Cap. 4 Centroides e centro de gravidade parte I

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12/10/2017 
1 
2 - 1 
Universidade Federal da Paraíba 
Centro de Tecnologia - CT 
Departamento de Engenharia de Alimentos - DEA 
MECÂNICA APLICADA 
TECNOLOGIA DE ALIMENTOS 
Prof.ª Joselma Araújo 
joselmaaraujo@yahoo.com.br 
2017.1 
Centroides e Centro de Gravidade 
(Parte I) 
2 - 2 
Introdução 
• A Terra exerce uma força gravitacional em cada uma das partículas 
que constituem um corpo. Essas forças podem ser substituídas por 
uma única força equivalente, de intensidade igual ao peso do corpo 
e aplicada em seu centro de gravidade. 
• O centroide de uma superfície é análogo ao centro de gravidade de 
um corpo e a para a sua determinação é utilizado o conceito de 
momento de primeira ordem de uma área. 
• A determinação da área de uma superfície de revolução ou do 
volume de um sólido de revolução é possível com a utilização dos 
Teoremas de Pappus-Guldinus. 
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2 - 3 
Centro de Gravidade de um Corpo Bidimensional 
• Centro de gravidade de uma placa: 








dWy
WyWyM
dWx
WxWxM
x
y
• Centro de gravidade de um fio: 
2 - 4 
Centroides e Momentos de Primeira Ordem de Superfícies e Curvas 
   
x
QdAyAy
y
QdAxAx
dAtxAtx
dWxWx
x
y
 a relação em ordem primeira de momento 
 a relação em ordem primeira de momento 
 











• Centroide de uma superfície: 
   








dLyLy
dLxLx
dLaxLax
dWxWx

• Centroide de uma curva: 
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Momentos de Primeira Ordem de Superfícies e Curvas 
• Uma superfície é simétrica em relação a uma eixo 
BB’ se para cada ponto P da superfície há um 
ponto P’ tal que a linha PP’ é perpendicular a BB’ 
e é dividida em duas partes iguais por esse eixo. 
• Se uma superfície tiver dois eixos de simetria, seu 
centroide deverá se localizar na interseção dos dois. 
• Uma superfície é simétrica em relação a um centro 
O se, para cada elemento de superfície dA em (x,y) 
existir um elemento dA’ de mesma área em (-x,-y). 
• O momento de primeira ordem de uma superfície 
em relação a um eixo de simetria é zero. 
• Se uma superfície tiver um eixo de simetria, seu 
centroide fica localizado sobre esse eixo. 
2 - 6 
Centroides de Superfícies Planas de Formatos Usuais 
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Centroides de Curvas Planas de Formatos Usuais 
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Placas e Fios Compostos 
• Placas compostas: 




WyWY
WxWX
• Superfícies compostas: 




AyAY
AxAX
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2 - 9 
Exemplo 4.1: Para a superfície plana mostrada, determine os momentos de 
primeira ordem em relação aos eixos x e y e a localização do centroide. 
SOLUÇÃO: 
• Dividimos a área em um triângulo, um 
retângulo e um semicírculo com um 
orifício circular. 
• Calculamos as coordenadas do centroide 
da superfície dividindo os momentos de 
primeira ordem pela área total. 
• Encontramos a área total e os momentos 
de primeira ordem do retângulo, do 
triângulo e do semicírculo. Subtraímos a 
área e o momento de primeira ordem do 
orifício circular. 
• Calculamos os momentos de primeira 
ordem de cada superfície em relação aos 
eixos x e y. 
2 - 10 
33
33
mm107,757
mm102,506


y
x
Q
Q
• Encontramos a área total e os momentos de 
primeira ordem do retângulo, do triângulo e do 
semicírculo. Subtraímos a área e o momento de 
primeira ordem do orifício circular. 
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23
33
mm1013,828
mm107,757





A
Ax
X
mm 8,54X
23
33
mm1013,828
mm102,506





A
Ay
Y
mm 6,36Y
• Calculamos as coordenadas do centroide da superfície dividindo os 
momentos de primeira ordem pela área total. 
2 - 12 
Exemplo 4.2: A figura mostrada é feita de um pedaço de arame fino e 
homogêneo. Determine a localização do centro de gravidade. 
Segmento L (cm) x (cm) y(cm) xL (cm2) yL (cm2) 
AB 60 30 0 1800 0 
BC 65 30 12,5 1950 812,5 
CA 25 0 12,5 0 312,5 
Soma 
L=150 
Soma xL=3750 Soma yL=1125 
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2
2
cm 1251cm) (150Y 
cm 3,750cm) (150X 
,:LyLY
:LxLX




• Substituindo os valores obtidos da tabela nas equações de definição do 
centroide de uma linha composta, obtemos. m25cX  m57 c,Y 
2 - 14 
Exemplo 4.3: Uma barra semicircular uniforme de peso W e raio r é ligada a um 
pino em A e repousa sobre uma superfície sem atrito em B. Determine as reações 
em A e B. 
WAW:F
W
BA:F
W
B:M
yy
xx
A












 0A 0
 0BA 0
 0
2r
W-B(2r) 0
y
x 

 

W
B  

W
Ax
 WAy
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• Somando-se os dois componentes da reaação em A: 




1-
2
1
2
2
1
2
2
 tg 
1
1 W A























W
W
tg
WA
W
• As respostas, também podem ser escritas da seguinte forma: 
0372 e 0491 ,W,A   3180 W,B
2 - 16 
Exemplo 4.4: Determine: (A) o centroide das áreas planas das figuras (a) e (b) 
e (B) o centro de gravidade apenas para a figura (a). 
(a) 
(b) 
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Exemplo 4.5: Uma haste circular uniforme de peso 35 N e raio 250 mm é fixada 
pelo pino C e pelo cabo AB. Determine (a) a tração no cabo, (b) a reação em C.