aula 8 Física III

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Física Geral e Experimental III
Rafael Lima
MSc. Engenharia Elétrica – PUC-RIO
engenheirorafael.professor@gmail.com
Sumário
• Campo magnético.
• Força magnética.
• Linhas de campo magnético.
• Campos cruzados.
• Uma partícula carregada em movimento circular.
• Força magnética em um fio percorrido por corrente.
• Torque em uma espira percorrida por corrente.
• Momento magnético dipolar.
• Campo magnético produzido por uma corrente.
Campo magnético
Assim como um campo elétrico 𝑬 é produzido por cargas
elétricas, seria natural que o campo magnético 𝑩 fosse
produzido por cargas magnéticas. Porém, até hoje não foi
observado, experimentalmente, a existência de monopolos
magnéticos.
Campo magnético
Portanto, a unidade mínima é um dipolo magnético,
chamado de imã. Deste modo, se tentarmos dividir um imã
criaremos dois imãs.
Campo magnético
• Pode ser produzido de duas formas:
• Utilizando partículas elementares como os elétrons que possuem um campo
magnético intrínseco, e ao serem combinadas geram os ímãs permanentes
(dipolo magnético) que possuem um campo magnético permanente.
• Utilizando partículas eletricamente carregadas em movimento, como uma
corrente elétrica em um fio, para fabricar um eletroímã.
Campo magnético
• Definição de 𝐵:
• Se dispuséssemos de um monopolo magnético, poderíamos definir 𝐵 de
forma análoga ao 𝐸.
𝐸 =
𝐹𝐸
𝑞
𝐵 =
𝐹𝐵
𝑞
Campo magnético
• Definição de 𝐵:
• Medimos 𝐹𝐵 sobre uma partícula eletricamente carregada e em movimento
com velocidade 𝑣 em uma região onde exista um campo 𝐵.
𝐹𝐵 = 𝑞 𝑣 × 𝐵
Campo magnético
• Definição de 𝐵:
• O campo magnético é uma grandeza vetorial cuja direção coincide com
aquela para a qual a força é zero. Deste modo, o módulo do campo magnético
pode ser definido como:
𝐵 =
𝐹𝐵
𝑞 𝑣
“q” é a carga 
da partícula de 
prova.
Campo magnético
• Unidade de 𝐵 no SI:
1 𝑡𝑒𝑠𝑙𝑎 = 1𝑇 = 1
𝑛𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛
(𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏)(
𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)
Campo magnético
• Unidade de 𝐵 no SI:
1𝑇 = 1
𝑁
𝐴.𝑚
1𝑇 = 1 newton/Ampère . metro
Campo magnético
• Unidade de 𝐵 :
• Uma unidade antiga de 𝐵, que não pertence ao SI mas ainda é usada na
prática é 𝐺 (gauss).
• A relação entre tesla e gauss é definida por:
1𝑡𝑒𝑠𝑙𝑎 = 104𝑔𝑎𝑢𝑠𝑠
Campo magnético
Força magnética
A força 𝑭𝑩 que age sobre uma partícula carregada que se 
move com velocidade 𝒗 na presença de um campo 
magnético 𝑩 é sempre perpendicular a 𝒗 e a 𝑩.
𝐹𝐵 = 𝑞 𝑣 × 𝐵
Força magnética
A força 𝑭𝑩 que age sobre uma partícula carregada que se 
move com velocidade 𝒗 na presença de um campo 
magnético 𝑩 é sempre perpendicular a 𝒗 e a 𝑩.
𝐹𝐵 = 𝑞 𝑣𝐵 sin 𝜃
Módulo da 
Força Magnética
Força magnética
• Regra da mão direita:
• Produto vetorial entre 𝑣 e 𝐵.
Força magnética
• Regra da mão direita:
• Carga positiva mesmo sentido, carga negativa sentido oposto ao apontado
pelo dedo polegar.
Força magnética
A componente de 𝑭𝑩 na direção de 𝒗 é sempre nula, deste 
modo, ela não pode alterar a velocidade escalar 𝒗 da 
partícula, ou seja, 𝑭𝑩 pode mudar apenas
a direção (trajetória) de 𝒗.
Exercício 1 
• A figura abaixo exibe três situações nas quais uma partícula carregada
de velocidade 𝑣 é submetida a um campo magnético uniforme 𝐵.
Qual é a direção da força magnética 𝐹𝐵 a que a partícula é submetida
em cada situação?
Exercício 1 
• A figura abaixo exibe três situações nas quais uma partícula carregada
de velocidade 𝑣 é submetida a um campo magnético uniforme 𝐵.
Qual é a direção da força magnética 𝐹𝐵 a que a partícula é submetida
em cada situação? Resposta
a)+z
b)-x
c)𝐹𝐵 = 0
Exercício 2 
• Um campo magnético uniforme 𝐵, de módulo 1,2 𝑚𝑇, está orientado
verticalmente para cima no interior de uma câmara de laboratório. Um
próton com energia cinética de 5,3𝑀𝑒𝑉 entra na câmara movendo-se
horizontalmente do sul para norte. Qual é a força experimentada pelo
próton ao entrar na câmara? Considere a massa do próton como 1,67 ×
10−27𝐾𝑔 e despreze o campo magnético da Terra.
Exercício 2 
• Um campo magnético uniforme 𝐵, de módulo 1,2 𝑚𝑇, está orientado
verticalmente para cima no interior de uma câmara de laboratório. Um
próton com energia cinética de 5,3𝑀𝑒𝑉 entra na câmara movendo-se
horizontalmente do sul para norte. Qual é a força experimentada pelo
próton ao entrar na câmara? Considere a massa do próton como 1,67 ×
10−27𝐾𝑔 e despreze o campo magnético da Terra.
Para calcular 𝐹𝐵 precisamos calcular a 
velocidade através da energia cinética.
Exercício 2 
• Um campo magnético uniforme 𝐵, de módulo 1,2 𝑚𝑇, está orientado
verticalmente para cima no interior de uma câmara de laboratório. Um
próton com energia cinética de 5,3𝑀𝑒𝑉 entra na câmara movendo-se
horizontalmente do sul para norte. Qual é a força experimentada pelo
próton ao entrar na câmara? Considere a massa do próton como 1,67 ×
10−27𝐾𝑔 e despreze o campo magnético da Terra.
𝑘 =
1
2
𝑚𝑣2
Então:
Exercício 2 
• Um campo magnético uniforme 𝐵, de módulo 1,2 𝑚𝑇, está orientado
verticalmente para cima no interior de uma câmara de laboratório. Um
próton com energia cinética de 5,3𝑀𝑒𝑉 entra na câmara movendo-se
horizontalmente do sul para norte. Qual é a força experimentada pelo
próton ao entrar na câmara? Considere a massa do próton como 1,67 ×
10−27𝐾𝑔 e despreze o campo magnético da Terra.
𝑣 =
2 2 × 5,3(𝑀𝑒𝑉) × 1,60 × 10−13(𝐽/𝑀𝑒𝑉)
1,67 × 10−27𝐾𝑔
Exercício 2 
• Um campo magnético uniforme 𝐵, de módulo 1,2 𝑚𝑇, está orientado
verticalmente para cima no interior de uma câmara de laboratório. Um
próton com energia cinética de 5,3𝑀𝑒𝑉 entra na câmara movendo-se
horizontalmente do sul para norte. Qual é a força experimentada pelo
próton ao entrar na câmara? Considere a massa do próton como 1,67 ×
10−27𝐾𝑔 e despreze o campo magnético da Terra.
𝑣 = 3,2 × 107𝑚/𝑠
Exercício 2 
• Um campo magnético uniforme 𝐵, de módulo 1,2 𝑚𝑇, está orientado
verticalmente para cima no interior de uma câmara de laboratório. Um
próton com energia cinética de 5,3𝑀𝑒𝑉 entra na câmara movendo-se
horizontalmente do sul para norte. Qual é a força experimentada pelo
próton ao entrar na câmara? Considere a massa do próton como 1,67 ×
10−27𝐾𝑔 e despreze o campo magnético da Terra.
𝐹𝐵 = 𝑞 𝑣𝐵 sin 𝜃
Exercício 2 
• Um campo magnético uniforme 𝐵, de módulo 1,2 𝑚𝑇, está orientado
verticalmente para cima no interior de uma câmara de laboratório. Um
próton com energia cinética de 5,3𝑀𝑒𝑉 entra na câmara movendo-se
horizontalmente do sul para norte. Qual é a força experimentada pelo
próton ao entrar na câmara? Considere a massa do próton como 1,67 ×
10−27𝐾𝑔 e despreze o campo magnético da Terra.
𝐹𝐵 =
1,6 × 10−19 × 3,2 × 107 ×
1,2 × 10−3 × sin 90°
𝐹𝐵 = 6,1 × 10
−15𝑁
Linhas de campo magnético
• Assim como no campo elétrico, podemos representar o campo
magnético por linhas de campo.
Linhas de campo magnético
• Propriedades:
• Tangentes ao campo magnético 𝐵 em cada ponto.
• Número de linhas de campo que atravessa a unidade
de área perpendicular ao campo magnético 𝐵 é
proporcional ao módulo do campo magnético 𝐵 .
Linhas de campo magnético
• Propriedades:
• As linhas de campo saem pela extremidade chamada
de polo norte e chegam na extremidade chamada de
polo sul.
• Nunca se cruzam.
Linhas de campo magnético
• Propriedades:
• Num imã em forma de barra, o campo magnético
externo é mais intenso próximo as extremidades o
que se reflete em um menor espaçamento das linhas.
• O campo magnético em um imã de barra recolhe mais
limalha de ferro nas extremidades.Linhas de campo magnético
Linhas de campo magnético
• Pólos magnéticos de nomes diferentes se atraem, enquanto pólos
com mesmo nome se repelem.
Linhas de campo magnético
• Pólos magnéticos de nomes diferentes se atraem, enquanto pólos
com mesmo nome se repelem.
Campos cruzados
• A descoberta do elétron:
Campos cruzados
• O efeito Hall:
• Como vimos, um feixe de elétrons no vácuo pode
ser desviado por um campo magnético.
• Será que os elétrons que se movem no interior
de um fio de cobre também podem ser desviados
por um campo magnético?
• Em 1879, Edwin H. Hall mostrou que sim!
Campos cruzados
• O efeito Hall:
• Este efeito permite verificar se os portadores de
carga em um condutor têm carga positiva ou
negativa.
• Permite também, medir o número de portadores
por unidade de volume do condutor.
Campos cruzados
• O efeito Hall:
• Na figura ao lado temos:
• Uma fita de cobre de largura 𝑑.
• Percorrida por uma corrente 𝑖 no sentido
convencional.
• Os portadores de corrente são os elétrons.
• Se movem com velocidade de deriva 𝑣𝑑 de baixo para
cima.
• Um campo magnético 𝐵 aponta para dentro.
• Uma força magnética 𝐹𝐵 age sobre os elétrons
desviando-os para o lado direito da fita.
Campos cruzados
• O efeito Hall:
• Na figura ao lado temos:
• Com o passar do tempo os elétrons se acumulam na
borda direita da fita e cargas positivas na borda
esquerda.
• Um campo elétrico 𝐸 é produzido no interior da fita e
aponta da direita para a esquerda.
• Uma força elétrica 𝐹𝐸 age sobre os elétrons desviando-
os para a esquerda.
• Os elétrons continuam acumulando na borda direita
até que 𝐹𝐸 se equilibre com 𝐹𝐵.
Campos cruzados
• O efeito Hall:
• Na figura ao lado temos:
• Quando 𝐹𝐸 e 𝐹𝐵 se equilibram, os elétrons passam a se
moverem em linha reta com velocidade de deriva 𝑣𝑑
de baixo para cima e o campo elétrico para de
aumentar.
• A diferença de potencial de Hall é dada por:
𝑉 = 𝐸𝑑
Campos cruzados
• O efeito Hall:
• Com um voltímetro é possível medir esta
diferença de potencial e descobrir qual das
bordas apresenta o maior potencial.
• O maior potencial estando na esquerda indica
que os portadores de carga são negativos.
𝑉 = 𝐸𝑑
Campos cruzados
• O efeito Hall:
• Para portadores de carga positivos o maior
potencial estaria na direita.
𝑉 = 𝐸𝑑
Campos cruzados
• O efeito Hall:
Forças elétrica e magnética em equilíbrio,
teremos:
𝑒𝐸 = 𝑒𝑣𝑑𝐵
Como:
𝑣𝑑 =
𝐽
𝑛𝑒
=
𝑖
𝑛𝑒𝐴
Campos cruzados
• O efeito Hall:
Então:
𝑛 =
𝐵𝑖
𝑉𝑙𝑒
Onde:
𝑙 = 𝐴/𝑑 é a espessura da fita
e
𝑛 é o número de portadores por unidade de 
volume
Campos cruzados
• O efeito Hall:
Também é possível utilizar o efeito Hall para 
medir diretamente a velocidade de deriva 𝑣𝑑
que é da ordem de centímetros por hora.
Partícula carregada em movimento circular
Se uma partícula se move ao longo de um
circunferência com velocidade constante
podemos ter certeza de que a força que age
sobre a partícula tem módulo constante e
aponta para o centro da circunferência,
mantendo-se perpendicular à velocidade da
partícula.
Partícula carregada em movimento circular
• Na figura ao lado temos:
• Feixe de elétrons lançado em uma câmara por um canhão
de elétrons 𝐺.
• Elétrons se movem com velocidade 𝑣.
• Campo 𝐵 dirigido para fora do plano.
• Lembre-se: elétrons portadores de carga negativos.
𝐹𝐵 = 𝑞 𝑣 × 𝐵
Partícula carregada em movimento circular
Como 𝑣 e 𝐵 são perpendiculares a força faz
com que os elétrons descrevam uma trajetória
circular.
A trajetória é visível devido a luz emitida
quando alguns elétrons colidem com átomos
do gás presente na câmara.
Partícula carregada em movimento circular
Determinar os parâmetros que caracterizam o
movimento circular desses elétrons ou de
qualquer outra partícula de carga 𝑞 e massa
𝑚 que se mova com velocidade 𝑣
perpendicularmente a um campo magnético
uniforme 𝐵.
Partícula carregada em movimento circular
Como:
𝐹𝐵 = 𝑞 𝑣𝐵
E a segunda lei de Newton:
 𝐹 = 𝑚 𝑎 → F = m
𝑣2
𝑟
Partícula carregada em movimento circular
Temos:
𝑞 𝑣𝐵 = m
𝑣2
𝑟
Então o RAIO é:
𝑟 =
𝑚𝑣
𝑞 𝐵
Partícula carregada em movimento circular
O PERÍODO T é a circunferência dividida pela 
velocidade:
𝑇 =
2𝜋𝑟
𝑣
=
2𝜋
𝑣
𝑚𝑣
𝑞 𝐵
𝑇 =
2𝜋𝑚
𝑞 𝐵
Partícula carregada em movimento circular
A FREQUÊNCIA f é o inverso do período:
𝑓 =
1
𝑇
=
𝑞 𝐵
2𝜋𝑚
Partícula carregada em movimento circular
A FREQUÊNCIA ÂNGULAR 𝝎 é:
𝜔 = 2𝜋𝑓 =
𝑞 𝐵
𝑚
Partícula carregada em movimento circular
• Análise:
• As grandezas 𝑻, 𝒇 e 𝝎 não dependem da
velocidade da partícula, desde que, a velocidade
seja muito menor que a da luz.
• Partículas velozes se movem em círculos
grandes, enquanto as lentas se movem em
círculos pequenos.
Partícula carregada em movimento circular
• Análise:
• Todas as partículas com a mesma razão entre
carga e massa
𝑞
𝑚
levam o mesmo período
para completar uma volta.
• Olhando na direção de 𝐵, o sentido de rotação
para partículas positivas é anti-horário,
enquanto para partículas negativas o sentido é
horário.
Partícula carregada em movimento circular
• Trajetória helicoidal:
• Se a velocidade de uma partícula carregada tem
uma componente paralela ao campo magnético
(uniforme), a partícula descreve uma trajetória
helicoidal cujo eixo é a direção do campo 𝐵.
𝑣𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 = 𝑣 cosΦ
𝑣𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑. = 𝑣 sinΦ
Partícula carregada em movimento circular
• Trajetória helicoidal:
• É a componente paralela que determina o passo
𝑝 da hélice, ou seja, a distância entre as espiras
sucessivas.
• O raio da hélice é determinado utilizando a
componente perpendicular, ou seja, substitui 𝑣
na equação do raio.
Exercício 3 
• A figura abaixo exibe as trajetórias circulares de duas partículas que
se movem com a mesma velocidade na presença de um campo
magnético uniforme 𝐵. Uma partícula é um próton e a outra é um
elétron. Qual das partículas descreve a circunferência menor? Em
qual sentido se move esta partícula?
Exercício 3 
• A figura abaixo exibe as trajetórias circulares de duas partículas que
se movem com a mesma velocidade na presença de um campo
magnético uniforme 𝐵. Uma partícula é um próton e a outra é um
elétron. Qual das partículas descreve a circunferência menor? Em
qual sentido se move esta partícula? Dica:
Massa do próton muito maior do que a 
do elétron.
Exercício 3 
• A figura abaixo exibe as trajetórias circulares de duas partículas que
se movem com a mesma velocidade na presença de um campo
magnético uniforme 𝐵. Uma partícula é um próton e a outra é um
elétron. Qual das partículas descreve a circunferência menor? Em
qual sentido se move esta partícula? Resposta:
a)Elétron
b)Sentido horário
Exercício 4 
• Um elétron com uma energia cinética de 22,5 𝑒𝑉 penetra em uma região
onde existe um campo magnético 𝐵 de módulo 4,55 × 10−4 𝑇. O ângulo
entre a direção de 𝐵 e a direção da velocidade 𝑣 do elétron é 65,5 graus.
Qual é o passo da trajetória helicoidal do elétron?
Exercício 4 
• Um elétron com uma energia cinética de 22,5 𝑒𝑉 penetra em uma região
onde existe um campo magnético 𝐵 de módulo 4,55 × 10−4 𝑇. O ângulo
entre a direção de 𝐵 e a direção da velocidade 𝑣 do elétron é 65,5 graus.
Qual é o passo da trajetória helicoidal do elétron?
Como o passo é a distância que o 
elétron percorre paralelamente ao 
campo 𝐵 durante um período 1𝑇, 
teremos:
𝑝 = 𝑣𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 ∙ 𝑇 = 𝑣 cosΦ ∙
2𝜋𝑚
𝑞 𝐵
Exercício 4 
• Um elétroncom uma energia cinética de 22,5 𝑒𝑉 penetra em uma região
onde existe um campo magnético 𝐵 de módulo 4,55 × 10−4 𝑇. O ângulo
entre a direção de 𝐵 e a direção da velocidade 𝑣 do elétron é 65,5 graus.
Qual é o passo da trajetória helicoidal do elétron?
Cálculo a velocidade através da energia 
cinética :
𝑘 =
1
2
𝑚𝑣2
𝑚 = 9,11 × 10−31𝐾𝑔
Exercício 4 
• Um elétron com uma energia cinética de 22,5 𝑒𝑉 penetra em uma região
onde existe um campo magnético 𝐵 de módulo 4,55 × 10−4 𝑇. O ângulo
entre a direção de 𝐵 e a direção da velocidade 𝑣 do elétron é 65,5 graus.
Qual é o passo da trajetória helicoidal do elétron?
Cálculo a velocidade através da energia 
cinética :
𝑣 = 2,81 × 106𝑚/𝑠
Exercício 4 
• Um elétron com uma energia cinética de 22,5 𝑒𝑉 penetra em uma região
onde existe um campo magnético 𝐵 de módulo 4,55 × 10−4 𝑇. O ângulo
entre a direção de 𝐵 e a direção da velocidade 𝑣 do elétron é 65,5 graus.
Qual é o passo da trajetória helicoidal do elétron?
Substituir 𝑣 e os dados do exercício na 
equação abaixo:
𝑝 = 𝑣𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 ∙ 𝑇 = 𝑣 cosΦ ∙
2𝜋𝑚
𝑞 𝐵
Exercício 4 
• Um elétron com uma energia cinética de 22,5 𝑒𝑉 penetra em uma região
onde existe um campo magnético 𝐵 de módulo 4,55 × 10−4 𝑇. O ângulo
entre a direção de 𝐵 e a direção da velocidade 𝑣 do elétron é 65,5 graus.
Qual é o passo da trajetória helicoidal do elétron?
Substituir 𝑣 e os dados do exercício na equação 
abaixo:
𝑝 = 2,81 × 106. cos 65,5 .
2𝜋9,11 × 10−31
1,6 × 10−19. 4,55 × 10−4
Exercício 4 
• Um elétron com uma energia cinética de 22,5 𝑒𝑉 penetra em uma região
onde existe um campo magnético 𝐵 de módulo 4,55 × 10−4 𝑇. O ângulo
entre a direção de 𝐵 e a direção da velocidade 𝑣 do elétron é 65,5 graus.
Qual é o passo da trajetória helicoidal do elétron?
Substituir 𝑣 e os dados do exercício na 
equação abaixo:
𝑝 = 9,16 𝑐𝑚
Exercício 5 
• Calcule o raio da trajetória helicoidal do o exercício anterior.
Exercício 5 
• Calcule o raio da trajetória helicoidal do o exercício anterior.
Substituir os dados do exercício na 
equação abaixo:
𝑟 =
𝑚𝑣
𝑞 𝐵
Exercício 5 
• Calcule o raio da trajetória helicoidal do o exercício anterior.
Substituir os dados do exercício na 
equação abaixo:
𝑟 =
𝑚𝑣
𝑞 𝐵
=
Força magnética em fio percorrido por 
corrente
Já vimos que um campo magnético exerce
uma força lateral sobre os portadores de carga
que se movem em um fio. Essa força é
naturalmente transmitida para o fio, já que os
portadores de carga não podem deixá-lo.
Força magnética em fio percorrido por 
corrente
• Na figura ao lado temos:
• Um fio preso nas duas extremidades colocado no espaço
entre os pólos de um imã.
• Campo 𝐵 dirigido para fora do plano.
• Lembre-se: no sentido convencional da corrente os
portadores de carga são positivos.
Força magnética em fio percorrido por 
corrente
• Na figura ao lado temos:
• Um fio preso nas duas extremidades colocado no espaço
entre os pólos de um imã.
• Campo 𝐵 dirigido para fora do plano.
• Lembre-se: no sentido convencional da corrente os
portadores de carga são positivos.
Força magnética em fio percorrido por 
corrente
Considerando um trecho de fio de
comprimento 𝐿, após um intervalo de tempo
𝑡 = 𝐿/𝑣𝑑 todos os elétrons de condução desse
trecho passaram pelo plano xx.
Força magnética em fio percorrido por 
corrente
Como:
Teremos:
Força magnética em fio percorrido por 
corrente
Como:
Teremos:
Força magnética em fio percorrido por 
corrente
Se o campo magnético não for perpendicular 
ao fio, teremos:
Assim:
Força magnética em fio percorrido por 
corrente
Se o fio não for retilíneo ou o campo 
magnético não for uniforme, teremos:
Exercício 6 
• A figura abaixo exibe um fio, percorrido por uma corrente 𝑖 e
submetido a um campo magnético 𝐵, e também a força magnética 𝐹𝐵
que age sobre o fio. Qual deve ser a orientação do campo para que a
força seja máxima?
Exercício 6 
• A figura abaixo exibe um fio, percorrido por uma corrente 𝑖 e
submetido a um campo magnético 𝐵, e também a força magnética 𝐹𝐵
que age sobre o fio. Qual deve ser a orientação do campo para que a
força seja máxima?
Dica:
Exercício 6 
• A figura abaixo exibe um fio, percorrido por uma corrente 𝑖 e
submetido a um campo magnético 𝐵, e também a força magnética 𝐹𝐵
que age sobre o fio. Qual deve ser a orientação do campo para que a
força seja máxima?
Resposta:
a) -y
Torque em uma espira percorrida por 
corrente
Boa parte do trabalho do mundo é realizada
por motores elétricos. As forças responsáveis
por esse trabalho são as forças magnéticas, ou
seja, as forças que um campo magnético
exerce sobre fios percorridos por correntes
elétricas.
Torque em uma espira percorrida por 
corrente
• Na figura ao lado temos:
• Um motor simples, constituído por uma espira
percorrida por uma corrente e submetida a um campo
magnético 𝐵 .
• As forças magnéticas 𝐹 e − 𝐹 produzem um torque na
espira.
• Este torque faz com que a espira gire em torno de seu
eixo central.
Torque em uma espira percorrida por 
corrente
• Na figura ao lado temos:
• Um motor simples, constituído por uma espira
percorrida por uma corrente e submetida a um campo
magnético 𝐵 .
• As forças magnéticas 𝐹 e − 𝐹 produzem um torque na
espira.
• Este torque faz com que a espira gire em torno de seu
eixo central.
Torque em uma espira percorrida por 
corrente
• Na figura ao lado temos:
• 𝐹2 e 𝐹4 são paralelas ao eixo de rotação e não
produzem torque.
• 𝐿 = 𝑎 é sempre perpendicular a 𝐵, ou seja, 𝜃 = 90°.
• 𝐹1 = 𝐹3 = 𝑖𝐿𝐵 sin 𝜃 = 𝑖𝑎𝐵.
Torque em uma espira percorrida por 
corrente
Torque em uma espira percorrida por 
corrente
• Na figura ao lado temos:
• 𝐹1 e 𝐹3 tem sentidos opostos e não movem a espira
para cima nem para baixo.
• As duas forças não estão aplicadas na mesma reta
produzindo um torque diferente de zero.
• O torque tem um braço de alavanca
𝑏
2
sin 𝜃.
Torque em uma espira percorrida por 
corrente
• Na figura ao lado temos:
𝜏′ = 𝑖𝑎𝐵
𝑏
2
sin 𝜃 + 𝑖𝑎𝐵
𝑏
2
sin 𝜃
𝜏′ = 𝑖𝑎𝑏𝐵 sin 𝜃
Torque em uma espira percorrida por 
corrente
• Para 𝑁 espiras:
𝜏 = 𝑁𝜏′ = 𝑁𝑖𝑎𝑏𝐵 sin 𝜃
𝜏 = 𝑁𝑖𝐴𝐵 sin 𝜃
Momento magnético dipolar
• Na figura ao lado temos:
• Uma bobina se comporta com um imã em barra.
• Para descrever o torque exercício sobre uma bobina
associa-se um momento magnético dipolar 𝜇.
• 𝜇 está na direção do vetor normal 𝑛.
Momento magnético dipolar
• Na figura ao lado temos:
• Módulo de 𝜇 (momento magnético):
• Torque:
𝜇 − 𝑁𝑖𝐴
𝜏 = 𝜇𝐵 sin 𝜃
Campo magnético produzido por uma 
corrente
𝐵 =
𝐹𝐵
𝑞 𝑣
Campo magnético produzido por uma 
corrente
𝜇0 = 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑒𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑣á𝑐𝑢𝑜
Campo magnético produzido por uma 
corrente
Campo magnético produzido por uma 
corrente
Campo magnético produzido por uma 
corrente
• Fio retilíneo longo:
Campo magnético produzido por uma 
corrente
• Fio forma de arco de circunferência:
Exercícios 
• Livro cap. 28 e 29.
OBRIGADO!