Cap2 Convecção forçada em escoamento laminar externo

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MEC 2348 - Transferência de Calor II
Convecção forçada em escoamento 
laminar externo (Cap.2)
Prof. Florian Pradelle (pradelle@puc-rio.br)
Sala L-163 –Telefone: 3527-1182
5ª feira (09-12h) – L-106
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Sumário
• Problema fundamental da convecção
• Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de pressão
• Conceito de camada limite
• Espessuras das camadas limites hidrodinâmica e térmica
• Solução integral aproximada
• Solução exata pelo método da similaridade
• Escoamento sobre uma placa plana sem gradiente de pressão
• Comprimento inicial não aquecido
• Fluxo constante
• Escoamento sobre uma placa plana isotérmica com gradiente de pressão
• Escoamento ao longo de cunhas 2
Problema fundamental da convecção
• Objetivo
• Relação entre o escoamento (F) e a transferência de calor (h) ⟹ determinação dos perfis de u, v e T
• Placa plana isotérmica ( ) sem gradiente de pressão ( )
• Velocidade ( ) e temperatura ( ) uniformes longe da placa
• Força de arrasto (N):
• Tensão cisalhante (N/m²):
• Taxa de transferência de calor (W):
• Fluxo de calor (W/m²):
• Na interface (y=0):
• Condição de não deslizamento: u = 0
• Condução pura na camada de fluido na interface: 3⟹
Problema fundamental da convecção
• Equacionamento 
• Hipóteses: 
• Fluido newtoniano e incompressível
• Propriedades constantes
• Regime permanente
• Escoamento bidimensional
• Sem geração interna de calor
• Dissipação viscosa e efeito da compressibilidade desprezíveis
• Equação da continuidade:
• Conservação de momento linear (dir. x):
• Conservação de momento linear (dir. y):
• Conservação de energia: 4
Problema fundamental da convecção
• Condições de contorno
• Na interface com a superfície (y=0):
• Infinitamente longe da superfície (x, y → ∞):
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• Hipótese de Ludwig Prandtl (1904): Escoamento externo pode ser dividido em 2 regiões
• Camada limite (CL): perto da superfície sólida, onde se sente os efeitos da superfície
• Forças viscosas comparáveis aos termos de aceleração (forças de inércia):
• Espessura da CL é sempre muito menor do que as dimensões características do problema:
• Corrente livre: longe da superfície sólida, onde não se sente os efeitos da superfície
• Forças viscosas desprezíveis (equação de Euler): 
• Camada limite hidrodinâmica:
• Tensão cisalhante, 𝜏, é importante 
• Gradiente de velocidade: 𝑢(𝑥) < 𝑈∞
• Espessura: y = δ(x) onde 𝑢(𝑥)
𝑈∞
= 0,99
• Camada limite térmica:
• Diferença de temperatura, , é importante 
• Troca de energia: Uniforme ⟶ Perfil de temperatura T(x,y)
• Espessura: y = δt (x) onde = 0,99 6
Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem 
gradiente de pressão - Conceito de camada limite (CL)
• Análise da ordem de grandeza dos termos
• Corrente livre: 
• Camada limite (CL): 
• Variações de x, y e u:
• Termos da equação de conservação de momento na direção x:
• Da equação da continuidade: ⟹
• Consequências: 
• Termos de inércia:
• Termos viscosos:
7
⟹
≪
Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem 
gradiente de pressão - Conceito de camada limite (CL)
• Análise da ordem de grandeza dos termos
• Camada limite (CL): 
• Conservação de momento na direção x:
• Conservação de momento na direção y:
• Gradiente de pressão: ⟹
• Ordens de grandeza: equilíbrio entre as forças de pressão e viscosas (ou de inércia):
• Logo, ⟹ ⟹
• Consequentemente, 
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Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem 
gradiente de pressão - Conceito de camada limite (CL)
Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem 
gradiente de pressão - Conceito de camada limite (CL)
• Análise da ordem de grandeza dos termos
• Equações para camada limite (CL): 
• Conservação de massa:
• Conservação de momento na direção x:
• Conservação de energia:
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Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem 
gradiente de pressão – Espessuras δ e δt
• Ordem de grandeza da espessura da camada limite hidrodinâmica δ
• Tensão cisalhante: 
• Assumindo que a pressão na corrente livre é constante, obtém-se: 
• Logo, ⟹ com Re, número de Reynolds
• Consequências: 
• Tensão cisalhante:
• Coeficiente de atrito: ⟹
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Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem 
gradiente de pressão – Espessuras δ e δt
• Ordem de grandeza da espessura da camada limite térmica δt
• Coeficiente de troca de calor por convecção: 
• Desprezando a dissipação viscosa e a geração de energia, obtém-se: 
• Caso 1: ⟹ e
• Consequências: ⟹
• com Pe, número de Peclet e Pr, número de Prandtl
• ⟹ : casos dos metais líquidos (Pr << 1)
• Consequências: 
• u = cste e v = 0 ⟹ Resolução somente da equação de energia
• Coeficiente de troca de calor por convecção: 11
Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem 
gradiente de pressão – Espessuras δ e δt
• Ordem de grandeza da espessura da camada limite térmica δt
• Coeficiente de troca de calor por convecção: 
• Desprezando a dissipação viscosa e a geração de energia, obtém-se: 
• Caso 2: ⟹
• Consequências:
•
• ⟹ : casos dos óleos e da água: (Pr >> 1)
• Consequências: 
• Coeficiente de troca de calor por convecção: 12
13
• Número de Reynolds:
• Razão entre as forças de inércia e forças viscosas: 
• Regime laminar se Re < 500 000 para a placa plana
• Número de Prandtl:
• Razão entre a difusividade de quantidade de movimento e difusividade térmica
• Metais líquidos: Pr ≪ 1; Gases: Pr ≈ 1; Óleos, água: Pr ≫ 1
• Número de Peclet:
• Razão entre as taxas de transferência de calor por advecção e por condução
• Número de Nusselt:
• Razão entre a transferência de calor por convecção e somente por condução no fluido
Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem 
gradiente de pressão – Espessuras δ e δt
Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem 
gradiente de pressão – Espessuras δ e δt
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• Resumo
Pr
Razão . 
Número de Nusselt
Perfil das camadas
limites
Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem 
gradiente de pressão - Solução integral aproximada
• Objetivo:
• Determinar os valores dos coeficientes de proporcionalidade
• Obter valores médios para a tensão cisalhante e o coeficiente de troca de calor por convecção
• Solução integral: Método simples fornecendo uma solução aproximada
• Desenvolvida por Pohlhausen e von Karman
• Elimina a variável y das equações da CL
• Soluções obtidas a partir dos gradientes de 
velocidade e de temperatura calculados em y = 0
• Integração das equações simplificadas entre
y = 0 e y = Y = max(δ,δt) 15
Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem 
gradiente de pressão - Solução integral aproximada
• Simplificação das equações
• Conservação de momento na direção x + u x Conservação de massa:
• Conservação de energia + T x Conservação de massa:
• Condições de contorno
• Na interface com a superfície (y=0):
• Infinitamente longe da superfície (x, y → ∞):
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Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem 
gradiente de pressão - Solução integral aproximada
• Integração das equações entre y = 0 e y = Y = max(δ,δt)
• Conservação de momento na direção x + u x Conservação de massa:
• Conservação de energia + u x Conservação de massa:
• Conservação de massa:
• Substituindo e (expressão), assim como , nas condições de 
contorno, assumindo que é uma função de x e aplicando a regra de Leibnitz
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⟹
⟹
⟹ (expressão para )Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem 
gradiente de pressão - Solução integral aproximada
• Caso do escoamento sem gradiente de pressão ( e constantes)
• Assumindo um perfil para a velocidade u: para 
• m(n) varia entre 0 e 1
• Logo, com
com
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(equação diferencial ordinária de 1ª ordem)⟹
Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem 
gradiente de pressão - Solução integral aproximada
• Caso do escoamento sem gradiente de pressão ( e constantes)
• Assumindo um perfil para a temperatura T: para 
• m(p) varia entre 0 e 1
e , função do número de Prandtl
•
• Para Pr >> 1:
• Para Pr << 1:
• Primeira integral: Velocidade u tem o perfil para
• Segunda integral: Velocidade u tem o perfil para ; predomina porque Δ >> 1
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Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem 
gradiente de pressão - Solução integral aproximada
• Caso do escoamento sem gradiente de pressão ( e constantes)
• Para Pr << 1: 20
Perfil mais simples: linear
Perfil mais comum: cúbico
Solução exata
Esc. sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de 
pressão - Solução exata (método da similaridade)
• Método da similaridade
• Soluções desenvolvidas por Blasius (u) e Pohlhausen (T)
• Mudança de coordenadas para transformar as equações diferenciais parciais em equações 
diferenciais ordinárias
• Variável de similaridade proporcional a com : 
• Hipótese: representa o perfil de velocidade (incógnita)
• Solução do problema hidrodinâmico
• Hipóteses: Placa plana, sem gradiente de pressão, propriedades constantes e regime permanente
• Equações: 
• Condições de contorno: 
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Esc. sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de 
pressão - Solução exata (método da similaridade)
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• Variável de similaridade: tal que
• Uso de uma função corrente :
• Verifica a equação da continuidade:
• Equação de conservação de momento na direção x: 
• Condições de contorno: 
• Definição de em função da variável similar : ⟹
⟹ ⟹
⟹ ⟹
Esc. sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de 
pressão - Solução exata (método da similaridade)
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• Equação de Blasius:
• Equação diferencial não linear 
com coeficientes constantes 
de 3ª ordem
• Resolução:
• Blasius (1908): solução aproximada
• Howarth (1938): solução numérica
• Valores tabelados
• Espessura δ: 
•
• 4,92 na solução aprox. de Blasius
•
Esc. sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de 
pressão - Solução exata (método da similaridade)
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• Equação de conservação de momento:
• Espessura de deslocamento: 
•
• Fração da velocidade da corrente livre desacelerada por efeitos viscosos pela parede
• Espessura de momento:
• Fração do momento deslocada fora da CL
• Soluções pelo método da similaridade:
⟹
Esc. sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de 
pressão - Solução exata (método da similaridade)
• Coeficiente de atrito
• Local:
• Médio: Cmédio entre x= 0 e x qualquer = 2 x Clocal em x qualquer
• Solução do problema térmico
• Hipóteses adicionais: sem geração, dissipação viscosa e efeito da compressibilidade desprezíveis
• Equação: 
• Usando o perfil de temperatura adimensional :
• Obs 1: Se e , os perfis adimensionais de u e T são idênticos 
• Obs 2: Existe uma solução analítica obtida por separação de variáveis 
• Condições de contorno:
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⟹ ⟹
Esc. sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de 
pressão - Solução exata (método da similaridade)
26
• Solução analítica do problema térmico
• Equação: 
• Condições de contorno:
• Integração dupla: 
• Usando a CC para 𝜂 → ∞:
• Solução analítica depende da solução numérica das integrais e do número de Prandtl
⟹ ⟹
Esc. sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de 
pressão - Solução exata (método da similaridade)
27
• Número de Nusselt
• Local: 
• Para Pr > 0,5:
• Para Pr < 0,5 ( ):
• Médio:
• Numédio entre x = 0 e x qualquer = 2 x Nulocal em x qualquer
• Correlação de Churchill e Ozoe (para qualquer Pr, mas Pe > 100):
⟹
⟹
⟹
Esc. sobre uma placa plana isotérmica sem gradiente de 
pressão - Solução exata (método da similaridade)
28
• Limitações da teoria da camada limite
• Velocidade normal v:
• Na solução de Blasius, a velocidade normal a superfície v tende a quando 𝜂 → ∞
• Na realidade, v tende a zero quando 𝜂 → ∞ (efeitos da parede desprezíveis) 
• Quando 𝜂 → ∞: ⟹Melhor solução quando Re aumenta e a CL fica mais fina
• Próximo a borda de ataque:
• Ordem de grandeza para δ: 
• Para ter , : condição não válida próxima a borda de ataque (L pequeno)
Escoamento sobre uma placa plana sem gradiente de 
pressão - Comprimento inicial não aquecido
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• Comprimento inicial não aquecido
• Assumindo perfis cúbicos para os perfis de 
velocidade e de temperatura
⟹ com
⟹
Escoamento sobre uma placa plana sem gradiente de 
pressão - Fluxo constante
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• Fluxo constante 
• Obs.: A superfície não está mais isotérmica
• Para 
• Número de Nusselt: 
• Perfil de temperatura (método da similaridade): 
• Diferença de temperatura média:
Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem 
gradiente de pressão - Escoamento ao longo de cunhas
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• Escoamento ao longo de cunhas
• Corrente livre faz um ângulo 𝛽
2
com a superfície
• Acelerado com o aumento de x (distância a borda de ataque da cunha)
• Perfil de velocidade fora da CL, obtido pela teoria de escoamento potencial
• com
• Fora da CL
•
• Substituindo na eq. de conservação de momento na direção x na CL: 
⟹
Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem 
gradiente de pressão - Escoamento ao longo de cunhas
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• Escoamento ao longo de cunhas
• Método da similaridade para e 
• Problema hidrodinâmica: (eq de Falkner e Skan) 
• Condições de contorno: 
• Coeficiente de atrito local:
Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem 
gradiente de pressão - Escoamento ao longo de cunhas
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• Escoamento ao longo de cunhas
• Método da similaridade para e 
• Problema térmica: 
• Condições de contorno:
• Coeficiente de troca de calor por convecção médio:
Escoamento sobre uma placa plana isotérmica sem 
gradiente de pressão - Escoamento ao longo de cunhas
34
• Escoamento ao longo de cunhas
•
com