apostila de lógica - UFF

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- Departamento de Matema´tica Aplicada (GMA)
MATEMA´TICA BA´SICA
Notas de aula - versa˜o 3
2009-1
Marlene Dieguez Fernandez
Observac¸o˜es gerais
• A disciplina Matema´tica Ba´sica e´ oferecida no mesmo per´ıodo da disciplina Pre´-Ca´lculo. Os conteu´dos dessas
duas disciplinas sa˜o complementares e os to´picos de Pre´-Ca´lculo sera˜o bastante usados em Matema´tica Ba´sica.
• As listas de exerc´ıcios para os alunos praticarem o conteu´do de cada to´pico sera˜o distribu´ıdas separadamente.
UFF/GMA - Matema´tica Ba´sica - Parte I - Lo´gica e conjuntos Notas de aula - Marlene - 2009-1 2
Suma´rio
I Noc¸o˜es de lo´gica e conjuntos 2
1 Conjuntos 3
1.1 Conceito primitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Formas de descrever conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Atribuic¸a˜o de letra ou de nome a conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 A relac¸a˜o entre elemento e conjunto: o s´ımbolo ′′ ∈ ′′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Conjuntos especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5.1 Conjuntos nume´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5.2 Conjunto vazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5.3 Conjunto unita´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5.4 Conjunto finito e conjunto infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5.5 Conjunto universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Visualizac¸a˜o: Diagrama de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Primeiras noc¸o˜es de lo´gica 6
2.1 Afirmac¸a˜o ou sentenc¸a lo´gica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 O operador lo´gico ′′na˜o′′ e os conectivos lo´gicos ′′e′′ ′′ou′′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1 O operador ′′na˜o′′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.2 O conectivo ′′e′′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.3 O conectivo ′′ou′′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.4 Negac¸o˜es de ′′e′′ e de ′′ou′′: Leis de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Quantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.1 O quantificador universal: ′′ ∀ ′′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.2 O quantificador existencial: ′′ ∃ ′′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.3 As negac¸o˜es de ′′∃′′ e de ′′∀′′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Os conectivos lo´gicos =⇒ e ⇐⇒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.1 O conectivo =⇒ (implicac¸a˜o) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.2 Quando p =⇒ q e´ falso? ou seja, quando p 6=⇒ q e´ verdadeiro? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.3 O conectivo ⇐= (a rec´ıproca de =⇒) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.4 O conectivo ⇐⇒ (equivaleˆncia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Definic¸a˜o: o que e´? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Exemplos e contra-exemplos: quando usar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Outros conceitos da linguagem dos conjuntos 16
3.1 Igualdade, inclusa˜o e subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.1 Igualdade de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.2 Inclusa˜o e subconjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.3 A negac¸a˜o de ′′ ⊂ ′′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.4 Propriedades da inclusa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Operac¸o˜es com conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.1 Unia˜o e intersec¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.2 Conjuntos disjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.3 Diferenc¸a e complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.4 Propriedades das operac¸o˜es e do complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Noc¸o˜es da estrutura de teorias matema´ticas: axioma, postulado, hipo´tese, tese,
definic¸a˜o, propriedade, Teorema, ... 21
5 Te´cnicas de Demonstrac¸a˜o 22
5.1 Teste de todos casos admiss´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.2 Me´todo dedutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3 Reduc¸a˜o ao absurdo e contradic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.4 Me´todo indutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3
Parte I
Noc¸o˜es de lo´gica e conjuntos
Introduc¸a˜o
Porque estudar noc¸o˜es de lo´gica?
Se um problema foi resolvido, e´ claro que a lo´gica foi usada para resolveˆ-lo, mas sem o conhecimento de va´rias
informac¸o˜es sobre o problema, de nada adiantaria simplesmente usar a lo´gica, na˜o poder´ıamos ter encontrado a
soluc¸a˜o. Na verdade, a lo´gica funciona fazendo a ligac¸a˜o ou conexa˜o entre va´rias informac¸o˜es para poder concluir
novas informac¸o˜es.
O que pretendemos nesse in´ıcio de curso e´ formalizar alguns procedimentos lo´gicos ou itens da lo´gica, de forma
que se criarmos o ha´bito de aplicar esses procedimentos lo´gicos, com certeza na˜o chegaremos a concluso˜es erradas,
ta˜o comuns. Ale´m disso, tendo o claro conhecimento de quais sa˜o esses procedimentos lo´gicos, sempre poderemos
recorrer a eles para encontrar a soluc¸a˜o ou as poss´ıveis soluc¸o˜es ou concluir que um problema na˜o tem soluc¸a˜o,
bem como compreender ou demonstrar teoremas.
A lo´gica e os conjuntos.
O uso dos procedimentos lo´gicos podem ser exemplificados em qualquer a´rea de conhecimento humano, mas,
por simplicidade e facilidade, a maioria dos nossos exemplos sera˜o com conjuntos. Para isso, primeiramente vamos
rever conceitos da linguagem dos conjuntos. A seguir veremos as primeiras noc¸o˜es de lo´gica. Aplicaremos essas
noc¸o˜es de lo´gica a novos conceitos de conjuntos, voltaremos com mais noc¸o˜es de lo´gica que sera˜o aplicados aos
conjuntos. Isto e´, formalizac¸o˜es conceituais de itens da lo´gica e de conjuntos sera˜o vistos paralelamente.
1 Conjuntos
1.1 Conceito primitivo
Um conjunto e´ uma colec¸a˜o de objetos ou de elementos.
Observe que na˜o precisamos especificar a natureza desses elementos, juntando alguns elementos, com similari-
dade ou na˜o entre eles, ja´ conseguimos formar um conjunto.
Exemplos
1. os treˆs elementos carbono, hidrogeˆneo e oxigeˆneo formam um conjunto
2. gato, cachorro, cavalo e boi formam um conjunto
3. uva, mac¸a˜, gato e cachorro formam um conjunto
4. os animais mamı´feros formam um conjunto
5. os nu´meros inteiros entre 4 e 400 formam um conjunto
6. os nu´meros inteiros entre 1 e 10 junto com as 10 primeiras letras do alfabetoformam um conjunto
7. os nu´meros inteiros maiores do que −4 formam um conjunto
1.2 Formas de descrever conjuntos
Um conjunto pode ser descrito por:
• Listagem dos elementos entre chaves
Exemplos
1. { uva, mac¸a˜, gato, cachorro }
2. {−4,−2, 0, 2, 4}
3. {−100,−98,−96,−94, · · · , 94, 96, 98, 100}
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4. {20, 40, 60, · · · }
Observac¸a˜o sobre o s´ımbolo ′′ · · · ′′. Quando sa˜o muitos os elementos a serem listados, podemos usar o s´ımbolo
′′ · · · ′′ no lugar de toda a listagem, desde que fique claro quais sa˜o os elementos que foram substitu´ıdos por
′′ · · · ′′.
• Indicac¸a˜o da propriedade de seus elementos.
E´ comum usar essa forma de descric¸a˜o quando o conjunto tem muitos elementos.
As propriedades podem estar ou na˜o entre chaves, isto e´,
– podemos descrever em palavras: conjunto dos elementos que possuem a propriedade P
– podemos descrever em s´ımbolos: {x ; x possui a propriedade P }
No segundo caso ′′ ; ′′ tem o significado de ′′tal que′′. Tambe´m e´ comum usar ′′ | ′′ significando ′′tal que′′.
Exemplos
1. Conjunto (ou espe´cie) de animais mamı´feros.
2. {X tal que X e´ animal mamı´fero}.
3. {x; x e´ nu´mero inteiro par situado entre −100 e 100}.
4. {p | p = 20n e n = 1, 2, 3, 4, · · · }
Atenc¸a˜o: em matema´tica ou em lo´gica temos que ser bem claros ou precisos, na˜o pode haver du´vida sobre a
propriedade que descreve um conjunto.
Exemplo: conjunto de plantas bonitas na˜o faz sentido, beleza na˜o e´ propriedade porque e´ subjetiva.
1.3 Atribuic¸a˜o de letra ou de nome a conjunto
Por simplicidade, quando dentro de uma ou mais frases, precisamos nos referir a um mesmo conjunto va´rias vezes,
e´ aconselha´vel atribuirmos uma letra a esse conjunto, o usual e´ letra maiu´scula. Neste caso dizemos que a letra e´
igual ao conjunto com significado de nome ou letra representar o conjunto.
Obs. pode ser uma palavra ou uma u´nica letra que representa o conjunto, o que acharmos conveniente.
1. A representa o conjunto dos ı´mpares entre -100 e 100
A = conjunto dos ı´mpares entre -100 e 100
A = {−99,−97,−95,−93, · · · , 93, 95, 97, 99}
2. r e´ o conjunto dos pontos equidistantes de dois pontos fixos A e B, todos no mesmo plano
r = conjunto dos pontos equidistantes de dois pontos fixos A e B, todos no mesmo plano
Aqui preferi usar a letra minu´scula r, em geometria essa e´ a notac¸a˜o usual para retas. Observe que o conjunto
sa˜o os pontos de uma reta.
1.4 A relac¸a˜o entre elemento e conjunto: o s´ımbolo ′′ ∈ ′′
O s´ımbolo ′′ ∈ ′′ e´ usado para dizer que um elemento a pertence a um conjunto A, isto e´, a ∈ A.
O s´ımbolo ′′ 6∈ ′′ e´ usado para dizer que um elemento a na˜o pertence a um conjunto A, isto e´, a 6∈ A.
Exemplos
1. Seja P = conjunto dos nu´meros pares. 1000 ∈ P e 1001 6∈ P .
2. Seja A = conjunto dos valores de x que sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o (x− 2)(x+ 10) = 0.
Verifique que 2 ∈ A , −10 ∈ A, 0 6∈ A.
3. Seja B = conjunto dos valores de x que sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o (x− 2)(x+ 10) = 1.
Verifique que 3 6∈ B, −9 6∈ B, (√35− 4) ∈ B.
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1.5 Conjuntos especiais
1.5.1 Conjuntos nume´ricos
Os seguintes conjuntos nume´ricos sera˜o estudados com detalhes mais adiante.
• Conjunto dos nu´meros naturais, denotado por N = {1, 2, 3, · · · }
Provavelmente voceˆ esta´ surpreso com o fato do nu´mero zero na˜o fazer parte desse conjunto. Aqui cabe uma
observac¸a˜o de carater geral: uma das mais importantes caracter´ısticas da Matema´tica e´ ser uma linguagem
universal, por isso, usamos tantos s´ımbolos e conceitos. Se, na internet voceˆ usar um buscador para encontrar
< nu´meros naturais > ficara´ surpreso com a quantidade de sites de discussa˜o se o zero e´ ou na˜o um nu´mero
natural. Na verdade, estamos diante de um conceito matema´tico na˜o universal, considerar ou na˜o o zero um
nu´mero natural tem consequeˆncias, precisamos fazer uma escolha ou convenc¸a˜o. E´ claro que o nu´mero 0 e´
importante, por isso esta´ inclu´ıdo nos inteiros. Quando 0 e´ convencionado natural, sempre que uma afirmac¸a˜o
na˜o for verdadeira para n = 0 sera´ preciso dizer que n e´ natural, n > 0. Quando um texto (livro, notas de
aula, artigo, etc) fizer refereˆncia aos nu´meros naturais, procure em algum lugar no texto qual a convenc¸a˜o
usada para os naturais, em geral fica no in´ıcio, como estamos fazendo aqui.
• Conjunto dos nu´meros inteiros, denotado por Z = {· · · ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, · · · }.
• Conjunto dos nu´meros racionais, denotado por Q
• Conjunto dos nu´meros reais, denotado por R
• Conjunto dos nu´meros complexos, denotado por C
Por enquanto, vamos admitir que se apresentamos um nu´mero, sabemos dizer se esse nu´mero pertence ou na˜o
pertence a cada um desses conjuntos. Exemplos,
1. 10 ∈ N; 10 ∈ Z; 10 ∈ Q; 10 ∈ R; 10 ∈ C
2. −10 6∈ N; −10 ∈ Z; −10 ∈ Q; −10 ∈ R; −10 ∈ C
3. 25 6∈ N; 25 6∈ Z; 25 ∈ Q; 25 ∈ R; 25 ∈ C
4.
√
2 6∈ N; √2 6∈ Z; √2 6∈ Q; √2 ∈ R; √2 ∈ C
5.
√−2 6∈ N; √−2 6∈ Z; √−2 6∈ Q; √−2 6∈ R; √−2 ∈ C
1.5.2 Conjunto vazio
Se na˜o ha´ como listar elementos ou na˜o ha´ elemento que possui a propriedade do conjunto dizemos que esse e´ um
conjunto vazio. Denotamos um conjunto vazio pelos s´ımbolos { } ou ∅.
Exemplos
1. O conjunto dos animais imortais e´ um conjunto vazio.
2. O conjunto dos nu´meros reais simultaneamente maiores do que zero e menores do que zero e´ vazio.
1.5.3 Conjunto unita´rio
Um conjunto e´ dito um conjunto unita´rio quando possui um u´nico elemento.
Exemplos
1. A = conjunto dos pa´ıses pentacampeo˜es da Copa do Mundo ate´ o ano de 2009.
O Brasil e´ o u´nico elemento desse conjunto A !!!
2. Conjunto dos nu´meros reais aproximados em duas casas decimais que resultam da extrac¸a˜o da raiz quadrada
do nu´mero 2.
O u´nico elemento desse conjunto e´ 1,41.
3. Conjunto dos nu´meros reais que resultam da extrac¸a˜o da raiz quadrada do nu´mero 9.
O u´nico elemento desse conjunto e´ 3.
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1.5.4 Conjunto finito e conjunto infinito
Um conjunto A e´ dito finito quando e´ poss´ıvel contar todos os seus elementos. O resultado dessa contagem e´
chamado de nu´mero de elementos do conjunto A ou cardinal de A, denotado por # A, com valor poss´ıvel 0 ou
nu´mero natural.
Observac¸o˜es
• Elementos repetidos sa˜o contados uma u´nica vez.
• Apesar de na˜o ser poss´ıvel contar os elementos do conjunto vazio, por convenc¸a˜o e coereˆncia com o que sera´
visto adiante sobre outros conceitos de conjuntos (unia˜o e intersec¸a˜o), diz-se que o conjunto vazio e´ finito e
possui 0 elementos.
• Se um conjunto na˜o e´ finito podemos dizer qualquer uma das duas afirmac¸o˜es: o conjunto e´ infinito ou possui
uma infinidade de elementos. Denota-se por #A =∞.
Exemplos
1. A = {−100,−98,−96,−94, · · · , 94, 96, 98, 100} e´ finito. #A = 101. Verifique.
2. A = conjunto dos nu´meros reais simultaneamente maiores do que zero e menores do que zero e´ finito. #A = 0.
3. A = {0, 2, 4, · · · , 94, 96, 98, 100, . . .} e´ infinito ou possui uma infinidade de elementos. #A =∞.
4. A = conjunto dos nu´meros reais entre -100 e 100 e´ infinito ou possui uma infinidade de elementos. #A =∞.
1.5.5 Conjunto universo
O conjunto Universo e´ o maior conjunto no contexto que estamos trabalhando (livro, cap´ıtulo de livro, tese, notas
de aula, teoria, problema, etc).
Em alguns casos ha´ necessidade de citar qual o conjunto Universo esta´ sendo considerado, pois dependendo do
conjunto universo, chega-se a concluso˜es distintas. Por exemplo, A =
{
x;x e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o 4x2 = 25
}
.
Se o conjunto universo (isto e´, o conjunto em que devemos encontrar os valores de x) sa˜o os racionais ou os
reais, encontramosduas soluc¸o˜es, x = 52 e x = − 52 . Se o conjunto universo sa˜o os inteiros, na˜o ha´ soluc¸a˜o.
E´ usual explicitar o conjunto universo no in´ıcio, se no exemplo anterior o conjunto universo sa˜o os racionais,
dever´ıamos ter escrito: A =
{
x ∈ Q;x e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o 4x2 = 25}.
1.6 Visualizac¸a˜o: Diagrama de Venn
Dado um conjunto, atribuimos uma letra a esse conjunto e envolvemos ou
cercamos essa letra com uma curva fechada qualquer, como na figura ao lado.
A curva e a letra formam o Diagrama de Venn, uma representac¸a˜o visual do
conjunto. A figura ao lado e´ o diagrama de Venn de um conjunto A.
Quando estamos lidando com va´rios conjuntos e as relac¸o˜es existentes entre
eles, a representac¸a˜o dos conjuntos em diagramas de Venn e´ particularmente
u´til. Veremos exemplos mais adiante.
A
2 Primeiras noc¸o˜es de lo´gica
2.1 Afirmac¸a˜o ou sentenc¸a lo´gica
Uma afirmac¸a˜o pode ser considerada uma afirmac¸a˜o ou sentenc¸a lo´gica quando for poss´ıvel atribuir um e so´ um
dos dois valores a essa afirmac¸a˜o: verdadeiro ou falso.
Observac¸o˜es
• Algumas afirmac¸o˜es na˜o sa˜o consideradas afirmac¸o˜es lo´gicas. Por exemplo, ”mac¸a˜ e´ uma fruta sem grac¸a”
tem muita subjetividade, uns va˜o responder que e´ verdadeira, outros va˜o responder que e´ falsa por causa do
”sem grac¸a”. Logo essa na˜o e´ uma afirmac¸a˜o lo´gica.
Se a afirmac¸a˜o fosse apenas ”mac¸a˜ e´ uma fruta”, todos iriam responder que e´ verdadeira. Logo essa e´ uma
afirmac¸a˜o lo´gica.
Se a afirmac¸a˜o fosse ”mac¸a˜ e´ um legume”, todos iriam responder que e´ falso. Logo essa e´ uma afirmac¸a˜o
lo´gica.
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• Uma afirmac¸a˜o lo´gica pode ter um termo varia´vel ou indeterminado, por exemplo ′′x e´ um nu´mero real′′ .
Dependendo do valor que se atribua a` letra x podemos responder se a sentenc¸a e´ verdadeira ou falsa. Neste
caso, diz-se que e´ uma afirmac¸a˜o aberta ou sentenc¸a lo´gica aberta .
• Caso na˜o exista termo varia´vel ou indeterminado na afirmac¸a˜o, dizemos que e´ uma afirmac¸a˜o fechada ou
sentenc¸a lo´gica fechada . Por exemplo, ′′o nu´mero 10.000 e´ uma poteˆncia de 10′′ e´ uma afirmac¸a˜o lo´gica
fechada e e´ verdadeira. ′′o nu´mero 300 e´ divis´ıvel por 10.000′′ e´ uma afirmac¸a˜o lo´gica fechada e e´ falsa.
• E´ bastante comum usar a palavra proposic¸a˜o em vez de afirmac¸a˜o. Assim, podemos substituir a palavra
afirmac¸a˜o pela palavra proposic¸a˜o em tudo que foi dito acima. Ora vamos usar uma, ora outra.
• Quando e´ pedido ”verificar que uma afirmac¸a˜o ou proposic¸a˜o e´ verdadeira”, ja´ esta´ dito que e´ verdadeira,
e´ so´ para provar que e´ verdadeira. Por exemplo, ′′Verifique que 2437 e´ um nu´mero primo′′, ja´ esta´ dizendo
que e´ verdadeiro que o nu´mero 2437 e´ primo, esta´ sendo pedido para provar que e´ um nu´mero primo.
Quando e´ pedido ”verificar se uma afirmac¸a˜o ou proposic¸a˜o e´ verdadeira”, na˜o esta´ dito que e´ verdadeira,
a resposta pode ser uma das duas, verdadeira ou falsa. ′′Verifique se 4693 e´ um nu´mero primo′′, na˜o esta´
afirmando que e´ verdaderio, nem que e´ falso, e´ preciso descobrir, a resposta podera´ ser verdadeira ou falsa.
• Muitas afirmac¸o˜es sa˜o da forma: ”suponha que x possui a propriedade P”. Neste caso a u´nica possibilidade
e´ x possuir a propriedade P ser verdadeiro, isto e´, no lugar de x, so´ podemos atribuir um valor que possui a
propriedade P .
• Por simplicidade, podemos atribuir letras a uma afirmac¸a˜o, por exemplo ′′p: suponha x um nu´mero inteiro
maior que 10′′.
• Uma afirmac¸a˜o pode ser uma afirmac¸a˜o ou sentenc¸a simples, isto e´, com uma u´nica sentenc¸a, bem como
pode ser uma afirmac¸a˜o ou sentenc¸a composta , isto e´, formada por va´rias afirmac¸o˜es, todas ligadas
entre si por termos com significado lo´gico bem definido, chamados conectivos lo´gicos. Veremos alguns desses
conectivos com detalhes nas pro´ximas sec¸o˜es.
2.2 O operador lo´gico ′′na˜o′′ e os conectivos lo´gicos ′′e′′ ′′ou′′
2.2.1 O operador ′′na˜o′′
A toda afirmac¸a˜o ′′p′′ corresponde uma afirmac¸a˜o ′′na˜o p′′ e denotamos ′′ ∼ p′′.
Observac¸a˜o:
- Quando p e´ verdadeira, ∼ p e´ falsa.
- Quando p e´ falsa, ∼ p e´ verdadeira.
Exemplos
1. p : −2 e´ um nu´mero inteiro (p e´ verdadeira) na˜o p : −2 na˜o e´ um nu´mero inteiro (na˜o p e´ falsa)
2. q : 10 e´ mu´ltiplo de 3 (q e´ falsa) na˜o q : 10 na˜o e´ mu´ltiplo de 3 (na˜o q e´ verdadeira)
3. r : − 3810 esta´ entre −4 e −3 (r e´ verdadeira) ∼ r : − 3810 na˜o esta´ entre −4 e −3 (∼ r e´ falsa)
4. p : x e´ um nu´mero maior do que zero ∼ p : x na˜o e´ um nu´mero maior do que zero
5. p : x e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o 2x− 1 = 4 na˜o p : x na˜o e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o 2x− 1 = 4
6. p : {x ∈ R; 2x− 1 = 4} = { 52} na˜o p : {x ∈ R; 2x− 1 = 4} 6= { 52}
2.2.2 O conectivo ′′e′′
Dadas duas afirmac¸o˜es ′′p ′′ e ′′q′′, podemos formar uma afirmac¸a˜o composta ′′p e q′′ tal que
′′p e q′′ tem como u´nica possibilidade de ser verdadeira quando ′′p ′′ e´ verdadeira e ′′q′′ e´ verdadeira.
Uma outra notac¸a˜o usual e´ ′′p ∧ q′′. Usaremos indistintamente uma das duas: ′′p e q′′ ou ′′p ∧ q′′.
Exemplos
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1. p : 20 e´ par (V) q : 20 e´ maior do que 10 (V) p e q: 20 e´ par e maior do que 10 (V)
2. p : 20 e´ par (V) q : 20 e´ menor do que 10 (F) p e q: 20 e´ par e menor do que 10 (F)
3. p : 20 e´ ı´mpar (F) q : 20 e´ maior do que 10 (V) p e q: 20 e´ ı´mpar e maior do que 10 (F)
4. p : 20 e´ ı´mpar (F) q : 20 e´ menor do que 10 (F) p ∧ q: 20 e´ par e menor do que 10 (F)
5. p : se x e´ par e´ V q : se x e´ maior do que 10 e´ V p e q: x e´ par e maior do que 10 e´ V
6. p : x ∈ A (V) q : x ∈ B (V) p ∧ q : x ∈ A e x ∈ B (V)
7. p : x ∈ A (V) q : x ∈ B (V) ∼ q : x 6∈ B (F) p ∧ ∼ q : x ∈ A e x 6∈ B (F)
8. p : x ∈ A (V) ∼ p : x 6∈ A (F) q : x ∈ B (V) ∼ p ∧ q : x 6∈ A e x ∈ B (F)
9. p : x ∈ A (V) ∼ p : x 6∈ A (F) q : x ∈ B (V) ∼ q : x ∈ B (F) ∼ p ∧ ∼ q : x 6∈ A e x 6∈ B (F)
2.2.3 O conectivo ′′ou′′
Dadas duas afirmac¸o˜es ′′p ′′ e ′′q′′, podemos formar uma afirmac¸a˜o composta ′′p ou q′′ tal que
′′p ou q′′ e´ verdadeira quando pelo menos uma das afirmac¸o˜es ′′p′′ ou ′′q′′ e´ verdadeira.
Uma outra notac¸a˜o usual e´ ′′p ∨ q′′. Usaremos indistintamente uma das duas: ′′p ou q′′ ou ′′p ∨ q′′.
Observac¸a˜o:
O ′′ou′′ lo´gico tem o mesmo significado do ′′e/ou′′ da nossa linguagem corrente.
Na linguagem corrente, apenas ′′ou′′ muitas vezes significa um ou outro, na˜o os dois simultaˆneamente. Por exem-
plo, ′′o documento devera´ ser assinado pelo diretor ou pelo sub-diretor′′. Em lo´gica, este ′′ou′′ e´ dito ′′ou exclusivo′′.
Exemplos
1. p : 20 e´ par (V) q : 20 e´ negativo (F) ′′p ∨ q′′: 20 e´ par ou negativo (V)
2. p : 20 e´ ı´mpar (F) q : 20 e´ positivo (V) ′′p ∨ q′′: 20 e´ ı´mpar ou positivo (V)
3. p : 20 e´ par (V) q : 20 e´ positivo (V) ′′p ∨ q′′: 20 e´ par ou positivo (V)
4. p : 20 e´ ı´mpar (F) q : 20 e´ negativo (F) ′′p ∨ q′′: 20 e´ ı´mpar ou negativo (F)
5. p : o carro avanc¸ou sinal (V) q : o carro derrapou (V) ′′p ∨ q′′: o carro avanc¸ou sinal ou derrapou (V)
6. p : o carro avanc¸ou sinal (V) q : o carro derrapou (F) ′′p ∨ q′′: o carro avanc¸ou sinal ou derrapou (V)
7. p : o carro avanc¸ou sinal (F) q : o carro derrapou (V) ′′p ∨ q′′: o carro avanc¸ou sinal ou derrapou (V)
8. p : o carro avanc¸ou sinal (F) q : o carro derrapou (F) ′′p ∨ q′′: o carro avanc¸ou sinal ou derrapou (F)
2.2.4 Negac¸o˜es de ′′e′′ e de ′′ou′′: Leis de De Morgan
Dadas as afirmac¸o˜es p e q, sa˜o va´lidas as seguintes leis:
(I) ∼ (p e q) tem o mesmo significado de ∼ p ou ∼ q
(II) ∼ (p ou q) tem o mesmo significado de ∼ p e ∼ q
Para verificar (I), basta construir as quatro possiblidades para p e q e verificar que em qualquer dos casos os
resultados que aparecem na 6a. e 7a. coluna abaixo sa˜o iguais.p q ∼ p ∼ q (p e q) ∼ (p e q) (∼ p ou ∼ q)
V V F F V F F
V F F V F V V
F V V F F V V
F F V V F V V
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Para verificar (II), basta construir as quatro possiblidades para p e q e verificar que em qualquer dos casos os
resultados que aparecem na 6a. e 7a. coluna abaixo sa˜o iguais.
p q ∼ p ∼ q (p ou q) ∼ (p ou q) (∼ p e ∼ q)
V V F F V F F
V F F V V F F
F V V F V F F
F F V V F V V
Exemplos
1. (p e q) : x e´ par e positivo ∼ (p e q) : x na˜o e´ par ou x na˜o e´ positivo
2. (p ou q) : n e´ mu´ltiplo de 2 ou de 5 ∼ (p ou q) : n na˜o e´ mu´ltiplo de 2 e na˜o e´ mu´ltiplo de 5
3. (p e q) : 36 e´ mu´ltiplo de 3 e de 2 (V) ∼ (p e q) : 36 na˜o e´ mu´ltiplo de 3 ou na˜o e´ mu´ltiplo de 2 (F)
4. (p e q) : 32 e´ mu´ltiplo de 2 e de 5 (F) ∼ (p e q) : 32 na˜o e´ mu´ltiplo de 2 ou na˜o e´ mu´ltiplo de 5 (V)
5. (p e q) : 3 ∈ A e 4 ∈ A ∼ (p e q) : 3 6∈ A ou 4 6∈ A
6. (p ou q) : 8 ∈ B ou 10 ∈ B ∼ (p ou q) : 8 6∈ B e 10 6∈ B
2.3 Quantificadores
2.3.1 O quantificador universal: ′′ ∀ ′′
Quando queremos nos referir a todos os elementos de um conjunto A, dizemos:
para todo x ∈ A, usamos o s´ımbolo ∀x ∈ A.
Outras formas de escrever, com mesmo significado: para qualquer x ∈ A, para qualquer que seja x ∈ A.
Exemplos
1.
√
x ≥ 0 ∀x; x ∈ R e x ≥ 0
2. Considere A = conjunto dos mu´ltiplos de 10. Podemos verificar que: ∀x ∈ A, x e´ par.
2.3.2 O quantificador existencial: ′′ ∃ ′′
Quando queremos nos referir a alguns dos elementos de um conjunto A, dizemos:
para algum x ∈ A, usamos o s´ımbolo ∃x ∈ A.
Exemplos
1. ∃x ∈ R tal que √x > 3. Neste caso existe uma infinidade de valores de x ∈ R, mas na˜o sa˜o todos.
2. ∃x ∈ Q tal que 5x = 1. Neste caso existe apenas um valor de x ∈ Q, x = 15 .
3. x2 = 9 para algum x ∈ R, ou, escrevendo de outra forma, ∃x ∈ R; x2 = 9.
Neste caso existem dois valores de x ∈ R, sa˜o: x = +√9 = +3 ou x = −√9 = −3.
4. Dada uma constante a ∈ R; a ≥ 0, podemos afirmar que ∃x ∈ R; x2 = a.
No caso a = 0 existe um valor de x ∈ R que e´ x = 0
No caso a > 0, existem dois valores de x ∈ R, sa˜o: x = +√a ou x = −√a.
Observac¸a˜o: a seguir temos va´rias formas alternativas de escrever afirmac¸o˜es, todas com mesmo significado.
• A propriedade P e´ va´lida para algum x ∈ A.
• A propriedade P e´ va´lida para pelo menos um x ∈ A.
• Para algum x ∈ A, x possui a propriedade P.
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• Para pelo menos um x ∈ A, x possui a propriedade P.
• Existe x ∈ A tal que x possui a propriedade P (′′ tal que ′′ pode ser substitu´ıdo por ′′ ; ′′).
• Existe pelo menos um x ∈ A; x possui a propriedade P.
• Existe algum x ∈ A; x possui a propriedade P.
• ∃x ∈ A; x possui a propriedade P.
2.3.3 As negac¸o˜es de ′′∃′′ e de ′′∀′′
A negac¸a˜o de p : ∀x; x possui a propriedade P e´ ∼ p : ∃x; x na˜o possui a propriedade P
A negac¸a˜o de p : ∃x ∈ A; x possui a propriedade P e´ ∼ p : ∀x ∈ A; x na˜o possui a propriedade P
Mas a negac¸a˜o de p tambe´m pode ser: ∼ p : 6 ∃x ∈ A; x possui a propriedade P
Exemplos
1. p : x ≥ 1 ∀x ∈ R (F) ∼ p : ∃x ∈ R; x < 1 (V)
2. p : ∀a constante real, x2 = a2 admite soluc¸a˜o real (V)
∼ p : ∃a constante real: x2 = a2 na˜o admite soluc¸a˜o real (F)
3. p : Existe algum planeta que possui seres vivos (V). Justificativa: o planeta Terra possui seres vivos.
∼ p : Todos os planetas na˜o possuem seres vivos (F). Justificativa: o planeta Terra possui seres vivos.
4. p : Existe algum planeta que na˜o possui seres vivos (pode ser V ou pode ser F).
Por enquanto, na˜o ha´ justificativa para verdadeira nem para falsa.
∼ p : Todos os planetas possuem seres vivos (pode ser F ou pode ser V, respectivamente)
2.4 Os conectivos lo´gicos =⇒ e ⇐⇒
2.4.1 O conectivo =⇒ (implicac¸a˜o)
Dadas duas afirmac¸o˜es (ou proposic¸o˜es) p e q
temos que a afirmac¸a˜o (ou proposic¸a˜o) p =⇒ q e´ verdadeira quando
sempre que p e´ uma afirmac¸a˜o verdadeira enta˜o q tambe´m e´ uma afirmac¸a˜o verdadeira
Em outras palavras, estamos supondo que sa˜o dadas duas afirmac¸o˜es, p e q e supomos tambe´m que p e´
verdadeira. Neste caso, quando p e´ verdadeira, o que acontece com q? e´ verdadeira ou falsa? Se de alguma forma
conseguirmos concluir que q so´ pode ser verdadeira, dizemos que p =⇒ q.
Observac¸o˜es
• Esse de ′′alguma forma conseguimos concluir que e´ verdadeira′′, podemos citar que algue´m ja´ conseguiu
provar a conclusa˜o ou que a conclusa˜o foi provada em algum lugar ou temos que provar a conclusa˜o. Existem
va´rios me´todos de prova, mais adiante veremos alguns.
• Ha´ va´rias formas alternativas de escrever a afirmac¸a˜o ou proposic¸a˜o p =⇒ q , todas com mesmo
significado, algumas esta˜o listadas a seguir. Sugesta˜o: leia antes o exemplo 1.
– Se p e´ uma afirmac¸a˜o verdadeira enta˜o q e´ uma afirmac¸a˜o verdadeira.
– Se p enta˜o q.
– p implica em q (da´ı vem a palavra implicac¸a˜o)
– p implica q
– p verdadeira e´ uma condic¸a˜o suficiente para q verdadeira.
– p e´ condic¸a˜o suficiente para q.
– Se p e´ verdadeira, garante-se que q e´ verdadeira.
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– Se ∼ q e´ verdadeira enta˜o ∼ p e´ verdadeira.
Essa precisamos verificar que de fato tem o mesmo significado. Vejamos, primeiro estamos admitindo
que ∼ q e´ verdadeira, isto e´ q e´ falsa. Mas p so´ tem uma das duas possibilidades, verdadeira ou
falsa. Se p for verdadeira, como admitimos que p =⇒ q, temos que q e´ verdadeira. Como assim?
q na˜o pode ser verdadeira e falsa, logo p na˜o pode ser verdadeira, p so´ pode ser falsa, isto e´, ∼ p e´
verdadeira, como quer´ıamos verificar.
– Se q e´ falsa enta˜o p e´ falsa. (idem anterior)
– Se ∼ q e´ verdadeira =⇒ ∼ p e´ verdadeira.
– Se q e´ falsa =⇒ p e´ falsa.
– q ser verdadeira e´ uma condic¸a˜o necessa´ria para p ser verdadeira.
A condic¸a˜o q precisa ser verdadeira, porque se q fosse falsa, enta˜o p seria falsa tambe´m, como vimos em
para´grafo anterior.
– q e´ uma condic¸a˜o necessa´ria para p.
– Uma condic¸a˜o necessa´ria para p ser verdadeira e´ q ser verdadeira.
– Uma condic¸a˜o necessa´ria para p e´ q.
• O conectivo lo´gico =⇒ e´ transitivo, ou seja, se p =⇒ q e q =⇒ r enta˜o p =⇒ r.
Ver exemplo 2.
• ATENC¸A˜O. Em nenhum lugar admitimos como primeira condic¸a˜o p e´ falsa, simplesmente porque a afirmac¸a˜o
p =⇒ q so´ garante o que acontece quando p e´ verdadeira, e´ omissa quando p e´ falsa. Isso significa que quando
p e´ falsa e so´ sabemos que p =⇒ q, nada podemos concluir sobre q, isto e´, tanto q pode ser verdadeira quanto
q pode ser falsa. Ver exemplo 3.
Exemplos
1. A = conjunto das infrac¸o˜es de traˆnsito num pa´ıs ideal.
B = conjunto das penalidades de traˆnsito num pa´ıs ideal.
Obs. pa´ıs ideal e´ aquele onde de fato a lei e´ aplicada.
Uma das infrac¸o˜es e´ ′′invadir sinal′′ que significa desobedecer sinal vermelho.
Uma das penalidades e´ ser multado.
Uma das leis e´: invadir sinal sera´ penalizado com multa e perdera´ sete pontos na carteira de habilitac¸a˜o.
Dessa lei, podemos concluir que
p: invadir sinal (V) =⇒ q : recebe multa (V)
• Podemos escrever tambe´m em uma das formas listadas a seguir, com mesmo significado.
– invadir sinal =⇒ receber multa
– Se p: invadir sinal (V) enta˜o q : recebe multa (V).
– Se invadir sinal enta˜o recebe multa.
– p: invadir sinal (V) implica em q : receber multa (V)
– invadir sinal implica receber multa
– p: invadir sinal (V) e´ uma condic¸a˜o suficiente para q : receber multa (V).
– invadir sinal e´ condic¸a˜o suficiente para receber multa.
– Se ∼ q : na˜o recebe multa (V) enta˜o ∼ p : na˜o invadiu sinal (V).
Vejamos, primeiro estamos admitindo ∼ q : na˜o receber multa (V). Para p resta uma das duas
possibilidades, p : invadiu sinal (V) ou ∼ p : na˜o invadiu sinal(V).
Vamos escolher a primeira, p : invadiu sinal (V).
Neste caso, p: invadiu sinal (V) =⇒ q : recebe multa (V).
Como assim? ∼ q : na˜o recebe multa (V) e q : recebe multa (V) na˜o podem ser verdadeiras
simultaneamente. Logo so´ resta a outra possibilidade, ∼ p : na˜o invadiu sinal (V).
– Se na˜o recebe multa enta˜o na˜o invadiu sinal.
– Uma condic¸a˜o necessa´ria para p: ter invadido sinal e´ q : ter recebido multa (V)
– q : receber multa (V) e´ uma condic¸a˜o necessa´ria para p: ter invadido sinal (V).
– receber multa e´ uma condic¸a˜o necessa´ria para ter invadido sinal.
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2. p : x e´ mu´ltiplo de 10 =⇒ q : x e´ par.
Podemos afirmar que a implicac¸a˜o e´ verdadeira. Acreditamos que voceˆ saiba porqueˆ. Se na˜o sabe, aqui esta´
uma prova.
x e´ mu´ltiplo 10 =⇒ x e´ mu´ltiplo de 2 e de 5 =⇒ x e´ mu´ltiplo de 2 =⇒ x e´ par.
• Podemos escrever tambe´m em uma das formas listadas a seguir, com mesmo significado.
– Se x e´ mu´ltiplo 10 enta˜o x e´ par.
– x ser mu´ltiplo de 10 e´ condic¸a˜o suficiente para x ser par.
– x na˜o e´ par =⇒ x na˜o e´ mu´ltiplo de 10.
– x ser nu´mero par e´ condic¸a˜o necessa´ria para x ser mu´ltiplo de 10.
3. No exemplo 2 anterior,
se x for igual a 25, a afirmac¸a˜o p e´ falsa e a afirmac¸a˜o q e´ falsa.
se x for igual a 22, a afirmac¸a˜o p e´ falsa e a afirmac¸a˜o q e´ verdadeira.
Este exemplo serve para evidenciar que na˜o estamos afirmando nada quando p e´ falsa, isto e´, a afirmac¸a˜o
p =⇒ q so´ garante que q sera´ verdadeira sempre que p for verdadeira, na˜o garante nada sobre q quando p for
falsa.
2.4.2 Quando p =⇒ q e´ falso? ou seja, quando p 6=⇒ q e´ verdadeiro?
No caso p verdadeira e q falsa.
Exemplos:
1. 3 e´ primo =⇒ 7 e´ divisor de 37 e´ FALSA.
Justificativa: 3 e´ primo e´ VERDADEIRA e 7 e´ divisor de 37 e´ FALSA.
2. Quando as afirmac¸o˜es p e q sa˜o sentenc¸as abertas, a implicac¸a˜o sera´ falsa se apresentarmos um caso ou
exemplo em que p seja verdadeira e q seja falsa.
∀a ∈ R; a < 1 =⇒ a2 < 1 e´ FALSA, isto e´, ∀a ∈ R; a < 1 6=⇒ a2 < 1.
Justificativa: a = −2 < 1 e´ VERDADEIRA e a2 = (−2)2 = 4 < 1 e´ FALSA.
2.4.3 O conectivo ⇐= (a rec´ıproca de =⇒)
Dadas duas afirmac¸o˜es (ou proposic¸o˜es) p e q
temos que a afirmac¸a˜o (ou proposic¸a˜o) p ⇐= q e´ verdadeira quando q =⇒ p e´ verdadeira.
Em outras palavras, estamos supondo que sa˜o dadas duas afirmac¸o˜es, p e q e supomos tambe´m que q e´
verdadeira. Neste caso, quando q e´ verdadeira, o que acontece com p ? e´ verdadeira ou falsa? Se de alguma forma
conseguirmos concluir que p so´ pode ser verdadeira, dizemos que p ⇐= q.
Observac¸o˜es
• Ha´ va´rias formas alternativas de escrever a afirmac¸a˜o ou proposic¸a˜o p ⇐= q , todas com mesmo
significado, algumas esta˜o listadas a seguir. Para a maioria basta fazer uma troca de ordem de p e q na
observac¸a˜o ana´loga de p =⇒ q.
– Se q e´ uma afirmac¸a˜o verdadeira enta˜o p e´ uma afirmac¸a˜o verdadeira.
– Se q enta˜o p.
– p e´ implicado por q (da´ı vem a palavra rec´ıproca)
– q implica em p
– q implica p
– q verdadeira e´ uma condic¸a˜o suficiente para p verdadeira.
– q e´ condic¸a˜o suficiente para p.
– Se q e´ verdadeira, garante-se que p e´ verdadeira.
– Se ∼ p e´ verdadeira enta˜o ∼ q e´ verdadeira.
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– Se p : e´ falsa enta˜o q e´ falsa.
– p ser verdadeira e´ uma condic¸a˜o necessa´ria para q ser verdadeira.
A condic¸a˜o p precisa ser verdadeira, porque se p fosse falsa, enta˜o q seria falsa tambe´m, como vimos em
para´grafo anterior.
– p e´ uma condic¸a˜o necessa´ria para q.
– Uma condic¸a˜o necessa´ria para q ser verdadeira e´ p ser verdadeira.
– Uma condic¸a˜o necessa´ria para q e´ p.
• ATENC¸A˜O. Em nenhum lugar admitimos como primeira condic¸a˜o q e´ falsa, simplesmente porque a afirmac¸a˜o
p⇐= q so´ garante o que acontece quando q e´ verdadeira, e´ omissa quando q e´ falsa. Isso significa que quando
q e´ falsa e so´ sabemos que p⇐= q, nada podemos concluir sobre p, isto e´, tanto p pode ser verdadeira quanto
p pode ser falsa.
Exemplo
∀x ∈ R; x2 < 4⇐= ∀x ∈ R; 0 ≤ x < 2. Queremos provar que a proposic¸a˜o e´ verdadeira.
Vamos usar aqui uma propriedade de ordem dos nu´meros reais que sera´ vista com detalhes mais adiante.
Considere a, b, c, constantes reais. Vale a seguinte propriedade : a < b e c > 0 =⇒ ac < bc. Em palavras, a
desigualdade na˜o se altera quando multiplica-se os dois lados por um nu´mero positivo.
Admitimos x ∈ R; 0 ≤ x < 2 (isto e´, supomos verdadeira a afirmac¸a˜o).
0 ≤ x < 2 =⇒ x < 2 e (x = 0 ou x > 0).
Caso x = 0 temos que x2 = 0 < 4 e´ verdadeiro.
Caso x > 0 e x < 2, podemos multiplicar os dois lados por x, obtendo: x · x < 2 · x.
Mas x > 0 e x < 2, podemos multiplicar os dois lados por 2, obtendo 2 · x < 2 · 2 = 4.
Logo x2 = x · x < 2 · x e 2 · x < 2 · 2 = 4 =⇒ x2 < 4. cqd
A u´ltima implicac¸a˜o e´ justificada por uma das propriedades de ordem dos nu´meros reais (as propriedades sera˜o
estudadas mais adiante), descrita a seguir.
Propriedade transitiva de ordem dos reais : Sejam a, b, c reais. a < b e b < c =⇒ a < c.
Apenas por curiosidade, observamos que a rec´ıproca de ∀x ∈ R; x2 < 4 ⇐= ∀x ∈ R; 0 ≤ x < 2. na˜o e´
verdadeira, isto e´,
∀x ∈ R; x2 < 4 =⇒ ∀x ∈ R; 0 ≤ x < 2 e´ FALSA.
Justificativa: Para x = −1 : x2 = 1 < 4 e´ VERDADEIRA. Para x = −1 : 0 < x = −1 < 2 e´ FALSA.
Logo a rec´ıproca e´ FALSA.
2.4.4 O conectivo ⇐⇒ (equivaleˆncia)
Dadas duas afirmac¸o˜es (ou proposic¸o˜es) p e q
temos que a afirmac¸a˜o (ou proposic¸a˜o) p ⇐⇒ q e´ verdadeira quando
p =⇒ q e p⇐= q sa˜o verdadeiras, isto e´, quando a implicac¸a˜o e a sua rec´ıproca sa˜o verdadeiras.
Ha´ va´rias formas alternativas de escrever a afirmac¸a˜o ou proposic¸a˜o p ⇐⇒ q , todas com mesmo
significado, algumas esta˜o listadas a seguir.
• p e´ uma afirmac¸a˜o verdadeira se e somente se q e´ uma afirmac¸a˜o verdadeira.
• p se e so´ se q.
• p e´ equivalente a q (da´ı vem a palavra equivaleˆncia)
• p equivale a q
• p verdadeira e´ uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para q verdadeira.
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• q verdadeira e´ uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para p verdadeira.
• p e´ condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para q.
• q e´ condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para p.
• ∼ p e´ verdadeira se e somente se ∼ q e´ verdadeira.
• p : e´ falsa se e somente q e´ falsa.
• ∼ p e´ verdadeira ⇐⇒ ∼ q e´ verdadeira.
• p : e´ falsa ⇐⇒ q e´ falsa.
Exemplos:
1. x ∈ R e x2 = x⇐⇒ x = 0 ou x = 1.
Primeiro vamos provar que a implicac¸a˜o e´ verdadeira, isto e´, provar (=⇒):
Novamente vamos usar propriedades dos reais que sera˜o vistas com detalhes mais adiante.
x2 = x =⇒ x2 + (−x) = x+ (−x) = 0 =⇒ x(x− 1) = 0 =⇒ x = 0 ou x− 1 = 0 =⇒ x = 0 ou x = 1.
Em cada implicac¸a˜o foi usada uma ou mais propriedades dos reais, admitindo-se todas as varia´veis ou cons-
tantes nu´meros reais. Por exemplo, na primeira foi usada: a = b =⇒ a+ c = b+ c tomando a = x2, b = x, c =
−x. Na mesma implicac¸a˜o, foi usada a propriedade de elemento sime´trico x+ (−x) = 0. Fica com exerc´ıcio
a citac¸a˜o das propriedades usadas nas demais implicac¸o˜es. cqd.
Agora vamos provar que a rec´ıproca da implicac¸a˜o e´ verdadeira, isto e´, provar (⇐=):
Novamente temos que usar propriedades dos reais.
x = 0 e 0 ∈ R =⇒ x2 = 02 = 0 e x ∈ R =⇒ x2 = x = 0 e 0 = x ∈ R.
x = 1 e 1 ∈ R =⇒ x2 = 12 = 1 e x ∈ R =⇒ x2 = x = 1 e 1 = x ∈ R. cqd.
2. Suponha x ∈ R. E´ verdade que x2 > 4⇐⇒ x < −2 ou x > 2 ?
A resposta e´ sim, porque? Para responder vamos usar algumas propriedades de ordem dos reais que sera˜o
vistas com detalhes mais adiante.
x2 > 4⇐⇒ x2 − 4 > 0 (usamos a propriedade: para a, b, c reais e´ verdade que a < b⇐⇒ a+c < b+ c).
Podemos aplicar a propriedade de produtos nota´veis x2 − 4 = (x− 2)(x+ 2).
Logo x2 > 4⇐⇒ (x− 2)(x+ 2) > 0.
Agora vamos usar outra propriedade:
para a, b reais e´ verdade que: ab > 0 ⇐⇒ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), em palavras, o
produto de dois nu´meros reais e´ positivo se e so´ se os dois sa˜o positivos ou os dois sa˜o negativos. Logo
(x− 2)(x+ 2) > 0⇐⇒
 x− 2 > 0 e x+ 2 > 0ou
x− 2 < 0 e x+ 2 < 0
⇐⇒
 x > 2 e x > −2ou
x < 2 e x < −2
⇐⇒
 x > 2ou
x < −2
cqd
2.5 Definic¸a˜o: o que e´?
Quando estamos falando ou escrevendo alguma palavra ou conceito e sabemos que possivelmente quem esta´ nos
ouvindo ou lendo na˜o sabe o significado claro e preciso dessa palavra ou conceito, e´ preciso definir o que essa
palavra ou conceito representa, caso contra´rio, ningue´m vai saber do que estamos falando ou escrevendo.
Algumas formas usuais de definir palavras ou conceitos esta˜o listadas a seguir.
Definic¸a˜o 1 - Um XX e´ aquilo que possui as propriedades P1, P2, e P3.
Definic¸a˜o 2 - Um ZZ e´ chamado de Y Y Y Y quando ZZ satisfaz uma das condic¸o˜es: C1 ou C2.
Definic¸a˜o 3 - Um ZZ e´ chamado de Y Y Y Y se ZZ satisfaz uma das condic¸o˜es C1 ou C2.
A real observac¸a˜o que queremos fazer e´:
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por tra´s de qualquer definic¸a˜o (isto e´, implicitamente) sempre existe uma equivaleˆncia, mesmo que a definic¸a˜o
na˜o esteja escrita na forma de equivaleˆncia.
As definic¸o˜es 1, 2 e 3 anteriores devem ser entendidas como:
Definic¸a˜o 1 - E´ um XX ⇐⇒ XX possui as propriedades P1, P2, e P3.
Definic¸a˜o 2 - Um ZZ e´ chamado de Y Y Y Y ⇐⇒ ZZ satisfaz uma das condic¸o˜es: C1 ou C2.
Definic¸a˜o 3 - Um ZZ e´ chamado de Y Y Y Y ⇐⇒ ZZ satisfaz uma das condic¸o˜es C1 ou C2.
Exemplos
1. Definic¸a˜o (nu´mero par)
Um nu´mero inteiro n e´ um nu´mero par se ∃k ∈ Z;n = 2k.
Apesar de na˜o estar escrito ”se e so´ se”, isto significa:
Um nu´mero inteiro n e´ um nu´mero par ⇐⇒ ∃k ∈ Z;n = 2k.
2. Definic¸a˜o (nu´mero ı´mpar)
Um nu´mero inteiro n e´ um nu´mero ı´mpar se ∃k ∈ Z;n = 2k + 1.
Isto significa:
Um nu´mero inteiro n e´ um nu´mero ı´mpar ⇐⇒ ∃k ∈ Z;n = 2k + 1.
2.6 Exemplos e contra-exemplos: quando usar?
Ja´ vimos que quando queremos verificar que uma afirmac¸a˜o e´ verdadeira e´ preciso provar que e´ verdadeira. Agora,
queremos saber: exemplos provam que uma afirmac¸a˜o e´ verdadeira?
A resposta e´: depende!!!
• se for poss´ıvel testar que a afirmac¸a˜o e´ verdadeira em todos os exemplos admiss´ıveis para essa afirmac¸a˜o
enta˜o teremos provado que e´ verdadeira em qualquer caso.
• se testarmos se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira apenas em alguns dos exemplos, mas na˜o em todos os exemplos
admiss´ıveis para essa afirmac¸a˜o, na˜o estamos provando que a afirmac¸a˜o e´ verdadeira porque ela poderia ser
falsa nos casos que na˜o foram testados.
Agora, queremos saber: exemplos provam que uma afirmac¸a˜o e´ falsa?
A resposta e´: sim!!!
• se testarmos a afirmac¸a˜o em um u´nico exemplo, e a resposta for falsa, enta˜o podemos afirmar imediatamente
que a afirmac¸a˜o e´ falsa porque para ser verdadeira teria que ser verdadeira em todos os exemplos admiss´ıveis.
Um exemplo em que a afirmac¸a˜o e´ falsa e´ chamado de contra-exemplo.
Exemplos e contra-exemplos:
1. Todo mu´ltiplo de 10 e´ par. (outra forma dessa afirmac¸a˜o: m e´ mu´ltiplo de 10 =⇒ m e´ par)
A afirmac¸a˜o e´ verdadeira para x = 10, x = 20, x = 30. Na˜o provei. E´ imposs´ıvel esgotar todos os exemplos.
Enta˜o temos que provar, sem ser atrave´s de exemplos.
Ja´ provamos essa afirmac¸a˜o no exemplo 2 da sec¸a˜o 2.4.1. Agora vamos ver outra prova, diferente daquela.
Para provar, primeiro, vamos lembrar a definic¸a˜o de mu´ltiplo:
Definic¸a˜o (mu´ltiplo)
Um nu´mero inteiro m e´ mu´ltiplo de um nu´mero inteiro n quando existe um inteiro q tal que m = qn.
Agora, vamos supor que m e´ um mu´ltiplo de 10. Pela definic¸a˜o de mu´ltiplo,
∃q ∈ Z; m = q× 10. Mas, sabemos que 10 = 2× 5 e tambe´m podemos aplicar as propriedades comutativa e
associativa dos nu´meros inteiros,
∃q ∈ Z; m = q×2×5 = 2×(q×5). Como o produto de dois inteiros e´ um inteiro (propriedade de fechamento
dos inteiros), temos que q × 5 = k, onde k e´ inteiro. Logo,
∃k ∈ Z; m = 2k =⇒ m e´ par (aqui usamos a definic¸a˜o de par) cqd
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2. x ∈ R; (x2 − 1)(x2 + x) = 0 =⇒ |x| = 1 ou |x| = 0.
Queremos provar que a afirmac¸a˜o e´ verdadeira. Neste caso, resolvendo a equac¸a˜o, e´ poss´ıvel encontrar todos
os exemplos admiss´ıveis de x ∈ R; (x2 − 1)(x2 + x) = 0. Vejamos,
(x2 − 1)(x2 + x) = 0 ⇐⇒ x2 − 1 = 0 ou x2 + x = 0
⇐⇒ (x− 1)(x+ 1) = 0 ou x(x+ 1) = 0.
⇐⇒ x− 1 = 0 ou x+ 1 = 0 ou x = 0 ou x+ 1 = 0
⇐⇒ x = 1 ou x = −1 ou x = 0 (uma das possibilidades poˆde ser eliminada porque estava repetida)
Vamos testar em todos exemplos admiss´ıveis.
Para testar, vamos ter que usar mo´dulo ou valor absoluto de um nu´mero real, colocamos aqui a definic¸a˜o de
mo´dulo, em Pre´-Ca´lculo as propriedades do mo´dulo sera˜o estudadas com detalhes.
Definic¸a˜o (mo´dulo ou valor absoluto)
O mo´dulo ou valor absoluto de um nu´mero real x e´ denotado por |x| e definido por |x| =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0
para x = 1, |x| = |1| = 1 =⇒ |x| = 1 =⇒ |x| = 1 ou |x| = 0 (afirmac¸a˜o verdadeira)
ou para x = −1, |x| = | − 1| = −(−1) = 1 =⇒ |x| = 1 =⇒ |x| = 1 ou |x| = 0 (afirmac¸a˜o verdadeira)
ou para x = 0, |x| = |0| = 0 =⇒ |x| = 0 =⇒ |x| = 1 ou |x| = 0 (afirmac¸a˜o verdadeira)
Conclusa˜o: a afirmac¸a˜o e´ verdadeira para todos os exemplos admiss´ıveis, logo a afirmac¸a˜o e´ verdadeira.
3. ∀x ∈ R,
√
x2 = x
Testando a afirmac¸a˜o em alguns exempos admiss´ıveis,
x = 1, temos que
√
x2 =
√
12 =
√
1 = 1 = x (afirmac¸a˜o verdadeira)
x = 2, temos que
√
x2 =
√
22 =
√
4 = 2 = x (afirmac¸a˜o verdadeira)
x =
√
3, temos que
√
x2 =
√(√
3
)2
=
√
3 = x (afirmac¸a˜o verdadeira)
A afirmac¸a˜o e´ verdadeira nesses exemplos, mas esses na˜o sa˜o todos os exemplos admiss´ıveis.
Queremos provar que essa afirmac¸a˜o e´ falsa.
Contra-exemplo:
x = −1, temos que
√
x2 =
√
(−1)2 = √1 = 1.
Como 1 6= −1, fica claro que
√
x2 6= x quando x = −1 ou,
de outra forma, a afirmac¸a˜o
√
x2 = x, quando x = −1, e´ falsa.
Ou seja, a afirmac¸a˜o ∀x ∈ R,
√
x2 = x e´ falsa.
Dizemos que x = −1 e´ um contra-exemplo para a afirmac¸a˜o ∀x ∈ R,
√
x2 = x.
3 Outros conceitos da linguagem dos conjuntos
3.1 Igualdade, inclusa˜o e subconjuntos
3.1.1 Igualdade de conjuntos
Definic¸a˜o (Igualdade de conjuntos)
Dois conjuntos sa˜o iguais quando teˆm exatamente os mesmos elementos.
1. A =
{
x ∈ R; x e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o (x− 2) (x2 + 1) = 0}
B =
{
x ∈ R; x e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o (x2 − 4x+ 4) (x2 + 9) = 0}.
Resolvendo as equac¸o˜es, verifica-se que A = {2} e B = {2}. Logo A = B.
(a resoluc¸a˜o das equac¸o˜es fica como exerc´ıcio)
2. A = {x ∈ Z; x ≥ 1} B = N
A = B = {1, 2, 3, · · · }.
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3.1.2 Inclusa˜o e subconjunto
Definic¸a˜o (subconjunto).
Sejam A e B conjuntos. A e´ um subconjunto de B quando todo elemento de A tambe´m e´ elemento de B.
Quando A e´ subconjunto de B, dizemos que A esta´ contido em B e denotamos por A ⊂ B.
Tambe´m dizemos que B conte´m A e denotamos por B ⊃ A.
Observe que implicitamente entendemos que A e´ um subconjunto de B se e so´ todo elemento de A tambe´m e´
elemento de B.
Em s´ımbolos,
Dados A e B conjuntos, A ⊂ B se e so´ se: ∀x ∈ A =⇒ x ∈ B.
Isto significa:
se admitimos A ⊂ B podemos afirmar que ∀x ∈ A =⇒ x ∈ B.
se conseguimos provar que ∀x ∈ A =⇒ x ∈ B podemos afirmar que A ⊂ B.
Exemplo Considere A = {n ∈ Z; n e´ mu´ltiplo de 10} e B = {n ∈Z; n e´ mu´ltiplo de 2}.
Vamos verificar que A ⊂ B e´ verdadeiro.
E´ suficiente provar que ∀n ∈ A =⇒ n ∈ B. Provamos isto a seguir.
∀n ∈ A =⇒ ∃q ∈ Z; n = 10q = 2× 5× q = 2k, onde k = 5q e k ∈ Z =⇒ ∃k ∈ Z; n = 2k =⇒ n ∈ B.
3.1.3 A negac¸a˜o de ′′ ⊂ ′′
Sabemos que p : A ⊂ B significa p : ∀x ∈ A =⇒ x ∈ B.
Logo ∼ p : A 6⊂ B significa ∼ p : ∃x; x ∈ A e x 6∈ B.
3.1.4 Propriedades da inclusa˜o
Para quaisquer conjuntos A, B, C, valem as propriedades:
P1 A ⊂ A (justificativa: ∀x ∈ A =⇒ x ∈ A)
P2 A = B ⇐⇒ A ⊂ B e B ⊂ A
Justificativa:
(=⇒) Precisamos provar A = B =⇒ (i) A ⊂ B e (ii) B ⊂ A.
(i) ∀x ∈ A e A = B =⇒ x ∈ B =⇒ A ⊂ B
e
(ii) ∀x ∈ B e B = A =⇒ x ∈ A =⇒ B ⊂ A
(⇐=) Precisamos provar p : A ⊂ B e B ⊂ A =⇒ q : A = B.
Ja´ vimos que (p =⇒ q) tem o mesmo significado de (∼ q =⇒∼ p).
Neste caso e´ mais fa´cil provar (∼ q =⇒∼ p), e´ o que faremos a seguir.
∼ q : A 6= B =⇒
〈 ∃x; x ∈ A e x 6∈ B
ou
∃x; x 6∈ A e x ∈ B
=⇒
〈 A 6⊂ B
ou
B 6⊂ A
Por outro lado, p : (A ⊂ B e B ⊂ A) e ∼ p : (A 6⊂ B ou B 6⊂ A).
Logo, comparando com o resultado anterior, provamos (∼ q =⇒∼ p).
P3 A ⊂ B e B ⊂ C =⇒ A ⊂ C (propriedade transitiva)
Podemos visualizar com o diagrama de Venn, como na figura abaixo. A seguir, apresentamos uma prova.
B
A
C B C B
A
Considere ∀x ∈ A. Como A ⊂ B, podemos afirmar x ∈ B. Como B ⊂ C, podemos afirmar x ∈ C.
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Exemplos:
1. A = conjunto dos mu´ltiplos de 6 B = conjunto dos mu´ltiplos de 2 e de 3.
Queremos verificar que A = B.
Primeiro provaremos que A ⊂ B e depois que B ⊂ A, assim, pela propriedade P2, concluiremos que A = B.
Provando A ⊂ B:
∀n ∈ A =⇒ ∃q ∈ Z; n = 6q = 2× 3× q = 2(3q) = 3(2q). =⇒ (∃k1 = 3q ∈ Z;n = 2k1) e (∃k2 = 2q ∈ Z;n =
3k2) =⇒ n e´ mu´ltiplo de 2 e n e´ mu´ltiplo de 3 =⇒ n ∈ B =⇒ A ⊂ B.
Provando B ⊂ A:
∀n ∈ B =⇒ n e´ mu´ltiplo de 2 e n e´ mu´ltiplo de 3 =⇒ (∃q1 ∈ Z;n = 2q1) e (∃q2 ∈ Z;n = 3q2)
=⇒ (∃q1 ∈ Z; 3n = 3× 2q1) e (∃q2 ∈ Z; 2n = 2× 3q2). Observe que
3n− 2n = n = 6q1 − 6q2 = 6(q1 − q2) = 6k, isto e´, ∃k = q1 − q2 ∈ Z; n = 6k =⇒ n ∈ A =⇒ B ⊂ A.
2. A = {x ∈ R; x ≥ −4} e B = {x ∈ R; x ≥ 2}.
Queremos responder as seguintes perguntas: A ⊂ B ? B ⊂ A ? A = B ?
Vamos comec¸ar pela primeira, A ⊂ B?
Se pretendemos provar que A ⊂ B e´ verdadeiro, enta˜o precisaremos provar que ∀x ∈ A =⇒ x ∈ B e´
verdadeiro.
Se pretendemos provar que A 6⊂ B, isto e´, provar que A ⊂ B e´ falso, basta apresentar um contra-exemplo
para a implicac¸a˜o: ∀x ∈ A =⇒ x ∈ B, isto e´, apresentar um exemplo de x em que x ∈ A e x 6∈ B.
Vamos comec¸ar testando em alguns exemplos, se o resultado for verdadeiro, nada poderemos afirmar, se for
falso, significa que encontramos um contra-exemplo.
Testando,
x = 5 > −4 e x = 5 > 2, logo x ∈ A e x ∈ B , nada se pode afirmar sobre A ⊂ B.
x = 3 > −4 e x = 3 > 2, logo x ∈ A e x ∈ B, nada se pode afirmar sobre A ⊂ B.
x = 0 > −4 e x = 0 < 2, logo 0 ∈ A e 0 6∈ B, isto e´, este e´ um contra-exemplo que mostra que A ⊂ B e´
falso, ou seja, mostra que A 6⊂ B.
Como A 6⊂ B, ja´ podemos responder a terceira pergunta: A 6= B.
So´ falta responder: B ⊂ A?
Vamos comec¸ar testando em alguns exemplos, se o resultado for verdadeiro, nada poderemos afirmar, se for
falso, significa que encontramos um contra-exemplo.
x = 5 > 2 e x = 5 > −4, logo x ∈ B e x ∈ A , nada se pode afirmar sobre B ⊂ A.
x = 3 > 2 e x = 3 > −4, logo x ∈ B e x ∈ A, nada se pode afirmar sobre B ⊂ A.
x = 0 < 2, 0 6∈ B. Atenc¸a˜o: este na˜o e´ um exemplo admiss´ıvel para teste pois e´ preciso que x ∈ B para
enta˜o verificar se x ∈ A.
Se continuarmos testando em mais alguns nu´meros x tal que x > 2, isto e´, x ∈ B verificaremos que para este
x, x ∈ A. Como e´ imposs´ıvel testar em todos os valores, comec¸amos a desconfiar que de fato e´ verdadeiro
para todo x ∈ B. Para provar precisamos encontrar um argumento que pode ser aplicado em todo x ∈ B.
Este argumento sera´ uma das propriedades de ordem dos nu´meros reais que sera˜o vistas com detalhes mais
adiante, descrita a seguir.
Propriedade transitiva da ordem dos reais : Sejam a, b, c reais. a < b e b < c =⇒ a < c.
Assim, considere x ∈ B, isto e´, x > 2. Sabemos que 2 > −4, aplicando a propriedade transitiva da ordem,
conclu´ımos que x > −4, isto e´, x ∈ A. Acabamos de verificar que ∀x ∈ B =⇒ x ∈ A, isto e´, B ⊂ A.
3.2 Operac¸o˜es com conjuntos
3.2.1 Unia˜o e intersec¸a˜o
Definic¸a˜o (Unia˜o)
Sejam A e B conjuntos. A operac¸a˜o unia˜o de A e B, denotada por A ∪B, e´ definida por:
A ∪B = {x; x ∈ A ou x ∈ B}
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Observac¸a˜o: lembrando o significado do ′′ou′′ lo´gico, podemos dizer que,
x ∈ A ∪B ⇐⇒ ocorre uma das situac¸o˜es descritas a seguir:
(i) x ∈ A e x 6∈ B (ii) x 6∈ A e x ∈ B (iii) x ∈ A e x ∈ B
Definic¸a˜o (Intersec¸a˜o)
Sejam A e B conjuntos. A operac¸a˜o intersec¸a˜o de A e B, denotada por A ∩B, e´ definida por:
A ∩B = {x; x ∈ A e x ∈ B}
Exemplos
1. A = conjunto dos nu´meros pares B= conjunto dos mu´ltiplos de 3
E´ fa´cil verificar que:
10 ∈ A =⇒ 10 ∈ A ∪B
10 6∈ B =⇒ 10 6∈ A ∩B
10 ∈ A e 10 6∈ B =⇒ 10 ∈ A ∪B e 10 6∈ A ∩B
33 6∈ A e 33 ∈ B =⇒ 33 ∈ A ∪B e 33 6∈ A ∩B
36 ∈ A e 36 ∈ B =⇒ 36 ∈ A ∪B e 36 ∈ A ∩B
49 6∈ A e 49 6∈ B =⇒ 49 6∈ A ∪B e 49 6∈ A ∩B
2. Dados os conjuntos A e B e´ fa´cil verificar as seguintes afirmac¸o˜es:
(i) ∀x ∈ A =⇒ x ∈ A ∪B , isto e´, A ⊂ A ∪B (de fato, ∀x ∈ A =⇒ x ∈ A ou x ∈ B =⇒ x ∈ A ∪B ).
(ii) ∀x ∈ B =⇒ x ∈ A ∪B , isto e´, B ⊂ A ∪B (de fato, ∀x ∈ B =⇒ x ∈ A ou x ∈ B =⇒ x ∈ A ∪B ).
(iii) ∀x ∈ A ∩B =⇒ x ∈ A , isto e´, A ∩B ⊂ A (de fato, ∀x ∈ A ∩B =⇒ x ∈ A e x ∈ B =⇒ x ∈ A ).
(iv) ∀x ∈ A ∩B =⇒ x ∈ B , isto e´, A ∩B ⊂ B (de fato, ∀x ∈ A ∩B =⇒ x ∈ A e x ∈ B =⇒ x ∈ B ).
3. Dados A e B, vamos provar as seguintes equivaleˆncias:
A ∪B = B ⇐⇒ A ⊂ B ⇐⇒ A ∩B = A.
Ver diagramas de Venn ao lado, com duas situac¸o˜es admiss´ıveis
para A ⊂ B.
B
A
A=B
A ⊂ B e A 6= B A ⊂ B e A = B
Vamos comec¸ar por A ⊂ B ⇐⇒ A ∪B = B.
(=⇒) Estamos supondo: A ⊂ B. Queremos provar: A ∪B = B.
(i)∀x ∈ A ∪B =⇒ x ∈ A ou x ∈ B =⇒ x ∈ A ⊂ B ou x ∈ B (pois supomos no in´ıcio que A ⊂ B)
=⇒ x ∈ B =⇒ A ∪B ⊂ B.
(ii) Vimos no exemplo anterior: B ⊂ A ∪B. Logo, por (i) e (ii) conclu´ımos A ∪B = B.
(⇐=) Estamos supondo: A ∪B = B. Queremos provar: A ⊂ B.
∀x ∈ A =⇒ x ∈ A ou x ∈ B =⇒ x ∈ A ∪B =⇒ x ∈ A ∪B = B =⇒ x ∈ B =⇒ A ⊂ B.
Agora vamos provar A ⊂ B ⇐⇒ A ∩B = A.
(=⇒) Estamos supondo: A ⊂ B. Queremos provar: A ∩B = A.
(i) Vimos no exemplo anterior: A ∩B ⊂ A.
(ii)∀x ∈ A =⇒ x ∈ A e x ∈ A ⊂ B (pois supomos no in´ıcio que A ⊂ B) =⇒ x ∈ A e x ∈ B
=⇒ x ∈ A ∩B =⇒ A ⊂ A ∩B. Logo, por (i) e (ii) conclu´ımos A ∩B = A.
(⇐=) Estamos supondo: A ∩B = A. Queremos provar: A ⊂ B.
∀x ∈ A =⇒ x ∈ A = A ∩B =⇒ x ∈ A e x ∈ B =⇒ x ∈ B =⇒ A ⊂ B.
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3.2.2 Conjuntos disjuntos
Definic¸a˜o (conjuntos disjuntos)
Diz-se que dois conjuntos A e B sa˜o disjuntos quando A ∩B = ∅.
Isto e´ o mesmo que dizer que A e B na˜o teˆm elementos em comum.
Exemplo: Os conjuntos A = {x ∈ R; x ≤ −2} e B = {x ∈ R; x ≥ 2} sa˜o disjuntos.
3.2.3 Diferenc¸a e complementar
Definic¸a˜o (Diferenc¸a)
Sejam A e B conjuntos. A operac¸a˜o diferenc¸a entre A e B ou A menos B, denotada por A−B, e´ definida por:
A−B = {x; x ∈ A e x 6∈ B}
Outra notac¸a˜o usual para a diferenc¸a e´ A\B.
A seguir esta˜o representados os diagramas de Venn de A−B em treˆs casos distintos.
B
A
B
A - B
B
A
B
A - B
B
A
B
A - B
Caso 1: A ∩B 6= ∅ e B 6⊂ A Caso 2: A ∩B = B ⇐⇒ B ⊂ A Caso 3: A ∩B = ∅ (A e B disjuntos)
Definic¸a˜o (Complementar de B em A)
Sejam A e B conjuntos tais que B ⊂ A.
Neste caso diz-se que A−B e´ o complementar de B em A e denota-se por {AB.
Veja o diagrama de Venn no caso2 acima
Definic¸a˜o (Complementar)
Seja B conjunto tal que B ⊂ U , onde U e´ o conjunto Universo.
Neste caso diz-se simplesmente que U −B e´ o complementar de B e denota-se por {B ou Bc.
3.2.4 Propriedades das operac¸o˜es e do complementar
Sejam A, B e C conjuntos. A seguir listamos algumas propriedades das operac¸o˜es unia˜o, intersec¸a˜o, diferenc¸a e
complementar.
1. Idempoteˆncia: A ∪A = A e A ∩A = A
2. Comutativa: A ∪B = B ∪A e A ∩B = B ∩A
3. Associativa: (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = A ∪B ∪ C e (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A ∩B ∩ C
4. Distributiva: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) e A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)
5. Quando A e B finitos, #(A ∪B) = #(A) + #(B) − #(A ∩B)
6. (A−B) ∪ (B −A) = (A ∪B)− (A ∩B)
7. Sendo U o conjunto universo, U c = ∅ e ∅c = U
8. Sendo U o conjunto universo, A ∪Ac = U e A ∩Ac = ∅
9. (A ∪B)c = Ac ∩Bc e (A ∩B)c = Ac ∪Bc
10. (Ac)c = A
Observac¸a˜o: um excelente exerc´ıcio e´ desenhar diagramas de Venn e depois provar cada propriedade.
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4 Noc¸o˜es da estrutura de teorias matema´ticas: axioma, postulado, hipo´tese, tese,
definic¸a˜o, propriedade, Teorema, ...
Todas as teorias matema´ticas, das mais simples a`s mais elaboradas, teˆm muita coisa em comum em sua estrutura.
O objetivo desse assunto estar sendo abordado aqui e´ unicamente informar quais sa˜o as principais caracter´ısticas
comuns a todas as teorias, na˜o sera´ estudada a teoria da teoria.
Enta˜o vamos listar algumas dessas caracter´ısticas.
Costumo dizer aos meus alunos, que podemos fazer uma comparac¸a˜o com jogos.
O que e´ um jogo? E´ um conjunto de regras. Antes de comec¸ar a jogar todos os jogadores devem ter o
conhecimento dessas regras. Algumas dessas regras sa˜o ba´sicas, para dar partida no jogo. Outras sa˜o consequeˆncias
das regras ba´sicas. Na pra´tica, o jogador comec¸a a aplicar essas regras e vai aprimorando as jogadas, vai criando
estrate´gias para atingir o objetivo do jogo.
Voltando a teoria matema´tica, em geral, o objetivo de uma teoria e´ criar conhecimento para ser aplicado nas
diversas a´reas do conhecimento humano. Essa aplicac¸a˜o tanto pode ser pra´tica quanto teo´rica, isto e´, muitas
teorias sa˜o criadas para o desenvolvimento de outras teorias. Na disciplina Histo´ria da Matema´tica voceˆs va˜o ter
oportunidade de conhecer va´rios exemplos onde o desenvolvimento de teorias matema´ticas esta´ intrinsicamante
ligado a`s aplicac¸o˜es.
Para ′′dar partida ao jogo′′ e´ preciso estabelecer as regras ba´sicas do jogo, em matema´tica essas regras ba´sicas
sa˜o chamadas de axiomas ou postulados. Axiomas ou postulados na˜o se demonstram, aceitamos como afirmac¸o˜es
verdadeiras. Os termos que aparecem nos axiomas ou postulados sa˜o chamados de termos primitivos, na˜o sa˜o
definidos.
Exemplos de axiomas ou postulados da Geometria (Euclidana)
• Dois pontos determinam uma reta
• Treˆs pontos determinam um plano
Os termos ponto, reta e plano da Geometria sa˜o termos primitivos.
Exemplos de axiomas ou postulados na linguagem dos conjuntos.
• Um conjunto e´ uma colec¸a˜o de objetos ou elementos
• O s´ımbolo ′′ ∈ ′′ e´ usado para dizer que um elemento a pertence a um conjunto A, isto e´, a ∈ A.
Os termos conjunto, elemento e pertence e o s´ımbolo ′′ ∈ ′′ sa˜o primitivos.
Depois de estabelecidos os axiomas, postulados, termos e s´ımbolos primitivos, a partir deles surgem novas
regras, que recebem va´rios nomes espec´ıficos, alguns deles sa˜o: hipo´tese, tese, definic¸a˜o, propriedade, Teorema,
afirmac¸a˜o, proposic¸a˜o, lema, corola´rio.
Ja´ vimos os significados dos conectivos de duas afirmac¸o˜es ′′ =⇒ ′′ e ′′ ⇐⇒ ′′ e suas va´rias formas de
escrever.
Tambe´m ja´ vimos que qualquer definic¸a˜o deve ser entendida como uma equivaleˆncia, isto e´, como ′′ se e somente
se ′′, isto e´, como ′′ ⇐⇒ ′′.
Propriedades, Teoremas, afirmac¸o˜es, proposic¸o˜es, lemas, corola´rios sa˜o afirmac¸o˜es compostas de va´rias afirmac¸o˜es
e sempre podem ser escritas em uma das formas:
implicac¸a˜o , isto e´, ′′ se · · · enta˜o ′′, isto e´, ′′ =⇒ ′′.
equivaleˆncia , isto e´, ′′ se e somente se ′′, isto e´, como ′′ ⇐⇒ ′′.
Hipo´tese e´ o que supomos verdadeiro, e´ a afirmac¸a˜o que fica do lado esquerdo da implicac¸a˜o direta (=⇒), ou
do lado direito da implicac¸a˜o rec´ıproca (⇐=).
Tese e´ o que queremos provar ou demonstrar atrave´s de argumentac¸o˜es a partir da hipo´tese, e´ a afirmac¸a˜o que
fica do lado direito da implicac¸a˜o direta (=⇒), ou do lado esquerdo da implicac¸a˜o rec´ıproca (⇐=).
Observac¸o˜es
UFF/GMA - Matema´tica Ba´sica - Parte I - Lo´gica e conjuntos Notas de aula - Marlene - 2009-1 22
• Muitas vezes a hipo´tese comec¸a com ′′suponha · · ·′′ ou ′′admita · · ·′′. Mesmo que na˜o esteja escrito nada
desse tipo, pense que esta´ escrito.
• E´ claro que uma equivaleˆncia tem duas hipo´teses e duas teses, apesar de muitas vezes referirmos apenas como
hipo´tese a afirmac¸a˜o que esta´ do lado esquerdo da equivaleˆncia e como tese a que esta´ do lado diteito.
• Muitas propriedades comec¸am com um cabec¸alho em separado e depois vem uma implicac¸a˜o ou uma equiva-
leˆncia. Este cabec¸alho e´ uma hipo´tese, a`s vezes chamada de hipo´tese geral. Se o cabec¸alho for seguido por
equivaleˆncia o cabec¸alho e´ uma hipo´tese tanto da implicac¸a˜o direta quanto da implicac¸a˜o rec´ıproca.
Porque sa˜o tantos termos com mesma estrutura?
Para enfatizar a importaˆncia e/ou a localizac¸a˜o no encadeamento lo´gico da teoria. A seguir, esta˜o listados os
termos com a descric¸a˜o das formas mais usuais em que sa˜o empregados.
Na˜o precisamos tentar ′′memorizar′′ nada do que esta´ na descric¸a˜o, basta compreeender, a` medida que os termos
aparecerem nas teorias que sera˜o estudadas, naturalmente sera˜o memorizados.
• As propriedades, em geral, sa˜o consequeˆncias imediatas de um conceito novo que tanto pode ser um conceito
primitivo como uma definic¸a˜o.
• Lema, proposic¸a˜o ou Teorema, em geral, precisam de argumentac¸o˜es mais elaboradas para serem demonstra-
dos.
• Teoremas sa˜o as proposic¸o˜es mais importantes da teoria, tanto pela sua aplicac¸a˜o para demonstrac¸o˜es de
grande parte da teoria quanto pela sua aplicac¸a˜o pra´tica em outras a´reas de conhecimento. Devido a sua
importaˆncia, muitas vezes os teoremas recebem nome, que pode ser em homenagem ao seu descobridor, isto
e´, o nome da pessoa que demonstrou o teorema pela primeira vez, ou pode ser pelo que representa na teoria.
Alguns exemplos de nomes de teoremas sa˜o: em Geometria, o Teorema de Pita´goras; em Ca´lculo de uma
varia´vel, o Teorema do Valor Me´dio, o Teorema Fundamental do Ca´lculo; em Ca´lculo de va´rias varia´veis, o
Teorema de Stokes; em Equac¸o˜es Diferenciais, o Teorema de Existeˆncia e Unicidade de Soluc¸o˜es; em A´lgebra,
o Teorema Fundamental da A´lgebra; em Ana´lise, o Teorema de Weierstrass.
• Lema e´ uma proposic¸a˜o que sera´ usada apenas na demonstrac¸a˜o de um Teorema espec´ıfico, em geral, esta´
localizada imediatamente antes do teorema.
• Corola´rio e´ uma proposic¸a˜o que e´ uma consequeˆncia imediata de um teorema.
E´ preciso observar que essas descric¸o˜es na˜o sa˜o completamente rigorosas, alguns autores chamam de teoremas as
mesmas afirmac¸o˜es que outros autores chamam de propriedades. Quando um texto tem muitos teoremas, pode ser
que o autor preferiu chamar de teoremas o que outros chamam de proposic¸o˜es ou propriedades. Eu particularmente
prefiro os que reservam o termo teorema para grandes resultados, e´ uma forma de destacar a importaˆncia.
5 Te´cnicas de Demonstrac¸a˜o
Uma observac¸a˜o simples e importante e´: demonstrar, provar e mostrar sa˜o sinoˆnimos. Assim como demonstrac¸a˜o
e prova sa˜o sinoˆnimos.
O que na˜o se demonstra?
Como ja´ comentamos anteriormente, na˜o se demonstra axiomas e postulados. Tambe´m na˜o demonstramos as
definic¸o˜es.O que precisa ser demonstrado? O que podemos usar nas demonstrac¸o˜es?
Como vimos anteriormente, afirmac¸o˜es, propriedades, proposic¸o˜es, Teoremas, lemas e corola´rios nem sempre
sa˜o enunciados na forma de implicac¸a˜o (=⇒) ou de equivaleˆncia (⇐⇒), mas sempre podem ser entendidos e escritos
em uma dessas formas. Vale o mesmo comenta´rio para exerc´ıcios escritos nas formas: mostre que · · · ou verifique
que · · · .
O primeiro passo e´ identificar quais sa˜o as hipo´teses e qual e´ a tese, para isso e´ aconselha´vel colocar na forma
de implicac¸a˜o ou equivaleˆncia.
Ale´m das hipo´teses do enunciado, podemos citar e usar como hipo´teses os postulados ou axiomas, as definic¸o˜es,
as propriedades, etc, tudo que ja´ foi visto anteriormente.
UFF/GMA - Matema´tica Ba´sica - Parte I - Lo´gica e conjuntos Notas de aula - Marlene - 2009-1 23
Cuidado, na˜o invente propriedades, queremos dizer com isso que as simplicac¸o˜es so´ devem ser feitas quando
temos certeza que as propriedades que estamos usando sa˜o verdadeiras. Se ha´ du´vida se determinada propriedade
e´ verdadeira, comece verificando em alguns exemplos, se o teste falhar e´ porque e´ falsa, se na˜o falhar, na˜o bastam
esses exemplos, e´ preciso provar que e´ verdadeira.
O que e´ uma conjectura?
E´ uma afirmac¸a˜o que temos fortes ind´ıcios ser verdadeira, mas ainda na˜o conseguimos provar que e´ verdadeira
e tambe´m na˜o conseguimos encontrar um contra-exemplo de que e´ falsa. Quando uma conjectura finalmente e´
demonstrada verdadeira muda de status, recebe o nome de Teorema.
Ha´ conjecturas que levam anos para mudar de status ou ser provada que e´ falsa, um exemplo e´ uma conjectura do
famoso matema´tico Fermat que se acreditava ser verdadeira, mas levou mais de 100 anos ate´ que outro matema´tico,
Leonhard Euler, mostrasse que era falsa! Essa conjectura era:
Todo nu´mero P (n) = 1 + 2(2)
n
; n ∈ {0, 1, 2, 3...} e´ um nu´mero primo.
Por volta de 1620, quando so´ se dispunha de la´pis e papel, Fermat verificou que P (0) = 3; P (1) = 5;
P (2) = 17; P (3) = 257; P (4) = 65.537 eram verdadeiras. Euler verificou que P (5) era falsa.
A seguir listaremos e descreveremos as te´cnicas de demonstrac¸o˜es usuais.
5.1 Teste de todos casos admiss´ıveis
Se queremos provar que uma afirmac¸a˜o e´ verdadeira atrave´s de exemplos, precisamos testar em todos os casos
poss´ıveis que satisfazem as hipo´teses do enunciado, isto e´, em todos os casos admiss´ıveis para as hipo´teses.
Esse teste em todos os casos admiss´ıveis para as hipo´teses e´ uma das te´cnicas de demonstrac¸a˜o.
Como exemplo, ver ex. 2 da sec¸a˜o 2.6.
5.2 Me´todo dedutivo
O me´todo dedutivo e´ aquele em que cada afirmac¸a˜o nova resulta da aplicac¸a˜o de postulados ou definic¸o˜es ou
afirmac¸o˜es (provadas anteriormente) sobre as hipo´teses do enunciado.
Essas afirmac¸o˜es podem ser da forma de implicac¸a˜o (=⇒) ou de equivaleˆncia (⇐⇒), depende do que se quer
provar.
• Se queremos demonstrar Hipo´tese =⇒ Tese, podemos visualizar o me´todo dedutivo assim:
Hipo´tese =⇒ afirmac¸a˜o 1 =⇒ afirmac¸a˜o 2 =⇒ · · · =⇒ Tese.
Observe que a hipo´tese, a tese ou afirmac¸a˜o pode ser simples ou composta (ligadas por ′′e′′ ou ′′ou′′).
Como exemplo, ver ex. 2 da sec¸a˜o 2.4.1.
• Se queremos demonstrar: afirmac¸a˜o A ⇐⇒ afirmac¸a˜o B, podemos demonstrar de duas formas distintas,
visualizadas a seguir.
1. Hipo´tese = afirmac¸a˜o A ⇐⇒ afirmac¸a˜o 1 ⇐⇒ afirmac¸a˜o 2 ⇐⇒ · · · ⇐⇒ afirmac¸a˜o B = Tese.
Exemplo
Considere y = (x− 2)(x− 5) tal que que x e´ um nu´mero real qualquer.
Usando propriedades dos nu´meros reais que sera˜o revisadas detalhadamente mais adiante, queremos
verificar que as seguintes equivaleˆncias sa˜o verdadeiras:
(i) y = 0⇐⇒ x = 2 ou x = 5.
(ii) y > 0⇐⇒ x < 2 ou x > 5.
(iii) y < 0⇐⇒ 2 < x < 5.
Demonstrac¸o˜es:
(i) y = (x− 2)(x− 5) e y = 0⇐⇒ (x− 2)(x− 5) = 0⇐⇒ (x− 2) = 0 ou (x− 5) = 0
[ na u´ltima equivaleˆncia usamos a propriedade: para a e b reais, ab = 0⇐⇒ a = 0 ou b = 0 ]
⇐⇒ x = 2 ou x = 5.
(ii) y = (x− 2)(x− 5) e y > 0⇐⇒ (x− 2)(x− 5) > 0⇐⇒
〈 x− 2 > 0 e x− 5 > 0
ou
x− 2 < 0 e x− 5 < 0
[ usamos a propriedade: para a e b reais, ab > 0⇐⇒ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0) ]
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⇐⇒
〈 x > 2 e x > 5
ou
x < 2 e x < 5
⇐⇒
〈 x > 5
ou
x < 2
(iii) y = (x− 2)(x− 5) e y < 0⇐⇒ (x− 2)(x− 5) < 0⇐⇒
〈 x− 2 > 0 e x− 5 < 0
ou
x− 2 < 0 e x− 5 > 0
[ usamos a propriedade: para a e b reais, ab < 0⇐⇒ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0) ]
⇐⇒
〈
x > 2 e x < 5
ou
x < 2 e x > 5 ( 6 ∃x; x < 2 e x > 5)
⇐⇒ 2 < x e x < 5 ⇐⇒ 2 < x < 5
2. Separar e demonstrar a implicac¸a˜o direta (=⇒) e a implicac¸a˜o rec´ıproca (⇐=), isto e´,
(=⇒):
Hipo´tese = afirmac¸a˜o A =⇒ afirmac¸a˜o 1 =⇒ afirmac¸a˜o 2 =⇒ · · · =⇒ afirmac¸a˜o B = Tese.
(⇐=):
Hipo´tese = afirmac¸a˜o B =⇒ afirmac¸a˜o 1 =⇒ afirmac¸a˜o 2 =⇒ · · · =⇒ afirmac¸a˜o A = Tese.
Como exemplo, ver ex. 3 da sec¸a˜o 3.2.1.
5.3 Reduc¸a˜o ao absurdo e contradic¸a˜o
Em muitos casos queremos demonstrar que Hipo´tese =⇒ Tese, mas a demonstrac¸a˜o dedutiva (isto e´, supondo
a hipo´tese verdadeira demonstrar que a tese e´ verdadeira) pode ser muito trabalhosa ou dif´ıcil de demonstrar.
Vamos ver o que acontece se negamos a Tese, isto e´, se supomos a Tese falsa. Veremos duas possibilidades.
• Tese falsa =⇒ afirmac¸a˜o 1 =⇒ afirmac¸a˜o 2 =⇒ · · · =⇒ afirmac¸a˜o ′′comprovadamente falsa′′.
Como assim? conseguimos provar que uma afirmac¸a˜o ′′comprovadamente falsa′′ e´ verdadeira?
Isso e´ um absurdo !!!
Logo, como na˜o podemos negar a Tese, a Tese e´ verdadeira.
Exemplos de afirmac¸o˜es ′′comprovadamente falsas′′: 4 = 2, 10 e´ um nu´mero primo, · · · .
O que acabamos de descrever e visualizar e´ a te´cnica de reduc¸a˜o ao absurdo, pode ser resumida assim:
Se provar: Tese falsa =⇒ afirmac¸a˜o ′′comprovadamente falsa′′, estara´ provado: Hipo´tese =⇒ Tese.
• Tese falsa =⇒ afirmac¸a˜o 1 =⇒ afirmac¸a˜o 2 =⇒ · · · =⇒ Hipo´tese falsa
Na sec¸a˜o 2.4.1 (o conectivo =⇒ (implicac¸a˜o)) vimos que p =⇒ q e na˜o q =⇒ na˜o p teˆm mesmo significado.
Assim, se provar: Tese falsa =⇒ Hipo´tese falsa, estara´ provado: Hipo´tese =⇒ Tese.
Como queremos que a hipo´tese do enunciado seja verdadeira e quando conseguimos provar que Tese falsa =⇒
Hipo´tese falsa, dizemos que hipo´tese falsa e´ uma contradic¸a˜o com a hipo´tese que queremos verdadeira.
O absurdo aqui e´ a hipo´tese do enunciado ser verdadeira e falsa simultaneamente.
Esse tipo de demonstrac¸a˜o e´ chamado de te´cnica por contradic¸a˜o com a hipo´tese .
Atenc¸a˜o: nas duas te´cnicas na˜o e´ poss´ıvel usar a implicac¸a˜o: ′′hipo´tese do enunciado′′ =⇒ ′′tese do enunciado′′
porque isso ainda na˜o foi provado, e´ justamente o que queremos provar!!!
Exemplos:
1. Um exemplo cla´ssico de demonstrac¸a˜o por absurdo e´ a prova que para todo nu´mero p primo o nu´mero
√
p
na˜o e´ racional, isto e´, e´ um nu´mero irracional. Faremos a demonstrac¸a˜o mais adiante, quando estudarmos
com detalhes os nu´meros racionais e irracionais.
2. Na demonstrac¸a˜o da implicac¸a˜o rec´ıproca (⇐=) da propriedade P2 da inclusa˜o, sec¸a˜o 3.1.4, usamos a te´cnica
de contradic¸a˜o com a hipo´tese.
5.4 Me´todo indutivo
Este me´todo e´ aplicado apenas em propriedades ou fo´rmulas em que aparece uma varia´vel n, tal que n e´ um nu´mero
natural maior do que ou igual a um dado nu´mero natural.
So´ descreveremos e usaremos essa te´cnica mais adiante.
UFF/GMA - Matema´tica Ba´sica - Parte II - Nu´meros reais Notas de aula - Marlene - 2009-1 25
Suma´rio
II Nu´meros reais: inteiros, racionais e irracionais 26
2 Operac¸o˜es, axiomas e propriedades dos reais 26
2.1 As operac¸o˜es Soma e Produto e os Axiomas Alge´bricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Definic¸a˜o das operac¸o˜es subtrac¸a˜o e divisa˜o e da poteˆncia natural . . . . . . . . . . . 272.3 Propriedades alge´bricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Propriedades alge´bricas ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2 Outras propriedades alge´bricas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.3 Leis de cancelamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.4 Lei do anulamento do produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.5 Igualdade de frac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.6 Produtos nota´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Implicac¸o˜es e equivaleˆncias em expresso˜es e em equac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.1 O que e´ uma expressa˜o? o que e´ uma equac¸a˜o? o que e´ uma soluc¸a˜o de equac¸a˜o? . . . . . 33
2.4.2 O que sa˜o expresso˜es equivalentes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.3 O que sa˜o equac¸o˜es equivalentes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.4 Simplificar expresso˜es e´ o mesmo que simplificar equac¸o˜es? . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Axiomas e propriedades de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.1 Axiomas de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.2 Propriedades de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.3 Podemos trocar ′′ < ′′ por ′′ ≤ ′′ e ′′ > ′′ por ′′ ≥ ′′ ? . . . . . . . . . . . . . 39
2.6 Implicac¸o˜es e equivaleˆncias em inequac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6.1 O que e´ uma desigualdade? O que e´ uma inequac¸a˜o? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6.2 O que e´ uma soluc¸a˜o de inequac¸a˜o? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6.3 Como representar as soluc¸o˜es de uma inequac¸a˜o? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6.4 Podemos simplificar inequac¸o˜es exatamente da mesma forma que simplificamos equac¸o˜es? 41
26
Parte II
Nu´meros reais: inteiros, racionais e irracionais
Introduc¸a˜o
Historicamente os conjuntos nume´ricos, que sa˜o os naturais, os inteiros, os racionais, os irracionais, os reais
e os complexos surgiram na mesma ordem em que sa˜o estudados nas escolas de Ensino Ba´sico, Fundamental
e Me´dio. A necessidade de estudo de um novo tipo de conjunto nume´rico sempre esteve de alguma forma
vinculada a` necessidade de ampliar as propriedades dos nu´meros para que pudessem resolver novos problemas.
Essa e´ a ordem natural de estudo e ja´ foi vista por todos os alunos que entram na Universidade.
Agora vamos construir axiomaticamente os nu´meros reais, isto e´, os nu´meros reais sera˜o definidos como os
nu´meros que satisfazem um determinado nu´mero de axiomas ou postulados, aceitos sem demonstrac¸a˜o. O con-
junto dos complexos sera˜o estudados separadamente. Os outros conjuntos sa˜o subconjuntos dos reais e alguns
axiomas dos reais na˜o se aplicam nos subconjuntos, destacaremos quais na˜o se aplicam.
Muitas vezes os axiomas tambe´m sa˜o chamados de propriedades ou propriedades ba´sicas. E´ muito importante
que tenhamos em mente esses axiomas, sa˜o eles que nos permitem encontrar novas definic¸o˜es e propriedades.
A aplicac¸a˜o natural das propriedades dos reais e´ na resoluc¸a˜o de equac¸o˜es e inequac¸o˜es, que surgem nos
problemas de diversas a´reas de conhecimento. As equac¸o˜es e inequac¸o˜es sa˜o exaustivamente estudadas na disci-
plina Pre´-Ca´lculo. Nas simplificac¸o˜es das equac¸o˜es e inequac¸o˜es sa˜o usadas fortemente as propriedades dos reais.
Infelizmente, e´ muito comum o aluno aplicar as propriedades de forma equivocada, ora porque sa˜o aplicadas
sem os devidos cuidados de verificar as hipo´teses em que e´ poss´ıvel aplicar, ora porque no afa˜ de simplificar,
surgem propriedades que na˜o existem.
Um dos objetivos do nosso estudo dos reais e´ consolidar o conhecimento adquirido ate´ aqui sobre os reais,
com uma visa˜o mais aprofundada, fazendo uso do que aprendemos em noc¸o˜es de lo´gica.
Espera-se que ao final do estudo o aluno seja capaz de aplicar os axiomas dos reais em algumas demons-
trac¸o˜es de outras propriedades bem como seja capaz de identificar corretamente quais propriedades podem ser
usadas em simplificac¸o˜es de equac¸o˜es e inequac¸o˜es.
2 Operac¸o˜es, axiomas e propriedades dos reais
2.1 As operac¸o˜es Soma e Produto e os Axiomas Alge´bricos
Seja R um conjunto, chamado conjunto dos nu´meros reais ou conjunto dos reais.
Soma e Produto sa˜o operac¸o˜es aplicadas sobre quaisquer dois elementos a, b ∈ R.
U´nica notac¸a˜o usual da soma de a e b: a+ b (leia-se a mais b)
Notac¸o˜es usuais do produto de a por b: a× b, a · b e ab. (leia-se a vezes b)
Para ∀ a, b, c ∈ R admitem-se verdadeiros os axiomas alge´bricos descritos a seguir.
Axiomas da Soma Axiomas do Produto
Lei do fechamento AS1 : a+ b ∈ R AP1 : a× b ∈ R
Lei associativa AS2 : (a+ b) + c = a+ (b+ c) AP2 : (a× b)× c = a× (b× c)
Lei comutativa AS3 : a+ b = b+ a AP3 : a× b = b× a
Lei do elemento neutro AS4 : ∃ 0 ∈ R; a+ 0 = a AP4 : ∃ 1 ∈ R; a× 1 = a
Lei do elemento sime´trico AS5 : ∀a, ∃ − a ∈ R; a+ (−a) = 0 (diz − se : −a e´ o sime´trico de a)
Lei do elemento inverso AP5 : ∀a 6= 0, ∃ 1
a
∈ R; a× 1
a
= 1 (diz − se : 1
a
e´ o inverso de a)
Axioma da Soma e Produto
Lei distributiva ASP : a× (b+ c) = a× b+ a× c
UFF/GMA - Matema´tica Ba´sica - Parte II - Nu´meros reais Notas de aula - Marlene - 2009-1 27
Observac¸o˜es:
• Foram atruibu´ıdas letras (AS1, AS2, AP5, etc) apenas para facilitar, quando for preciso citar refereˆncias
aos axiomas.
• Qualquer outra propriedade alge´brica dos reais pode ser deduzida ou provada a partir desses axiomas.
Listaremos algumas importantes, algumas sa˜o triviais de demonstrar, outras na˜o.
• Os nu´meros reais, que sa˜o os elementos do conjunto dos reais, satisfazem esses axiomas, mas apenas esses
axiomas na˜o caracterizam os nu´meros reais, isto e´, na˜o sa˜o apenas os nu´meros reais que satisfazem esses
axiomas. Os nu´meros racionais, os nu´meros irracionais e os nu´meros complexos tambe´m satisfazem esses
axiomas.
• Os nu´meros naturais surgiram historicamente com o objetivo de contar objetos, onde poderia juntar
objetos e contar, isto e´, somar, poderia juntar por grupos, isto e´, multiplicar. Isto e´, nos nu´meros
naturais, poderiam definir as operac¸o˜es soma e multiplicac¸a˜o. A lei de formac¸a˜o dos naturais comec¸ou
com o nu´mero 1, depois, somando 1 ao 1, obte´m o 2, somando 1 ao 2, obte´m o 3, depois foi estabelecido
que todo nu´mero natural pode ser obtido como a soma de um outro nu´mero natural com o nu´mero 1 ,
isto e´, todo nu´mero natural tem um sucessor, logo 8 e´ o sucessor de 7, 1001 e´ o sucessor de 1000, assim
por diante.
E assim, o conjunto dos naturais e´ {1, 2, 3, 4, 5, · · · }, como ja´ sabemos e´ denotado por N.
No conjunto N dos naturais na˜o existe o elemento neutro da soma, nem o elemento sime´trico, mas existe
o elemento neutro do produto, o u´nico elemento que possui elemento inverso e´ o pro´prio elemento neutro
1.
• O conjunto Z dos nu´meros inteiros e´ formado pelos nu´meros naturais, pelo zero e pelos sime´tricos dos
naturais. Isto e´, Z = {0, 1,−1, 2,−2, 3,−3, · · · }.
No conjunto Z dos inteiros, os u´nicos nu´meros que possuem elemento inverso sa˜o o 1 e o −1.
• Agora vamos ver que a subtrac¸a˜o, a divisa˜o e as poteˆncias naturais podem ser definidas usando os axiomas
alge´bricos.
• Outra notac¸a˜o para o elemento inverso de a e´ a−1, isto e´, a−1 = 1
a
.
2.2 Definic¸a˜o das operac¸o˜es subtrac¸a˜o e divisa˜o e da poteˆncia natural
Definic¸a˜o (Subtrac¸a˜o) Sejam a, b ∈ R.
A subtrac¸a˜o b de a e´