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Exercícios Aula ao Vivo - 30/12/2017 Professor: Cristiano Cruz Disciplina: Física Eletricidade Curso: Engenharias Modalidade: EAD 1 – Um fio de cobre com calibre 18 (geralmente utilizado nos fios que ligam lâmpadas) possui diâmetro nominal igual a 1,02 m. Esse fio está conectado a uma lâmpada de 200 W e conduz uma corrente de 1,67 A. A densidade dos elétrons livres é de 8,5 x 1028 elétrons por metro cúbico e a resistividade 1,72 x 10-8 .m. Calcule: (a) o módulo da densidade de corrente (b) o módulo da velocidade de arraste. (c) o módulo do campo elétrico no fio. (d) a diferença de potencial entre dois pontos do fio separadas por uma distância igual a 50,0 m. (e) a resistência de um segmento do fio de comprimento igual a 50,0 m. Resposta: (a) O módulo da densidade de corrente. Sendo a área da seção reta é dada por: 𝐴 = 𝜋𝑑2 4 = 𝜋(1,02 × 10−3)2 4 = 8,17 × 10−7𝑚2 O módulo da densidade de corrente é: 𝐽 = 𝐼 𝐴 = 1,67 8,17 × 10−7 = 2,04 × 106 𝐴 𝑚2 (b) O módulo da velocidade de arraste Pela equação: 𝑣𝑎 = 𝐽 𝑛. |𝑞| = 2,04 × 106 8,5 × 1028 ∙ |−1,6 × 10−19| = 1,5 × 10−4 𝑚 𝑠 = 0,15 𝑚𝑚 𝑠 (c) o módulo do campo elétrico no fio. Usando a equação: 𝐸 = 𝜌. 𝐽 = 𝜌 𝐼 𝐴 = 1,72 × 10−8. 1,67 8,17 × 10−7 = 0,0350 𝑉 𝑚 (d) a diferença de potencial entre dois pontos do fio separadas por uma distância igual a 50,0 m. 𝑉 = 𝐸. 𝐿 = 0,0350 . 50,0 = 1,75 𝑉 (e) a resistência de um segmento do fio de comprimento igual a 50,0 m. Pela lei de Ohm 𝑅 = 𝑉 𝐼 = 1,75 1,67 = 1,05 Ω 2 – Uma mola firmemente comprimida é composta por 75 espiras, cada qual medindo 3,50 cm de diâmetro, e é feita de um fio metálico isolante com 3,25 mm de diâmetro. Um ohmímetro conectado através das extremidades opostas registra 1,74 Qual a resistividade do metal? Resposta: Para determinar a resistividade devemos utilizar a equação: 𝑅 = 𝜌 𝐿 𝐴 O comprimento do fio pode ser calculado, sendo o diâmetro de cada espira 3,50 cm = 0,035m , podemos calcular o comprimento (perímetro) de cada espira pela relação: 𝑃 = 2. 𝜋. 𝑅 Sendo o raio R metade do diâmetro, teremos: 𝑅 = 𝐷 2 = 0,035 2 = 0,0175 𝑚 Substituindo os valores conhecidos na equação do perímetro do círculo, podemos calcular o comprimento do fio para uma espira: 𝑃 = 2. 𝜋. 𝑅 𝑃 = 2. 𝜋. 0,0175 = 0,10995 𝑚 Como são 75 espiras, o comprimento L total do fio será: 𝐿 = 0,10995 . 75 = 8,25 𝑚 Outra informação que necessitamos é a área da seção reta do condutor Para isso iremos calcular a área pela relação: 𝐴 = 𝜋𝑑2 4 = 𝜋(3,25 × 10−3)2 4 = 8,2 × 10−6𝑚2 Substituindo os dados na equação: 𝑅 = 𝜌 𝐿 𝐴 1,74 = 𝜌 8,25 8,2 × 10−6 𝜌 = 1,74 . 8,2 × 10−6 8,25 = 1,7 × 10−6 Ω. m 3 – Quando a chave S do circuito da figura abaixo está aberta, o voltímetro V conectado na bateria lê 3,08 V. Quando a chave está fechada, o voltímetro V indica uma queda de 2,97 V e o amperímetro indica 1,65 A. Calcule a fem, a resistência interna da bateria e a resistência do circuito R. Suponha que os dois instrumentos de medida sejam ideias, de modo que não afetem o circuito. Resposta: A fem da bateria é fornecida pela medida direta do voltímetro quando a chave S está aberta, portanto = 3,08 V. Pela relação 𝑉𝑎𝑏 = 𝜀 − 𝐼𝑟 Sendo o potencial entre os pontoas ab quando a chave S está fechada Vab = 2,97 V e a corrente I = 1,65 A, logo: 2,97 = 3,08 − 1,65 . 𝑟 𝑟 = 3,08 − 2,97 1,65 = 0,067 Ω Para determinar a resistência R do circuito, pela lei de Ohm, 𝑉𝑎𝑏 = 𝑅. 𝐼 2,97 = 𝑅. 1,65 𝑅 = 2,97 1,65 = 1,8 Ω 4 – Para o circuito indicado na figura abaixo, ambos os instrumentos são ideais, a bateria possui resistência interna desprezível e a leitura do amperímetro é igual a 1,25 A. (a) Qual a leitura do voltímetro? (b) Qual é a fem da bateria? Resposta: (a) Qual a leitura do voltímetro? Pelas informações fornecidas no enunciado, partindo do valor da corrente no amperímetro I = 1,25 A que passa pelo resistor de 25,0 , aplicando a lei de ohm podemos determinar a diferença de potencial no resistor. 𝑉 = 𝑅. 𝐼 𝑉 = 25,0 . 1,25 = 31,25 𝑉 como os outros resistores estão em paralelo com o resistor de 25,0 , a diferença de potencial aplicada a elas é a mesma. Tome cuidado com o resistor de 10,0 , pois ele está ligado em série com um dos resistores de 15,0 . Neste caso a resistência equivalente para esses dois resistores é a soma das resistências, portanto: 𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 𝑅𝑒𝑞 = 15,0 + 10,0 = 25,0 Ω O circuito terá a seguinte configuração: Repare agora que os três resistores, dois de 25,0 e o de 15,0 estão em paralelo, calculando a resistência equivalente para esses três resistores, temos: 1 𝑅𝑒𝑞 = 1 𝑅1 + 1 𝑅2 + 1 𝑅3 1 𝑅𝑒𝑞 = 1 25 + 1 15 + 1 25 Tirando o mínimo múltiplo comum 1 𝑅𝑒𝑞 = 3 + 5 + 3 75 1 𝑅𝑒𝑞 = 11 75 Invertendo ambos os lados: 𝑅𝑒𝑞 = 75 11 = 6,82 Ω Substituindo os resistores em paralelo por seu equivalente o circuito será: Sabendo que o diferença de potencial na configuração em paralelo é 31,25 V, podemos pela lei de Ohm determinar a corrente do circuito: 𝑉 = 𝑅. 𝐼 31,25 = 6,82. 𝐼 𝐼 = 31,25 6,82 = 4,58 𝐴 Como todos os outros resistores estão em série, a corrente elétrica é a mesma para todos os resistores, portanto a diferença de potencial no resistor de 45,0 , será: 𝑉 = 𝑅. 𝐼 𝑉 = 45,0.4,58 = 206,1 𝑉 Determinando a resistência equivalente do circuito, visto que todos os três resistores estão em série, teremos: 𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 𝑅𝑒𝑞 = 35,0 + 45,0 + 6,82 = 86,82 Ω Como a fem do circuito não possui resistência interna, teremos: 𝜀 = 𝑅. 𝐼 𝜀 = 86,82.4,58 = 397,64 𝑉 5 – No circuito indicado na figura abaixo. Calcule: (a) A corrente no resistor de 3,0 (b) A fem 1 e a fem 2. (c) A resistência R. Observe que foram fornecidas três correntes. Resposta: Aplicando as leis de Kirchhoff Leis dos nós no ponto A. Veja no detalhe, estão chegando no nó A duas correntes, uma de 2,0 A e I1 e está saindo do nó A uma corrente de 3,0 A. Somando todas as correntes e igualando a zero, lembrando que as correntes que chegam no nó são positivas e as que saem são negativas. ∑ 𝐼 = 0 2,0 + I1 – 3,0 = 0 I1 = 1,0 A Aplicando a lei dos nós no ponto B, temos: No nó B saem duas correntes, 2,0 A e 5,0 A e chega até o nó a corrente I2 ∑ 𝐼 = 0 I2 – 2,0 – 5,0 = 0 I2 = 7,0 A Aplicando a lei dos nós no ponto C, temos: No nó C chegam duas correntes 3,0 A e 5,0 A e sai a corrente I3, logo: ∑ 𝐼 = 0 3,0 + 5,0 - I3 = 0 I3 = 8,0 A Desta forma encontramos as correntes faltantes no circuito. Aplicando a lei das malhas na malha destacada em vermelho: A lei das malhas descreve que o somatório dos potenciais elétricos na malha é igual a zero. ∑ 𝑉 = 0 Seguindo a malha, ao cruzar o resistor de 4,0 a queda de potencial no resistor será: - 4,0 . 3,0 = -12 V Ao cruzar o resistor de 3,0 a queda de potencial será: - 3,0 . 8,0 = - 24 V E ao cruzar a fonte de fem 1 do polo negativo para o positivo teremos um potencial positivo+ Somando todos os potenciais da malha, temos: -12 -24 += 0 Logo: 1 = 36 V Aplicando a lei das malhas na malha destacada em vermelho: A lei das malhas descreve que o somatório dos potenciais elétricos na malha é igual a zero. ∑ 𝑉 = 0 Seguindo a malha, no sentido horário partindo do ponto B, ao cruzar o resistor de 6,0 a queda de potencial no resistor será: - 6,0 . 5,0 = - 30 V Ao cruzar o resistor de 3,0 a queda de potencial será: - 3,0 . 8,0 = - 24 V E ao cruzar a fonte de fem 2 do polo negativo para o positivo teremos um potencial positivo + Somando todos os potenciais da malha, temos: - 30 -24 += 0 Logo: 2 = 54 V Finalmente, aplicando a lei das malhas na malha destacada na figura: Seguindo a malha, no sentido horário partindo do ponto B, ao cruzar o resistor de 6,0 a queda de potencial no resistor será: - 6,0 . 5,0 = - 30 V Ao cruzar o resistor de 4,0 no sentido contrária a corrente elétrica o potencial será: 4,0 . 3,0 = 12 V E ao cruzar o resistor R no sentido contrário a corrente elétrica o potencial será: V = R.2 Somando todos os potenciais da malha, temos: - 30 +12 + R.2 = 0 Logo: R = 18/2 = 9 6 – Uma partícula com carga igual a – 1,24 x 10-8 C se move com velocidade instantânea �⃗� = (4,19 × 104 𝑚/𝑠) 𝑖̂ + (−3,85 × 104 𝑚/𝑠)𝑗.̂ Qual é a força exercida sobre essa partícula por um campo magnético (a) �⃗⃗� = (1,40 𝑇)�̂� (b) �⃗⃗� = (1,40 𝑇)�̂� Resposta: (a) Qual é a força exercida sobre essa partícula por um campo magnético �⃗⃗� = (1,40 𝑇)𝑖 ̂ A força magnética que atua em uma carga em movimento em um campo magnético é dada por: 𝐹𝑚 = 𝑞 . (�⃗� × �⃗⃗�) Substituindo os vetores conhecidos e o valor da carga elétrica: 𝐹𝑚 = – 1,24 × 10 −8 . ((4,19 × 104 𝑚/𝑠) 𝑖̂ + (−3,85 × 104 𝑚/𝑠)𝑗̂ × (1,40 𝑇)𝑖)̂ Fazendo o produto vetorial �⃗� × �⃗⃗� �⃗� × �⃗⃗� = | 𝑖̂ 𝑗̂ �̂� 4,19 × 104 −3,85 × 104 0 1,40 0 0 | = 5,39 × 104�̂� Logo, multiplicando opelo valor da carga elétrica temos a força magnética: 𝐹𝑚 = – 1,24 × 10 −8 . 5,39 × 104�̂� = − 6,68 × 10−4𝑁 �̂� (b) Qual é a força exercida sobre essa partícula por um campo magnético �⃗⃗� = (1,40 𝑇)�̂� A força magnética que atua em uma carga em movimento em um campo magnético é dada por: 𝐹𝑚 = 𝑞 . (�⃗� × �⃗⃗�) Substituindo os vetores conhecidos e o valor da carga elétrica: 𝐹𝑚 = – 1,24 × 10 −8 . ((4,19 × 104 𝑚/𝑠) 𝑖̂ + (−3,85 × 104 𝑚/𝑠)𝑗̂ × (1,40 𝑇)�̂�) Fazendo o produto vetorial �⃗� × �⃗⃗� �⃗� × �⃗⃗� = | 𝑖̂ 𝑗̂ �̂� 4,19 × 104 −3,85 × 104 0 0 0 1,40 | = − 5,39 × 104�̂� − 5,86 × 104𝑗̂ Logo, multiplicando opelo valor da carga elétrica temos a força magnética: 𝐹𝑚 = – 1,24 × 10 −8 . (− 5,39 × 104�̂� − 5,86 × 104�̂�) = (6,68 × 10−4𝑁 )𝑖̂ + (7,27 × 10−4𝑁)𝑗 ̂
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