Cap1 Princípios fundamentais

Prévia do material em texto

MEC 2348 - Transferência de Calor II
Princípios fundamentais (Cap.1)
Prof. Florian Pradelle (pradelle@puc-rio.br)
Sala L-163 – Telefone: 3527-1182
5ª feira (09-12h) – L-106
1
Sumário
• Introdução
• Definições 
• Modos de transferência de calor
• Revisão de análise vetorial
• Princípios fundamentais 
• Modelo contínuo do fluido
• Conservação de massa
• Conservação de momento linear
• Primeira lei da termodinâmica 
• Segunda lei da termodinâmica
• Condições de contorno
2
Introdução - Definições
• Transferência de massa
• Transporte de massa e de espécies químicas
• Dinâmica dos fluidos 
• Transporte de quantidade de movimento
• Transferência de calor 
• Estuda os mecanismos de transferência de calor e as relações para o cálculo das taxas de transferência 
de calor.
• Observações
• Frequentemente, os fenômenos ocorrem simultaneamente.
• As equações básicas são muito semelhantes e as ferramentas matemáticas para resolver problemas 
são similares porque os mecanismos moleculares são diretamente relacionados.
• Termodinâmica 
• Estuda as interações de energia entre um sistema ou volume de controle e a vizinhança (calor e 
trabalho). Trata de estados em equilíbrio. Não trata da natureza da interação.
3
Introdução - Modos de transferência de calor
• Transferência de calor 
• Transferência de calor é a energia térmica em trânsito devido a uma diferença de temperatura.
• A energia térmica está associada com a translação, rotação, vibração e estado dos átomos e 
moléculas que compreende a matéria. 
• A energia térmica representa o efeito acumulativo da atividade microscópica e está diretamente 
ligada a temperatura da matéria.
• 3 modos de transferência de calor
4
Introdução - Modos de transferência de calor
• Nomenclatura e Definição
Notação Significado Simbolo Unidade
Energia térmica 
(específica)
Energia associada ao comportamento microscópico da 
matéria
U (ou u) J ou J/kg
Temperatura É o meio de avaliar indiretamente a quantidade de energia 
térmica armazenada na matéria
T K ou °C
Calor Quantidade de energia térmica transferida ao longo de um 
intervalo de tempo Δt 
Q J
Taxa de calor Energia térmica transferida por unidade de tempo q W
Fluxo de calor Taxa de calor por unidade de área q" W/m²
5
Introdução - Condução
• Mecanismo 
• Vibrações, movimentos randômicos translacionais (difusão) de moléculas (fluidos estacionários) 
ou elétrons (sólidos).
• Equação: Lei de Fourier
• Fornece a taxa de transferência de calor por condução
• Calor vai da região mais quente para a região mais fria
• Condutividade térmica:
• Propriedade termodinâmica, função da temperatura
• Maior k: maior o calor transferido → Materiais condutores
• Menor k: transferem menos calor → Materiais isolantes
6
• Equação: Lei de Fourier
• Aplicação unidimensional na direção x:
• Seção transversal constante para parede plana
• Condutividade térmica constante
• Regime permanente: T(x,t) = T(x)
• Questão: Como aumentar a troca de calor por condução?
Introdução - Condução
7
A: Área da parede
(transversal ao fluxo
de calor)
• Mecanismo 
• Difusão + energia transferida pelo movimento macroscópico do fluido (advecção)
• Movimentação molecular de um fluido sobre a superfície de um sólido (dentro da camada limite)
• Definição
• Convecção forçada: Movimento do fluido causado por
agentes externos (bombas, ventiladores, etc.)
• Convecção natural: Movimento do fluido devido às
forças de empuxo que surgem devido a diferenças de 
densidade, causadas por diferenças de temperatura
• Convecção mista: Regime onde há simultaneamente 
convecção natural e forçada
• Evaporação / Condensação: Casos especiais de convecção, onde a energia é transferida na 
forma de calor latente.
Introdução - Convecção
8
• Equação: Lei de Newton
• Fornece a taxa de transferência de calor por convecção
• h - coeficiente de troca de calor por convecção (W/(m².K))
• Ts - temperatura da superfície; T∞ - temperatura do fluido
• h depende de:
• Natureza do fluido
• Velocidade relativa do escoamento do fluido
• Geometria
• Acabamento superficial
• Questão: Em um caso de convecção natural com 
um fluido à 20°C, quem irá trocar mais calor: a água ou o ar ?
Situação Física h (W/(m².K)
Convecção natural, Gases 2-25
Convecção natural, Líquidos 50-1000
Convecção forçada, Gases 25-250
Convecção forçada, Líquidos 100-20000
Convecção com mudança de fase 2500-100000
Introdução - Convecção
9
• Mecanismo 
• Energia emitida por um corpo que se encontra a uma temperatura não nula. 
• A emissão pode acontecer em superfície sólidas, líquidas e gasosas.
• O transporte ocorre por ondas eletromagnéticas ou fótons. 
• Não é necessário um meio material para a propagação de energia, já que esta forma de energia 
térmica se propaga mesmo no vácuo.
• As ondas eletromagnéticas se propagam mais facilmente no vácuo.
10
Introdução - Radiação
• Equação: Lei de Stefan-Boltzmann
• Superfície ideal (corpo negro) :
Fluxo máximo de radiação que pode 
ser emitida por uma superfície
• Superfície real: 
• Radiação incidente (irradiação)
•
11
corpo negro
cste Stefan-Boltzmann
Introdução - Radiação
• Calor trocado por radiação entre uma superfície pequena exposta a uma superfície maior a 
sua volta
• Calor emitido por radiação pela superfície pequena: εEb(Ts) = εσTs4
• Calor absorvido pela superfície pequena, oriundo da superfície maior: αG = ασTsup4
• Considerando a superfície cinza: ε = α, o calor líquido transferido entre as 2 superfícies é:
• q”rad = εσTs4 - ασTsup4 = εσ(Ts4-Tsup4) = hr(Ts-Tsup) 
com hr coeficiente de transferência de calor por radiação (W/(m².K))
hr = εσ (Ts+Tsup) (Ts
2+Tsup
2) 
12
Introdução - Radiação
Introdução - Modos de transferência de calor
13
• Campo escalar: grandeza física associada a uma magnitude.
• Campo vetorial: grandeza física associada com um ponto, que têm magnitude,direção e 
sentido.
• Tensor: grandeza física que associa um vetor a cada direção no espaço, ou seja, 
transformação que leva para cada campo vetorial v um outro campo vetorial
• Em geral, funções das coordenadas e do tempo
Revisão de análise vetorial
14
• Produto escalar de dois vetores
• Resultado: escalar
• Propriedades:
• Produto vetorial de dois vetores
• Resultado: vetor
• Propriedades:
Revisão de análise vetorial
15
• Gradiente de um escalar: 
• Resultado: vetor cuja componente em uma dada direção fornece a taxa de 
variação do escalar naquela direção
• Observações: 
• O vetor gradiente é normal às iso-superfícies do campo escalar
• A máxima taxa de variação do campo escalar (em um ponto) é igual à 
magnitude do gradiente e ocorre na direção do gradiente.
• Gradiente de um vetor
• Resultado: tensor 
• Divergente de um vetor: 
• Resultado: escalar que representa o escoamento líquido daquele vetor, 
por unidade de volume, no ponto
Revisão de análise vetorial
16
• Laplaciano de um escalar:
• Resultado: escalar
• Laplaciano de um vetor
• Resultado: vetor
• Rotacional de um vetor:
• Resultado: vetor relacionado com o componente tangencial médio em torno de uma curva fechada 
ao redor de um ponto
Revisão de análise vetorial
17
• Teoremas integrais: relação integral de volume vs. integral de superfície
• Derivada total ou material: taxa de variação de F vista por um observador seguindo o 
movimento (ou “montado” sobre uma dada partícula material)
• Derivada local: variação com o tempo em uma posição fixa
• Derivada convectiva: porque a partícula cruza linhas de F = cste com uma velocidade finita
Revisão de análise vetorial
18
(teorema da divergênciaou de Ostrogradsky)
(teorema de Stokes)(fórmula do gradiente)
• Teorema de transporte de Reynolds:
• Permite transformar as equações para sistema (massa fixa) em equações para volume de controle 
(volume fixo)
• Usando o teorema de divergência:
• Interpretação física:
Revisão de análise vetorial
19
• Modelo contínuo do fluido
• Equações de conservações: válidas independentemente do fluido
• Conservação de massa (ou equação da continuidade)
• Conservação de momento linear (ou 2ª lei de Newton)
• Primeira lei da termodinâmica (ou equação de conservação de energia)
• Segunda lei da termodinâmica
• Equações constitutivas: próprias a um dado fluido
• Lei da viscosidade de Newton (fluido newtoniano)
• Lei de Fourier (condução)
• Lei de Newton (convecção)
• Lei de Stefan-Boltzmann (radiação de um corpo negro)
Princípios fundamentais
20
• Definição
• Estudo do movimento a nível macroscópico, em oposição à teoria cinética dos gases
• Falha quando as dimensões ficam muito próximas do volume de uma molécula 
• Ex: ondas de choque, arraste em um satélite na atmosfera onde o número de moléculas por unidade de volume 
é pequeno, movimento de aerossóis, ...
• Todas as propriedades dos materiais (ρ, μ, k, …) e variáveis (p, v, T, …) são definidas em um 
ponto como o limite da média da grandeza nas flutuações moleculares
• Qualquer propriedade local do fluido permanece inalterada não importando o tamanho da amostra 
(i.e infinitamente divisível) de fluido examinada
Princípios fundamentais – Modelo contínuo de fluido
21
• Equação obtida pelo
• Teorema de transporte de Reynolds aplicado a conservação de massa dentro de um sistema (M=cst)
• Balanço de massa em um volume de controle
• Coordenadas cartesianas
• Coordenadas cilíndricas
Princípios fundamentais – Conservação de massa
22
• Casos particulares
• Fluido incompressível (massa específica constante ): 
• Boa hipótese quando M << 1
• Observação: CUIDADO! Verificar a equação acima não implica a incompressibilidade do fluido
• Coordenadas cartesianas:
• Coordenadas cilíndricas:
• Coordenadas esféricas:
• Regime permanente ( ):
Princípios fundamentais – Conservação de massa
23
• Equação obtida pelo
• Teorema de transporte de Reynolds aplicado a 
2ª lei de Newton de um sistema ( )
• Balanço de força em um volume de controle
•
Princípios fundamentais – Conservação de momento linear
24
 ext
sist
F
dt
Vmd 

)(
• Para fluido newtoniano e incompressível: Equação de Navier-Stokes
• Coordenadas cartesianas
• Na direção x:
• Na direção y:
• Na direção z:
Princípios fundamentais – Conservação de momento linear
25
(eq. de Cauchy) ⟹
• Para fluido newtoniano e incompressível: Equação de Navier-Stokes
• Coordenadas cilíndricas
• Na direção r:
• Na direção θ:
• Na direção z:
26
Princípios fundamentais – Conservação de momento linear
(eq. de Cauchy) ⟹
• Para fluido newtoniano e incompressível: Equação de Navier-Stokes
• Coordenadas esféricas
• Na direção r:
• Na direção θ:
• Na direção z:
27
Princípios fundamentais – Conservação de momento linear
(eq. de Cauchy) ⟹
• Equação obtida pelo
• Teorema de transporte de Reynolds aplicado a 
conservação de energia de um sistema ( )
• Balanço de energia em um volume de controle
•
Princípios fundamentais – 1ª lei da termodinâmica
28
WQ
dt
dE
sist
 
• Para fluido newtoniano e incompressível:
• Com função dissipação viscosa
• Em coordenadas cartesianas:
• Em coordenadas cilíndricas:
• Em coordenadas esféricas:
Princípios fundamentais – 1ª lei da termodinâmica
29
• Usando a definição de entalpia: ⟹ e a lei de Fourier
• ⟹
• Objetivo: obter uma expressão em função da temperatura
• Relação de Maxwell para entalpia: 
• Definição da entropia:
• Relações:
• Substituindo ⟹
Princípios fundamentais – 1ª lei da termodinâmica
30
com : coeficiente de expansão
volumétrica
• Expressão em função da temperatura:
• Para um gás ideal ( ):
• Para um fluido incompressível ( ):
Princípios fundamentais – 1ª lei da termodinâmica
31
• Algumas simplificações:
• Caso simples 1: k constante, sem geração interna, dissipação viscosa e efeito da compressibilidade desprezíveis
• Em coordenadas cartesianas
• Em coordenadas cilíndricas
• Em coordenadas esféricas
• Caso simples 2: k constante, sem geração interna, efeito da compressibilidade desprezível e fluido viscoso
Princípios fundamentais – 1ª lei da termodinâmica
32
• Taxa de entropia de um elemento material:
•
•
• Substituindo cada termo, obtém-se: 
• Usando o teorema de transporte de Reynolds e o teorema da divergência
• Para fluido newtoniano com k constante
Princípios fundamentais – 2ª lei da termodinâmica
33
• Lei da viscosidade de Newton (fluido newtoniano): função do tensor taxa de deformação
• Se o fluido for incompressível ( ):
• Lei de Fourier (condução): relação gradiente de T e tensor da condutividade térmica K
• Para um fluido isotrópico, i.e., fluxo de calor depende da magnitude do gradiente de temperatura e não 
da sua orientação: K = k I
• A 2ª lei da termodinâmica impõe k positivo 
Princípios fundamentais - Equações constitutivas
34
com e
• Condições de contorno cinemáticas (componente normal da velocidade)
• Exemplo: impermeabilidade (v = 0)
• Condições de contorno dinâmicas (componente tangencial da velocidade)
• Exemplos: não deslizamento (maioria dos fluidos newtonianos e complexos), deslizamento (altos valores de 
tensão cisalhantes)
• Condições de contorno térmicas
• Exemplos: temperatura, fluxo de calor
Princípios fundamentais – Condições de contorno
35