halliday (1)

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HALLIDAY & RESNICK
SOLUÇÃO
MECÂNICA
ÿ Cirlei Xavier
Bacharel e Mestre em Física
pela Universidade Federal da Bahia
Maracás Bahia
Outubro de 2015
Sumário
1 Medição 3
1.1 Comprimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Movimento Retilíneo 7
2.1 Velocidade Média e Velocidade Escalar Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Velocidade Instantânea e Velocidade Escalar Instantânea . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Aceleração Constante: Um Caso Especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Força e Movimento II 39
3.1 Propriedades do Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Movimento Circular Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Problemas Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 Energia Potencial e Conservação da Energia 45
4.1 Determinação de Valores de Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Conservação da Energia Mecânica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Conservação da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5 Rolamento, Torque e Momento Angular 51
5.1 As Forças do Rolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 Momento Angular de um Corpo Rígido Girando em Torno de um Eixo Fixo . 57
5.3 Conservação do Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1
Sumário 2
Mecânicab m ÿ Cirlei Xavier
Capítulo 1
Medição
Perguntas
1.1 Comprimento
1. O micrômetro (1µm) também é chamado de mícron. (a) Quantos mícrons tem 1,0 km?
(b) Que fração do centímetro é igual a 1,0µm? (c) Quantos mícrons tem uma jarda?
Temos 1µm = 1 · 10−6 m. (a) 1,0 km = 1,0 · 103 m = 109 · 10−6 m = 109 µm. Então,
1,0 km = 109 µm. (b) 1,0 µm = 10−6m = 10−6 · 102 cm = 10−4 cm. (c) 1,0 jarda = 91 cm =
0,91 m = 0,91 · 103 mm = 9,1 · 105 µm.
2. As dimensões das letras e espaços de um livro são expressas em termos de pontos e
paicas: 12 pontos =1 paica e 6 paicas = 1 polegada. Se em uma das provas do livro uma
figura apareceu deslocada de 0,80 em relação à posição correta, qual foi o deslocamento (a)
em paicas e (b) em pontos?
Temos um deslocamento de 0,8 polegada. Então, 0,8 polegada=0,8 · 6 paicas=4,8 pai-
cas=57,6 pontos
3. Em um certo hipódromo da Inglaterra, um páreo foi disputado em uma distância de
4,0 furlongs. Qual é a distância da corrida em (a) varas e (b) cadeias? (1 furlong=201,168 m,
1 vara= 5,0292 m e uma cadeia = 20,117 m.)
(a) Temos 4,0 furlongs=4,0 · 201,168 m, então a distância em varas é
4,0 · 201,168
5,0292
= 160 varas
(b) Em cadeia fica
4,0 · 201,168
20,117
= 4,91 · 10−3 cadeia
.
4. Em gry é uma antiga medida inglesa de comprimento, definida como 1/10 de uma
linha; linha é uma outra medida inglesa de comprimento, definida como 1/12 de uma po-
legada. Uma medida comum usada nas editoras é o ponto, definido como 1/72 de uma
polegada. Quando vale uma área de 0,50 gry2 em pontos quadrados (points2)?
3
Capítulo 1. Medição 4
5. A Terra tem a forma aproximada de uma esfera com 6,37 · 106 m. Determine (a) a
circunferência da Terra em quilômetros, (b) a área da superfície da Terra em quilômetros
quadrados e (c) o volume da Terra em quilômetros cúbicos.
6. A ponte de Harvard, que liga MIT às sociedade estudantis através do rio Charles, tem
um comprimento de 364,4 smoots mais uma orelha. A unidade de um smoot se baseia no
comprimento de Oliver Reed Smoot, Jr., classe de 1962, que foi carregado ou arrastado pela
ponte para que outros membros da sociedade Lambda Chi Alpha pudessem marcar (com
tinta) comprimentos de 1 Smoot ao longo da ponte. As marcas têm sido refeitas semestral-
mente por membros da sociedade, normalmente em horários de pico, para que a polícia não
possa interferir facilmente. (Os policiais podem ter ficado aborrecidos porque o Smoot não
é uma unidade fundamental do SI, mas hoje em dia parecem ter aceito a unidade.) A Fig.
1-4 mostra três segmentos de reta paralelos medidas em Smoots (S), Willies (W) e Zeldas
(S). Quando vale uma distância de 50,0 Smoots (a) em Willies e (b) em Zeldas?
7. A antártica é aproximadamente semicircular, com um raio de 2.000 km. A espessura
média da cobertura de gelo é de 3.000 m. Quantos centímetros cúbicos de gelo contém a
Antártica? (Ignore a curvatura da Terra)
8. Hoje em dia, as conversões de unidades mais comuns podem ser feitas com o auxílio
de calculadoras e computadores, mas é importante que o aluno saiba usar uma tabela de
conversão como as do Apêndice D. A Tabela 1-6 é parte de uma tabela de conversão para
um sistema de medidas de volume que já foi comum na Espanha; um volume de 1 fanega
equivale a 55,501 dm3 (decímetros cúbicos). Para completar a tabela, que números (com
três algarismos significativos) devem ser inseridos (a) na coluna de cahiz, (b) na coluna de
fanegas, (c) na coluna de cuartillas e (d) na coluna de almudes? Expresse 7,00 almudes em
(e) medios, (f) cahizes e (g) centímetros cúbicos (cm3).
9. Os engenheiros hidráulicos dos Estados Unidos usam frequentemente, como unidade
de volume de água, o acre-pé, definido como o volume de água suficiente para cobrir 1 acre
de terra até uma profundidade de 1 pé. Uma forte tempestade despejou 2,0 polegadas de
chuva em 30 min em uma cidade com uma área de 26 km2. Que volume de água, em acres-
pés, caiu sobre a cidade?
1.2 tempo
10. A planta de crescimento mais rápido de que se tem notícia é uma Hesperoyucca
whipplei, que cresceu 3,7 m e 14 dias. Qual foi a velocidade de crescimento da planta em
micrômetros por segundo?
Um micrometro, µ, é 10−6. Então, temos
ν =
∆x
∆t
=
3,7 · 106
14 · 24 · 3600 µm/s = 3,1 µm/s
11. O fortnight é uma simpática medida inglesa de tempo igual a 2,0 semanas (a pa-
lavra é uma contração de "fourteen nights”, ou seja, quatorze noites). Pode ser um tempo
adequado para passar com uma companhia agradável, mas uma dolorosa sequência de mi-
crossegundos se for passado com uma companhia desagradável. Quantos microssegundos
existem em um fortnight?
Mecânicab m ÿ Cirlei Xavier
1.2. tempo 5
12. Um tempo de aula (50 min) é aproximadamente igual a 1 microsséculo. (a) Qual é a
duração de um microssóculo em minutos? (b) Usando a relação
erro percentual =
(
real − aproximado
real
)
100,
determine o erro percentual dessa aproximação.
13. Por cerca de 10 anos após a Revolução Francesa o governo francês tentou basear as
medidas de tempo em múltiplos de dez: uma semana tinha 10 dias, um dia tinha 10 horas,
uma hora consistia em 100 minutos e um minuto consistia em 100 segundos. Quais são
as razões (a) da semana decimal francesa para a semana comum e (b) do segundo decimal
francês para o segundo comum?
ÿ Cirlei Xavier m Mecânicab
Capítulo 1. Medição 6
Mecânicab m ÿ Cirlei Xavier
Capítulo 2
Movimento Retilíneo
Perguntas
1. A Fig. 2-15 mostra as trajetórias de quatro objetos de um ponto inicial a um ponto
final, todas no mesmo intervalo de tempo. As trajetórias passam por três linhas retas igual-
mente espaçadas. Coloque as trajetórias na ordem (a) da velocidade média dos objetos e (b)
da velocidade escalar média dos objetos, começando pela maior.
(a) Sabemos que a velocidade média depende somente da posição inicial e final, e seu
sinal indica o sentido do movimento. Nota-se no gráfico que o objeto 1, 2 e 4 partiram da
mesma origem e pararam também na mesma posição final. Então, suas velocidades médias
são iguais. Já o objeto 3, partiu e parou em outra posição, mas seu deslocamento e sentido
do movimento é igual às outras trajetórias. Portanto, todos tem velocidade média iguais.(b) A velocidade escalar média é a distância total, percorrida pelo objeto, dividida pelo
intervalo de tempo total. Como as linhas estão igualmente espaçadas, podemos chamando
de x a distância entre as linhas. Observa-se que o objeto 1 e 2 percorre distância iguais no
mesmo intervalo de tempo. Então, suas velocidade escalar média são iguais, νm = 3x/ 4 t.
O objeto 3 percorre 4x = x, logo sua velocidade escalar média é νm = x/ 4 t. A velocidade
escalar média do objeto 4 é aproximadamente νm = 5x/ 4 t. Portanto, ordenando o objeto de
velocidade escalar média maior para o menor, temos: 4, 1 e 2, 3.
2. A Fig. 2-16 é um gráfico da posição de uma partícula em um eixo x em função do
tempo. (a) Qual é o sinal da posição da partícula no instante t = 0? A velocidade da partí-
cula é positiva, negativa ou nula (b) em t = 1 s, (c) em t = 2 s e (d) em t = 3 s? (e) Quantas
vezes a partícula passa pelo ponto x = 0?
(a) No instante t = 0, a partícula se encontra na posição -3 m, então o sinal é negativo.
A velocidade média da partícula é zero e sua velocidade escalar média é νm = 3/4 m/s. (b)
A velocidade é a inclinação da reta tangente à curva da posição em função do tempo, então
é t = 1 s a velocidade é positiva, (c) t = 2 s a velocidade é zero, partícula se encontra em
repouso, mudando o sentido do movimento, e (d) a velocidade é negativa. (d) A partícula
passa na origem, x = 0, duas fezes.
3. A Fig. 2-17 mostra a velocidade de uma partícula que se move em um eixo x. Deter-
mine (a) o sentido inicial e (b) o sentido final do movimento. (c) A velocidade da partícula
se anula em algum instante? (d) A aceleração é positiva ou negativa? (e) A aceleração é
constante ou variável?
7
Capítulo 2. Movimento Retilíneo 8
(a) A partícula se move no sentido negativo do movimento no início e (b) no final do
movimento seu sentido é positivo. (c) Sim, no instante em que a partícula muda de sentido.
(d) A aceleração é sempre positiva e (e) constante.
4. A Fig. 2-18 mostra a aceleração a(t) de um chihuahua que persegue em pastor alemão
sobre um eixo. Em qual dos períodos de tempo indicados o chihuahua se move com veloci-
dade constante?
O objeto se move com velocidade constante quando sua aceleração é zero. Isto acontece
entre os instante E e F, e G e H.
5. A Fig. 2-19 mostra a velocidade de um partícula que se move em um eixo. O ponto 1
é o ponto mais alto da curva; o ponto 4 é o ponto mais baixo; os pontos 2 e 6 estão na mesma
altura. Qual é o sentido do movimento (a) no instante t=0 e (b) no ponto 4? (c) Em qual
dos seis pontos numerados a partícula inverte o sentido de movimento? (d) Coloque os seis
pontos na ordem do modulo da aceleração, começando pelo maior.
Observa-se que a partícula se move entre o instante t = 0 e o ponto 1 com aceleração
positiva, velocidade positiva e diminuindo no tempo (movimento acelerado progressivo).
Quanto atinge o instante ponto 1 a aceleração é zero e, ao passar o tempo, a partícula co-
meça a diminuir sua velocidade, tornado a aceleração negativa (movimento retardado pro-
gressivo). No ponto 3 a partícula para, velocidade igual a zero, e muda o sentido do movi-
mento. Entre os pontos 3 e 4 o movimento é no sentido negativo e a velocidade aumenta
com o tempo (movimento acelerado retrógrado) até que, novamente, no ponto 4 começa um
movimento retardado retrógrado. No ponto 5 muda o sentido do movimento para o sentido
positivo e volta a ter aceleração constante e a velocidade aumenta com o passar do tempo.
Portanto, (a) Em t = 0 o sentido do movimento é positivo, (b) No ponto 4 a partícula
muda de acelerado para retardado e seu sentido é negativo. (c) A partícula muda de sentido
nos pontos 3 e 5. (d) A aceleração nos pontos 1 e 4 são iguais a zero, nos pontos 3 e 5 iguais,
nos pontos 2 e 6 iguais e constantes. Colocando a aceleração em ordem decrescente do mo-
dulo da aceleração, temos 2 e 6; 3 e 5, 1 e 4
6. As seguintes equações fornecem a velocidade ν(t) de uma partícula em quatro situa-
ções: (a) ν = 3; (b) ν = 4t2 + 2t − 6; (c) ν = 3t − 4; (d) ν = 5t2 − 3. Em quais destas situações as
equações da Tabela 2-1 podem ser aplicadas?
Apenas em (a) e (c) podemos usar as equações da Tabela 2-1.
7. Na Fig. 2-20, uma tangerina é lançada verticalmente para cima e passa por três janelas
igualmente espaçadas e de alturas iguais. Coloque as janelas na ordem decrescente (a) da
velocidade escalar média da tangerina ao passar por elas, (b) do tempo que a tangerina leva
para passar por elas, (c) do módulo da aceleração da tangerina ao passar por elas e (d) da
variação 4ν da velocidade escalar da tangerina ao passar por elas.
(a) A velocidade escalar média depende da distância total percorrido e do tempo total
gasto. As distâncias que a tangerina percorre ao passar nas janelas são iguais, porém o tem-
pos ao percorrer cada uma são diferentes. Seja t3 o tempo gasto ao atravessar a primeira
janela, t2 a segunda janela e t1 a terceira janela. Como o movimento é verticalmente para
cima, devido a ação da gravidade, temos t3 < t2 < t1. Então, as janelas em ordem decrescente
das velocidade escalar média são: 3, 2 e 1. (b) Como temos t3 < t2 < t1, a ordem é 1, 2 e 3.
Mecânicab m ÿ Cirlei Xavier
2.1. Velocidade Média e Velocidade Escalar Média 9
(c) A aceleração é constante em todo o percurso, a = −g m/s2. Então, são todas iguais. (d) A
ordem decrescente da variação 4ν da velocidade escalar, modulo da velocidade instantânea,
da tangerina ao passa pelas janelas é 1, 2 e 3.
8. Em t = 0, uma partícula que se move em um eixo x está na posição x0 = −20 m. Os
sinais da velocidade inicial ν0 (no instante t0) e da aceleração constante a da partícula são,
respectivamente, para quatro situações: (1) +, +; (2) +, -; (3) -; +; (4) -,-. Em quais das si-
tuações a partícula (a) pára momentaneamente. (b) passa pela origem e (c) não passa pela
origem?
Em (1) o movimente é acelerado no sentido positivo, (2) o movimente é retardado no sen-
tido positivo, (3) movimento é retardado no sentido negativa e (4) o movimento é acelerado
no sentido negativo. (a) Na situação (2) e (3); (b) Na situação (1); (c) a situação (4).
9. Debruçado no parapeito de uma ponte, você deixa cair um ovo (com velocidade inicial
nula) e atira um segundo ovo para baixo. Qual das curvas da Fig.2-21 corresponde à velo-
cidade ν(t) (a) do ovo que caiu, (b) do ovo que foi atirado? (As curvas A e B são paralelas,
assim como as curvas C, D e E e as curvas F e G.
(a) a curva que corresponde à velocidade do ovo que caiu é D e (b) do ovo que foi atirado
para baixo é E.
Problemas
2.1 Velocidade Média e Velocidade Escalar Média
1. Um automóvel viaja em uma estrada retilínea por 40 km a 30 km/h. Em seguida,
continuando no mesmo sentido, percorre outros 40 km a 60 km/h. (a) Qual é a velocidade
média do carro durante este percurso de 80 km? (Suponha que o carro se move no sentido
positivo de x.) (b) Qual é a velocidade escalar média? (c) Trace o gráfico de x em função de
t e mostre como calcular a velocidade média a partir do gráfico.
(a) A velocidade media é o deslocamento total dividido pelo intervalo tempo total. Pri-
meiro, vamos encontrar o tempo em cada percurso, no primeiro percurso gasta um tempo
de t1 = 4x/ν = 1,33h e no segundo percurso t2 = 4x/ν = 0,67h. Então, temos um tempo total
de 2,00 h. A velocidade média é:
νm =
80
2
= +40 km/h
(b) A velocidade escalar média é o distância total dividia pelo tempo total. Neste exem-
plo, a velocidade escalar média coincidiu com a velocidade média de +40 km/h.
(c)
2. Um carro sobe uma ladeira com uma velocidade constante de 40 km/h e desce a la-
deira com uma velocidade constante de 60 km/h. Calcule a velocidade escalar média da
viagem de ida e volta.
ÿ Cirlei Xavier m Mecânicab
Capítulo 2. Movimento Retilíneo 10
0,
0
0,
2
0,
4
0,
6
0,
8
1,
0
1,
2
1,
4
1,
6
1,
8
2,
0
2,
2
0102030405060708090
x(km)
t (
h)
 x
1(
t)
 x
2(
t)
 V
m
Chamando o comprimento da ladeira de D, o tempo gasto para subir a ladeira é D/40
h e o tempo de descida é D/60 h. Assim, temos o tempo total é (D/40 +D/60). Portanto, a
velocidade escalar média é:
νm =
2D
D/40 +D/60
=
2D · 40 · 60
40D + 60D
= 48 km/h
3. Durante um espirro, os olhos podem se fechar por até 0,50 s. Se você está dirigindo
um carro a 90 km/h e espirra, de quanto o carro pode se deslocar até você abrir novamente
os olhos?
Usando a equação da velocidade média, encontraremos o deslocamento do carro durante
o piscar dos olhos. Uma velocidade de 90 km/h é 90/3,6 = 25 m/s. Assim, o deslocamento
é:
4 x = 25 · 0,50 = 12,5 ≈ 13 m
4. Em 1992, um recorde mundial de velocidade em uma bicicleta foi estabelecido Chris
Huber. Seu tempo para percorrer um trecho de 200 m foi apenas 6,509 s, ao final do qual ele
comentou: “ Cogito ergo zoom!” (Penso, logo corro!). Em 2001, Sam Whittingham quebrou
o recorde de Huber em 19 km/h. Qual foi o tempo gasto por Whittingham para percorrer
os 200 m?
Chris Huber teve um velocidade média de 30,727 m/s = 110,616 km/h, enquanto Whit-
tingham de 129,616 km/h = 36,004 m/s. O tempo gasto por Whittingham para percorrer os
200 m foi de 5,555 s.
5. A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo x é dada por x = 3t−4t2 + t3,
onde x está em metros e t em segundos. Determine a posição do objeto para os seguintes
valores de t: (a) 1 s, (b) 2 s, (c) 3 s, (d) 4 s. (e) Qual é o deslocamento do objeto entre t = 0 e
t = 4 s? (f) Qual é a velocidade média para o intervalo de tempo de t = 2 s a t = 4 s? (g) Faça
o gráfico de x em função de t para 0 ≤ t ≤ 4 s e indique como a resposta do item (f) pode ser
determinada a partir do gráfico.
(a) Em = 1 s o objeto se encontra em x = 3 ·1−4 ·12 + 13 = 0, (b) em t = 2 s se encontra em
x = 6−16+8 = −2 m, (c) em t = 3 s se encontra em x = 0 e em t = 4s se encontra em x = 12 m.
(e) Em t = 0 o objeto se encontra em repouso e t = 4 s o objeto se encontra na posição x = +12
Mecânicab m ÿ Cirlei Xavier
2.1. Velocidade Média e Velocidade Escalar Média 11
m. (f) Entre o intervalo de tempo de t = 2 s e t = 4s o objeto tem uma velocidade média de
νm = 4x/ 4 t = [12− (−2)]/(4− 2) = 7 m/s.
(g)
0,
0
0,
5
1,
0
1,
5
2,
0
2,
5
3,
0
3,
5
4,
0
-8-6-4-202468101214161820
x (m), v(m/s), a(m/s
2
)
t (
s)
 x
(t)
 v
(t)
 a
(t)
6. Calcule a velocidade média nos dois casos seguintes: (a) você caminha 73,2 m a uma
velocidade de 1,22 m/s e depois corre 73,2 m a 3,05 m/s em uma pista reta. (b) Você caminha
1,00 min com uma velocidade de 1, 22 m/s e depois corre por 1,00 min a 3,05 m/s em uma
pista reta. (c) Faça o gráfico de x em função de t nos dois casos e indique como a velocidade
média pode ser determinada a partir do gráfico.
(a) O deslocamento é 4x = 2 ·73,2 = 146,4 m e o tempo é 4t = 73,2/1,22+73,2/3,05 = 84
s. Então, a velocidade média é:
νm =
146,4
84
= 1,74 m/s
(b) O deslocamento é 4x = 1,22 · 60 + 3,05 · 60 = 256,2 m e o tempo total é 2 · 60 = 120 s.
Assim, a velocidade média é:
νm =
256,2
120
= 2,14 m/s
(c)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
02040608010
0
12
0
14
0
16
0
x (m)
t (
s)
 x
1(
t)
 x
2(
t)
 V
m
(a)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
10
0
11
0
12
0
13
0
02040608010
0
12
0
14
0
16
0
18
0
20
0
22
0
24
0
26
0
x (m)
t (
s)
 x
1(t
)
 x
2(t
)
 
V
m
(b)
7. Em uma corrida de 1 km, o corredor 1 da raia 1 (com o tempo de 2 min 27,95 s) parece
ser mais rápido que o corredor 2 da raia 2 (2 min 28,15 s). Entretanto, o comprimento L2 da
ÿ Cirlei Xavier m Mecânicab
Capítulo 2. Movimento Retilíneo 12
raia 2 pode ser ligeiramente maior que o comprimento L1 da raia 1. Qual é o maior valor da
diferença L2 −L1 para a qual a conclusão de que o corredor 1 é mais rápido é verdadeira?
O corredor 1 da raia 1, com tempo de t1 = 147,95 s, percorre com uma velocidade escalar
média de Sm,1 = S/t1 = 1.000/147,95 = +6,7590 m/s. O corredor da raia 2, com tempo de
t2 = 148,15 s, percorre com uma velocidade escalar média de Sm,2 = 1.000/148,15 = +6,7499
m/s. O corredor 1 chega primeiro com um tempo menor que o corredor 2 de 4t = 0.2 s.
Considerando que os corredores correm com a mesma rapidez. Então, o comprimento L2 da
raia 2 pode ser ligeiramente maior do que o comprimento L1. Dessa forma, temos
L2 −L1 = L1t1 · (t2 − t1) = 6,7590 · 0,2 = 1,3518 ≈ 1,4 m.
Se L1 e L2 são iguais, então o corredor 1 é mais rápido do que o corredor 2. Porém, se
L2 = (L1 + 1,4) o corredor 2 é o mais rápido , pois Sm,2 = 1.001,4/148,15 = +6,7594 m/s.
8. Para estabelecer um recorde de velocidade em uma distância d (em linha reta), um
carro deve percorrer a distância primeiro em um sentido (em um tempo t1) e depois no sen-
tido oposto (em um tempo t2). (a) Para eliminar o efeito do vento e obter a velocidade do
carro νc na ausência de vento, devemos calcular a média aritmética de d/t1 e d/t2 (método
1) ou devemos dividir d pela média aritmética de t1 e t2? (b) Qual é a diferença percentual
dos dois métodos se existe um vento constante na pista e a razão entre a velocidade νv do
vento e a velocidade νc do carro é 0,0240?
(a) Vamos calcular a velocidade do carro nos dois sentidos, d/t1 e d/t2. Supondo que o
primeiro percurso o carro está no sentido do movimento e no sentido do vento. No segundo
percurso o carro está no sentido oposto do movimento e contra o vento. Então, temos
ν1 = νc + νv (2.1)
ν2 = ν
′
c − νv (2.2)
Observe que, como ν
′
c = νc, a média aritmética das velocidades elimina o efeito do vento
e obtemos a velocidade do carro νc.
ν1 + ν2
2
= νc = d · t1 + t22 · t1 · t2
(b) A diferença dos dois métodos é:
dif = d · t1 + t2
2 · t1 · t2 −
2 · d
t1 + t2
dif =
1
2
· (νc + ν ′c)− 2 · dd
νc+νv
+ d
ν
′
c−νv
dif =
1
2
· (νc + ν ′c)− 2 · (νc + ν
′
c)(ν
′
c − νv)
(νc + ν
′
c)
dif = νc − (νc + νv) · (νc − νv)νc
dif = νc − (ν
2
c − ν2v )
νc
Mecânicab m ÿ Cirlei Xavier
2.1. Velocidade Média e Velocidade Escalar Média 13
dif = νc · (νvνc )
2
Como νv = 0,0240νc, obtemos
dif = νc · (0,0240)2 = νc · (5,7600 · 10−4)
9. Você tem que dirigir em uma via expressa para se candidatar a um emprego em outra
cidade, a uma distância de 300 km. A entrevista foi marcada as 11:15 h da manhã. Você
planeja dirigir a 100 km/h e parte às 8:00 h da manhã para ter algum tempo de sobra. Você
dirige na velocidade planejada durante os primeiros 100 km, depois um trecho da estrada
em obras o obriga a reduzir a velocidade para 40 km/h por 40 km. Qual a menor velocidade
que você deve manter no resto da viagem para chegar a tempo para a entrevista?
Para o candidato chegar no horário, saindo às 8:00 h, ele terá 3,25 h para chegar no local.
Então, ele deverá percorrer os 300 km com uma velocidade de 92,3 km/h para chegar na
hora. Com planeja ter um tempo de folga, ele dirigindo com 100 km/h irá chegar com 0,25
h de antecedência. Como ocorreu um imprevisto devido a obras na estrada, ele percorre o
primeiro percurso em 1 h com 100 km/h, o segundo com percorre em 1 h com 40 km/h.
Agora, resta ainda 160 km para percorrer em tempo de 1,25 h, que é o tempo que resta para
chegar no horário. Dessa forma, ele deve ter uma velocidade de no mínimo 128 km/h para
chegar a tempo para a entrevista.
10. Situação de pânico. A Fig. 2-22 mostra uma situação na qual muitas pessoas tentam
escapar por uma porta de emergência que está trancada. As pessoas se aproxima da porta
com um velocidade νs = 3,50 m/s, têm d = 0,25m de espessura e estão separadas por uma
distância L = 1,75 m. A Fig. 2-22 mostra a posição das pessoas no instante t = 0. (a) Qual é
a taxa média de aumento da camada de pessoas que se comprimemcontra a porta? (b) Em
que instante a espessura da camada chega a 5,0 m? (As pessoas mostram com que rapidez
um situação desse tipo pode colocar em risco a vida das pessoas.)
(a) A pessoa da frente chega na porta em t = L/νs = 1,75/3,50 = 0,50 s, a segunda pessoa
em t = (2L+d)/νs = 3,75/3,50 = 1,07 s, e a terceira pessoa em t = (3L+2d)/νs = 5,750/3,50 =
1,64 s. Veja que cada pessoas chegaram na porta com um intervalo de tempo de 0,57 s.
Entretanto, o portão está fechado. Dessa forma, as pessoas vão formar camadas. De uma
pessoa a outra, em movimento, estão separadas por um intervalo de tempo de 0,50 s e uma
distância L que lhes separam. Lembrando que, a vazão é definida como sendo o volume
da coisa transportado dividido pelo tempo, então, temos V = vol/t. Como a espessura das
pessoas é 0,25 m e, temos, um tempo de 0,5 segundos de uma pessoa a outra. Assim, a taxa
média de aumento da camada de pessoas é V = d/(L/νs) = 0,5 m/s.
(b) A quantidade de tempo para formar camadas de d
′
= 5 m é t = d
′
/νp = 5/0,5 = 10 s.
11. Dois trens, cada um com velocidade de 30 km/h, trafegam em sentidos opostos na
mesma linha férrea retilínea. Um pássaro capaz de voar a 60 km/h parte da frente de um
dos trens, quando eles estão separados por 60 km, e se dirige em linha reta para o outro
trem. Ao chegar ao outro trem, o pássaro faz meia-volta e se dirige para o primeiro trem, e
assim por diante. (Não temos a menor ideia da razão pela qual o pássaro se comporta desta
forma.) Qual é a distância total que o pássaro percorre até os trens colidirem?
ÿ Cirlei Xavier m Mecânicab
Capítulo 2. Movimento Retilíneo 14
Estando os dois trens, cada um com velocidade de 30 km/h e estando distantes de 60
km. Em 1 h eles irão colidirem, cada um percorrerá 30 km. Um pássaro que começa a
voar, exatamente quando os trem estão distante de 60 km, de um trem ou outro sem parar,
então, quando o pássaro percorrer 2x, cada trem percorre x. Dessa forma, os trem diminui
2x de sua distância inicial. Considerando o sentido do movimento como sendo a direção do
primeiro voo do pássaro rumo ao segundo trem. Veja que a posição dos trens são:
x1 = 30 · t
x2 = 60− 30 · t
xp = 60 · t
Observe que, em cada volta, a origem do movimento é sempre a posição do trem 1 e
que a posição inicial do trem dois muda a cada volta do pássaro. Dessa forma, no primeiro
voo, o pássaro percorre 40 km e se encontra com o segundo trem. Cada trem percorre 20
km. Assim, só resta 20 km restante. Na volta, o pássaro percorre 13,33 km dos 20 km,
e cada trem percorre 6,67 km, só reta 6,67 km. Novamente, o pássaro vai ao encontro do
segundo trem, percorrendo 4,45 km enquanto cada trem percorre 2,22 km, agora, nos resta
2,22 km. Na volta seguinte, o pássaro percorre 1,48 km e cada trem 0,74 km, fica restando
ainda 0,74 km. O pássaro percorre 0,49 km e cada trem 0,25 km. Na sexta volta, o pássaro
percorre 0,17 km e cada trem 0,085 km. Depois, o pássaro percorre 0,057 km e cada trem
0,028 km. Dessa forma, vai diminuindo a distância dos trens até ele baterem. Portanto,
somando as distâncias percorridas em cada voltas dada pelo pássaro, temos que ele percorre
aproximadamente 60 km antes que os trens colidam.
De forma direta, podemos pensar o seguinte: com a distância dada, 60 km, os trens
colidiram dentro de uma hora, então, o pássaro com velocidade de 60 km/h, em uma hora,
percorre x = νt = 60 km .
12. Onda de choque no trânsito. Quando o trânsito é intenso, uma redução brusca de
velocidade pode se propagar como um pulso, denominado onda de choque, ao longo de uma
fila de carros, no sentido do movimento dos carros, no sentido oposto ou permanecer estaci-
onária. A Fig. 2-23 mostra uma fila de carros regularmente espaçados que estão se movendo
a uma velocidade ν = 25,00 m/s em direção a uma fila de carros mais lentos, uniformemente
espaçados, que estão se movendo a uma velocidade νl = 5,00 m/s. Suponha que cada carro
mais rápido acrescenta um comprimento L = 12,0 m (comprimento do carro mais a distân-
cia mínima de segurança) à fila de carros mais lentos ao se juntar à fila, e suponha que reduz
bruscamente a velocidade no último momento. (a) Para que distância d entre os carros mais
rápidos a onda de choque permanece estacionária? Se a distância é duas vezes maior que
este valor, quais são (b) a velocidade e (c) o sentido (o sentido do movimento dos carros ou o
sentido contrário) da onda de choque?
(a) A onda de choque permanecerão constante no intervalo de tempo dado de t = L/νl ,
ou seja, enquanto a fila percorre uma distância L o carro mais rápido percorrerá d + L para
encostar no último carro da fila, mantendo ainda a distância mínima.
ν · t = d +L⇒ d = ν ·L/νl +L = Lνl (ν − νl) = 48 m.
Pensando: Qual a desaceleração necessária para os carros mais rápidos, quando eles
se encontra afastado d dos carros mais lentos, juntar-se à fila dos carros mais lentos sem
colidirem? Nesse caso, devemos usar a equações do movimentos com aceleração constante.
São elas:
Mecânicab m ÿ Cirlei Xavier
2.1. Velocidade Média e Velocidade Escalar Média 15
x − x0 = 1/2(ν0 + ν)t⇒ d + νlt = 1/2(ν + νl)t⇒ t = 2dν − νl
ν = ν0 +αt⇒ νl = ν +αt⇒ α = −(ν − νl)
2
2d
ν2 = ν20 + 2α(x − x0)⇒ ν2l = ν2 + 2α(d + νlt)
x − x0 = νt − (α/2)t2⇒ d + νlt = νt + (α/2)t2
Quando o carro mais lento percorrer νlt o carro mais rápido percorre d +νlt no intervalo
de tempo t, onde t é o tempo necessário para encostar no carro mais lento. Portanto, a
desaceleração é:
α = −(ν − νl)
2
2d
(b) Se a distância é duas vezes maior que d, isto é, D = 96 m. Significa que os carros se
chocaram e ouve uma onda de choque. Qual será a nova distância percorrida pelos carros
mais lentos? A velocidade da fila de carros em νl , veja que, quando a fila anda x = νlt, os
carros mais rápido andou D + x no mesmo intervalo de tempo. Então, temos que o tempo
t = x/νl é igual a (D + x)/ν. Assim, temos
x =Dνs/(ν − νl) = 24 m.
Então, o tempo é t = x/νl = 4,80 s. Nota-se que houve um aumento da distância percorrida
pelos carros mais lentos de x = 2L. Assim, houve um distância de arrasto de
4 x = x −L = 24− 12 = 12 m.
Então, a velocidade da onda de choque é ν = 12/4,8 = 2,50 m/s.
(c) Como x > L, a velocidade da onda de choque tem o sentido do movimento dos carros.
13. Você dirige do Rio a São Paulo metade do tempo a 55 km/h e a outra metade a 90
km/h. Na volta, você viaja metade da distância a 55 km/h e a outra metade a 90 km/h. Qual
é a velocidade escalar média (a) do Rio a São Paulo, (b) de São Paulo ao Rio e (c) na viagem
inteira? (d) Qual é a velocidade média na viagem inteira? (e) Plote o gráfico de x em função
de t para o item (a), supondo que o movimento ocorre no sentido positivo de x. Mostre como
a velocidade média pode ser determinada a partir do gráfico.
Como sabemos, a velocidade escalar não tem sentido e nem direção. Ela nos dá a rapidez
do objeto em uma distância total percorrida num dada intervalo de tempo total.
(a) Na primeira metade do tempo ando a 55 km/h e na outra metade a 90 km/h, veja que
t1 = t2 = t/2, então, temos
Sm =
d
t
=
d1 + d2
t1 + t2
=
ν1 · t1 + ν2 · t2
t1 + t2
=
(ν1 + ν2) · t/2
2 · t/2 =
ν1 + ν2
2
=
55 + 90
2
= 72,5 km/h.
Observe que, neste exemplo, a velocidade escalar média é igual à média aritmética das
velocidades.
(b) Agora, ando a metade da distância a 55 km/h e a outra metade a 90 km/h, então,
temos.
Sm =
d
t′
=
d1 + d2
t1 + t2
=
d1 + d2
d1/ν1 + d2/ν2
=
2 · d/2
d/2 · (ν1 + ν2)/(ν1 · ν2) =
2 · ν1 · ν2
ν1 + ν2
=
2 · 55 · 90
55 + 90
= 68,3 km/h.
ÿ Cirlei Xavier m Mecânicab
Capítulo 2. Movimento Retilíneo 16
(c) Na viagem inteira, temos
Sm =
2 · d
t + t′
=
2 · d
d/72,5 + d/68,3
=
2 · 72,5 · 68,3
72,5 + 68,3
= 70,3 km/h.
(d) A velocidade média, como sabemos, é o deslocamento dividido pelo intervalo de
tempo, não depende da distância total percorrida, masapenas da posição inicial e final.
Sendo assim, a velocidade média na viagem inteira é zero.
(e) Temos duas equações, uma é x1 = ν1 · t1 para a primeira metade do tempo e a outra é
x2 = x2,0 + ν2 · t2 para a outra metade do tempo, lembre-se que t1 = t2 e x2,0 = (ν1 − ν2) · t/2.
Portanto, tem-se
t/2
V
m
= 
72
,5
 k
m
/h
V
2=
 9
0 
km
/h
 x
1(t
)
 x
2(t
)
 x
m
x (km)
t (
h)
V
1=
 5
5 
km
/h
t
d
2.2 Velocidade Instantânea e Velocidade Escalar Instantâ-
nea
14. A função posição x(t) de uma partícula que está se movendo ao longo do eixo x é
x = 4,0− 6,0t2, com x em metros e t em segundos. (a) Em que instante e (b) em que posição
a partícula pára (momentaneamente)? Em que (c) instante negativo e (d) instante positivo a
partícula passa pela origem? (e) Plote o gráfico de x em função de t para o intervalo de -5 s
a +5 s. (f) Para deslocar a curva para a direita no gráfico, devemos acrescentar o termo +20t
ou o termo −20t a x(t)? (g) Essa modificação aumenta ou diminui o valor de x para o qual a
partícula pára momentaneamente?
Sendo a posição da partícula em função do tempo dado por x(t) = 4,0 − 6,0t2, então, a
velocidade em função do tempo é ν(t) = −12,0t e a aceleração é constante a = −12 m/s2.
Observe que a partícula pára momentaneamente quando sua velocidade é zero, isso ocorre
(a) no instante zero, e ela se encontra (b) na posição 4,0 m. (c) No instante t = −0,82 s e em
(d) t = 0,82 s a partícula passa pela origem. (e)
(f) Devemos acrescentar o termo +20t para a curva deslocar para a direita. Como pode
ser visto no gráfico abaixo.
(g) Essa modificação aumenta o valor de x para x = 20,67 m para o qual a partícula pára
momentaneamente, no instante t = 1,67 s.
15. (a) Se a posição de uma partícula é dada por x = 4−12t+3t2 (onde t está em segundos
e x em metros), qual é a velocidade da partícula em t = 1 s? (b) O movimento nesse instante
é no sentido positivo ou negativo de x? (c) Qual é a velocidade escalar da partícula nesse
Mecânicab m ÿ Cirlei Xavier
2.2. Velocidade Instantânea e Velocidade Escalar Instantânea 17
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-2
00
-1
50
-1
00-5
005010
0
x (m), v (m/s), a
t (
s) x(
t)
 v
(t)
 a
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-2
00
-1
50
-1
00-5
005010
0
x (m), v(m/2), a (m/s
2
)
t (
s) x d
ir(t
)
 x
es
q(t
)
 v
di
r(t
)
 v
es
q(t
)
 a
instante? (d) A velocidade escalar está aumentando ou diminuindo nesse instante? (Tente
responder às duas próximas perguntas sem fazer outros cálculos.) (e) Existe algum instante
no qual a velocidade se anula? Caso a resposta seja afirmativa, para que valor de t isso acon-
tece? (f) Existe algum instante após t = 3 s no qual a partícula está se movendo no sentido
negativo de x?
No instante t = 1 s a partícula se encontra na posição x = −5 m. A velocidade é dada por
6t −12, veja que no instante t = 1 s a partícula está com velocidade negativa, (a) ν = −6 m/s.
Então, (b) o sentido neste instante é no sentido negativo de x. A velocidade escalar é |ν| = 6
m/s, veja que (d) a velocidade escalar está diminuindo neste instante. (e) Sim, no instante
t = 2 s. (f) Não, a partícula a partir do instante t = 2 s moverá sempre no sentido positivo de
x. Observe o gráfico abaixo.
16. A posição de um elétron que se move ao longo do eixo x é dada por x = 16te−t m,
onde t está em segundos. A que distância está o elétron da origem quando pára momenta-
neamente?
Uma elétron que se move com essa posição em função do tempo terá uma velocidade em
função do tempo dada por
ν = {−16e−t(t − 1)}
Quando o elétron pára momentaneamente sua velocidade é zero. Então, pela equação
acima, a velocidade é zero se, e somente se, t = 1 s. Portanto, substituindo este instante
na equação da posição, encontraremos a posição do elétron, x(1) = 16e−1 = 5,886 m. A
ÿ Cirlei Xavier m Mecânicab
Capítulo 2. Movimento Retilíneo 18
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-2
0
-1
5
-1
0-5051015202530
x (m), v(m/s), a (m/s
2
)
t (
s)
 x
(t)
 v
(t)
 a
aceleração é dada por
α = {16e−t(t − 2)}
Observe o gráfico:
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1
0-8-6-4-20246810
x (m), v (m/s), a (m/s
2
)
t (
s)
 x
(t)
 v
(t)
 a
(t)
17. A posição de uma partícula que se move ao longo de eixo x é dada em centímetros
por x = 9,75 + 1,50t3, onde t está em segundos. Calcule (a) a velocidade média durante o
intervalo de tempo de t = 2,00 s a t = 3,00 s; (b) a velocidade instantânea em t = 2,00 s; (c)
a velocidade instantânea em t = 2,50 s; (e) a velocidade instantânea quando a partícula está
na metade da distância entre suas posições em t = 2,00 e t = 3,00 s. (f) Plote o gráfico de x
em função de t e indique suas respostas graficamente.
(a) A velocidade média é dada por
νm =
4x
4t =
x2 − x1
t2 − t1 =
(9,75 + 1,5 · 33)− (9,75 + 1,5 · 23)
3,00− 2,00 =
50,25− 21,75
1,00
= 28,5 cm/s.
Portanto, a velocidade média no intervalo dado é 28,5 cm/s.
(b) A equação da velocidade é:
ν = 4,5t2
Então, no instante t=2,00 s, a partícula tem uma velocidade de 18,0 cm/s.
(c) Em t=3 s a velocidade é 40,5 cm/s. (d) Em t=2,50 s a velocidade é 28,1 cm/s. (e) No
instante t=2,00 s a partícula se encontra na posição 21,75 cm e em t=3 s na posição 50,25
cm. Então, a posição em que a partícula se encontra na metade das posições nos instantes
Mecânicab m ÿ Cirlei Xavier
2.2. Velocidade Instantânea e Velocidade Escalar Instantânea 19
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4
0
-3
0
-2
0
-1
00102030405060
x (cm), v (cm/s), a (cm/s
2
)
t (
s) x
(t)
 v
(t)
 a
(t)
mencionados, é a posição (x2 + x1)/2 = 36 cm, que corresponde ao instante t=2,596 s e uma
velocidade instantânea de ν = 30,3 cm/s. (f) Observe o gráfico do movimento.
ÿ Cirlei Xavier m Mecânicab
Capítulo 2. Movimento Retilíneo 20
2.3 Aceleração
18. (a) Se a posição de uma partícula é dada por x = 20t − 5t3, onde x está em metros e
t em segundos, e que instante(s) a velocidade da partícula é zero? (b) Em que instante(s) a
aceleração α é zero? (c) Para que intervalo de tempo (positivo ou negativo) a aceleração α é
negativa? (d) Para que intervalo de tempo (positivo ou negativo) a aceleração α é positiva?
(e) Trace os gráficos de x(t), v(t) e a(t).
A posição em função do tempo da partícula é x = 20t−5t3, então, a velocidade em função
do tempo é ν = 20− 15t2 e a aceleração é α = −30t. (a) A velocidade da partícula é zero nos
instantes t = ±1,33 s. (b) a aceleração será zero somente no instante zero. Veja que (c) a
aceleração será negativa para tempos positivos e (d) será positiva para tempos negativos. (e)
Veja os gráficos de x(t), v(t) e a(t) do movimento da partícula.
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-2
00
-1
50
-1
00-5
005010
0
15
0
20
0
x(m), v(m/s), a(m/s
2
)
t(s
)
 x
(t)
 v
(t)
 a
(t)
19. Em um certo instante de tempo, uma partícula tinha uma velocidade de 18 m/s no
sentido positivo de x; 2,4 s depois, a velocidade era 30 m/s no sentido oposto. Qual foi a
aceleração média da partícula durante este intervalo de 2,4 s?
A aceleração média é dada por
α =
4ν
4t =
ν2 − ν1
t2 − t1 =
(−30)− (+18)
2,4
= −20 m/s2
Portanto, a partícula tem uma aceleração média de −20m/s2 durante o intervalo de 2,4 s.
20. A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por x = 12t2−2t3,
onde x está em metros e t em segundos. Determine (a) a posição, (b) a velocidade e (c) a
aceleração da partícula em t=3,0 s. (d) Qual é a coordenada positiva máxima alcançada pela
partícula e (e) em que instante de tempo ele é alcançada? (f) Qual é a velocidade positiva
máxima alcançada pela partícula e (g) em que instante de tempoela é alcançada? (h) Qual é
a aceleração da partícula no instante que a partícula não está se movendo (além do instante
t=0)? (i) Determine a velocidade média da partícula entre t=0 e t=3,0 s.
A partícula no instante t=3 s estará (a) na posição +54 m, (b) com velocidade +18 m/s
e (c) a aceleração de -12 m/s2. (d) a posição x é máximo quando ν = 0, assim, o instante
de tempo é t = 0 e t = 4 s. Então, substituindo t=4 s na equação da posição, encontramos
x=64 m. (f) a velocidade positiva da partícula é máxima quando sua derivada é zero, ou
seja, quando a aceleração é zero. Então, no instante de tempo t=2,0 s a velocidade alcança
ν = 24 m/s. (g) De (f), vemos que a velocidade é máxima em t=2,0 s. (h) A partícula não está
Mecânicab m ÿ Cirlei Xavier
2.3. Aceleração 21
se movendo, além do instante t=0, no instante t=4 s. (i) A velocidade média da partícula
entre t=0 e t=3,0 s é νm = (x2 − x1)/ 4 t = (+54 − 0)/3,0 = 18 m/s. Veja abaixo o gráfico do
movimento da partícula.
-1
0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-4
00
-3
00
-2
00
-1
00010
0
20
0
30
0
40
0
x(m), v(m/s), a(m/s
2
)
t(s
)
 x
(t)
 v
(t)
 a
(t)
21. A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x varia com o tempo
de acordo com a equação x = ct2 − bt3, onde x está em metros t em segundos. Quais são as
unidades (a) da constante c e (b) da constate b? Suponha que os valores numéricos de c e
b sejam 3,0 e 2,0, respectivamente. (c) Em que instante a partícula passa pelo maior valor
positivo de x? De t = 0,0 s a t = 4,0 s, (d) qual é a distância percorrida pela partícula e (e)
qual é o seu deslocamento? Determine a velocidade da partícula nos instantes (f) t = 1,0 s,
(g) t = 2,0 s, (h) t = 3,0 s e (i) t = 4,0 s. Determine a aceleração da partícula nos instantes (j)
t = 1,0 s, (k) t = 2,0 s, (1) t = 3,0 s e (m) t = 4,0 s.
(a) A constante c tem unidade de m/s2 e (b) b tem unidade de m/s3. A partícula passa
pelo maior valor positivo quando sua velocidade é zero, isto é, ν = 6t − 6t2 = 0, então, t = 0
ou t = 1,0 s. O maior valor positivo é x(1) = 1,0 m. (c) No instante t = 1 s. (d) No intervalo
de tempo t=0,0 a t=4,0 s a partícula percorre uma distância de 80 m e seu deslocamento
neste intervalo é -80 m. A velocidade da partícula é dada por ν = 6t(1 − t). (f) Em t=1,0 s
a velocidade é ν(1) = 0 m/s, (g) em t=2,0 s é ν(2) = −12 m/s, (h) em t=3,0 s é ν(3) = −36
m/s e (i) em t=4,0 s é ν(4) = −72 m/s. A aceleração é dada por α = 6(1− 2t). (j) Em t=1 s a
aceleração é α(1) = −6 m/s2, (k) em t=2 s é α(1) = −18 m/s2, (l) em t=3 s é α(1) = −30 m/s2 e
(m) em t=4 s é α(1) = −42 m/s2.
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-2
0
-1
6
-1
2-8-4048121620
x(m), v(m/s), a(m/s
2
)
t(s
)
 x
(t)
 v
(t)
 a
(t)
22. De t = 0 a t = 5,00 min um homem fica em pé sem se mover; de t = 5,00 min a
t = 10,0 min ele caminha em linha reta com uma velocidade de 2,2 m/s. Quais são (a) sua
ÿ Cirlei Xavier m Mecânicab
Capítulo 2. Movimento Retilíneo 22
velocidade média νm e (b) sua aceleração média αm no intervalo de tempo de 2,00 min a 8,00
min? Quais são (c) νm e (d) αm no intervalo de tempo de 3,00 min a 9,00 min? (e) Plote x em
função de t e ν em função de t, e indique como as respostas de (a) a (c) podem ser obtidas a
partir dos gráficos.
O homem percorre uma distância total, no intervalo de 5 min, de x = ν · 4t = 2,2 · 300 =
660 m. (a) Nos três primeiro minutos o homem percorre x = 2,2 · 3 · 60 = 396 m. Então,
a velocidade média é νm = x/ 4 t = 396/[(8 − 2)60] = 1,10 m/s e (b) a aceleração média é
αm = (ν2 − ν1)/ 4 t = (2,2− 0)/360 = 6,11 · 10−3. Observe que no intervalo de tempo de 3,00
min a 9,00 min, 4t = 6 min, temos mesmo intervalo de tempo das questões anteriores. A
distância percorrida pelo homem é x = 2,2 ·4 ·60 = 528. Então, (c) a aceleração média é igual
a da questão anterior, αm = 2,2/360 = 6,11 · 10−3 e (d) a velocidade média é νm = 528/360 =
1,47 m/s. (e) Abaixo temos o gráfico de x em função de t e as respostas de (a) e (c) obtidas
diretamente do gráfico.
0
50
10
0
15
0
20
0
25
0
30
0
35
0
40
0
45
0
50
0
55
0
60
0
0
10
0
20
0
30
0
40
0
50
0
60
0
70
0
(c
)
x(m)
t(s
)
(a
)
2.4 Aceleração Constante: Um Caso Especial
23. Um elétron possui uma aceleração constante de +3,2 m/s2. Em um certo instante,
sua velocidade é +9,6 m/s. Qual é sua velocidade (a) 2,5 s antes e (b) 2,5 s depois do instante
considerado?
Usando a relação ∆ν = α∆t, obtemos
ν − ν0 = α∆t
ν(t) = ν0 +αt
Assim, se ν0 = 0 em t = 0, temos
9,6 m/s = 0 + 3,2t⇒ t = 3 s
Portanto,
ν(0,5) = 3,2 · 0,5 = 1,6 m/s
e
ν(5,5) = 3,2 · 5,5 == 18 m/s
Mecânicab m ÿ Cirlei Xavier
2.4. Aceleração Constante: Um Caso Especial 23
Pensando: Se em t = 0 a velocidade é ν0 = 9,6 m/s, então, temos
ν(−2,5) = 9,6 + 3,2 · (−2,5) = 1,6 m/s
e
ν(2,5) = 9,6 + 3,2 · 2,5 = 18 m/s
24. Um múon (uma partícula elementar) penetra em uma região com uma velocidade
de 5,00 · 106 m/s e passa a ser desacelerado a uma taxa de 1,25 · 1014 m/s2. (a) Qual é a
distância percorrida pelo múon até parar? (b) Trace os gráficos de x em função de t e de ν
em função de t para o múon.
Usando a expressão ν2 = ν20 + 2α∆S, vem
∆S =
ν2 − ν20
2α
Se ν = 0, então
∆S = − ν
2
0
2α
⇒ −(5,00 · 10
6)2
2(−1,25 · 1014) = 10
−1⇒ ∆S = 0,100 m
.
25. Suponha que uma nave espacial se move com uma aceleração constante de 9,8 m/s2,
que dá aos tripulantes a ilusão de uma gravidade normal durante o vôo. (a) Se a nave
parte do repouso, quanto tempo leva para atingir um décimo da velocidade da luz, que é
3,0 · 108 m/s? (b) Que distância a nave percorre nesse tempo?
(a) Usando a expressão ν = ν0 +αt, e sabendo que ν0 = 0 e ν = 0,1c = 3,0 · 107, obtemos
t =
ν − ν0
α
⇒ t = 3,0 · 10
7 − 0,0
9,8
s⇒ t = 0,31 · 107 = 3,1 · 106 s
(b) E usando a expressão ∆S =
ν2 − ν20
2α
, temos
∆S =
(3,0 · 107)2 − 02
2 · 9,8 m⇒ ∆S = 0,46 · 10
14 = 4,46 · 1013 m
26. Em uma estrada seca, um carro com pneus novos é capaz de frear com uma desacele-
ração constante de 4,92 m/s2. (a) Quanto tempo esse carro, inicialmente se movendo a 24,6
m/s, leva para parar? (b) Que distância o carro percorre nesse tempo? (c) Trace os gráficos
de x em função de t e de ν em função de t durante a desaceleração.
(a) Usando a expressão t = (ν−ν0)/α, encontraremos o tempo que o carro leva para parar
com a desaceleração de 4,92 m/s2. Temos
t =
ν − ν0
α
⇒ t = 24,6− 0,00
4,92
= 5,00 s
(b) A distância percorrida é
∆S =
−ν20
2α
⇒ ∆S = −(24,6)
2
2 · (−4,92) = 61,5 m
ÿ Cirlei Xavier m Mecânicab
Capítulo 2. Movimento Retilíneo 24
27. Um elétron com velocidade inicial ν0 = 1,50 · 105m/s penetra em uma região de
comprimento L = 1,00cm, onde é eletricamente acelerado, sai dessa região com ν = 5,70 ·
106m/s. Qual é a aceleração do elétron, supondo que seja constante?
A aceleração é
α =
ν2 − ν20
2∆S
⇒ α = (5,70 · 10
6)2 − (1,50 · 105)2
2 · 0,010 =
3,251015
2,00
= 1,62 · 1015 m/s2
28. Cogumelos lançadores. Alguns cogumelos lançam esporos usando um mecanismo da
catapulta. Quando o vapor d’água do ar se condensa em um esporo preso a um cogumelo,
uma gota se forma de um lado do esporo e uma película de água se forma do outro lado. O
peso da gota faz o esporo se encurvar, mas, quando a película atinge a gota, a gota d’água
se espalha bruscamente pelo filme, e o esporo volta tão depressa à posição original que é
lançado no ar. Tipicamente, o esporo atinge uma velocidade de 1,6 m/s em um lançamento
de 5,0 µm; em seguida, a velocidade é reduzida a zero em 1,00 mm pelo atrito com o ar.
Usando esses dados e supondo que a aceleração é constante, determine a aceleração em
unidade de g (a) durante o lançamento; (b) durante a redução de velocidade.
(a) Usando a equação de Torricelliν2 = ν20 + 2α∆x
Podemos insolando a aceleração, então, tem-se
α =
ν2 − ν20
2∆x
Assim, obtemos
α =
(1,6)2 − 02
2 · (5,0 · 10−6) = 2,56 · 10
5 m/s2 = 2,56 · 104g m/s2
(b) Observe que a velocidade de 1,6 m/s agora é a velocidade inicial, isto é, ν0 = 1,6 m/s
e a distância percorrida é 1 mm = 0,001 m. Portanto,
α =
02 − (1,6)2
2 · (1 · 10−3) =
−2,56
2 · 10−3 m/s
2 = 1,28 · 102g m/s2
29. Um veículo elétrico parte do repouso e acelera em linha reta a uma taxa de 2,0 m/s2
até atingir a velocidade de 20 m/s. Em seguida, o veículo desacelera a uma taxa constante
de 1,0 m/s2 até parar. (a) Quanto tempo transcorre entre a partida e a parada? (b) Qual é
distância percorrida pelo veículo desde a partida até a parada?
Usando a equação da velocidade para o movimento uniformemente variado, ν = ν0 +αt,
temos para o primeiro percurso
t1 =
ν − ν0
α
=
20− 0
2,0
= 10 s
x1 =
ν2 − ν20
2 ·α =
(20)2 − 02
2 · 2,0 =
400
4
= 100 m
Agora para a segunda parte, temos
t2 =
ν − ν0
α
=
0− 20
−1,0 = 20 s
Mecânicab m ÿ Cirlei Xavier
2.4. Aceleração Constante: Um Caso Especial 25
x2 =
ν2 − ν20
2 ·α =
02 − (20)2
2 · (−1,0) =
400
2
= 200 m
Portanto,
(a) O tempo transcorrido entre a partida e a parada é t = t1 + t2 = 10 + 20 = 30 s.
(b) A distância percorrida pelo veículo desde a partida até a parada é x = x1 + x2 =
100 + 200 = 300 m.
30. O recorde mundial de velocidade em terra foi estabelecido pelo coronel John P. Stapp
em março de 1954, a bordo de um trenó-foguete que se deslocou sobre trilhos a 1020 km/h.
Ele e o trenó foram freados até parar em 1,4 s. Qual foi a aceleração experimentada por
Stapp durante a frenagem, em unidades de g?
A aceleração experimentada por Stapp é dada por
α =
ν − ν0
t
=
283,3− 0
1,4
= 202,4 m/s2
.
Portanto, houve uma desaceleração de 20,24g m/s2.
31. Uma certa cabina de elevador percorre uma distância máxima de 190 m e atinge uma
velocidade máxima de 305 m/min. A cabina pode acelerar a partir do repouso e desacelerar
de volta ao repouso a uma taxa de 1,22 m/s2. (a) Qual a distância percorrida pela cabina
enquanto acelera a partir do repouso até a velocidade máxima? (b) Quando tempo a cabina
leva para percorre a distância de 190 m, sem paradas, partindo do repouso e chegando com
velocidade zero?
(a) A cabina sendo acelerada de α = α1 = 1,22 m/s2 desde o repouso ν0 = 0 até a veloci-
dade máxima ν = 5,08 m/s percorrerá uma distância de
x =
ν2 − ν20
2α
=
(5,08)2 − 02
2 · 1,22 =
25,8
2,44
= 10,6 m
Observe que na aceleração a cabina percorre 10,7 metros, então na desaceleração de α =
α2 = −1,22 m/s2 também percorrerá mais 10,7 metros. Portanto, juntando essas duas partes
do percurso a cabina percorrerá 21, 4 metros. Agora, vamos calcular o tempo gasto nos dois
percursos.
Nota-se que a velocidade final do primeiro percurso, ν = ν1, é igual à velocidade inicial
do segundo percurso, ν0,2 = ν1, e que a cabina percorre um percurso intermediário de 190−
21,2 = 168,8 m com velocidade constante, ν = 5,08 m/s . Portanto, tempo total será dado
por
t = t1 + t2 + t3
onde
t1 =
ν1 − ν0,1
α1
=
ν1
α1
=
ν
α
=
5,08
1,22
= 4,17 s,
t2 =
ν2 − ν0,2
α2
=
−ν1
α2
=
ν
α
=
5,08
1,22
= 4,17 s,
t3 =
∆x
ν
=
168,8
5,08
= 33,23 s.
Portanto, o tempo total é t = t1 + t2 + t3 = 2 · 4,17 + 33,23 = 41,57 s.
ÿ Cirlei Xavier m Mecânicab
Capítulo 2. Movimento Retilíneo 26
32. Os freios do seu carro podem produzir uma desaceleração de 5,2 m/s2. (a) Se você
dirige a 137 km/h e avista uma policial rodoviário, qual é o tempo mínimo necessário para
que o carro atinja a velocidade máxima permitida de 90 km/h? (A resposta revela a inuti-
lidade de frear para tentar impedir que sua alta velocidade seja detectada por um radar ou
por uma pistola de laser). (b) Trace os gráficos de x em função do t e de ν versus t durante a
desaceleração.
(a) Usando a expressão da velocidade ν = ν0 +αt, temos
t =
ν − ν0
α
=
25− 38,1
−5,2 =
13,1
5,2
= 2,52 s
.
(b) O gráfico de x em função do t e de ν em função de t durante a desaceleração é mos-
trado abaixo:
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6
- 4 0
- 2 0
0
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
1 2 0
1 4 0
x(m
) v(
m/s
)
t ( s )
 v ( t ) x ( t )
33. Um carro que se move a 56,0 km/h está a 24,0 m de uma barreira quando o motorista
aciona os freios. O carro bate na barreira 2,00 s depois. (a) Qual é o módulo da aceleração
constante do carro antes do choque? (b) Qual é a velocidade do carro no momento do cho-
que?
(a) A aceleração pode ser calcular pela expressão abaixo:
α =
2(∆x − ν0t)
t2
=
2(24,0− 15,6 · 2,00)
(2,00)2
=
−7,2
2
= −3,60 m/s2
(a) Dessa forma, a velocidade do carro ao atingir a barreira é
v = ν0 +αt = 15,6− 3,60 · 2,00 = 8,4 m/s
.
34. Um carro se move ao longo do eixo x por uma distância de 900 m, partindo do
repouso (em x = 0) e terminado em repouso (em x = 900 m). No primeiro quarto do percurso
a aceleração é de +2,25 m/s2. Nos outros três quartos a aceleração passa a ser -0,750 m/s2.
Quais são (a) o tempo necessário para percorrer os 900 m e (b) a velocidade máxima? (c)
Trace os gráficos da posição x, da velocidade ν e da aceleração α em função do tempo t.
(a) O primeiro quarto do percurso, onde ν0,1 = 0, é descrito pelas equações:
ν1 = ν0,1 +α1t1⇒ t1 = ν1/α1
∆x1 =
1
4
x =
ν1 + ν0,1
2
t1⇒ 14x =
ν1
2
t1
Mecânicab m ÿ Cirlei Xavier
2.4. Aceleração Constante: Um Caso Especial 27
∆x1 =
1
4
x = ν0,1t1 +
α1
2
t21 ⇒
1
4
x =
α1
2
t21
Da última equação acima resulta t1 =
√
x/2α1.
Agora, para os outros três quartos, onde ν0,2 = ν1 e ν2 = 0, temos:
ν2 = ν0,2 +α2t2⇒ t2 = −ν0,2/α2
∆x2 =
3
4
x =
ν2 + ν0,2
2
t2⇒ 34x =
ν0,2
2
t2
∆x2 =
3
4
x = ν0,2t2 +
α2
2
t22 ⇒
3
4
x = ν0,2t2 +
α2
2
t22
Observe que a primeira equação escrita acima pode ser escrita como t2 = −ν1/α2 =
−α1
α2
√
x
2α1
= −
√
α1x
2α22
.
Portanto, o tempo necessário para percorrer os 900 m é
t = t1 + t2 =
√
x
2α1
−
√
α1x
2α22
=
√
x
2α1
(1− α1
α2
) =
√
900
2 · 2,25(1−
2,25
−0,750) = 56,57 s
(b) O carro atinge a velocidade máxima no final do primeiro percurso, ν1, então
ν21 = ν
2
0,1 + 2α∆x1⇒ ν1 =
√
2α1∆x1 =
√
2α1
1
4
x = ν1 =
√
α1x
2
=
√
2,25 · 900
2
= 31,82 m/s
35. A Fig. 2-25 (ver no livro) mostra o movimento de uma partícula que se move ao
longo do eixo x com aceleração constante. A escala vertical do gráfico é definida por xs = 6,0
m. Quais são (a) o módulo e (b) o sentido da aceleração da partícula?
(a) Pelo valores dados no gráfico e usando a equação que nos dá a posição em função do
tempo para o movimento uniformemente variado, x = x0 + ν0t +
1
2
t2, tem-se
0− (−2) = ν0 + α2 ⇒ ν0 +
α
2
= 2
6− (−2) = 2ν0 + 12α2
2⇒ ν0 +α = 4
Insolando a velocidade inicial e substituindo na outra equação, obtemos que a aceleração
α = 4 m/s2. Observe que como a aceleração é positiva o seu sentido é o sentido positivo da
orientação do eixo x.
36. (a) Se a aceleração máxima que pode ser tolerada pelos passageiros de um metrô
é 1,34 m/s2 e duas estações de metrô estão separadas por uma distância de 806 m, qual é
a velocidade máxima que o metrô pode alcançar entre as estações? (b) Qual é o tempo de
percurso? (c) Se o metrô pára por 20 s em cada estação, qual é a máxima velocidade escalar
média do metrô de uma partida à próxima?
(a) Considerando que o metrô parte com velocidade inicial igual a zero, ν0 = 0 em x0 = 0,
então o metrô chegará a velocidade máxima na metade do percurso, ν2 = 2α∆x1, ou seja,
a primeira metade o metrô sofre uma aceleração de α1 = 1,34 m/s2 e na outra metade
α2 = −1,34 m/s2. Portanto,
ν1 =
√
2α∆x1 =
√
2 · 1,34 · 403 = 32,9 m/s
ÿ Cirlei Xavier m MecânicabCapítulo 2. Movimento Retilíneo 28
(b) O tempo de percurso é
t1 =
ν1
α1
=
32,9
1,34
= 24,53 s
(c) Como metrô fica parado por 20 segundos em cada estação e que o tempo para percor-
rer a distância de 806 metros entre as estações é de t = t1 + t2 = 2 · 24,53 = 49,1 s. Então, o
tempo total é ∆t = (49,1 + 20) = 69,1 s e, portanto, a máxima velocidade escalar média do
metrô é dado por
sm =
distância total
∆t
=
806
69,1
= 11,7 m/s
.
37. Os carros A e B se movem no mesmo sentido em pistas vizinhas. A posição x do carro
A é dada na Fig 2-26, do instante t = 0 ao instante t = 7,0 s. A escala vertical do gráfico é
definida por xs = 32,0 m. Em t = 0, o carro B está em x = 0, com uma velocidade de 12 m/s e
uma aceleração negativa αB. (a) Qual deve ser o valor de αB para que os carros estejam lado
a lado (ou seja, tenham o mesmo valor de x) em t = 4,0 s? (b) Para esse valor de αB, quantas
vezes os carros ficam lado a lado? (c) Plote a posição x do carro B em função do tempo t na
Fig. 2-21. Quantas vezes os carros ficariam lado a lado se o módulo da aceleração αB fosse
(d) maior do que e (e) menor do que o da resposta da parte (a)?
O deslocamento do carro A é dado por xA = x0,A +νAt, onde a posição inicial é dada pelo
gráfico é vale x0,A = 20 e a velocidade é constante, νA =
∆x
∆t
=
32− 20
6
= 2 m/s. Já o carro B o
deslocamento é xB = x0,B+ν0,Bt+
αB
2
t2, onde x0,B = 0 é a posição inicial e a velocidade inicial
foi dada e vale 12 m/s. Portanto, temos
xA = 20 + 2t
xB = 12t +
αB
2
t2
(a) Para que o carro estejam lado a lado no instante de tempo t = 4 s, então devemos ter
xA(4) = xB(4). Temos
20 + 2 · 4 = 12 · 4 + αB
2
22
αB = −2,5 m/s2
(b) Com esse aceleração de 2,5 m/s2 os carros se encontra uma única vez em t = 4 s.
(c) Abaixo está o gráfico de x em função do t do carro A e também a posição do carro B
para três valores diferentes da aceleração, αB > −2,5 m/s2, αB = −2,5 m/s2 e αB < −2,5 m/s2.
(d) Considerando a aceleração do carro B, αB, um valor qualquer possível. Devemos
igualar as equações para encontrarmos quais tempos em que os dois carros ficam lado a
lado, ou seja xA(t) = xB(t). Portanto, temos
20 + 2t = 12t +
αB
2
t2
αBt
2 + 20t − 40 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau, at2 + bt + c = 0, obtemos
t =
−b ±√b2 − 4ac
2a
Mecânicab m ÿ Cirlei Xavier
2.4. Aceleração Constante: Um Caso Especial 29
0 2 4 6 8 1 0
0
5
1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
3 5
4 0
x(m
)
t ( s )
 x _ A ( t ) ; a = 0 x _ B ( t ) ; a = - 2 , 5 x _ B ( t ) ; a = - 2 , 0 x _ B ( t ) ; a = - 3 , 0
t =
−20±√400 + 160αB
2αB
Observe que vamos ter duas soluções se, e somente se, os valores da raiz quadrada for
maior e igual a −2,5 m/s2, isto é, αB ≥ −2,5 m/s2. Sabemos que o valor da aceleração de
−2,5 m/s2 os carros se encontra uma única vez. No caso de ser o modulo da aceleração,
isto é |αB| > 2,5, ou seja αB > 2,5 ou αV < −2,5. Dessa forma não há soluções reais para a
equação, então os carros não ficaram lado a lado.
(e) Se o modulo da aceleração for menor do que 2,5, isto é |αB| < 2,5, ou seja −2,5 < αB <
2,5, então, temos duas soluções para a equação, dessa forma os carros estarão lado a lado
em dois momentos diferentes.
38. Você está se aproximando de um sinal de trânsito quando ele fica amarelo. Você está
dirigindo na maior velocidade permitida no local, ν0 = 55 km/h; o módulo da maior taxa
de desaceleração de que o seu carro é capaz é α = 5,18 m/s2, e o seu tempo de reação para
começar a frear é T = 0,75 s. Para evitar que a frente do carro invada o cruzamento depois
de o sinal mudar para vermelho, você deve frear até parar ou prosseguir a 55 km/h se a
distância até o cruzamento e a duração da luz amarela são, respectivamente, (a) 40 m e 2,8
s, (b) 32 m e 1,8 s? As respostas podem ser frear, prosseguir, ambas (se as duas estratégias
funcionam) ou nenhuma (se nenhuma das estratégias funciona).
(a) Durante o tempo de reação o carro percorre xr = νtr = 15,28·0,75 = 11,46 m. Então, o
tempo total que a luz amarela fica acesa, 2,8 s, agora, só resta 2,05 s para a luz mudar para
a luz vermelha e a distância que o separa do sinal de trânsito é de 28,54 m. O motorista tem
de decidir em continuar o movimento ou frear. Se ele optar por frear com a desaceleração
máxima, α = −5,18 m/s2, temos
∆x =
ν2 − ν20
2α
∆x =
02 − (15,28)2
2 · (−5,18) = 22,54 m
Portanto, o motorista irá percorrer uma distância de 11,46+22,54 = 34 m antes de parar.
Observe que o carro gasta um tempo total de 3,7 s, sendo 2,95 s na frenagem.
Por ouro lado, se ele optar por continuar o movimento, o carro percorrerá a distância de
40 m com a velocidade de 15,28 s em t = ∆x/ν = 40/15,28 = 2,62 s. Olhe que o tempo
gasto é menor do que o tempo em que a luz amarela fica acesa. Então, ele conseguirá passar
ainda na luz amarela. Concluímos, então, que ambas as opções são adequadas.
ÿ Cirlei Xavier m Mecânicab
Capítulo 2. Movimento Retilíneo 30
Observa-se que no momento que o motorista aciona os freios o carro se encontra a
28,54 m do sinal. Então, o carro conseguirá parar no sinal, no momento em que a luz muda
para o vermelho, devido uma desaceleração de α = −ν0/t = −(15,28)/2,05 = −7,45 m/s2.
Porém, o carro consegue parar, aplicando uma desaceleração de −5,18, com o sinal já no
vermelho e gastará um tempo de 2,95 s, isto é, 0,9 s depois do sinal ter mudado para o
vermelho.
(b) Se optar por passar direto, então, temos t = ∆x/ν = 32/15,28 = 2,1 s. Portanto,
como o tempo em que a luz fica acesa é menor do que o tempo gasto para atravessar o sinal,
essa opção não funciona. Por outro lado, se optar por frear com a desaceleração máxima,
o carro percorrerá uma distância de 34 m antes de parar, então, o carro passar pelo sinal,
novamente, essa opção não funciona. Nessa situação, nenhuma das opções funciona.
Observe que no instante que o motorista aciona os freio o carro está 20,54 m do si-
nal de trânsito e resta apenas 1,05 s para o sinal mudar para a luz vermelha. Para o
carro parar no momento em que o sinal muda, ele deverá sofrer uma desaceleração de
α = −(15,28)/1,05 = −14,55 m/s2.
39. Dois trens se movem no mesmo trilho quando os condutores subitamente notam que
eles estão indo um de encontro ao outro. A Fig.2-27 mostra as velocidades ν dos trens em
função do tempo t enquanto estão sendo freados. A escala vertical do gráfico é definida por
νs = 40,0 m. O processo de desaceleração começa quando a distância entre os trens é 200 m.
Qual é a distância entre os trens depois que eles param?
A partir do gráfico podemos escrever a equação da velocidade em função do tempo.
Chamando um deles de trem A e ou outro de trem B, temos
νA = ν0,A +αAtA⇒ νA = 40 +αA · 5⇒ αA = −405 = −8,0m/s
2
νB = ν0,B +αBtB⇒ νB = −30 +αB4⇒ αB = 304 = 7,5 m/s
2
Portanto, as equações ficam:
νA = 40− 8,0tA
νB = −30 + 7,5tB
A distância percorrida durante a desaceleração é dado por ∆x = −ν20 /2α. Então, temos
∆xA = − (40)
2
2 · (−8,0) = 100 m
∆xB = −(−30)
2
2 · 7,5 = −60 m
O sinal negativo na distância percorrida por B significa que seu deslocamento se deu no
sentido contrário ao sentido positiva orientado.
Portanto, como os trens estão distante de 200 metros no inicio da desaceleração e como
o trem A percorreu 100 metros e o trem B 60 metros até parar, a distância entre ele é de 40
metros.
40. Na Fig. 2-28, um carro vermelho e um carro verde, iguais exceto pela cor, movem-
se um em direção ao outro em pistas vizinhas e paralelas a um eixo x. Em t = 0, o carro
vermelho está em xvermelho = 0 e o carro verde está em xverde = 220 m. Se o carro vermelho
tem uma velocidade constante de 20 km/h, os carros se cruzam em x = 44,5 m; se tem uma
velocidade constante de 40 km/h, eles se cruzam em x = 76,6 m. Quais são (a) a velocidade
inicial e (b) a aceleração do carro verde?
Mecânicab m ÿ Cirlei Xavier
2.4. Aceleração Constante: UmCaso Especial 31
No inicio do tempo os carros estão distante um do outro de 220 m e o carro vermelho
está no sentido positivo do eixo x e o carro verde no sentido negativo. Devido a velocidade
ν1 = 20 km/h = 5,56 m/s do carro vermelho, os carros se encontram na posição x1 = 44,5,
e eles gastam t1 = x1/ν1 = 44,5/5,56 = 8,0 s, e quando o carro vermelho tem a velocidade
ν2 = 40 km/h = 11,11 m/s, os carros se encontram na posição 76,6 m e gastam t2 = x2/ν2 =
76,6/11,11 = 6,89 s. Portanto, usando a equação x − x0 = ν0t +α/2t, temos44,5− 220 = ν0 · 8 +α/2 · 64⇒−175,5 = 8ν0 + 32α76,6− 200 = ν0 · 6,68 +α/2 · 47,5⇒−143,4 = 6,89ν0 + 23,7α
Então, a aceleração do carro verde é
6,89
(−175,5− 23α
8
)
+ 23,7α = −143,4
α = −2,0 m/s2
Substituindo em qualquer uma do sistema acima, obtemos que a velocidade inicial é
ν0 = −13,9 m/s.
41. A Fig. 2-28 mostra um carro vermelho e um carro verde que se movem um em
direção ao outro. A Fig. 2-29 é um gráfico do movimento dos dois carros que mostra suas
posições x0verde = 270 m e x0vermelho = 35,0 m no instante t = 0. O carro verde tem uma
velocidade constante de 20,0 m/s e o carro vermelho parte do repouso. Qual é o módulo da
aceleração do carro vermelho?
Analisando o gráfico percebemos que o carro verde se move no sentido negativo do mo-
vimento, então νverde = −20 m/s e a equação da posição é xverde = 270 − 20t. A função da
posição do carro vermelho é xvermelho = −35 + (α/2)t2, onde a velocidade inicial do carro
é zero. No instante de tempo de 12 s os dois carros se cruzam, ou seja xverde = xvermelho.
Portanto, temos
270− 20 · 12 = −35 + α
2
(12)2
α = 0,90 m/s2
.
42. Quando um trem de passageiros de alta velocidade que se move a 161 km/h faz uma
curva, o maquinista leva um susto ao ver que uma locomotiva entrou indevidamente nos
trilhos através de um desvio e se encontra a uma distância D=676 m à frente. A locomotiva
está se movendo a 29,0 km/h. O maquinista do trem de alta velocidade imediatamente
aciona os freios. (a) Qual é o valor mínimo do módulo da desaceleração (suposta constante)
para que a colisão não ocorra? (b) Suponha que o maquinista está em x = 0 quando, em
t = 0, avista a locomotiva. Desenhe as curvas de x(t) para a locomotiva e para o trem de alta
velocidade para os casos em que a colisão é evitada por pouco e a colisão ocorre por pouco.
(a) Observe que a locomotiva se move no mesmo sentido do trem com velocidade cons-
tante, que agora vou chamá-la de νB = 29,0 km/h = 8,06 m/s. O trem se move com veloci-
dade maior de νA = 161 km/h = 44,72 m/s. Ao acionar os freios a distância que separa o
trem da locomotiva é D = 676 m.
A distância que o trem deve percorrer até acompanha a locomotiva é de D + νBt, isto é,
a distância inicial D mais a distância percorrida pela locomotiva, νBt. Usando a equação
∆x =
νf ,A + νA
2
t, temos
νf ,A + νA
2
=
∆x
t
=
D + νBt
t
=
D
t
+ νB
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Capítulo 2. Movimento Retilíneo 32
Mas sabemos que o tempo é dado por t = (νf ,A − νA)/α, então a equação acima fica:
νf ,A + νA
2
=
D
νf ,A−νA
α
+ νB
νf ,A + νA
2
=
Dα
νf ,A − νA + νB
Dα = [
νf ,A + νA
2
− νB](νf ,A − νA)
O trem irá aproximar da locomotiva sem se chocar com uma velocidade igual à veloci-
dade da locomotiva, isto é νf ,A = νB. Portanto, temos
Dα = [
νB + νA
2
− νB](νB − νA) = [νA − νB2 ](νB − νA)
Dα = −(νA − νB)(νA − νB)
2
α = −(νA − νB)
2
2D
Substituindo os valores, obtemos
α = −(44,72− 8,06)
2
2 · 676 = −0,994 m/s
2
.
(b)
0 4 8 1 2 1 6 2 0 2 4 2 8 3 2 3 60
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0 0
6 0 0
7 0 0
8 0 0
9 0 0
1 0 0 0
x(m
)
t ( s )
 x _ B ( t ) X _ A ( t )
43. Você está discutindo no telefone celular enquanto segue um carro de polícia não
identificado, a 25 m de distância; os dois carros estão a 110 km/h. A discussão distrai sua
atenção do carro de polícia por 2,0 s (tempo suficiente para você olhar para o telefone e
exclamar: "Eu me recuso a fazer isso!”). No início destes 2,0 s o policial começa a frear
subitamente a 5,0 m/s2. (a) Qual é a distância entre os dois carros quando você volta a
prestar atenção no trânsito? Suponha que você leva outros 0,40 s para perceber o perigo e
começar a frear. (b) Se você também freia a 5,0m/s2, qual é sua velocidade quando você bate
no carro de polícia?
(a) Os dois carros estão com a mesma velocidade ν0,eu = ν0,p = 110 km/h = 30,56 m/s
e separado por uma distância de ∆x = 25 m no instante t = 0. Neste instante o carro da
Mecânicab m ÿ Cirlei Xavier
2.4. Aceleração Constante: Um Caso Especial 33
polícia começa a frear com uma desaceleração de αp = −5,0 m/s2. Depois dos t = 2 s a
velocidade do carro de polícia é νf ,p = ν0,p − αpt = 30,56 − 5,0 · 2 = 20,56 m/s e andou
∆xp = (νf ,p + ν0,p)t/2 = 20,56 + 30,56 = 51,11 m. Já o meu carro percorre em dois segundo
a distância de ∆eu = ν0,eut = 30,56 · 2 = 61,11. Então, a distância entre os dois carros é
d = (25 + 51,11)− 61,11 = 15 m.
(b) Se eu levar mais 0,40 s para perceber o perigo e começar a frear, irei percorrer mais
∆xeu = 30,56 · 0,40 = 12,24 m e o carro de polícia irá percorrer mais ∆p = 20,56 · 0,40 −
2,5 · (0,40)2 = 7,83 m. Então, agora a distância entre os carro será de d = (15 + 7,83) −
12,24 = 10,58 m. Observe que eu continuo com a velocidade de 30,56 m/s e o carro de
polícia está, agora, com uma velocidade de νp = 20,56 − 5,0 · 0,40 = 18,56 m/s. Se eu
aplicar uma desaceleração de αeu = −5,0 m/s2, a distância percorrida é dado pela equação
∆xeu = 30,56t − 2,5t2 e o carro de polícia é ∆xp = 10,58 + 18,56t − 2,5t2. No instante do
choque o dois carros se encontra na mesma posição, então
∆xeu = ∆xp
30,56− 2,5t2 = 10,58 + 18,56t − 2,5t2
t =
10,58
12,00
= 0,882 s
Portanto, a velocidade do meu carro quando bate no carro de polícia é νc = ν0,eu − 5,0t =
30,56− 5,0 · 0,882 = 26,15 m/s = 94,14 km/h.
44. Gostas de chuva caem 1700 m de uma nuvem até o chão. (a) Se elas não estivessem
sujeitas à resistência do ar, qual seria sua velocidade ao atingir o solo? (b) Seria seguro
caminhar na chuva?
(a) Usando a equação ν2 = ν20 +2gh, onde h é a altura das gostas ao caírem. Considerando
que as gotas caem das nuvens, isto é, ν0 = 0, temos
ν =
√
2gh =
√
2 · 9,8 · 1700 = √33.320
ν = 182,54 m/s
(b) Como a velocidade é alta, concluímos que não seria seguro caminhar na chuva.
45. Em um prédio em construção, uma chave de grifo chega ao solo com uma velocidade
de 24 m/s. (a) De que altura um operário a deixou cair? (b) Quanto tempo durou a queda?
(c) Esboce os gráficos de y, ν e α em função de t para a chave de grifo.
(a) A altura é dado por
h =
ν2
2g
=
(24)2
2 · 9,8 = 29,39 m
(b) O tempo de queda é
t =
2h
ν
=
2 · 29,39
24
= 2,45 s
46. Um desordeiro joga uma pedra verticalmente para baixo com uma velocidade inicial
de 12,0 m/s, a partir do telhado de um edifício, 30,0 m acima do solo. (a) Quanto tempo
leva a pedra para atingir o solo? (b) Qual é a velocidade da pedra no momento do choque?
(a) Usando a equação ν2 = ν20 + 2gh e a equação h = (ν0 + ν)t/2, obtemos
t =
2h
ν0 + ν
=
2h
(ν0 +
√
ν20 + 2gh)
ÿ Cirlei Xavier m Mecânicab
Capítulo 2. Movimento Retilíneo 34
t =
2 · 30,0
(12,0 +
√
122 + 2 · 9,8 · 30,0)
t = 1,54 s
(b) Usando a equação ν = ν0 + gt, temos
ν = 12,0 + 9,8 · 1,54 = 27,1 m/s
47. (a) Com que velocidade deve ser lançada uma bola verticalmente a partir do solo para
que atinja uma altura máxima de 50 m? (b) Por quanto tempo permanece no ar? (c) Esboce
os gráficos de y, ν e α em função de t para a bola. Nos dois primeiros gráficos, indique o
instante no qual ela atinge a altura de 50 m.
(a) Usando a equação ν2 = ν20 + 2α∆x, temos
ν20 = −2α∆x = −2(+g)∆x = −2 · 9,8 · (−50)
ν0 = −31,3 m/s
a velocidade inicial é −31,3 m/s.
(b) Usando a expressão ∆x = (ν0 + ν)t/2, obtemos
t =
2∆xν0
=
2 · (−50)
−31,3 = 3,19 s
O tempo de subida é 3,19 s, então o tempo total, o tempo que a bola permanece no ar, é
2t = 2 · 3,19 = 6,38 s.
48. Um tatu assustado pula verticalmente par acima, subindo 0,544 m nos primeiros
0,200 s. (a) Qual é a velocidade do animal ao deixar o solo? (b) Qual é a velocidade na altura
de 0,544 m? (c) Qual é a altura do salto?
(a) Usando a equação ∆x = ν0t +αt2/2, encontramos
ν0 =
∆x −αt2/2
t
ν0 =
∆x − gt2/2
t
ν0 =
−0,544− 9,8 · (0,200)2/2
0,200
= −3,70 m/s
(b) A velocidade na altura de 0,544 m é
ν = ν0 + gt = −3,7 + 9,8 · 0,200 = −1,74 m/s
(c) A altura que o tatu atinge é
∆x =
ν2 − ν20
2α
∆x = −−ν
2
0
2α
∆x = −ν
2
0
2g
= −(−3,70)
2
2 · 9,8 = −0,698 m
Mecânicab m ÿ Cirlei Xavier
2.4. Aceleração Constante: Um Caso Especial 35
49. Um balão de ar quente está subindo a uma taxa de 12 m/s e está a 80 m acima do solo
quando um tripulante deixa cair um pacote. (a) Quanto tempo o pacote leva para atingir o
solo? (b) Com que velocidade atinge o solo?
Como o balão está subindo com velocidade de -12 m/s, então ao deixar cair um pacote,
este irá subir um pouco pois sua velocidade inicial é também de ν0 = −12m/s. Portanto, no
percurso de subida, a velocidade é dada por ν = ν0 + gts, então, quando o pacote atinge a
altura máxima, encontramos o tempo de subida ts = −ν0/g e a distância percorrida é ∆ys =
−ν20 /2g. Na descida o pacote percorre uma distância dado por ∆yd = (ν0 + νd)td/2, então o
tempo de descida é
td =
2∆yd
ν0,d + νd
=
∆yd
νd
ou
td =
νd
g
a distância percorrida na descida é ∆yd = |h|+ |∆ys| = h+ ν20 /2g e sua velocidade é agora
dada por ν2d = 2g∆yd = 2g(|h|+ |∆ys|) = 2g(h+ ν20 /2g), ou seja
ν2d = ν
2
0 + 2gh
onde h é a altura do pacote no início do movimento e vale 80 m.
(a) Dessa forma, o tempo total é t = ts + td , isto é
t = −ν0
g
+
√
ν20 + 2gh
g
t =
−ν0 +
√
ν20 + 2gh
g
t =
−(−12) +√(−12)2 + 2 · 9,8 · 80
9,8
= 5,45 s
(b) Substituindo os valores, encontramos
νd =
√
ν20 + 2gh =
√
(−12)2 + 2 · 9,8 · 80 = 41,38 m/s
50. Um parafuso se desprende de uma ponte em construção e cai 90 m até chegar ao solo.
(a) Em quanto tempo o parafuso percorre os últimos 20% da queda? Qual é a velocidade (b)
quando começa os últimos 20% da queda e (c) quando atinge o solo?
(a) Considerando a queda em duas etapas, uma quando o parafuso percorreu 80% da
queda e a outra parte o restante, ou seja, os últimos 20% da queda. Quando o parafuso per-
correu 80% da queda significa que o parafuso percorreu 0,8∆y e sua velocidade neste ins-
tante é dado por ν1 =
√
2g(0,8∆y) =
√
1,6g∆y = 37,57 m/s e o tempo t1 = ν/g =
√
1,6g∆y/g =
3,83 s. A velocidade que o parafuso atinge o solo é dado por ν2 =
√
2g∆y =
√
2 · 9,8 · 90 =
42 m/s e o tempo total da queda é t = 2∆y/ν2 = 2 · 90/42 = 4,29 s, então o tempo que o
parafuso percorre os últimos 20% da queda é t2 = t − t1 = 4,29− 3,83 = 0,46 s
Portanto, (a) o parafuso gasta 0,46 s para percorrer os últimos 20% da queda, (b) a velo-
cidade quando começa a percorrer os últimos 20% da queda é 37,57 m/s e (c) sua velocidade
ao atingir o solo é 42 m/s.
ÿ Cirlei Xavier m Mecânicab
Capítulo 2. Movimento Retilíneo 36
51. Uma chave cai verticalmente de uma ponte que está 45 m acima da água. A chave
atinge um barco de brinquedo que está se movendo com velocidade constate e se encontrava
a 12 m do ponto de impacto quando a chave foi solta. Qual é a velocidade do barco?
A chave tem um velocidade de ν =
√
2g∆y =
√
2 · 9,8 · 45 = 29,7 m/s e gasta t = 2∆y/ν =
2 · 45/29,7 = 3,0 s. Então, como o barco de brinquedo se move com velocidade constante,
temos ν = ∆x/t = 12/3,0 = 4,0 m/s.
52. No instante t = 0, uma pessoa deixa cair a maçã 1 de uma ponte; pouco depois, a
pessoa joga a maçã 2 verticalmente para baixo do mesmo local. A Fig.2-31 mostra a posição
vertical y das duas maçãs em função do tempo durante a queda até a estrada que passa por
baixo da ponte. Qual a velocidade aproximada com a qual a maçã 2 foi jogada para baixo?
A maçã 1 percorre y em 2 segundos, sendo assim, a distância é y = gt2/2 = 9,8 · 22/2 =
19,6 m. A velocidade neste instante é ν1 =
√
2gy =
√
2 · 9,8 · 19,6 = 19,6 m/s. A maçã 2
percorre essa mesma distância em 1,25 segundos, então a velocidade é dado por
ν0,2 =
y − gt2/2
t
=
19,6− 9,8 · (1,25)2/2
1,25
= 9,56 m/s.
Podemos resolver de outra forma:
a maçã 1 é lança para cima no instante t = 0 s. Assim, após t segundos, ela terá andado
durante t segundos. A maçã 2 é lançada 1 segundo depois, ou seja, após t segundos, a maçã 2
andou durante t − 1 segundos, pois partiu depois. Então, podemos escrever o deslocamento
da maçã 2 da forma:
y = ν0,2(t − 1) + 12g(t − 1)
2
19,6 = ν0,2(2,25− 1) + 12 · 9,8(2,25− 1)
2
ν0,2 =
19,6− 9,8 · (1,25)2/2
1,25
= 9,56 m/s
53. Quando uma balão científico desgarrado está subindo a 19,6 m/s, um dos instrumen-
tos se desprende e cai em queda livre. A Fig. 2-32 (ver no livro) mostra a velocidade vertical
do instrumento em função do tempo, desde alguns instantes antes antes de se desprender
até o momento em que atinge o solo. (a) Qual é a altura máxima que o instrumento atinge
em relação ao ponto em que se desprendeu? (b) A que altura acima do solo o instrumento
se desprendeu?
(a) Devido ao movimento vertical para cima do balão, o instrumento ao se despender do
balão, ele sobe um pouco, com velocidade inicial de 19,6 m/s, até atingir a velocidade a zero.
Usando a equação de Torricelli, temos
∆y =
ν20
2g
=
(19,6)2
2 · 9,8 = 19,6 m
(b) Analisando o gráfico, o instrumento leva 4 segundos a partir do instante em que sua
velocidade é zero até atingir o solo. Então, usando a equação ∆y = gt2/2, obtemos
∆y =
9,8 · (4)2
2
= 78,4 m
Portanto, a altura acima do solo em que o instrumento se desprende é (78,4-19,6)=58,8
m.
Mecânicab m ÿ Cirlei Xavier
2.4. Aceleração Constante: Um Caso Especial 37
54. A Fig. 2-33 (ver no livro) a velocidade ν em função da altura y para uma bola lançada
verticalmente para cima ao longo de um eixo y. A distância d é de 0,40 m. A velocidade na
altura yA é νA. A velocidade na altura yB é νA/3. Determine a velocidade νA.
Usando a equação de Torricelli ν2 = ν20 + 2α∆y, encontramos o valor da velocidade νA:
ν2 = ν20 − 2g∆y
(
νA
3
)2 = ν2A − 2gd
−8ν
2
A
9
= −2gd
ν2A =
9gd
4
⇒ νA = 32
√
gd
νA =
3
2
√
9,8 · 0,40 = 2,97 m/s
Portanto, a velocidade νA é aproximadamente 3,0 m/s.
55. Uma bola de argila úmida cai 15,0 m até o chão e permanece em contato com o solo
por 20,0 ms antes de parar completamente. (a) Qual é o módulo da aceleração média da bola
durante o tempo de contato com o solo? (Trate a bola como uma partícula.) (b) A aceleração
média é para cima ou para baixo?
A bola ao cair de uma altura de h=15,0 m, ela chega ao chão com velocidade de ν0 =√
2gh. Então, a bola ao chocar com o chão levar 20,0 ms em contato com o solo antes de
parar. Sendo assim, sua velocidade após o contato é zero. Dessa forma, temos
α =
∆ν
∆t
=
0−√2gh
∆t
α = −
√
2 · 9,8 · 15,0
20 · 10−3 = −857 m/s
2
Portanto, o módulo da aceleração média da bola durante o tempo de contato com o solo
é 857 m/s2 com sentido para cima.
56. Deixa-se cair uma pedra em um rio, a partir de uma ponte situada 43,9 m acima da
água. Outra pedra é atirada verticalmente para baixo 1,0 s após a primeira ter sido deixada
cair. As pedras atingem a água ao mesmo tempo. (a) Qual foi a velocidade inicial da segunda
pedra? (b) Plote a velocidade em função do tempo para as duas pedras, supondo que t=0 é
o instante em que se deixou cair a primeira pedra.
57. Para testar a qualidade de uma bola de tênis, você a deixa cair no chão a partir de
uma altura de 4,00 m. Depois de quicar, ela atinge uma altura de 2,00 m. Se a bola perma-
nece em contato