Mecânica e Resistência de Materiais II Cap. I I

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Unidade II – Membros Carregados Axialmente
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2.1. Introdução
 Componentes estruturais submetidos apenas à tensão ou compressão são chamados de membros carregados axialmente.
 Barras sólidas com eixos longitudinais retos são o tipo mais comum, embora cabos e molas espirais também suportem cargas axiais.
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 Como exemplos, podemos citar barras de treliça, hastes de conexão em motores, aros em rodas de bicicleta, colunas em prédios e suportes em armações de motores de avião.
Figura 2.1
2.2. Variações nos Comprimentos de 
Membros Carregados Axialmente 
 Ao se determinar as variações nos comprimentos de membros carregados axialmente, é conveniente começar pela mola espiral (Fig. 2.2). Essas molas são usadas em vários tipos de máquinas e dispositivos.
 Quando uma carga é aplicada ao longo do eixo de uma mola, como mostrado na figura, a mola é alongada ou encurtada dependendo do sentido da aplicação.
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 Porém, não se deve dizer que as espirais individuais da mola estão submetidas a tensões de compressão ou tração; em vez disso, as aspiras agem basicamente em cisalhamento direto e torção.
Figura 2.2
 Entretanto, o alongamento ou encurtamento total de uma mola é análogo ao comportamento de uma barra em tração ou compressão, e por isso a mesma terminologia é usada.
# Molas
 O alongamento de uma mola aparece na Fig. 2.3, cuja a esquerda mostra a mola em seu comprimento natural L (também chamado de comprimento não tensionado, comprimento relaxado ou comprimento livre) e a direita mostra os efeitos de se aplicar um carga de tração.
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Figura 2.3
Membros Carregados Axialmente 
 Sob ação da força P, o comprimento da mola aumenta em um valor δ e seu comprimento final L + δ. Se o material da mola é elástico linear, a carga e o alongamento serão proporcionais.
	 P = k δ δ = f P
sendo k e f constantes de proporcionalidade.
 A constante k é chamada de rigidez da mola e é definida como a força exigida para produzir uma unidade de alongamento, isto é, k = P/ δ.
 A constante f é conhecida como flexibilidade e é definida como o alongamento produzido por uma carga de valor unitário, isto é, f = δ/P.
 A rigidez e a flexibilidade estão reciprocamente relacionadas:
			k = 1/f f = 1/k 
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Eq. 1
Membros Carregados Axialmente 
 As barras carregadas axialmente sofrem alongamento sob cargas de tração
 e e encurtamento sob cargas de compressão, exatamente como as molas. 
 Para analisar esse comportamento, consideremos a barra prismárica mostrada na Fig. 2.4.
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 O alongamento δ de uma barra prismática submetida a uma carga de tração P é mostrada na Fig. 2.4. 
 Se a carga age através, a tensão normal uniforme nas seções tranversais longe das extremidades é dada pela fórmula σ = P/A.
Figura 2.4
Membros Carregados Axialmente 
# Barra prismática
 Assumindo que o material é elástico linear, o que significa que ele segue a lei de Hooke. A tensão e a deformação longitudinal estão relacionadas pela equação σ = Eε, em que E é o módulo de elasticidade. Combinando essas relações básicas, obtemos a seguinte equação para o alongamento da barra: 
			 δ = P L 
 E A 
O produto EA é conhecido como rígidez axial da barra.
 A variação no comprimento de uma barra é normalmente muito pequena comparada ao seu comprimento, principalmente quando o material é um metal estrutural. 
 A rigidez e a flexibilidade de uma barra prismática são definidas do mesmo modo que para uma mola. K = EA/L f = L/EA
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Eq. 2
Membros Carregados Axialmente 
2.3. Variações no comprimento da barra não uniformes
 Quando uma barra prismática de material elástico linear é carregada apenas nas extremidades, podemos obter a variação em seu comprimento por meio da equação δ = PL/EA. Nesta seção veremos como está mesma equação pode ser usada em situações gerais.
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 Vamos supor que uma barra prismática é carregada por uma ou mais cargas axiais agindo em pontos intermediários ao longo do eixo (Fig. 2.5). 
 Pode-se determinar a variação no comprimento dessa barra somando algebricamente os alongamentos e encurtamentos dos segmentos individuais. O procedimento é:
 Identifique os segmentos da barra (AB, BC e CD) como segmentos 1,2 e 3
# Barras com Carregamento Axial em Ponto Intermediário
 Determine as forças axiais internas N1, N2 e N3 nos segmentos 1, 2 e 3, através dos diagramas de corpo livre. Note que as forças axiais internas estão denotadas pela letra N para distingui-las das forças externas P. Assumindo as forças na direção vertical, obtemos as seguintes expressões para as forças axiais.
		N1 = - PB + PC + PD ; N2 = PC + PD ; N3 = PD
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Figura 2.5
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Variações no comprimento da barra não uniformes
 Algumas vezes, a força axial N e a área da seção transversal A variam continuamente ao longo do eixo de uma barra, como ilustrado pela barra afilada da Fig. 2.7. 
 Essa barra não apenas tem uma área de seção transversal variando continuamente, mas também uma força axial variando continuamente. 
 Nessa ilustração, a carga consiste em duas partes, uma força PB agindo na extremidade B da barra e forças distribuídas p(x) agindo ao longo do eixo.
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Figura 2.6
Variações no comprimento da barra não uniformes
# Barra com Variações Contínuas de Cargas ou Dimensões
 Devemos determinar a variação no comprimento de um elemento da barra e então integrar sobre o comprimento da barra.
 Escolhemos um elemento diferencial a uma distância x da extremidade esquerda da barra. 
 A força axial interna N(x) agindo nessa seção transversal Fig. 2.7 pode ser determinada pelo equilíbrio usando o segmente AC ou o segmento CB como o corpo livre.
 Conhecendo as dimensões da barra, podemos expressar a área de seção transversal A(x) em função de x.
 O alongamento dδ do elemento diferencial (Fig. 2.7c) pode ser obtido através da equação δ = PL/EA, substituindo-se P por N(x), L por dx e A por A(x), da seguinte maneira:
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Barra com Variações Contínuas de Cargas ou Dimensões
 O alongamento de toda a barra é obtido integrando-se sobre o comprimento: 
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Figura 2.7
Exemplo de aula -1) Uma barra vertical de aço é sustentada por um pino em sua extremidade superior e carregada por uma força P1 em sua extremidade inferior. Uma viga horizontal BDE é presa por um pino à barra vertical na junção B e sustentada no ponto D. A viga está submetida a uma força P2 na extremidade E.
	A parte superior da barra vertical (segmento AB) tem comprimento L1 = 500 mm e área de seção transversal A1= 160 mm2, a parte inferior (segmento BC) tem comprimento L2 = 750 mm e área A2 = 100 mm2. O módulo de elásticidade E do aço é de 200 GPa. As partes esquerda e direita da viga BDE têm comprimento a = 700 mm e b = 625 mm.
 Calcule o deslocamento vertical δc no ponto C se a carga P1 = 10 kN e a carga P2 = 25 kN.
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2.4. Estruturas estaticamente indeterminadas
 Os cálculos para as forças axiais em ambas as partes da barra (Fig. 2.8), bem como para a reação R na base, independem do material do qual a barra é feita.
 A maioria das estruturas é mais complexa que a barra e suas reações e forças internas não podem ser encontradas apenas através da estática. 
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 A situação ilustrada na Fig. 2.9 que mostra a barra AB fixada em ambas as extremidades. 
 Agora há duas reações verticais (RA e RB), mas apenas uma equação de equilíbrio – a equação da somatória das forças na direção vertical. Uma vez que essa equação contém duas incógnitas, ela não é suficiente para encontrar as reações. 
 As estruturas desse tipo são classificadas como estaticamente indeterminadas.
Figura 2.8
Figura 2.9
 Considerar o exemplo da Fig. 2.10 , uma barra prismática AB está fixada em suportes rígidos em ambas as extremidades e é carregada axialmente por uma força P em um ponto intermediário C. 
 As reações RA e RB não podem ser encontradas apenas
através da estática. É preciso uma equação adicional para encontrarmos as duas equações.
 A equação adicional é baseada na observação de que uma barra com ambas as extremidades fixadas não apresenta variação no comprimento.
		 ∑Fvert = 0 RA – P + RB = 0
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Figura 2.10
(a)
Equação de equilíbrio
Estruturas estaticamente indeterminadas
 Se separarmos a barra e seus suportes (Fig.b), obtemos uma barra livre em ambas as extremidades e carregada pelas três forças, RA, RB e P. Essas forças fazem a barra sofrer uma variação δAB de comprimento, que deve ser igual a zero.
				δAB = 0
 Essa equação, chamada de equação de compatibilidade, expressa o fato de que a variação no comprimento da barra de ser compatível com as condições nos suportes.
 Para resolver as equações a e b, devemos agora expressar a equação de compatibilidade em termos de forças desconhecidas RA e RB. 
 As relações entre as forças que agem em uma barra e suas variações de comprimento são conhecidas como relações de força e deslocamento. Essas relações tem várias formas, dependendo da propriedade dos materiais. 
 Se o material é elástico linear, a equação δ = PL/EA pode ser usada para obter as relações de força-deslocamento.
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(b)
Estruturas estaticamente indeterminadas
 Vamos assumir que a barra tenha área de seção transversal A e seja feita de um material com módulo E. Então, as variações nos comprimento dos segmentos superior e inferior da barra são, respectivamente:
 δ = RA a/EA δCB = - RB b/EA
 Agora podemos resolver simultaneamente os três conjuntos juntos de equações. 
 Nessa ilustração, começamos combinando as relações de força-deslocamento com a equação da compatibilidade:
	 δAB = δAC + δCB = RA a/EA - RB b/EA
 O próximo passo é resolver simultaneamente a equação de equilíbrio (Eq. a) e a equação anterior (Eq. e). Os resultados são:
		 RA = Pb/L RB = Pa/L 
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(c,d)
(e)
Estruturas estaticamente indeterminadas
 Com essas reações conhecidas, todas as outras quantidades de força e deslocamento pode ser determinadas. Supor, que desejamos encontrar o deslocamento para baixo δC do ponto C. Esse deslocamento é igual ao alongamento do segmento AC:
 δC = δAC = RA a/EA = P ab/LEA
 
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Exemplo aula 2) Um cilindro circular sólido S, feito de aço, está encerrado em um tubo circular vazado de cobre C. O cilindro e o tubo são comprimidos entre as placas rígidas de uma máquina de teste por forças de compressão P. O cilindro de aço tem área de seção transversal As e módulo de elasticidade Es , o tubo de cobre tem área Ac e módulo Ec, e ambos têm comprimento L.
Determine as seguintes quantidades (a) as forças de compressão Ps no cilindro de aço e Pc no tubo de cobre; (b) as tensões de compressão correspondentes σs e σc e (c) o encurtamento δ do conjunto. 
 
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2.5- Tensões em Seções Inclinadas
 Nas seções anteriores foram consideradas tensões normais agindo em seções transversais. Estas tensões são ilustradas na Figura 2.11, em que consideramos uma barra AB submetida a cargas axiais P. 
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Figura 2.11
 Elemento de Tensão
 O modo mais útil de representar as tensões na barra da Figura 2.11 é isolar um pequeno elemento do material, como o chamado de C na Figura 2.11c, e então mostrar as tensões agindo em todas as suas faces.
 Um elemento desse tipo é denominado elemento de tensão. 
 O elemento de tensão no ponto C é um pequeno bloco retangular com sua face da extremidade direita sobre a seção transversal mn.
 As dimensões de um elemento de tensão são consideradas infinitesimamente pequenas, mas, por clareza, desenhamos o elemento em uma escala maior, como na Figura 2.12a. 
 Nesse caso, as bordas do elemento são paralelas aos eixos x, y e z, e as únicas tensões são as tensões σx agindo nas faces x.
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 Por ser mais conveniente, geralmente desenhamos uma vista bidimensional do elemento (Figura 2.12b) em vez de uma vista tridimensional.
 Tensões em Seções Inclinadas
 Para obter uma ilustração mais complexa de uma barra carregada, precisa-se investigar as tensões agindo em seções inclinadas, como a seção cortada pelo plano inclinado pq na Figura 2.13a.
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Figura 2.12
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 Como as tensões são as mesmas ao longo de toda a barra, as tensões agindo sobre a seção inclinada devem estar uniformementes distribuídas, como ilustrado nos diagramas de corpo livre da Figura 2.13b e c.
 Do equilíbrio de corpo livre sabemos que a resultante das tensões deve ser uma força horizontal P.
Figura 2.13
 Será especificado um ângulo θ entre o eixo x e a normal n em relação à seção (Figura 2.14a). 
 Vamos encontrar as tensões agindo na seção pq (Figura 2.14b) Como já mencionado, a resultante dessas tensões é uma força P agindo na direção x.
 Essa resultante pode ser decomposta em duas componentes, uma força normal N que é perpendicular ao plano inclinado pq e uma força de cisalhamento V que é tangencial ao plano pq. Essas componentes são:
		N = P cos θ		V = P sen θ
 Estão associadas com as forças N e V as tensões normais e de cisalhamento distribuídas uniformemente sobre a seção inclinada (Fig. 2.14 c e d).
		 σ = N τ = V
		 A1 	 A1
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 em que A1 é a área da seção inclinada, como segue:
		 A1 = A
			 cos θ 		 
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Figura 2.14
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 Precisamos estabelecer uma convenção de notação e sinal para as tensões agindo em seções inclinadas. 
 Usaremos um subscrito θ para indicar que as tensões agem em uma seção inclinada em um ângulo θ (Figura 2.15), da mesma forma que usamos um subscrito x para indicar que as tensões agem em uma seção perpendicular ao eixo x.
 Tensões normais σθ são positivas quando são de tração e tensões de cisalhamento τθ são positivas quando elas tendem a produzir uma rotação no sentido-horário, como ilustrado na figura.
Figura 2.15
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 Para uma barra em tração normal, a força N produz tensões normais positivas σθ ( ver Figura 2.14c) e a força de cisalhamento V produz tensões de cisalhamento negativas τθ (ver Figura 2.14d). Essas tensões são dadas pelas seguintes equações:
 σθ = N/A1 = P/A cos2 θ	 τθ = V/A1 = -P/A sen θ cos θ
Introduzindo a notação σx = P/A, em que σx é a tensão normal em seção transversal, e usando também as relações trigonométricas 
	 cos2 θ = ½ (1 + cos 2θ) 	 sen θ cos θ = ½ (sen 2θ)	
Obtemos as seguintes expressões para as tensões normais e de cisalhamento:
	
 Tensões Máximas Normal e de Cisalhamento
 A maneira como as tensões variam quando a seção inclinada é cortada em vários ângulos é ilustrada na Figura 2.16. O eixo horizontal fornece o ângulo θ variando de -90º a +90º, e o eixo vertical fornece as tensões σθ e τθ.
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Figura 2.16
 A tensão normal σθ é igual a σx quando θ = 0. Então, à medida que θ aumenta ou diminui, a tensão normal diminui até que em θ = ±90º ela se torna nula, porque não existem tensões normais em seções cortadas paralelamente ao eixo longitudinal. A máxima tensão normal ocorre em θ = 0 e é: σmáx = σ x
 Notamos também que, quando θ = ±45º, a tensão normal é a metade do valor máximo. 
 A tensão de cisalhamento τθ é nula em seções transversais da barra (θ =0) da mesma forma que em seções longitudinais (θ = ±45º). Entre esses extremos, a tensão varia como ilustrado no gráfico, atingindo o maior valor positivo quando θ = - 45º e o maior valor negativo quando θ = +45º. Essas máximas tensões de cisalhamento têm a mesma magnitude: 
			 τmáx = σx/2
Mas tendem a rotacionar o elemento em direções opostas.
 As máximas tensões em uma barra em tração são ilustradas na Figura 2.17. Dois elementos de tensão são selecionados – o elemento A está orientado em θ = 0º e o elemento B está orientado em θ = 45º. 
 O elemento
A tem máximas tensões normais e o elemento B tem máximas tensões de cisalhamento. 
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 No caso do elemento A, as únicas tensões são as máximas tensões mormais, nenhuma tensão de cisalhamento existe em nenhuma das faces. 
 No caso do elemento B, as tensões normal e de cisalhamento agem em todas as faces. 
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Figura 2.17
 Embora a tensão de cisalhamento máxima em uma barra carregada axialmente seja apenas metade da máxima tensão normal, a tensão de cisalhamento pode causar falha se o material for muito mais fraco em cisalhamento que em tração. 
 Um exemplo de falha por cisalhamento é ilustrado na Figura 2.18, que mostra um bloco de madeira carregado em compressão que falhou por cisalhamento ao longo de um plano de 45º.
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Figura 2.18
 Exemplo aula 3) Uma barra prismática com área de seção transversal A = 1200 mm2 é comprimida por uma força axial P = 90 kN.
(a) Determine as tensões agindo em uma seção inclinada pq cortada através da barra em um ângulo θ = 25º.
(b) Determine o estado de tensão normal para θ = 25º e mostre as tensões em um elemento de tensão devidamente orientado.
 
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2.6- Carregamento cíclico e fadiga
 O comportamento de uma estrutura não depende apenas da natureza do material, mas também da característica das cargas.
 Cargas estáticas: são aplicadas gradualmente, agem por longos períodos de tempos e variam lentamente.
 Cargas dinâmicas: por exemplo, as cargas de impacto agindo subitamente e as cargas cíclicas agindo por um grande número de ciclos.
 Alguns padrões típicos de cargas cíclicas são traçados na Figura 2.19. O gráfico (a) mostra uma carga que é aplicada, removida e aplicada novamente, sempre agindo na mesma direção.
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Figura 2.19
 O gráfico (b) mostra uma carga alternada que muda de direção durante cada ciclo de carregamento.
 e o (c) ilustra uma carga flutuante que varia em torno de um valor médio.
 As cargas cíclicas são normalmente associadas a máquinas, motores, turninas, geradores, engrenagens, propulsores, peças de avião e peças de automóveis. 
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 Estruturas submetidas a cargas dinâmicas tem maior probabilidade de falhar em tensões mais baixas do que se as mesmas cargas fossem aplicadas estaticamente, especialmente quando são repetidas por um grande número de ciclos. Em tais casos, a falha é geralmente causada por fadiga ou fratura progressiva. 
 Um exemplo cotidiano de uma falha por fadiga é o tensionamento de um clipe de metal até o ponto de ruptura. 
 Fadiga: pode ser definida como a deterioração de um material sob ciclos repetidos de tensão e deformação, resultando em trincas progressivas que por fim produzirão a fratura.
 Em uma típica falha por fadiga, uma trinca microscópica forma-se em um ponto de tensão alta e gradualmente cresce enquanto as cargas forem aplicadas repetidamente.
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 Quando a trinca fica tão grande que o material remanescente não consegue resistir às cargas, uma fratura súbita do material ocorre (Figura 2.20) .
 Um corpo de prova de um material é colocado em uma máquina de teste de fadiga e carregado ciclicamente até uma certa tensão, digamos σ1. Os ciclos de carregamento são mantidos até que a falha ocorra, e o número de n de ciclos de carregamento até ocorrer a falha é anotado. 
 O teste é então repetido para uma diferente tensão, digamos σ2. Se σ2 for maior que σ1, o números de ciclos até a falha será menor. 
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Figura 2.20
 A curva resistência da Figura 2.21 mostra que, quanto menor é a tensão, maior é o número de ciclos para produzir fadiga. Para alguns materiais, a curva tem uma assíntota horizontal conhecida como limite de fadiga ou limite de duração. 
 Diagrama S-N típico para aço e alumínio são ilustrados na Figura 2.22. A ordenada é a tensão de fadiga expressa como uma porcentagem da tensão última para o material, e a abscissa é o número de ciclos em qua falha ocorreu. 
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Figura 2.21
Figura 2.22
2.7- Concentrações de tensão
 Normalmente consideramos que a distribuição de cargas seja uniforme ao longo da seção transversal. 
 Na verdade, as barras geralmente têm furos, ranhuras, chanfros, rasgos de chaveta, cantos vivos, roscas e outras mudanças abruptas na geometria que criam uma perturbação no padrão uniforme de tensão. 
 As concentrações de tensão também aparecem em pontos de carregamento, uma carga pode agir sobre uma área bem pequena e produzir altas tensões na região ao redor de seu ponto de seu ponto de aplicação. 
 Princípio de Saint-Venant
 Para ilustrar a natureza de concentrações de tensão, considere as tensões em uma barra de seção transversal retangular (largura b, espessura t) submetida a uma carga concentrada P na extremidade (Figura 2.23).
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 A tensão de pico diretamente sob a carga pode ser várias vezes a tensão média P/bt, dependendo da área sobre a qual a carga está aplicada. 
 Entretanto, a tensão máxima diminui rapidamente quando nos distanciamos do ponto de aplicação da carga, como ilustrado pelos diagramas de tensão na figura. 
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 Dessa forma, podemos fazer uma afirmação geral de que a equação σ =P/A fornece as tensões axiais em uma seção transversal apenas quando esta está pelo menos a uma distância b de qualquer carga concentrada ou qualquer descontinuidade de forma, em que b é a maior dimensão da barra.
Figura 2.23
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Sistema de cargas concentradas agindo sobre uma pequena região de uma barra
 Sistema estaticamente equivalente.
 (a) e (b) Distribuição de tensão em uma barra achatada com um furo circular.