CAP 03 CONDUÇÃO 01 ESA 2016.1

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAIBA 
CENTRO DE CIENCIAS E TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA SANITÁRIA E AMBIENTAL 
CURSO DE ENGENHARIA SANITÁRIA E AMBIENTAL 
 
 
Fundamentos de Transferência de Calor e Massa 
 
Carlos Antônio Pereira de Lima 
Agosto/2016 
2 
Considere uma parede plana que separa 
dois fluidos mantidos a temperaturas 
diferentes. A transferência de calor ocorre 
por convecção do fluido quente a 
temperatura T∞,1 para a superfície a Ts,1, 
por condução através da parede e por 
convecção da outra superfície da parede a 
Ts,2 para o fluido a T∞,2. Inicialmente vamos 
analisar o que ocorre na parede. 
 
CAPITULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM 
REGIME ESTACIONÁRIO 
 
 
 
3.1 – A PAREDE PLANA 
3 
Admitindo-se a inexistência de fontes internas de geração de calor, 
propriedades constantes e que o sistema encontra-se em regime permanente, 
a Equação Geral da Condução de Calor, assume a seguinte forma: 

2
2
0
d T
dx
Para obter a distribuição de temperatura no 
interior da parede devemos resolver a 
equação, usando condições de contorno que 
descrevam o sistema físico. 
 
 



,1
,2
( 0)
( )
S
S
T x T
T x L T
CONDIÇÕES DE CONTORNO  
         
      
    
    
    
P
T T T T
k k k q c
x x y y z z t
Aplicando a Equação Geral da Condução 
3.1.1 – DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA 
 PERFIL DE TEMPERATURA 
 
 
 
 
4 
 
 
,2 ,1
,1( )
S S
S
T T
T x x T
L
    ,1 ,2S S
dT kA
q kA T T
dx L
    ,1 ,2S S
q k
q T T
A L
x (m) 
T (°C) 
Ts,1 
L 
Ts,2 
OBSERVAÇÃO: 
Tanto a taxa de transferência de calor (q) quanto o fluxo de calor (q’’) através 
de uma parede plana são constantes e independem de “x” 
 TAXA E FLUXO DE CALOR 
5 
  ,1 ,2S S
kA
q T T
L
 
  
,1 ,2S S
TERMICA CONDUTIVA
q kA
T T L
R
3.1.2 – RESISTÊNCIA TÉRMICA 
Definindo resistência como a razão entre o potencial motriz e a taxa 
correspondente de transferência, temos que: 
A
L
I
EE
R
SS
e 



2,1,
Resistência elétrica 


ANALOGIA ELETRICA TERMICA
V
I
T
q
R R
Para o transporte condutivo escrever: 
6 
Para o transporte convectivo, podemos escrever: 
 
  
 1S
TERMICA CONVECTIVA
q hA
T T
R( )Sq hA T T 
3.1.2 – RESISTÊNCIA TÉRMICA 
Para o transporte radiativo, podemos escrever: 
)( 44 vizs TTAq   Ahq
TT
R
r
VIZS
RADIATIVATÉRMICA .
1)(




Onde: 
)(
)( 44
vizs
vizs
r
TT
TT
h




Uma ferramenta muito útil na analise de problemas de transferência de 
calor, é o CIRCUITO TERMICO EQUIVALENTE, como o mostrado na 
Figura a seguir. 
7 
     ,1 ,1 ,1 ,2 ,2 ,2
1 2
1 1
S S S ST T T T T T
q
L
h A kA h A
 

  
 
 ,1 ,2
TOTAL
T T
q
R
 

1 2
1 1
TOTAL
L
R
h A kA h A
  
EXERCICIOS 
8 
PROB. 3.2 – O vidro traseiro de um automóvel é desembaçado pela 
passagem de ar quente na superfície interna. Se o ar quente esta a 40 ºC 
e o coeficiente de transferência de convecção interno é de 30 W/m2ºC, 
quais as temperaturas das superfícies interna e externa do vidro (4 mm de 
espessura) se a temperatura do ar externo é de -10 ºC e o coeficiente de 
convecção é de 65 W/m2ºC? 
9 
Considere a parede composta 
mostrada na Figura ao lado. A taxa de 
transferência de calor unidimensional 
para este sistema pode ser expressa 
como 
 
 
 
 
 
 


,1 ,4
TOTAL
T T
q
R
    
1 4
1 1CA B
TOTAL
A B C
LL L
R
h A k A k A k A h A
3.1.3 – A PAREDE COMPOSTA 
Em sistemas compostos é mais conveniente calcular a taxa de transferência 
de calor, usando-se o coeficiente global de transferência de calor (U) 
 
 
 
 
10 
 q UA T
 
 
 
 
 
 
 
41
1 1
1 1
.
TOTAL CA B
A B C
LL L
h k k k h
U
R A
∆T é a diferença total de temperatura 
 
De forma geral podemos escrever 
 
   1TOTAL i
TR R
q UA
PROB. 3.5 - As paredes de um refrigerador são tipicamente construídas de dois 
painéis de metal envolvendo uma camada de isolamento. Considere uma camada 
de isolamento feita de fibra de vidro ( k = 0,046 W/mºC) cuja espessura é de 50 
mm, colocada entre duas folhas de metal (k = 60 W/mºC) cada uma com 3 mm de 
espessura. Se a parede separa o ar frio a 4 ºC do ar ambiente a 25 ºC, qual o calor 
recebido por unidade de área, considerando-se que os coeficientes convectivos 
interno e externo são iguais a 5 W/m2ºC. 
 
 
 
 
 
 
11 
12 
PROB. 3.9 - A parede composta de um forno consiste em três materiais 
diferentes, dois dos quais com condutividade térmica conhecidas (ka = 20 
W/mºC e kc = 50 W/mºC) e espessuras La = 0,30 m e Lc = 0,15 m. O terceiro 
material (B), fica entre A e C, sua espessura é de 0,15 m, mas condutividade 
térmica (kb) desconhecida. Em condições de operação em regime 
permanente, medições revelam uma temperatura de 20 ºC na superfície 
externa, 600 ºC na superfície interna e a temperatura do ambiente do forno 
igual a 800 ºC. O coeficiente convectivo interno é 25 W/m2ºC. Qual o valor de 
kb? 
 
Podemos estender o conceito de circuito térmico equivalente para paredes que 
apresentem camadas paralelas ao fluxo de calor ou então arranjos que 
combinam resistências em série e em paralelo. 
13 
Considere a parede composta mostrada na 
Figura ao lado, a qual consiste de duas 
camadas paralelas a transferência de calor. O 
circuito térmico equivalente será composto 
por duas resistências térmicas associadas em 
paralelo. Observe que o calor transferido é a 
soma do calor transferido em cada uma das 
camadas 
   
 
 
 
 
 
 
      
1 12 2
1 12 2
1 12 2
1 1T T T T
q q q T T
R R R R
Agora vamos analisar uma parede composta que apresenta camadas em serie 
e em paralelo, conforme mostra a figura abaixo. 
 
14 
 1
( )
TOTAL
T T
q
R
     

1 2
12 3 3
1 2
TOTAL CONV CONV
R R
R R R R R R
R R
HIPOTESES: 
 Qualquer plano normal ao eixo “x” é isotérmico (a temperatura varia apenas na 
direção “x”) 
 Qualquer plano paralelo ao eixo “x” é adiabático (transferência de calor apenas 
na direção “x”) 
 
Na análise da transferência de calor em meios compostos, assumimos um 
“perfeito contato” na interface entre duas camadas e que não existe queda 
de temperatura nesta interface. Na realidade existe uma queda de 
temperatura através da interface entre os materiais.O valor desta resistência 
é determinada experimentalmente e sua definição é a seguinte: 
15 



INTERFACE
CONTATO
T
R
q
3.1.3 – RESISTÊNCIA DE CONTATO 
16 
Considere um cilindro longo construído de 
material isotrópico e de condutividade 
térmica constante, cujas superfícies interna 
e externa encontram-se expostas a fluidos a 
diferentes temperaturas. Para condições de 
regime permanente e sem geração interna 
de calor, a equação geral da condução em 
coordenadas cilíndricas, assume a seguinte 
forma: 
 
  
 

1
0
d dT
r
r dr dr
 
      
   
      
    
    
    
2
1 1
P
T T T T
kr k k q c
r r r r z z t
Condições de Contorno  

1 ,1
2 ,2
( )
( )
S
S
T R T
T R T
3.3 – SISTEMAS RADIAIS 
3.3.1 – O CILINDRO 
17 
 PERFIL DE TEMPERATURA 
 
 
 
 TAXA DE TRANSFERENCIA DE CALOR 
 
 
 
 RESISTÊNCIA TERMICA (CILINDRO) 
 
 
 

 

 
 
,1 ,2
,2
1 2 2
( ) ln
ln
S S
S
T T r
T r T
R R R
   
 


,1 ,2
2 1
2
ln( )
S S
Lk T T
q
R R
   2 1ln( ) 2CONDUTIVA
CONDUTIVA
R RT R
R k L
q
r (m) 
T (°C) 
Ts,1 
R2 
Ts,2 
R1 
 
 
  
 1S
TERMICA CONVECTIVA
q hA
T T
R
rLh
R CONVECTIVATERMICA 2
1

 APLICAÇÃO 
PROB. 3.35 - Uma tubulação de vapor de 0,12 m de diâmetro externo é 
isolada com uma camada de silicato de cálcio, se a espessura do isolamento 
tem 20 mm e suas superfícies interna e externa são mantidas a 800 e 490 K, 
respectivamente, qual é a perda de calor por unidade de comprimento da 
tubulação? 
 
 
18 
CILINDRO COMPOSTO 
A Figura abaixo mostra um corte transversal ao eixo de um cilindro de 
comprimento “L”, constituído por três camadas de materiais diferentes em 
perfeito contato térmico e com transporte de calor por convecção nas 
superfícies interna e externa 
 Usando o mesmo conceito de 
resistência térmica, usado na analise 
da parede plana, podemos escrever: 
 
 
 
 


,1 ,2
TOTAL
T T
q
R
             41 3 2 321 1 1 1 42 3
ln lnln1 1
2 2 2 2 2TOTAL
R R R RR R
R
h R L k L k L k L h R L
 
 

  ,1 ,2
1 1 ,1 ,2
( )
TOTAL
T T
q U A T T
R
Coeficiente Global  44
1
3
4
3
1
2
3
2
1
1
2
1
1
1
1 1
lnlnln
1
1
hr
r
r
r
k
r
r
r
k
r
r
r
k
r
h
U


LrA 11 2
 APLICAÇÃO: 
PROB. 3.39 - Um tubo de aço inoxidável (AISI 304) utilizado para transportar 
produtos farmacêuticos resfriados tem diâmetro interno de 36 mm e 
espessura de parede de 2 mm. As temperaturas dos produtos farmacêuticos e 
do ar ambiente são de 6 e 23 ºC, respectivamente, enquanto que os 
coeficientes de convecção nas superfícies interna e externa são 400 e 6 
W/m2ºC, respectivamente. 
a) Qual é o ganho de calor por unidade de comprimento do tubo? 
b) Qual o ganho de calor por unidade de comprimento do tubo, se o mesmo 
for recoberto com uma camada de 10 mm de silicato de cálcio (k = 0,050 
W/mºC) 
c) Qual a espessura necessária para reduzir o fluxo de calor em 75% com 
relação ao tubo sem isolamento? 
 
 
20 
21 
Considere uma casca esférica 
construída de um material isotrópico 
e de condutividade térmica 
constante. Cujas superfícies interna e 
externa encontram-se expostas a 
fluidos a diferentes temperaturas . 
Para condições de regime 
permanente e sem geração interna 
de calor, a equação geral da 
condução em coordenadas esférica, 
assume a seguinte forma 

 
 
 
2
2
1
0
d dT
r
r dr dr


1 1
2 2
( )
( )
T R T
T R T
Condições de Contorno 
3.3.2 – A ESFERA 
                                 22 2 2 2
1 1 1
sen
sen sen
P
T T T T
kr k k q c
r r r r r t
22 
 PERFIL DE TEMPERATURA 
 
 
 
 TAXA DE TRANSFERENCIA DE CALOR 
 
 
 
 RESISTÊNCIA TERMICA (ESFERA) 
 
 


 

 1 2
1 2
2 4
4
1 1
k T T
q r
R R
dT
k
dr



  2 1
1 24
 CONDUTIVA
CONDUTIVA
R R
R
k RR
T
R
q
r (m) 
T (°C) 
Ts,1 
R2 
Ts,2 
R1 
 
 
  
 1S
TERMICA CONVECTIVA
q hA
T T
R
1
1
12
21 )11.(
11
)( s
ss T
rr
rr
TT
rT 













hr
R CONVECTIVATERMICA 24
1

ESFERA COMPOSTA 
 
23 
A Figura mostra uma casca esférica, constituída por três camadas de 
materiais diferentes em perfeito contato térmico e com transporte de calor 
por convecção nas superfícies interna e externa. Usando o mesmo conceito 
de resistência térmica, usado na analise da parede plana, podemos 
escrever: 
  

,1 ,2
TOTAL
T T
q
R
 
 

  
,1 ,2
1 1 ,1 ,2
( )
TOTAL
T T
q U A T T
R
T1 
T2 
T3 
R2 
R3 R1 
Ambiente Externo 
T∞2 h2 
Ambiente 
Interno 
T∞1 h1 
2
32322
23
211
12
2
11 4
1
444
1
RhRRK
RR
RRK
RR
Rh
RTOTAL  




APLICAÇÕES 
PROB 19: Um vaso esférico utilizado como um reator para a produção de 
fármacos tem uma parede de aço inoxidável (k = 17 W/m°C) com 10 mm de 
espessura e 1 m de diâmetro interno. A superfície externa do vaso esférico é 
exposta ao ar ambiente a 25 °C, para o qual pode-se considerar o coeficiente 
de convecção como 6 W/m2°C. (a) Durante a operação em regime 
estacionário, uma temperatura interna de 50 °C é mantida pela geração de 
energia no interior do reator. Qual a perda de calor do vaso?; (b) Se uma 
camada de isolamento de fibra de vidro de 20 mm de espessura (k = 0,040 
W/m2°C ) é aplicada no exterior do vaso e a taxa de geração de energia não 
sofre variação, qual a temperatura da superfície interna do vaso. 
 
24 
Departamento de Engenharia Sanitária e 
Ambiental/CCT/UEPB 
 
e-mail: caplima@uepb.edu.br 
 caplima2000@yahoo.com.br 
 
Web-site: http://caplima.googlepages.com 
 
 
 
CAMPINA GRANDE, PB 
 
25