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Introdu�c�ao �a Astrof��sica Nuclear Takeshi Kodama Instituto de F��sica � UFRJ Contents � Introdu�c�ao � � Diagrama HR � ��� Luminosidade � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Temperatura da Superf��cie e � Indice de Cor � � � � � � � � � � � � � � �� ��� Diagrama HR � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � Estrutura Estelar �� ��� Princ��pio Variacional � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� Equil��brio Hidrost�atico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� Modelo Politr�opico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� G�as de El�etrons Degenerados e o Limite de Chandrasekhar � � � � � � ��� Teorema Virial � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � Processos Microsc�opicos � �� Equil��brio Termodin�amico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Equil��brio Local e Hidrodin�amico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ���� Descri�c�ao Euleriana e Lagrangeana da Hidrodynamica � � � � ���� Hidrodin�amica Adiab�atica� Onda de Som � � � � � � � � � � � � ���� Viscosidade� Equa�c�ao de Navier�Stokes � � � � � � � � � � � � ��� Varia�c�ao de Composi�c�ao Qu��mica� Rea�c�oes � � � � � � � � � � �� �� Estrutura Estelar � Caso Est�atico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � Teoria Cin�etica dos Gases e Fen�omeno de Transporte � � � � � � � � � � �� Fun�c�ao de Distribui�c�ao e Equil��brio T�ermico � � � � � � � � � �� � �� Se�c�ao de Choque � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �� Equa�c�ao de Boltzman � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Evolu�c�ao Estelar e Nucleo�S��ntese ��� Equa�c�oes para Evolu�c�ao Temporal � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Energia de Liga�c�ao Nuclear � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Contents � ��� Fator de Gamow � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Principais Etapas de N�ucleo�Sint�ese Estelar � � � � � � � � � � � � � � �� �� Queima do Hidrog�enio � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� Queima do H�elio � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� Processo � e etapa avan�cada � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � Processo e � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� Processo s e Processo r � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Supernova � �� Hist�orico e Morfologia � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� Colapso Estelar � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Neutroniza�c�ao � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Onda de Choque � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Papel dos Neutrinos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� � Estrela de N�eutrons e Buracos Negros �� �� Relatividade Geral � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ���� Conceitos B�asicos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ���� Equa�c�ao de Einstein � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ���� Solu�c�ao de Schwartzchild � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� Estrutura das Estrelas de n�eutrons � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ���� Equil��brio Hidrost�atico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ���� Princ��pio Variacional � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� �� Mat�eria Nuclear e Al�em � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ���� Sistema de Unidade Natural � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ���� Pr�otons numa Estrela de n�eutrons� � � � � � � � � � � � � � � �� ���� Equa�c�ao de Estado da Mat�eria Nuclear � QHD � � � � � � � � ��� ��� Plasma de Quarks e gl�uons � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ���� Estrelas de quarks e estrelas estranhas � � � � � � � � � � � � � � � Coment�arios Finais ��� Ap�endices �� ��� C�odigo FORTRAN para resolver a Equa�c�ao de Lane�Emden � � � � � � ��� Convers�ao da Equa�c�ao de Euler para um sistema de coordenadas Lagrangeano � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ��� C�odigo FORTRAN para calcular a energia da mat�eria nuclear pelo Modelo de Walecka � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Contents � �� Constantes F��sico�Qu��micos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� � Introdu�c�ao O nascimento do Universo �Big�Bang� e os estados ca�oticos de mat�eria gerados em seguida� expans�ao do Universo e o esfriamento da mat�eria� a forma�c�ao das es� truturas de grande escala� a forma�c�ao de gal�axias e o nascimento de estrelas� a evolu�c�ao estelar e as rea�c�oes nucleares que ocorrem no centro das estrelas� suas violentas mortes como a explos�ao de supernovas� objetos extraordin�arios tais como pulsares �estrela de n�eutrons� e buracos negros� o mecanismo de reciclagem c�osmica da mat�eria� a forma�c�ao de sistema planet�arios e o surgimento de vida��� todos comp�oem cen�arios de um �epico dram�atico extremamente grandioso da Natureza� Neste super�espet�aculo� h�a dois protagonistas� a energia e a gravita�c�ao� Outras formas de intera�c�ao da mat�eria tais como intera�c�ao eletromagn�etica� intera�c�ao forte �nuclear� e intera�c�ao fraca aparecem como antagonistas em cada cen�ario� Os homens s�o come�caram a assistir a este drama bem recentemente� sem saber de onde vem� e para onde vai a hist�oria� Certos cen�arios n�ao s�ao triviais e exigem conhecimentos cient���cos para compreender seu signi�cado� Neste pequeno curso� gostaria de apresentar um guia bem resumido para compreender alguns destes cen�arios� Para come�car� vamos apresentar os protagonistas e seus antagonistas� � Energia� � As vezes ela �e a fonte de movimento� �as vezes assume a forma de mat�eria �massa�� Ela �e intimamente ligada �a pr�opria exist�encia do Universo���� O que �e ela� De onde veio� � Gravita�c�ao� A for�ca que atua entre duas massas� A propriedade caracter��stica desta for�ca �e que ela �e sempre atrativa� independente se a massa �e de mat�eria ou de antimat�eria� Al�em disto� o alcance desta for�ca �e in�nitamente longo� Como conseq�u�encia� a for�ca gravitacional �e cumulativa� Desta forma� ape� sar de que numa escala microsc�opica a for�ca gravitacional �e completamente desprez��vel comparada com outro tipo de for�ca �por exemplo� a for�ca eletro� magn�etica�� ela se torna a for�ca dominante na escala macrosc�opica� em par� ticular� em escalas astron�omicas� Segundo a rela�c�ao de Einstein entre a massa �� Introdu�c�ao � e energia� E � mc � � a energia e a massa s�ao equivalentes como a fonte de for�ca gravitacional� Quando a for�ca gravitacional se torna extremamente intensa� at�e distorce o palco� o espa�co�tempo� Ali�as� segundo a teoria de relatividade geral� a distor�c�ao do palco e a gravita�c�ao s�ao uma coisa s�o� � Mat�eria� A mat�eria �e uma forma da Energia� Mas� dentro de um determinado cen�ario� existem v�arias formas de mat�eria� preservando suas identidades du� rante processos din�amicos� Em cada escala de energia� o bloco unit�ario que de�ne as propriedades din�amicas da mat�eria pode ser distinto� como resumido na tabela I� TABLEA �I Energia por part��cula Estrutura da Mat�eria � eV � Atomos� Mol�eculas keV �MeV N�ucleos�el�etrons MeV � GeV Nucleons�part��culas elementares � GeV Quarks � Gl�uons �� TeV � � Os l�eptons e fot�ons� Al�em da forma acima da mat�eria� existem outros tipos da mat�eria� i�e�� os l�eptons �el�etron� m�uon� neutrino� e f�otons� que fazem papel decisivo em certos cen�arios� � Intera�c�oes� Al�em da for�ca gravitacional� existem for�cas que atuam entre as part��culas� Tradicionalmentefala�se de intera�c�ao eletromagn�etica �EM�� in� tera�c�ao forte e intera�c�ao fraca� Veja a tabela II� �� Introdu�c�ao � TABELA II Tipo da Part��culas Fen�omenos Teoria b�asica Bosons Intera�c�ao envolvidas T��picos Intermedi�arios Forte H�adrons Estrutura QCD gl�uons �p� n� ��K� ��� dos N�ucleos e quarks part��culas �u� d� s� �� elementares EM Qualquer Estrutura QED F�oton Part��cula dos Carregada � Atomos� Mol�eculas Fraca l�eptons� Decaimento � Eletrofraca Z�W quarks Opacidade de � Aqui� QCD �e a abrevia�c�ao deQuantum Chromodynamics �Cromodin�amicaQu�antica� e QED �e a de Quantum Electrodynamics �Eletrodin�amica Qu�antica�� Numa teoria qu�antica dos campos� a intere�c�ao entre duas part��culas �e descrita como a con� sequ�encia de troca de uma outra part��cula intermedi�aria da intera�c�ao� Na �ultima coluna s�ao indicadas tais part��culas para cada intera�c�ao� Hoje sabemos que a in� tera�c�ao EM �e um setor da intera�c�ao Eletrofraca� Ou seja� as intera�c�oes Eletro� magn�etica e Fraca s�ao uni�cadas numa teoria s�o� Acredita�se ainda que as tr�es intera�c�oes possam ser uni�cadas em uma teoria GUT �Grand Uni�ed Theory�� Numa teoria de corda super�sim�etrica tem�se a esperan�ca de uni�car a intera�c�ao gravitacional� tamb�em� A intera�c�ao eletromagn�etica tem um alcance in�nito como a for�ca gravitacional� e sua intensidade de intera�c�ao �e muito superior �aquela da intera�c�ao gravitacional� Por�em� as for�cas sempre tendem a se cancelar devido �a presen�ca de cargas de sinais opostos �blindagem�� Para se ter uma id�eia� a raz�ao entre a for�ca gravitacional �F G � �� Introdu�c�ao e EM �F EM � entre dois pr�otons separados por uma dist�ancia R �e � � � � F G F EM � � � � � GM � �R e � �R � � � �� �� � ��� � �� ��� � � �� � �� � �� �� � �� ��� � ���� �� ��� � portanto� a intera�c�ao gravitacional seria completamente desprez��vel comparada �a intera�c�ao eletromagn�etica� A intera�c�ao forte �e cerca de ��� vezes mais intensa do que a intera�c�ao EM na mesma escala de energia� A intera�c�ao fraca �e �� ��� vezes mais fraca que EM nesta mesma escala� Ambas s�ao de curto alcance� ou seja� nas dist�ancias macrosc�opicas� estas for�cas n�ao atuam� Como podemos imaginar� as v�arias formas de intera�c�ao� mat�eria� energia e gravita�c�ao se confundem entre si� em particular� no in��cio do Universo� Pela limita�c�ao do tempo� n�ao abordaremos este assunto neste curso� Aqui� tentaremos compreen� der alguns dos cen�arios associados �a vida de uma estrela� desde o seu nascimento at�e a sua morte� � Diagrama HR Diferentemente da F��sica que se faz no laborat�orio� inclusive F��sica Nuclear e de Part��culas� na Astrof��sica� as informa�c�oes s�o podem ser obtidas pelas observa�c�oes passivas� ou seja� n�ao �e poss��vel fazer experi�encias para veri�car as hip�oteses ou modelos� Na medalha de ouro do Pr�emio Nobel� existe de um lado o relevo do rosto de Alfred Nobel� enquanto no outro h�a um desenho da deusa da Natureza� Ela est�a usando um v�eu o qual est�a sendo levantado por outra deusa� a Ci�encia� O Prof� S� Tomonaga� ganhador do Pr�emio junto com Feynmann e Schwinger por sua teoria de renormaliza�c�ao� fazendo uma analogia entre o ato de levantar o v�eu da Natureza com os aceleradores de grande porte� mencionou que existiriam outras maneiras de se obter informa�c�oes sobre a Natureza sem precisar levantar o v�eu� o ato que poderia ser ofensivo� Ter as informa�c�oes ou n�ao sobre a Natureza sem levantar o v�eu depende de qu�ao inteligentemente os homens s�ao capazes de interpretar os sinais da Natureza� Neste sentido� o diagrama HR �e uma das mais brilhantes e importantes descobertas na Astronomia� O nome HR �e a abrevia�c�ao dos nomes de dois astr�onomos� E� Hertzsprung ������ e H�N� Russel ������ que utilizaram o diagrama para demonstrar uma forte correla�c�ao entre cor e luminosidade das estrelas� ��� Luminosidade A luminosidade de uma estrela �e de�nida como a quantidade de energia emitida pela estrela por unidade de tempo� Por�em� por raz�oes hist�oricas� existem v�arias maneiras de expressar a luminosidade� De forma geral� uma estrela emite sua ener� gia basicamente de � formas� �� luminosidade fot�onica� �� luminosidade de neutrino� �� emiss�ao de massa� As luminosidades de neutrino e de massa s�ao importantes em certas etapas de evolu�c�ao� mas no momento� para simpli�car a argumenta�c�ao� s�o vamos tratar da luminosidade fot�onica� A luminosidade fot�onica pode ser expressa em termos de uma integral sobre ���� Luminosidade todas freq�u�encias� L � � �R � Z � � F � d � ����� onde F � �e o �uxo de energia dos f�otons com comprimento de onda liberado da superf��cie da estrela� N�ao havendo perdas no meio do caminho� o �uxo correspon� dente na dist�ancia r �ca f � � R � r � F � � ����� Para uma estrela cuja dist�ancia da terra �e r� o brilho aparente da estrela� medido na superf��cie da terra por um qualquer tipo de detetor� pode ser escrito por b � �a � Z f � A � R � d � onde A � �e o fator que vem do efeito atmosf�erico� R � �e a e�ci�encia do detetor usado e �a � �e a �area da abertura do detetor� O fator R � pode ser controlado de acordo com a escolha da faixa de comprimento de onda �por exemplo� um �ltro�� O fator atmosf�erico n�ao �e trivial de ser avaliado� Em geral utilizam�se estrelas padr�oes para calibra�c�ao� A magnitude �e de�nida por � � m � ��� � log �� b �m � � onde m � �e escolhido dependendo do sistema �tipo de detetor�� Naturalmente a magnitude aparente leva em conta a dist�ancia da estrela �a Terra� Para discutir propriedades de um conjunto de estrelas que pertencem a um mesmo aglomelado� a diferen�ca nas dist�ancias entre elas �e um fator pouco relevante� pois a dist�ancia entre a Terra e o aglomerado �e em geral muito mair que a difer�en�ca nas dist�ancias entre estrelas� Entretanto� para discutir a luminosidade intrins�eca de uma estrela� �e necess�ario efetuar uma normaliza�c�ao� Para este �m� utilizamos o brilho absoluto� que representa o brilho que a estrela teria a uma dist�ancia padr�ao r � � B � � r r � � � b onde r � �e escolhido como ��pc � �pc � �� �� � �� �� cm � �� � � ano�luz�� Con� seq�uentemente� a magnitude abosoluta �e dada por M � m� �� � log �� �r�pc�� � A origim do logaritmo aqui v�em de fato que a sensibilidade humano para os stimulos esternos �e aproximadamente linear ao logaritmo da energia do estimulo� Por exemplo� para audi�c�ao� usa a medida chamado db� que �e proporcional ao logaritmo da energia sonora� ���� Temperatura da Superf cie e Indice de Cor �� A magnitude corrigida dos fatores atmosf�ericos e da e�ci�encia do detetor �e chamada de magnitude bolom�etrica� Em termos da luminosidade solar� L � � temos M b � ��� � log �� L L � � � �� e L � � �� ��� �� �� ergs�s� A magnitude bolom�etrica absoluta do Sol �e de � �� ��� Temperatura da Superf��cie e � Indice de Cor Falaremos mais tarde um pouco mais quantitativamente sobre a estrutura estelar� mas os f�otons s�ao emitidos de uma camada �na da superf��cie estelar �fotosfera�� num razo�avel grau de aproxima�c�ao� como se fosse um corpo negro� A intensidade de energia emitida por unidade de �area e comprimento de onda do corpo negro �e dada por I � � ���� � c � � � � e ��c���kT � � � ����� onde � �e a constante de Plank divididopor ��� k �e a constante de Boltzman� e T �e a temperatura� Na Fig� �� desenhamos esta fun�c�ao para tr�es diferentes temperaturas� O ��ndice de cor �e de�nido como a diferen�ca de magnitudes para dois diferentes �ltros� por exemplo� B�lue� �azul �ou fotogr�a�co� e Visual � amarelo�� O �ltro B est�a centralizado na regi�ao � ��� � A � e o �ltro V est�a em torno de � ���� � A � O ��ndice B�V mede essencialmente a temperatura� sendo un��voca a rela�c�ao entre estas grandezas� ��� Diagrama HR Para uma dada estrela cujo dist�ancia �e conhecido� podemos obter sua luminosi� dade L �ou equivalentemente a magnitude absoluta M� e seu ��ndice de cor B � V �ou� equivalentemente� a temperatura efetiva super�cial T �� Estes dois n�umeros de�nem um sistema de coordenadas no plano x�y� onde x � B � V �ou T �� y � L �ouM�� Podemos agora colocar as estrelas neste plano� O fato surpreendente �e que a distribui�c�ao das estrelas neste plano n�ao �e homog�enea� mas mostra uma forte correla�c�ao� Perto de �� � das estrelas na nossa Gal�axia se situam numa banda di� agonal neste plano� Esta banda �e chamada a Seq�u�encia Principal por raz�oes �obvias� ���� Diagrama HR �� O nosso Sol tamb�em est�a na Seq�u�encia Principal� Sabemos que a Seq�u�encia Princi� pal �e a primeira etapa da s�erie de rea�c�oes termonucleares que ocorrem no processo de evolu�c�ao estelar� No centro das estrelas da Seq�u�encia Principal� o hidrog�enio �e queimado para formar o caro�co do H�elio� Al�em da Seq�u�encia Principal� s�ao obser� vadas certas regi�oes isoladas� como ilustrado esquematicamente na Fig��� Alguns importantes grupos s�ao� � Gigantes Vermelhas� A pr�oxima etapa da evolu�c�ao depois da Seq�u�encia Prin� cipal� O caro�co de H�elio est�a sendo queimado para formar Carbono� � Subgigantes� Aparentemente estas s�ao as estrelas que se caminham para a regi�ao das Gigantes� iniciando a queima de H�elio no centro� � Supergigantes� Neste grupo encontramos as estrelas com todos os tipos de cor� apresentando uma grande luminosidade �L � �� � L � �� � An�as Brancas� Estas s�ao estrelas com massa da ordem da massa solar � � � � �� �� g� com raio similar ao da Terra � ����� do Sol� tendo� portanto� uma densidade cerca de ��������� vezes maior do que a do Sol� Em termos de n�umero� elas s�ao as mais populosas ap�os a Seq�u�encia Principal� mas muitas n�ao s�ao observ�aveis devido �a sua baixa luminosidade� Estas s�ao estrelas no est�agio �nal de sua evolu�c�ao� Hoje� pela teoria moderna da evolu�c�ao estelar� temos uma id�eia geral sobre a origem desta correla�c�ao entre o ��ndice de cor e a luminosidade que se manifesta no diagrama HR� mas ainda falta muito para ser esclarecido� O diagrama HR �e ex� tremamente importante� pois al�em da sua utilidade pr�atica tal como� por exemplo� uso como calibra�c�ao para determinar a dist�ancia aos agromelados de estrelas� ele serve como uma ponte fundamental na teoria de evolu�c�ao e estrutura estelar� � Estrutura Estelar ��� Princ��pio Variacional Por que as estrelas s�ao redondas� Para responder a esta pergunta� o melhor �e reformular a quest�ao em termos de princ��pio variacional� O m�etodo de Princ��pio Variacional n�ao �e importante apenas para responder a esta quest�ao mas para v�arios assunto neste curso� Portanto� �e conveniente fazer uma pequena revis�ao do metodo aqui� Varia�c�ao de fun�c�oes Vamos considerar primeiro o problema de se obter o ponto m��nimo de uma fun�c�ao� y � f�x�� ����� Neste caso� sabemos que o m��nimo �ou m�aximo� �e dado pelo ponto onde a derivada �e nula� df dx � � � � � x x m � �� ����� Isto signi�ca que a varia�c�ao de y em torno do ponto x � x m �e nula at�e a primeira ordem � em x� yj x x � � f�x m � x�� f �x m � � df dx � � � � � x x m x �O� x � �� �� ����� Para uma fun�c�ao de duas vari�aveis� y � f�x � � x � �� ��� � � Daqui por diante� consideraremos apenas varia�c�oes de uma fun�c�ao ou funcional at�e a primeira ordem� exceto especi�cado diferentemente� ���� Princ pio Variacional �� o ponto �x �m � x �m � de m�aximo� ou m��nimo� de y �e caracterizado pela condi�c�ao� yj x �m �x �m � � f�x �m � x � � x ��m � x � �� f �x �m � x ��m � � �f �x � x � � �f �x � x � � x � rf j x �m �x ��m � � � para qualquer varia�c�ao in�nitesimal de x � e x � � x � e x � � Na equa�c�ao acima� introduzimos a nota�c�ao vetorial� rf � � �f��x � �f��x � � � � ���x � ���x � � f e x � � x � x � � � que �e �util para generalizar os resultados para uma fun�c�ao com qualquer n�umero de vari�aveis� M�etodo da Constante Multiplicadora de Lagrange Frequentemente temos que encontrar um m��nimo de uma quantidade com v��nculos� Por exemplo� a �area de um rectangulo de largura x e altura y �e S � S�x� y� � xy� ����� Queremos maximizar esta �area sob a condi�c�ao x � y � a� ��� � Neste caso� poderiamos eliminar uma das vari�aveis� x ou y da Eq���� � e procurar o m��nimo de S� Entretanto� a forma de v��nculo pode ter uma forma mais complicado do que Eq���� � e a elimina�c�ao de uma das vari�aveis pode se tornar complicada� Um m�etodo muito e�ciente e frequentemente usado �e o m�etodo de constante mul� tiplicadora de Lagrange� Escrevendo o v��nculo ��� � na forma ��x� y� � �� ��� � onde obviamente ��x� y� � x � y � a ���� Princ pio Variacional �� as varia�c�oes de x e y devem satisfazer � � �� �x x � �� �y y � r � r� � �� ����� Por outro lado� em torno do ponto m�aximo da �area� sua varia�c�ao �e nula para qualquer r que satisfaz �a Eq������� S � �S �x x � �S �y y � r � rS � �� ����� A �unica possibilidade para satisfazer as Eqs������ e ����� simultaneamente para qualquer r �e que os dois vetores� rS e r�� sejam paralelos� rS � r�� ������ onde �e uma constante arbitr�aria� Por outro lado� se a Eq������� �e v�alida� a equa�c�ao r � �rS � r�� � r � r�S � �� � �� ������ �e sempre verdade para qualquer r� Mas� neste caso� a Eq������� �e equivalente a dizer �S � �� � �� ������ para qualquer r� Isto �e� o problema de procurar o m�aximo da �area S sob o v��nculo Eq���� � �e equivalente a procurar o m�aximo da fun�c�ao� S � �� sem nenhum v��nculo� onde �e uma constante a ser determinada� Este �e o m�etodo da constante multiplicadora de Lagrange o qual incorpora o v��nculo num problema de pinc��pio variacional� Vamos aplicar o m�etodo para o caso de se procurar o m�aximo da �area descrita acima� Neste caso� S � xy� � � x� y � a� ���� Princ pio Variacional �� e� portanto� �xy � �x � y � a� � �� Tomando independentemente as derivadas em rela�c�ao a x e y� temos y � � �� x� � �� Da��� eliminando e utilizando o v��nculo� temos os valores de x e y que d�ao o m�aximo de S como x � y � a��� O valor m�aximo de S �e� portanto� �a��� � � O m�etodo pode ser generalizado para casos onde existam mais do que um v��nculo entre as vari�aveis� Sejam � � �x�� x�� ���� x n � � �� � � � � m �x�� x�� ���� x n � � �� m v��nculos entre as vari�aveis� x � � ���� x n � Um m�aximo �ou m��nimo� local de uma fun�c�ao f �x � � ���� x n � �e dado pela condi�c�ao F � �f � m X i � i � i � � �� ������ para qualquer f x i g� Funcional Um funcional�e uma fun�c�ao de uma fun�c�ao� Por exemplo� a �area entre uma fun�c�ao� y � f�x� e o eixo X no intervalo de x� �a� b �e dada pela integral A � Z b a f�x�dx� ���� � A �e um funcional de f � Isto �e� o valor de A depende da forma de f � Como sabemos� a integral acima �e o limite n� da soma� A � lim n�� n X i � !x f i � ������ ���� Princ pio Variacional �� onde f i � f�x i �� !x � b� a n � x i � a � �i� ��!x� Desta forma� podemos considerar A a fun�c�ao de ff i � i � �� ���� g� Em geral� um funcional �e nada mais do que uma fun�c�ao de in�nitas vari�aveis� Equa�c�ao de Euler�Lagrange Obter umm�aximo �ou m��nimo� local de um funcional �e um processo completamente an�alogo ao de procura do extremo de uma fun�c�ao� Vamos considerar um funcional que tenha a forma� I�f � Z b a L � f� df dx � dx� ���� � Queremos obter a forma de f que d�a o valor m�aximo �ou m��nimo� de I� Para isto� introduzimos a varia�c�ao de f � ponto a ponto� isto �e� f�x�� f�x� � f�x�� ���� � onde f�x� �e a varia�c�ao de f no ponto x � x� A varia�c�ao de I correspondente �ca I � I�f � f � I�f � Z b a dx � L � f � f� d�f � f� dx � � L � f� df dx �� � ������ Utilizando a rela�c�ao� d�f � f� dx � df dx � d� f� dx � e expandindo o primeiro termo da Eq������� em f � L � f � f� d�f � f� dx � � L � f� df dx � � f �L �f � d� f� dx �L � � df dx � � � � � ������ temos I � Z b a dx � � f �L �f � d� f� dx �L � � df dx � � � ������ ���� Princ pio Variacional � Aplicando integra�c�ao por partes no segundo termo� I � Z b a dx f�x� � � �L �f � d dx � � �L � � df dx � A � � � � � f�x� �L � � df dx � � � � � � � � x b x a � ������ � E bastante comum que as varia�c�oes de f sejam feitas utilizando�se a condi�c�ao de que f � � em x � a e x � b� f�a� � f�b� � �� ������ Neste caso� temos I � Z b a dx f�x� � � �L �f � d dx � � �L � � df dx � A � � � ������ Se f m �x� �e a fun�c�ao que corresponde o m�aximo �ou m��nimo� de I� ent�ao devemos ter I � Z b a dx f�x� � � �L �f � d dx � � �L � � df dx � A � � f f m � �� ���� � para qualquer varia�c�ao f � Assim� concluimos que a fun�c�ao f m �x� tem que satisfazer �a equa�c�ao diferencial� � � �L �f � d dx � � �L � � df dx � A � � f f m � �� ������ Esta �e a equa�c�ao de Euler�Lagrange para a funcional ���� �� A Eq����� � pode ser escrita na forma� I � lim n�� !x n X i � f i � � �L �f � d dx � � �L � � df dx � A � � f i f m� i � ���� � da mesma forma com na Eq�������� Desta forma� podemos identi�car que � !x �I ff i g �f i � �L �f � d dx � � �L � � df dx � A � ���� � ���� Equil brio Hidrostatico �� Assim� de�nimos a derivada funcional para o funcional I como I f � �L �f � d dx � � �L � � df dx � A � ������ V��nculo Funcional Quando existir um v��nculo� podemos tratar�lo em termos do m�etodo de constante multiplicadora de Lagrange� Seja I � I�f um funcional que deve ser maximizado �minimizada� e " � "�f o v��nculo para f � dada na forma funcional� Neste caso� a fun�c�ao f deve ser obtida da varia�c�ao� �I � " � �� ������ onde �e uma constante� Em termos de derivada funcional� podemos expressar a condi�c�ao por I f � " f � �� A justi�cativa deste m�etodo �e completamente an�alogo ao caso de fun�c�oes� ��� Equil��brio Hidrost�atico Vamos aplicar o m�etodo de princ��pio variacional para obter a con�gura�c�ao de equil��brio de uma estrela� Considere a energia total de uma estrela que �e a soma da energia interna da mat�eria e da energia gravitacional� Assim� a energia total �ca escrita como E � Z d � r �� r�� G � Z d � r � Z d � r � �� r � ��� r � � j r � � r � j � ������ onde � �e a densidade da energia interna da mat�eria� � a densidade da massa� G �e a constante gravitacional� G � � � �� �� erg cm � �g � � Considerando E como um funcional da densidade �� a con�gura�c�ao de equil��brio da estrela deve corresponder o m��nimo desta funcional� Vamos calcular a varia�c�ao da energia associada �a varia�c�ao do �� Entretanto� note que esta funcional E�� n�ao tem ���� Equil brio Hidrostatico � a forma da Eq����� � e� portanto� a equa�c�ao de Euler�Lagrange n�ao pode utilizada aqui� A varia�c�ao tem que ser calculada de seguinte forma� E � E�� � � � E�� � Z d � r �� �� ��G Z d � r � ��r � � Z d � r � ��r � � j r � � r � j � Z d � r � � �� �� �G Z d � r � ��r � � j r � r � j � � � eq � � ������ Se � � � eq representa a con�gura�c�ao de densidade de equil��brio do sistema� a energia total deve estar no m��nimo� e portanto E deve ser nulo para qualquer varia�c�ao em torno de � eq � Isto signi�caria �� E � �� ������ mas na verdade� precisamos adicionar um v��nculo para a varia�c�ao �� de forma que a massa total do sistema seja conservada� Ou ainda� � n�ao pode ser com� pletamente arbitr�ario� Se esta condi�c�ao n�ao for imposta� o m��nimo da energia do sistema corresponderia sempre a � � �# Denotando a massa total da estrela por M � � a condi�c�ao subsidi�aria seria M � Z d � r � ������ � Z d � r � � �� Agora� utilizando o m�etodo de multiplicadores de Lagrange� podemos formular o problema pela equa�c�ao E � M � �� �� onde �e uma constante� Assim� temos �� Z d � r � � �� �� �G Z d � r � ��r � � j r � r � j � � � � eq � �� ���� � ou� �� �� �G Z d � r � ��r � � j r � r � j � � �� ������ � Usamos a mesma lettra M para a massa e a magnitute� mas n�ao devem ser confundidas� ���� Equil brio Hidrostatico �� Nesta �ultima equa�c�ao� eliminamos o subscrito $eq %� por simplicidade� � E im� portante lembrar que a densidade � que satisfaz a equa�c�ao acima �e sempre a da con�gura�c�ao de equil��brio� O segundo termo �e nada mais do que o potencial grav� itacional no ponto r� �G Z d � r � ��r � � j r � r � j � U Grav � r�� ���� � A constante pode ser eliminada neste caso tomando�se o gradiente de ambos os lados da equa�c�ao� Temos r �� �� �rU Grav � r� � �� ���� � Por outro lado� utilizando a rela�c�ao � � �� �� � p� � � � ������ onde p �e a press�ao� temos r �� �� � r p� � � � � � rp� ������ Logo� � � rp�rU Grav � r� � �� ��� �� mostrando que� em equil��brio� o gradiente da press�ao est�a sendo contrabalan�cadopela for�ca gravitacional em cada ponto� Chamaremos este tipo de equil��brio de equil��brio hidrost�atico �vamos rever esta equa�c�ao do ponto de vista hidrodin�amico� posteriormente�� � �� �� � ��E�V � � � � V � � �V � ��E�V � �V � �V �E �V �E � �p� ��V � p� � � ���� Equil brio Hidrostatico �� Para facilitar a argumenta�c�ao� vamos supor que a densidade em equil��brio hidrost�atico �e esfericamente sim�etrica� �Conceitualmente compreens��vel� pois a for�ca gravita� cional �e atrativa e o m��nimo de energia deve corresponder �a con�gura�c�ao para qual a dist�ancia m�edia entre quaisquer dois pontos da con�gura�c�ao seja a menor� o que corresponde a uma esfera� Podemos provar isto de forma mais rigorosa pelo m�etodo variacional�� Ent�ao� � � ��r�� ��� �� Neste caso� temos U Grav � r� � �G Z d � r � ��r � � j r � r � j � �G � � Z ��r � �r � � dr � d& � � r � � X l � � r � r � � l P l �cos �� � � � � �G � � r Z r � ��r � �r � � dr � � Z � r ��r � �r � dr � � � ��� �� e � rU Grav � �G � r � Z r � ��r � �r � � dr � � ��� �� Assim� a equa�c�ao do equil��brio hidrost�atico �ca escrita na forma compacta� dp dr � � �G � r � Z r � ��r � �r � � dr � � ��� � Note que esta equa�c�ao ainda n�ao �e su�ciente para determinar a con�gura�c�ao � � ��r�� pois a press�ao� p �e� em princ��pio� uma quantidade independente da � Aqui� utilizamos a expans�ao em polinomios de Legendre� � j�r � �r � j � � p r � � �rr � cos � � r � � � � r � � X l�� � r � r � l P l �cos ��� onde r � �r � � �e o maior �menor� entre r e r � � Tamb�em� temos Z d�P l �cos �� � �� l� ���� Modelo Politropico �� densidade� Para determinar a press�ao� precisar��amos da equa�c�ao de estado� p � p��� T �� ��� �� onde T �e a temperatura� Assim� �ca faltando uma equa�c�ao que de�na como a tem� peratura varia com r� Esta pode ser obtida analizando como o calor �e transmitido de uma posi�c�ao para outra pela condutividade t�ermica� Isto �e� precisariamos uma equa�c�ao que descrever o mecanismo de transmiss�ao da energia� Mas� em estados est�aticos ou estacion�arios� podemos considerar que a temperatura �e determinada em cada ponto� e por sua vez� T � T ��� Desta forma� podemos considerar p � p���� ��� � efetivamente� Naturalmente� nos casos gerais� esta fun�c�ao �e conseq�u�encia de muitos processos f��sicos tais como o mecanismo de produ�c�ao de energia e condu�c�ao do calor no interior da estrela� o grau de ioniza�c�ao do g�as� etc� ��� Modelo Politr�opico Para discutir quantitativamente a estrutura estelar evitando envolver estes proces� sos complicados� Lane e Emden propuseram um modelo politr�opico para a equa�c�ao de estado da mat�eria estelar� descrito pela rela�c�ao p � K� �� � n � ��� � onde n �e uma constante chamada de ��ndice politr�opico� Embora esta seja uma aproxima�c�ao� em certas situa�c�oes esta modelagem corresponde bem a realidade� Introduzindo as seguintes transforma�c�oes de vari�aveis� r � a�� e � � � � � n � sendo a � � � �n� ��K� � n �� � �G � � ��� � ���� Modelo Politropico �� e p � K� �� � n � � n�� � ��� �� Tomando a derivada da equa�c�ao de equil��brio hidrost�atico Eq���� � temos � r � d dr � r � � � dp dr � � � �G��r�� ��� �� Esta equa�c�ao pode ser re�escrita nas novas vari�aveis como d � d� � ���� � ��� n � ������ que �e a equa�c�ao de Lane�Emden� Esta equa�c�ao deve ser resolvida com a condi�c�ao inicial� ���� � �� d� d� � � � � � � � �� onde a primeira condi�c�ao vem da de�ni�c�ao do � � �ver a segunda das Eq���� ���� e a segunda vem da propriedade r� � � em r � � ������ Para certos valores de n� podemos achar uma solu�c�ao anal��tica� � Para n � �� d � d� � ���� � ��� e� portanto� � � �� � � � � � Para n � �� d � d� � ���� � ���� e� portanto� � � sin � � � ���� Modelo Politropico �� Naturalmente� esta solu�c�ao somente �e v�alida para � � �� Assim� o raio da estrela �e determinado pela valor de � correspondente ao primeiro zero � � da fun�c�ao �� Por exemplo para n � �� � � � p � �� �� enquanto que para n � �� � � � �� Vamos resolver a equa�c�ao de Lane�Emden numericamente� Podemos aplicar o algor��tmo padr�ao para integra�c�ao� por exemplo o m�etodo de Runge�Kutta de a ordem� mas existem � pontos para os quais deve ser tomado cuidado� Para resolver numericamente� avan�camos passo a passo� digamos !�� do centro � � � para fora� No ponto � � �� o lado direito da equa�c�ao� � �� � � � � � � � � � n � ������ �ca indeterminado numericamente� pois � � � � � �� Para evitar o erro de trunca� mento� devemos usar a express�ao obtida pela expans�ao de Taylor na origem para calcular � �� para um pequeno valor de �� � � �� � � � � n �# � � � # n��n� �� �# � � � � � � ������ O segundo ponto �e que� como n�ao sabemos o valor de � � �zero de �� a priori� pre� cisamos ter um algoritmo para terminar o processo de solu�c�ao num�erica exatamente no ponto � � � Em particular� como usualmente o c�alculo num�erico falha para expo� nencia�c�ao de um n�umero negativo� temos que evitar o processo de c�alculo invadir na regi�ao � � � � � Para isto podemos aplicar o m�etodo bisection � para diminuir o passo do incremento� O algoritmo seria� �� No ponto � � � s�ao dados valores de ��� ��� � � e passo !�� �� Resolve um passo � � � � � � � �!�� �� Durante a etapa �� se acontecer � � �� vai para etapa � sen�ao� avan�ca � � atualizando seu valor por � � �!� � � � e retorna �a etapa �� � Dividir o passo por � quando ultrapassa o limite� ���� Modelo Politropico �� � Divide o passo por �� !� � !��� e se !� n�ao for su�cientemente pequeno� volta para etapa �� Se !� �cou menor que o determinado limite inferior �por exemplo� tipicamente� �� �� �� termina o c�alculo� registrando o valor do � � como � � � Na Fig��� mostramos algumas solu�c�oes da Equa�c�ao de Lane�Emden� Veja na Ap�endice I� um programa em FORTRAN para obter as solu�c�oes politr�opicas� com v�arios val� ores de n� A grande vantagem do modelo politr�opico �e que podemos descrever a estrutura interna de uma estrela em termos de pequenos par�ametros� ou seja� � � e K� para dado n� Assim� o raio da estrela �e dado por� R � a� � � � � �n� ��K� � n �� � �G � � ��� � � � ���� � e a massa �ca M � � Z R � � r � dr � �a � � � Z � � � n � � d�� Mas da equa�c�ao de Lane�Emden� temos d d� � � d� d� � �� � � n � ������ e� portanto� M � � �a � � � Z � � d d� � � � d� d� � d� � � �a � � � � � � d� d� � � � � � � �n� ��K �G � ��� � ��n �n � � � � d� d� � � � ���� � Esta f�ormula mostra que a massa e a densidade central da estrelaest�ao relacionadas por M � � ��n���n � ���� � ���� Modelo Politropico �� Assim� para n � �� � � �e crecente com M ' para n � �� decrecente� Para n � �� a densidade central �e independente da massa M � M � � � �n � ��K �G � ��� � ����� � ������ Se a rela�c�ao entre a densidade e a press�ao� Eq���� �� for v�alida mesmo para den� sidades fora do equil��brio� ou seja� se esta rela�c�ao valesse para a varia�c�ao da den� sidade� as con�gura�c�oes para n � � s�ao n�ao est�aveis� Isto �e f�acil de ser visto pois� mantendo M � e aumentando a densidade central pela contra�c�ao do sistema� a en� ergia total �ca menor que o valor do equil��brio hidrost�atico� Do ponto de vista variacional� uma solu�c�ao da Equa�c�ao Lane�Emden corresponde a con�gura�c�ao de m�axima da energia total para n � �� Por outro lado� para as estrelas quentes com g�as ionizados� �e poss��vel ter a con�gura�c�ao est�avel mesmo para n � �� Isto porque� a rela�c�ao Eq���� � �e uma rela�c�ao efetiva e s�o vale na con�gura�c�ao de equil��brio� e n�ao a rela�c�ao funcional verdadeira entre � e p �lembre a exist�encia da temperatura ou entropia�� Como exemplo� vamos considerar o caso em que no interior de uma estrela a raz�ao entre a press�ao de g�as �ideal� P g e a press�ao de radia�c�ao P � seja quase constante� Neste caso� a press�ao total pode ser escrita como p � P g � P � � ������ P g � �P� ��� �� P � � ��� ��P� ��� �� onde � �e uma constante� Por outro lado� cada press�ao est�a relacionada �a temper� atura T por� P g � N A � � kT� ��� �� P � � � � aT � � ��� �� onde N A �e a constante de Avogadro� a �e a constante de Stefan�Boltzman� e � �e chamado de peso molecular m�edio� de�nido por � � �� Z � � A �� X Z X z Z � � A � ��� � ���� Gas de Eletrons Degenerados e o Limite de Chandrasekhar � que �e a m�edia� ponderada pela concentra�c�ao X z � dos graus de liberdade �Z dos el�etrons � � do n�ucleo� do g�as completamente ionizados� Eliminando T das eqs� ��� �� e ��� �� e expressando a press�ao em termos de �� temos p � � � � N a k � � � � a �� � � � � � ��� � ��� � ��� �� Esta express�ao �e sempre v�alida para um g�as completamente ionizado� A raz�ao entre a press�ao de g�as e a press�ao de radia�c�ao em geral n�ao se mant�em constante alongo a dist�ancia do centro para fora no interior de uma estrela� Mas� numa situa�c�ao chamada de equil��brio radiativo� a constancia de � �e uma boa aproxima�c�ao como veremos posteriormente� O modelo estelar com a con�gura�c�ao dada pelo politr�opico de ��ndice � �e as vezes citado como modelo padr�ao politr�opico� ��� G�as de El�etrons Degenerados e o Limite de Chandrasekhar O exemplo em que a rela�c�ao Eq���� � se torna real� independentemente da tem� peratura� �e o caso de an�as brancas� Nestas estrelas� a densidade interior delas �ca t�ao grande que a press�ao t�ermica se torna desprez��vel comparada �aquela do g�as de el�etrons degenerados� Vamos rever as propriedades de g�as de el�etrons degenerados� Para alta densidade da mat�eria� os �atomos se aproximam tanto que os el�etrons n�ao �cam ligados aos �atomos individualmente� Neste caso� a fun�c�ao de onda dos el�etrons pode ser considerada� aproximadamente� uma onda plana� �� r� � � p V e i k� r � ��� � onde V �e o volume da mat�eria em considera�c�ao� Para N el�etrons� a fun�c�ao de onda �e dada pelo determinante de Slater� �� r � � r � � � � � � r N � � � p V n N # Det � � �e i k i � r j � � � ��� � onde a propriedade fermi�onica dos el�etrons �e levada em conta pela antisimetriza�c�ao da fun�c�ao de onda total� Ou seja� nenhum estado pode ser ocupado por mais de um el�etron devido ao Princ��pio de Exclus�ao de Pauli� Isto implica que� a cada onda plana k i � podemos associar� no m�aximo� � el�etrons �devido ao grau de liberdade de ���� Gas de Eletrons Degenerados e o Limite de Chandrasekhar �� spin�� Para simpli�car� vamos considerar uma caixa c�ubica de volume V � L � � Os n�umeros de ondas permitidos s�ao� k � �k x � k y � k z �� k x � � L n x � k y � � L n y � k z � � L n z � com �n x � n y � n z � inteiros n�ao negativos� Para cada k� a energia associada �e E k � c q ��k� � �m � c � � ��� �� onde utilizamos a express�ao relativ��stica para a energia do el�etron na qual m �e a sua massa de repouso� Qual �e o estado fundamental �o estado de menor energia� para N el�etrons na caixa V � Naturalmente� isto ser�a o estado em que os el�etrons ocupam todos os n��veis de menor energia poss��vel� empilhando�se um em cima de outra� sem criar espa�co em n��veis de energia� A quest�ao �e ent�ao� para dado N � quantos n��veis podem ser preenchidos e qual �e o valor da energia total� Para responder esta pergunta� podemos inverter a vis�ao� Seja E a energia do �ultimo n��vel ocupado� J�a que� no estado fundamental� todos os n��veis de energia cuja energia menor do que E est�ao ocupados por � el�etrons de cada� o n�umero total de el�etron N �e igual a duas vezes do n�umero de estados que tenha energia menor que E� Podemos observar que o n�umero de todos os estados que t�em energia menor que E seria o n�umero de pontos de rede com as coordenadas inteiras� �n x � n y � n z �� satisfazendo a n � x � n � y � n � z h �E�c� � � �mc� � i � L �� � � � � pL �� � � � � V ��� � k � � ��� �� que por sua vez� �ca igual a um oitavo do volume �quadrante positivo� da esfera do raio K � pL �� ���� Gas de Eletrons Degenerados e o Limite de Chandrasekhar � Assim� o n�umero de pontos de redes �e dado por � � � � K � � que �e a metade do N �fator de spin�� N � �� � � � � K � � L � p � �� � � � � Esta equa�c�ao determina o valor m�aximo de momento de onda plana que est�a ocu� pado no estado fundamental� P F � � � �� � N V � ��� � � � �� � n ��� � ��� �� onde n �e a densidade num�erica dos el�etrons� O valor m�aximo de momento no estado fundamental de um g�as de el�etron �e ent�ao determinado pela sua densidade num�erica e �e chamado de momento de Fermi� A energia total do sistema �e dada como a soma de energia dos n��veis ocupados� E � k F X k E k � onde k F � P F �� � � �� � n ��� � Temos E � �� � � � � Z K � dn n � E k � m � c � � � � � V Z x F � x � dx p x � � �� ��� �� onde x F � P F mc � � mc � �� � n ��� � C k F � ��� �� sendo C � � mc � ���� Gas de Eletrons Degenerados e o Limite de Chandrasekhar �� o comprimento de onda de Compton do el�etron dividido por ��� A integral em Eq���� �� pode ser feita como g�x F � � Z x F � p x � � �x � dx � � � � x F q �x � F � �� � �x � F � � � arcsinh x F � � ��� �� Portanto� temos a densidade de energia na forma E V � � � mc � � � � c g�x F �� ��� � Sabendo a densidade deenergia podemos calcular a press�ao� Como j�a vimos� p � d� dn n� � � n dx F dn d� dx F � � � mc � � � � c � � � x F dg dx F � g�x F � � � mc � � � � c f�x F �� ��� �� onde f�x F � � � � � � � x F ��x � F � �� q x � F � � � arcsinhx F � � ��� � Podemos analisar o comportamento da press�ao para limites de baixa e alta densi� dade� J�a que f�x F �� � � x � F �� � �� � �� x � F � � �� x � F � � � � � x F � � � �� x � F � � �� x � F � � � ln��x F � � � � � x F � � � ��� � temos p � mc � � � � c � �� � c k � F � � � � � �m ��� � � ��� n ��� � � � � �m P � F n� ��� �� para baixa densidade �n� n � � onde n � � � �� � � c � ��� �� ���� Gas de Eletrons Degenerados e o Limite de Chandrasekhar �� � E interessante notar que � � � �m P � F n � � � � K � n� ������ onde � K �� � � � � P � F �e a energia cin�etica m�edia n�ao relativ��stica dos el�etrons no g�as de Fermi� No outro limite� temos p� mc � � � � c � �� � c k � F � �c � �� � ��� n ��� � ������ para alta densidade �n � n � �� A densidade num�erica de el�etrons na mat�eria elet� ricamente neutra est�a relacionada com a densidade de massa � por n �� Z A � � m U �� ������ onde Z �e o n�umero at�omico e A e o n�umero de massa e m U �e a unidade de massa at�omica � A m�edia � Z�A � �e tomada sobre a composi�c�ao qu��mica da mat�eria como no caso de peso molecular m�edio e chamamos de � e � � �� e �� Z A � ������ O valor correspondente da densidade n � �ca � � � m U � e �� � � c Note que� a depend�encia da press�ao com a densidade �e diferente em baixa densi� dade e em alta densidade� A raz�ao desta mudan�ca �e que a contribui�c�ao para press�ao vem da energia cin�etica dos el�etrons� Para a baixa densidade� o momento de Fermi �ca pequeno e o movimento dos el�etrons �ca n�ao�relativ��stico� Neste caso� a ener� gia cin�etica �ca proporcional ao quadrado do momento de Fermi� e por sua vez� proporcional a � ��� � Por outro lado� para alta densidade� o maioria dos el�etrons se comporta relativ��sticamente� e a energia cin�etica �ca proporcional ao momento de Fermi� ou seja� � ��� � Assim� p� � K � � ��� � K � � ��� � �� � � �� � � Regime N�ao Relativ��stico Regime UltraRelativ��stico ���� � A massa do �atomo de �� C dividido por ��� ���� Gas de Eletrons Degenerados e o Limite de Chandrasekhar �� onde K � � � � � � �m ��� � � ��� �m U � e � ���� � ������ K � � �c � �� � ��� �m U � e � ���� � ���� � Na Fig� � �e mostrado o gr�a�co da press�ao de g�as de el�etrons degenerados contra a densidade� A mudan�ca do valor do exponente �� �chamado de ��ndice adiab�atico� p � K� � ���� � de ��� para �� provoca um fen�omeno extraordin�ario� a explos�ao de supernovas� Mencionamos anteriormente que se o ��ndice politr�opico n for maior do que �n � ��� a estrela �ca inst�avel� Isto corresponde a � �� �� � � � ��n�� Chandrasekhar mostrou que para as an�as brancas� n�ao existe uma con�gura�c�ao est�avel para massas maiores do que um certo valor� Este valor limite �e obtido da Eq� ���� com o valor de K dado pela Eq� ���� �� Assim temos M Chandra � ���� � � e M � � ������ onde M � �e a massa solar ��� �� �� g�� A exist�encia de tal limite para a estabilidade estelar de uma an�a branca �e f�acilmente compreendida da seguinte forma� Vamos considerar uma massa M com uma distribui�c�ao homog�enea �densidade constante� numa esfera de raio R� A energia gravitacional neste caso �ca E Grav � � � � G M � R � ������ Podemos considerar a press�ao devido �a gravita�c�ao do sistema como p Grav � � �E Grav �V � � � � � M � � � �R � �E Grav �R � � � � � M � � � ��� GM � � R � � � � � � � � � ��� GM ��� � ��� ������ que deve ser contrabalan�cada pela press�ao de g�as de el�etron� Eq���� � Note que o exponente da depend�encia em densidade �� �e exatamente igual �aquele do limite ultra�relativ��stico� Assim� o equil��brio s�o �e poss��vel �veja Fig� �� quando � � G� � � � ��� M ��� � �c � �� � ��� �m U � e � ���� � ���� Teorema Virial �� isto �e� M � �� � � e M � � ������ o que n�ao �e muito diferente da Eq�������� A diferen�ca vem da aproxima�c�ao de densidade constante que superestima o gradiente da press�ao� �� Teorema Virial Vamos considerar o equil��brio hidrost�atico do ponto de vista microsc�opico� Suponha que a mat�eria estelar �e composta de part��culas cujas coordenadas ser�ao denotados por f r i g � A equa�c�ao de movimento �e m i d � r i dt � � F i ������ onde F i �e a for�ca que atua sobre a part��cula i� Multiplicando os dois lados por r i e somando sobre todas as part��culas temos X r i � F i � X m i d � r i dt � � r i � d dt � X m i d r i dt � r i � � X m i d r i dt � d r i dt � d � dt � � � � X m i r � i � � �K � d � dt � I � �K� ������ onde I �e o momento de in�ercia� que �e constante para um estado de equil��brio do sistema� Assim� temos X i r i � F i � �K � �� ���� � Se a for�ca �e apenas as for�cas entre as part��culas� podemos escrever F i � X j � i F ij � ������ F ij � � F ji � ���� � ���� Teorema Virial �� O primeiro termo da Eq����� � pode ser escrito como X i r i � F i � X i�i� F ij � � r i � r j � � onde a soma deve ser feita sobre o par de ��ndices �i� j�� Se a for�ca �e apenas a for�ca gravitacional� F ij � �G m i m j � r i � r j � j r i � r j j � � Assim� temos X i r i � F i � �G X i�j� m i m j j r i � r j j � U Grav � ���� � onde U Grav �e a energia gravitacional total do sistema� Finalmente temos K � � � � U Grav � ������ Este �e o teorema virial que relaciona o valor m�edio da energia cin�etica das part��culas com a energia total gravitacional� Na dedu�c�ao acima foi suposto que a mat�eria se comporta como um g�as ideal �n�ao h�a intera�c�ao entre as part��culas exceto gravita�c�ao�� Um resultado mais geral pode ser obtido pela equa�c�ao de equil��brio hidrost�atico� dp dr � �� GM�r� r � � ������ onde M�r� � � Z r � ��r � �r �� dr � � ������� �e a massa contida numa esfera de raio r� Analogamente podemos introduzir ovolume da esfera� V �r� � � Z r � r �� dr � � � � r � � ������� Multiplicando por V os dois lados da Eq������� e escolhendo as vari�aveis adequadas� temos V dp � � � � GM r dM� ������� Integrando os dois lados para o interior da estrela� temos pV j r R r � � Z R � pdV � � � U Grav � ������� ���� Teorema Virial �� J�a que o primeiro termo �e nulo� �nalmente temos �� Z pdV � U Grav � ����� � Se usarmos a equa�c�ao de estado de g�as perfeito� pV � NkT ������� e identi�cando a energia cin�etica m�edia por part��cula como ��� kT � temos Z pdV � Z n kT dV � � � K� ����� � e� portanto� K � � � � U Grav � ����� � obtendo o resultado anterior� As consequ�encias imediatas do teorema virial para uma estrela s�ao� �� quanto mais colapsada a estrela �maior energia gravitacional�� maior ser�a a temperatura m�edia� se a mat�eria se comporta como um g�as ideal� �� para dois estados de equil��brio hidrost�atico� a diferen�ca das energias cin�eticas internas do g�as �e a metade da diferen�ca das energias gravitacionais dos dois estados� Ou seja� para uma estrela colapsar� a metade da energia gravitacional deve ser liberada para fora da estrela� A primeira �e trivial� A segunda mostra que para uma estrela colapsar� tem que liberar energia� Caso n�ao libere energia� n�ao acontece o colapso� Desta forma� vemos que o papel da luminosidade �e essencial para o processo de evolu�c�ao estelar� � Processos Microsc�opicos Como podemos perceber pela discuss�ao do teorema virial no Cap��tulo anterior� os estados microsc�opicos da mat�eria �por exemplo� a energia cin�etica de cada part��cula� tem uma in�u�encia determin��stica para a estrutura estelar� Entretanto� �e obviamente imposs��vel discutir as propriedades de uma estrela partindo dire� tamente dos graus de liberdade microsc�opicos dos constituintes da mat�eria� Fe� lizmente� para a maioria dos fen�omenos astrof��sicos� a natureza de longo�alcance da intera�c�ao gravitacional e o fato de que seu efeito �e desprez��vel em escalas mi� crosc�opicas permitem separar a din�amica macrosc�opica� regida pela gravita�c�ao� da propriedade local da mat�eria� regida pelas outras intera�c�oes� Um outro fator im� portante �e a escala de tempo caracter��stico dos processos astrof��sicos� Em geral� a escala de tempo para a din�amica do sistema �e muito maior que aquela para os processos microsc�opicos que ocorrem localmente� Desta forma� as propriedades da mat�eria s�ao determinadas pelas m�edias das din�amicas dos graus de liberdade microsc�opicos� ��� Equil��brio Termodin amico Vamos revisar um pouco de Termodin�amica e a Mec�anica Estat��stica� Sabemos que uma por�c�ao de mat�eria� independentemente da condi�c�ao inicial� sempre acaba atingindo um estado chamado de estado de equil��brio termodin�amico� O tempo necess�ario para alcan�car o equil��brio termodin�amico �e chamado de tempo de re� laxa�c�ao termodin�amico� A Termodin�amica diz que as propriedades do estado da mat�eria em equil��brio s�ao descritas pela equa�c�ao fundamental� Ej Equil��brio � E�V� S�N�� � ��� onde E �e a energia� V o volume� S a entropia e N �e o n�umero de part��culas� Para v�arios tipos de part��culas temos� Ej Equil��brio � E�V� S� fN i g�� � ��� ���� Equil brio Termodinamico � Todas as quantidades acima s�ao extensivas� Por este motivo� sem perder general� idade� podemos trabalhar apenas com uma determinada quantidade de massa� As quantidades extensivas para uma unidade de massa s�ao referidas como espec���cas� Por exemplo� o volume espec���co �e V espc � V M � � � � Daqui em diante� omitiremos o subscrito $ espc% sem preju��zo para a compreens�ao� As quantidades intensivas s�ao de�nidas como p � � �E �V � � � � � S� fN i g � � ��� T � � �E �S � � � � � V� fN i g � � � � � i � � �E �N i � � � � � V�S � � ��� Pela primeira lei da Termodin�amica� a varia�c�ao da energia da mat�eria �e dada por a difer�en�ca entre a quantidade do calor que foi dado ao sistema e o trabalho que o sistema ganhou de fora �supondo n�ao h�a mudan�ca de n�umero de part��culas N � i s�' !E � !Q �!W � � � Isto nada mais �e que a conserva�c�ao da energia e sempre �e verdade� mesmo que o sistema n�ao esteja em equil��brio� Se a varia�c�ao for in�nitesimal� e se o estado do sistema for mantido sempre em equil��brio t�ermico durante esta varia�c�ao� podemos ent�ao identi�car as varia�c�oes de calor e de trabalho que o sistema recebe de fora por dQj Equil��brio � TdS� � � � dW j Equil��brio � �pdV� � ��� Consequentemente� nos estados de equil��brio t�ermico� dEj Equil��brio � �pdV � TdS� � ��� ���� Equil brio Termodinamico �� Este tipo de processo �e revers��vel e� em geral� s�o pode ser realizado se as varia�c�oes das quantidades forem realizadas numa escala de tempo muito grande comparada com o tempo de relaxa�c�ao para o equil��brio� � eq � Ou seja� � � � � � ( Q Q � � � � � � � � � � � ( W W � � � � � � � � eq � � ���� de modo que o sistema mant�em sempre seu estado de equil��brio� Por isso� muitas vezes nos referimos a este processo como quase�est�atico e o denotamos como qes no lugar de equil� Quando houver varia�c�ao no n�umero de part��culas� a equa�c�ao correspondente �a Eq�� ��� ser�a dEj qes � �pdV � TdS � X i � i dN i � � ���� Quando a varia�c�ao do estado n�ao mant�em o equil��brio termodin�amico� isto sem� pre provocar�a uma agita�c�ao microsc�opica adicional� o que levar�a ao acr�escimo da entropia� Assim� a segunda lei da Termodin�amica estabelece que dQ TdS� � ���� Para entender melhor o signi�cado desta rela�c�ao� vamos considerar um g�as con�� nado num cilindro com pist�ao� termicamente isolado� Quando empurramos o pist�ao lentamente� o trabalho da for�ca externa feito ao sistema �e �pdV� � ���� e a transfer�encia do calor �e nula por ser termicamente isolado� dQ � �� Assim� dEj qes � �pdV Agora� o que acontecer�a se o empurr�ao do pist�ao for feito mais rapidamente de forma que o g�as n�ao tenha tempo de manter o equil��brio� Neste caso� como o cilin� dro �e isolado termicamente� continuamos tendo dQ � �� e portanto� pela primeira lei� dE � dW� ���� Equil brio Local e Hidrodinamico � No entanto� a varia�c�ao da entropia n�ao �e nula� e portanto� a varia�c�ao da energia� ap�os re�adquirir o equil��brio� ser�a dado por dE � �pdV � TdS� � �� � Assim� o trabalho feito pelo pist�ao n�ao �ca igual a �pdV� e sim dW � �pdV � TdS� � ���� Escrevendo dW � �p ef dV� temos p ef � p� � �� � ou seja� a for�ca efetiva que reage contra o pist�ao na hora do empurr�ao �ca maior que a press�ao� Isto ocorre porque o movimento do pist�ao transfere energia cin�etica adicional para o g�as� Naturalmente para termos um efeito apreci�avel� a velocidade do pist�ao deve ser compar�avel �aquela do movimento t�ermico do g�as� ��� Equil��brio Local e Hidrodin amico Nas equa�c�oes acima� n�ao se fez necess�ario mencionar o conceito de varia�c�ao es� pacial das grandezas� Isto porque� em equil��brio� a mat�eria �e por de�ni�c�ao ho� mog�enea� Para tratar da din�amica da mat�eria� frequentemente utiliza�se o conceito de equil��brio local� Neste caso� as escalas associadas �as varia�c�oes �inhomogeniedade� no espa�co�tempo do sistema s�ao in�nitesimalmente menores comparadas com as escalas microsc�opicas�Por exemplo� � � � � � � p dp dt � � � � � � � � eq � � � � � � � p rp � � � � � � � l m � � �� � onde l m �e a dist�ancia caracter��stica microsc�opica� Podemos considerar l m como o livre�percurso m�edio das part��culas constituintes� m � As quantidades dos lados esquerdos das Eqs�� �� � de�nem as escalas de tempo e espa�co hidrodin�amicas� � � h � � � � � � � X dX dt � � � � � � � l h � � � � � � X rX � � � � � � ���� ���� Equil brio Local e Hidrodinamico �� onde X �e qualquer uma das quantidades termodin�amicas �densidade� press�ao� tem� peratura����� Assim� se � h � � eq� l h � m � ���� podemos ent�ao considerar que a mat�eria est�a localmente em equil��brio� Quando o sistema em quest�ao tem dimens�ao espacial muito maior que l h � d� l h � podemos considerar uma c�elula de volume de ordem de l � h como um elemento in� �nitesimal d � r do sistema e discutir a din�amica do sistema em termos da hidrodin�amica� ����� Descric� � ao Euleriana e Lagrangeana da Hidrodynamica Na hidrodin�amica sempre supormos que a mat�eria est�a em equil��brio local� i�e�� em cada ponto de espa�co� r � e em cada instante� t� existem valores bem de�nidos de temperatura T � energia espec���ca E� e entropia espec���ca S para de�nir o es� tado termodin�amico da mat�eria� A primeira coisa que temos que considerar �e a de�ni�c�ao das vari�aveis usadas para a descri�c�ao da din�amica do sistema� Como j�a mencionamos� estamos considerando o sistema como sendo uma cole�c�ao de c�elulas in�nitesimais � onde as propriedades t�ermicas locais s�ao de�nidas� Podemos� ent�ao� introduzir as seguintes vari�aveis� � i �t� � densidade de massa da i�esima c�elula� r i �t� � coordenadas do centro de massa da i�esima c�elula� � ���� v i �t� � velocidade do centro de massa da i�esima c�elula� Note que o ��ndice i varia contiuamente no limite de c�elula in�nitesimal� Podemos identi�car o ��ndice i como a coordenada r � da posi�c�ao inicial da c�elula� Desta forma� cada c�elula carrega seu r�otulo inicial� e a descri�c�ao din�amica segue as tra� jet�orias das c�elulas� Este tipo da descri�c�ao �e chamado de o sistema de coordenadas Lagrangeano� Neste sistema� a varia�c�ao temporal acompanha o �uxo da mat�eria� Uma outra forma de descrever a din�amica do sistema �e investigar como os val� ores das quantidades em cada ponto �xo no espa�co� digamos r num sistema de � Aqui� �in�nitesimal � no sentido de comparado com o escala caracter� stica do sistema� ���� Equil brio Local e Hidrodinamico �� coodenadas �xo no espa�co� variam no tempo� Neste caso� as vari�aveis s�ao� �� r' t� e v� r' t�� � ���� Este sistema de coordenadas �e chamado de Euleriano� No sistema de coordenadas Euleriano� a varia�c�ao temporal n�ao acompanha o movimento da mat�eria� A derivada temporal no sistema Lagrangeano est�a relacionada com aquela do sistema Euleriano por � �t � � � � � i � � �t � � � � � r � v � r � ���� e a denotamos como d�dt� ou seja� � �t � � � � � i � d dt � � �t � v � r � ���� No sistema Euleriano existem vari�aveis a determinar em cada posi�c�ao r� Pre� cisamos� portanto� de equa�c�oes em cada posi�c�ao� A primeira delas �e a equa�c�ao de continuidade da massa� �� �t �r � �� v� � �� � �� � que representa a conserva�c�ao da massa� e as outras � v�em da equa�c�ao de Newton para a c�elula in�nitesimal da mat�eria na posi�c�ao r� !m d � r dt � � � I p n � d S �!V f� � ���� onde !m �e a massa do elemento de volume in�nitesimal� !V � !m � �!V� e p � p� r� t� �e a press�ao� n o vetor normal unit�ario do elemento de superf��cie d S� e f �e a for�ca externa por unidade de volume� O primeiro termo do lado direito �e a integral sobre a superf��cie do elemento de volume� e podemos veri�car f�acilmente � que I p n � d S � Z rp d � V �rp !V� � �� � � Para veri�car� considere um elemento de volume quadratico� formado de � vetores in�nitesimais� dx�e� dy � j� dz � k Expresse a integral nesta base e expande p � p�x� y� z� em dx� dy� e dz� ���� Equil brio Local e Hidrodinamico �� Assim� temos � d v dt � �rp � f� � �� � Usando a Eq�� ����� podemos rescrever a Eq�� �� � como d� dt � �r � v � �� � ���� e a Eq�� �� � pode ser expressa como � v �t � � v � r� v � � � � �rp� f�� � ���� Esta �ultima forma �e conhecida como equa�c�ao de Euler� Nos problemas comuns� a densidade de for�ca externa f �e especi�cada como uma fun�c�ao de posi�c�ao r e t� que em geral vem da intera�c�ao de for�ca de longo�alcance� A for�ca gravitacinal na astrof��sica �e exatamente o caso� Um outro exemplo �e o da energia electrost�atica na aplica�c�ao da hidrodinamica na F��sica Nuclear� Quando a viscosidade est�a presente� esta tamb�em deve ser incluida� A press�ao p �e relacionada pela equa�c�ao de estado da mat�eria� p � p�V� T � � ���� com o volume espec���co V �� ���� e a temperatura T � Aparece agora uma nova inc�ognita T # Como determinar T � T � r� t�� Precisamos uma nova equa�c�ao� Para este �m� utilizamos a conserva�c�ao de energia local �a primeira lei da Termodin�amica�' dE dt � �p dV dt � T dS dt � X � � � dN � dt � � ���� onde E �e a energia espec���ca �energia por unidade de massa�� V � ���� e S �e a entropia espec���ca� Note que a derivada temporal �e a derivada total� ou seja� a derivada no sistema Lagrangeano� acompanhando o movimento da mat�eria� O �ultimo termo �e necess�ario quando h�a varia�c�ao de composi�c�ao qu��mica e trans� muta�c�ao das part��culas� Por enquanto consideramos o caso em que a mat�eria n�ao muda a sua composi�c�ao qu��mica� Ent�ao� dE dt � �p dV dt � T dS dt � � ���� ���� Equil brio Local e Hidrodinamico �� O �ultimo termo �e a soma de todas as taxas de varia�c�ao de calor da mat�eria de� vido a viscosidade� gera�c�ao de energia por rea�c�oes� esfriamento pela radia�c�ao� etc �lembre que estamos considerando os processos quase�est�aticos do ponto de vista Termodin�amico�� Devemos express�a�lo como uma fun�c�ao de t e de outras vari�aveis� tais como r� v� p e T ' T dS dt � G� r� v� p� T � � (�� � � r � j Q � � ���� onde (� �e a produ�c�ao da energia por unidade de massa� e o �ultimo termo corresponde �a perda de energia devido �a luminosidade� Esta equa�c�ao determina a varia�c�ao temporal da entropia� e por sua vez� determina a temperatura via T � � �E �S � V � � �� � quando for dada a equa�c�ao fundamental da mat�eria� E � E�V� S�� � ���� Em resumo� a estrutura l�ogica da Hidrodin�amica para obter a solu�c�ao na pr�atica �ca como segue � � �� Especi�cam�se as condi�c�oes iniciais para as vari�aveis� Isto �e� �� r' t � �� v� r' t � �� S� r' t � � s�ao dadas para todos os r � � &� onde & �e o dom��nio do sistema� �� Especi�cam�se as propriedades f��sicas em termos das fun�c�oes� E�V� S�� G� r� v� p� T �� f� r� v� p� T �� �� Dado os valores de �� r' t � �� v� r' t � �� S� r' t � �� obt�em�se p e T como p � � � �F �V � S � T � � �F �S � V � � O algoritmo aqui n�ao �e necessariamenteaquele usado na pr�atica para a resolu�c�ao n�umerica de um sistema hidrodin�amico devido �a e�ci�encia e �a instabilidade para obter derivadas n�umericas espaciais� ���� Equil brio Local e Hidrodinamico �� e por sua vez� calculam�se os lados direitos das equa�c�oes hidrodin�amicas� � �t �� r' t� � �r � �� v�� � �� � � �t v� r' t� � �� v � r� v � � � �rp� f�� � �� � � �t S� r' t� � �� v � r�S � � T G� r� v� p� T � � ���� � Conhecendo�se as derivadas temporais� obt�em�se os valores das vari�aveis para o pr�oximo passo temporal� t � � t � � t� r� �� Atualizam�se os valores das vari�aveis �� r' t� t�� �� r' t�� v� r' t� t�� v� r' t�� S� r' t� t�� S� r' t�� e voltamos para �a etapa �� O procedimento equivalente no sistema de coordenadas Lagrangeano pode ser ilustrado como se segue� �� Especi�cam�se as condi�c�oes iniciais para todos os r � � � r � �t � �� v r � �t � �� S r � �t � �� Aqui� para enfatizar o car�ater de r�otulo� a coordenada r � �e posta como ��ndice das vari�aveis� �� A posi�c�ao de cada c�elula �e tamb�em uma vari�avel� r r � �t�� com a condi�c�ao inicial� r r � �t � � � r � � �� Resolve�se as equa�c�oes diferenciais �ordin�arias� para todos os r � � d r r � dt � v r � � � ���� d� r � dt � �� r � v r � � � � �� � d v r � dt � �rp� f � � �� T dS r � dt � G� r � � v� p� T � � � �� ���� Equil brio Local e Hidrodinamico �� Os leitores devem veri�car que os dois procedimentos s�ao equivalentes� apesar de diferen�cas aparentes entre as Eqs�� �� � �� � ���� e as Eqs�� ���� � �� � �� � ��� Devemos lembrar que� ao converter as derivadas temporais total e parcial� as quan� tidades extensivas s�ao dadas por unidades de massa �quantidades espec���cas�� Seja Q uma quantidade extensiva espec���ca� Ent�ao� a densidade e o �uxo desta quanti� dade s�ao� q � Q V � Q� � � �� e j) � Q� v� � � � Suponha que a derivada total de Q �e dada por' dQ dt � �� � � �� ent�ao� temos �q �t �r � j � � �Q �t � � v � rQ � � dQ dt � �� � � � Quando o lado direito de uma equa�c�ao de continuidade n�ao �e nulo como na Eq�� � �� chamamos este termo de fonte� ����� Hidrodin � amica Adiab � atica Onda de Som A t��tulo de ilustra�c�ao vamos considerar um exemplo de aplica�c�ao da Hidrodin�amica para a descri�c�ao da propaga�c�ao de uma onda sonora� Em certas situa�c�oes� a produ�c�ao de entropia pode ser considerada desprez��vel ou nula� Neste caso� G � � e a varia�c�ao da press�ao associada com a varia�c�ao de densidade deve ser calculada sob esta condi�c�ao� que chamaremos de adiab�atica� Por exemplo� no caso de g�as ideal� a equa�c�ao de estado �e dada por pV � NkT� � � � No entanto� n�ao podemos us�a�la sem conhecer o valor de T � Note que a varia�c�ao adiab�atica do volume espec���co V alterar�a a temperatura � � Pelas leis da Ter� modin�amica� a conserva�c�ao da energia e entropia no caso de um g�as ideal leva � At�e o Newton esqueceu deste detalhe����� ���� Equil brio Local e Hidrodinamico �� ao resultado bem conhecido � � p � p � � V � V � � � � � �� onde p � e V � s�ao valores no equil��brio e � �e chamado de ��ndice adiab�atico� No caso de um g�as ideal n�ao relativ��stico� � � ���� As equa�c�oes s�ao � �t �� r' t� � �r � �� v� � � �� e � �t v� r' t� � �� v � r� v � � � �rp� f�� � ���� onde p � p��� �e dada pela rela�c�ao adiab�atica� Portanto� j�a n�ao �e mais necess�aria a conserva�c�ao de energia� formando um sistema fechado de duas equa�c�oes acopladas com duas inc�ognitas' � e v� Vamos considerar a propaga�c�ao de uma onda sonora numa mat�eria homog�enea em equil��brio� Neste caso� f � �� Usualmente� a varia�c�ao da densidade associada ao som tem amplitude bastante pequena� Se este for o caso� podemos simpli�car as equa�c�oes fazendo uma aproxima�c�ao de lineariza�c�ao� Para este �m� escrevemos � � � � � � r� t�� � ���� � A energia de um g�as ideal pode ser expressa por E � pV � � � � e� portanto� dE � � � � � �pdV � V dp� Por outro lado� da adiabaticidade �dS � ��� temos dE � �pdV Assim� �pdV � V dp � �� ou seja� p p � � � V V � �� ���� Equil brio Local e Hidrodinamico � onde � � �e a densidade do equil��brio da m�edia �constante em espa�co�tempo� e j j �� � � � Para primeira ordem em � a Eq�� � �� �ca ( � �� � r � v � ���� Na mesma aproxima�c�ao� podemos escrever � � rp � � � � � dp d� � � r � � � � �p � � � r � ���� Tomando a diverg�encia dos dois lados da Eq�� ���� e substituindo nela as Eqs�� ���� ����� temos � � � d � dt � � � p � r � � �� � ou � v � s d � dt � �r � � � � ���� onde v s � v u u t � dp d� � � � s � p � � � � �� � Uma solu�c�ao da Eq�� ���� tem a forma� � f� n � r � v s t�� � �� � onde f �e uma fun�c�ao arbitr�aria e n �e um vetor unit�ario numa dire�c�ao qualquer� Esta solu�c�ao representa a propaga�c�ao de uma onda de compress�ao com a velocidade v s na dire�c�ao de n� Est�a �e uma onda sonora �onda de densidade�� Assim� a velocidade de som no meio �e dado por v s � q � p � � � � A forma da fun�c�ao f e a dire�c�ao n s�ao determidadas pela condi�c�ao inicial� A solu�c�ao mais geral pode ser obtido como a combina�c�ao linear destas solu�c�oes� ���� Viscosidade Equac� � ao de Navier�Stokes Quando o �uido �e viscoso temos que incluir o termo de fric�c�ao em f � Vamos con� siderar a equa�c�ao de movimento para um elemento de volume arbitr�ario� d dt Z dV � v � Z dV f � I dS f s � ���� � O termo ��v � r��v �e obviamente de segunda order em � portanto nulo nesta aproxima�c�ao� ���� Equil brio Local e Hidrodinamico �� Como antes� f �e a densidade de for�ca volum�etrica e f s �e a for�ca aplicada ao volume diretamente pelo contato com vizinhos atrav�es de superf��ceis do dom��nio� A press�ao �e um exemplo deste tipo� Quando a �unica for�ca deste tipo �e a press�ao� ent�ao f s � �p n � ���� onde n �e o vetor normal unit�ario de superf��cie� Caso exista viscosidade� ent�ao a for�ca de superf��cie n�ao necessariamente �ca perpendicular �a superf��cie� De forma mais geral� f s � �� n � � �� onde �� �e uma matriz �� � chamada de tensor de stress� Novamente se n�ao houver viscosidade� temos �� � � � � B � p � � � p � � � p � C A � � � �� Esta forma tamb�em �e v�alida se o �uido estiver em repouso� o que �e uma con� seq�u�encia do teorema de Pascal� Em geral� �� �e uma fun�c�ao da velocidade do �uido� �� � ��� v� � � �� e ��� v � �� � �� � �Eq� � �� pelo teorema de Pascal� Para uma pequena varia�c�ao do campo de velocidade� podemos considerar que a for�ca de viscosidade depende linearmente do campo de velocidade� Neste caso� a forma mais geral de um tensor de stress deve ser dada por �� � � � B � p � � � p � � � p � C A � �r � v � B � � � � � � � � � � � C A � � � �� ��
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