Capitulo II operut dinamica de sistemas solido fluido

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EQ651 – Operações Unitárias I
Capítulo II – Dinâmica de Sistemas Sólido-Fluido
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Caracterização de Partículas
Caracterização de Tamanho e Forma de Partículas Sólidas
Personagem principal no estudo de sistemas particulados 
Material Sólido
• Parte integrante do material de processo
• Produto ou subproduto gerado no processo
• Resíduo de descarte
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Tipos de sólidos: quanto ao tamanho e massa específica
Homogêneo: mesmo tamanho, forma e massa específica
Heterogêneo: ampla faixa de tamanho, forma e massa específica
Classificação em tamanho e forma de partículas
Realizada através de operações que se utilizam da dinâmica do 
sistema sólido-fluido (elutriação), ou de outras operações 
puramente mecânica. Baseiam-se nas características físicas do 
material.
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Análise Granulométrica de Partículas
Distribuição de tamanhos de partículas
Usa-se com frequência peneiras 
padronizadas da série Tyler
Análise em Peneiras
Série de peneiras Tyler Apêndice C8 Foust et al., 1982- Princípios das
Operações Unitárias
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Tabela – Série de peneiras padrão
Designação da peneira Abertura da 
peneira
Diâmetro nominal
do arame (fio)
Designação 
Tyler
mm inmm inStandard Alternativa
107,6 4,24 107,6 4,24
60 mesh
48 mesh
60
50
Ex.: peneira nº6 – abertura: 3,36 mm ou 0,132 in
Designação tyler: outra maneira comumente usada para se referir
as peneira
Mesh: número de abertura por polegada linear
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Menor peneira: padronizada – 400 mesh – abertura = 0,037 mm
partícula < 37 µm.
Sistemas Padronizados
Tyler (International Standard Organization)
Sólidos Grosseiros: abaixo de 4 mesh ( > 4700µm)
Finos: 4 mesh a 48 mesh (300-4700 µm)
Ultra-finos: 48 a 400 mesh (38-300 µm)
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Equipamentos
• Peneiras com base vibratória
• Microscopia Eletrônica de Varredura(MEV)
•Difração de Raio Laser
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Peneiras com Base Vibratória
Figura 1. Agitador eletro-magnético e peneiras 
redondas para análise granulométrica Figura 2. Distribuição das partículas 
nas peneiras
(http://www.bertel.com.br/mostruario.html)
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Microscopia Digital
Camera CCD 
Imagem
Digital
Figura 3: Imagem de um microscópio digital e processamento
Interface Imagem
Processada
e AnalisadaControle das Lentes
(http://www.dcmm.puc-rio.br/cursos/micquant/index_files/frame.html)
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Exemplos 
(a) (b)
Figura 4. Micrografias obtidas pelo MEV: a) esferas de vidro; b) areia; c) alumina
(Santos E.S., Estudo de Mistura e Segregação em Leito Fluidizado de Partículas Polidispersas, Tese de Mestrado, Unicamp, 1997)
(c)
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Figura 5. Micrografias de um polímero (PE alta densidade) obtidas pelo MEV
(Ref.: Tannous K e Soares J.B.P., Gas Phase Polymerization of Ethylene Using Supported
Metallocene Catalysts: Study of Polymerization Condition, Macromolecular Chemistry and 
Physics, issue 13/2, julho de 2002)
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Difração de Raios Laser
Figura 6: Analisador de partículas por difração a Laser
(http://www.shimadzu.com.br/analitica/port/Produtos/SALD/images/sald3101.jpg)
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Análise Granulométrica Típica:
Massa total: 142,5 g
Peneirasselecionadas: 35, 42, 48 e 60
Tyler di(cm) Mretida(g) xi X(%)=(100X)
32-35
35-42
42-48
48-60
0,456
0,384
0,323
0,272
0,74
91,32
48,74
1,70
0,005
0,641
0,342
0,012
99,48
35,40
1,19
0,0
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Nomenclatura (32-35) -32+35, ou seja, passa pela peneira 32, 
mas fica retida na peneira 35.
di = (d32+d35)/2 = (0,495+0,417)/2 = 0,456 mm
X = fração em peso menor que di (distribuição granulomérica)
Tyler X X(%)=(100X)
32-35
42-48
99,48
1,19
[(142,5-0,74)/142,5=0,9948
[(142,5-0,74-91,32-48,74)/142,5]=0,0119
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Expressões para o cálculo de dp
1. Diâmetro da partícula, cujo volume é igual ao volume médio 
de todas as partículas
∑ 


=
3
3 1
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p
d
x
d
2. Diâmetro da partícula, cuja área superficial é igual à média das áreas 
superficiais de todas as partículas
∑
∑








=
3
2
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x
d
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3. Diâmetro da partícula cuja relação superfície/volume é a 
mesma para todas as partículas
Diâmetro Médio de Sauter (dps) 

=
i
i
ps
d
xΣ
1d
• Dependendo da situação os resultados são melhores, e é tradicional 
utilizar uma ou outra definição. Em sistemas particulados 
(escoamento em meios porosos), cinética e catálise a definição mais 
utilizada é a de Sauter.
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Modelos de Distribuição
1. Gates-Gaudin-Schumann
100i
m
i dK eK d onde 
K
dX =<

=
X=fração das partículas com diâmetro menor de di
m=1 (distribuição uniforme)
m 1(casos usuais)≠
X
di
m<1
m>1
K
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Determinação de m: ln(x) = m ln(di/K)
tg α = m
ln X
α
ln (di/K)
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2. Rosin-Ramler-Bennet
 d d´ onde 1X 63,2d´
di
=−= 

−
n
e
0,632
d63,2 di
X
 X-1 d´
di
n
e


−= X-1
1 d´
di
n
e



=
 
d´
d
X-1
1ln i
n


=

 
d´
dln
X-1
1lnln i 

=

 

 n
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3. Log Normal
[ ] ( )( )σln2 /dlnz onde 2erf(z)1X 50i d=+=
∫ −= z0 2 )dyyexp(π2erf
Para ajustar uma distribuição log-normal
1
9,15
50
50
1,84 ≥==
d
d
d
dσ
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Esfericidade
partícula da superfície da área
partículadavolumeigual deesferadasuperfíciedaáreaφ =
Ex.: esfericidade de um cilindro equilátero (D=H)
Vesfera=Vcilindro
H
4
πD
6
πd 23 =
4
πD
6
πd 33 = D
3/1
2
3d 

=
D
H
0,87
3D
D
2
32
3D
2d
πDH
4
D2
πd
S
Sφ 2
2
2/3
2
2
2
2
c
e =




==
+π
==
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Outras propriedades importantes
Propriedades Importantes: 
• Porosidade, distribuição de tamanhos de poros e tipos de
poros
• Densidade real e aparente
• Área superficial
Essas propriedades influenciam processos importantes:
• Adsorção / dessorção de líquidos e gases em sólidos
• Reações catalíticas
• Processos de separação
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Porosidade de materiais sólidos
Tipos de Poros: poros interconectado ou efetivo e poros 
isolados (fechados) ou não-interconectados. Existem ainda os 
poros cegos ou “dead-end”, que são interconectados apenas 
por um lado. 
Figura 7: Partícula porosa com os três tipos de poros
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¾ Vazios não-interconectados ou poros isolados não 
contribuem para o transporte da matéria através do material 
poroso, apenas os poros interconectados ou efetivos podem 
contribuir. 
¾ Poros cegos, ainda que possam ser penetrados por fluidos, 
contribuem muito pouco para o transporte de matéria 
(Dullien, 1992). 
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Classificação dos Poros
Classificação dos poros conforme o tamanho (Allen, 1997):
- Macroporos - têm amplitude superior a 50 nm;
- Mesoporos - amplitude de 2 a 50 nm;
- Microporos - amplitude de 0,6 a 2 nm,
- Ultramicroporos - têm amplitude menor que 0,6 nm.
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™ POROSIDADE: é a fração de espaços vazios. É a relação 
entre o volume ocupado pelos poros e/ou 
vazios e o volume total da amostra.
partícula da totalvolume
abertos poros dos volume=oε
pó do totalvolume
 vaziose abertos poros dos volume=ε
Porosidade da partícula
Porosidade do pó
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Dependendo do tipo do meio poroso, a porosidade pode 
variar de próximo de zero até perto da unidade. Por 
exemplo, metais e alguns tipos de pedras vulcânicas têm 
porosidades muito baixas, enquanto filtros fibrosos e 
isolantes térmicos são substâncias muito porosas 
(Dullien, 1992).
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Métodos Experimentais para Porosidade
Método direto:
• medir o volume “bulk” (aparente) de uma amostra porosa
• destruir de alguma maneira os vazios
• medir o volume de sólido apenas
Método óptico:
• propriedades ópticas para identificar os poros
• impregnar os poros com cera ou plástico para tornar os poros 
mais visíveis
Limitações:
• apenas poros interconectados são penetrados
• poros pequenos podem não ter sido impregnados
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Método de Imbebição
• Imergir a amostra em um fluido molhante
• Sob vácuo, causar a imbebição de todos os espaços 
• Amostra é pesada antes e depois da imbebição
• Com a diferença das massas e densidade do líquido, obtém-se o 
volume de poros
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Método de intrusão de mercúrio
O volume “bulk da amostra é determinado pela imersão da amostra 
no mercúrio (baixa pressão)
• Muitos materiais não são molhados pelo mercúrio – o líquido não 
penetra nos poros
• Impõe-se pressão alta na câmara contendo a amostra, forçando o 
mercúrio nos poros
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O porosímetro de Hg mede a porosidade e a distribuição de 
tamanhos de poros na amostra
Usa a equação de Washburn: 
D é o diâmetro do poro 
γ é a tensão superficial
θ é o ângulo de contato 
P a pressão.
P
cos4
D
θγ-
=
A equação considera que todos os poros são cilíndricos e que eles se esvaziam 
completamente quando a pressão é reduzida a zero.
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Dados obtidos em um porosímetro de Intrusão de Hg:
• Volume acumulado de poros x diâmetro de poro
• Diâmetro médio de poros
• Porosidade média
• Densidades real e aparente do material
Outros equipamentos para determinação de porosidade de sólidos ....
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Densidade de Materiais Sólidos
Densidade: propriedade definida como massa por unidade de 
volume
Densidade real: poros os excluindo volume
massa
s =ρ
Densidade aparente ou efetiva: ρ
 totalvolume
massa=ef
Onde: volume total = vol. de sólido + vol. de poros
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• Densidade de sólidos normalmente obtida por deslocamento de 
líquido em equipamento chamado de picnômetro
Picnômetro comum – recipiente com volume calibrado para 
determinado fluido (normalmente água) à determinada temperatura
Densidade de sólido por picnometria Material insolúvel no
líquido
[ ] ( )[ ]( ) O2HolsO2HpicsolO)2H(picsol /ρmassamassamassa
sólido de massaρ
+++ −+
=
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Figura 8: Esquema do Picnômetro a Gás Hélio
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Princípio de medição:
• Volume da amostra calculado pela mudança de pressão 
observada no gás Hélio quando este se expande de uma câmara 
contendo a amostra para a outra câmara, sem amostra.
• Para massa da amostra conhecida, determina-se a densidade do
material
9É considerado um método bastante preciso de determinação de
densidade real de sólidos. 
9Disponibilidade de modelos automáticos
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Área Superficial de Sólidos
Área superficial específica: definida como a área superficial dos
poros por unidade de massa (S) ou volume (Sv) do material poroso
Propriedade importante para:
• adsorção
• determinação da efetividade de catalisadores
• filtração, etc...
Área superficial
da partícula
Em vermelho
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Métodos Experimentais para Área Superficial
Os equipamentos para medida da área superficial utilizam a
Teoria de Adsorção de Gases em Sólidos
Teoria mais simples: modelo de Langmuir
Assume que apenas uma camada de moléculas de gás é 
adsorvida no sólido. A partir das equações do modelo, 
quantifica a área superficial do material
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Métodos Experimentais para Área Superficial
Método mais utilizado: Brunauer, Emmet e Teller,
conhecido como método BET
É uma extensão do modelo de Langmuir, corrigindo para a 
Adsorção de mais de uma camada de moléculas de gás.
A partir das equações do modelo, quantifica a área 
superficial do material.
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Dinâmica da Partícula Sólida
A 2o lei de Newton estabelece que o que atuam em um 
sistema é igual a taxa de mudança de momentum linear do 
sistema.
F
r∑
vm.P onde ,
dt
PdF rvr ==∑
r
ou
Para uma partícula de massa m, que atuam na partícula é a 
taxa de mudança de momentum linear da partícula ( quantidade 
de movimento da partícula).
F∑
≡
r
dt
vdmF
rr =∑
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Para uma partícula caindo em um fluido,
kep FFFdt
vdm
rrrr ++=
dp ρ
eF kF
r
pF
r
ρs
ou
r
kFg.V.ρg.mdt
vdm
rrrr +−=
ks Fg.V.ρg.V.ρdt
vdm
rrrr +−=
( ) ks Fg.Vρρdt
vdm
rrr +−=
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a?Fk =
r
ur velocidade do fluido
velocidade da partículavr
vr
ur
Força de atrito está relacionada à velocidade 
relativa ( )vu rr −
Define-se o coeficiente de arraste: CD
( )vuvu.C.A.ρ
2
1F DK
rrrr −−=( )vuvuρ
2
1
A/FC KD rrrr −−
=
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onde:
A – área da partícula projetada na direção do escoamento
4
d
A
2
pπ=Esfera : 
CD é função do fluido (ρ,µ) e da partícula (ρs,dp e forma)
µ
−ρ= vudRe pp
rr
CD=f(Rep, forma) onde: 
0
dt
vdm =
r
Caso particular da equação do movimento: 
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a
0
dt
vd =
r
ou Escoamento da partícula sem aceleração
0F =∑ r Movimento uniforme
Velocidade Terminal: velocidade atingida pela partícula em 
condições de equilíbrio de forças ( ) em um fluido em repouso.0F =∑ r
0ue vv t == rrr
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( ) 2tDs vAC2
1Vg0 ρ−ρ−ρ=Equação do movimento
tv
( )
D
st
AC
gV2v
ρ
ρ−ρ=
Parâmetro importante no projeto de 
equipamento de separação
* Partindo do repouso, há um período de aceleração da partícula 
de velocidade terminal uniforme.
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Estimativa de CD
CASO 1: Escoamento lento de uma esfera caindo em um fluido 
em repouso (também chamado Regime de Stokes)
µ
ρ= tpp
vd
Re0 < Rep < 1 onde
(solução analítica para escoamento
Lento de Stokes, em 1901)
tpK vd3F πµ=
2
tDtpK vAC2
1vd3F ρ=πµ=
2
t
2
p
tp
D vd2/1
4vd3
C ρπ
πµ=
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p
D Re
24C =
tp
D vd
24C ρ
µ=
Substituindo na expressão de vt
( ) ( ) 2/1ts2p
2/1
tp
2
p
s
3
p
t 18
gvd
vd
24
4
d
g
6
d
2
v 



µ
ρ−ρ=










ρ
µρπ
ρ−ρπ
=
( )
µ
ρ−ρ=
18
gd
v s
2
p
t
Expressão de vt para o Regime 
de Stokes
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CASO 2: Região Intermediária: 1<Rep<500
6,0
p
D Re
5,18=
3/1
p
p
D Re4Re
24C −+=
Allen: C
para 3 < Rep < 400Klyachko:
( )39,1p63,0p
p
D Re0026,0Re197,01Re
24 ++=Langmuir e Blodgett: C
1<Rep<100
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CASO 3: Regime de Newton: 500 < Rep< 2 105
cteCD ≅ CD=0,44
( ) 2/1sp
t
gd3
v 



ρ
ρ−ρ=
CASO 4: Turbulento Rep> 2 105
( ) 2/1sp
t
gd
58,2v 



ρ
ρ−ρ=CD=0,20
50
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o
c
h
a
Rep
Stokes
Interm.
1 500 2.105
24/Rep
CD
esfera
0,44
0,20
Newton turbulento
51
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Perry - 5a. Edição – Tabela 5-22: φ para diferentes materiais
Foust - p. 539 : CD x Rep (φ’s)
CD
Φ’s diferentes
Φ=1 (esfera)
Rep1 500 2.105
52
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a
Resolução de problemas
1. Dados dp, ρs, ρ, µ, e calcular vt
Utilizando novos grupos adimensionais
Temos que:
( ) ( )
D
2
p
s
3
p
D
s
t
C
4
d
g
6
d
2
AC
gV2v



πρ
ρ−ρ


 π
=ρ
ρ−ρ=
( )
2
t
ps
D v
gd
3
4C ρ
ρ−ρ= µ
ρ= tpp
vd
Ree
53
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a2
p
D Re
2
CNovo grupo adimensional:
( ) ( )
2
s
3
p
2
2
p
2
t
2
2
t
ps2
p
D gd 
3
2dv 
v
gd
6
4Re
2
C
µ
ρ−ρρ=µ
ρ
ρ
ρ−ρ=
(não contém vt)
2
p
D Re
2
C
leio Rep⇒ vt
Φ=0,8 Tentativa ou pelo Método do Foust
Φ=1
Coulson e Richardson, vol II ou 
problemas em Sistemas Particu-
lados, G. Massarani COPPE/UFRJRep
54
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2. Dados vt,, ρs, ρ, µ, e calcular dp
( )
3
t
2
s
p
D
v
g 
3
2
Re
2/C
ρ
µρ−ρ= (não contém dp)Grupo Adimensional: 
leio Rep⇒ dp
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Método do Foust
1. Calcular vt
( )
2
t
ps
D v
gd
3
4C ρ
ρ−ρ= ( ) tpsD vlog2gd3
4logClog −


ρ
ρ−ρ=
(1)
µ
ρ= tpp
vd
Re t
p
p vlog
d
logRelog +


µ
ρ=



µ
ρ−= ppt dlogRelogvlogou, (2)
Substituindo (2) em (1)
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C
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.
 
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c
h
a
( )







 −
+−= 2
3
3
4logRelog2log µ
ρρρ s
pD
p
gd
C
CD*
Reta de coeficiente angular(-2) e que passa pelo ponto:
Rep=1,0, 
( )
2
s
3
p*
D
gd
3
4C µ
ρ−ρρ= em papel log-log
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C
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a
Juntando essa reta com o gráfico CDxRep para a esfericidade, 
obtém-se Rep e, portanto, vt
CD
Rep
CD*
1,0 leio RpÆ vt
coefc. angular -2
Φ
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C
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2. Calcular dp
( )
p2
t
s
D dlogv
g
3
4logClog +



ρ
ρ−ρ=Da equação de CD (1)



µ
ρ−= tpp vlogRelogdlog (2)
Subst. (2) em (1):
( )


ρ
ρ−ρµ+= 3
t
2
s
pD v
g
3
4logRelogClog
CD*
59
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C
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R
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c
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a
Reta de coefc. Angular (1) e que passa pelo ponto Rep=1,0 e 
( )
3
t
2
s*
D v
g
3
4C ρ
ρ−ρµ=
Rep
1,0 leio RepÆ dp
coefc. angular 1
Φ
CD
CD*
60
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a
vt
dp
ar ρs
ρs
H2O
Figura 9: Velocidade terminal x diâmetro da partícula para 
esferas com diferentes densidades caindo em água e ar a 20o.C
(Perry e Chilton – Chemical Engineers´ Handbook)
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Partícula escoando entre 2 placas paralelas
Comportamento de um partícula em um fluido escoando 
entre duas placas planas
urxy
vx
vyvr
( ) ( )vuvuρAC
2
1gVρρ
dt
vdm Ds
rrrrrr −−+−=
Simplificações: - fluido escoa apenas na direção x (uy=0)
- não há aceleração da partícula
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a
Direção x: a velocidade da partícula é igual à velocidade do fluido
0
dt
vdm x = gx=0
( ) 0vuvuAC
2
1
xxxxD =−−ρ ux=vx
Direção y: a velocidade da partícula é igual à sua velocidade terminal
0
dt
vd
m y = uy=0
( )
D
s
y AC
gV2v ρ
ρ−ρ=( ) ( )2yDs vAC21Vg0 ρ−ρ−ρ=
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Equipamento de Separação Gás-Sólido e Líquido-
Sólido
Partículas grandes, com vt >1ft/s se separam facilmente de um 
fluido, enquanto que as partículas finas tendem a seguir o 
mesmo percurso do fluido tornando a separação difícil.
Porque separar partícula-fluido?
ƒ Para evitar o desperdício de materiais de valor
ƒ Para manter a atmosfera ao redor da fábrica e/ou a água (líquido)
descartada limpos
ƒ Para eliminar riscos de explosão, pois alguns materiais finos(pós)
formam misturas explosivas com o ar, em determinadas concentrações
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C
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c
h
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Separação Gás-Sólido
Métodos de Separação
Métodos de Medição
Tamanho de partículas
(µm)
Precipitadores
Eletrostáticos
Filtros Manga
Separadores Centrífugos
Lavadores de Poeira
Câmara de Poeira
Elutriadores
Ultra-microscópico
Ultra-centrífuga
Microscópico
Elutriação
0,001 a 1 µm
(fumos)
1 a 1000 µm(poeira)
>1000 µm(granulado)
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Câmara de Poeira
B
L
partícula
+ gás
u
coletor
x
y
H
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 x)direção(
A
Qu =Velocidade Média do Fluido
Qual o diâmetro da menor partícula que fica retida na câmara?
câmarapelapassagemdetemporesidência de potem ≡
Tempo de queda depende de vt
Se tres.> tqueda partícula fica retida
Se tqueda>t res. partícula passa com o gás
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t
queda.res v
Ht e 
u
Lt ==
Condição mais desfavorável para a separação:
L
uHvt =
tv
H 
u
L =
( )
D
s
t AC
gV2v ρ
ρ−ρ=Como:
( )
D
s
AC
gV2
L
uH
ρ
ρ−ρ= Expressão geral para a Câmara de PoeiraEntão:
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Para partícula esférica e Regime de Stokes
( )
µ
ρ−ρ=
18
gd
v s
2
p
t
( ) u
L
gd
H18
s
2
p
=ρ−ρ
µ
0<Rep<1 e
tv
H 
u
L =
( ) Q
LBH
gd
H18
s
2
p
=ρ−ρ
µ Volume da 
câmara VBH
Q
A
Qu ==Mas 
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( )
2/1
s
p g
HQ18d 


ρ−ρ
µ=
V
Menor partícula retida 
na câmara
O mesmo pode ser feito para os outros regimes. Entretanto, para a
faixa de tamanhos de partículas utilizadas e u em câmara de poeira, 
o Regime é geralmente de Stokes.
Dados práticos: separação para dp>50µm e u<10 ft/s.
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Elutriador (Classificador Hidráulico)
alimentação
água
(Q)
D1 D2>D1
Partículas finas e levesSólidos de 
vários tamanhos
e/ou materiais
Partículas grandes 
e pesadas
Partículas intermediárias
Partículas com vt >vágua caem e são recolhidas por baixo. O líquido(normalmente água)
escoa para cima e a alimentação de sólidos a separar é alimentada por cima.
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Exemplo
Uma mistura de galena(PbS) e calcáreo, na proporção de 1:4 em peso 
é submetida à elutriação com uma corrente ascendente de água com
velocidade 0,5 cm /s. A distribuição de tamanhos nos materiais é 
a mesma.
dp(µm)
%peso <dp
20 30 40 50 60 70 80 100
15 28 48 54 64 72 78 100
Calcular a % de galena no material arrastado e no produto de fundo.
Dados: ρG=7,5 g/cm3ρC= 2,7 g/cm3ρH2O= 1g/cm3
φG=0,8φC=0,7µH2O= 1 cp
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Partícula em um Meio Fluido Sujeita a um 
Campo Centrífugo
Equação do Movimento: coordenadas cilíndricas, componentes
tangencial e radial
Fluido e partículas
R
r
Carcaça sólida
Ω Força de campo centrífugo na direção radial
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a
Considerações: 
• para o fluido: ur=0 (velocidade radial nula)
ru Ω=θ (velocidade tangencial com perfil linear
em r=R ; Ru Ω=θ
0
dt
dv
dt
dvr == θ• para a partícula:vr e vθ existem e 
( )2cc rmmaF Ω==Força de campo centrífugo
dt
duθ
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C
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R
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c
h
aComponente radial
( ) ( )rrrrDcsr vuvuρAC2
1Vaρρ
dt
dvm −−+−= (1)
0 00 2rΩ
( ) 2rD2s vAC2
1rV0 ρ−Ωρ−ρ= (2)
( )
D
2
s
r AC
rV2v ρ
Ωρ−ρ= Velocidade teminal radial da partícula (3)
vr=vr (r), pois a intensidade do campo é função de r
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a
Componente tangencial
( )2D vuAC2
1
dt
dvm θθθ −ρ−= ( )2D vuAC2
1
dt
dvm θθθ −ρ−= (4)(4)
rvu Ω== θθ (5)
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a
Equação Geral para a Sedimentação Centrífuga
Centrífuga Tubular
Alimentação (suspensão sólido-líquido)
L
Descarga
de líquido
Trajetória de 
uma partícula
Fluxo da alimentação
r1
rB
r2
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A alimentação é descartada no fundo da centrífuga e supõe-se que 
todo líquido tem movimento asdendente uniforme, carregando 
consigo as partículas, as quais se movem radialmente com 
velocidade radial terminal vr. 
Uma partícula de um determinado tamanho será separada do líquido 
se o tempo de residência for suficiente para a partícula atingir a 
parede da centrífuga. Ao fim do tempo de residência, a partícula está 
a uma distância rB do eixo de rotação.
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a
Se rB< r2 : partícula sai com o fluido
Se rB = r2 : partícula fica sedimentada na parede e não deixa a 
centrífuga com o fluido
Vamos admitir inicialmente sedimentação no regime de Stokes: 
por analogia a expressão de vt, com “g” substituido por r
2Ω
( )
dt
dr
18
rd
v
22
ps
r =µ
Ωρ−ρ= ( ) r
dr
d
18dt 22
ps
=Ωρ−ρ
µ=ou
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a
Integração, entre r = r1 para t=0 e r = r2 para t
( ) 1
2
22
ps r
rln
d
18t Ωρ−ρ
µ=( ) ∫∫ Ωρ−ρ µ= 21rr22ps
t
0 r
dr
d
18dt ou
Tempo que uma partícula de 
diâmetro dp leva para ir de r1 a r2
Q
tr
V=O tempo de residência na centrífuga será : 
onde V= volume da centrífuga = πL(r22-r12)
Q = a vazão da alimentação
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a
( ) Qr
rln
d
18
1
2
22
ps
V=


Ωρ−ρ
µPara tr = t 
( ) V
Q
r
rln18d
1
2
2
s
2
p 


Ωρ−ρ
µ= ( ) )rπL(r
Q
r
rln18d 2
1
2
21
2
2
s
p −


Ωρ−ρ
µ=
Partículas com dp > que o calculado pela equação anterior serão 
separados
( )
( )Vρ−ρΩ
−ρ=
s
2
2
12
p
Qrr33,1dRegime de Newton
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Diâmetro Crítico ou Diâmetro de Corte
É definido como o diâmetro de uma partícula que alcança a metade 
da distância entre r1 e r2. 
Esta partícula percorre uma distância da metade da camada líquida 
ou (r2-r1)/2, durante o tempo que ela permanece na centrífuga. 
Para o caso especial, em que a espessura da camada líquida é 
pequena comparada ao raio da centrífuga, pode-se considerar 
praticamente constante a intensidade do campo centrífugo, ou 
2
22 rr Ω≈Ω
( )
dt
18
rd
dr 2
22
ps
µ
Ωρ−ρ=( ) µ
Ωρ−ρ==
18
rd
dt
drv 2
22
ps
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c
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a
Seja dr a distância percorrida pela partícula de diâmetro dpc
no tempo t disponível
Q
t V=
( ) ( ) ∫∫ µ Ωρ−ρ=− t0222pcs2/rr0 dt18 rddr 12
( ) ( )
Q18
rd
2
rr 2
22
pcs12 V
µ
Ωρ−ρ=−
( )
( ) 22s
122
pc
rΩρρV
Q
2
rr18µd −
−=
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c
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a( )
( ) 22s
12
pc r
rrQ9d Ωρ−ρ
−µ=
V
Equação simplificada
Quando dp>dpc, a partícula irá sedimentar predominantemente. 
Para dp=dpc, a eficiência de coleta é 50%.
η
dp/dpc
50%
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C
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c
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a
Quando a espessura da camada líquida não é pequena comparada ao 
raio da centrífuga e portanto a intensidade do campo centrífugo é 
função de r, Ω r2
A integração para calcular dpc foi proposta por Geankoplis, como: 
( )( ) ∫∫ =Ωρ−ρ µ+ t0r 2/rr 22pcs dtrdrd182 21
( )Q/V≡
ou
( ) ( ) Qrr
r2ln
d
18
21
2
22
pcs
V=


+Ωρ−ρ
µ
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a
( )
( ) 2s
21
2
pc
rr
r2lnQ18
d Ωρ−ρ



+µ
= V
• O ponto de partida (raio inicial) para a partícula percorrer metade da
espessura líquida seria (r1+r2)/2
Ref.: Transport Processes and Unit Operations: Christie J. Geankoplis: 
2o. Edição, Prentice Hall, 1983.
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C
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R
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c
h
a
Outro critério foi ainda proposta por Svaroski
Para obter ri: faz-se a igualdade das áreas:
( ) ( )212i2i22 rrrr −π=−π


 +=
2
rrr
2
1
2
22
i
Qr1
r2
ri
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Comparação entre Centrífugas
( )
( ) g
gx
rr
Vr
9
d
Q
12
2
22
pcs
−
Ω
µ
ρ−ρ=Da equação para dpc
( )
9
gds
µ
ρ−ρ= ( )grr
VrQ
12
2
22
pc
−
Ω
2vt (vel. terminal da partícula com dp=dpc
no campo gravitacional)
[ ] [ ] 212 2 L grr
r ≡−
Ω= ∑∑ 2VVamos chamar: 
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a
 suspensão da independe :centrífuga da ticocaracterís é∑
∑= tv2Q vt é característico da suspensão apenas 
Para uma mesma suspensão: vt=cte.
.cteQ =∑ para que ocorra a mesma separação
∑∑ ≠ 21Para 2 centrífugas diferentes, 
∑∑ = 2
2
1
1 QQPara efetuar a mesma separação de uma mesma suspensão:
∑ para diferentes centrifugadores.Valores tabelados de Foust: pág. 553
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c
h
a
Ciclones
Mistura gás-partículas entra 
tangencialmente
Movimento centrífugo
Partículas se aproximam da parede e caem 
aceleração gravitacional
Movimento helicoidal
Figura 10: Padrão de fluxo do gás no 
interior de um ciclone
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a
Figura 11: Dimensões de um ciclone
Restrições:
a < S Æ evitar a passagem direta das 
partículas
S < h Æ evitar que o vortex penetre na 
parte cônica e partículas 
depositadas não subam e saiam
A eficiência de coleta depende do tipo de 
partícula e das dimensões do ciclone
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a
Ciclone Lapple: DcÆ dimensão base
a = Dc/2 S = Dc/1,6 h = 2Dc B = Dc/4
b = Dc/4 De = Dc/2 H = 4Dc
Outras configurações também utilizadas Æ geram eficiência 
de coleta e perda de carga diferente. 
Ciclone Stairman (Bastante popular)
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a
Diâmetro de corte, dpc
Por analogia à expressão para a centrífuga chega-se ao dpc de ciclones
Expressão para centrífuga
( )
( )
( )
( ) ΩΩ−
−=Ω−
−=
)r(Vρρ
rrQµ9
rVρρ
rrQµ9dp
2s
12
2
2
s
12
c
Por analogia:
Espessura da suspensão: (r2 – r1) Espessura da mistura gás partícula: b
Velocidade do fluido: Ωr2 u = Q/ab
QV
Nπ2 e
Velocidade de rotação: Ω Tempo de residência:
Ne ≡ número efetivo de voltas Para ciclones Lapple, Ne ≈ 5
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a
Substituindo as analogias propostas,
( ) QNπ2Vuρρ
V Qbµ9dp
es
c −=
( ) esc Nπ2uρρ
bµ9dp −=
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a
Figura 12: Curva de Eficiência de um ciclone Lapple
(Foust et al., 1982- Princípios das Operações Unitárias)
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a
Dados de Eficiência de Coleta
Como em geral a mistura gás-partícula que entra no ciclone 
contém partículas de tamanhos diferentes, podemos calcular a 
eficiência de coleta para cada tamanho de partícula
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a
A eficiência média ou eficiência global de coleta depende da 
análise granulométrica da mistura alimentada
η Eficiência média ou global
Para obter a eficiência média, monta-se a seguinte tabela:
X*: % de partículas com diâmetro > dp
Análise granulométrica Calculado Gráfico ou 
tabela
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a
Eficiência global de coleta
Quando as áreas 1 e 2 são 
iguais ou:
*
1
0
dX ηη ∫=
Ou ainda:
i
i
iηxη ∑= xi: fraçãoretida % peso partículas com diâmetro >dp)
98
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C
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S
.
 
R
o
c
h
a
Dados práticos para o cálculo de ciclones
Velocidades de entrada ≡ u entre 20 e 70 ft/s
Perda de carga normalmente permitida: até 10 in H2O
g2
uNh
2
HL =- Cálculo de hLÆ ciclone é considerado um acidente:



=
O2H
2
HL ρ
ρ
g2
uNh- Em coluna d’água:
NH é função da geometria do ciclone. Para ciclone Lapple, NH = 8,0
- Faixa usual de separação: 5 a 1000 µm
	EQ651 – Operações Unitárias I
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	Separação Gás-Sólido
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	Dados práticos para o cálculo de ciclones