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TRIGONOMETRIA
1º Bimestre
Aula 2
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Professor Luciano Nóbrega
Maria Auxiliadora
Elementos de um triângulo retângulo
A
C
B
a
b
c
a
 Hipotenusa
(Lado oposto ao ângulo reto)
 catetob
 cateto
c
º180ˆˆˆ  CBA
º180ˆˆº90  CB
º90ˆˆ CB
Os ângulos agudos de um triângulo 
retângulo são complementares.

oposto ao ângulo ß
adjacente ao ângulo ß
ß
Lembre-se: A soma das medidas dos ângulos internos de qualquer
triângulo resulta sempre em 180º.
2
Razões Trigonométricas
3
4
5
TERNA PITAGÓRICA
Este triângulo merece um destaque ESPECIAL.
Observe que as medidas dos seus lados, atende ao 
TEOREMA DE PITÁGORAS:
5² = 3² + 4²
Ou seja, 25 = 9 + 16
Se multiplicarmos as medidas dos 
lados deste triângulo por um mesmo 
número real positivo diferente de 1, 
obteremos outro triângulo retângulo 
semelhante a este. 
8
10
6
2,5
2
1,5
α
3
Razões Trigonométricas
3
α
5
8
10
6
2,5
2
1,5
Vamos fazer algumas comparações nesses três triângulos sobrepostos:
_cateto oposto ao ângulo α_
hipotenusa
=_1,5_
2,5
= _3_
5
= _6_
10
= 0,6sen α =
_cateto adjacente ao ângulo α_
hipotenusa
=_2_
2,5
= _4_
5
4
= _8_
10
= 0,8cos α =
_cat. op. a α_
cat. Adj. a α
=_1,5_
2
= _3_
4
= _6_
8
= 0,75tg α =
4
Razões Trigonométricas
A
C
B
a
b
c
a
seno do ângulo B =
cateto oposto ao ângulo B
hipotenusa
seno de um ângulo =
cateto oposto ao ângulo
hipotenusa
seno do ângulo C = cateto oposto ao ângulo C
hipotenusa
sen B = b/a
sen C = c/a
5
Razões Trigonométricas
A
C
B
b
c
a
cosseno do ângulo B = cateto adjacente ao ângulo B
hipotenusa
cosseno de um ângulo =
cateto adjacente ao ângulo
hipotenusa
cosseno do ângulo C = cateto adjacente ao ângulo C
hipotenusa
cos B = c/a
cos C = b/a
6
Razões Trigonométricas
A
C
B
b
c
a
tangente do ângulo B =
cateto oposto ao ângulo B
tangente do ângulo C =
cateto oposto ao ângulo C
tangente de um ângulo =
cateto oposto ao ângulo
cateto adjacente ao ângulo
cateto adjacente ao ângulo B
cateto adjacente ao ângulo C
tg B = b/c
tg C = c/b
7
Consequências das definições
a
b
a
c
A
C
B
a
b
c
a
b
c
sen B =
tg C =
cos B = cos C =
sen C =
tg B =
c
b
a
b
a
c
b
c
_
1ª CONSEQUÊNCIA - Como B e C são ângulos complementares,
podemos observar que o seno de um é igual ao cosseno do outro;
2ª CONSEQUÊNCIA - Observamos também que a tangente de um
ângulo é igual ao inverso da tangente do outro. tg B = 1/tg C
sen B = cos C sen C = cos B
8
Consequências das definições
A
C
B
a
b
c
a
b
c
3ª CONSEQUÊNCIA
(Relação fundamental da trigonometria)
sen²α + cos²α = 1
DEMONSTRAÇÃO:
sen B = b/a
cos B = c/a
Elevando os membros ao quadrado:
sen² B = (b/a)²
cos² B = (c/a)²
Somando as duas equações: sen² B + cos² B = (b/a)² + (c/a)²
Desenvolvendo o 2º menbro: sen² B + cos² B = b²/a² + c²/a²
sen² B + cos² B = (b² + c²)/a²
sen² B + cos² B = (a²)/a² = 1 9
Ora, mas b2 + c2 = a2 (Teorema de Pitágoras),
então:
4ª CONSEQUÊNCIA
DEMONSTRAÇÃO:
sen B = b/a
cos B c/a
sen B = b . a
cos B a . c
sen B = b
cos B c
= tg B
Ângulos Notáveis
2l
l
Razões Trigonométricas do ângulo de 45º
A B
CD
sen 45º =  sen 45º =
Considere o quadrado ABCD, com lado de medida ℓ.
ℓ
ℓ
d = ℓ 
2
A diagonal AC desse quadrado mede d = ℓ .
2
Destaquemos do quadrado o triângulo ABC.
Temos: 1
2
1
45º
 sen 45º =
2
2
2l
l
cos 45º =
1
2
2
l
ltg 45º =  tg 45º = 1
Observe que os valores das razões trigonométricas não dependem da medida do lado do quadrado.
=
10
Ângulos Notáveis
Razões Trigonométricas do ângulo de 30º
Considere agora o triângulo eqüilátero ABC, com lado de medida ℓ .
A
B C
ℓ
A altura AH do triângulo mede
2
3l
h 
.
H
.
h
Destaquemos do ABC o AHC.
Temos:
sen 30º =
30º
ℓ
2
l
l
2  sen 30º =
ℓ
2
1
ℓ 
.  sen 30º = 1
2
cos 30º =
l
l
2
3
 cos 30º =  cos 30º =1
ℓ 
.ℓ
2
3
2
3
tg 30º =
2
3
2
l
l
 tg 30º =
ℓ
2
.
ℓ
2
3
 tg 30º =
3
3
1
11
Ângulos Notáveis
Razões Trigonométricas do ângulo de 60º
Destaquemos novamente o AHC, temos:
cos 60º =
l
l
2  cos 60º =
ℓ
2
1
ℓ 
.  cos 60º = 1
2
sen 60º =
l
l
2
3
 sen 60º =  sen 60º =
1
ℓ 
.ℓ
2
3
2
3
tg 60º =
2
2
3
l
l  tg 60º =  tg 60º = 3
1
A
B C
ℓ
H
.
h
60º
ℓ
2
ℓ
2
3 2
ℓ 
.
12
Resumo
Vamos colocar numa tabela os valores encontrados:
Ângulo 30º 45º 60º
seno
cosseno
tangente
2
1
2
1
2
3
2
3
2
2
2
2
3
3 31
13
Música Dos Ângulos Notáveis
“1, 2, 3... 3, 2, 1...
Coloca o “2” embaixo de todo mundo
E raiz onde não tem “1”
3, 1, 3... Coloca raiz no “3”
E divide o primeiro por 3”
EXEMPLO: 
No triângulo retângulo abaixo, qual é o 
valor do cosseno de  ?
X
10cm
8cm
10² = 8² + x²
Cos  =


10
6
5
3
_x_ =
10
HIP ² = CAT ² + CAT ²
14
SOLUÇÃO: 
_C. A._ =
HIP
Mas, como descobrir o valor de x ?
100 = 64 + x²
36 = x²
x = 6
EXEMPLO:
Uma escada de 12m de comprimento esta apoiada em 
um prédio fazendo com este um ângulo de 60º. Qual é 
a altura do prédio? 
h
Sen 30º =
HIP
C.O
HIP
C.O
12
h
2
1

 0º 30º 45º 60º 90º 
SEN 0 
2
1
 
2
2
 
2
3
 1 
COS 1 
2
3
 
2
2
 2
1
 0 
TAN 0 
3
3
 1 
3
 

 
 
12m
  2h=12  h=6m
60º
30º
15
SOLUÇÃO:
Inicialmente, façamos um esboço que 
represente a situação descrita.
16
1 – (UFRN) Observe a figura a seguir e determine a altura “h” do 
edifício, sabendo que AB mede 25m e cos Θ = 0,6 .
TESTANDO OS CONHECIMENTOS
GABARITO: 1) 20 m
2 – (UFCE) Em certa hora do dia, os raios do Sol incidem sobre um local 
plano com uma inclinação de 60º em relação à horizontal. Nesse 
momento, o comprimento da sombra de uma construção de 6m de 
altura será, aproximadamente:
A) 10,2 m
B) 8,5 m
C) 5,9 m
D) 4,2 m
E) 3,4 m
17
3 – (UFPA) A figura representa um barco atravessando
um rio, partindo de A em direção ao ponto B. A forte correnteza
arrasta o barco em direção ao ponto C, segundo
um ângulo de 60º. Sendo a largura do rio de 120m, a
distância percorrida pelo barco até o ponto C, é:
A) 240 √3 m
B) 240 m
C) 80 √3 m
D) 80 m
E) 40 √3 m
TESTANDO OS CONHECIMENTOS
4 – (UFPA) Para permitir o aceso a um monumento que está em um
pedestal de 2m de altura, vai ser construída uma rampa
com inclinação de 30 com o solo, conforme a ilustração.
O comprimento da rampa será igual a:
A) √3/2 m
B) √3 m
C) 2 m
D) 4 m
E) 4√3 m 
18
5 – (UFRN) Um observador, no ponto O da figura, vê um
prédio segundo um ângulo de 75°. Se esse observador
está situado a uma distância de 12m do prédio e a 12m
de altura do plano horizontal que passa pelo pé do prédio,
então a altura do prédio, em metros, é:
A) 4(3 + √3).
B) √3.
C) √3/2.
D) 6(√2 + 2).
E) ½.
TESTANDO OS CONHECIMENTOS
6 – (UFRS) Uma torre vertical é presa por 
cabos de aço fixos no chão, em um terreno 
plano horizontal, conforme mostra a 
figura. Se A está a 15m da base B da torre 
e C está a 20m de altura, comprimento do 
cabo AC é:
A) 15 m B) 20 m C) 25 m
D) 35 m E) 40 m 
19
7 – Uma pessoa na margem de um rio vê, sob um ângulo de 
60º, o topo de uma torre na margem oposta. Quandoela se 
afasta 40 metros perpendicularmente à margem do rio, esse 
ângulo é de 30º.
a) Qual a largura do rio?
b) Qual a altura da árvore?
TESTANDO OS CONHECIMENTOS
GABARITO: a) 20 m b) 20√3 
20
Do livro:
8 – Página 58 _ Questão 17 e 18
TESTANDO OS CONHECIMENTOS
9 – Página 59 _ Questão 21 e 23
10 – Página 63 _ Questão 30
11 – Página 66 _ Questão 32 e 34
12 – Página 68 _ Questão 36
13 – Página 69 _ Questão 37, 38 e 39
14 – Página 70 _ Questão 40 e 41
15 – Página 71 _ Questão 42
16 – Página 72 _ Questão 46 e 48
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