x) = f(y). Mas se lembrarmos que xRy se e somente se f(x) = f(y), vemos
que [x]R = [y]R implica que f(x) = f(y) e f∗ é de fato uma função (às vezes dizemos que
tal função definida em um conjunto de classe de equivalência está “bem definida”). Assim,
tudo que resta demonstrar sobre f∗ é que f∗ é injetora. Suponha que, f∗([x]R) = f∗([y]R).
Então f(x) = f(y) (da definição de f∗), logo xRy que significa [x]R = [y]R, portanto, f∗ é
injetora. Para completar a demosntração precisamos mostrar que f = f∗ ◦ α. Seja x ∈ A.
Então (f∗ ◦ α)(x) = f∗(α(x)) = f∗([x]R) = f(x).
95
Para melhor entender o que está acontecendo aqui, pode ajudar a perceber que a classe
de equivalência [x]R é o conjunto de todos os elementos cuja imagem por f é o mesmo
de x. Assim podemos pensar na partição [A]R como juntando todos estes elementos que
têm a mesma imagem por f . Como um exemplo simples disso, considere f : A → B onde
A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5} e f é dada por f(1) = 1, f(2) = 1, f(3) = 5 e f(4) = 5. Neste
caso (o leitor pode verificar)
R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 1), (3, 3), (3, 4), (4, 4), (4, 3)}
logo [1]R = [2]R = {1, 2}, [3]R = [4]R = {3, 4}. Portanto, [A]R = {[1]R, [3]R} e f?([1]R) = 1 e
f?([3]R) = 5.
Excercícios 2.7
1. Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 3, 4, 5} e f : A→ B dada por f(1) = f(4) = f(6) = 3;
f(2) = 5 e f(3) = f(5) = 4. Encontre:
a) f({1, 2, 3}), f(A− {2}) e f(A)− {2}.
b) f−1({3}), f−1({4, 5}) e f−1({2}).
c) f({1, 2} ∩ {2, 6}) e f({1, 2}) ∩ f({2, 6}).
2. Seja f : A→ B. Mostre que:
a) C ⊆ D ⊆ A implica f(C) ⊆ f(D).
b) C ⊆ A e D ⊆ A implica que f(C ∪D) = f(C) ∪ f(D).
c) C ⊆ B e D ⊆ B implica que f−1(C ∪D) = f−1(C) ∪ f−1(D).
d) C ⊆ B e D ⊆ B implica que f−1(C ∩D) = f−1(C) ∩ f−1(D).
e) C ⊆ A implica C ⊆ f−1(f(C)) e dê um exemplo para mostrar que a igualdade não
vale.
f) C ⊆ B implica f(f−1(C)) ⊆ C e dê um exemplo para mostrar que a igualdade não
vale.
3. Seja f : A→ B. Para distinguir entre f e a extensão de f para subconjuntos de A, vamos
definir f∗ a relação de P(A) em P(B) por
f∗ = {(C, f(C)) : C ∈ P(A)},
e (f−1)∗ a relação de P(B) em P(A) por
(f−1)∗ = {(C, f−1(C)) : C ∈ P(B)}.
a) Mostre que f∗ : P(A)→ P(B).
b) Mostre que (f−1)∗ : P(B)→ P(A).
c) Mostre que f injetora se e somente se f∗ injetora.
d) Mostre que f sobrejetora se e somente se f∗ sobrejetora.
e) Quando (f−1)∗ = (f∗)−1?
96
4. Seja A um conjunto não vazio e seja F = {f : f : A → A}. Então ◦ (composição de
função) é uma operação binária em F . Para responder o que segue o leitor usará alguns
dos teoremas demonstrados anteriormente.
a) Mostre que ◦ é associativa.
b) Dê um exemplo para mostrar que ◦ não é comutativa.
c) Mostre que IA é a identidade para ◦.
d) Quais elementos de F têm inversa?
e) Dê exemplos de funções idempotentes.
f) Se f é invertível e f ◦ g = f ◦ h, então g = h?
g) Mostre que se f e g são invertíveis então f ◦ g é também invertível. Qual é o inverso
de f ◦ g?
Talvez agora os nomes identidade e inverso como usados com funções assumem mais
significado agora, para I é a identidade de ◦ e f−1 é o inverso de f .
5. Seja • uma operação binária em A. Mostre que:
a) Se e é a identidade de • então e é idempotente para •.
b) Se • é associativa e comutativa e a e b são ambos idempotentes para • então a • b é
também idempotente.
c) Se • é associativa e x e y são invertíveis então x • y é também idempotente. Expresse
a inversa de x • y em termos das inversas de x e y.
6. Seja A um conjunto não vazio. Então ∪, ∩ e − são operações binárias em P(A). O lei-
tor pode quere citar os teoremas demonstrados anteriormente e outros excercıcios para
trabalhar nos seguintes itens:
a) Mostre que ∪ e ∩ são associativas e comutativas.
b) Dê exemplos para mostrar que − não é nem associativa nem comutativa.
c) Mostre que cada elemento em P(A) é idempotente para ∪ e ∩.
d) Quais elementos são idempotentes para −?
e) Quais elementos são invertíveis para ∪, ∩ e −?
7. Seja A um conjunto não vazio. Definimos a operação binária • em P(A) por
X • Y = (X − Y ) ∪ (Y −X).
a) Mostre que • é comutativa.
b) Mostre que • é associativa.
c) Qual a identidade para •?
d) Mostre que cada elemento pertencente a P(A) é invertível.
e) Se X ⊆ A, qual é o inverso de X para •?
97
8. Seja F = {f : f : R → R, f(x) = ax + b, a 6= 0}. [F é o conjunto de todas as funções
lineare não constantes de R em R.]
a) Mostre que ◦ (composição de funções) é uma operação binária em F .
b) Qual a identidade para ◦?
c) Quais elementos de F são invertíveis?
d) Se f é invertível, qual a inversa de f?
e) Quais elementos de F são idempotentes?
9. Suponha que • seja uma operação binária associativa em A. Seja x um elemento fixo
pertencente a A. Definimos uma outra relação binária •x em A por
a •x b = a • (x • b).
Mostre que •x é associativa.
10. Mostre que a relação R do teorema 2.21 é uma relação de equivalência.
11. Seja • uma operação binária em A. Se B ⊆ A, podemos considerar que a restrição de
• a B, •|B. Esta restrição pode ou não ser uma operação binária em B. Se •|B for uma
operação binária em B, dizemos que B é fechado com respeito a •.
a) Dê uma definição precisa da restrição mencionada acima.
b) Sejam +,− as operações algébricas usuais em Z. Mostre que N é fechado com respeito
a +, mas não é fechado com respeiro a −.
c) Se • é uma operação binária em A com B ⊆ A, mostre que B é fechado com respeito
a • se e somente se
{x • y : x, y ∈ B} ⊆ B.
12. Seja f : A → B. Mostre que f pode ser decomposta em uma sobrejeção, uma bijeção e
uma injeção, isto é, existem funções α, β e γ tais que f = γ ◦β ◦α onde α é uma sobrejção,
β é uma bijeção e γ é uma injeção. [Dica: veja o teorema 2.21.]
13. Em álgebra com frequência usamos a regra “igual adicionado a igual é igual”, ou mais
precisamente, se a, b, c, d ∈ R com a = b e c = d então a + c = b + d. Prove que esta
afirmação está correta.
14. Acredite se quiser:
Conjectura: Seja f : A→ B e C,D ⊆ A. Então f(C ∩D) = f(C) ∩ f(D).
“Demonstração”: Sejam C,D ∈ A e suponha x ∈ f(C ∩ D). Então existe y ∈ C ∩ D
tal que f(y) = x. Claramente y ∈ C e y ∈ D, assim f(y) ∈ f(C) e f(y) ∈ f(D), logo
x ∈ f(C) ∩ f(D). Agora, suponha x ∈ f(C) ∩ f(D). Então existe y ∈ C tal que f(y) = x
e existe y ∈ D tal que f(y) = x. Mas y ∈ C ∩D, logo x ∈ f(C ∩D).
“Contraexemplo”: Sejam A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} e seja f : A→ B dada por f(1) = 1
e f(2) = 1. Se C{a} e D = {2}, então f(C ∩D)∅ enquanto que f(C) ∩ f(D) = {1}.
98
15. Acredite se quiser:
Conjectura: Sejam A e B conjuntos com f : A→ B. Então f−1 ◦ f (estas são as funções
induzidas por conjuntos) é uma relação de equivalência em P(A).
“Demonstração”: Sejam A, B e f como descritos acima e por conveniência, vamos
denotar a composição de funções induzidas por comjuntos, f−1 ◦f , por R. Seja C ∈ P(A).
Como f−1(f(C)) = C, (C,C) ∈ R e portanto R é reflexiva. Se C,D ∈ P(A), com (C,D) ∈
R então temos que f−1(f(C)) = D. Assim,
f(D) = f−1(f(C)) = f−1 ◦ f(C) = IB(f(C)) = f(C).
Como f(C) = f(D) então f−1(f(C)) = f−1(f(D)) logo, (D,C) ∈ R e portanto R
é simétrica. Agora suponha que (C,D) ∈ R e (D,E) ∈ R. Assim f−1(f(C)) = D e
f−1(f(D)) = E. Portanto,
E = f−1(f(D)) = (f−1◦f)(f−1◦f(C)) = f−1◦(f◦f−1)◦f(C) = f−1◦IB(f(C)) = f−1(f(C))
e assim (C,E) ∈ R e portanto R é transitiva, consequentemente uma relação de equiva-
lência.
“Contraexemplo”: Sejam A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} e f : A → B dada por f(1) = 1 e
f(2) = 1. Então
f−1 ◦ f = {(∅,∅), ({1}, {1, 2}), ({1, 2}, {1, 2}), ({2}, {1, 2})},
que é simétrica mas não reflexiva.
16. Seja Q = {(m,n) : m,n ∈ Z com n 6= 0}. Definimos uma relação R em Q por
(m,n)R(x, y) se e somente se my = nx.
a) Mostre que R é ima relação de equivalência.
b) Encontre três elementos de [(1, 2)]R e três elementos de [(1,−1)]R.
c) Mostre que ∀n ∈ Z, n 6= 0, [(x, y)]R = [(nx, ny)]R.
d) Definimos
a oeração binária ? em [Q]R por
[(x, y)]R ? [(m,n)]R = [(xm, yn)]R
Mostre que esta operação binária está “bem-definida”, isto é, se
[(x, y)]R = [(w, z)]R e [(m,n)]R = [(p, q)]R
então
[(x, y)]R ? [(m,n)]R = [(w, z)]R ? [(p, q)]R.
e) Podemos tentar definir outra operação binária em [Q]R por
[(x, y)]R ⊕ [(w, z)]R = [(x+ w, y + z)]R.
99
Mostre, por exemplo, que esta “operação binária” não está bem definida, e assim, não
é de fato uma operação binária.
f) Tentamos novamente defifinido
[(x, y)]R + [(w, z)]R = [(xz, yw, yz)]R.
Mostre que esta operação binária está bem definida.
[Nota: O leitor alerta pode ter feito a identificação de Q com Q, o conjunto dos números
racionais, com m,n fazendo o papel de m/n. De fato, o que pensamos ser o número 1/2
é realmente uma classe de esquivalência e igauldade de números racionais é igualdade de
classe de equivalência. Por isso no ensino básico aprendemos que 1/2 = 3/6.]
17. Seja f : N → N5 (veja exercício 8 da seção 2.5 para esta notação) dada por f(x) = [x]5.
Sejam R e α como no teorema 2.21.
a) Encontre [2]R e [9]R.
b) Encontre α(4) e α(13).
c) Definimos a operação binária + em [N]R por
[x]R + [y]R = [x+ y]R.
Mostre que + é de fato uma operação binária.
d) Mostre que [5]R é a identidade para +.
e) Mostre que ∀x, y ∈ N, α(x+ y) = α(x) + α(y).
100
Capítulo 3
Indução Matemática
3.1 Introdução
Com frequência temos que demonstrar proposições da forma ∀n ∈ N, P (n). For exemplo,
talvez quisessemos mostrar que
∀n ∈ N, 1 = 2 + 3 + . . .+ n = 12n(n+ 1), (3.1)
∀n ∈ N, (n− 2)2 = n2 − 2n+ 4, (3.2)
∀n ∈ N, n ímpar implica n2 ímpar. (3.3)
Proposições (3.2) e (3.3) podem ser facilmente demonstradas usando nossa técnica de variável
fixa mas arbitrária (o leitor poderia tentar fazer estas demonstrações), mas a proposição (3.1)
não pode ser demonstada por este método. Uma razão para esta dificuldade é que o lado
esquerdo da igualdade não é uma forma fechada e não podemos lidar com ela algebricamente.
De fato, para mesmo entendermos o que o lado esquerdo significa temos que contar com
uma certa propriedade dos números naturais, a saber, que dado um número natural k existe
um “próximo” número natural, que chamamos de k + 1. Assim devemos esperar que uma
demonstração de (3.1) envolverá esta propriedade do “próximo” dos números naturais. Este
é, de fato, o caso que examinaremos na próxima seção, a propriedade de N que nos permite
demonstrar proposições deste tipo.
3.2 Princípio da Indução Matemática
N, conjunto dos números naturais, é um objeto matemático familiar que nos familiari-
zamos desde nossa infância. Sabemos de muitas de suas propriedades por experiência, mas
provavelmente não pensamos muito sobres elas de um ponto de vista axiomatico. Embora
esta seja uma atividade emocionante e recompensadora, temos outros objetivos em mente.
O leitor interessado poderia ver a referência [9] para um bom tratamento axiomático, que
começa com apenas cinco postulados para os números naturais (chamados postulados de Pe-
ano) e em um procedimento lógico constroe as estruturas maravilhosas dos números inteiros,
do números racionais e dos números reais. Aqui, estamos interessados com o seguinte axioma,
que é o quinto dos cinco postulados de Peano para os números naturais:
101
102
Axioma 3.1 (Princípio da Indução Matemática (PIM)). Seja S um subconjunto de N
com a propriedade que:
a) 1 ∈ S.
b) ∀k ∈ N, k ∈ S → k + 1 ∈ S.
Então S = N.
Em palavras, este axioma nos diz que se tivermos um conjunto de números naturais que
contém 1 e qualquer número natural que estiver no conjunto, o próximo número também
está no conjunto, então nosso conjunto contém todos os números naturais. Esta propriedade
é intuitivamente atraente, se 1 está em S então o próximo número, 2, deve estar em S.
Mas se 2 et´a em S, 3 deve estar no conjunto e assim por diante, implicando que todos os
números naturais pertencem a S. Claramente, é o “e assim por diante” que não pode ser
demonstrado, logo este princípio (o qual chamaremos de o princípio da indução matemática)
deve ser tomado como um axioma, isto é, uma propriedade assumida do conjunto dos números
naturais.
Podemos utilizar o princípio da indução matemática para demonstrar uma proposição da
forma ∀n ∈ N, p(n) deixando S ser o conjunto de números naturais para o qual p é verdade,
isto é
S = {n ∈ N : p(n) é verdade}.
Assim se podemos mostrar que p(1) é verdade (1 ∈ S) e p(k)→ p(k+ 1) (k ∈ S → k+ 1 ∈ S)
então S = N ou ∀n ∈ N, p(n). Consequentemente, demonstrações usando o princípio da
indução matemática usualmente têm a seguinte forma:
a) Mostre que p(1) é verdade (às vezes chamado de passo base).
b) Mostre que p(k)→ p(k + 1) (às vezes chamado de passo de indução).
Como um exemplo, considere o clássico teorema, frequentemente associado com uma
hitória divertida envolvendo o famoso matemático Gauss quando era um jovem rapaz:
∀n ∈ N, 1 + 2 + 3 + . . .+ n = n(n+ 1)2 .
Aqui p(n) é “1 + 2 + 3 + . . . + n = n(n+1)2 ,” assim p(1) é “1 =
1(1+1)
2 ,” que claramente
é verdade (passo base completo). Para completar o passo da indução, devemos mostrar que
uma certa implicação (∀k, p(k) → p(k + 1)) é verdade. Usaremos nosso método usual de
demonstração direta para demonstrar tal proposição: escolha um número natural fixo mas
arbritrário k, assuma que a hipótese (p(k)) é verdadeira e deduza a verdade da conclusão
(p(k+1)). Pra começar, seja k ∈ N. Suponha que p(k) seja verdade, isto é, 1 = 2+3+. . .+k =
103
k(k+1)
2 . Então
1 + 2 + 3 + . . .+ k + (k + 1) = k(k + 1)2 + (k + 1)
= (k + 1)
(
k
2 + 1
)
= (k + 1)(k + 2)2
logo p(k+1) é verdade, que completa o passo de indução e assim a demonstração por indução.
Portanto, demonstramos pelo princípio da indução que
∀n ∈ N, 1 = 2 + 3 + . . .+ n = n(n+ 1)2 .
Daremos alguns exemplos mais gerai com menos comentários. Veja se você detecta a forma
geral da demonstração e segue os passos envolvidos.
Exemplos
1. Se x ≥ 0, então ∀n ∈ N, (1 + x)n ≥ 1 + xn. Quando n = 1 temos 1 + x ≥ 1 + x, que
obviamente é verdade. Suponha x ≥ 0, k ∈ N e (1 + x)k ≥ 1 + xk. Então
(1 + x)k+1 = (1 + x)k(1 + x)
≥ (1 + xk)(1 + x)
= 1 + xk+1 + x+ xk
≥ 1 + xk+1,
que completa nosso passo de indução. Portanto, ∀n ∈ N, (1 + x)n ≥ 1 + xn.(O leitor é
convidado a analisar onde a hipótese x ≥ 0 foi usada.)
2. ∀n ∈ N, n2 ≤ n. Quando n = 1 temos 12 ≤ 1, que é verdade. Agora suponha que k ∈ N e
k2 ≤ k. Então
(k + 1)2 ≤ (k + 1) implica
k2 + 2k + 1 ≤ (k + 1) ou
k2 + 2k ≤ k que implica que
k2 ≤ k,
nossa hipótese original, que assumimos ser verdade, assim a demonstração está completa.
Um resultado surpreendente. Com indução podemos provar coisas super interessantes!
Claramente, o resultado não é verdade, então alguma coisa deve estar errado na demons-
tração. O que temos acima é um exemplo de um erro comum frequentemente feito por
“indutores” principiantes. Um exame mais detalhado revela que no passo da indução as-
sumimos nossa conclusão e então obtivemos nossa hipótese, a forma de demonstração que
nunca é válida. Se todas as implicações pudessem ser revertidas, podemos construir uma
demonstração válida revertendo a ordem dos passos, mas em nosso caso o último passo
104
não pode ser revertido (k2 ≤ k não implica k2 + 2k ≤ k). O ponto para lembrar é: se
tentamos trabalhar de “forma reversa” partindo da conclusão até a hipótese, para obter
uma demonstração válida devemos ser capazes de reverter todas as implicações.
3. ∀n ∈ N, Dxxn = nxn−1 (aqui Dx representa diferenciação com respeito a x). Quando
n = 1 temos Dxx1 = 1x1 = 1 que é verdade. Agora, suponha k ∈ N e Dxxk = kxk−1.
Então
Dxx
k+1 = Dxxxk = 1xk + xkxk−1 (usando a regra do produto)
= xk + kxk
= (k + 1)xk,
que completa a demonstração. Assim, ∀n ∈ N, Dxxn = nxn−1.
4. Para cada número natural n, n3 − n é divisível por 3. Em símbolos escreveríamos ∀n ∈
N, 3|(n3
− n). Lembre-se que a|b se e somente se ∃c ∈ Z 3 b = ac. Quando n = 1 temos
3|13 − 1 ou 3|0 que é verdade pois 0 = 3 · 0. Agora suponha que k ∈ N e 3|(k3 − k). Isto
significa que existe um inteiro, digamos m, tal que k3 = k = 3m. Assim,
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1− k − 1
= (k3 − k) + 3(k2 − k)
= 3m+ 3(k2 − k)
= 3(m+ k2 − k),
assim (k + 1)3 − (k + 1) é claramente divisível por 3, que completa a demonstração.
O princípio da indução matemática pode ser generalizado da seguinte maneira: Seja S ⊆ Z
com a propriedade que
a) n0 ∈ S.
b) ∀n ∈ Z, n ∈ S → n+ 1 ∈ S, então {n ∈ Z : n ≥ n0} ⊆ S. Se n0 é o menor elemento de
S, então S = {n ∈ Z : n ≥ n0}.
Vemos que o PIM é um caso especial disto com n0 = 1. Como um exemplo da aplicação
disto, considere:
5. ∀n ∈ N, n ≥ 13, n2 < (32)n. Aqui nosso passo base é n = 13. Note que 132 = 169 < 194 =
(32)13, portanto nosso passo base está completo. Agora suponha que n > 13 e n2 < (
3
2)n.
Então
(n+ 1)2 =
(
1 + 1
n
)2
n2
<
(
1 + 113
)2
n2
<
3
2n
2
<
3
2
(3
2
)n
=
(3
2
)n+1
,
105
que completa a demonstração.
Agora o leitor terá a chance de praticar um pouco usando o princípio da indução mate-
mática.
Excercícios 3.2
1. Demonstre as seguintes proposições:
a) ∀n ∈ N, 12 + 22 + 32 + . . .+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1).
b) ∀n ∈ N, 13 + 23 + 33 + . . .+ n3 = (12n(n+ 1))2.
c) ∀n ∈ N, 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 1) = n2.
d) ∀n ∈ N, 1 + 2−1 + 2−2 + . . .+ 2−n ≤ 2.
e) ∀n ∈ N, n ≥ 2,∀x, y ∈ R, xn − yn = (x− y)(xn−1 + xn−2y + . . .+ xyn−2 + yn−1).
f) ∀n ∈ N, 2|n(n+ 1).
g) ∀n ∈ N, 7|(32n+1 + 2n+2) [Dica: 9 = 7 + 2].
h) ∀n ∈ N, 11|(8 · 102n + 6 · 102n−1 + 9).
i) ∀n ∈ N, Dnxxn = n!.
j) ∀n ∈ N, 2n > n.
k) ∀n ∈ N,∀a, b ∈ R, a > b > 0 implica an > bn.
l) ∀n ∈ N, nn ≥ n!.
m) ∀n ∈ N, 9|(2 · 10n + 3 · 10n−1 + 4).
n) ∀n ∈ N, (1 + 1−1)(1 + 2−1)(1 + 3−1) . . . (1 + n−1) = n+ 1.
o) ∀n ∈ N, 3 + 11 + 17 + . . .+ (8n− 5) = 4n2 − n.
p) ∀n ∈ N, 1 + 1/22 + 1/32 + . . .+ 1/n2 ≤ 2− 1/n.
q) ∀n ∈ N,∀a, b ∈ R, a ≥ 0, b ≥ 0, an + bn ≥ (a+ b/2)n.
r) ∀n ∈ N,∀a ∈ R, a 6= 1, 1 + a+ a2 + . . .+ an = (1− an+1)/(1− a).
s) ∀n ∈ N, (1 ·3 ·5) + (3 ·5 ·7) + . . .+ [(2n−1) · (2n+ 1) · (2n+ 3)] = n(2n3 + 8n2 + 7n−2).
t) ∀n ∈ N, 1/(1 · 3) + 1/(2 · 4) + . . . 1/[n · (n+ 2)] = (3n2 + 5n)/[4(n+ 1)(n+ 2)].
u) ∀n ∈ N, (1− 12)(1− 13) . . . (1− 1n) = 1n .
v) ∀n ∈ N, (1− 122 )(1− 132 ) . . . (1− 1n2 ) = 12(1 + 1n).
2. Mostre que para todos os números naturais n, n ≥ 2, existem inteiros não negativos a e b
tai que n = 2a+ 3b.
3. Encontre n0 tal que ∀n ∈ N, n ≥ n0, n2 < (54)n e demonstre que o resultados está correto.
4. Suponha que a sequência de números (an) recursivamente como se segue: a1 = 1 e para
n ≥ 2, seja an = an−1 + 2√an−1 + 1. Mostre que ∀n ∈ N, an é um inteiro.
5. Para n ∈ N, seja an = 1 + 2−1 + 3−1 + . . .+ n−1. Mostre que para cada M ∈ N existe um
n ∈ N tal que an > M .
106
6. Acredite se quiser:
Conjectura: ∀n ∈ N, n ≥ 783, 3n4 + 15n− 7 é par.
“Demonstração”: Quando n = 783, 3n4 + 15n − 7 = 1.127.634.377.502, que é par.
Agora suponha, n ≥ 783 e que 3n4 + 15n − 7 seja par, assim existe m ∈ N tal que
3n4 + 15n− 7 = 2m. Então
3(n+ 1)4 + 15(n+ 1)− 7 = 3(n4 + 4n3 + 6n2 + 4n+ 1) + 15n+ 15− 7
= 3n4 + 15n− 7 + 12n3 + 18n2 + 12n+ 18
= 2(m+ 6n3 + 9n2 + 6n+ 9),
que é par.
“Contraexemplo”: Quando n = 1000, 3n4+15n−7 é ímpar, pois 3n4+15n é claramente
divisível por 1000, assim quando o 7 é subtraído, o resultado será ímpar.
3.3 Formas Equivalentes do Princípio da Indução Matemática
Nesta seção discutiremos duas outras proposições que são equivalentes ao princípio da
indução matemática. Em algumas situações uma destas formas podem ser mais fáceis do que
as outras. O primeiro é conhecido como o princípio da boa ordenação (PBO).
Princípio da Boa Ordenação: Seja S um subconjunto não vazio de N. Então S tem
um elemento mínimo, isto é, existe um y ∈ S tal que para todo x ∈ S, y ≤ x.
O segundo é conhecido como a princípio da indução completa (PIC).
Princípio da Indução Completa: Se S é um subconjunto de N tal que:
a) 1 ∈ S.
b) ∀n ∈ N, {1, 2, 3, . . . , n} ⊆ S → n+ 1 ∈ S.
Então S = N.
Enquanto que o PIC parece estar fortemente relacionado ao PIM, a conecção entre estes
dois e o PBO não é tão clara. Como assumimos o PIM como um axioma poderíamos usá-lo
para demonstar os outros dois como teoremas. O que mostraremos, entretanto, é de alguma
forma mais forte, isto é, que os três princípios são equivalentes:
PIM → PBO,
PBO → PIC,
PIC → PIM.
107
As implicações acima mostrarão que os três princípios são logicamente equivalentes e
assim poderíamos ter escolhido um deles como axioma e demonstrado os outros dois como
teoremas. Para começar nosso programa de implicações, assumiremos que o princípio da
indução matemática vale e demonstrar:
Teorema 3.1. Seja S um subconjunto não vazio de N. Então S tem um elemento mí-
nimo.
Demonstração: Usaremos uma demonstração indireta. Suponha que S seja um subconjunto
não vazio de N que não tenha um elemento mínimo. Seja SC o complemento de S, isto é,
SC = N− S. Definimos T = {x ∈ N : ∀y ≤ x, y ∈ SC}. Então como 1 ∈ SC (se 1 ∈ S então 1
seria o elemento mínimo de S, pois ∀xN, 1 ≤ x), 1 ∈ T . Agora suponha k ∈ T . Pela maneira
que T está definido, significa que 1, 2, 3, . . . , k devem, necessariamente, ser elementos de SC .
O que podemos dizer sobre k+ 1? Se k+ 1 estivesse em S então seria o elemento mínimo de
S, o que é impossível pois estamos assumindo que S não tem um elemento mínimo. Portanto,
k + 1 ∈ SC que implica k + 1 ∈ T . Logo, pelo princípio da indução matemática, T = N. Isto
significa que SC = N que implica S = ∅, uma contradição. Portanto, S deve ter um elemento
mínimo.
No próximo teorema assumiremos que o princípio da boa ordenação vale e demonstrar o
princípio da indução completa:
Teorema 3.2. Seja S é um subconjunto de N tal que:
a) 1 ∈ S.
b) ∀n ∈ N, {1, 2, 3, . . . , n} ⊆ S → n+ 1 ∈ S.
Então S = N.
Demonstração: Suponha S como acima e considere SC . Se SC = ∅ então não há nada
por fazer, assim suponha que SC seja não vazio. Então pelo princípio da boa ordenação, SC
tem um elemento mínimo, digamos y. Mas y 6= 1 pois 1 ∈ S. O que podemos dizer sobre
1, 2, . . . , y − 1? Todos eles têm que pertencer a S, caso contrário um deles seria o elemento
mínimo de SC ao invés de y. Assim pela condição b) temos y ∈ S, uma contradição. Portanto,
SC deve ser vazio, que implica que S = N.
Seguindo em frente, finalizaremos nosso programa de implicações assumindo que o prin-
cípio da indução completa vale e provando o princípio da indução matemática:
Teorema 3.3. Seja S um subconjunto de N tal que:
a) 1 ∈ S.
108
b) ∀n ∈ N, n ∈ S → n+ 1 ∈ S.
Então S = N.
Demonstração: Suponha que S tenha as pro[riedade a) e b) acima. Usaremos o princípio da
indução completa para demonstrar que S = N. Como ∀n ∈ N, {1, 2, 3, . . . , n} ⊆ S → n ∈ S é
uma proposição obviamente verdadeira, temos
(∀n ∈ N, {1, 2, 3, . . . , n} ⊆ S → n ∈ S) ∧ (n ∈ N, n ∈ S → n+ 1 ∈ S)
que implica ∀n ∈ N, {1, 2, 3, . . . , n} ⊆ S → n + 1 ∈ S. Logo, S satisfaz as hipóteses do prin-
cípio da indução completa e consequentemente S = N.
Para ver como estas formulações alternativas do princípio da indução matemática podem
ser usados para demonstrar proposições, vamos demonstrar a já familiar:
∀n ∈ N, 1 + 2 + 3 + . . .+ n = n(n+ 1)2 .
usando o princípio da boa ordenação. Primeiro, seja p(n) “1 + 2 + 3 + . . .+ n = n(n+1)2 .” Seja
S = {n ∈ N : p(n) seja falsa}. Se S = ∅, não há nada que demonstrar, portanto suponha
que S 6= ∅. Assim, pelo princípio da boa ordenação, S tem um elemento mínimo, digamos x.
Como p(1) é obviamente verdade, 1 /∈ S, logo x 6= 1. Considere x− 1. Como x 6= 1, x− 1 ∈ N
e x− 1 /∈ S que implica que p(x− 1) é verdade. Assim temos
1 + 2 + 3 + . . .+ (x− 1) + x = (x− 1)x2 + x
= x
(
x− 1
2 + 1
)
= x(x+ 1)2 ,
ou p(x) é verdadeiro,
uma contradição, pois x ∈ S significa que p(x) é falso. Portanto, S deve
ser vazio, o que completa a demonstração.
Os passos envolvidos na demonstração acima são muito similares àqueles na demonstração
onde usamos o princípio da indução matemática e de fato o princípio da indução matemática
parece ser a escolha mais natural para este teorema. Para uma situação onde o princípio da
boa ordenação é mais natural vamos demonstrar que
√
2 é um número irracional:
Teorema 3.4.
√
2 é irracional.
Demonstração: Vamos proceder indiretamente. Suponha que
√
2 seja racional, isto é, su-
ponha que existem números naturais r, s tai que
√
2 = r/s. Então S = {k ∈ N : k =
n
√
2 para algum n ∈ N} é um conjunto de números naturais (em particular, s√2 = r en-
tão r ∈ S). Pelo princípio da boa ordenação, S tem um elemento mínimo, digamos x. Seja
y ∈ N tal que x = y√2. Agora y(√2 − 1) = x − y é um número natural menor que y (pois
0 <
√
2 − 1 < 1) assim z = y(√2 − 1)√2 é menor que x. Mas z = 2y − x logo z ∈ N e
z ∈ S. Portanto temos uma contradição, pois encontramos um elemento de S menor que que
109
x. Consequentemente, S deve ser vazio e assim
√
2 é irracional.
Agora mostraremos um outro exemplo do uso do princípio da boa ordenação para de-
monstrar um resultado familiar:
Teorema 3.5 (O algoritmo da divisão). Sejam a, b ∈ N. Então existem inteiros q, r tais
que
a = bq + r com 0 ≤ r < b.
Demonstração: Sejam a, b ∈ N e seja
S = {a− bk : k ∈ Z, a− bk ≥ 0}.
Note que S 6= ∅ pois a = a− b · 0 ∈ S. Pelo princípio da boa ordenação , S tem um elemento
mínimo, digamos r = a− bq. Claramente, r é um inteiro e a = bq+r, portanto tudo que resta
ser mostrado é que 0 ≤ r < b. Pela definição de S, r ≥ 0. Se r ≥ b, então
a− b(q + 1) = r − b ≥ 0,
logo r− b é um elemento de S. Mas r > r− b, uma contradição, assim devemos ter r < b.
Como o leitor provavelmente já notou, a chave para a demonstração usando o princípio
da boa ordenação est’a na seleção de um conjunto cujo elemento mínimo tem um papel
importante na demonstração. Uma ves que isto está pronto, a demonstração é usualmente
fácil de se seguir. Alguém precisa de um insight para fazer tal seleção corretamente. Este
insight vem da experiência e muita prática, portanto o leitor não deve se desencorajar se tais
demonstrações parecem difíceis em um primeiro momento.
Para um exemplo de um teorema usando o princípio da indução completa, considere:
Teorema 3.6. Seja n ∈ N. Então n = 1, n é um número primo ou n é um produto de
números primos.
Demonstração: Se tomássemos a sentença “n = 1, n é um número primo ou n é um pro-
duto de números primos” então desejaríamos mostrar ∀n ∈ N, p(n). Seja S = {n ∈ N :
p(n) é verdade}. Claramente 1 ∈ S. Agora suponha que 1, 2, . . . , k são todos elementos de
S e considere k + 1. Se k + 1 for um primo, então a demonstração estaria finalizada, então
suponha que k + 1 não seja primo. Como k + 1 não é um primo então deve ter fatores me-
nores que ele mesmo (e maiores que 1), digamos r e s, isto é, k + 1 = r · s. Agora r e s são
ambos elementos de S e assim são primos ou são produtos de primos. Mas então escrevemos
k+ 1 como um produto de primos, portanto k+ 1 ∈ S e pelo princípio de indução completa,
S = N.
A razão para que o princípio da indução completa foi mais útil aqui do que o princípio
da indução matemática foi que a fatoração de k + 1 não nos levou a k, mas a alguns outros
números menores e usando o princípio da indução matemática não teríamos tido como parte
de nossas hipóteses que esses números fossem elementos de S.
110
Excercícios 3.3
1. Da demonstração do teorema 3.1 definiu-se os conjuntos T e SC . Mostre que T ⊆ SC .
2. Mostre que Z não tem o princípio da boa ordenação válido, isto é, de um exemplo de um
subconjunto não vazio de Z que não tenha um elemento mínimo.
3. Use o princípio da boa ordenação para mostrar que
√
3 é irracional. Tente a mesma
técnica usada na demonstração do teorema 3.4. Mostre onde esta técnica falharia se ela
fosse utilizada para mostrar que
√
4 é irracional.
4. Use o princípio da boa ordenação para mostrar que
√
17 é irracional.
5. Demonstre os excercício 1a e 1a da seção 3.2 usando o princípio da boa ordenação.
6. Demonstre as seguintes proposiçõesusando qualquer método de sua preferência:
a) ∀n ∈ N, 14 + 24 + . . .+ n4 = n(n+ 1)(2n+ 1)(3n
2 + 3n− 1)
30 .
b) ∀n ∈ N, 15 + 25 + . . .+ n5 = n
2(n+ 1)2(2n2 + 2n− 1)
12 .
c) ∀n ∈ N, 16 + 26 + . . .+ n6 = n
7
7 +
n6
2 +
n5
2 −
n3
6 +
n
42 .
d) ∀n ∈ N, 1 · 2 + 2 · 3 + . . .+ n(n+ 1) = n(n+ 1)(n+ 2)3 .
e) ∀n ∈ N, 2304|(72n − 48n− 1).
f) ∀n ∈ N, 1√
1
+ 1√
2
+ . . .+ 1√
n
≤ 2√n− 1.
g) ∀n ∈ N, ∀k ∈ N, 1k + 2k + . . .+ nk ≤ nk+1.
7. Sejam α, β as soluções da equação x2 − x − 1 = 0, com α > 0. Para todo n ∈ N, seja
Fn = (αn − βn)/(α− β).
a) Encontre F1, F3 e F4. [Nota: Estes números são conhecidos como os números de Fibo-
nacci.]
b) Mostre que ∀n ∈ N, Fn+2 = Fn+1 +Fn. [Nota: Esta recorrência será útil para o restante
deste excercício.]
c) Mostre que ∀n ∈ N, Fn é um inteiro.
d) Mostre que ∀n ∈ N, Fn < (138 )n.
e) Mostre que ∀n ∈ N, F 2n+1 − FnFn+2 = (−1)n.
f) Mostre que ∀n ∈ N, 2|F3n, 2 6 | F3n+1 e 2 6 | F3n+2.
g) Mostre que ∀n ∈ N,
n∑
i=1
Fi = Fn+2 − 1.
h) Mostre que ∀m,n ∈ N, FmFn + Fm+1Fn+1 = Fm+n+1.
111
i) Suponha que definimos Sn = F 21 + F 22 + . . .+ F 2n . Encontre uma fórmula fechada para
Sn e demonstre que seu resultados está correto.
8. Suponha que definimos a sequência de números (rn) recursivamente como se segue: r1 = 1,
r2 = 1/4 e para n ≥ 2,
rn+1 =
rnrn−1
rn + rn−1 + 2
√
rnrn−1
.
Mostre que ∀n ∈ N, rn = F−2n+1. (Fn do excercício anterior).
9. Mostre que para todo n ∈ N :
a) 6400|(92n − 80n− 1).
b) 3|(4n + 2).
c) 13|(42n+1 + 3n+2).
d) 24|(16n + 93n−2 − 1).
10. Extenda o algoritmo da divisão (teorema 3.5) para incluir o caso quando a ≤ 0. Também
mostre que q e r são únicos.
11. Defina a sequência (an) por a1 = a2 = 1, e para n ≥ 3, an = 4an−1 + 5an−2. Mostre que
para n ≥ 3, an = 1155n + 23(−1)n+1.
12. Acredite se quiser:
Conjectura: ∀n ∈ N, n é um primo ou ∃p, q ∈ Z 3 n = 2p3q.
“Demonstração”: Claramente a assercão é verdadeira quando n = 1, pois 1 = 2030.
Agora, suponha que isto seja verdade quando 1, 2, . . . , k. Se k+1 for primo, a demonstração
estará terminada, potanto suponha que k + 1 não seja primo. Então k + 1 = ab, onde
1 < a < k + 1 e 1 < b < k + 1. Pela hipótese de indução, a = 2p3q e b = 2r3s para
p, q, r, s ∈ Z. Assim k + 1 = 2p+r3q+s, que completa a demonstração.
“Contraexemplo”: Considere 25. 25 não é primo e como 2 6 | 25 e 3 6 | 25, 25 6= 2p3q para
quaisquer inteiros p e q.
112
Exercícios Resolvidos
Exercícios 1.2
1. Determine os valores verdade das seguintes proposições
a) 3 ≤ 7 e 4 é um inteiro ímpar.
Resposta: F
b) 3 ≤ 7 ou 4 é um inteiro ímpar.
c) 2 + 1 = 3 mas 4 < 4.
Resposta: F (lembre que “mas” tem significado lógico de “e”)
d) 5 é ímpar ou divisível por 4.
Resposta: V
e) Não é verdade que 2 + 2 = 5 e 5 > 7.
f) Não é verdade que 2 + 2 = 5 ou 5 > 7.
Resposta: V
g) 3 ≥ 3.
Resposta: V
2. Suponha que representamos “7 é um número par” por p e “3+1 = 4” por q e “24 é diísivel
por 8” por r.
a) Escreva na forma símbólica e determine os valores verdade para:
i) 3 + 1 6= 4 e 24 é divísivel por 8.
Resposta: ¬q ∧ r. F.
ii) Não é verdade que 7 é ímpar ou 3 + 1 = 4.
Resposta: ¬(¬p ∨ q). F.
iii) 3 + 1 = 4 mas 24 não é divísivel por 8.
b) Escreva o que vem a seguir em palavras e determine os valores verdade para:
i) p ∨ ¬ q.
Resposta: 7 é um número par ou 3 + 1 6= 4. Falso.
ii) ¬ (r ∧ q).
iii) ¬ r ∨ ¬ q.
3. Construa a tabela verdade para:
a) ¬ p ∨ q.
113
114
b) ¬ p ∧ q.
c) (¬ p ∨ q) ∧ r.
d) ¬ (p ∧ q).
Resposta:
p q ¬ p ∧ q
V V F V V V
V F V V F F
F V V F F V
F F V
F F F
e) ¬ p ∧ ¬ q.
f) ¬ p ∨ ¬ q.
Resposta:
p q ¬ p ∨ ¬ q
V V F V V F V
V F F V V V F
F V V F V F V
F F V F V V F
g) p ∨ ¬ p.
h) ¬ (¬ p).
4. Construa negações úteis para:
a) 3− 4 < 7. Resposta: 3− 4 ≥ 7.
b) 3 + 1 = 5 e 2 ≤ 4.
c) 8 é divisível por 3 mas 4 não é.
5. Suponha que definimos o conectivo ? dizendo que p ? q é verdade somente quando q é
verdade e p é falso, e é falso caso contrário.
a) Escreva a tabela verdade de p ? q.
Resposta:
p q p ? q
V V F
V F F
F V V
F F F
115
b) Escreva a tabela verdade de q ? p.
Resposta:
p q q ? p
V V F
V F V
F V F
F F F
c) Escreva a tabela verdade de (p ? p) ? q.
Resposta:
p q p ? p ? q
V V F V V
V F F F F
F V F V V
F F F F F
6. Vamos denotar o “ou exclusivo” às vezes utilizado nas conversas do dia a dia por ⊕.
Portanto, p ⊕ q será verdade exatamente quando uma condição de p, q é verdade e falso
caso contrário.
a) Escreva a tabela verdade de p⊕ q.
Resposta:
p q p ⊕ q
V V F
V F V
F V V
F F F
b) Escreva a tabela verdade de p⊕ p e (p⊕ q)⊕ q.
Resposta:
p p p ⊕ p
V V F
F F F
p q (p ⊕ q) ⊕ q
V V V F V V V
V F V V F V F
F V F V V F V
F F F F F F F
116
c) Mostre que “e/ou” realmente significa “e ou ou”, isto é, a tabela verdade para (p∧q)⊕
(p⊕ q) é a mesma tabela verdade que (p ∨ q).
Resposta:
p q p ∨ q (p ∧ q) ⊕ (p⊕ q)
V V V V V F
V F V F V V
F V V F V V
F F F F F F
d) Mostre que não faz diferença se tomamos o “ou” em “e/ou” como sendo inclusivo (∨)
ou exclusivo (⊕).
Resposta:
p q (p ∧ q) ⊕ (p⊕ q) (p ∧ q) ∨ (p ∨ q)
V V V V F V V V
V F F V V F V V
F V F V V F V V
F F F F F F F F
7. Explique a seguinte piada: Ansioso, o pai pergunta ao parteiro: “Doutor, é homem ou
mulher?” O médico responde: “Sim.” Resposta: Sejam p a proposição “é homem” e q
a proposição “é mulher”. Portanto, a pergunta feita pelo pai é p∨q? Analisemos
o caso, p é verdade, então q é falsa, neste caso p∨ q é verdade. Por outro lado,
se p é falsa, q é verdade, portanto p ∨ q é verdade. Por isso o médico responde
sim.
Exercícios 1.3
1. Quais das seguintes proposições são logicamente equivalentes?
a) p ∧ ¬q.
b) p→ q.
c) ¬(¬p ∨ q).
d) q → ¬p.
e) ¬p ∨ q.
f) ¬(p→ q).
g) p→ ¬q.
h) ¬p → ¬q. Resposta: a), c) e f) são logicamente equivalentes, b) e e) são lógi-
camente equivalente, d) e g) são logicamente equivalentes e h) não é lógi-
camente equivalente a nenhum outro.
2. Mostre que os seguintes pares são logicamente equivalentes:
a) p ∧ (q ∨ r); (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) .
117
b) p ∨ (q ∧ r); (p ∨ q) ∧ (p ∨ r).
c) p↔ q; (p→ q) ∧ (q → p).
d) p→ q; ¬q → ¬p.
3. Mostre que os seguintes pares não são logicamente equivalentes:
a) ¬(p ∧ q); ¬p ∧ ¬q.
Resposta: Usa-se as tabelas verdade ou, apenas, observe que quando p é V e
q é F então ¬(p ∧ q) é V enquanto ¬p ∧ ¬q é F.
b) ¬(p ∨ q); ¬p ∨ ¬q.
Resposta: Usa-se as tabelas verdade ou, apenas, observe que quando p é V e
q é F então ¬(p ∨ q) é F enquanto ¬p ∨ ¬p é V.
c) p→ q; q → p.
Resposta: Usa-se as tabelas verdade ou, apenas, observe que quando p é V e
q é F então (p→ q) é F enquanto q→ p é V.
d) ¬(p→ q); ¬p→ ¬q.
Resposta: Usa-se as tabelas verdade ou, apenas, observe que quando p é V e
q é V então ¬(p→ q) é F enquanto ¬p→ ¬q é V.
4. Determine:
a) A contrapositiva de ¬p→ q.
Resposta: ¬q→ p.
b) A recíproca de ¬q → p.
Resposta: p→ ¬q.
c) O inverso do contrário de q → ¬p.
d) A negação de p→ ¬q.
Resposta: ¬(p→ ¬q).
e) A recíproca de ¬p ∧ q.
5. Indique quais das proposições a seguir são verdadeiras:
a) Se 2 + 1 = 4 então 3 + 2 = 5. Resposta: V
b) Vermelho é branco se, e somente se, verde é azul. Resposta: V
c) 2 + 1 = 3 e 3 + 1 = 5 implicam que 4 é ímpar. Resposta: V
d) Se 4 é ímpar então 5 é ímpar. Resposta: V
e) Se 4 é ímpar então 5 é par. Resposta: V
f) Se 5 é ímpar então 4 é ímpar. Resposta: F
6. Explique ou dê exemplos porque nenhum dos exemplos a seguir existem:
a) Uma implicação verdadeira com uma conclusão falsa.Resposta: Se 2 + 3 = 5 então
4 < 2.
b) Uma implicação verdadeira com uma conclusão verdadeira.
118
c) Uma implicação falsa com uma conclusão verdadeira.
d) Uma implicação falsa com uma conclusão falsa.
e) Uma implicação falsa com uma hipótese falsa.
f) Uma implicação falsa com uma hipótese verdadeira.
g) Uma implicação verdadeira com uma hipótese verdadeira.
h) Uma implicação verdadeira com uma hipótese falsa.
7. Traduza em símbolos:
a) p sempre que q.
b) p a menos que q.
8. Dê a negação para p↔ q na forma que não envolva uma bicondicional.
Resposta: (p↔ q)⇔ [(p→ q) ∧ (q→ p)]. Mas (p→ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q)⇔ (¬p ∨ q). As-
sim, (p↔ q)⇔ [(¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p)]. Logo, (¬p↔ ¬q)⇔ [(p ∨ ¬q) ∧ (q ∨ ¬p)].
9. Suponha que p, ¬q e r são verdade. Quais a seguir são proposições verdadeiras?
a) p→ q. Resposta: F
b) q → p. Resposta: V
c) p→ (q ∨ r). Resposta: V
d) p↔ q. Resposta: F
e) p↔ r. Resposta: V
f) (p ∨ q)→ p. Resposta: V
g) (p ∧ q)→ q. Resposta: V
10. Note que temos cinco “conectivos” lógicos: ∧, ∨, →, ↔ e ¬, cada qual corresponde a uma
construção da linguagem comum. Do ponto de vista lógico isto é de alguma forma um
deperdício, desde que podemos expressar todos estes em termos de, apenas, ¬ e ∧. Ainda
mais, se definirmos p|q para ser falsa quando ambos p e q são verdadeiros, e verdadeiro
caso contrário, podemos expressar todas as cinco formas em termos deste único conectivo
(| é conhecido como Conectivo de Sheffer ou Conectivo Nou). Verifique parcialmente que
os argumentos dados acima por
a) Econtrando a proposição a qual equivale a p ∨ q usando apenas ∧ e ¬.
Resposta: (p ∨ q)⇔ ¬(¬p ∧ ¬q).
b) Escrevendo a tabela verdade para p|q.
Resposta:
p q p | q
V V F
V F V
F V V
F F V
119
c) Mostrando que p|p é logicamente equivalente a ¬p.
Resposta:
p p | p ¬p
V F F
F V V
d) Mostrando que (p|q)|(q|p) é logicamente equivalente a p ∧ q.
Resposta:
p q (p | q ) | (q | p ) p ∧ q
V V V F V V V F V V
V F V V F F F V V F
F V F V V F V V F F
F F F V F F F V F F
11. Escreva a recíproca, a negação e a contrapositiva das seguintes afirmações:
a) Cão que ladra não morde.
b) Nem tudo que reluz é ouro.
c) O que não mata engorda.
d) Quem não tem cão caça com gato.
e) Em boca fechada não entra mosca.
f) Onde há fumaça, há fogo.
Exercícios 1.4
1. Verifique que 7 a), 9 b), 13 e 14 da lista acima são tautologias.
Resposta: 7 a) da lista
p q r [(p ∨ (q ∨ r)] ↔ [(p ∨ q) ∨ r)]
V V V V V V V V V V
V V F V V V V V V F
V F V V V V V V V V
V F F V V F V V V F
F V V F V V V V V V
F V F F V V V V V F
F F V F V V V F V V
F F F F F F V F F F
Resposta: 9 b) da lista
p (p ∧ c) ↔ c
V F V F
F F V F
120
Resposta: 13 da lista
p q p→ q ↔ (¬q → ¬p )
V V V V F V F
V F F V V F F
F V V V F V V
F F V V V V V
Resposta: 14 da lista
p q p→ q ↔ (p ∧ ¬q → c)
V V V V V F F V F
V F F V V V V F F
F V V V F F F V F
F F V V F F V V F
2. Determine quais das seguintes proposições têm alguma forma presente na lista de tauto-
logias (por exemplo, (¬q ∧ p)→ ¬q tem a forma 18 da lista) e nestes casos, indique qual
forma:
a) ¬q → (¬q ∨ ¬p). Resposta: 18 (simplificação)
b) q → (q ∧¬p). Resposta: Esta não é uma tautologia, portanto não está na lista.
c) (r → ¬p)↔ (¬r ∨ ¬p). Resposta: 12a (implicação)
d) (p→ ¬q)↔ ¬(¬p→ q). Resposta: Esta não é uma tautologia, portanto não está
na lista.
e) (¬r → q)↔ (¬q → r). Resposta: 13 (contrapositiva)
f) (p→ (¬r ∨ q))↔ ((r ∧ ¬q)→ ¬p). Resposta: 13 (contrapositiva)
g) r → ¬(q ∧ ¬r). Resposta: 17 (adição)
h) (¬q ∨ p) ∧ q)→ p. Resposta: 22 (silogismo disjuntivo)
3. Dê exemplos ou diga porque as proposições a seguir não existem:
a) Uma implicação lógica com uma falsa conclusão.
Resposta: Se 2 < 1 e 3 = 2 + 1 então 2 < 1. Esta implicação, (p ∧ q)→ p, é uma
implicação lógica:
p q p ∧ q → p
V V V V V
V F F V V
F V F V F
F F F V F
b) Uma implicação lógica com uma conclusão verdadeira.
c) Uma implicação
lógica com uma hipótese verdadeira e uma conclusão falsa.
121
4. Quais das seguintes são corretas?
a) (p → (q ∨ r)) ⇒ (p → q). Resposta: Não é correto. Pode-se provar o contrário
com as tabelas verdade ou observando que quando p é V, q é F e r é V
então (p→ (q ∨ r)) é V, mas (p→ q) é F.
b) ((p ∨ q)→ r)⇒ (p→ r). Resposta: Correto:
p q r [(p ∨ q → r] → (p→ r)
V V V V V V V V
V V F V F F V F
V F V V V V V V
V F F V F F V F
F V V V V V V V
F V F V F F V V
F F V F V V V V
F F F F V F V V
c) (p ∨ (p ∧ q)) ⇐⇒ p. Resposta: Correto:
p q [p ∨ (p ∧ q)] ↔ p
V V V V V V V
V F V V F V V
F V F F F V F
F F F F F V F
d) ((p → q) ∧ ¬p) ⇒ ¬q. Resposta: Não é correto. Pode-se provar o contrário
com as tabelas verdade ou observando que quando p é F e q é V então
(p→ q) ∧ ¬p é V, mas ¬q é F.
5. Quais das seguintes são tautologias, contradições ou nenhuma das duas?
a) (p ∧ ¬q)→ (q ∨ ¬p). Resposta: Nenhuma das duas
p q (p ∧ ¬q) → (q ∨ ¬p)
V V V F F V V V F
V F V V V F F F F
F V F F F V V V V
F F F F V V F V V
b) ¬p→ p. Resposta: Nenhuma das duas
p ¬ p → p
V F V V
F V F F
c) ¬p↔ p. Resposta: Contradição
122
p ¬ p ↔ p
V F F V
F V F F
d) (p ∧ ¬p)→ p. Resposta: Tautologia
p (p ∧ ¬p ) → p
V V F F V V
F F F V V F
e) (p ∧ ¬p)→ q. Resposta: Tautologia
p q (p ∧ ¬p ) → q
V V V F F V V
V F V F F V F
F V F F V V V
F F F F V V F
f) (p ∧ ¬q)↔ (p→ q). Resposta: Contradição
p q (p ∧ ¬q ) ↔ (p→ q)
V V V F F F V
V F V V V F F
F V F F F F V
F F F F V F V
g) [(p→ q)↔ r]↔ [p→ (q ↔ r)]. Resposta: Nenhuma das duas
p q r [(p→ q) ↔ r] ↔ [p → (q ↔ r)]
V V V V V V V V V V
V V F V F F V V F F
V F V F F V V V F F
V F F F V F V V V V
F V V V V V V F V V
F V F V F F F F V F
F F V V V V V F V F
F F F V F F F F V V
6. Quais dos seguintes são corretos?
a) (p↔ q)⇒ (p→ q). Resposta: Correto, pois (p↔ q)→ (p→ q) é uma tautologia,
vide a tabela verdade abaixo:
123
p q (p↔ q) → (p→ q)
V V V V V
V F F V F
F V F V V
F F V V V
b) (p → q) ⇒ (p ↔ q). Resposta: Incorreto, pois (p→ q)→ (p↔ q) não é uma
tautologia, vide a tabela verdade abaixo:
p q (p→ q) → (p↔ q)
V V V V V
V F F V F
F V V F F
F F V V V
c) (p→ q)⇒ q. Resposta: Incorreto, pois (p→ q)→ q não é uma tautologia, vide
a tabela verdade abaixo:
p q (p→ q) → q
V V V V V
V F F V F
F V V V V
F F V F F
7. → é associoativa? Isto é ((p→ q)→ r) ⇐⇒ ((p→ (q → r)).
Resposta: → não é associativa, pois
p q r [(p→ q) → r] ↔ [p → (q → r)]
V V V V V V V V V V
V V F V F F V V F F
V F V F V V V V V V
V F F F V F V V V V
F V V V V V V F V V
F V F V F F F F V F
F F V V V V V F V V
F F F V F F F F V V
8. ↔ é associoativa? Isto é ((p↔ q)↔ r) ⇐⇒ ((p↔ (q ↔ r)).
Resposta: ↔ é associativa, pois
124
p q r [(p↔ q) ↔ r] ↔ [p ↔ (q ↔ r)]
V V V V V V V V V V
V V F V F F V V F F
V F V F F V V V F F
V F F F V F V V V V
F V V F F V V F F V
F V F F V F V F V F
F F V V V V V F V F
F F F V F F V F F V
9. Quais das seguintes proposições verdadeiras são tautologias?
a) Se 2 + 2 = 4 então 5 é ímpar. Resposta: Não é uma tautologia
b) 3 + 1 = 4 e 5 + 3 = 8 implica 3 + 1 = 4. Resposta: Tautologia
c) 3 + 1 = 4 e 5 + 3 = 8 implica 3 + 2 = 5. Resposta: Não é uma tautologia
d) Vermelho é amarelo ou vermelho não é amarelo. Resposta: Tautologia
e) Vermelho é amarelo e vermelho é vermelho. Resposta: Não é uma tautologia
f) 4 é ímpar ou 2 é par e 2 é ímpar implica que 4 é ímpar. Resposta: Tautologia
g) 4 é ímpar ou 2 é par e 2 é ímpar implica que 4 é par. Resposta: Não é uma tautologia
10. Quais das seguintes são consequências lógicas do conjunto de proposições p ∨ q, r → ¬q,
¬p?
a) q.
b) r.
c) ¬p ∨ s.
d) ¬r.
e) ¬(¬q ∧ r).
f) q → r.
Exercícios 1.5
1. Determine a validade dos seguintes argumentos usando tabelas verdade:
a)
p→ q
¬p ∨ q
q → p.
Resposta: Inválido,
p q (p→ q) ∧ (¬p ∨ q) → (q → p)
V V V V V V V
V F F F F V V
F V V V V F F
F F V V V V V
125
b)
p ∨ q
r → q
q
¬r.
Resposta: Inválido, pode-se mostrar usando a tabela verdade ou observar
que quando p é V, q é V e r é V ou seja, as hipótese são verdadeiras mas a
conclusão é falsa.
c)
p ∨ ¬q
¬p
¬q.
Resposta: Válido,
p q (p ∨ ¬q) ∧ ¬p → ¬q
V V V F F V F
V F V F F V V
F V F F V V F
F F V V V V V
2. Dê exemplos nos ítens a seguir sempre que possível. Se não for possível, diga porque:
a) Um argumento inválido com conclusão falsa.
b) Um argumento válido com uma conclusão verdadeira.
c) Um argumento inválido com uma conclusão verdadeira.
d) Um argumento válido com uma conclusão falsa.
e) Um argumento válido com hipóteses verdeiras e uma conclusão falsa. Resposta: Não há
tal exemplo porque se um argumento é válido e as hipóteses são verdadeiras
então a conclusão deve necessariamente ser verdadeira.
f) Um argumento inválido com hipóteses verdeiras e uma conclusão falsa.
g) Um argumento válido com hipóteses falsas e uma conclusão verdadeira. Resposta:
2 + 2 = 5
2 + 2 = 5 implica 1 < 3
1 < 3.
3. Determine a validade dos seguintes argumentos usando o princípios de demonstração ou
mostre por contra exemplo que é inválido:
a)
¬p ∨ q
p
q.
Resposta:
Proposição Razão
1. ¬p ∨ q hipótese
2. p→ q consequência lógica de 1.
3. p hipótese.
4. ¬p consequência lógica de 2. e 3.
126
b)
p→ q
r → ¬q
p→ ¬r.
Resposta:
Proposição Razão
1. r → ¬q hipótese
2. q → ¬r consequência lógica de 1. (contrapositiva)
3. p→ q hipótese.
4. p→ ¬r consequência lógica de 3. e 2.
c)
¬p ∨ q
¬r → ¬q
p→ ¬r.
Resposta: Inválido, se p é V, r é V e q é V, então todas as hipóteses são verdade mas
a conclusão é falsa.
d)
q ∨ ¬p
¬q
p.
Resposta: Inválido, se p é F e q é F, então todas as hipóteses são verdade mas a
conclusão é falsa.
e) ¬p
p→ q.
Resposta:
Proposição Razão
1. ¬(p→ q) hipótese (negação da conclusão na prova indireta)
2. p ∧ ¬q consequência lógica de 1.
3. p consequência lógica de 2.
4. ¬p hipótese
5. p ∧ ¬p consequência lógica de 3. e 4. (contradição)
6. p→ q consequência lógica de 5. (prova indireta)
f)
(p ∧ q)→ (r ∧ s)
¬r
¬p ∨ ¬q.
Resposta:
127
Proposição Razão
1. ¬(¬p ∨ ¬q) hipótese (negação da conclusão na prova indireta)
2. p ∧ q consequência lógica de 1.
3. (p ∧ q)→ (r ∧ s) hipótese
4. r ∧ s consequência lógica de 2. e 3.
5. r consequência lógica de 4.
6. ¬r hipótese
7. r ∧ ¬r consequência lógica de 5. e 6. (contradição)
8. ¬p ∨ ¬q consequência lógica de 7. (prova indireta)
g)
p→ q
¬q → ¬r
s→ (p ∨ r)
s
q.
Resposta:
Proposição Razão
1. ¬q → ¬r hipótese
2. r → q consequência lógica de 1.
3. p→ q hipótese
4. (p ∨ r)→ q consequência lógica de 2. e 3.
5. s hipótese
6. s→ (p ∨ r) hipótese
7. (p ∨ r) consequência lógica de 5. e 6.
8. q consequência lógica de 4. e 7.
h)
p ∨ q
q → ¬r
¬r → ¬p
¬(p ∧ q).
Resposta:
Proposição Razão
1. p ∧ q hipótese (negação da conclusão na prova indireta)
2. ¬(p→ ¬q) consequência lógica de 1.
3. q → ¬r hipótese
4. r → ¬q consequência lógica de 3.
5. ¬r → ¬p hipótese
6. p→ r consequência lógica de 5.
7. p→ ¬q consequência lógica de 6. e 4.
8. (p→ ¬q) ∧ ¬(p→ ¬q) consequência lógica de 7. e 2. (contradição)
9. ¬(p ∧ q) consequência lógica de 8. (prova indireta)
Note que a hipótese p ∨ q não foi utilizada.
128
i)
p→ q
¬r → ¬q
r → ¬p
¬p.
Resposta:
Proposição Razão
1. p hipótese (negação da conclusão na prova indireta)
2. ¬r → ¬q hipótese
3. q → r consequência lógica de 2.
4. p→ q hipótese
5. p→ r consequência lógica de 4. e 3.
6. r → ¬p hipótese
7. p→ ¬p consequência lógica de 5. e 6.
8. ¬p consequência lógica de 1. e 7.
9. p ∧ ¬p consequência lógica de 1. e 8. (contradição)
10. ¬p consequência lógica de 9. (prova indireta)
j) p→ ¬p¬p.
Resposta:
Proposição Razão
1. p hipótese (negação da conclusão na prova indireta)
2. p→ ¬p hipótese
3. ¬p consequência lógica de 1. e 2.
4. p ∧ ¬p consequência lógica de 1. e 3. (contradição)
5. ¬p consequência lógica de 4. (prova indireta)
k)
p ∨ q
p→ r
¬r
q.
Resposta:
Proposição Razão
1. ¬r hipótese
2. p→ r hipótese
3. ¬r → ¬p consequência lógica de 2.
4. ¬p consequência lógica de 1. e 3.
5. p ∨ q hipótese
6. q consequência lógica de 4. e 5.
129
l)
p
q → ¬p
¬q → (r ∨ ¬s)
¬r
¬s.
Resposta:
Proposição Razão
1. q → ¬p hipótese
2. p→ ¬q consequência lógica de 1.
3. ¬q → (r ∨ ¬s) hipótese
4. p→ r ∨ ¬s consequência lógica de 2. e 3.
5. p hipótese
6. r ∨ ¬s consequência lógica de 4. e 5.
7. ¬r hipótese
8. ¬s consequência lógica de 6. e 7.
m)
p→ (q ∨ s)
q → r
p→ (r ∨ s).
Resposta:
Proposição Razão
1. p→ (q ∨ s) hipótese
2. ¬q ∧ ¬s→ ¬p consequência lógica de 1.
3. (¬q → (¬s→ ¬p)) consequência lógica de 2.
4. q → r hipótese
5. ¬r → ¬q consequência lógica de 4.
6. (¬r → (¬s→ ¬p)) consequência lógica de 5. e 3.
7. ¬r ∧ ¬s→ ¬p consequência lógica de 6.
8. p→ (r ∨ s) consequência lógica de 7.
n)
p→ ¬q
q → p
r → p
¬q.
Resposta:
Proposição Razão
1. q hipótese (negação da conclusão na prova indireta)
2. q → p hipótese
3. p→ ¬q hipótese
4. q → ¬q consequência lógica de 2. e 3.
5. ¬q consequência lógica de 1. e 4.
6. q ∧ ¬q consequência lógica de 1. e 5. (contradição)
7. ¬q consequência lógica de 6. (prova indireta)
130
Note que a hipótese r → p não foi utilizada.
o)
p→ q
r → s
¬(p→ s)
q ∧ ¬r.
Resposta:
Proposição Razão
1. ¬(q ∧ ¬r) hipótese (negação da conclusão na prova indireta)
2. ¬q ∨ r consequência lógica de 1.
3. p→ q hipótese
4. ¬q → ¬p consequência lógica de 3.
5. r → s hipótese
6. (¬q ∨ r)→ (¬p ∨ s) consequência lógica de 4. e 5.
7. ¬p ∨ s consequência lógica de 2. e 6.
8. p→ s consequência lógica de 7.
9. ¬(p→ s) hipótese
10. (p→ s) ∧ ¬(p→ s) consequência lógica de 8. e 9. (contradição)
11. q ∧ ¬r consequência lógica de 10. (prova indireta)
Exercícios 1.6
1. Traduza as seguintes sentenças para a forma simbólica, indicando as escolhas apropriadas
para domínios:
a) Existe um inteiro x tal que 4 = x+ 2.
Resposta: Seja Z o conjunto de números inteiros e p(x) “4 = x + 2.” Então a
proposição é ∃x em Z 3 p(x).
b) Para todos inteiros x, 4 = x+ 2.
Resposta: Seja Z o conjunto de números inteiros e p(x) “4 = x + 2.” Então a
proposição é ∀x em Z,p(x).
c) Todo triângulo equilátero é equiângulo.
d) Todos estudantes gostam de lógica.
Resposta: Sejam D o conjunto de todos os estudantes e p(x) “x gosta de
lógica.” Então a proposição é ∀x em D,p(x).
e) Alguns estudantes não gostam de lógica.
f) Nenhum homem é uma ilha.
g) Todo mundo que entende lógica gosta dela.
Resposta: Sejam D o conjunto de todas as pessoas, p(x) “x entende lógica” e
q(x) “x gosta de lógica” Então a proposição é ∀x em D,p(x)→ q(x).
h) Cada pessoa tem uma mãe.
i) Entre todos os inteiros existem uns que são primos.
j) Alguns inteiros são pares e divisíveis por 3.
131
k) Alguns inteiros são pares ou divisíveis por 3.
Resposta: Sejam D o conjunto dos inteiros, p(x) “x é par” e q(x) “x é divisível
por 3.” Então a proposição é ∃x em D 3 p(x) ∨ q(x).
l) Todos grupos cíclicos são abelianos.
Resposta: Sejam D o conjunto dos grupos, p(x) “x é um grupo cíclico” e q(x)
“x é grupo abeliano.” Então a proposição é ∀x em D,p(x)→ q(x).
m) Pelo menos uma das letras de banana é uma vogal.
Resposta: Sejam D o conjunto de todas as letras, p(x) “x uma das letras de
banana” e q(x) “x é uma vogal” Então a proposição é ∃x em D 3 p(x) ∧ q(x).
n) Um dia no próximo mês é uma sexta-feira.
o) x2 − 4 = 0 tem uma solução positiva.
p) Cada solução de x2 − 4 = 0 é positiva.
Resposta: Sejam D o conjunto dos números reais, p(x) “x é solução de
x2 − 4 = 0” e q(x) “x é positiva.” Então a proposição é ∀x em D,p(x)→ q(x).
q) Nenhuma solução de x2 − 4 = 0 é positiva.
r) Um candidato será o vencedor.
s) Cada elemento do conjunto A é um elemento do conjunto B.
Resposta: Seja q(x) “x é um elemento do conjunto B.” Então a proposição é
∀x em A,q(x).
2. Encontre a negação para cada uma das proposições no exercício acima.
Resposta d): ∃x em D 3 ¬p(x). Existe um estudante que não gosta de lógica.
Resposta k): ∀x em D,¬(p(x) ∨ q(x)). Todos os inteiros são ímpares e não divisí-
veis por 3.
Resposta p): ∃x em D 3 ¬(p(x)→ q(x)). Existe uma solução de x2 − 4 = 0 que não
é positiva.
3. Sejam D o conjunto dos números naturais (isto é, D = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}), p(x) “x é par”,
q(x) “x é divisível por 3” e r(x) “x é divísivel por 4.” Para cada uma das proposições abaixo,
expresse em Português, determine seu valor verdade e dê uma negação em Português.
a) ∀x em D, p(x).
b) ∀x em D, p(x) ∨ q(x).
c) ∀x em D, p(x) → q(x). Resposta: Cada número natural par é divisível por 3;
falso; existe um número natural par que não é divisível por 3.
d) ∀x em D, p(x) ∨ r(x).
e) ∀x em D, p(x) ∧ q(x).
f) ∃x em D 3 r(x).
g) ∃x em D 3 p(x) ∧ q(x).
h) ∃x em D 3 p(x)→ q(x).
132
i) ∃x em D 3 q(x) → q(x + 1). Resposta: Existe um número natural tal que se é
divisível por 3 então o próximo número natural é divisível por 3; verdade;
todos números naturais são divisíveis por 3 e o próximo número natural não
é divisível por 3.
j) ∃x em D 3 p(x)↔ q(x+ 1).
k) ∀x em D, r(x)→ p(x).
l) ∀x em D, p(x)→ ¬q(x).
m) ∀x em D, p(x)→ p(x+ 2).
n) ∀x em D, r(x)→ r(x+ 4).
o) ∀x em D, q(x)→ q(x+ 1).
4. Para cada uma das proposições do exercício acima (se possível) dê um exemplo de um
domínio D′ tal que as proposições tenham o valor verdade oposto daquele que tinha em
D, o conjunto dos números naturais.
Resposta c): Se D′ é o conjunto dos números naturais divisíveis por 3 então esta
proposição será verdade.
5. As seguintes proposições são sempre, às vezes ou nunca verdade? Dê exemplos de domínios
D e a função proposicional p ou razões para justificar suas respostas.
a) [∀x em D, p(x)]→ [∃x em D 3 p(x)].
b) [∃x em D 3 p(x)] → [∀x em D, p(x)]. Resposta: Às vezes correta; será verdade
quando D contém no máximo um elemento ou se p(x) é verdade para todo
x em D e será falso se existir pelo menos um elemento x em D para o qual
p(x) é verdade e um elemento em D para o qual é falso.
c) [∀x em D,¬p(x)]→ ¬[∀x em D, p(x)].
d) [∃x em D 3 ¬p(x)]→ ¬[∃x em D 3 p(x)].
e) ¬[∀x em D, p(x)]→ [∀x em D,¬p(x)].
f) ¬[∃x em D 3 p(x)]→ [∃x em D 3 ¬p(x)].
Exercícios 1.7
1. Traduza as seguintes sentenças para a forma simbólica, indicando as escolhas apropriadas
para domínios:
a) Para cada inteiro par n existe um inteiro k tal que n = 2k.
b) Para cada reta l e cada ponto p que não está em l existe uma reta l′ que passa por p
que é paralela a l.
c) Para cada y em B existe um x em A tal que f(x) = y.
Resposta: Seja p(x,y) “f(x) = y.” Então a proposição é ∀y em B, ∃x em A 3 p(x,y).
d) Para cada x no domínio de f e para cada � > 0 existe δ > 0 tal que |x− c| < δ implica
|f(x)− L| < �.
133
e) Para cada x em G existe um x′ em G tais que xx′ = e.
Resposta: Seja p(x,y) “xy = e”. Então a proposição é ∀x em G,∃x′ em G 3 p(x,x′).
f) Se todo inteiro é ímpar então todo inteiro é par.
Resposta: Sejam D o conjunto dos inteiros, p(x) “x é ímpar.” Então a propo-
sição é (∀x em D,p(x))→ (∀x em D,¬p(x)).
g) Alguém ama alguém em algum momento.
h) Entre todas as pulgas do carpete existe uma para a qual existe em todos os cachorros
no sofá uma mordida que aquela pulga fez.
i) Para cada inteiro n existe outro inteiro maior que 2n.
Resposta: Sejam D o conjunto dos números inteiros, p(x,y) “x > 2y”. Então
a proposição é ∀n em D,∃m em D 3 p(m,n).
j) A soma de quaisquer dois inteiros pares é par.
Resposta: Sejam D o conjunto dos números inteiros pares, p(x,y) “x + y per-
tence à D”. Então a proposição é ∀x,y em D,p(x,y).
k) Todo subconjunto fechado e limitado de R é compacto.
Resposta: Sejam D o conjunto dos subconjuntos de R, p(x) “x é fechado”,
q(x) “x é limitado”, r(x) “x é compacto”. Então a proposição é
∀x em D,p(x) ∧ q(x)→ r(x).
2. Encontre a negação
para cada uma das proposições no exercício acima.
Resposta f): Todo inteiro é ímpar e existe um inteiro ímpar.
3. Sejam p(x, y) representando “x + 2 > y” e D o conjunto dos números naturais (D =
{1, 2, 3, . . .}, também denotado por N). Escreva em palavras e determine o valor verdade
de
a) ∀x em D,∃y em D 3 p(x, y).
b) ∃x em D 3 ∀y em D, p(x, y).
c) ∀x em D,∀y em, p(x, y). Resposta: Para cada número natural x e cada número
natural y, x + 2 > y. Falsa.
d) ∃x em D 3 ∃y em D 3 p(x, y).
e) ∀y em D,∃x em D 3 p(x, y).
f) ∃y em D 3 ∀x em D, p(x, y).
4. Sejam D = {1, 2}, p(x) “x é par” e q(x) “x é ímpar.” Escreva em detalhes as seguintes
quantificações como conjunções e disjunções das interpretações (como feito no começo
desta seção):
a) ∀x em D, [p(x) ∧ q(x)].
b) [∀x em D, p(x)] ∧ [∀x em D, q(x)].
c) ∀x em D, [p(x)∨ q(x)]. Resposta: [1 é par ou 1 é ímpar] e [2 é par ou 2 é ímpar.]
d) [∀x em D, p(x)] ∨ [∀x em D, q(x)].
134
e) ∃x em D 3 [p(x) ∧ q(x)].
f) [∃x em D 3 p(x)] ∧ [∃x em D 3 q(x)].
g) ∃x em D 3 [p(x) ∨ q(x)].
h) [∃x em D 3 p(x)] ∨ [∃x em D 3 q(x)].
i) ∃x em D 3 [p(x)→ q(x)].
j) [∃x em D 3 p(x)]→ [∃x em D 3 q(x)].
5. Dê alguns exemplos para mostrar que as seguintes implicações lógicas não são equivalências
lógicas:
a) {[∀x em D, p(x)] ∨ [∀x em D, q(x)]} ⇒ ∀x em D, [p(x) ∨ q(x)].
b) ∃x em D 3 [p(x) ∧ q(x)]⇒ {[∃x em D 3 p(x)] ∧ [∃x em D 3 q(x)]}. Resposta: Sejam
D o conjunto dos números naturais, p(x) “x é par” e q(x) “x é ímpar.”
c) ∃x em D 3 [p(x)→ q(x)]⇒ {[∃x em D 3 p(x)]→ [∃x em D 3 q(x)]}.
6. Determine a relação (se existir uma) entre
∃x em D 3 [p(x)→ q(x)]
e
[∃x em D 3 p(x)]→ [∃x em D 3 q(x)].
7. Mostre que a segunda equivalência lógica em cada uma dos pares pode ser obtida da
primeira por negação:
a)
[∃x em S 3 ∃y em T 3 p(x, y)]⇔ [∃y em T 3 ∃x em S 3 p(x, y)]
e
[∀x em S, ∀y em T, p(x, y)]⇔ [∀y em T, ∀x em S, p(x, y)]
b)
{[∀x em D, p(x)] ∧ [∀x em D, q(x)]} ⇔ ∀x em D, [p(x) ∧ q(x)]
e
∃x em D 3 [p(x) ∨ q(x)]⇔ {[∃x em D 3 p(x)] ∨ [∃x em D 3 q(x)]}.
8. Considere as seguinte proposicão: “Para toda galinha na gaiola e para toda cadeira na
cozinha existe uma frigideira no armário tal que se o ovo da galinha está na frigideira
então a galinha está a menos de dois metros da cadeira.”
a) Traduza esta proposicão para a forma simbólica.
b) Expresse a negação em símbolos e em Português.
c) Dê dois exemplos de ciscunstâncias nas quais a proposição seria verdade.
d) Dê dois exemplos de ciscunstâncias nas quais a proposição seria falsa.
135
Exercícios 1.8
1. Escreva a primeira e última linhas da demonstração direta, por contrapositiva e indireta
dos seguintes teoremas abaixo:
a) Se m é um inteiro par então m2 é par.
Resposta: Direta:(Seja m é um inteiro par.) e (Assim m2 é par.); Contraposi-
tiva:(Suponha que m2 não seja par, ou seja, ímpar.) e (Assim m é ímpar.);
Indireta:(Suponha que m seja inteiro par e que m2 se ímpar.) e (Alguma
contradição.)
b) Se f é uma função diferenciável então f é uma função contínua.
Resposta: Direta:(Seja f uma função diferenciável.) e (Assim f é contínua.);
Contrapositiva:(Suponha que f não seja uma função contínua.) e (Assim f
não é diferenciável.); Indireta:(Suponha que f seja uma função diferenciável
a qual não é contínua.) e (Alguma contradição.)
c) L é uma tranformação linear injetora se e somente se Ker(L) = {0}.
d) Se (an) é monotônica e limitada então (an) converge.
e) A imagem homomórfica de um grupo cíclico é um grupo cíclico.
Resposta: Direta:(Seja H a imagem homomófica de um grupo cíclico G.) e
(Assim, H é cíclico.); Contrapositiva:(Suponha que H não seja um grupo cí-
clico.) e (Assim H não é a imagem homomórfica de qualquer grupo cíclico.);
Indireta:(Suponha que H é a imagem homomórfica de um grupo cíclico e
que H não seja cíclico.) e (Alguma contradição.)
f) Se o único termos não zero de uma expansão p−ádica de n é 1 então n = pk para
algum k ≤ 0.
g) Se f não é contínua em c então limx→c f(x) não existe ou limx→c f(x) 6= f(c).
h) Todo conjunto fechado e limitado de R é compacto.
i) Se m é um inteiro da forma 2, 4, pn, 2pn onde p é um primo ímpar e n é um inteiro
positivo então m tem raízes primitivas.
2. Determine quais das seguintes “demonstrações” são corretas e quais são incorretas. Se
a demonstração está correta, indique o tipo e se a demonstração está incorreta, indique
porque a demonstração é incorreta.
Teorema: Se x e y são inteiros pares então x− y é um inteiro par.
a) “Demonstração 1”: Suponha que x e y são ambos inteiros ímpares. Então existem
inteiros j, k tais que x = 2j + 1 e y = 2k + 1. Assim,
x− y = 2j + 1− (2k + 1) = 2(j − k)
que é par.
Resposta: Incorreta. A hipótese está incorreta, apesar de a conclusão estar
correta.
136
b) “Demonstração 2”: Suponha que x− y seja par e x ímpar. Então existem inteiros j, k
tais que x− y = 2j e x = 2k + 1. Assim,
y = y − x+ x = −2j + (2k + 1) = 2(k − j) + 1
portanto y é ímpar, uma contradição.
c) “Demonstração 3”: Suponha que x − y seja ímpar. Então existe um inteiro j tal que
x− y = 2j + 1. Se y é par , oteorema está demonstrado. Portanto, suponha que y seja
ímpar, digamos y = 2k + 1 para algum inteiro k. Assim,
x = x− y + y = 2j + 1− (2k + 1) = 2(j − k) + 1
logo x é par e a demonstração está completa.
Resposta: Incorreta. x− y ímpar é a negação da conclusão , portanto, para
usar o método da contrapositiva para demonstrar, teríamos que mostrar
que x é ímpar ou y é ímpar, o que esta “demonstração” não o faz.
d) “Demonstração 4”: Suponha que x seja par e x − y seja par também. Então existem
inteiros j, k tais que x = 2j e x− y = 2k. Assim,
y = x− (x− y) = 2j − 2k = 2(j − k)
logo y também é par.
e) “Demonstração 5”: Suponha que x, y sejam pares e x−y ímpar. Então existem inteiros
j, k tais que x = 2j e y = 2k. Assim,
x− y = 2j − 2k = 2(j − k)
portanto x − y é par. Mas isto contradiz nossa premissa que x − y é ímpar, logo a
demonstração está completa.
Resposta: Correta. Demonstração indireta.
f) “Demonstração 6”: Suponha que x− y seja ímpar, digamos x− y = 2j + 1 para algum
inteiro j. Se x é ímpar o teorema estará demonstrado. Portanto, assuma que x seja
par, digamos x = 2k para algum inteiro k. Então,
y = x− (x− y) = 2k − (2j + 1) = 2(k − j)− 1 = 2(k − j − 1) + 1
logo, y é ímpar e o teorema está demonstrado.
g) “Demonstração 7”: Suponha que x e y sejam ambos pares. Então existem inteiros j, k
tais que x = 2j e y = 2k. Assim,
x− y = 2j − 2k = 2(j − k)
portanto, x− y é par.
h) “Demonstração 8”: Suponha que x − y seja par. Então se x for ímpar, o teorema
estará demonstrado. Logo, suponha que x seja par. Então existem inteiros j, k tais que
137
x− y = 2j e x = 2k. Assim,
y = x− (x− y) = 2k − 2j = 2(k − j)
logo, y também é par.
i) “Demonstração 9”: Suponha que x− y seja ímpar, digamos x− y = 2j + 1 para algum
inteiro j. Então se x é ímpar, digamos x = 2k + 1 para algum k, teremos
y = x− (x− y) = 2k + 1− (2j + 1) = 2(k − j)
logo y é par e a demonstração está completa.
j) “Demonstração 10”: Suponha que x e y sejam ímpares e x− y ímpar também. Então
existem inteiros j, k tais que x = 2j + 1 e y = 2k + 1. Assim,
x− y = 2j + 1− (2k + 1) = 2(j − k)
logo, x− y é ímpar e par, uma contradição.
3. Dê a demonstração direta, por contrapositiva e indireta (se possível) de:
a) Se x é um inteiro par e y é um inteiro ímpar então x+ y é um inteiro ímpar.
Resposta: Direta: Suponha que x seja par e y ímpar. Então existem inteiros
j,k tais que x = 2k e y = 2j + 1. Assim,
x + y = 2k + 2j + 1 = 2(k + j) + 1
e portanto x + y é ímpar.
Contrapositiva: Suponha que x + y seja par. Então existe um inteiro k tal
que x + y = 2k. Se x for ímpar então a demonstração estará completa. Su-
ponha que x seja par, digamos x = 2j para algum inteiro j. Então,
y = 2k− 2j = 2(k− j)
portanto, y é par e a demonstração está completa.
Indireta: Suponha que x seja
par, que y seja ímpar e que x + y seja par.
Então esxistem inteiros j,k tais que y = 2j + 1 e x + y = 2k. Logo,
x = x + y− y = 2j + 1− 2k = 2(j− k) + 1
é ímpar, contradizendo o fata que x é par, por hipótese.
b) Se x e y são inteiros ímpares então xy é um inteiro ímpar.
4. Para as seguintes conjecturas, demonstre que é verdade ou dê um contra-exemplo para
mostrar que é falso:
a) Se x é um inteiro e 4x é par então x é par.
Resposta: Falsa, por exemplo, tome x = 3.
138
b) Se x é um inteiro par então 4x é par.
Resposta: Verdade. Suponha que x é um inteiro par, então exite um inteiro
k tal que x = 2k. Logo,
4x = 4(2k) = 2(4k),
é par.
c) Se x é um inteiro e x2 é par então x é par.
Resposta: Verdade. Suponha que x seja ímpar, digamos x = 2k + 1 para algum
inteiro k. Então
x2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1
é ímpar. [Nota: Usamos a demonstração por contrapositiva aqui, para a
demonstração direta teríamos algum trabalho para ir de x2 para x.]
d) Se x é um inteiro e 3x é par então x é par.
Resposta: Verdade. Suponha que x seja ímpar, então existe k inteiro tal que
x = 2k + 1. Logo,
3x = 3(2k + 1) = 6k + 3 = 6k + 2 + 1 = 2(3k + 1) + 1
é ípar.
e) Se x, y, z são inteiros e x+ y + z é ímpar então um número de x, y, z é ímpar.
Resposta:Verdade. Se x + y + x é ímpar, então existe k inteiro tal que x + y + z = 2k + 1.
Se um dos x,y, z é ímpar, digamos x, então existe j inteiro tal que x = 2j + 1.
Portanto,
y + z = (x = y + z)− x = 2k = 1− (2j + 1) = 2(k− j)
é par. Mas se a soma de dois inteiros é par, então ou ambos são pares ou
ambos sáo ímpares.
5. Pareceria que poderia existir uma quarta forma de demonstração, uma demonstração
indireta da contrapositiva de um teorema. Explique porque este fato não foi mencionado
na discussão acima.
Resposta: A indireta da contrapositiva é:
(¬q ∧ ¬(¬p)→ c) ⇐⇒ (¬q ∧ p→ c) ⇐⇒ (p ∧ ¬q → c)
que é o mesmo que a reducão ao absurso.
Exercícios 2.1
139
1. Sejam
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},
A = {1, 2, 3, 4},
B = {x : (x− 2)2(x− 3) = 0},
C = {x : x é ímpar}.
Encontre:
a) A ∪B. Resposta: A
b) A ∩ (B ∪ C). Resposta: {1,2,3}
c) C −A. Resposta: {5,7}
d) C ∪AC . Resposta: {1,3,5,6,7,8}
e) (A ∪ C)C . Resposta: {6,8}
f) AC ∩ CC . Resposta: {6,8}
g) P(B). Resposta: {∅, {2}, {3},B}
2. Escreva em Português a negação de A ⊆ B dada nesta seção. Resposta: A definição dada
no texto é A ⊆ B↔ (∀x, x ∈ A→ x ∈ B). Portanto, A 6⊆ B↔ (∃x 3 x ∈ A ∧ x /∈ B).
Assim em Português temos, existe um elemento pertencente a A que não per-
tence à B.
3. Seja U = R, o conjunto dos números reais. Considere os seguintes conjuntos:
(a, b) = {x : a < x < b},
(a, b] = {x : a < x ≤ b},
[a, b) = {x : a ≤ x < b},
[a, b] = {x : a ≤ x ≤ b},
(−∞, a) = {x : x < a},
(−∞, a] = {x : x ≤ a},
(a,∞) = {x : a < x},
[a,∞) = {x : a ≤ x}.
Encontre:
a) [1, 3] ∩ (2, 4). Resposta: (2,3]
b) (−∞, 2) ∩ [−1, 0]. Resposta: [−1,0]
c) (−∞, 2) ∩ [−1, 3]. Resposta: [−1,2)
d) [0, 10] ∪ (1, 11). Resposta: [0,11)
e) (0,∞) ∩ (−∞, 1). Resposta: (0,1)
f) (1,∞) ∩ (−∞, 0). Resposta: ∅
g) [−2, 0] ∪ [0, 2]. Resposta: [−2,2]
h) [−2, 0] ∪ (0, 2]. Resposta: [−2,2]
140
i) [−2, 0) ∪ (0, 2]. Resposta: [−2,0) ∪ (0,2]
j) [−2, 0] ∪ [2, 0]. Resposta: ∅
k) (0, 4]C . Resposta: [−∞,0] ∪ (4,∞]
l) P([1, 1]). Resposta: {∅, {1}}
m) P([0, 1]). Resposta: Para este precisamos de un número infinito de folhas de
papel.
4. Mostre que dois conjuntos vazios, mencionados na discussão de conjuntos vazios, são iguais.
5. Suponha que A, B, e C sejam conjuntos e U é o conjunto universal. Prove que:
a) A ∪∅ = A.
Resposta: Primeiro mostremos que A ∪∅ ⊆ A. Seja x ∈ A ∪∅. Então x ∈ A ou
x ∈ ∅. Mas x /∈ ∅, logo x ∈ A, assim A ∪∅ ⊆ A. Agora, suponha que x ∈ A.
Então x ∈ A ou x ∈ ∅ portanto x ∈ A ∪∅. Portanto, A ∪∅ = A.
b) A ∩∅ = ∅.
c) A−∅ = A.
d) A ∪ U = U.
e) A ∩ U = A.
f) A ∪AC = U.
g) A ∩AC = ∅.
h) A−A = ∅.
i) A−B ⊆ A.
Resposta: Seja x ∈ A−B, logo x ∈ A e x /∈ B. Assim, x ∈ A e portanto A−B ⊆ A.
j) A ∩B ⊆ A.
k) A ∪B ⊇ A.
l) A ∩B ⊆ A ∪B.
Resposta: Seja x ∈ A ∩B, então x ∈ A e x ∈ B. Logo, x ∈ A ou x ∈ B que im-
plica que A ∩B ⊆ A ∪B.
m) (AC)C = A.
Resposta: Seja x ∈ (AC)C, portanto x /∈ AC. Mas, x /∈ AC implica que x ∈ A e
assim, (AC)C ⊆ A. Agora, seja x ∈ A, portanto x /∈ AC e assim, x ∈ (AC)C.
Logo, A ⊆ (AC)C.
n) (A ∪B)C = AC ∩BC .
o) (A ∩B)C = AC ∪BC .
Resposta: Seja x ∈ (A ∩B)C, assim x /∈ A ∩B ou seja, x /∈ A ou x /∈ B, portanto
x ∈ AC ou x ∈ BC. Logo, x ∈ AC ∪BC. Por outro lado, seja x ∈ AC ∪BC,
assim x /∈ A e x /∈ B, portanto x /∈ A ∩B que implica que x ∈ (A ∩B)C.
p) A ∪ (B −A) = A ∪B.
Resposta: Seja x ∈ A ∪ (B−A). Se x ∈ A, o teorema estará demonstrado, logo
suponha que x ∈ B−A. Então x ∈ B e x /∈ A. Assim, x ∈ A ∪B e portanto,
141
A ∪ (B−A) ⊆ A ∪B. Agora, suponha que x ∈ A ∪B. Então x ∈ A ou x ∈ B.
Se x ∈ A, o resultado está provado, portanto suponha que x /∈ A. Então x ∈ B
e consequentemente temos x ∈ B−A e assim completamos a demonstração.
q) (A ∪B)− (A ∩B) = (A−B) ∪ (B −A).
r) A− (B ∪ C) = (A−B) ∩ (A− C).
Resposta: Seja x ∈ A− (B ∪C). Assim, x ∈ A e x /∈ B ∪C. Portanto, x ∈ A e
x /∈ B e x /∈ C. Logo, x ∈ A−B e x ∈ A−C. Portanto, x ∈ (A−B) ∩ (A−C).
Agora, seja x ∈ (A−B) ∩ (A−C), então x ∈ A−B e x ∈ A−C. Logo, x ∈ A
e x /∈ B e, x ∈ A e x /∈ C. Portanto, x ∈ A e x /∈ B ∪C e assim x ∈ A∩ (B ∪C).
s) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).
t) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).
6. Suponha que A, B, C e D sejam conjuntos e U é o conjunto universal. Para cada dos
seguintes teoremas enuncie as hipóteses e conclusãoe indique a forma de uma demonstração
direta. Então escreva a demonstração para cada um deles.
a) A ⊆ ∅↔ A = ∅.
b) A ⊂ B ∧B ⊂ C → A ⊂ C.
c) A ⊆ B ↔ A ∪B = B.
Resposta: Primeiro mostremos que A ⊆ B→ A ∪B = B. Seja x ∈ B. Então
x ∈ A ou x ∈ B assim x ∈ A ∪B. Agora, seja x ∈ A ∪B. Portanto, x ∈ A ou
x ∈ B. Se x ∈ B o teorema estará pronto, portanto, suponha x ∈ A. Como
A ⊆ B temos x ∈ B e assim A ∪B = B. Agora, mostremos que A ∪B = B→ A ⊆ B.
Seja x ∈ A. Então x ∈ A ∪B e, portanto, x ∈ B pois A ∪B = B.
d) A ⊆ B ↔ P(A) ⊆ P(B).
e) A ⊆ BC ↔ A ∩B = ∅.
Resposta: Nessa demonstração temos uma bicondicional então, para demons-
trar A ⊆ BC ↔ A ∩B = ∅, temos que demonstrar A ⊆ BC → A ∩B = ∅
e A ∩B = ∅→ A ⊆ BC.
Para demonstrar que A ⊆ BC → A ∩B = ∅, a hipótese é A ⊆ BC e a con-
clusão é A ∩B = ∅. Para mostrar que um determinado conjunto é vazio,
assumimos que este conjunto tem um elemento x e usando a hipótese che-
gamos a uma contradição. De fato, seja x ∈ A ∩B, portanto x ∈ A e x ∈ B.
A hipótese diz que A ⊆ BC, portanto x ∈ BC, logo x /∈ B, contradição. Por-
tanto, A ∩B = ∅.
Para demostrar que A ∩B = ∅→ A ⊆ BC, a hipótese é A ∩B = ∅ e a con-
clusão é A ⊆ BC. Assim, seja x ∈ A como, por hipótese, A ∩B = ∅, então
x /∈ B e assim x ∈ BC. Portanto, A ⊆ BC.
f) (A ∪B = C ∧A ∩B = ∅)→ B = C −A.
Resposta: A hipótese desta demonstração é A ∪B = C e A ∩B = ∅. Quere-
mos demonstrar que B = C\A. Para isso, devemos mostrar duas inclusões
B ⊆ C\A e C\A ⊆ B. Para mostrar a primeira inclusão, suponha que x ∈ B,
logo x ∈ A ∪B. Como A ∪B = C, então x ∈ C. Novamente, como x ∈ B e,
142
por hipótese, A ∩B = ∅, temos que x /∈ A. Assim, x ∈ C e x /∈ A, portanto
x ∈ C\A. Com isso, provamos que B ⊆ C\A. Para provar a segunda inclu-
são, seja x ∈ C\A, portanto x ∈ C e x /∈ A. Do fato que x /∈ A e da hipó-
tese A ∩B = ∅, concluímos que x ∈ B, logo C\A ⊆ B e consequentemente
B = C\A.
g) (A ⊆ C ∧B ⊆ C)↔ A ∪B ⊆ C.
h) (A ⊆ C ∧B ⊆ D)→ (A ∪B ⊆ C ∪D).
i) [(A ∩ C = A ∩B) ∧ (A ∪ C = A ∪B)]→ B = C.
j) A ⊆ B ↔ AC ∪B = U.
k) A−B ⊆ B ↔ A ⊆ B.
Resposta: Primeiro mostremos que A−B ⊆ B→ A ⊆ B. De fato, suponha
A−B ⊆ B e A 6⊆ B, ou seja, ∃x ∈ A tal que x /∈ B, portanto x ∈ A−B, como
A−B ⊆ B, então x ∈ B, contradição. Desejamos agora demonstrar que A ⊆ B→ A−B ⊆ B.
De fato, seja x ∈ A−B, então x ∈ A e x /∈ B, mas como A ⊆ B, então
x ∈ B,
contradição. Logo, A−B = ∅ ⊆ B.
l) A ∩B = U↔ A = B = U.
m) A ∪B 6= ∅↔ A 6= ∅ ∨B 6= ∅.
n) P(A) = P(B)→ A = B.
Resposta: Se A 6= B, então ∃x ∈ A tal que x /∈ B, logo {x} ∈ P(A) e {x} /∈ P(B),
logo P(A) 6= P(B).
7. Acredite se quiser:
Conjectura: Seja A e B conjuntos tais que A ⊆ B. Então A−B = ∅.
“Demonstração”: Suponha que A e B sejam conjuntos com A ⊆ B. Seja x ∈ A − B.
Então x ∈ B e x /∈ A. Mas A ⊆ B assim x /∈ A implica x /∈ B, uma contradição. Logo,
A−B = ∅.
“contra-exemplo”: Seja A = {1, 2, 3}, B = {2, 3}. Então A ⊆ B mas A−B 6= ∅.
Resposta: Dica: A conjectura é verdadeira.
8. Acredite se quiser:
Conjectura: Sejam A,B,C,D conjuntos com A ⊂ C e B ⊂ D. Então A ∪B ⊂ C ∪D.
“Demonstração”: Suponha A,B,C,D sejam conjuntos tais que A ⊂ C e B ⊂ D. Seja
x ∈ A∪B. Então x ∈ A ou x ∈ B. Suponha que x ∈ A. Então, como A ⊂ C, x ∈ C. Assim,
x ∈ C ∪D. Se x ∈ B, também obtemos x ∈ C ∪D, pois B ⊂ D. Portanto, A∪B ⊂ C ∪D.
“contra-exemplo”: Sejam A = {1}, B = {2} e C = D = {1, 2}. Então A ⊂ B, C ⊂ D
mas A ∪B 6⊂ C ∪D.
Resposta: Dica: A conjectura é falsa.
9. Com os exercícios acredite se quiser existem oito possibilidades: a conjectura é verdadeira
ou falsa, a demonstração é correta ou não e o contra-exemplo é correto ou não. Qual destas
oito possibilidades não podem ocorrer?
143
10. Sejam A, B e C conjuntos. Mostre usando alguns resultados dos exercícios 5 e 6 ao invés
do nosso método usual de ir ao princípio com as definições:
a) A ⊆ B → A ∩BC = ∅.
Resposta: A ⊆ B 6j−→ AC ∪B = U 5o−−→
5m
(A ∩BC)C = U 5m−−→ A ∩BC = ∅.
b) A ∪ (A ∩B) = A.
Resposta: A ∪ (A ∩B)
5j
⊆ A ∪A = A e A 5k⊆ A ∪ (A ∩B).
c) A ∩ (AC ∪B) = A ∩B.
Resposta: A ∩ (AC ∪B) 5t= (A ∩AC) ∪ (A ∩B) 5g= ∅ ∪ (A ∩B) 5a= A ∩B.
d) A ∩ C = ∅→ A ∩ (B ∪ C) = A ∩B.
Resposta: A ∩ (B ∪C) 5t= (A ∩B) ∪ (A ∩C) hip.= (A ∩B) ∪∅ 5a= A ∩B.
e) A ⊆ B → A = B − (B −A).
Resposta: B− (B−A) Teo= B− (B ∩AC) Teo= B ∩ (B ∩AC)C 5o= B ∩ (BC ∪A) 5t=
(B ∩BC) ∪ (B ∩A) 5g= ∅ ∪ (A ∩B) 5a= A ∩B Hip= A.
11. Suponha que qualquer coleção se objetos pudesse ser um conjunto. Então poderíamos ter
o “conjunto de todos os conjuntos.” Considere o subconjunto S do conjunto de todos os
conjuntos dados por
S = {A : A /∈ A}.
Assim S é o conjunto de todos os conjuntos que não são elementos de si mesmos.
a) Dê exemplos de dois conjuntos que são elementos de S.
Resposta: A = {1,2,3,4, . . .}.
b) Dê exemplos de dois conjuntos que não são elementos de S.
Resposta: A = {A, {1}, {2}, {3}, {4}, . . .}.
c) Mostre que S /∈ S.
Resposta: Se S ∈ S, então S /∈ S, absurdo.
d) Mostre que S /∈ SC .
Resposta: Se S ∈ SC, então S /∈ S, logo S ∈ S e portanto, S /∈ SC, absurdo.
12. Sejam A e B conjuntos. Considere as seguintes conjecturas. Prove as verdadeiras e dê
contra-exemplos para as falsas.
a) P(A) ∪ P(B) ⊆ P(A ∪B).
Resposta: Se C ∈ P(A) ∪ P(B) ⇒ C ∈ P(A) ou C ∈ P(B) ⇒ C ⊆ A ou C ⊆ B ⇒
C ⊆ A ∪B ⇒ C ∈ P(A ∪B).
b) P(A) ∩ P(B) ⊆ P(A ∩B).
c) P(A ∪B) ⊆ P(A) ∪ P(B).
Resposta: A conjectura é falsa, considere A = {a}, logo P(A) = {∅, {a}} e
B = {b}, logo P(B) = {∅, {b}}. Assim, A ∪B = {a,b} e P(A ∪B) = {∅, {a}, {b}, {a,b}}.
d) P(A ∩B) ⊆ P(A) ∩ P(B).
144
e) P(A ∩B) ⊆ P(A ∪B).
13. Sejam A, B, C e D conjuntos tais que A ⊂ C e B ⊂ D. Demonstre ou dê um contra-
exemplo para a conjectura: A ∩B ⊂ C ∩D.
14. Sejam A e B conjuntos de proposições. Dizemos que A é mais forte que B, denotado por
A =⇒ B,
e se somente se,
∀p ∈ B, ∃q1, q2, . . . , qn ∈ A 3 (q1 ∧ q2 ∧ . . . ∧ qn)⇒ p.
Assim, se A é mais forte que B, então toda proposição pertencente a B é uma consequência
lógica de uma conjunção de proposições pertencentes a A. Por exemplo, se
A = {p ∨ q,¬q, r → q},
B = {p,¬r,¬q, s ∨ ¬q},
C = {p ∨ q, q},
então A =⇒ B mas A 6=⇒ C.
a) Escreva em símbolos e em Portugês ¬(A =⇒ B).
b) Dê (outro) exemplo de conjuntos de proposições A,B,C tais que A =⇒ B mas A 6=⇒
C.
c) Mostre que para qualquer conjunto de proposições A, A =⇒ ∅.
d) Mostre que para qualquer conjunto de proposições A, A =⇒ A.
e) Mostre que se A e B são quaisquer conjuntos de proposições, A ⊆ B implica B =⇒ A.
f) Se A =⇒ B e B =⇒ A, seria este o caso que A = B?
g) Se A =⇒ B e C =⇒ D, então A ∪ C =⇒ B ∪D?
Exercícios 2.2
1. Sejam D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, p(x) “x é par”, q(x), “x é ímpar” e r(x) “x é um número
primo.” Encontre:
a) O conjunto verdade para p(x) ∧ q(x).
b) O conjunto verdade para r(x)→ ¬p(x). Resposta: {1,3,4,5,6,7,8}.
c) PC ∪Q.
d) A função proposicional que tem {1, 2, 3, 5, 7} como seu conjunto verdade. Resposta:
r(x).
e) O conjunto verdade de ∃x ∈ D 3 r(x)→ p(x).
f) O conjunto verdade de ∀x ∈ D, p(x) ∨ q(x). Resposta: Verdade.
g) O conjunto verdade de [∀x ∈ D, p(x)] ∨ [∀x ∈ D, q(x)].
h) O conjunto verdade de [∀x ∈ D, q(x)]→ [∀x ∈ D, r(x)].
145
2. Encontre o conjunto verdade para a função proposicional “x2 − x− 2 ≤ 0.” Tome R como
domínio.
Resposta: [−1,2].
3. Considere os seguintes pares de proposições. Para cada proposição do par determine as
condições para P,Q que garantam que ela seja verdade. E mostrar que sempre que a
segunda (de cada par) seja verdade, a primeira deverá ser verdade. Dê um exemplo para
mostrar que a primeira pode ser verdade e a segunda falsa.
a) [∀x ∈ D, p(x) ∨ q(x)]; [∀x ∈ D, p(x) ∨ ∀x ∈ D, q(x)].
Resposta: A primeira seá verdade quando P ∪Q = D; a segunda será verdade
quando P = D ou Q = D. Certamente a segunda condição implica a primeira.
Se D = N, p(x), p(x) é “x é par” e q(x) é “x í´mpar” então a primeira é verdade
e a segunda é falsa.
b) [∃x ∈ D 3 p(x) ∧ ∃x ∈ D 3 q(x)]; [∃x ∈ D 3 p(x) ∧ q(x)].
Resposta: A primeira seá verdade quando P 6= ∅ e Q 6= ∅; a segunda será
verdade quando P ∩Q 6= ∅ . Certamente a segunda condição implica a pri-
meira. Se D = N, p(x), p(x) é “x é par” e q(x) é “x í´mpar” então a primeira
é verdade e a segunda é falsa.
c) [∃x ∈ D 3 p(x)→ q(x)]; [∃x ∈ D 3 p(x)→ ∃x ∈ D 3 q(x)].
4. Acredite se quiser:
Conjectura: Sejam A,B conjuntos com B ⊆ A e p uma função proposicional. Então
∀x ∈ A, p(x) implica ∀x ∈ B, p(x). Resposta: Verdadeira.
“Demonstração”: Suponha que A,B sejam conjuntos como acima e que a implicação
seja falsa. Então existe um z ∈ B tal que p(z) seja falsa. Como B ⊆ A, z ∈ A. Mas isto
significa ∀x ∈ A, p(x) é falso, uma contradição. Resposta: Verdadeira. A demonstração
é indireta, (p→ q)⇐⇒ ¬(p→ q)→ contradição.
“contra-exemplo”: Sejam p(x) “x < 2,” A = {1, 2, 3} e B = ∅. Então B ⊆ A, ∀x ∈
A, p(x) é falso e ∀x ∈ B, p(x) é verdadeiro. Resposta: Falsa. Para um contra-exemplo
ser válido, devemos encontrar um hipótese correta com uma conclusão falsa.
Não é o caso aqui.
Exercícios 2.3
1. Sejam A = {a, b, c}, B = {1, 2} e C = {4, 5, 6}
a) Liste os elementos de A×B, B ×A, e A× C.
b) Dê exemplos de relações de A em B e de B em A, cada uma dos quais tem quatro
elementos.
c) Dê exemplo de uma relação simétrica em C que tenha três elementos.
2. Suponha A = {1, 2, 3}. Para cada uma das relações dadas abaixo, liste os elementos de R,
encontre Dom(R) e Im(R) de diga quais das propriedades da definição 2.9 R tem:
146
a) R é a relação < em A. Resposta: {(1,2), (1,3), (2,3)}, R é transitiva, antissimé-
trica, irreflexiva, completa e assimétrica.
b) R é a relação ≥ em A.
c) R é a relação ⊂ em P(A).
3. Suponha que A,B,C,D sejam conjuntos. Prove ou dê contra-exemplos para as seguintes
conjecturas:
a) A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C).
b) A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C).
c) (A×B) ∩ (AC ×B) = ∅.
d) (A ⊆ B ∧ C ⊆ D) → A × C ⊆ B × D. Resposta: Verdade. Seja (x,y) ∈ A×C.
Então x ∈ A e y ∈ C. Mas como A ⊆ B e C ⊆ D temos que x ∈ B e y ∈ D
Assim (x,y) ∈ B×D.
e) A ∪ (B × C) = (A ∪B)× (A ∪ C).
f) A ∩ (B × C) = (A ∩B)× (A ∩ C).
g) (A×B) ∩ (C ×D) = (A ∩ C)× (B ∩D).
h) A× (B − C) = A×B −A× C.
4. Suponha que R seja uma relação em um conjunto não vazio A. Dê a forma de demonstração
direta para:
a) R é antissimétrica.
b) R é irreflexiva. Resposta: Seja x ∈ A .
. . então (x,x) /∈ R.
c) R é assimétrica.
5. Sejam A = {1, 2, 3, 4} e R uma relação em a. Dê um exemplo utilizando a representação
gráfica do que segue, assim como foi feito anteriormente para R reflexiva e simétrica.
a) Transitiva
b) Irreflexiva
c) Assimétrica
d) Relação de equivalência
6. Sejam A,B conjuntos com R,S relações de A para B. Demonstre:
a) Dom(R ∪ S) = Dom(R) ∪Dom(S).
b) Dom(R∩S) ⊆ Dom(R)∩Dom(S) e dê um exemplo para mostrar que a igualdade não
é válida.
c) Im(R ∪ S) = Im(R) ∪ Im(S)
d) Im(R ∩ S) ⊆ Im(R) ∩ Im(S) e dê um exemplo para mostrar que a igualdade não é
válida.
7. Seja A um conjunto não vazio. Mostre que
147
a) Se R = A × A então R é reflexiva, simétrica, transitiva e completa. O que poderia se
dizer se R fosse assimétrica ou antissimétrica? Resposta: (Resposta parcial) Como
R = {(x,y) : x,y ∈ A}, certamente {(x,x) : x ∈ A} ⊆ R. Se A contém mais de
um elemento, R não será assimétrica ou antissimétrica.
b) Se R = ∅ então R é simétrica, transitiva, assimétrica, antissimétrica, irreflexiva mas
não reflexiva.
c) Se R = {(a, a) : a ∈ A} então R é uma relação de equivalência e também ántissimétrica
mas não assimétrica.
8. Referente aos exemplos dados anteriormente nessa seção, mostre que:
a) Exemplo 2 é assimétrico mas não reflexiva. Resposta: R não é reflexiva pois nin-
guém é pai ou mãe de si mesmo. Se xRy então y é pai/mãe de x o que
significa que x não é pai/mãe de y logo temos ¬(xRy) é verdade e portanto
R é assimétrica.
b) Exemplos 4, 12 são relações de equivalência.
c) Exemplo 4, 5, 10 são ordens parciais.
d) Exemplo 3, 11 não são completas.
e) Exemplo 10 é uma ordem total.
9. Seja R a relação de equivalência dada no exemplo 12 acima. Determine todos os elementos
nestes conjuntos:
a) {x : xR1}. Resposta: {1,6,11,16, . . .}.
b) {x : xR2}.
c) {x : xR7}.
10. Seja R a relação | em Z descrita no exemplo 11 acima.
a) Liste três elementos de Z× Z que não sejam elementos de R.
b) Quais dos elementos (0, 0), (0, 1), (1, 0) são elementos de R? Resposta: (Resposta par-
cial) (0,1) /∈ R.
c) Prove o seguinte:
i) ∀n ∈ Z, n|0.
ii) ∀n ∈ Z, 0|n→ n = 0.
iii) ∀a, b, c ∈ Z, (a|b ∧ a|c)→ a|(b+ c).
iv) ∀a, b, c ∈ Z, a|b→ a|bc.
11. Sejam R,S relações em um conjunto não vazio A. Demonstre ou dê contra-exemplos para
as seguintes conjecturas:
a) R é completa→ R é reflexiva. Resposta: Falsa. Seja A = {1,2} e R = {(1,2), (2,1)}.
b) R é transitiva e irreflexiva → R é assimétrica.
c) R é reflexiva → R não é assimétrica.
148
d) R é assimétrica → R não é reflexiva.
e) Dom(R) ∩ Im(R) = ∅→ R é transitiva, antissimétrica, irreflexiva e assimétrica.
f) R uma relação de ordem parcial estrita → R é antissimétrica e assimétrica.
g) R não reflexiva → R é irreflexiva.
h) R e S simétrica → R∩S simétrica. Resposta: Seja (x,y) ∈ R ∩ S. Então (x,y) está
em ambos R e S. Como ambos são simétricos, temos que (y,x) pertencem
a ambos R e S logo, (y,x) ∈ R ∩ S.
i) R ou S simétrica → R ∩ S simétrica.
j) R e S simétrica → R ∪ S simétrica.
k) R ou S reflexiva → R ∪ S reflexiva.
l) R e S transitiva → R ∪ S transitiva.
m) R e S transitiva → R ∩ S transitiva.
12. Dê exemplos (se possível) de relações que sejam:
a) Reflexiva e simétrica mas não transitiva.
Resposta: Sejam A = {1,2,3}, R = {(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2), (1,2), (2,1)}.
Note que, (1,2) ∈ R e (2,3) ∈ R mas (1,3) /∈ R.
b) Simétrica e transitiva mas não reflexiva.
c) Assimétrica mas não antissimétrica.
d) Simétrica e antissimétrica.
e) Nem reflexiva, nem irreflexiva.
13. Se R é uma relação de A para B e C ⊆ A, definimos restrição de R em C, denotada por
R|C , como
{(x, y) ∈ R : x ∈ C}.
a) Sejam A = B = {1, 2, 3, 4} e C = {2, 4}. Seja R a relação < de A em B. Encontre R e
R|C .
b) Se R é uma relação de A em B e C ⊆ A, mostre que Dom(R|C) = Dom(R) ∩ C.
c) Se R é uma relação de A em B e B ⊆ A, R|B é uma relação em B? Prove ou de um
contra-exemplo. Resposta: Dica, esta é falsa.
14. (Continuação do exercício 13) Suponha que R seja uma relação em A com as propriedades
listadas abaixo. Se B ⊆ A e R|B é considerada como uma relação em A, quais destas
propriedades R|B deve também ter? Prove ou dê contra-exemplos.
a) Simétrica
b) Transitiva
c) Antisimétrica
149
15. Suponha que tivéssemos definido o par ordenado (a, b) pot
(a, b) = {{a}, {a, b}}.
Mostre que com essa definição temos
(a, b) = (c, d)↔ (a = c ∧ b = d).
16. Suponha que tivéssemos definido “tripla ordenada” usando pares ordenados como
(a, b, c) = ((a, b), c).
Mostre que a mesma tem a propriedade de ordenação desejada, isto é:
(a, b, c) = (d, e, f) se e somente se a = d, b = e, c = f.
17. Seja R uma ordem total estrita em um conjunto não vazio A. Mostre que R tem a pro-
priedade da “tricotomia,” isto é,
∀a, b ∈ A, exatamente um dos seguintes é verdade a = b, aRb, bRa.
18. Seja R uma relação em um conjunto não vazio A. O fecho transitivo de R é a menor
relação transitiva contendo R, isto é, se S é o fecho transitivo de R, e T é uma relação
qualquer contendo R, então
R ⊆ S ⊆ T.
Criamos definições similares para os fechos reflexivos e simétricos. Vamos denotar estes
fechos por Rtrans, Rsim e Rref .
a) Se A={1,2,3,4} e R = {(1, 2), (1, 4), (2, 3)}, encontre Rtrans, Rsim e Rref . Resposta:
Rsim = {(1,2), (1,4), (2,3), (2,1), (4,1), (3,2)}.
b) Demonstre ou dê contra-exemplo para as seguintes conjecturas (R,S são relações em
um conjunto não vazio A):
i) (R ∪ S)trans = Rtrans ∪Rtrans.
ii) (R ∩ S)trans = Rtrans ∩Rtrans.
iii) (R ∪ S)sim = Rsim ∪Rsim.
iv) (R ∩ S)sim = Rsim ∩Rsim.
v) (R ∪ S)ref = Rref ∪Rref .
vi) (R ∩ S)ref = Rref ∩Rref .
c) O que pode ser dito sobre os correpondentes conceitow de fechos antissimétrico e assi-
métrico?
19. Seja R uma relação em um conjunto não vazio A. Suponha que R é assimétrica e também
satifaz a condição (às vezes também chamada de transitividade negativa):
∀x, y ∈ A, xRz → (xRy ∨ yRz).
150
a) Mostre R é transitiva. Tais relações são às vezes chamadas de ordens fracas.
b) Se R fosse transitiva e assimétrica, ela também deveria satifazer a condição dada acima?
Prove ou dê um contra-exemplo.
20. Seja R uma relação em um conjunto não vazio A. Seja x ∈ A. Definimos uma R-classe de
x, denotada por < x >R, como
< x >R:= {y : yRx}.
O símbolo := significa “por definição.”
a) Seja A = {1, 2, 3, 4} e
R = {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (1, 1), (2, 3), (4, 2)}.
Encontre < 1 >R, < 2 >R, < 3 >R e < 4 >R. Resposta: < 2 >R = {1,4}.
b) Mostre que R é reflexiva se e somente se ∀x ∈ A, x ∈< x >R .
c) Mostre que R é simétrica se e somente se ∀x, y ∈ A, x ∈< y >R → y ∈< x >R.
d) Mostre que ∀x ∈ A,< x >R 6= ∅ se e somente se Im(R) = A.
e) Suponha que Dom(R) = A e que R seja simétrica e transitiva. Mostre que
∀x, y ∈ A,< x >R ⊆ < y >R → xRy.
Mostre também que,
< x >R ⊆ < y >R → < x >R = < y >R .
f) Suponha que R seja simétrica e transitiva. Mostre que:
∀x, y ∈ A,< x >R ∩ < y >R 6= ∅→ < x >R =< x >R .
21. Acredite se quiser: Resposta: Dica, A conjectura é falsa, assim como o contra-
exemplo.
Conjectura: Suponha que A e B sejam conjuntos tais que A×B = B×A. Então A = B.
“Demonstração”: Suponha A×B = B×A. Seja a ∈ A, com b ∈ B tais que (a, b) ∈ A×B.
Como A × B = B × A, (a, b) ∈ B × A. Assim a ∈ B e portanto A ⊆ B. Um argumentos
similar mostra que B ⊆ A.
“contra-exemplo”: Sejam A = {1, 2, 3} e B = ∅. Então A × B = B × A = ∅, mas
A 6= B.
22. Acredite se quiser:
Conjectura: Suponha que R seja uma relação em um conjunto não vazio A. Se R é não
simétrica então R é assimétrica.
“Demonstração”: Seja R uma relação em um conjunto não vazio A. Suponha a, b ∈ A
com (a, b) ∈ R. Como R não é simétrica, (b, a) /∈ R logo R é assimétrica.
151
“contra-exemplo”: Sejam A = {1, 2, 3} e R = {(1, 2), (2, 1), (1, 3)}. Então R não é
simétrica nem assimétrica.
23. Acredite se quiser:
Conjectura: Suponha que R seja uma relação em
um conjunto não vazio A. Se R é
simétrica e transitiva então R é reflexiva.
“Demonstração”: Suponha que R seja uma relação simétrica e transitiva em um con-
junto não vazio A. Sejam a, b ∈ A com (a, b) ∈ R. Como R é simétrica, (b, a) ∈ R. Mas R
também é transitiva, logo temos que (a, a) ∈ R e consequentemente R é reflexiva.
“contra-exemplo”: Sejam a = {a, b, c} e R = {(a, b), (b, a), (a, c), (b, c), (a, a)}. Então R
é simétrica e transitiva, mas não é reflexiva pois (b, b) /∈ R.
Exercícios 2.4
1. Sejam A = {1, 2, 4} e B = {1, 3, 4}. Sejam R = {(1, 3), (1, 4), (4, 4)} uma relação de A em
B, S = {(1, 1), (3, 4), (3, 2)} uma relação de B em A e T = ∅ uma relação de A em B.
Encontre:
a) Dom(R). Resposta: Dom(R) = {1,4}.
b) Dom(S). Resposta: Dom(S) = {1,3}.
c) Dom(T ). Resposta: Dom(T) = ∅.
d) Im(R). Resposta: Im(R) = {3,4}.
e) Im(S). Resposta: Im(S) = {1,2,4}.
f) Im(T ). Resposta: Im(S) = ∅.
g) S ◦R.
h) R ◦ S.
i) Dom(S ◦R).
j) Im(S ◦R).
k) Dom(R ◦ S).
l) Im(R ◦ S).
m) R−1. Resposta: R−1 = {(3,1), (4,1), (4,4)}.
n) S−1. Resposta: S−1 = {(1,1), (4,3), (2,3)}.
o) IA. Resposta: IA = {(1,1), (2,2), (4,4)}.
p) IB. Resposta: IB = {(1,1), (3,3), (4,4)}.
q) R−1 ◦ S−1.
r) S−1 ◦R−1.
s) (R ◦ S)−1.
t) (S ◦R)−1.
u) T−1.
v) I−1B .
152
w) (R ◦ S) ◦R.
x) R ◦ (S ◦R).
2. Seja R uma relação em um conjunto não vazio A. Mostre que:
a) (R−1)−1 = R
b) I−1A − IA
c) R é reflexiva se e somente se IA ⊆ R ⊆ R ◦R.
d) R é simétrica se e somente se R = R−1.
Resposta: Suponha que R seja simétrica. Seja (x,y) ∈ R. Então (y,x) ∈ R, logo
(x,y) ∈ R−1 e R ⊆ R−1. Agora, suponha (x,y) ∈ R−1. Então (y,x) ∈ R logo
(x,y) ∈ R e R−1 ⊂ R e assim temos que R = R−1. Para a outra implicação,
suponha que R = R−1. Seja (x,y) ∈ R. Então (x,y) ∈ R−1 (pois R = R−1)
portanto (y,x) ∈ R e R é simétrica.
e) R é transitiva se e somente se R−1 é transitiva.
f) R é uma relação de equivalência e se somente se R−1 é uma relação de equivalência.
g) Suponha que Dom(R) = A. R é uma relação de equivalência se e somente se R =
R−1 = R ◦R.
h) R á assimétrica se e somente se R ∩R−1 = ∅.
i) R ∪R−1 = A×A implica que R é completa.
j) R simétrica implica R ◦R é simétrica.
k) IDom(R) ⊆ R−1 ◦R.
l) R é uma ordem parcial se e somente se R−1 é uma ordem parcial.
m) R é uma ordem parcial se e somente se R ∩R−1 = IA e R ◦R = R.
n) R é uma ordem parcial estrita se e somente se R−1 é uma ordem parcial estrita.
3. Seja A um conjunto não vazio com R,S relações em A. Considere as seguintes conjecturas.
Prove as verdadeiras e dê exemplos para aquelas que são falsas.
a) R é simétrica implica R ◦R simétrica.
b) R ◦ S−1 = S ◦R−1 implica que R ◦ S−1 seja simétrica.
4. Seja R uma relação de A em B e S uma relação de B em C. Mostre que:
a) Dom(S ◦R) ⊆ Dom(R).
b) Im(S◦R) ⊆ Im(S). Resposta: Seja y ∈ Im(S ◦R). Então existe x tal que (x,y) ∈ S ◦R.
Mas isto significa que que existe z tal que (x, z) ∈ R e (z,y) ∈ S, consequen-
temente, y ∈ Im(S).
c) Im(R) ⊆ Dom(S) implica Dom(S ◦R) = Dom(R). A recíproca é verdadeira?
5. Complete a demonstração do teorema 2.7.
6. Suponha que R e S sejam relações de equivalência em um conjunto não vazio A. Considere
as seguintes conjecturas. Prove as verdadeiras e dê exemplos para aquelas que são falsas.
153
a) R ∪ S é uma relação de equivalência implica que R ◦ S = S ◦R.
b) R ∪ S = R ◦ S implica que R ∪ S é uma relação de equivalência.
c) R ∪ S = R ◦ S implica que R ◦ S = S ◦R.
7. Seja R a relação < nos inteiros. Mostre que R é uma ordem parcial estrita. Também
mostre que R ∪ IZ (que é ≤) é uma ordem parcial.
8. Seja R uma ordem parcial em um conjunto não vazio A. Mostre que R− IA é uma ordem
parcial estrita em A.
9. Seja R uma relação em um conjunto não vazio A. Prove ou dê contra-exemplos (refira-se
ao excercício 18, da seção 2.3):
a) Rref = R ∪ IA. Resposta: Está correto, falta a demonstração.
b) Rsim = R ∪R−1.
c) Rtrans = R ∪ (R ◦R).
10. Sejam R,S e T relações entre conjuntos. Determine algumas condições sobre R,S e T
para garantir as seguintes conclusões. Demonstre que suas conjecturas estão corretas.
a) R ◦ S = R ◦ T implica S = T .
b) S ◦R = T ◦R implica S = T .
11. Acredite se quiser:
Conjectura: Seja R uma relação em um conjunto não vazio A. Se R é transitiva então
R ◦R é transitiva.
“Demonstração”: SejaR uma relação transitiva emA. Sejam a, b, c ∈ A com (a, b), (b, c) ∈
R ◦ R. Então existem d, e ∈ A tais que (a, d), (d, b), (b, e), (e, c) ∈ R. Como R é transitiva
(a, b), (b, c) ∈ R, isso implica que (a, c) ∈ R ◦R, logo R ◦R é transitiva.
“contra-exemplo”: Seja, A = {1, 2, 3} R = {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (1, 3)}. Assim,
R ◦R = {(1, 3), (1, 2), (2, 3), (2, 2)},
logo temos R transitiva e R ◦R não.
12. Acredite se quiser: Resposta: Dica, A demonstração está incorreta.
Conjectura: Sejam R,S relações de equivalência em um conjunto não vazio A. Se R◦S =
S ◦R então R ∪ S é uma relação de equivalência.
“Demonstração”: Sejam R,S como acima. Claramente, R∪S é reflefiva. Se (a, b) ∈ R∪S
então (a, b) ∈ R ou (a, b) ∈ S. Se (a, b) ∈ R, e como R é simétrica, (b, a) ∈ R, logo
(b, a) ∈ R ∪ S. Por argumentos semelhantes, se (a, b) ∈ S então (b, a) ∈ S, isto demonstra
que R ∪ S é simt´rica. Aogra, sejam (a, b), (b, c) ∈ R ∪ S. Se ambos pertencem a R, ou
se ambos pertencem a S, a transitividade de cada um implica que R ∪ S é transitiva.
Portanto, suponha que (a, b) ∈ R e (b, c) ∈ S. Como R ◦ S = S ◦ R e (a, c) ∈ S ◦ R,
(a, c) ∈ R ◦ S. Assim existe d ∈ A tal que (a, d) ∈ S e (d, c) ∈ R. Mas, ambos R e S são
simétricos, portanto (c, d) ∈ R e (d, a) ∈ S. Logo, (c, a) ∈ R. Mas R é simétrica, assim
154
temos (a, c) ∈ R e consequentemente R ∪ S é transitiva. Argumentos similares podem ser
utilizados no caso (a, b) ∈ S e (b, c) ∈ R.
“contra-exemplo”: Sejam
A ={a, b, c, d},
R =IA ∪ {(a, b), (b, a), (a, c), (c, a)},
S =IA ∪ {(c, d), (d, c), (a, c), (c, a), (d, a), (a, d)}.
Então R,S são relações de equivalência com R ◦ S = S ◦ R, mas R ∪ S contém (b, a) e
(a, d) mas não (b, d) e assim não é transitiva.
13. Acredite se quiser:
Conjectura: Seja R uma ordem total estrita em um conjunto não vazio A. Então S =
(A×A)−R é uma ordem total em A.
“Demonstração”: Como R é irreflexiva, IA ∩ R = ∅ portanto IA ⊆ S e S é reflexiva.
Agora suponha que (a, b), (b, c) ∈ S. R é completa, assim como (a, b), (b, c) ∈ S, temos
que (b, a), (c, b) ∈ R. A trnasitividade de R implica que (c, a) ∈ R. Se (a, c) ∈ R então
(a, a) ∈ R, que é impossível, consequentemente (a, c) ∈ S e S é transitiva. Agora, suponha
que (a, b), (b, a) ∈ S. Então devemos ter a = b, caso contrário R não seria completa.
Assim S é uma ordem parcial. Se a, b ∈ A, a 6= b e (a, b) /∈ S, então (a, b) ∈ R, e como
notado anteriormente, isto implica (b, a) ∈ S e consequentemente S é completa e assim
uma ordem total.
“contra-exemplo”: Sejam A = {1, 2, 3} e R = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)}. Então
S = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 1), (1, 3), (3, 2)}
não é uma ordem total pois não é transitiva ((1, 3), (3, 2) ∈ S, mas (1, 2) /∈ S).
Exercícios 2.5
1. Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e Π = {{2, 4, 6}, {1, 5}, {3}}. Liste os elementos de A/Π. En-
contre [2]A/Π. Resposta: [2]A/Π = {2,4,6}.
2. Seja Π uma partição de A e sejam B,C ∈ Π. Mostre que se B ∩ C = ∅ então B = C
3. Sejam Π1 e Π2 partições de A. Dizemos que Π1 é mais fina que Π2 e escrevemos Π1 � Π2
se e somente se ∀B ∈ Π1,∃C ∈ Π2 3 B ⊆ C.
a) Se A = {1, 2, 3, 4}, dê exemplos de partições Π1 e Π2 tais que:
i. Π1 � Π2 Resposta: Π1 = {{1}, {2,3}, {4}} e Π2 = {{1,2,3}, {4}}.
ii. Π1 não é mais fino que Π2 e Π2 não é mais fino que Π1 Resposta: Π1 = {{1,2}, {3,4}}
e Π2 = {{1,3}, {2,4}}.
b) Sejam Π1 e Π2 como no exemplo 1 desta seção e seja Π qualquer outra partição de A.
Mostre que Π1 � Π � Π2.
155
4. Seja R uma relação de equivalência em A. Mostre que A/[A]R = R. Resposta: (Resposta
parcial) Seja (x,y) ∈ A/[A]R. Então x e y são ambos elementos da mesma classe
de equivalência de R. Mas isso significa que xRy ou (x,y) ∈ R. Consequente-
mente, A/[A]R ⊆ R.
5. Seja Π uma partição de A. Mostre que [A]A/Π = Π.
6. Sejam R1, R2 relações de equivalência em A. Dizemos que R1 é mais fina que que R2 e
escrevemos R1 � R2 se e somente se R1 ⊆ R2.
a) Seja A = {1, 2, 3, 4}. Dê exemplos de relações de equivalência R1, R2 tais que:
i) R1 � R2. Resposta: R1 = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}R2 = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (2,1)}.
ii) R1 não é mais fino que R2 e R2 não é mais fino que R1.
b) Seja A um conjunto não vazio e seja Ω = {R : R uma relação de equivalência em A}.
Mostre que � é uma ordem parcial em Ω. O que pode ser dito sobre � ser ou não
completa?
c) Se R1 e R2 são relações de equivalência em uma conjunto não vazio A com R1 � R2,
a partição induzida por R1 é mais fina que a partição induzida por R2? A recíproca?
Ou nada?
7. Seja Ψ e Π partições de um conjunto não vazio A. Definimos
Ψ ?Π = {C ∩D : C ∈ Ψ, D ∈ Π, C ∩D 6= ∅}.
a) Seja A = {1, 2, 3, 4, 5}, Ψ = {{1, 2, 3}, {4, 5}} e Π = {{1, 2}, {3, 4}, {5}}. Encontre
Ψ ?Π. Resposta: Ψ ?Π = {{1,2}, {3}, {4}, {5}}.
b) Mostre que se Ψ e Π são partições de um conjunto não vazio A, então Ψ ? Π é uma
partição de A.
c) Mostre que Ψ ?Π é mais fina que Ψ e Π.
8. Vamos generalizar a relação de equivalência dada no exemplo 12 sa seção 2.3 e discutido
no começo desta seção. Seja m ∈ N. Se x, y ∈ Z, dizemos que x ≡ y(mod m) se e somente
se m|(x − y). [Note que: x ≡ y(mod m) é lido como “x é congruente a y módulo m.”]
Assim, a relação de equivalência mencionada anteiriormente era a congruência módulo
5. Mais uma notação, escreveremos as classes de equivalência de congruência módulo m
como [x]m e denotaremos o conjunto de todas as classe de equivalência módulo m por Zm.
Assim, Z5 = {[1]5, [2]5, [3]5, [4]5, [5]5}.
a) Encontre [3]3, [2]3, [5]1,. Resposta: [2]3 = {2,5,8,11, . . .}.
b) Encontre duas soluções para cada uma das seguintes:
i) x ≡ 3(mod 14).
ii) x2 ≡ 2(mod 7). Resposta: Uma solução é x = 3.
iii) x2 ≡ 3(mod 7).
c) Sejam m,n ∈ N. Mostre que se m|n então Zn é mais fina que Zm.
d) Seja m ∈ N. Mostre que ∀x, y, z ∈ Z, x ≡ y(mod m) implica x + z ≡ y + z(mod m) e
xz ≡ yz(mod m).
156
9. Seja R e S relações de equivalência de um conjunto não vazio A. Sabemos que R ∩ S é
também uma relação de equivalência em A.
a) Seja x ∈ A. Mostre que [x]R∩S = [x]R ∩ [y]S .
b) Mostre que [A]R∩S = [A]R ? [A]S , onde ? é a operação definida no excercício 7.
10. Se p, q ∈ N, sabemos do excercício 7 que Zp ?Zq é uma partição de Z. Existe n ∈ N tal que
Zp ? Zq = Zn? Se for verdade, demonstre o resultado. Se for falso, dê um contra-exemplo
para mostrar que esta partição não é desta forma. Resposta: Dica, compute alguns
elementos de Z2 ? Z3.
11. Acredite se quiser:
Conjectura: Seja A um conjunto não vazio e Π,Ψ partições de A. Se Π � Ψ e Ψ � Π
então Π = Ψ.
“Demonstração”: Sejam Π,Ψ como acima e seja B ∈ Π. Como Π � Ψ, existe C ∈ Ψ
tal que B ⊆ C. Mas como Ψ � Π, C ⊆ B, e portanto B = C, logo B ∈ Ψ. Um argumento
parecido mostra que Ψ ⊆ Π e consequentemente temos Π = Ψ.
“contra-exemplo”: Seja A = {1, 2, 3}.
A ={1, 2, 3, 4, 5},
Π ={{1, 2}, {3}, {4, 5}},
Ψ ={{1}, {2, 3, 4}, {5}},
Então Π � Ψ ({3} ⊆ {2, 3, 4}) e Ψ � Π ({1} ⊆ {1, 2}), mas claramente Ψ 6= Π.
Exercícios 2.6
1. Seja A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e seja f : A→ A dada por
f(x) =
{
x+ 1, se x 6= 6;
1, se x = 6.
a) Encontre f(3), f(6), f ◦ f(3), f(f(2)). Resposta: f(3) = 4.
b) Encontre a pré-imagem de 2 e 1.
c) Mostre que f é bijetora. Resposta: (Resposta Parcial) Se x = 1 então f(6) = x,
se x 6= 1 então f(x− 1) = x portanto f é sobrejetora.
2. Mostre que f : R→ R dad por f(x) = x3 é injetora e sobrejetora, enquanto que g : R→ R
dada por g(x) = x2 − 1 não é injetora nem sobrejetora.
3. Suponha f : A→ B e g : B → C. Mostre que g ◦ f : A→ C.
4. a) Sejam A,B e f : A→ B dados por:
A ={1, 2, 3, 4},
B ={1, 2, 3, },
f ={(1, 3), (2, 1), (3, 1), (4, 2)}.
157
Encontre f−1 ◦ f . Resposta: f−1 ◦ f = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (2,3), (3,2)}.
b) Sejam A,B conjuntos não vazios e f : A → B. Mostre que f−1 ◦ f é uma relação de
equivalência em A. (Note que f−1 pode ou não ser uma função). Também mostre que
[x]f−1◦f = {y : f(x) = f(y)}.
5. Seja f : A→ B. Prove que
a) f é injetora se e somente se existe g : B → A tal que g ◦ f = IA. Resposta: Dica
- Defina g como g(y) = x quando y ∈ Im(f) e onde f(x) = y. Para y /∈ Im(f)
defina g(y) arbitrariamente.
b) f é sobrejetora se e somente se existe g : B → A tal que f ◦ g = IB.
c) f é sobrejetora se e somente se f ◦ f−1 = IB.
6. Sejam f : A → B e g : B → A. Mostre que se g ◦ f = IA e f ◦ g = IB então f é uma
bijeção e g = f−1
7. Seja R uma relação de equivalência em um conjunto não vazio A. Definimos a relação α
de A em [A]R por
α = {(x, [x]R) : x ∈ A}.
a) Mostre que α : A→ [A]R.
b) Mostre que α é sobrejetora.
c) Sob quais condições α será injetora?
8. Seja f : A→ A. Suponha que f também seja uma relação de equivalência. O que podemos
dizer sobre f? Resposta: Dica - Pense sobre que funções são reflexivas.
9. Sejam f : A → B e g : A → B. Demonstre ou dê contra-exemplos para as seguintes
conjecturas:
a) f ∪ g : A→ B.
b) f ∩ g : A→ B. Resposta: Dica - Não é verdade.
c) f ∪ g : A→ B implica f = g.
d) f ∩ g : A→ B implica f = g.
10. Seja f : A→ B e g : C → D, com A∩C = ∅. [Para refrescar sua memória sobre restrições,
veja o excercício 13 da seção 2.3].
a) Mostre que f ∪ g : A ∪ C → B ∪D.
b) Mostre que f ∪ g|A = f e f ∪ g|C = g.
11. Seja f : R→ R definida por f(x) = sen(x).
a) Mostre que f não é injetora.
b) Mostre que f |[pi/2,pi/2] é injetora.
158
12. Seja A um conjunto não vazio e seja
Ψ = {φ : φ é uma partição de A}.
Lembre-se que � (mais fino que) é uma relação de ordem parcial em Ψ. Seja
< = {R : R é uma relação de equivalência em A}.
Sabemos que existe uma bijeção entre os elementos de Ψ e <, assim denotemos a relação
de equivalência associada com a partição θ por Rθ. Definimos s relação v em < por
Rφ v Rθ se e somente se φ � θ.
a) Mostre que v é uma ordem parcial em <.
b) Mostre (ou dê um contra-exemplo):
Rφ v Rθ se e somente se Rφ ⊆ Rθ.
13. Suponha que f : A→ B e g : B → C, onde A,B e C são conjuntos não vazios. Demonstre
ou dê contra-exemplos para as seguintes conjecturas:
a) g ◦ f bijeção implica que f é injetora.
b) g ◦ f bijeção implica que f é sobrejetora.
c) g ◦ f bijeção implica que g é sobrejetora. Resposta: Dica - É verdade.
d) g ◦ f bijeção implica que g é injetora.
14. Seja f : A→ B, com R uma ordem total estrita em A e S uma ordem total estrita em B.
Dizemos que f é monotônica se e somente se ∀x, y ∈ A, xRy implica f(x)Sf(y).
a) Com a ordem usual (<) em R, de um exemplo de uma função que seja monotônica.
b) Com a ordem usual (<) em R, de um exemplo de uma função que não seja monotônica.
c) Se f : A→ B é monotônica, mostre que f é injetora.
15. Acredite se quiser: Resposta: Dica - A demonstração não está correta.
Conjectura: Seja f : A→ B e seja R uma ordem total estrita em A. Definimos a relação
S em B por
xSy ↔ ∃a, b ∈ A 3 aRb ∧ f(a) = x, f(b) = y.
Então S é uma ordem parcial estrita.
“Demonstração”: Suponha que f e R são como acima e S é definida como indicado.
Seja x ∈ B com xSx. Mas isto significa que existe a ∈ A tal que f(a) = x. Assim aRa,
que é impossível, pois R é irreflexiva, portanto S é irreflexiva. Agora, suponha x, y, z ∈ B
com xSy, ySz. Então existem a, b, c ∈ A tais que f(a) = x, f(b) = y e f(c) = z e aRb e
bRc. Como R é transitiva, aRc e portanto xSz, logo S é transitiva.
“contra-exemplo”: Sejam A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4} e f : A→ B dada por f(1) = 1,
f(2) = 1 e f(3) = 4. Suponha,
R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}
159
Então S = {(1, 2), (1, 4)}, que é transitiva mas não irreflexiva.
16. Acredite se quiser:
Conjectura: Seja f : A→ B e g : B → A. Se g ◦ f = IA então
g = f−1.
“Demonstração”: Sejam f, g como acima e seja x ∈ B. Suponha que y ∈ A é tal que
(x, y) ∈ g. Seja x ∈ B tal que (y, z) ∈ f . Como g ◦ f = IA, (x, y) ∈ g. Mas (x, y) ∈ g e
g é uma função, portanto x = z. Assim, (x, y) ∈ f−1, logo g ⊆ f−1. Agora suponha que
(x, y) ∈ f−1. Então (y, x) ∈ f . Como g ◦f = IA, (x, y) ∈ g, logo f−1 ⊆ g e portanto temos
que g = f−1.
“contra-exemplo”: Sejam A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4} com
f = {(1, 2), (2, 1), (3, 3)}
g = {(2, 1), (1, 2), (3, 3), (4, 3)}
Então g ◦ f = IA mas g 6= f−1, pois (4, 3) ∈ g.
17. Acredite se quiser:
Conjectura: Seja f : A→ B. Se f−1 ◦ f = IA então f é injetora.
“Demonstração”: Suponha que f é como descrito acima e x, y ∈ A com f(x) = f(y) = z.
Então f−1(z) = x e f−1(z) = y. Mas f−1 é uma função, portanto x = y e assim f é
injetora.
“contra-exemplo”: Sejam A = {a, b, c} e B = {1, 2, 3} com f(a) = 1, f(b) = 2 e
f(c) = 2. Então f−1 = {(1, a), (2, b), (2, c)} mas f não é injetora.
Exercícios 2.7
1. Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 3, 4, 5} e f : A→ B dada por f(1) = f(4) = f(6) = 3;
f(2) = 5 e f(3) = f(5) = 4. Encontre:
a) f({1, 2, 3}), f(A− {2}) e f(A)− {2}. Resposta: f(A− {2}) = {3,4}.
b) f−1({3}), f−1({4, 5}) e f−1({2}).
c) f({1, 2} ∩ {2, 6}) e f({1, 2}) ∩ f({2, 6}).
2. Seja f : A→ B. Mostre que:
a) C ⊆ D ⊆ A implica f(C) ⊆ f(D).
b) C ⊆ A e D ⊆ A implica que f(C ∪D) = f(C) ∪ f(D).
c) C ⊆ B e D ⊆ B implica que f−1(C ∪D) = f−1(C) ∪ f−1(D).
d) C ⊆ B e D ⊆ B implica que f−1(C ∩D) = f−1(C) ∩ f−1(D).
e) C ⊆ A implica C ⊆ f−1(f(C)) e dê um exemplo para mostrar que a igualdade não
vale.
Resposta: Resposta parcial - Seja C = {1}. Então f−1(f(C)) = {−1,1}.
f) C ⊆ B implica f(f−1(C)) ⊆ C e dê um exemplo para mostrar que a igualdade não
vale.
160
3. Seja f : A→ B. Para distinguir entre f e a extensão de f para subconjuntos de A, vamos
definir f∗ a relação de P(A) em P(B) por
f∗ = {(C, f(C)) : C ∈ P(A)},
e (f−1)∗ a relação de P(B) em P(A) por
(f−1)∗ = {(C, f−1(C)) : C ∈ P(B)}.
a) Mostre que f∗ : P(A)→ P(B).
b) Mostre que (f−1)∗ : P(B)→ P(A).
c) Mostre que f injetora se e somente se f∗ injetora.
Resposta: Resposta parcial - Suponha que f seja injetora. Sejam C,D ∈ P(A)
com f∗(C) = f∗(D). Suponha C 6= D. Então, existe x ∈ C tal que x /∈ D.
Mas f(x) ∈ f∗(C) = f∗(D) assim deverá existir y 6= x pertencente D tal que
f(y) = f(x). Mas isto contradiz a hipótese que f era injetora.
d) Mostre que f sobrejetora se e somente se f∗ sobrejetora.
e) Quando (f−1)∗ = (f∗)−1?
4. Seja A um conjunto não vazio e seja F = {f : f : A → A}. Então ◦ (composição de
função) é uma operação binária em F . Para responder o que segue o leitor usará alguns
dos teoremas demonstrados anteriormente.
a) Mostre que ◦ é associativa.
b) Dê um exemplo para mostrar que ◦ não é comutativa.
c) Mostre que IA é a identidade para ◦.
d) Quais elementos de F têm inversa?
e) Dê exemplos de funções idempotentes. Resposta: IA é idempotentes.
f) Se f é invertível e f ◦ g = f ◦ h, então g = h?
g) Mostre que se f e g são invertíveis então f ◦ g é também invertível. Qual é o inverso
de f ◦ g?
Talvez agora os nomes identidade e inverso como usados com funções assumem mais
significado agora, para I é a identidade de ◦ e f−1 é o inverso de f .
5. Seja • uma operação binária em A. Mostre que:
a) Se e é a identidade de • então e é idempotente para •.
b) Se • é associativa e comutativa e a e b são ambos idempotentes para • então a • b é
também idempotente.
c) Se • é associativa e x e y são invertíveis então x • y é também idempotente. Expresse
a inversa de x • y em termos das inversas de x e y.
Resposta: Dica - Sejam x∗ e y∗ os inversos de x e y e compute y∗ • x∗ • x • y.
161
6. Seja A um conjunto não vazio. Então ∪, ∩ e − são operações binárias em P(A). O lei-
tor pode quere citar os teoremas demonstrados anteriormente e outros excercıcios para
trabalhar nos seguintes itens:
a) Mostre que ∪ e ∩ são associativas e comutativas.
b) Dê exemplos para mostrar que − não é nem associativa nem comutativa.
Resposta: (Resposta Parical) Se A = {1,2} então {1} − {2} 6= {2} − {1}.
c) Mostre que cada elemento em P(A) é idempotente para ∪ e ∩.
Resposta: Como B ∪B = B ∩B = B para todos os conjuntos B, assim todos
os conjuntos são idempotentes para ambos ∪ e ∩.
d) Quais elementos são idempotentes para −?
e) Quais elementos são invertíveis para ∪, ∩ e −?
7. Seja A um conjunto não vazio. Definimos a operação binária • em P(A) por
X • Y = (X − Y ) ∪ (Y −X).
a) Mostre que • é comutativa. Resposta:Dica - Seria útil utilizar X •Y = (X ∩YC) ∪ (Y ∩XC).
b) Mostre que • é associativa.
c) Qual a identidade para •?
d) Mostre que cada elemento pertencente a P(A) é invertível.
e) Se X ⊆ A, qual é o inverso de X para •?
8. Seja F = {f : f : R → R, f(x) = ax + b, a 6= 0}. [F é o conjunto de todas as funções
lineare não constantes de R em R.]
a) Mostre que ◦ (composição de funções) é uma operação binária em F . Resposta: Dica
- Mostre que se f ,g ∈ F então f ◦ g ∈ F.
b) Qual a identidade para ◦?
c) Quais elementos de F são invertíveis? Resposta: Dica - Pense nos gráficos destas
funções.
d) Se f é invertível, qual a inversa de f?
e) Quais elementos de F são idempotentes?
9. Suponha que • seja uma operação binária associativa em A. Seja x um elemento fixo
pertencente a A. Definimos uma outra relação binária •x em A por
a •x b = a • (x • b).
Mostre que •x é associativa.
10. Mostre que a relação R do teorema 2.21 é uma relação de equivalência.
11. Seja • uma operação binária em A. Se B ⊆ A, podemos considerar que a restrição de
• a B, •|B. Esta restrição pode ou não ser uma operação binária em B. Se •|B for uma
operação binária em B, dizemos que B é fechado com respeito a •.
162
a) Dê uma definição precisa da restrição mencionada acima.
b) Sejam +,− as operações algébricas usuais em Z. Mostre que N é fechado com respeito
a +, mas não é fechado com respeiro a −.
c) Se • é uma operação binária em A com B ⊆ A, mostre que B é fechado com respeito
a • se e somente se
{x • y : x, y ∈ B} ⊆ B.
12. Seja f : A → B. Mostre que f pode ser decomposta em uma sobrejeção, uma bijeção e
uma injeção, isto é, existem funções α, β e γ tais que f = γ ◦β ◦α onde α é uma sobrejção,
β é uma bijeção e γ é uma injeção. [Dica: veja o teorema 2.21.]
13. Em álgebra com frequência usamos a regra “igual adicionado a igual é igual”, ou mais
precisamente, se a, b, c, d ∈ R com a = b e c = d então a + c = b + d. Prove que esta
afirmação está correta.
14. Acredite se quiser:
Conjectura: Seja f : A→ B e C,D ⊆ A. Então f(C ∩D) = f(C) ∩ f(D).
“Demonstração”: Sejam C,D ∈ A e suponha x ∈ f(C ∩ D). Então existe y ∈ C ∩ D
tal que f(y) = x. Claramente y ∈ C e y ∈ D, assim f(y) ∈ f(C) e f(y) ∈ f(D), logo
x ∈ f(C) ∩ f(D). Agora, suponha x ∈ f(C) ∩ f(D). Então existe y ∈ C tal que f(y) = x
e existe y ∈ D tal que f(y) = x. Mas y ∈ C ∩D, logo x ∈ f(C ∩D).
“contra-exemplo”: Sejam A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} e seja f : A→ B dada por f(1) = 1
e f(2) = 1. Se C{a} e D = {2}, então f(C ∩D)∅ enquanto que f(C) ∩ f(D) = {1}.
15. Acredite se quiser:
Conjectura: Sejam A e B conjuntos com f : A→ B. Então f−1 ◦ f (estas são as funções
induzidas por conjuntos) é uma relação de equivalência em P(A).
“Demonstração”: Sejam A, B e f como descritos acima e por conveniência, vamos
denotar a composição de funções induzidas por comjuntos, f−1 ◦f , por R. Seja C ∈ P(A).
Como f−1(f(C)) = C, (C,C) ∈ R e portanto R é reflexiva. Se C,D ∈ P(A), com (C,D) ∈
R então temos que f−1(f(C)) = D. Assim,
f(D) = f−1(f(C)) = f−1 ◦ f(C) = IB(f(C)) = f(C).
Como f(C) = f(D) então f−1(f(C)) = f−1(f(D)) logo, (D,C) ∈ R e portanto R
é simétrica. Agora suponha que (C,D) ∈ R e (D,E) ∈ R. Assim f−1(f(C)) = D e
f−1(f(D)) = E. Portanto,
E = f−1(f(D)) = (f−1◦f)(f−1◦f(C)) = f−1◦(f◦f−1)◦f(C) = f−1◦IB(f(C)) = f−1(f(C))
e assim (C,E) ∈ R e portanto R é transitiva, consequentemente uma relação
de equiva-
lência.
“contra-exemplo”: Sejam A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} e f : A → B dada por f(1) = 1 e
f(2) = 1. Então
f−1 ◦ f = {(∅,∅), ({1}, {1, 2}), ({1, 2}, {1, 2}), ({2}, {1, 2})},
163
que é simétrica mas não reflexiva.
16. Seja Q = {(m,n) : m,n ∈ Z com n 6= 0}. Definimos uma relação R em Q por
(m,n)R(x, y) se e somente se my = nx.
a) Mostre que R é ima relação de equivalência.
b) Encontre três elementos de [(1, 2)]R e três elementos de [(1,−1)]R.
Resposta: (Resposta Parcial) (1,2), (2,4) e (5,10) estão todos em [(1,2)]R.
c) Mostre que ∀n ∈ Z, n 6= 0, [(x, y)]R = [(nx, ny)]R.
Resposta: (Resposta Parcial) Seja n ∈ N, n 6= 0 e suponha que (w, z) ∈ [(nx,ny)]R
Então wny = znx. Como n 6= 0, podemos dividir por n, obtendo wy = zx por-
tanto (w, z)R(x,y) ou [(nx,ny)]R ⊆ [(x,y)]R.
d) Definimos a oeração binária ? em [Q]R por
[(x, y)]R ? [(m,n)]R = [(xm, yn)]R
Mostre que esta operação binária está “bem-definida”, isto é, se
[(x, y)]R = [(w, z)]R e [(m,n)]R = [(p, q)]R
então
[(x, y)]R ? [(m,n)]R = [(w, z)]R ? [(p, q)]R.
e) Podemos tentar definir outra operação binária em [Q]R por
[(x, y)]R ⊕ [(w, z)]R = [(x+ w, y + z)]R.
Mostre, por exemplo, que esta “operação binária” não está bem definida, e assim, não
é de fato uma operação binária.
f) Tentamos novamente defifinido
[(x, y)]R + [(w, z)]R = [(xz, yw, yz)]R.
Mostre que esta operação binária está bem definida.
[Nota: O leitor alerta pode ter feito a identificação de Q com Q, o conjunto dos números
racionais, com m,n fazendo o papel de m/n. De fato, o que pensamos ser o número 1/2
é realmente uma classe de esquivalência e igauldade de números racionais é igualdade de
classe de equivalência. Por isso no ensino básico aprendemos que 1/2 = 3/6.]
17. Seja f : N → N5 (veja exercício 8 da seção 2.5 para esta notação) dada por f(x) = [x]5.
Sejam R e α como no teorema 2.21.
a) Encontre [2]R e [9]R.
b) Encontre α(4) e α(13).
c) Definimos a operação binária + em [N]R por
[x]R + [y]R = [x+ y]R.
164
Mostre que + é de fato uma operação binária.
d) Mostre que [5]R é a identidade para +.
e) Mostre que ∀x, y ∈ N, α(x+ y) = α(x) + α(y).
Exercícios 3.2
1. Demonstre as seguintes proposições:
a) ∀n ∈ N, 12 + 22 + 32 + . . .+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1).
Resposta: Quando n = 1 temos 12 = 16(1 + 1)(2 + 1), que claramente é verdade.
Agora suponha que k ∈ N e 12 + 22 + 32 + . . .+ k2 = 16k(k + 1)(2k + 1), então
12 + 22 + 32 + . . .+ k2 + (k + 1)2 =
[1
6k(k + 1)(2k + 1)
]
+ (k + 1)2
= 16(k + 1) [k(2k + 1) + 6k + 6]
= 16(k + 1)
(
2k2 + k + 6k + 6
)
= 16(k + 1)
(
2k2 + 7k + 6
)
= 16(k + 1)(k + 2)(2k + 3)
= 16(k + 1)[(k + 1) + 1][(2(k + 1) + 1],
logo é verdade para k + 1, que completa o passo de indução e assim a de-
monstração por indução.
b) ∀n ∈ N, 13 + 23 + 33 + . . .+ n3 = (12n(n+ 1))2.
c) ∀n ∈ N, 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 1) = n2.
Resposta: Quando n = 1 temos 1 = 12, que claramente é verdade. Agora su-
ponha que k ∈ N e 1 + 3 + 5 + . . .+ (2k− 1) = k2, então
1 + 3 + 5 + . . .+ (2k− 1) + (2k + 1) = k2 + 2k + 1
= (k + 1)2,
logo é verdade para k + 1, que completa o passo de indução e assim a de-
monstração por indução.
d) ∀n ∈ N, 1 + 2−1 + 2−2 + . . .+ 2−n ≤ 2.
Resposta: Quando n = 1 temos 1 + 12 ≤ 2 que é verdade. Agora suponha k ∈ N
e 1 + 2−1 + 2−2 + . . .+ 2−k ≤ 2. Multiplicando esta igualdade por 12 obtemos
2−1 + 2−2 + . . .+ 2−(k+1) ≤ 1 e adicionando 1 de cada lado vemos que a desi-
gualdade vale para k + 1.
e) ∀n ∈ N, n ≥ 2,∀x, y ∈ R, xn − yn = (x− y)(xn−1 + xn−2y + . . .+ xyn−2 + yn−1).
f) ∀n ∈ N, 2|n(n+ 1).
165
Resposta: Quando n = 1 temos 2|(1 · 2), que claramente é verdade. Agora
suponha que k ∈ N e 2|k(k + 1), portanto ∃m ∈ Z tal que k(k + 1) = 2m, então
(k + 1)(k + 2) = k2 + 3k + 2
= (k2 + k) + (2k + 2)
= 2m + 2k + 2
= 2(m + k + 1),
logo é verdade para k + 1, que completa o passo de indução e assim a de-
monstração por indução.
g) ∀n ∈ N, 7|(32n+1 + 2n+2) [Dica: 9 = 7 + 2].
h) ∀n ∈ N, 11|(8 · 102n + 6 · 102n−1 + 9).
Resposta: Quando n = 1 temos 11|(800 + 60 + 9) ou 11|869, que claramente
é verdade. Agora suponha que k ∈ N e 11|(8 · 102k + 6 · 102k−1 + 9, portanto
∃m ∈ Z tal que 8 · 102k + 6 · 102k−1 + 9 = 11m, então
8 · 102(k+1) + 6 · 102(k+1)−1 + 9 = 8 · 102k+2 + 6 · 102k+1 + 9
= 100(8 · 102k + 6 · 102k−1 + 9)− 891
= 100[11m− 891]
= 100[11m− 11 · 81]
= 11[100(m− 81)],
logo é verdade para k + 1, que completa o passo de indução e assim a de-
monstração por indução.
i) ∀n ∈ N, Dnxxn = n!.
j) ∀n ∈ N, 2n > n.
k) ∀n ∈ N,∀a, b ∈ R, a > b > 0 implica an > bn.
l) ∀n ∈ N, nn ≥ n!.
Resposta: Quando n = 1 temos 11 ≥ 1! que é verdade. Agora suponha k ∈ N e
kk ≥ k!. Assim, (k + 1)k+1 = (k + 1)k(k + 1) ≥ kk(k + 1) ≥ k!(k + 1) = (k + 1)!, logo
é verdade para k + 1, que completa o passo de indução e assim a demons-
tração por indução.
m) ∀n ∈ N, 9|(2 · 10n + 3 · 10n−1 + 4).
n) ∀n ∈ N, (1 + 1−1)(1 + 2−1)(1 + 3−1) . . . (1 + n−1) = n+ 1.
o) ∀n ∈ N, 3 + 11 + 17 + . . .+ (8n− 5) = 4n2 − n.
p) ∀n ∈ N, 1 + 1/22 + 1/32 + . . .+ 1/n2 ≤ 2− 1/n.
q) ∀n ∈ N,∀a, b ∈ R, a ≥ 0, b ≥ 0, an + bn ≥ (a+ b/2)n.
r) ∀n ∈ N,∀a ∈ R, a 6= 1, 1 + a+ a2 + . . .+ an = (1− an+1)/(1− a).
Resposta: Quando n = 1 temos 1 + a = 1−a21−a =
(1−a)(1+a)
1−a , que claramente é ver-
dade. Agora suponha que k ∈ N e 1 + a + a2 + . . .+ ak = (1− ak+1)/(1− a),
166
então
1 + a + a2 + . . .+ ak + ak+1 = 1− a
k+1
1− a + a
k+1
= 1− a
k+1 + ak+1 − ak+2
1− a
= 1− a
k+2
1− a ,
logo é verdade para k + 1, que completa o passo de indução e assim a de-
monstração por indução.
s) ∀n ∈ N, (1 ·3 ·5) + (3 ·5 ·7) + . . .+ [(2n−1) · (2n+ 1) · (2n+ 3)] = n(2n3 + 8n2 + 7n−2).
t) ∀n ∈ N, 1/(1 · 3) + 1/(2 · 4) + . . . 1/[n · (n+ 2)] = (3n2 + 5n)/[4(n+ 1)(n+ 2)].
u) ∀n ∈ N, (1− 12)(1− 13) . . . (1− 1n) = 1n .
Resposta: Quando n = 2 temos 1− 12 = 12 , que claramente é verdade. Agora
suponha que k ∈ N e (1− 12)(1− 13) . . . (1− 1k) = 1k , então(
1− 12
)(
1− 13
)
. . .
(
1− 1k
)(
1− 1k + 1
)
= 1k
(
1− 1k + 1
)
= 1k −
1
k(k + 1)
= (k + 1)− 1k(k + 1)
= kk(k + 1)
= 1k + 1 ,
logo é verdade para k + 1, que completa o passo de indução e assim a de-
monstração por indução.
v) ∀n ∈ N, (1− 122 )(1− 132 ) . . . (1− 1n2 ) = 12(1 + 1n).
2. Mostre que para todos os números naturais n, n ≥ 2, existem inteiros não negativos a e b
tai que n = 2a+ 3b.
3. Encontre n0 tal que ∀n ∈ N, n ≥ n0, n2 < (54)n e demonstre que o resultados está correto.
4. Suponha que a sequência de números (an) recursivamente como se segue: a1 = 1 e para
n ≥ 2, seja an = an−1 + 2√an−1 + 1. Mostre que ∀n ∈ N, an é um inteiro.
Resposta: Dica - Compute primeiro alguns poucos valores an e tente demonstrar
um resultado mais forte no qual o resultado desejado será uma consequencia.
5. Para n ∈ N, seja an = 1 + 2−1 + 3−1 + . . .+ n−1. Mostre que para cada M ∈ N existe um
n ∈ N tal que an > M .
6. Acredite se quiser:
Conjectura: ∀n ∈ N, n ≥ 783, 3n4 + 15n− 7 é par. Resposta: Falso.
167
“Demonstração”: Quando n = 783, 3n4 + 15n − 7 = 1.127.634.377.502, que é par.
Agora suponha, n ≥ 783 e que 3n4 + 15n − 7 seja par, assim existe m ∈ N tal que
3n4 + 15n− 7 = 2m. Então
3(n+ 1)4 + 15(n+ 1)− 7 = 3(n4 + 4n3 + 6n2 + 4n+ 1) + 15n+ 15− 7
= 3n4 + 15n− 7 + 12n3 + 18n2 + 12n+ 18
= 2(m+ 6n3 + 9n2 + 6n+ 9),
que é par. Resposta: Falso.
“contra-exemplo”: Quando n = 1000, 3n4 + 15n − 7 é ímpar, pois 3n4 + 15n é clara-
mente divisível por 1000, assim quando o 7 é subtraído, o resultado será ímpar. Resposta:
Verdadeiro.
Exercícios 3.3
1. Da demonstração do teorema 3.1 definiu-se os conjuntos T e SC . Mostre que T ⊆ SC .
2. Mostre que Z não tem o princípio da boa ordenação válido, isto é, de um exemplo de um
subconjunto não vazio de Z que não tenha um elemento mínimo.
Resposta: Dica - Considere o conjunto S = {n ∈ Z : n < 0}.
3. Use o princípio
da boa ordenação para mostrar que
√
3 é irracional. Tente a mesma
técnica usada na demonstração do teorema 3.4. Mostre onde esta técnica falharia se ela
fosse utilizada para mostrar que
√
4 é irracional.
4. Use o princípio da boa ordenação para mostrar que
√
17 é irracional.
5. Demonstre os excercício 1a e 1a da seção 3.2 usando o princípio da boa ordenação.
6. Demonstre as seguintes proposiçõesusando qualquer método de sua preferência:
a) ∀n ∈ N, 14 + 24 + . . .+ n4 = n(n+ 1)(2n+ 1)(3n
2 + 3n− 1)
30 .
b) ∀n ∈ N, 15 + 25 + . . .+ n5 = n
2(n+ 1)2(2n2 + 2n− 1)
12 .
c) ∀n ∈ N, 16 + 26 + . . .+ n6 = n
7
7 +
n6
2 +
n5
2 −
n3
6 +
n
42 .
d) ∀n ∈ N, 1 · 2 + 2 · 3 + . . .+ n(n+ 1) = n(n+ 1)(n+ 2)3 .
e) ∀n ∈ N, 2304|(72n − 48n− 1).
f) ∀n ∈ N, 1√
1
+ 1√
2
+ . . .+ 1√
n
≤ 2√n− 1.
g) ∀n ∈ N, ∀k ∈ N, 1k + 2k + . . .+ nk ≤ nk+1.
7. Sejam α, β as soluções da equação x2 − x − 1 = 0, com α > 0. Para todo n ∈ N, seja
Fn = (αn − βn)/(α− β).
168
a) Encontre F1, F3 e F4. [Nota: Estes números são conhecidos como os números de Fibo-
nacci.]
Resposta: Dica - Note que αβ = −1 e α+ β = 1.
b) Mostre que ∀n ∈ N, Fn+2 = Fn+1 +Fn. [Nota: Esta recorrência será útil para o restante
deste excercício.]
c) Mostre que ∀n ∈ N, Fn é um inteiro.
d) Mostre que ∀n ∈ N, Fn < (138 )n.
e) Mostre que ∀n ∈ N, F 2n+1 − FnFn+2 = (−1)n.
f) Mostre que ∀n ∈ N, 2|F3n, 2 6 | F3n+1 e 2 6 | F3n+2.
g) Mostre que ∀n ∈ N,
n∑
i=1
Fi = Fn+2 − 1.
h) Mostre que ∀m,n ∈ N, FmFn + Fm+1Fn+1 = Fm+n+1.
i) Suponha que definimos Sn = F 21 + F 22 + . . .+ F 2n . Encontre uma fórmula fechada para
Sn e demonstre que seu resultados está correto.
8. Suponha que definimos a sequência de números (rn) recursivamente como se segue: r1 = 1,
r2 = 1/4 e para n ≥ 2,
rn+1 =
rnrn−1
rn + rn−1 + 2
√
rnrn−1
.
Mostre que ∀n ∈ N, rn = F−2n+1. (Fn do excercício anterior).
Resposta: Dica - Use a recorrência para Fn do exercício 7.
9. Mostre que para todo n ∈ N :
a) 6400|(92n − 80n− 1).
b) 3|(4n + 2).
c) 13|(42n+1 + 3n+2).
d) 24|(16n + 93n−2 − 1).
10. Extenda o algoritmo da divisão (teorema 3.5) para incluir o caso quando a ≤ 0. Também
mostre que q e r são únicos.
11. Defina a sequência (an) por a1 = a2 = 1, e para n ≥ 3, an = 4an−1 + 5an−2. Mostre que
para n ≥ 3, an = 1155n + 23(−1)n+1.
12. Acredite se quiser:
Conjectura: ∀n ∈ N, n é um primo ou ∃p, q ∈ Z 3 n = 2p3q.
“Demonstração”: Claramente a assercão é verdadeira quando n = 1, pois 1 = 2030.
Agora, suponha que isto seja verdade quando 1, 2, . . . , k. Se k+1 for primo, a demonstração
estará terminada, potanto suponha que k + 1 não seja primo. Então k + 1 = ab, onde
1 < a < k + 1 e 1 < b < k + 1. Pela hipótese de indução, a = 2p3q e b = 2r3s para
p, q, r, s ∈ Z. Assim k + 1 = 2p+r3q+s, que completa a demonstração.
“contra-exemplo”: Considere 25. 25 não é primo e como 2 6 | 25 e 3 6 | 25, 25 6= 2p3q para
quaisquer inteiros p e q.
Referências Bibliográficas
[1] G. Chartrand, A. D. Polimeni, and P. Zhang. Mathematical Proofs: A Transision to
Advanced Mathematics. Pearson Education, Inc., New York, 2013.
[2] R. Cori, D. Lascar, and D. H. Pelletier. Mathematical Logic : A course with exercises
– Part I – Propositional Calculus, Boolean Algebras, Predicate Calculus, Completeness
Theorems. Oxford University Press, USA, New York, 2000.
[3] D. C. de Moraes Filho. Um Convite à Matemática. SBM, Rio de Janeiro, 2013.
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[14] D. J. Velleman. How to Prove it: A Structured Approach. Cambridge University Press,
New York, 2006.
169
170
Índice Remissivo
Absurdo, 14
Adição, 14
Argumento, 17
Bicondicional, 9
Classe de Equivaência, 79
Conclusão, 17
Conclusão, 7
Condicional, 7
Conectivos, 2
“e”, 2
“nou”, 12
“ou”, 2
Bicondicional, 9
de Sheffer, 12
Conjunção, 2
Conjunto Verdade, 54
Conjuntos
Complemento, 45
Complemento Relativo, 44
Conjunto Potência, 46
Disjuntos, 44
Igualdade, 42
Intersecção, 44
Operações, 44
União, 44
Vazio, 43
Consequência Lógica, 17
Contra Exemplo, 21
Contradição, 12
Contrapositiva, 14, 35
Demonstração
Contradição, 20, 36
Contrapositiva, 36
Direta, 35
Indireta, 20, 36
Diagrama de Venn, 45
Disjunção, 2
Domínio de uma Função Proposicional, 22
Equivalência, 14
Equivalência Lógica, 6
Função, 83
Bijetora, 85
Codomínio, 84
Identidade, 87
Imagem, 84
Injetora, 85
Monotônica, 90, 158
Pré-imagem, 84
Sobrejetora, 85
Funcão Proposicional, 22
Hipótese, 17
Implicação, 14
Implicação Lógica, 13
Implicação, 7
Contrapositiva, 9
Inversa, 9
Negação, 8
Recíproca, 9
Interpretações, 22
Lei
DeMorgan, 6, 14
Exportação, 14
Modus Ponens, 14
Modus Tollens, 14
Negação
Dupla, 14
Negação, 3
Operação Binária, 92
171
172
Associativa, 92
Comutativa, 92
Elemento Idempotente, 92
Elemento Inverso, 92
Identidade, 92
Ordem
Fraca, 68
Linear, 61
Parcial, 61
Parcial Estrita, 61
Total, 61
Total Estrita, 61
Par Ordenado, 58
Paradoxo de Russell, 53
Partição Mais Fina, 81, 154
Partição, 78
Blocos, 78
Premissa, 7
Premissas, 17
Princípio da Boa Ordenação, 106
Princípio da Indução Completa, 106
Princípio da Indução Matemática, 102
Princípio de Demonstração , 18
Produto Cartesiano, 58
Proposição
Associatividade, 14
Comutatividade, 14
Distributividade, 14
Identidades, 14
Proposição, 1
Quantificação, 22
Quantificador
Existencial, 23
Universal, 23
R-classe, 68
Reductio ad Absurdum, 14, 35
Relação, 59
Antisimétrica, 61
Assimétrica, 61
Associatividade, 73
Completa, 61
Composta, 70
de Equivalência, 61
Domínio, 59
Fecho Transitivo, 67
Identidade, 70
Imagem, 59
Inversa, 69
Irreflexiva, 61
Mais fina, 82, 155
Reflexiva, 61
Restrição, 67
Simétrica, 61
Transitiva, 61
Transitividade Negativa, 68
Silogismo
Disjuntivo, 14
Hipotético, 14
Simplificação, 14
Subconjunto, 43
Subconjunto Próprio, 43
Tabela Verdade, 2
Tautologias, 12
Valor Verdade, 2
	Prefácio
	Lógica
	Introdução 
	Conectivos e, ou, não e tabelas verdade
	Implicação e a bicondicional
	Tautologias
	Argumentos e o princípio da demonstração 
	Quantificadores
	Mais quantificadores
	Métodos de demonstração 
	Conjuntos, Relações e Funções 
	Conjuntos
	Conjuntos Verdade
	Relações
	Mais relações 
	Relações de Equivalência e Partições
	Funções
	Mais Funções
	Indução Matemática
	Introdução 
	Princípio da Indução Matemática
	Formas Equivalentes do Princípio da Indução Matemática
	Exercícios Resolvidos
	Referências Bibliográficas
	Índice Remissivo