EquacaoEnergia MECFLU 1S 2015

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CAPÍTULO 4 – DINÂMICA DOS FLUIDOS (EQUAÇÃO DA ENERGIA)
MARCOS ANTONIO RODRIGUES DOS SANTOS BCT-ICT
DIAMANTINA MG 1S 2015 
DINÂMICA DOS 
FLUIDOS
UFVJMUFVJMUFVJMUFVJM
UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO 
JEQUITINHONHA E MUCURI
marcos_eme@yahoo.com.brmarcos_eme@yahoo.com.br
FLUIDOS
MARCOS ANTONIO RODRIGUES DOS SANTOS
DIAMANTINA- MG
2º semestre 2015
EQUAÇÃO DA ENERGIA
CAPÍTULO 4 – DINÂMICA DOS FLUIDOS (EQUAÇÃO DA ENERGIA)
MARCOS ANTONIO RODRIGUES DOS SANTOS BCT-ICT
DIAMANTINA MG 1S 2015 
TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS 
( )sist
VC SC
dB d
dV V n dA
dt dt
 
= + ⋅ 
 
∫ ∫
� �
β ρ β ρ
CONVENÇÃO DE SINAIS (a ser utilizada aqui!!!)
(+)
marcos_eme@yahoo.com.brmarcos_eme@yahoo.com.br
(-)
(-)(+)
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EQUAÇÃO DA PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA
dE dQ dW
dt dt dt
= −
E – representa à energia total;
Q – Representa o ganho de calor ou a perda de calor;
marcos_eme@yahoo.com.brmarcos_eme@yahoo.com.br
Q – Representa o ganho de calor ou a perda de calor;
W – Representa o trabalho realizado ou sofrido pelo sistema; 
( )
( ) ( ) ( )sist
VC SC
d E d
e dV e V n dA
dt dt
= + ⋅∫ ∫
� �
ρ ρ
TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS ( )
( )
d E
e
dm
β = =
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ENERGIA TOTAL
p cE E E U= + +
21E m V=
pE mg z=
CALOR CONDUÇÃO DE CALORCONDUÇÃO DE CALOR
CONVECÇÃOCONVECÇÃO
RADIAÇÃORADIAÇÃO
TAXA DE CALOR
dQ
Q
dt
=ɺ
TRABALHO TRABALHO DE EIXOTRABALHO DE EIXO
Já 
vimos
marcos_eme@yahoo.com.brmarcos_eme@yahoo.com.br
2
2
cE m V=
h u p v= +
EQUAÇÃO DA ENTALPIA
“Especifica” 
v = 1/ ρ
p
h u
ρ
= +
TRABALHO DE PRESSÃOTRABALHO DE PRESSÃO
TRABALHO DEVIDO A FORÇASTRABALHO DEVIDO A FORÇAS
VISCOSASVISCOSAS
dW
W
dt
=ɺTAXA DE TRABALHO
Já 
vimos
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TAXA DO TRABALHO DE EIXO W F d=
T F r=
W F d=
W F V t= ∆
W
marcos_eme@yahoo.com.brmarcos_eme@yahoo.com.br
W
F V
t
=
∆
P F V=
P F rω=
P F r ω=
P T ω=
eP T ω=
TAXA DO TRABALHO DE EIXO ≡ POTÊNCIA DE EIXO
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TAXA DO TRABALHO DE PRESSÃO
A FORÇA DE PRESSÃO SOBRE UMA SUPERFÍCIE QUALQUER
P V
dAdA
dAdA
ELEMENTO DE ÁREAELEMENTO DE ÁREA
marcos_eme@yahoo.com.brmarcos_eme@yahoo.com.br
PdW PV dA=ɺSUPERFÍCIE DE 
CONTROLE
V
PdW dF V=ɺ
dF = P dA dF (V)= P dA (V)
( )P
SC
W P V n dA= ⋅∫
�� �
ɺ
INTEGRANDOINTEGRANDO
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TAXA DO TRABALHO DAS TENSÕES VISCOSAS
DEPENDE DO TIPO DE SUPERFÍCIE DE CONTROLE
1) PAREDE SÓLIDA ESTACIONÁRIA
Velocidade do fluido é nula junto à parede
consequentemente as tensões viscosas serão nulas!
2) PAREDE SÓLIDA ROTATIVA
vWɺ
marcos_eme@yahoo.com.brmarcos_eme@yahoo.com.br
2) PAREDE SÓLIDA ROTATIVA
Esta parcela ‘será incluída’ na POTÊNCIA DE EIXO!
DE MODO GERAL É UMA PARCELA MUITO PEQUENA E PODE
SER DESPREZADA;
e P vW P W W= + +ɺ ɺ ɺTAXA DO TRABALHO TAXA DO TRABALHO SERÁ:SERÁ:
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( )
( ) ( ) ( )sist
VC SC
d E d
e dV e V n dA
dt dt
= + ⋅∫ ∫
� �
ρ ρ
TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS – B = E 
( ) ( ) ( )sistd E d Q d W Q W
dt dt dt
= − = −ɺ ɺ
marcos_eme@yahoo.com.brmarcos_eme@yahoo.com.br
A energia especifica (e) é composta das parcelas 
(e = u + ec + ep) 
pE mg z=
21
2
cE m V=
pe g z=
21
2
ce V=
U
u
m
=
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2
( ) ( )
2
e P v
VC SC
d V
Q P W W e dV u g z V n dA
dt
ρ ρ
 
− − − = + + + ⋅ 
 
∫ ∫
� �ɺ ɺ ɺ
SUBSTITUINDO TODOS OS TERMOS
( )PW P V n dA= ⋅∫
�� �
ɺ
TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS – B = E 
marcos_eme@yahoo.com.brmarcos_eme@yahoo.com.br
( )P
SC
∫
2
( ) ( ) ( )
2
e v
VC SC SC
d V
Q P W e dV u g z V n dA P V n dA
dt
ρ ρ
 
− − = + + + ⋅ + ⋅ 
 
∫ ∫ ∫
� �� �ɺ ɺ
2
( ) ( )
2
e v
VC SC
d p V
Q P W e dV u g z V n dA
dt
ρ ρ
ρ
 
− − = + + + + ⋅ 
 
∫ ∫
� �ɺ ɺ
Entalpia ���� h = u + p/ρ
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DIAMANTINA MG 1S 2015 
TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS – B = E 
2
( ) ( )
2
e v
VC SC
d V
Q P W e dV h g z V n dA
dt
ρ ρ
 
− − = + + + ⋅ 
 
∫ ∫
� �ɺ ɺ
CONCEITO DE ENTALPIA DE ESTAGNAÇÃO
REGIME PERMANENTE 
ASSUMINDO UMA ENTRADA (1) E UMA SAÍDA (2) UNIDIMENSIONAIS
marcos_eme@yahoo.com.brmarcos_eme@yahoo.com.br
ASSUMINDO UMA ENTRADA (1) E UMA SAÍDA (2) UNIDIMENSIONAIS
COM PROPRIEDADES CONSTANTES
( ) ( )
2 2
2 1
2 2 2 2 2 1 1 1 1 1
2 2
e v
V V
Q P W h g z V A h g z V A
   
− − = + + − + +   
   
ɺ ɺ ρ ρ
( ) ( )2 2 2 1 1 1 2 1V A V A m m m= = = =ɺ ɺ ɺρ ρ
COLOCAR A VAZÃO ṁ EM EVIDÊNCIA E PASSA-LA DIVIDINDO PARA OUTRO LADO 
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MARCOS ANTONIO RODRIGUES DOS SANTOS BCT-ICT
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TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS – B = E 
2 2
2 1
2 2 1 1
2 2
e vP W V VQ h g z h g z
m m m
   
− − = + + − + +   
   
ɺ ɺ
ɺ ɺ ɺ
q ep vw
2 2V V   
marcos_eme@yahoo.com.brmarcos_eme@yahoo.com.br
2 2
2 1
2 2 1 1
2 2
e v
V V
q p w h g z h g z
   
− − = + + − + +   
   
2 2
1 2
1 1 2 2
2 2
e v
V V
h g z h g z q p w
   
+ + = + + − + +   
   
ENTALPIA DE 
ESTAGNAÇÃO A 
MONTANTE
ENTALPIA DE 
ESTAGNAÇÃO A 
JUSANTE
TERMINOLOGIA MUITO COMUM PARA EQUIPAMENTOS 
TÉRMICOS (COMPRESSORES, TURBINAS ETC).
COM OS TRIANGULOS DE VELOCIDADES ENTRE ENTRADAS E 
SAÍDAS, DETERMINA-SE A POTÊNCIA DE EIXO, EFICIÊNCIAS 
REAIS E ISENTRÓPICAS, etc....
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TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS – B = E 
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
2 2
e v
p V p V
u g z u g z q p w
ρ ρ
   
+ + + = + + + − + +   
   
VOLTANDO � h = u + p/ρ
2 2
1 1 2 2p V p Vg z g z u u q p w
   
+ + = + + + − − + +   
marcos_eme@yahoo.com.brmarcos_eme@yahoo.com.br
1 1 2 2
1 2 2 1
2 2
e v
p V p V
g z g z u u q p w
   
+ + = + + + − − + +   
   ρ ρ
DIVIDINDO POR g TEREMOS CADA TERMO DA EQUAÇÃO EM UNIDADE 
DE COMPRIMENTO
2 2
2 11 1 2 2
1 2
2 2
e vu u q p wp V p Vz z
g g g g gρ ρ
    − − + +
+ + = + + +   
   
Considerando que pela ‘fronteira’fronteira’ não temos trabalho de eixo!
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DIAMANTINA MG 1S 2015 
TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS – B = E 
2 2
1 1 2 2 2 1
1 2
2 2
p V p V u u q
z z
g g g g gρ ρ
    − −
+ + = + + +   
   
REPRESENTA A PERDA DE ENERGIA ENTRE OS PONTOS (1) E (2) EM REPRESENTA A PERDA DE ENERGIA ENTRE OS PONTOS (1) E (2) EM 
TERMOS DE ALTURA E SERÁ DENOMINADO TERMOS DE ALTURA E SERÁ DENOMINADO hfhf
marcos_eme@yahoo.com.brmarcos_eme@yahoo.com.br
2 2
1 1 2 2
1 22 2
f
p V p V
z z h
g g g gρ ρ
   
+ + = + + +   
   
ANÁLISE PARA TURBINA E BOMBA ‘ENTRE’ 1 E 2.
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TURBINA ENTRE 1 E 2
A TURBINA EXTRAI ENERGIA 
DO FLUIDO
2
1 1
1 ....
2
T
p V
z h
g gρ
 
+ + − = 
 
marcos_eme@yahoo.com.brmarcos_eme@yahoo.com.br
 
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BOMBA ENTRE 1 E 2
A BOMBA ADICIONA ENERGIA 
AO FLUIDO
2
1 1
1 ....
2
B
p V
z h
g gρ
 
+ + + = 
 
marcos_eme@yahoo.com.brmarcos_eme@yahoo.com.br
 
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TURBINA E BOMBA ENTRE 1 E 2.
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
f B T
p V p V
z z h h h
g g g gρ ρ
   
+ + = + + + − +   
   
EQUAÇÃO DA ENERGIA ENTRE 1 E 2.
marcos_eme@yahoo.com.brmarcos_eme@yahoo.com.br
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hT TP g Q hρ=
Q
e
T
h
p
P
η =
ele
GE
p
P
η =
marcos_eme@yahoo.com.brmarcos_eme@yahoo.com.br
ep
Q
Qelep
GE
eP
η =
ele
global
h
p
P
η =
TG
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hT TP g Q hρ= [ ]2 2 1 1t tQ U V U Vρ −eP =
Equação de EulerPOTÊNCIA DA TURBINA, 
OU POTÊNCIA EXTRAÍDA 
DO FLUIDO. POTÊNCIA DE EIXO QUE 
DEIXA A TURBINA.
ALTUA IDEAL DAS PÁS DO ROTOR DA TURBINA
marcos_eme@yahoo.com.brmarcos_eme@yahoo.com.br
PARA O CASO IDEAL DE NÃO HAVER PERDA NA
TURBINA.
[ ]
[ ]
1 1 2 2
1 1 2 2
T t t
t t
Pá T
g Q h Q U V U V
U V U V
h
g
ρ ρ= −
−
=
OBS: AQUI FOI 
TROCADO O 
PRODUTO PARA 
EVITAR O SINAL 
NEGATIVO
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hB BP g Q hρ=
h
B
e
p
P
η =
e
ME
P
p
η =
marcos_eme@yahoo.com.brmarcos_eme@yahoo.com.br
Q
Q
elep
ep
ME
elep
η =
h
global
ele
P
p
η =
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hB BP g Q hρ= [ ]2 2 1 1t tQ U V U Vρ −eP =
Equação de EulerPOTÊNCIA DA BOMBA, 
OU POTÊNCIA 
ADICIONADA AO 
FLUIDO.
POTÊNCIA DE EIXO QUE 
ENTRA NA BOMBA.
ALTUA IDEAL DAS PÁS DO ROTOR DA BOMBA
marcos_eme@yahoo.com.brmarcos_eme@yahoo.com.br
PARA O CASO IDEAL DE NÃO HAVER PERDA NA
BOMBA.
[ ]
[ ]
2 2 1 1
2 2 1 1
B t t
t t
Pá B
g Q h Q U V U V
U V U V
h
g
ρ ρ= −
−
=
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CORREÇÃO NO TERMO CINÉTICO
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
f B T
p V p V
z z h h h
g g g gρ ρ
   
+ + = + + + − +   
   
COMO O ESCOAMENTO NÃO É UNIFORME TORNA-SE NECESSÁRIO 
UMA CORREÇÃO NO TERMO CINÉTICO COM O PARÂMETRO α
marcos_eme@yahoo.com.brmarcos_eme@yahoo.com.br
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
f B T
p V p V
z z h h h
g g g g
α α
ρ ρ
   
+ + = + + + − +   
   
DE MODO GERAL PARA ESCOAMENTO 
TURBULENTO α ≈ 1,0
UMA CORREÇÃO NO TERMO CINÉTICO COM O PARÂMETRO α
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EQUAÇÃO BERNOULLI
EQUAÇÃO RESTRISTIVA:
1 ESCOAMENTO SEM ATRITO
2 ESCOAMENTO AO LONGO DE UMA LINHA
DE CORRENTE
marcos_eme@yahoo.com.brmarcos_eme@yahoo.com.br
DE CORRENTE
3 ESCOAMENTO SEM TRABALHO DE EIXO
4 ESCOAMENTO SEM TROCA DE CALOR
5 ESCOAMENTO EM REGIME PERMANENTE
6 ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL
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z
ds
Linha de Corrente
pdA
(p+dp)dA
( , )
s
dV s t dV ds
a
dt ds dt
= =
sdF dm a=
EQUAÇÃO BERNOULLI
marcos_eme@yahoo.com.brmarcos_eme@yahoo.com.br
x
s
n
g
Peso = dm g
ds
dz
dx
θpdA V
s
dV
a V
ds
=
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EQUAÇÃO BERNOULLI
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
p V p V
z z CONSTANTE K
g g g gρ ρ
   
+ + = + + = ⇒   
   
ENERGIA NO PONTO (1) 
marcos_eme@yahoo.com.brmarcos_eme@yahoo.com.br
É IGUAL 
ENRGIA NO PONTO (2)
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USAR OU NÃO USAR BERNOULLI
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2
1
2
V
g 2P
gρ
2
2 2V gLinha piezométrica
Linha energia (ideal) Bernoulli
Tubo piezométrico
Linha energia real
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1
2
1Z
1P
gρ
2Z
Tubo piezométrico
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BOMBA E TURBINA E SUAS LINHAS
DE ENERGIAS 
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BOMBA
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EXEMPLO 1
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Água é bombeada de um lago para um tanque, cujo desnível de superfícies é de
20 m. A taxa de bombeamento é de 70 l/s a um consumo de energia elétrica de
20,4 kW. Desconsiderando as perdas de energia no escoamento e nenhuma
variação no coeficiente da energia cinética, determine:
1) A eficiência global do conjunto moto-bomba
2) A diferença de pressão entre a entrada e saída da bomba
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EXEMPLO 2
Água
marcos_eme@yahoo.com.brmarcos_eme@yahoo.com.br
Ar escoa num tubo Venturi conforme a figura acima. Desprezando os efeitos
viscosos mostre que a vazão ideal pelo tubo Venturi pode ser expressa por:
Com ρar=1,2 kg/m3 ρágua= 998 kg/m3 h = 28,2 cm g =9,8 m/s2
( )
( )
2
2 4 4
2 1
2
1
H O ar
ar
g h
Q A
D D
ρ ρ
ρ
 −
 =
 − 
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EXEMPLO 3
MANOMÉTRICA
= ? = ? 
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= ? = ? 
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EXEMPLO 4
Água está escoando pelo sifão (tubulação em
formato U invertido) na figura ao lado a uma
vazão constante Q. A tubulação possui
diâmetro constante de 8(cm) e a perda de
energia entre A e o ponto mais alto da
tubulação é de 0,2 V2/2g e entre este ponto maisalto e o ponto B é de 0,6 V2/2g, onde V é a
marcos_eme@yahoo.com.brmarcos_eme@yahoo.com.br
alto e o ponto B é de 0,6 V2/2g, onde V é a
velocidade no sifão.
Determine a vazão Q em litros por segundo que
escoa pelo sifão, determine também a pressão
manométrica no ponto mais alto da tubulação.
Patm=1atm=101(kPa)
ρ = 998kg/m3
g = 9,8m/s2
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EXEMPLO 5
Qual é a máxima potência que
se pode obter com a turbina
da figura?
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