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introdução à astrofísica nuclear - Kodama

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Introdu�c�ao �a Astrof��sica Nuclear
Takeshi Kodama
Instituto de F��sica � UFRJ
Contents
� Introdu�c�ao �
� Diagrama HR �
��� Luminosidade � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Temperatura da Superf��cie e
�
Indice de Cor � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Diagrama HR � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� Estrutura Estelar ��
��� Princ��pio Variacional � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Equil��brio Hidrost�atico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Modelo Politr�opico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��	 G�as de El�etrons Degenerados e o Limite de Chandrasekhar � � � � � �
��� Teorema Virial � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� Processos Microsc�opicos �	
	�� Equil��brio Termodin�amico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
	�� Equil��brio Local e Hidrodin�amico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
	���� Descri�c�ao Euleriana e Lagrangeana da Hidrodynamica � � � 	�
	���� Hidrodin�amica Adiab�atica� Onda de Som � � � � � � � � � � � 	�
	���� Viscosidade� Equa�c�ao de Navier�Stokes � � � � � � � � � � � � 	
	���	 Varia�c�ao de Composi�c�ao Qu��mica� Rea�c�oes � � � � � � � � � � ��
	�� Estrutura Estelar � Caso Est�atico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
	�	 Teoria Cin�etica dos Gases e Fen�omeno de Transporte � � � � � � � � �	
	�	�� Fun�c�ao de Distribui�c�ao e Equil��brio T�ermico � � � � � � � � � ��
	�	�� Se�c�ao de Choque � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
	�	�� Equa�c�ao de Boltzman � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 
�
 Evolu�c�ao Estelar e Nucleo�S��ntese 	
��� Equa�c�oes para Evolu�c�ao Temporal � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 
�
��� Energia de Liga�c�ao Nuclear � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 
Contents �
��� Fator de Gamow � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 
�
��	 Principais Etapas de N�ucleo�Sint�ese Estelar � � � � � � � � � � � � � 
�
��	�� Queima do Hidrog�enio � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 
�
��	�� Queima do H�elio � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �	
��	�� Processo � e etapa avan�cada � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��	�	 Processo e � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��	�� Processo s e Processo r � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
	 Supernova 
�
�� Hist�orico e Morfologia � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�� Colapso Estelar � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �	
�� Neutroniza�c�ao � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
�	 Onda de Choque � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
�� Papel dos Neutrinos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
� Estrela de N�eutrons e Buracos Negros ��	
�� Relatividade Geral � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Conceitos B�asicos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Equa�c�ao de Einstein � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��	
���� Solu�c�ao de Schwartzchild � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�� Estrutura das Estrelas de n�eutrons � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� Equil��brio Hidrost�atico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� Princ��pio Variacional � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
�� Mat�eria Nuclear e Al�em � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� Sistema de Unidade Natural � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� Pr�otons numa Estrela de n�eutrons� � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Equa�c�ao de Estado da Mat�eria Nuclear � QHD � � � � � � � � ���
���	 Plasma de Quarks e gl�uons � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Estrelas de quarks e estrelas estranhas � � � � � � � � � � � � �	�
� Coment�arios Finais ���
 Ap�endices ��
��� C�odigo FORTRAN para resolver a Equa�c�ao de Lane�Emden � � � � �	�
��� Convers�ao da Equa�c�ao de Euler para um sistema de coordenadas
Lagrangeano � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
��� C�odigo FORTRAN para calcular a energia da mat�eria nuclear pelo
Modelo de Walecka � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��	
Contents �
��	 Constantes F��sico�Qu��micos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
�
Introdu�c�ao
O nascimento do Universo �Big�Bang� e os estados ca�oticos de mat�eria gerados
em seguida� expans�ao do Universo e o esfriamento da mat�eria� a forma�c�ao das es�
truturas de grande escala� a forma�c�ao de gal�axias e o nascimento de estrelas� a
evolu�c�ao estelar e as rea�c�oes nucleares que ocorrem no centro das estrelas� suas
violentas mortes como a explos�ao de supernovas� objetos extraordin�arios tais como
pulsares �estrela de n�eutrons� e buracos negros� o mecanismo de reciclagem c�osmica
da mat�eria� a forma�c�ao de sistema planet�arios e o surgimento de vida��� todos
comp�oem cen�arios de um �epico dram�atico extremamente grandioso da Natureza�
Neste super�espet�aculo� h�a dois protagonistas� a energia e a gravita�c�ao� Outras
formas de intera�c�ao da mat�eria tais como intera�c�ao eletromagn�etica� intera�c�ao
forte �nuclear� e intera�c�ao fraca aparecem como antagonistas em cada cen�ario�
Os homens s�o come�caram a assistir a este drama bem recentemente� sem saber
de onde vem� e para onde vai a hist�oria� Certos cen�arios n�ao s�ao triviais e exigem
conhecimentos cient���cos para compreender seu signi�cado� Neste pequeno curso�
gostaria de apresentar um guia bem resumido para compreender alguns destes
cen�arios�
Para come�car� vamos apresentar os protagonistas e seus antagonistas�
� Energia�
�
As vezes ela �e a fonte de movimento� �as vezes assume a forma de
mat�eria �massa�� Ela �e intimamente ligada �a pr�opria exist�encia do Universo����
O que �e ela� De onde veio�
� Gravita�c�ao� A for�ca que atua entre duas massas� A propriedade caracter��stica
desta for�ca �e que ela �e sempre atrativa� independente se a massa �e de mat�eria
ou de antimat�eria� Al�em disto� o alcance desta for�ca �e in�nitamente longo�
Como conseq�u�encia� a for�ca gravitacional �e cumulativa� Desta forma� ape�
sar de que numa escala microsc�opica a for�ca gravitacional �e completamente
desprez��vel comparada com outro tipo de for�ca �por exemplo� a for�ca eletro�
magn�etica�� ela se torna a for�ca dominante na escala macrosc�opica� em par�
ticular� em escalas astron�omicas� Segundo a rela�c�ao de Einstein entre a massa
�� Introdu�c�ao �
e energia�
E � mc
�
�
a energia e a massa s�ao equivalentes como a fonte de for�ca gravitacional�
Quando a for�ca gravitacional se torna extremamente intensa� at�e distorce
o palco� o espa�co�tempo� Ali�as� segundo a teoria de relatividade geral� a
distor�c�ao do palco e a gravita�c�ao s�ao uma coisa s�o�
� Mat�eria� A mat�eria �e uma forma da Energia� Mas� dentro de um determinado
cen�ario� existem v�arias formas de mat�eria� preservando suas identidades du�
rante processos din�amicos� Em cada escala de energia� o bloco unit�ario que
de�ne as propriedades din�amicas da mat�eria pode ser distinto� como resumido
na tabela I�
TABLEA �I
Energia por part��cula Estrutura da Mat�eria
� eV
�
Atomos� Mol�eculas
keV �MeV N�ucleos�el�etrons
MeV � GeV Nucleons�part��culas elementares
� GeV Quarks � Gl�uons
�� TeV �
� Os l�eptons e fot�ons� Al�em da forma acima da mat�eria� existem outros tipos da
mat�eria� i�e�� os l�eptons �el�etron� m�uon� neutrino� e f�otons� que fazem papel
decisivo em certos cen�arios�
� Intera�c�oes� Al�em da for�ca gravitacional� existem for�cas que atuam entre as
part��culas� Tradicionalmentefala�se de intera�c�ao eletromagn�etica �EM�� in�
tera�c�ao forte e intera�c�ao fraca� Veja a tabela II�
�� Introdu�c�ao �
TABELA II
Tipo da Part��culas Fen�omenos Teoria b�asica Bosons
Intera�c�ao envolvidas T��picos Intermedi�arios
Forte H�adrons Estrutura QCD gl�uons
�p� n� ��K� ��� dos N�ucleos e
quarks part��culas
�u� d� s� �� elementares
EM Qualquer Estrutura QED F�oton
Part��cula dos
Carregada
�
Atomos�
Mol�eculas
Fraca l�eptons� Decaimento � Eletrofraca Z�W
quarks Opacidade de �
Aqui� QCD �e a abrevia�c�ao deQuantum Chromodynamics �Cromodin�amicaQu�antica�
e QED �e a de Quantum Electrodynamics �Eletrodin�amica Qu�antica�� Numa teoria
qu�antica dos campos� a intere�c�ao entre duas part��culas �e descrita como a con�
sequ�encia de troca de uma outra part��cula intermedi�aria da intera�c�ao� Na �ultima
coluna s�ao indicadas tais part��culas para cada intera�c�ao� Hoje sabemos que a in�
tera�c�ao EM �e um setor da intera�c�ao Eletrofraca� Ou seja� as intera�c�oes Eletro�
magn�etica e Fraca s�ao uni�cadas numa teoria s�o� Acredita�se ainda que as tr�es
intera�c�oes possam ser uni�cadas em uma teoria GUT �Grand Uni�ed Theory��
Numa teoria de corda super�sim�etrica tem�se a esperan�ca de uni�car a intera�c�ao
gravitacional� tamb�em�
A intera�c�ao eletromagn�etica tem um alcance in�nito como a for�ca gravitacional�
e sua intensidade de intera�c�ao �e muito superior �aquela da intera�c�ao gravitacional�
Por�em� as for�cas sempre tendem a se cancelar devido �a presen�ca de cargas de sinais
opostos �blindagem�� Para se ter uma id�eia� a raz�ao entre a for�ca gravitacional �F
G
�
�� Introdu�c�ao 	
e EM �F
EM
� entre dois pr�otons separados por uma dist�ancia R �e
�
�
�
�
F
G
F
EM
�
�
�
�
�
GM
�
�R
e
�
�R
�
�
� ��
��
� ���
� ��
���
�
�
��		� ��
� ��
��
� ��
���
� ���� ��
���
�
portanto� a intera�c�ao gravitacional seria completamente desprez��vel comparada �a
intera�c�ao eletromagn�etica� A intera�c�ao forte �e cerca de ��� vezes mais intensa do
que a intera�c�ao EM na mesma escala de energia� A intera�c�ao fraca �e ��
���
vezes
mais fraca que EM nesta mesma escala� Ambas s�ao de curto alcance� ou seja� nas
dist�ancias macrosc�opicas� estas for�cas n�ao atuam�
Como podemos imaginar� as v�arias formas de intera�c�ao� mat�eria� energia e
gravita�c�ao se confundem entre si� em particular� no in��cio do Universo� Pela limita�c�ao
do tempo� n�ao abordaremos este assunto neste curso� Aqui� tentaremos compreen�
der alguns dos cen�arios associados �a vida de uma estrela� desde o seu nascimento
at�e a sua morte�
�
Diagrama HR
Diferentemente da F��sica que se faz no laborat�orio� inclusive F��sica Nuclear e de
Part��culas� na Astrof��sica� as informa�c�oes s�o podem ser obtidas pelas observa�c�oes
passivas� ou seja� n�ao �e poss��vel fazer experi�encias para veri�car as hip�oteses ou
modelos� Na medalha de ouro do Pr�emio Nobel� existe de um lado o relevo do rosto
de Alfred Nobel� enquanto no outro h�a um desenho da deusa da Natureza� Ela est�a
usando um v�eu o qual est�a sendo levantado por outra deusa� a Ci�encia� O Prof� S�
Tomonaga� ganhador do Pr�emio junto com Feynmann e Schwinger por sua teoria
de renormaliza�c�ao� fazendo uma analogia entre o ato de levantar o v�eu da Natureza
com os aceleradores de grande porte� mencionou que existiriam outras maneiras
de se obter informa�c�oes sobre a Natureza sem precisar levantar o v�eu� o ato que
poderia ser ofensivo� Ter as informa�c�oes ou n�ao sobre a Natureza sem levantar o
v�eu depende de qu�ao inteligentemente os homens s�ao capazes de interpretar os
sinais da Natureza� Neste sentido� o diagrama HR �e uma das mais brilhantes e
importantes descobertas na Astronomia� O nome HR �e a abrevia�c�ao dos nomes
de dois astr�onomos� E� Hertzsprung ������ e H�N� Russel ������ que utilizaram
o diagrama para demonstrar uma forte correla�c�ao entre cor e luminosidade das
estrelas�
��� Luminosidade
A luminosidade de uma estrela �e de�nida como a quantidade de energia emitida
pela estrela por unidade de tempo� Por�em� por raz�oes hist�oricas� existem v�arias
maneiras de expressar a luminosidade� De forma geral� uma estrela emite sua ener�
gia basicamente de � formas� �� luminosidade fot�onica� �� luminosidade de neutrino�
�� emiss�ao de massa� As luminosidades de neutrino e de massa s�ao importantes em
certas etapas de evolu�c�ao� mas no momento� para simpli�car a argumenta�c�ao� s�o
vamos tratar da luminosidade fot�onica�
A luminosidade fot�onica pode ser expressa em termos de uma integral sobre
���� Luminosidade 
todas freq�u�encias�
L
�
� 	�R
�
Z
�
�
F
�
d	� �����
onde F
�
�e o �uxo de energia dos f�otons com comprimento de onda 	 liberado da
superf��cie da estrela� N�ao havendo perdas no meio do caminho� o �uxo correspon�
dente na dist�ancia r �ca
f
�
�
R
�
r
�
F
�
� �����
Para uma estrela cuja dist�ancia da terra �e r� o brilho aparente da estrela� medido
na superf��cie da terra por um qualquer tipo de detetor� pode ser escrito por
b � �a
�
Z
f
�
A
�
R
�
d	�
onde A
�
�e o fator que vem do efeito atmosf�erico� R
�
�e a e�ci�encia do detetor usado
e �a
�
�e a �area da abertura do detetor� O fator R
�
pode ser controlado de acordo
com a escolha da faixa de comprimento de onda �por exemplo� um �ltro�� O fator
atmosf�erico n�ao �e trivial de ser avaliado� Em geral utilizam�se estrelas padr�oes para
calibra�c�ao� A magnitude �e de�nida por
�
�
m � ��� � log
��
b �m
�
�
onde m
�
�e escolhido dependendo do sistema �tipo de detetor�� Naturalmente a
magnitude aparente leva em conta a dist�ancia da estrela �a Terra� Para discutir
propriedades de um conjunto de estrelas que pertencem a um mesmo aglomelado�
a diferen�ca nas dist�ancias entre elas �e um fator pouco relevante� pois a dist�ancia
entre a Terra e o aglomerado �e em geral muito mair que a difer�en�ca nas dist�ancias
entre estrelas� Entretanto� para discutir a luminosidade intrins�eca de uma estrela�
�e necess�ario efetuar uma normaliza�c�ao� Para este �m� utilizamos o brilho absoluto�
que representa o brilho que a estrela teria a uma dist�ancia padr�ao r
�
�
B �
�
r
r
�
�
�
b
onde r
�
�e escolhido como ��pc � �pc � �� ��
 � ��
��
cm � �� �
� ano�luz�� Con�
seq�uentemente� a magnitude abosoluta �e dada por
M � m� �� � log
��
�r�pc��
�
A origim do logaritmo aqui v�em de fato que a sensibilidade humano para os stimulos esternos �e
aproximadamente linear ao logaritmo da energia do estimulo� Por exemplo� para audi�c�ao� usa a medida
chamado db� que �e proporcional ao logaritmo da energia sonora�
���� Temperatura da Superf
cie e Indice de Cor ��
A magnitude corrigida dos fatores atmosf�ericos e da e�ci�encia do detetor �e chamada
de magnitude bolom�etrica� Em termos da luminosidade solar� L
�
� temos
M
b
� ��� � log
��
L
L
�
� 	� 
��
e
L
�
� �� ��� ��
��
ergs�s�
A magnitude bolom�etrica absoluta do Sol �e de 	� 
��
��� Temperatura da Superf��cie e
�
Indice de Cor
Falaremos mais tarde um pouco mais quantitativamente sobre a estrutura estelar�
mas os f�otons s�ao emitidos de uma camada �na da superf��cie estelar �fotosfera��
num razo�avel grau de aproxima�c�ao� como se fosse um corpo negro� A intensidade
de energia emitida por unidade de �area e comprimento de onda 	 do corpo negro
�e dada por
I
�
�
����
�
c
�
�
	
�
�
e
��c���kT
� �
� �����
onde � �e a constante de Plank divididopor ��� k �e a constante de Boltzman� e T �e a
temperatura� Na Fig� �� desenhamos esta fun�c�ao para tr�es diferentes temperaturas�
O ��ndice de cor �e de�nido como a diferen�ca de magnitudes para dois diferentes
�ltros� por exemplo� B�lue� �azul �ou fotogr�a�co� e Visual � amarelo�� O �ltro B
est�a centralizado na regi�ao 	 � 	���
�
A
� e o �ltro V est�a em torno de 	 � ����
�
A
�
O ��ndice B�V mede essencialmente a temperatura� sendo un��voca a rela�c�ao entre
estas grandezas�
��� Diagrama HR
Para uma dada estrela cujo dist�ancia �e conhecido� podemos obter sua luminosi�
dade L �ou equivalentemente a magnitude absoluta M� e seu ��ndice de cor B � V
�ou� equivalentemente� a temperatura efetiva super�cial T �� Estes dois n�umeros
de�nem um sistema de coordenadas no plano x�y� onde x � B � V �ou T �� y � L
�ouM�� Podemos agora colocar as estrelas neste plano� O fato surpreendente �e que
a distribui�c�ao das estrelas neste plano n�ao �e homog�enea� mas mostra uma forte
correla�c�ao� Perto de �� � das estrelas na nossa Gal�axia se situam numa banda di�
agonal neste plano� Esta banda �e chamada a Seq�u�encia Principal por raz�oes �obvias�
���� Diagrama HR ��
O nosso Sol tamb�em est�a na Seq�u�encia Principal� Sabemos que a Seq�u�encia Princi�
pal �e a primeira etapa da s�erie de rea�c�oes termonucleares que ocorrem no processo
de evolu�c�ao estelar� No centro das estrelas da Seq�u�encia Principal� o hidrog�enio �e
queimado para formar o caro�co do H�elio� Al�em da Seq�u�encia Principal� s�ao obser�
vadas certas regi�oes isoladas� como ilustrado esquematicamente na Fig���
Alguns importantes grupos s�ao�
� Gigantes Vermelhas� A pr�oxima etapa da evolu�c�ao depois da Seq�u�encia Prin�
cipal� O caro�co de H�elio est�a sendo queimado para formar Carbono�
� Subgigantes� Aparentemente estas s�ao as estrelas que se caminham para a
regi�ao das Gigantes� iniciando a queima de H�elio no centro�
� Supergigantes� Neste grupo encontramos as estrelas com todos os tipos de
cor� apresentando uma grande luminosidade �L � ��
�
L
�
��
� An�as Brancas� Estas s�ao estrelas com massa da ordem da massa solar �
� � � ��
��
g� com raio similar ao da Terra � ����� do Sol� tendo� portanto�
uma densidade cerca de ��������� vezes maior do que a do Sol� Em termos de
n�umero� elas s�ao as mais populosas ap�os a Seq�u�encia Principal� mas muitas
n�ao s�ao observ�aveis devido �a sua baixa luminosidade� Estas s�ao estrelas no
est�agio �nal de sua evolu�c�ao�
Hoje� pela teoria moderna da evolu�c�ao estelar� temos uma id�eia geral sobre a
origem desta correla�c�ao entre o ��ndice de cor e a luminosidade que se manifesta no
diagrama HR� mas ainda falta muito para ser esclarecido� O diagrama HR �e ex�
tremamente importante� pois al�em da sua utilidade pr�atica tal como� por exemplo�
uso como calibra�c�ao para determinar a dist�ancia aos agromelados de estrelas� ele
serve como uma ponte fundamental na teoria de evolu�c�ao e estrutura estelar�
�
Estrutura Estelar
��� Princ��pio Variacional
Por que as estrelas s�ao redondas� Para responder a esta pergunta� o melhor �e
reformular a quest�ao em termos de princ��pio variacional� O m�etodo de Princ��pio
Variacional n�ao �e importante apenas para responder a esta quest�ao mas para v�arios
assunto neste curso� Portanto� �e conveniente fazer uma pequena revis�ao do metodo
aqui�
Varia�c�ao de fun�c�oes
Vamos considerar primeiro o problema de se obter o ponto m��nimo de uma fun�c�ao�
y � f�x�� �����
Neste caso� sabemos que o m��nimo �ou m�aximo� �e dado pelo ponto onde a derivada
�e nula�
df
dx
�
�
�
�
�
x	x
m
� �� �����
Isto signi�ca que a varia�c�ao de y em torno do ponto x � x
m
�e nula at�e a primeira
ordem
�
em 
x�
yj
x	x
�
� f�x
m
� 
x�� f �x
m
�
�
df
dx
�
�
�
�
�
x	x
m
x �O�
x
�
�� �� �����
Para uma fun�c�ao de duas vari�aveis�
y � f�x
�
� x
�
�� ���	�
�
Daqui por diante� consideraremos apenas varia�c�oes de uma fun�c�ao ou funcional at�e a primeira ordem�
exceto especi�cado diferentemente�
���� Princ
pio Variacional ��
o ponto �x
�m
� x
�m
� de m�aximo� ou m��nimo� de y �e caracterizado pela condi�c�ao�
yj
x
�m
�x
�m
�
� f�x
�m
� 
x
�
� x
��m
� 
x
�
�� f �x
�m
� x
��m
�
�
�f
�x
�
x
�
�
�f
�x
�
x
�
� 
x � rf j
x
�m
�x
��m
�
� �
para qualquer varia�c�ao in�nitesimal de x
�
e x
�
� 
x
�
e 
x
�
� Na equa�c�ao acima�
introduzimos a nota�c�ao vetorial�
rf �
�
�f��x
�
�f��x
�
�
�
�
���x
�
���x
�
�
f
e
x �
�
x
�
x
�
�
�
que �e �util para generalizar os resultados para uma fun�c�ao com qualquer n�umero de
vari�aveis�
M�etodo da Constante Multiplicadora de Lagrange
Frequentemente temos que encontrar um m��nimo de uma quantidade com v��nculos�
Por exemplo� a �area de um rectangulo de largura x e altura y �e
S � S�x� y� � xy� �����
Queremos maximizar esta �area sob a condi�c�ao
x � y � a� ���
�
Neste caso� poderiamos eliminar uma das vari�aveis� x ou y da Eq����
� e procurar o
m��nimo de S� Entretanto� a forma de v��nculo pode ter uma forma mais complicado
do que Eq����
� e a elimina�c�ao de uma das vari�aveis pode se tornar complicada�
Um m�etodo muito e�ciente e frequentemente usado �e o m�etodo de constante mul�
tiplicadora de Lagrange� Escrevendo o v��nculo ���
� na forma
��x� y� � �� ���
�
onde obviamente
��x� y� � x � y � a
���� Princ
pio Variacional ��
as varia�c�oes de x e y devem satisfazer
� �
��
�x
x �
��
�y
y
� 
r � r� � �� �����
Por outro lado� em torno do ponto m�aximo da �area� sua varia�c�ao �e nula para
qualquer 
r que satisfaz �a Eq�������
S �
�S
�x
x �
�S
�y
y
� 
r � rS � �� �����
A �unica possibilidade para satisfazer as Eqs������ e ����� simultaneamente para
qualquer 
r �e que os dois vetores� rS e r�� sejam paralelos�
rS � 	r�� ������
onde 	 �e uma constante arbitr�aria� Por outro lado� se a Eq������� �e v�alida� a equa�c�ao
r � �rS � 	r�� � 
r � r�S � 	�� � �� ������
�e sempre verdade para qualquer 
r� Mas� neste caso� a Eq������� �e equivalente a
dizer
�S � 	�� � �� ������
para qualquer 
r� Isto �e� o problema de procurar o m�aximo da �area S sob o v��nculo
Eq����
� �e equivalente a procurar o m�aximo da fun�c�ao�
S � 	��
sem nenhum v��nculo� onde 	 �e uma constante a ser determinada� Este �e o m�etodo
da constante multiplicadora de Lagrange o qual incorpora o v��nculo num problema
de pinc��pio variacional�
Vamos aplicar o m�etodo para o caso de se procurar o m�aximo da �area descrita
acima� Neste caso�
S � xy�
� � x� y � a�
���� Princ
pio Variacional ��
e� portanto�
�xy � 	�x � y � a� � ��
Tomando independentemente as derivadas em rela�c�ao a x e y� temos
y � 	 � ��
x� 	 � ��
Da��� eliminando 	 e utilizando o v��nculo� temos os valores de x e y que d�ao o
m�aximo de S como
x � y � a���
O valor m�aximo de S �e� portanto� �a���
�
�
O m�etodo pode ser generalizado para casos onde existam mais do que um v��nculo
entre as vari�aveis� Sejam
�
�
�x�� x�� ���� x
n
� � ��
�
�
�
�
m
�x�� x�� ���� x
n
� � ��
m v��nculos entre as vari�aveis� x
�
� ���� x
n
� Um m�aximo �ou m��nimo� local de uma
fun�c�ao f �x
�
� ���� x
n
� �e dado pela condi�c�ao
F � 
�f �
m
X
i	�
	
i
�
i
� � �� ������
para qualquer f
x
i
g�
Funcional
Um funcional�e uma fun�c�ao de uma fun�c�ao� Por exemplo� a �area entre uma fun�c�ao�
y � f�x� e o eixo X no intervalo de x� �a� b �e dada pela integral
A �
Z
b
a
f�x�dx� ����	�
A �e um funcional de f � Isto �e� o valor de A depende da forma de f � Como sabemos�
a integral acima �e o limite n�	 da soma�
A � lim
n��
n
X
i	�
!x f
i
� ������
���� Princ
pio Variacional ��
onde
f
i
� f�x
i
��
!x �
b� a
n
�
x
i
� a � �i� ��!x�
Desta forma� podemos considerar A a fun�c�ao de ff
i
� i � �� ����	g� Em geral� um
funcional �e nada mais do que uma fun�c�ao de in�nitas vari�aveis�
Equa�c�ao de Euler�Lagrange
Obter umm�aximo �ou m��nimo� local de um funcional �e um processo completamente
an�alogo ao de procura do extremo de uma fun�c�ao� Vamos considerar um funcional
que tenha a forma�
I�f �
Z
b
a
L
�
f�
df
dx
�
dx� ����
�
Queremos obter a forma de f que d�a o valor m�aximo �ou m��nimo� de I� Para isto�
introduzimos a varia�c�ao de f � ponto a ponto� isto �e�
f�x�� f�x� � 
f�x�� ����
�
onde 
f�x� �e a varia�c�ao de f no ponto x � x� A varia�c�ao de I correspondente �ca
I � I�f � 
f � I�f 
�
Z
b
a
dx
�
L
�
f � 
f�
d�f � 
f�
dx
�
� L
�
f�
df
dx
��
� ������
Utilizando a rela�c�ao�
d�f � 
f�
dx
�
df
dx
�
d�
f�
dx
�
e expandindo o primeiro termo da Eq������� em 
f �
L
�
f � 
f�
d�f � 
f�
dx
�
� L
�
f�
df
dx
�
� 
f
�L
�f
�
d�
f�
dx
�L
�
�
df
dx
	
� � � � � ������
temos
I �
Z
b
a
dx
�
�
f
�L
�f
�
d�
f�
dx
�L
�
�
df
dx
	
�
�
� ������
���� Princ
pio Variacional �	
Aplicando integra�c�ao por partes no segundo termo�
I �
Z
b
a
dx
f�x�
�
�
�L
�f
�
d
dx
�
�
�L
�
�
df
dx
	
�
A
�
�
�
�
�
f�x�
�L
�
�
df
dx
	
�
�
�
�
�
�
�
�
x	b
x	a
� ������
�
E bastante comum que as varia�c�oes de f sejam feitas utilizando�se a condi�c�ao de
que 
f � � em x � a e x � b�
f�a� � 
f�b� � �� ������
Neste caso� temos
I �
Z
b
a
dx
f�x�
�
�
�L
�f
�
d
dx
�
�
�L
�
�
df
dx
	
�
A
�
�
� ������
Se f
m
�x� �e a fun�c�ao que corresponde o m�aximo �ou m��nimo� de I� ent�ao devemos
ter
I �
Z
b
a
dx
f�x�
�
�
�L
�f
�
d
dx
�
�
�L
�
�
df
dx
	
�
A
�
�
f	f
m
� �� ����	�
para qualquer varia�c�ao 
f � Assim� concluimos que a fun�c�ao f
m
�x� tem que satisfazer
�a equa�c�ao diferencial�
�
�
�L
�f
�
d
dx
�
�
�L
�
�
df
dx
	
�
A
�
�
f	f
m
� �� ������
Esta �e a equa�c�ao de Euler�Lagrange para a funcional ����
��
A Eq�����	� pode ser escrita na forma�
I � lim
n��
!x
n
X
i	�
f
i
�
�
�L
�f
�
d
dx
�
�
�L
�
�
df
dx
	
�
A
�
�
f
i
	f
m�
i
� ����
�
da mesma forma com na Eq�������� Desta forma� podemos identi�car que
�
!x
�I ff
i
g
�f
i
�
�L
�f
�
d
dx
�
�
�L
�
�
df
dx
	
�
A
� ����
�
���� Equil
brio Hidrostatico ��
Assim� de�nimos a derivada funcional para o funcional I como
I
f
�
�L
�f
�
d
dx
�
�
�L
�
�
df
dx
	
�
A
� ������
V��nculo Funcional
Quando existir um v��nculo� podemos tratar�lo em termos do m�etodo de constante
multiplicadora de Lagrange� Seja I � I�f um funcional que deve ser maximizado
�minimizada� e " � "�f o v��nculo para f � dada na forma funcional� Neste caso� a
fun�c�ao f deve ser obtida da varia�c�ao�
�I � 	" � �� ������
onde 	 �e uma constante� Em termos de derivada funcional� podemos expressar a
condi�c�ao por
I
f
� 	
"
f
� ��
A justi�cativa deste m�etodo �e completamente an�alogo ao caso de fun�c�oes�
��� Equil��brio Hidrost�atico
Vamos aplicar o m�etodo de princ��pio variacional para obter a con�gura�c�ao de
equil��brio de uma estrela� Considere a energia total de uma estrela que �e a soma da
energia interna da mat�eria e da energia gravitacional� Assim� a energia total �ca
escrita como
E �
Z
d
�
r ��
r��
G
�
Z
d
�
r
�
Z
d
�
r
�
��
r
�
���
r
�
�
j
r
�
� 
r
�
j
� ������
onde � �e a densidade da energia interna da mat�eria� � a densidade da massa� G �e
a constante gravitacional�
G � 
�
� ��
��
erg cm
�
�g
�
�
Considerando E como um funcional da densidade �� a con�gura�c�ao de equil��brio da
estrela deve corresponder o m��nimo desta funcional� Vamos calcular a varia�c�ao da
energia associada �a varia�c�ao do �� Entretanto� note que esta funcional E�� n�ao tem
���� Equil
brio Hidrostatico �
a forma da Eq�����
� e� portanto� a equa�c�ao de Euler�Lagrange n�ao pode utilizada
aqui� A varia�c�ao tem que ser calculada de seguinte forma�
E � E�� � 
� � E�� 
�
Z
d
�
r
��
��
��G
Z
d
�
r
�
��r
�
�
Z
d
�
r
�
��r
�
�
j
r
�
� 
r
�
j
�
Z
d
�
r
�
�
��
��
�G
Z
d
�
r
�
��r
�
�
j
r � 
r
�
j
�
�	�
eq
�
�
������
Se � � �
eq
representa a con�gura�c�ao de densidade de equil��brio do sistema� a
energia total deve estar no m��nimo� e portanto 
E deve ser nulo para qualquer
varia�c�ao em torno de �
eq
� Isto signi�caria
�� 
E � �� ������
mas na verdade� precisamos adicionar um v��nculo para a varia�c�ao 
�� de forma
que a massa total do sistema seja conservada� Ou ainda� 
� n�ao pode ser com�
pletamente arbitr�ario� Se esta condi�c�ao n�ao for imposta� o m��nimo da energia do
sistema corresponderia sempre a � � �#
Denotando a massa total da estrela por M
�
� a condi�c�ao subsidi�aria seria
M � 
Z
d
�
r � ������
�
Z
d
�
r 
� � ��
Agora� utilizando o m�etodo de multiplicadores de Lagrange� podemos formular o
problema pela equa�c�ao
E � 	
M � �� 
��
onde 	 �e uma constante� Assim� temos
��
Z
d
�
r
�
�
��
��
�G
Z
d
�
r
�
��r
�
�
j
r � 
r
�
j
� 	
�
�	�
eq
� �� ����	�
ou�
��
��
�G
Z
d
�
r
�
��r
�
�
j
r � 
r
�
j
� 	 � �� ������
�
Usamos a mesma lettra M para a massa e a magnitute� mas n�ao devem ser confundidas�
���� Equil
brio Hidrostatico ��
Nesta �ultima equa�c�ao� eliminamos o subscrito $eq %� por simplicidade�
�
E im�
portante lembrar que a densidade � que satisfaz a equa�c�ao acima �e sempre a da
con�gura�c�ao de equil��brio� O segundo termo �e nada mais do que o potencial grav�
itacional no ponto 
r�
�G
Z
d
�
r
�
��r
�
�
j
r � 
r
�
j
� U
Grav
�
r�� ����
�
A constante 	 pode ser eliminada neste caso tomando�se o gradiente de ambos os
lados da equa�c�ao� Temos
r
��
��
�rU
Grav
�
r� � �� ����
�
Por outro lado� utilizando a rela�c�ao
�
�
��
��
�
p� �
�
� ������
onde p �e a press�ao� temos
r
��
��
� r
p� �
�
�
�
�
rp� ������
Logo�
�
�
rp�rU
Grav
�
r� � �� ���	��
mostrando que� em equil��brio� o gradiente da press�ao est�a sendo contrabalan�cadopela for�ca gravitacional em cada ponto� Chamaremos este tipo de equil��brio de
equil��brio hidrost�atico �vamos rever esta equa�c�ao do ponto de vista hidrodin�amico�
posteriormente��
�
��
��
�
��E�V �
�
�
�
V
�
� �V
�
��E�V �
�V
� �V
�E
�V
�E � �p� ��V
�
p� �
�
���� Equil
brio Hidrostatico ��
Para facilitar a argumenta�c�ao� vamos supor que a densidade em equil��brio hidrost�atico
�e esfericamente sim�etrica� �Conceitualmente compreens��vel� pois a for�ca gravita�
cional �e atrativa e o m��nimo de energia deve corresponder �a con�gura�c�ao para qual
a dist�ancia m�edia entre quaisquer dois pontos da con�gura�c�ao seja a menor� o que
corresponde a uma esfera� Podemos provar isto de forma mais rigorosa pelo m�etodo
variacional�� Ent�ao�
� � ��r�� ���	��
Neste caso� temos
U
Grav
�
r� � �G
Z
d
�
r
�
��r
�
�
j
r � 
r
�
j
� �G
�
�
Z
��r
�
�r
�
�
dr
�
d&
�
�
r
�
�
X
l	�
�
r
�
r
�
�
l
P
l
�cos ��
�
�
� �	�G
�
�
r
Z
r
�
��r
�
�r
�
�
dr
�
�
Z
�
r
��r
�
�r
�
dr
�
�
� ���	��
e
�
rU
Grav
� 	�G
�
r
�
Z
r
�
��r
�
�r
�
�
dr
�
� ���	��
Assim� a equa�c�ao do equil��brio hidrost�atico �ca escrita na forma compacta�
dp
dr
� �	�G
�
r
�
Z
r
�
��r
�
�r
�
�
dr
�
� ���		�
Note que esta equa�c�ao ainda n�ao �e su�ciente para determinar a con�gura�c�ao
� � ��r�� pois a press�ao� p �e� em princ��pio� uma quantidade independente da
�
Aqui� utilizamos a expans�ao em polinomios de Legendre�
�
j�r � �r
�
j
�
�
p
r
�
� �rr
�
cos � � r
� �
�
�
r
�
�
X
l��
�
r
�
r
�
	
l
P
l
�cos ���
onde r
�
�r
�
� �e o maior �menor� entre r e r
�
� Tamb�em� temos
Z
d�P
l
�cos �� � ��	
l�
���� Modelo Politropico ��
densidade� Para determinar a press�ao� precisar��amos da equa�c�ao de estado�
p � p��� T �� ���	��
onde T �e a temperatura� Assim� �ca faltando uma equa�c�ao que de�na como a tem�
peratura varia com r� Esta pode ser obtida analizando como o calor �e transmitido
de uma posi�c�ao para outra pela condutividade t�ermica� Isto �e� precisariamos uma
equa�c�ao que descrever o mecanismo de transmiss�ao da energia� Mas� em estados
est�aticos ou estacion�arios� podemos considerar que a temperatura �e determinada
em cada ponto� e por sua vez�
T � T ���
Desta forma� podemos considerar
p � p���� ���	
�
efetivamente� Naturalmente� nos casos gerais� esta fun�c�ao �e conseq�u�encia de muitos
processos f��sicos tais como o mecanismo de produ�c�ao de energia e condu�c�ao do calor
no interior da estrela� o grau de ioniza�c�ao do g�as� etc�
��� Modelo Politr�opico
Para discutir quantitativamente a estrutura estelar evitando envolver estes proces�
sos complicados� Lane e Emden propuseram um modelo politr�opico para a equa�c�ao
de estado da mat�eria estelar� descrito pela rela�c�ao
p � K�
��
�
n
� ���	
�
onde n �e uma constante chamada de ��ndice politr�opico� Embora esta seja uma
aproxima�c�ao� em certas situa�c�oes esta modelagem corresponde bem a realidade�
Introduzindo as seguintes transforma�c�oes de vari�aveis�
r � a��
e
� � �
�
�
n
�
sendo
a �
�
�
�n� ��K�
�
n
��
�
	�G
�
�
���
�
���� Modelo Politropico ��
e
p � K�
��
�
n
�
�
n��
� ���	��
Tomando a derivada da equa�c�ao de equil��brio hidrost�atico Eq����		� temos
�
r
�
d
dr
�
r
�
�
�
dp
dr
�
� �	�G��r�� ���	��
Esta equa�c�ao pode ser re�escrita nas novas vari�aveis como
d
�
d�
�
���� � ���
n
� ������
que �e a equa�c�ao de Lane�Emden� Esta equa�c�ao deve ser resolvida com a condi�c�ao
inicial�
���� � ��
d�
d�
�
�
�
�
�
�
� ��
onde a primeira condi�c�ao vem da de�ni�c�ao do �
�
�ver a segunda das Eq����	���� e
a segunda vem da propriedade
r� � � em r � � ������
Para certos valores de n� podemos achar uma solu�c�ao anal��tica�
� Para n � ��
d
�
d�
�
���� � ���
e� portanto�
� � ��
�
�
�
�
� Para n � ��
d
�
d�
�
���� � ����
e� portanto�
� �
sin �
�
�
���� Modelo Politropico ��
Naturalmente� esta solu�c�ao somente �e v�alida para
� � ��
Assim� o raio da estrela �e determinado pela valor de � correspondente ao primeiro
zero �
�
da fun�c�ao �� Por exemplo para n � �� �
�
�
p
 � ��	�� enquanto que para
n � �� �
�
� ��
Vamos resolver a equa�c�ao de Lane�Emden numericamente� Podemos aplicar o
algor��tmo padr�ao para integra�c�ao� por exemplo o m�etodo de Runge�Kutta de 	
a
ordem� mas existem � pontos para os quais deve ser tomado cuidado� Para resolver
numericamente� avan�camos passo a passo� digamos !�� do centro � � � para fora�
No ponto � � �� o lado direito da equa�c�ao�
�
��
� �
�
�
�
�
�
� �
n
�
������
�ca indeterminado numericamente� pois � � �
�
� �� Para evitar o erro de trunca�
mento� devemos usar a express�ao obtida pela expans�ao de Taylor na origem para
calcular �
��
para um pequeno valor de ��
� � ��
�
�
�
�
n
�#
�
�
�
	# n��n� ��
�#
�
�
� � � � ������
O segundo ponto �e que� como n�ao sabemos o valor de �
�
�zero de �� a priori� pre�
cisamos ter um algoritmo para terminar o processo de solu�c�ao num�erica exatamente
no ponto �
�
� Em particular� como usualmente o c�alculo num�erico falha para expo�
nencia�c�ao de um n�umero negativo� temos que evitar o processo de c�alculo invadir
na regi�ao � � �
�
� Para isto podemos aplicar o m�etodo bisection
�
para diminuir o
passo do incremento� O algoritmo seria�
�� No ponto �
�
� s�ao dados valores de ��� ��� �
�
e passo !��
�� Resolve um passo � � �
�
� �
�
�!��
�� Durante a etapa �� se acontecer � � �� vai para etapa 	� sen�ao� avan�ca �
�
atualizando seu valor por �
�
�!� � �
�
e retorna �a etapa ��
�
Dividir o passo por � quando ultrapassa o limite�
���� Modelo Politropico ��
	� Divide o passo por ��
!� � !���
e se !� n�ao for su�cientemente pequeno� volta para etapa �� Se !� �cou
menor que o determinado limite inferior �por exemplo� tipicamente� ��
��
��
termina o c�alculo� registrando o valor do �
�
como �
�
�
Na Fig��� mostramos algumas solu�c�oes da Equa�c�ao de Lane�Emden� Veja na Ap�endice
I� um programa em FORTRAN para obter as solu�c�oes politr�opicas� com v�arios val�
ores de n�
A grande vantagem do modelo politr�opico �e que podemos descrever a estrutura
interna de uma estrela em termos de pequenos par�ametros� ou seja� �
�
e K� para
dado n� Assim� o raio da estrela �e dado por�
R � a�
�
�
�
�
�n� ��K�
�
n
��
�
	�G
�
�
���
�
�
� ����	�
e a massa �ca
M � 	�
Z
R
�
� r
�
dr
� 	�a
�
�
�
Z
	
�
�
�
n
�
�
d��
Mas da equa�c�ao de Lane�Emden� temos
d
d�
�
�
d�
d�
� ��
�
�
n
� ������
e� portanto�
M � �	�a
�
�
�
Z
	
�
�
d
d�
�
�
�
d�
d�
�
d� � �	�a
�
�
�
�
�
�
d�
d�
�
	
�
� �	�
�
�n� ��K
	�G
�
���
�
��n
�n
�
�
�
�
d�
d�
�
	
�
� ����
�
Esta f�ormula mostra que a massa e a densidade central da estrelaest�ao relacionadas
por
M � �
��n���n
�
����
�
���� Modelo Politropico ��
Assim� para n � �� �
�
�e crecente com M ' para n � �� decrecente� Para n � �� a
densidade central �e independente da massa M �
M � 	�
�
�n � ��K
	�G
�
���
� �����	� ������
Se a rela�c�ao entre a densidade e a press�ao� Eq����	
�� for v�alida mesmo para den�
sidades fora do equil��brio� ou seja� se esta rela�c�ao valesse para a varia�c�ao da den�
sidade� as con�gura�c�oes para n � � s�ao n�ao est�aveis� Isto �e f�acil de ser visto pois�
mantendo M � e aumentando a densidade central pela contra�c�ao do sistema� a en�
ergia total �ca menor que o valor do equil��brio hidrost�atico� Do ponto de vista
variacional� uma solu�c�ao da Equa�c�ao Lane�Emden corresponde a con�gura�c�ao de
m�axima da energia total para n � ��
Por outro lado� para as estrelas quentes com g�as ionizados� �e poss��vel ter a
con�gura�c�ao est�avel mesmo para n � �� Isto porque� a rela�c�ao Eq����	
� �e uma
rela�c�ao efetiva e s�o vale na con�gura�c�ao de equil��brio� e n�ao a rela�c�ao funcional
verdadeira entre � e p �lembre a exist�encia da temperatura ou entropia�� Como
exemplo� vamos considerar o caso em que no interior de uma estrela a raz�ao entre
a press�ao de g�as �ideal� P
g
e a press�ao de radia�c�ao P
�
seja quase constante� Neste
caso� a press�ao total pode ser escrita como
p � P
g
� P
�
� ������
P
g
� �P� ���
��
P
�
� ��� ��P� ���
��
onde � �e uma constante� Por outro lado� cada press�ao est�a relacionada �a temper�
atura T por�
P
g
�
N
A
�
� kT� ���
��
P
�
�
�
�
aT
�
� ���
��
onde N
A
�e a constante de Avogadro� a �e a constante de Stefan�Boltzman� e � �e
chamado de peso molecular m�edio� de�nido por
�
�
��
Z � �
A
��
X
Z
X
z
Z � �
A
� ���
	�
���� Gas de Eletrons Degenerados e o Limite de Chandrasekhar �	
que �e a m�edia� ponderada pela concentra�c�ao X
z
� dos graus de liberdade �Z dos
el�etrons � � do n�ucleo� do g�as completamente ionizados� Eliminando T das eqs�
���
�� e ���
�� e expressando a press�ao em termos de �� temos
p �
�
�
�
N
a
k
�
�
�
�
a
�� �
�
�
�
�
���
�
���
� ���
��
Esta express�ao �e sempre v�alida para um g�as completamente ionizado� A raz�ao entre
a press�ao de g�as e a press�ao de radia�c�ao em geral n�ao se mant�em constante alongo
a dist�ancia do centro para fora no interior de uma estrela� Mas� numa situa�c�ao
chamada de equil��brio radiativo� a constancia de � �e uma boa aproxima�c�ao como
veremos posteriormente� O modelo estelar com a con�gura�c�ao dada pelo politr�opico
de ��ndice � �e as vezes citado como modelo padr�ao politr�opico�
��� G�as de El�etrons Degenerados e o Limite de Chandrasekhar
O exemplo em que a rela�c�ao Eq����	
� se torna real� independentemente da tem�
peratura� �e o caso de an�as brancas� Nestas estrelas� a densidade interior delas �ca
t�ao grande que a press�ao t�ermica se torna desprez��vel comparada �aquela do g�as de
el�etrons degenerados� Vamos rever as propriedades de g�as de el�etrons degenerados�
Para alta densidade da mat�eria� os �atomos se aproximam tanto que os el�etrons
n�ao �cam ligados aos �atomos individualmente� Neste caso� a fun�c�ao de onda dos
el�etrons pode ser considerada� aproximadamente� uma onda plana�
��
r� �
�
p
V
e
i
k�
r
� ���
�
onde V �e o volume da mat�eria em considera�c�ao� Para N el�etrons� a fun�c�ao de onda
�e dada pelo determinante de Slater�
��
r
�
� 
r
�
� � � � � 
r
N
� �
�
p
V
n
N #
Det
�
�
�e
i
k
i
�
r
j
�
�
� ���
�
onde a propriedade fermi�onica dos el�etrons �e levada em conta pela antisimetriza�c�ao
da fun�c�ao de onda total� Ou seja� nenhum estado pode ser ocupado por mais de
um el�etron devido ao Princ��pio de Exclus�ao de Pauli� Isto implica que� a cada onda
plana
k
i
� podemos associar� no m�aximo� � el�etrons �devido ao grau de liberdade de
���� Gas de Eletrons Degenerados e o Limite de Chandrasekhar ��
spin�� Para simpli�car� vamos considerar uma caixa c�ubica de volume V � L
�
� Os
n�umeros de ondas permitidos s�ao�
k � �k
x
� k
y
� k
z
��
k
x
�
�
L
n
x
�
k
y
�
�
L
n
y
�
k
z
�
�
L
n
z
�
com �n
x
� n
y
� n
z
� inteiros n�ao negativos� Para cada
k� a energia associada �e
E
k
� c
q
��k�
�
�m
�
c
�
� ���
��
onde utilizamos a express�ao relativ��stica para a energia do el�etron na qual m �e a
sua massa de repouso�
Qual �e o estado fundamental �o estado de menor energia� para N el�etrons na
caixa V � Naturalmente� isto ser�a o estado em que os el�etrons ocupam todos os
n��veis de menor energia poss��vel� empilhando�se um em cima de outra� sem criar
espa�co em n��veis de energia� A quest�ao �e ent�ao� para dado N � quantos n��veis podem
ser preenchidos e qual �e o valor da energia total� Para responder esta pergunta�
podemos inverter a vis�ao� Seja E a energia do �ultimo n��vel ocupado� J�a que� no
estado fundamental� todos os n��veis de energia cuja energia menor do que E est�ao
ocupados por � el�etrons de cada� o n�umero total de el�etron N �e igual a duas vezes
do n�umero de estados que tenha energia menor que E�
Podemos observar que o n�umero de todos os estados que t�em energia menor
que E seria o n�umero de pontos de rede com as coordenadas inteiras� �n
x
� n
y
� n
z
��
satisfazendo a
n
�
x
� n
�
y
� n
�
z
h
�E�c�
�
� �mc�
�
i
�
L
��
�
�
�
�
pL
��
�
�
�
�
V
���
�
k
�
�
���
��
que por sua vez� �ca igual a um oitavo do volume �quadrante positivo� da esfera
do raio
K �
pL
��
���� Gas de Eletrons Degenerados e o Limite de Chandrasekhar �
Assim� o n�umero de pontos de redes �e dado por
�
�
	�
�
K
�
�
que �e a metade do N �fator de spin��
N � ��
�
�
	�
�
K
�
�
L
�
p
�
��
�
�
�
�
Esta equa�c�ao determina o valor m�aximo de momento de onda plana que est�a ocu�
pado no estado fundamental�
P
F
� �
�
��
�
N
V
�
���
� �
�
��
�
n
	
���
� ���
��
onde n �e a densidade num�erica dos el�etrons� O valor m�aximo de momento no
estado fundamental de um g�as de el�etron �e ent�ao determinado pela sua densidade
num�erica e �e chamado de momento de Fermi� A energia total do sistema �e dada
como a soma de energia dos n��veis ocupados�
E �
k
F
X
k
E
k
�
onde
k
F
� P
F
�� �
�
��
�
n
	
���
�
Temos
E � ��
�
�
� 	�
Z
K
�
dn n
�
E
k
�
m
�
c
�
�
�
�
�
V
Z
x
F
�
x
�
dx
p
x
�
� �� ���
��
onde
x
F
�
P
F
mc
�
�
mc
�
��
�
n
	
���
� 	
C
k
F
� ���
��
sendo
	
C
�
�
mc
�
���� Gas de Eletrons Degenerados e o Limite de Chandrasekhar ��
o comprimento de onda de Compton do el�etron dividido por ���
A integral em Eq����
�� pode ser feita como
g�x
F
� �
Z
x
F
�
p
x
�
� �x
�
dx �
�
�
�
x
F
q
�x
�
F
� ��
�
�x
�
F
� �
	
� arcsinh x
F
�
� ���
��
Portanto� temos a densidade de energia na forma
E
V
� � �
mc
�
�
�
	
�
c
g�x
F
�� ���
	�
Sabendo a densidade deenergia podemos calcular a press�ao� Como j�a vimos�
p �
d�
dn
n� �
� n
dx
F
dn
d�
dx
F
� �
�
mc
�
�
�
	
�
c
�
�
�
x
F
dg
dx
F
� g�x
F
�
�
�
mc
�
�
�
	
�
c
f�x
F
�� ���
��
onde
f�x
F
� �
�
�
�
�
�
x
F
��x
�
F
� ��
q
x
�
F
� � � arcsinhx
F
�
� ���
�
Podemos analisar o comportamento da press�ao para limites de baixa e alta densi�
dade� J�a que
f�x
F
��
�
�
x
�
F
��
�
��
�
��
x
�
F
�
�
��
x
�
F
� � � �
	
� x
F
� �
�
��
x
�
F
�
�
��
x
�
F
�
�
�
ln��x
F
� � � � � x
F
� �
� ���
�
temos
p �
mc
�
�
�
	
�
c
�
��
	
�
c
k
�
F
�
�
�
�
�
�m
���
�
�
���
n
���
�
�
�
�
�m
P
�
F
n� ���
��
para baixa densidade �n� n
�
� onde
n
�
�
�
��
�
	
�
c
� ���
��
���� Gas de Eletrons Degenerados e o Limite de Chandrasekhar ��
�
E interessante notar que
�
�
�
�m
P
�
F
n �
�
�
� K � n� ������
onde � K ��
�
�
�
�
P
�
F
�e a energia cin�etica m�edia n�ao relativ��stica dos el�etrons no
g�as de Fermi�
No outro limite� temos
p�
mc
�
�
�
	
�
c
�
��
	
�
c
k
�
F
�
�c
	
�
��
�
	
���
n
���
� ������
para alta densidade �n � n
�
�� A densidade num�erica de el�etrons na mat�eria elet�
ricamente neutra est�a relacionada com a densidade de massa � por
n ��
Z
A
�
�
m
U
�� ������
onde Z �e o n�umero at�omico e A e o n�umero de massa e m
U
�e a unidade de massa
at�omica
� A m�edia � Z�A � �e tomada sobre a composi�c�ao qu��mica da mat�eria
como no caso de peso molecular m�edio e chamamos de �
e
�
�
��
e
��
Z
A
� ������
O valor correspondente da densidade n
�
�ca
�
�
�
m
U
�
e
��
�
	
�
c
Note que� a depend�encia da press�ao com a densidade �e diferente em baixa densi�
dade e em alta densidade� A raz�ao desta mudan�ca �e que a contribui�c�ao para press�ao
vem da energia cin�etica dos el�etrons� Para a baixa densidade� o momento de Fermi
�ca pequeno e o movimento dos el�etrons �ca n�ao�relativ��stico� Neste caso� a ener�
gia cin�etica �ca proporcional ao quadrado do momento de Fermi� e por sua vez�
proporcional a �
���
� Por outro lado� para alta densidade� o maioria dos el�etrons se
comporta relativ��sticamente� e a energia cin�etica �ca proporcional ao momento de
Fermi� ou seja� �
���
� Assim�
p�
�
K
�
�
���
�
K
�
�
���
�
�� �
�
�� �
�
Regime N�ao Relativ��stico
Regime UltraRelativ��stico
����	�
	
A massa do �atomo de
��
C dividido por ���
���� Gas de Eletrons Degenerados e o Limite de Chandrasekhar ��
onde
K
�
�
�
�
�
�
�m
���
�
�
���
�m
U
�
e
�
����
� ������
K
�
�
�c
	
�
��
�
	
���
�m
U
�
e
�
����
� ����
�
Na Fig�	� �e mostrado o gr�a�co da press�ao de g�as de el�etrons degenerados contra a
densidade�
A mudan�ca do valor do exponente �� �chamado de ��ndice adiab�atico�
p � K�
�
����
�
de ��� para 	�� provoca um fen�omeno extraordin�ario� a explos�ao de supernovas�
Mencionamos anteriormente que se o ��ndice politr�opico n for maior do que �n � ���
a estrela �ca inst�avel� Isto corresponde a � 
 	�� �� � � � ��n�� Chandrasekhar
mostrou que para as an�as brancas� n�ao existe uma con�gura�c�ao est�avel para massas
maiores do que um certo valor� Este valor limite �e obtido da Eq� ���� com o valor
de K dado pela Eq� ����
�� Assim temos
M
Chandra
�
����
�
�
e
M
�
� ������
onde M
�
�e a massa solar ��� ��
��
g�� A exist�encia de tal limite para a estabilidade
estelar de uma an�a branca �e f�acilmente compreendida da seguinte forma� Vamos
considerar uma massa M com uma distribui�c�ao homog�enea �densidade constante�
numa esfera de raio R� A energia gravitacional neste caso �ca
E
Grav
� �
�
�
G
M
�
R
� ������
Podemos considerar a press�ao devido �a gravita�c�ao do sistema como
p
Grav
� �
�E
Grav
�V
�
�
�
�
�
M
� �
�
	�R
�
�E
Grav
�R
�
�
�
�
�
M
� �
�
���
GM
�
�
R
�
� �
�
�
�
	�
�
�
���
GM
���
�
���
������
que deve ser contrabalan�cada pela press�ao de g�as de el�etron� Eq����	� Note que o
exponente da depend�encia em densidade 	�� �e exatamente igual �aquele do limite
ultra�relativ��stico� Assim� o equil��brio s�o �e poss��vel �veja Fig� �� quando
�
�
G�
	�
�
�
���
M
���
�
�c
	
�
��
�
	
���
�m
U
�
e
�
����
�
���� Teorema Virial ��
isto �e�
M �
��
�
�
e
M
�
� ������
o que n�ao �e muito diferente da Eq�������� A diferen�ca vem da aproxima�c�ao de
densidade constante que superestima o gradiente da press�ao�
��	 Teorema Virial
Vamos considerar o equil��brio hidrost�atico do ponto de vista microsc�opico� Suponha
que a mat�eria estelar �e composta de part��culas cujas coordenadas ser�ao denotados
por
f
r
i
g �
A equa�c�ao de movimento �e
m
i
d
�
r
i
dt
�
�
F
i
������
onde
F
i
�e a for�ca que atua sobre a part��cula i� Multiplicando os dois lados por 
r
i
e somando sobre todas as part��culas temos
X
r
i
�
F
i
�
X
m
i
d
�
r
i
dt
�
� 
r
i
�
d
dt
�
X
m
i
d
r
i
dt
� 
r
i
�
�
X
m
i
d
r
i
dt
�
d
r
i
dt
�
d
�
dt
�
�
�
�
X
m
i
r
�
i
�
� �K
�
d
�
dt
�
I � �K� ������
onde I �e o momento de in�ercia� que �e constante para um estado de equil��brio do
sistema� Assim� temos
X
i
r
i
�
F
i
� �K � �� ����	�
Se a for�ca �e apenas as for�cas entre as part��culas� podemos escrever
F
i
�
X
j �	i
F
ij
� ������
F
ij
� �
F
ji
� ����
�
���� Teorema Virial ��
O primeiro termo da Eq�����	� pode ser escrito como
X
i
r
i
�
F
i
�
X
i�i�
F
ij
� �
r
i
� 
r
j
� �
onde a soma deve ser feita sobre o par de ��ndices �i� j�� Se a for�ca �e apenas a for�ca
gravitacional�
F
ij
� �G
m
i
m
j
�
r
i
� 
r
j
�
j
r
i
� 
r
j
j
�
�
Assim� temos
X
i
r
i
�
F
i
� �G
X
i�j�
m
i
m
j
j
r
i
� 
r
j
j
� U
Grav
� ����
�
onde U
Grav
�e a energia gravitacional total do sistema� Finalmente temos
K � �
�
�
U
Grav
� ������
Este �e o teorema virial que relaciona o valor m�edio da energia cin�etica das part��culas
com a energia total gravitacional�
Na dedu�c�ao acima foi suposto que a mat�eria se comporta como um g�as ideal
�n�ao h�a intera�c�ao entre as part��culas exceto gravita�c�ao�� Um resultado mais geral
pode ser obtido pela equa�c�ao de equil��brio hidrost�atico�
dp
dr
� ��
GM�r�
r
�
� ������
onde
M�r� � 	�
Z
r
�
��r
�
�r
��
dr
�
� �������
�e a massa contida numa esfera de raio r� Analogamente podemos introduzir ovolume da esfera�
V �r� � 	�
Z
r
�
r
��
dr
�
�
	�
�
r
�
� �������
Multiplicando por V os dois lados da Eq������� e escolhendo as vari�aveis adequadas�
temos
V dp � �
�
�
GM
r
dM� �������
Integrando os dois lados para o interior da estrela� temos
pV j
r	R
r	�
�
Z
R
�
pdV �
�
�
U
Grav
� �������
���� Teorema Virial ��
J�a que o primeiro termo �e nulo� �nalmente temos
��
Z
pdV � U
Grav
� �����	�
Se usarmos a equa�c�ao de estado de g�as perfeito�
pV � NkT �������
e identi�cando a energia cin�etica m�edia por part��cula como ��� kT � temos
Z
pdV �
Z
n kT dV
�
�
�
K� �����
�
e� portanto�
K � �
�
�
U
Grav
� �����
�
obtendo o resultado anterior�
As consequ�encias imediatas do teorema virial para uma estrela s�ao�
�� quanto mais colapsada a estrela �maior energia gravitacional�� maior ser�a a
temperatura m�edia� se a mat�eria se comporta como um g�as ideal�
�� para dois estados de equil��brio hidrost�atico� a diferen�ca das energias cin�eticas
internas do g�as �e a metade da diferen�ca das energias gravitacionais dos dois
estados� Ou seja� para uma estrela colapsar� a metade da energia gravitacional
deve ser liberada para fora da estrela�
A primeira �e trivial� A segunda mostra que para uma estrela colapsar� tem que
liberar energia� Caso n�ao libere energia� n�ao acontece o colapso� Desta forma� vemos
que o papel da luminosidade �e essencial para o processo de evolu�c�ao estelar�
�
Processos Microsc�opicos
Como podemos perceber pela discuss�ao do teorema virial no Cap��tulo anterior�
os estados microsc�opicos da mat�eria �por exemplo� a energia cin�etica de cada
part��cula� tem uma in�u�encia determin��stica para a estrutura estelar� Entretanto�
�e obviamente imposs��vel discutir as propriedades de uma estrela partindo dire�
tamente dos graus de liberdade microsc�opicos dos constituintes da mat�eria� Fe�
lizmente� para a maioria dos fen�omenos astrof��sicos� a natureza de longo�alcance
da intera�c�ao gravitacional e o fato de que seu efeito �e desprez��vel em escalas mi�
crosc�opicas permitem separar a din�amica macrosc�opica� regida pela gravita�c�ao� da
propriedade local da mat�eria� regida pelas outras intera�c�oes� Um outro fator im�
portante �e a escala de tempo caracter��stico dos processos astrof��sicos� Em geral�
a escala de tempo para a din�amica do sistema �e muito maior que aquela para
os processos microsc�opicos que ocorrem localmente� Desta forma� as propriedades
da mat�eria s�ao determinadas pelas m�edias das din�amicas dos graus de liberdade
microsc�opicos�
��� Equil��brio Termodin
amico
Vamos revisar um pouco de Termodin�amica e a Mec�anica Estat��stica� Sabemos
que uma por�c�ao de mat�eria� independentemente da condi�c�ao inicial� sempre acaba
atingindo um estado chamado de estado de equil��brio termodin�amico� O tempo
necess�ario para alcan�car o equil��brio termodin�amico �e chamado de tempo de re�
laxa�c�ao termodin�amico� A Termodin�amica diz que as propriedades do estado da
mat�eria em equil��brio s�ao descritas pela equa�c�ao fundamental�
Ej
Equil��brio
� E�V� S�N�� �	���
onde E �e a energia� V o volume� S a entropia e N �e o n�umero de part��culas� Para
v�arios tipos de part��culas temos�
Ej
Equil��brio
� E�V� S� fN
i
g�� �	���
���� Equil
brio Termodinamico �	
Todas as quantidades acima s�ao extensivas� Por este motivo� sem perder general�
idade� podemos trabalhar apenas com uma determinada quantidade de massa� As
quantidades extensivas para uma unidade de massa s�ao referidas como espec���cas�
Por exemplo� o volume espec���co �e
V
espc
�
V
M
�
�
�
�
Daqui em diante� omitiremos o subscrito $ espc% sem preju��zo para a compreens�ao�
As quantidades intensivas s�ao de�nidas como
p � �
�E
�V
�
�
�
�
�
S� fN
i
g
� �	���
T � �
�E
�S
�
�
�
�
�
V� fN
i
g
� �	�	�
�
i
� �
�E
�N
i
�
�
�
�
�
V�S
� �	���
Pela primeira lei da Termodin�amica� a varia�c�ao da energia da mat�eria �e dada
por a difer�en�ca entre a quantidade do calor que foi dado ao sistema e o trabalho
que o sistema ganhou de fora �supondo n�ao h�a mudan�ca de n�umero de part��culas
N
�
i
s�'
!E � !Q �!W �	�
�
Isto nada mais �e que a conserva�c�ao da energia e sempre �e verdade� mesmo que o
sistema n�ao esteja em equil��brio� Se a varia�c�ao for in�nitesimal� e se o estado do
sistema for mantido sempre em equil��brio t�ermico durante esta varia�c�ao� podemos
ent�ao identi�car as varia�c�oes de calor e de trabalho que o sistema recebe de fora
por
dQj
Equil��brio
� TdS� �	�
�
dW j
Equil��brio
� �pdV� �	���
Consequentemente� nos estados de equil��brio t�ermico�
dEj
Equil��brio
� �pdV � TdS� �	���
���� Equil
brio Termodinamico ��
Este tipo de processo �e revers��vel e� em geral� s�o pode ser realizado se as varia�c�oes
das quantidades forem realizadas numa escala de tempo muito grande comparada
com o tempo de relaxa�c�ao para o equil��brio� �
eq
� Ou seja�
�
�
�
�
�
(
Q
Q
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
(
W
W
�
�
�
�
�
�
�
�
eq
� �	����
de modo que o sistema mant�em sempre seu estado de equil��brio� Por isso� muitas
vezes nos referimos a este processo como quase�est�atico e o denotamos como qes
no lugar de equil� Quando houver varia�c�ao no n�umero de part��culas� a equa�c�ao
correspondente �a Eq��	��� ser�a
dEj
qes
� �pdV � TdS �
X
i
�
i
dN
i
� �	����
Quando a varia�c�ao do estado n�ao mant�em o equil��brio termodin�amico� isto sem�
pre provocar�a uma agita�c�ao microsc�opica adicional� o que levar�a ao acr�escimo da
entropia� Assim� a segunda lei da Termodin�amica estabelece que
dQ 
 TdS� �	����
Para entender melhor o signi�cado desta rela�c�ao� vamos considerar um g�as con��
nado num cilindro com pist�ao� termicamente isolado� Quando empurramos o pist�ao
lentamente� o trabalho da for�ca externa feito ao sistema �e
�pdV� �	����
e a transfer�encia do calor �e nula por ser termicamente isolado�
dQ � ��
Assim�
dEj
qes
� �pdV
Agora� o que acontecer�a se o empurr�ao do pist�ao for feito mais rapidamente de
forma que o g�as n�ao tenha tempo de manter o equil��brio� Neste caso� como o cilin�
dro �e isolado termicamente� continuamos tendo dQ � �� e portanto� pela primeira
lei�
dE � dW�
���� Equil
brio Local e Hidrodinamico �
No entanto� a varia�c�ao da entropia n�ao �e nula� e portanto� a varia�c�ao da energia�
ap�os re�adquirir o equil��brio� ser�a dado por
dE � �pdV � TdS� �	��	�
Assim� o trabalho feito pelo pist�ao n�ao �ca igual a
�pdV�
e sim
dW � �pdV � TdS� �	����
Escrevendo
dW � �p
ef
dV�
temos
p
ef
� p� �	��
�
ou seja� a for�ca efetiva que reage contra o pist�ao na hora do empurr�ao �ca maior
que a press�ao� Isto ocorre porque o movimento do pist�ao transfere energia cin�etica
adicional para o g�as� Naturalmente para termos um efeito apreci�avel� a velocidade
do pist�ao deve ser compar�avel �aquela do movimento t�ermico do g�as�
��� Equil��brio Local e Hidrodin
amico
Nas equa�c�oes acima� n�ao se fez necess�ario mencionar o conceito de varia�c�ao es�
pacial das grandezas� Isto porque� em equil��brio� a mat�eria �e por de�ni�c�ao ho�
mog�enea� Para tratar da din�amica da mat�eria� frequentemente utiliza�se o conceito
de equil��brio local� Neste caso� as escalas associadas �as varia�c�oes �inhomogeniedade�
no espa�co�tempo do sistema s�ao in�nitesimalmente menores comparadas com as
escalas microsc�opicas�Por exemplo�
�
�
�
�
�
�
p
dp
dt
�
�
�
�
�
�
�
�
eq
�
�
�
�
�
�
�
p
rp
�
�
�
�
�
�
�
l
m
� �	��
�
onde l
m
�e a dist�ancia caracter��stica microsc�opica� Podemos considerar l
m
como o
livre�percurso m�edio das part��culas constituintes� 	
m
� As quantidades dos lados
esquerdos das Eqs��	��
� de�nem as escalas de tempo e espa�co hidrodin�amicas�
�
�
h
�
�
�
�
�
�
�
X
dX
dt
�
�
�
�
�
�
�
l
h
�
�
�
�
�
�
X
rX
�
�
�
�
� �	����
���� Equil
brio Local e Hidrodinamico ��
onde X �e qualquer uma das quantidades termodin�amicas �densidade� press�ao� tem�
peratura����� Assim� se
�
h
� �
eq�
l
h
� 	
m
�	����
podemos ent�ao considerar que a mat�eria est�a localmente em equil��brio� Quando o
sistema em quest�ao tem dimens�ao espacial muito maior que l
h
�
d� l
h
�
podemos considerar uma c�elula de volume de ordem de l
�
h
como um elemento in�
�nitesimal d
�
r do sistema e discutir a din�amica do sistema em termos da hidrodin�amica�
����� Descric�
�
ao Euleriana e Lagrangeana da Hidrodynamica
Na hidrodin�amica sempre supormos que a mat�eria est�a em equil��brio local� i�e��
em cada ponto de espa�co� 
r � e em cada instante� t� existem valores bem de�nidos
de temperatura T � energia espec���ca E� e entropia espec���ca S para de�nir o es�
tado termodin�amico da mat�eria� A primeira coisa que temos que considerar �e a
de�ni�c�ao das vari�aveis usadas para a descri�c�ao da din�amica do sistema� Como j�a
mencionamos� estamos considerando o sistema como sendo uma cole�c�ao de c�elulas
in�nitesimais
�
onde as propriedades t�ermicas locais s�ao de�nidas� Podemos� ent�ao�
introduzir as seguintes vari�aveis�
�
i
�t� � densidade de massa da i�esima c�elula�
r
i
�t� � coordenadas do centro de massa da i�esima c�elula� �	����
v
i
�t� � velocidade do centro de massa da i�esima c�elula�
Note que o ��ndice i varia contiuamente no limite de c�elula in�nitesimal� Podemos
identi�car o ��ndice i como a coordenada 
r
�
da posi�c�ao inicial da c�elula� Desta
forma� cada c�elula carrega seu r�otulo inicial� e a descri�c�ao din�amica segue as tra�
jet�orias das c�elulas� Este tipo da descri�c�ao �e chamado de o sistema de coordenadas
Lagrangeano� Neste sistema� a varia�c�ao temporal acompanha o �uxo da mat�eria�
Uma outra forma de descrever a din�amica do sistema �e investigar como os val�
ores das quantidades em cada ponto �xo no espa�co� digamos 
r num sistema de
�
Aqui� �in�nitesimal � no sentido de comparado com o escala caracter�
stica do sistema�
���� Equil
brio Local e Hidrodinamico ��
coodenadas �xo no espa�co� variam no tempo� Neste caso� as vari�aveis s�ao�
��
r' t� e 
v�
r' t�� �	����
Este sistema de coordenadas �e chamado de Euleriano� No sistema de coordenadas
Euleriano� a varia�c�ao temporal n�ao acompanha o movimento da mat�eria�
A derivada temporal no sistema Lagrangeano est�a relacionada com aquela do
sistema Euleriano por
�
�t
�
�
�
�
�
i
�
�
�t
�
�
�
�
�
r
� 
v � r �	����
e a denotamos como d�dt� ou seja�
�
�t
�
�
�
�
�
i
�
d
dt
�
�
�t
� 
v � r �	����
No sistema Euleriano existem 	 vari�aveis a determinar em cada posi�c�ao 
r� Pre�
cisamos� portanto� de 	 equa�c�oes em cada posi�c�ao� A primeira delas �e a equa�c�ao
de continuidade da massa�
��
�t
�r � ��
v� � �� �	��	�
que representa a conserva�c�ao da massa� e as outras � v�em da equa�c�ao de Newton
para a c�elula in�nitesimal da mat�eria na posi�c�ao 
r�
!m
d
�
r
dt
�
� �
I
p
n � d
S �!V
f� �	����
onde !m �e a massa do elemento de volume in�nitesimal� !V �
!m � �!V�
e p � p�
r� t� �e a press�ao� 
n o vetor normal unit�ario do elemento de superf��cie d
S�
e
f �e a for�ca externa por unidade de volume� O primeiro termo do lado direito �e a
integral sobre a superf��cie do elemento de volume� e podemos veri�car f�acilmente
�
que
I
p
n � d
S �
Z
rp d
�
V �rp !V� �	��
�
�
Para veri�car� considere um elemento de volume quadratico� formado de � vetores in�nitesimais�
dx�e� dy
�
j� dz
�
k
Expresse a integral nesta base e expande p � p�x� y� z� em dx� dy� e dz�
���� Equil
brio Local e Hidrodinamico ��
Assim� temos
�
d
v
dt
� �rp �
f� �	��
�
Usando a Eq��	����� podemos rescrever a Eq��	��	� como
d�
dt
� �r � 
v � �� �	����
e a Eq��	��
� pode ser expressa como
�
v
�t
� �
v � r�
v � �
�
�
�rp�
f�� �	����
Esta �ultima forma �e conhecida como equa�c�ao de Euler�
Nos problemas comuns� a densidade de for�ca externa
f �e especi�cada como uma
fun�c�ao de posi�c�ao 
r e t� que em geral vem da intera�c�ao de for�ca de longo�alcance�
A for�ca gravitacinal na astrof��sica �e exatamente o caso� Um outro exemplo �e o da
energia electrost�atica na aplica�c�ao da hidrodinamica na F��sica Nuclear� Quando a
viscosidade est�a presente� esta tamb�em deve ser incluida�
A press�ao p �e relacionada pela equa�c�ao de estado da mat�eria�
p � p�V� T � �	����
com o volume espec���co V �� ���� e a temperatura T � Aparece agora uma nova
inc�ognita T # Como determinar T � T �
r� t�� Precisamos uma nova equa�c�ao� Para
este �m� utilizamos a conserva�c�ao de energia local �a primeira lei da Termodin�amica�'
dE
dt
� �p
dV
dt
� T
dS
dt
�
X
�
�
�
dN
�
dt
� �	����
onde E �e a energia espec���ca �energia por unidade de massa�� V � ���� e S �e
a entropia espec���ca� Note que a derivada temporal �e a derivada total� ou seja�
a derivada no sistema Lagrangeano� acompanhando o movimento da mat�eria� O
�ultimo termo �e necess�ario quando h�a varia�c�ao de composi�c�ao qu��mica e trans�
muta�c�ao das part��culas� Por enquanto consideramos o caso em que a mat�eria n�ao
muda a sua composi�c�ao qu��mica� Ent�ao�
dE
dt
� �p
dV
dt
� T
dS
dt
� �	����
���� Equil
brio Local e Hidrodinamico ��
O �ultimo termo �e a soma de todas as taxas de varia�c�ao de calor da mat�eria de�
vido a viscosidade� gera�c�ao de energia por rea�c�oes� esfriamento pela radia�c�ao� etc
�lembre que estamos considerando os processos quase�est�aticos do ponto de vista
Termodin�amico�� Devemos express�a�lo como uma fun�c�ao de t e de outras vari�aveis�
tais como 
r� 
v� p e T '
T
dS
dt
� G�
r� 
v� p� T � � (��
�
�
r � j
Q
� �	����
onde (� �e a produ�c�ao da energia por unidade de massa� e o �ultimo termo corresponde
�a perda de energia devido �a luminosidade� Esta equa�c�ao determina a varia�c�ao
temporal da entropia� e por sua vez� determina a temperatura via
T �
�
�E
�S
�
V
� �	��	�
quando for dada a equa�c�ao fundamental da mat�eria�
E � E�V� S�� �	����
Em resumo� a estrutura l�ogica da Hidrodin�amica para obter a solu�c�ao na pr�atica
�ca como segue
�
�
�� Especi�cam�se as condi�c�oes iniciais para as vari�aveis� Isto �e�
��
r' t
�
�� 
v�
r' t
�
�� S�
r' t
�
�
s�ao dadas para todos os 
r
�
� &� onde & �e o dom��nio do sistema�
�� Especi�cam�se as propriedades f��sicas em termos das fun�c�oes�
E�V� S�� G�
r� 
v� p� T ��
f�
r� 
v� p� T ��
�� Dado os valores de ��
r' t
�
�� 
v�
r' t
�
�� S�
r' t
�
�� obt�em�se p e T como
p � �
�
�F
�V
�
S
� T �
�
�F
�S
�
V
�
�
O algoritmo aqui n�ao �e necessariamenteaquele usado na pr�atica para a resolu�c�ao n�umerica de um
sistema hidrodin�amico devido �a e�ci�encia e �a instabilidade para obter derivadas n�umericas espaciais�
���� Equil
brio Local e Hidrodinamico ��
e por sua vez� calculam�se os lados direitos das equa�c�oes hidrodin�amicas�
�
�t
��
r' t� � �r � ��
v�� �	��
�
�
�t
v�
r' t� � ��
v � r�
v �
�
�
�rp�
f�� �	��
�
�
�t
S�
r' t� � ��
v � r�S �
�
T
G�
r� 
v� p� T � �	����
	� Conhecendo�se as derivadas temporais� obt�em�se os valores das vari�aveis para
o pr�oximo passo temporal� t
�
� t
�
� 
t� 
 
r�
�� Atualizam�se os valores das vari�aveis
��
r' t� 
t�� ��
r' t��
v�
r' t� 
t�� 
v�
r' t��
S�
r' t� 
t�� S�
r' t��
e voltamos para �a etapa ��
O procedimento equivalente no sistema de coordenadas Lagrangeano pode ser
ilustrado como se segue�
�� Especi�cam�se as condi�c�oes iniciais para todos os 
r
�
�
�
r
�
�t
�
�� 
v
r
�
�t
�
�� S
r
�
�t
�
��
Aqui� para enfatizar o car�ater de r�otulo� a coordenada 
r
�
�e posta como ��ndice
das vari�aveis�
�� A posi�c�ao de cada c�elula �e tamb�em uma vari�avel� 
r
r
�
�t�� com a condi�c�ao
inicial�
r
r
�
�t
�
� � 
r
�
�
�� Resolve�se as equa�c�oes diferenciais �ordin�arias� para todos os
r
�
�
d
r
r
�
dt
� 
v
r
�
� �	����
d�
r
�
dt
� �� r � 
v
r
�
� �	�	��
�
d
v
r
�
dt
� �rp�
f �	�	��
T
dS
r
�
dt
� G�
r
�
� 
v� p� T � �	�	��
���� Equil
brio Local e Hidrodinamico ��
Os leitores devem veri�car que os dois procedimentos s�ao equivalentes� apesar
de diferen�cas aparentes entre as Eqs��	��
�	��
�	���� e as Eqs��	����	�	��	�	��	�	���
Devemos lembrar que� ao converter as derivadas temporais total e parcial� as quan�
tidades extensivas s�ao dadas por unidades de massa �quantidades espec���cas�� Seja
Q uma quantidade extensiva espec���ca� Ent�ao� a densidade e o �uxo desta quanti�
dade s�ao�
q �
Q
V
� Q� �	�	��
e
j) � Q�
v� �	�		�
Suponha que a derivada total de Q �e dada por'
dQ
dt
� �� �	�	��
ent�ao� temos
�q
�t
�r �
j � �
�Q
�t
� �
v � rQ
� �
dQ
dt
� �� �	�	
�
Quando o lado direito de uma equa�c�ao de continuidade n�ao �e nulo como na
Eq��	�	
�� chamamos este termo de fonte�
����� Hidrodin
�
amica Adiab
�
atica	 Onda de Som
A t��tulo de ilustra�c�ao vamos considerar um exemplo de aplica�c�ao da Hidrodin�amica
para a descri�c�ao da propaga�c�ao de uma onda sonora� Em certas situa�c�oes� a
produ�c�ao de entropia pode ser considerada desprez��vel ou nula� Neste caso� G � �
e a varia�c�ao da press�ao associada com a varia�c�ao de densidade deve ser calculada
sob esta condi�c�ao� que chamaremos de adiab�atica� Por exemplo� no caso de g�as
ideal� a equa�c�ao de estado �e dada por
pV � NkT� �	�	
�
No entanto� n�ao podemos us�a�la sem conhecer o valor de T � Note que a varia�c�ao
adiab�atica do volume espec���co V alterar�a a temperatura
�
� Pelas leis da Ter�
modin�amica� a conserva�c�ao da energia e entropia no caso de um g�as ideal leva
�
At�e o Newton esqueceu deste detalhe�����
���� Equil
brio Local e Hidrodinamico ��
ao resultado bem conhecido
�
�
p � p
�
�
V
�
V
�
�
� �	�	��
onde p
�
e V
�
s�ao valores no equil��brio e � �e chamado de ��ndice adiab�atico� No caso
de um g�as ideal n�ao relativ��stico� � � ����
As equa�c�oes s�ao
�
�t
��
r' t� � �r � ��
v� �	�	��
e
�
�t
v�
r' t� � ��
v � r�
v �
�
�
�rp�
f�� �	����
onde p � p��� �e dada pela rela�c�ao adiab�atica� Portanto� j�a n�ao �e mais necess�aria a
conserva�c�ao de energia� formando um sistema fechado de duas equa�c�oes acopladas
com duas inc�ognitas' � e 
v�
Vamos considerar a propaga�c�ao de uma onda sonora numa mat�eria homog�enea
em equil��brio� Neste caso�
f � �� Usualmente� a varia�c�ao da densidade associada
ao som tem amplitude bastante pequena� Se este for o caso� podemos simpli�car
as equa�c�oes fazendo uma aproxima�c�ao de lineariza�c�ao� Para este �m� escrevemos
� � �
�
� 
�
r� t�� �	����
�
A energia de um g�as ideal pode ser expressa por
E �
pV
� � �
�
e� portanto�
dE �
�
� � �
�pdV � V dp�
Por outro lado� da adiabaticidade �dS � ��� temos
dE � �pdV
Assim�
�pdV � V dp � ��
ou seja�
p
p
�
�
�
V
V
�
	
��
���� Equil
brio Local e Hidrodinamico �	
onde �
�
�e a densidade do equil��brio da m�edia �constante em espa�co�tempo� e j
j ��
�
�
� Para primeira ordem em 
� a Eq��	�	�� �ca
(
 � ��
�
r � 
v �	����
Na mesma aproxima�c�ao� podemos escrever
�
�
rp �
�
�
�
�
dp
d�
�
�
r
 �
�
�
�
�p
�
�
�
r
 �	����
Tomando a diverg�encia dos dois lados da Eq��	���� e substituindo nela as Eqs��	����	�����
temos
�
�
�
d
�
dt
�
� � p
�
r
�
 �	��	�
ou
�
v
�
s
d
�
dt
�
�r
�
 � � �	����
onde
v
s
�
v
u
u
t
�
dp
d�
�
�
�
s
�
p
�
�
�
�	��
�
Uma solu�c�ao da Eq��	���� tem a forma�
 � f�
n � 
r � v
s
t�� �	��
�
onde f �e uma fun�c�ao arbitr�aria e 
n �e um vetor unit�ario numa dire�c�ao qualquer� Esta
solu�c�ao representa a propaga�c�ao de uma onda de compress�ao com a velocidade v
s
na dire�c�ao de 
n� Est�a �e uma onda sonora �onda de densidade�� Assim� a velocidade
de som no meio �e dado por v
s
�
q
�
p
�
�
�
� A forma da fun�c�ao f e a dire�c�ao 
n s�ao
determidadas pela condi�c�ao inicial� A solu�c�ao mais geral pode ser obtido como a
combina�c�ao linear destas solu�c�oes�
����
 Viscosidade	 Equac�
�
ao de Navier�Stokes
Quando o �uido �e viscoso temos que incluir o termo de fric�c�ao em f � Vamos con�
siderar a equa�c�ao de movimento para um elemento de volume arbitr�ario�
d
dt
Z
dV �
v �
Z
dV
f �
I
dS
f
s
�	����
�
O termo ��v � r��v �e obviamente de segunda order em 	� portanto nulo nesta aproxima�c�ao�
���� Equil
brio Local e Hidrodinamico ��
Como antes�
f �e a densidade de for�ca volum�etrica e
f
s
�e a for�ca aplicada ao volume
diretamente pelo contato com vizinhos atrav�es de superf��ceis do dom��nio� A press�ao
�e um exemplo deste tipo� Quando a �unica for�ca deste tipo �e a press�ao� ent�ao
f
s
� �p
n �	����
onde 
n �e o vetor normal unit�ario de superf��cie� Caso exista viscosidade� ent�ao a
for�ca de superf��cie n�ao necessariamente �ca perpendicular �a superf��cie� De forma
mais geral�
f
s
� ��
n �	�
��
onde �� �e uma matriz �� � chamada de tensor de stress� Novamente se n�ao houver
viscosidade� temos
��
�
� �
�
B
�
p � �
� p �
� � p
�
C
A
� �	�
��
Esta forma tamb�em �e v�alida se o �uido estiver em repouso� o que �e uma con�
seq�u�encia do teorema de Pascal� Em geral� �� �e uma fun�c�ao da velocidade do �uido�
�� � ���
v� �	�
��
e ���
v � �� � ��
�
�Eq�	�
�� pelo teorema de Pascal� Para uma pequena varia�c�ao
do campo de velocidade� podemos considerar que a for�ca de viscosidade depende
linearmente do campo de velocidade� Neste caso� a forma mais geral de um tensor
de stress deve ser dada por
�� � �
�
B
�
p � �
� p �
� � p
�
C
A
� �r � 
v
�
B
�
� � �
� � �
� � �
�
C
A
� �	�
��
��

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