Definições básicas de probabilidade

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Definições básicas de probabilidade
As definições básicas de probabilidade são: experimento aleatório, ponto amostral, espaço amostral, evento e o cálculo da probabilidade.
Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva em Estudo das Probabilidades0 Comentários
 
O lançamento de dados é um dos experimentos aleatórios possíveis na Probabilidade
Probabilidade é o estudo das chances de obtenção de cada resultado de um experimento aleatório. A essas chances são atribuídos os números reais do intervalo entre 0 e 1. Resultados mais próximos de 1 têm mais chances de ocorrer. Além disso, a probabilidade também pode ser apresentada na forma percentual.
Experimento aleatório e ponto amostral
Um experimento aleatório pode ser repetido inúmeras vezes e nas mesmas condições e, mesmo assim, apresenta resultados diferentes. Cada um desses resultados possíveis é chamado de ponto amostral. São exemplos de experimentos aleatórios:
a) Cara ou coroa
Lançar uma moeda e observar se a face voltada para cima é cara ou coroa é um exemplo de experimento aleatório. Se a moeda não for viciada e for lançada sempre nas mesmas condições, poderemos ter como resultado tanto cara quanto coroa.
b) Lançamento de um dado
Lançar um dado e observar qual é o número da face superior também é um experimento aleatório. Esse número pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 e cada um desses resultados apresenta a mesma chance de ocorrer. Em cada lançamento, o resultado pode ser igual ao anterior ou diferente dele.
Observe que, no lançamento da moeda, as chances de repetir o resultado anterior são muito maiores.
c) Retirar uma carta aleatória de um baralho
Cada carta tem a mesma chance de ocorrência cada vez que o experimento é realizado, por isso, esse é também um experimento aleatório.
Espaço amostral
O espaço amostral (Ω) é o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Em outras palavras, é o conjunto formado por todos os pontos amostrais de um experimento. Veja exemplos:
a) O espaço amostral do experimento “cara ou coroa” é o conjunto S = {Cara, Coroa}. Os pontos amostrais desse experimento são os mesmos elementos desse conjunto.
b) O espaço amostral do experimento “lançamento de um dado” é o conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Os pontos amostrais desse experimento são 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
O espaço amostral também é chamado de Universo e pode ser representado pelas outras notações usadas nos conjuntos. Além disso, todas as operações entre conjuntos valem também para espaços amostrais.
O número de elementos do espaço amostral, número de pontos amostrais do espaço amostral ou número de casos possíveis em um espaço amostral é representado da seguinte maneira: n(Ω).
Evento
Um evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral. Ele pode conter nenhum elemento (conjunto vazio) ou todos os elementos de um espaço amostral. O número de elementos do evento é representado da seguinte maneira: n(E), sendo E o evento em questão.
São exemplos de eventos:
a) Sair cara em um lançamento de uma moeda
O evento é sair cara e possui um único elemento. A representação dos eventos também é feita com notações de conjuntos:
E = {cara}
O seu número de elementos é n(E) = 1.
b) Sair um número par no lançamento de um dado.
O evento é sair um número par:
E = {2, 4, 6}
O seu número de elementos é n(E) = 3.
Os eventos que possuem apenas um elemento (ponto amostral) são chamados desimples. Quando o evento é igual ao espaço amostral, ele é chamado de evento certo e sua probabilidade de ocorrência é de 100%. Quando um evento é igual ao conjunto vazio, ele é chamado de evento impossível e possui 0% de chances de ocorrência.
Cálculo da probabilidade
Seja E um evento qualquer no espaço amostral Ω. A probabilidade do evento A ocorrer é a razão entre o número de resultados favoráveis e o número de resultados possíveis. Em outras palavras, é o número de elementos do evento dividido pelo número de elementos do espaço amostral a que ele pertence.
P(E) = n(E) que eu quero
          n(Ω) que eu tenho
Observações:
O número de elementos do evento sempre é menor ou igual ao número de elementos do espaço amostral e maior ou igual a zero. Por isso, o resultado dessa divisão sempre está no intervalo 0 ≤ P(A) ≤ 1;
Quando é necessário usar porcentagem, devemos multiplicar o resultado dessa divisão por 100 ou usar regra de três;
A probabilidade de um evento não acontecer é determinada por:
P(A-1) = 1 – P(A)
Exemplos:
→ Qual é a probabilidade de, no lançamento de uma moeda, o resultado ser cara?
Solução:
Observe que o espaço amostral só possui dois elementos e que o evento é sair carae, por isso, possui apenas um elemento.
P(E) = n(E)
          n(Ω)
P(E) = 1
          2
P(E) = 0,5 = 50%
→ Qual é a probabilidade de, no lançamento de duas moedas, obtermos resultados iguais?
Solução:
Representando cara por C e coroa por K, teremos os seguintes resultados possíveis:
(C, K); (C, C); (K, C); (K, K)
O evento obter resultados iguais possui os seguintes casos favoráveis:
(C, C); (K, K)
Há quatro casos possíveis (número de elementos do espaço amostral) e dois casos favoráveis (número de elementos do evento), logo:
P(E) = n(E)
          n(Ω)
P(E) = 2
          4
P(E) = 0,5 = 50%
→ No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair um resultado menor que 3?
Solução:
Observe que os números do dado menores do que 3 são 1 e 2, por isso, o eventopossui apenas dois elementos. O espaço amostral possui seis elementos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
P(E) = n(E)
          n(Ω)
P(E) = 2
          6
P(E) = 0,33... = 33,3%
→ Qual é a chance de não sair o número 1 no lançamento de um dado?
Solução:
Temos duas maneiras de resolver esse problema. Note que não sair o número 1 é o mesmo que sair qualquer outro número. Faremos o mesmo cálculo de probabilidade considerando que o evento possui cinco elementos.
A outra maneira é usar a fórmula para a probabilidade de um evento não ocorrer:
P(A-1) = 1 – P(E)
O evento que não pode ocorrer possui apenas um elemento, logo:
P(A-1) = 1 – P(E)
P(A-1) = 1 – n(E)
                  n(Ω)
P(A-1) = 1 – 1
                  6
P(A-1) = 1 – 0,166..
P(A-1) = 0,8333… = 83,3%
Exercícios Resolvidos
1. Se lançarmos um dado de 6 faces, qual a probabilidade de sair o número seis?
Segundo a teoria da probabilidade, ela é calculada pela divisão entre o número de eventos favoráveis e o número de eventos possíveis, nesse caso:
na (casos favoráveis): 1 lado (lado seis)
n (casos possíveis) : 6 lados
Logo,
P = 1/6
P = 0,166 ou 16,6%
2. O baralho de cartas é formado por 52 cartas divididas em quatro naipes (copas, paus, ouros e espadas) sendo 13 cartas de cada naipe. Dessa forma, se retirar uma carta do baralho, qual a probabilidade de sair uma carta do naipe de paus?
Segundo a teoria da probabilidade, devemos obter o número de evento favoráveis e possíveis, para assim, calcular, através da fórmula:
na: 13 (total de cartas do naipe de paus)
n: 52 (total de cartas do baralho)
Logo,
P = 13/52
P = 0,25 ou 25%
Exercícios de Probabilidade
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Exercícios Comentados
1) Em uma experiência aleatória foi lançado duas vezes um dado. Considerando que o dado é equilibrado, determine:
a) A probabilidade de conseguir no primeiro lançamento o número 5 e no segundo o número 4
b) A probabilidade de obter em pelo menos um dos lançamentos o número 5
c) A probabilidade de obter o mesmo número em ambos os lançamentos
d) A probabilidade de obter a soma dos lançamentos igual a 5
e) A probabilidade de obter a soma dos lançamentos igual ou menor que 3.
Para resolver o exercício devemos considerar que a probabilidade da ocorrência de um determinado evento, é dada por:
Na tabela 1 indicamos os pares resultantes dos lançamentos consecutivos do dado. Note que temos 36 casos possíveis.
Tabela 1:
	1.º lançamento->
2.º lançamento
	1
	2
	3
	4
	56
	1
	(1,1)
	(1,2)
	(1,3)
	(1,4)
	(1,5)
	(1,6)
	2
	(2,1)
	(2,2)
	(2,3)
	(2,4)
	(2,5)
	(2,6)
	3
	(3,1)
	(3,2)
	(3,3)
	(3,4)
	(3,5)
	(3,6)
	4
	(4,1)
	(4,2)
	(4,4)
	(4,4)
	(4,5)
	(4,6)
	5
	(5,1)
	(5,2)
	(5,3)
	(5,4)
	(5,5)
	(5,6)
	6
	(6,1)
	(6,2)
	(6,3)
	(6,4)
	(6,5)
	(6,6)
a) Na tabela 1 observamos que existe apenas 1 resultado que cumpre a condição indicada (5,4). Assim, temos que em um total de 36 casos possíveis, apenas 1 é um caso favorável.
b) Os pares que atendem a condição de pelo menos um número 5 são: (1,5);(2,5);(3,5);(4,5);(5,1);(5,2);(5,3);(5,4);(5,5);(5,6);(6,5). Assim, temos 11 casos favoráveis.
c) Os pares com números iguais são: (1,1);(2,2);(3,3);(4,4);(5,5);(6,6). Temos então 6 casos favoráveis. A probabilidade será dada por:
d) Na tabela 2 representamos a soma dos valores encontrados.
Tabela 2:
	1.º lançamento->
2.º lançamento
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	12
Observando os valores da soma na tabela 2 vemos que temos 4 casos favoráveis da soma ser igual a 5. Assim a probabilidade será dada por:
e) Usando ainda a tabela 2 observamos que temos 3 casos em que a soma é igual ou menor que 3. A probabilidade neste caso será dada por:
2) Qual a probabilidade de lançar um dado sete vezes e sair 3 vezes o número 5?
Para encontrar o resultado podemos usar o método binomial, visto que cada lançamento do dado é um evento independente.
No método binomial, a probabilidade de um evento acontecer em k das n vezes é dado por:
onde:
n: número de vezes que ocorrerá a experiência
k: número de vezes de acontecer um evento
p: probabilidade do evento acontecer
q: probabilidade do evento não acontecer
Vamos agora substituir os valores para a situação indicada.
Para ocorrer 3 vezes o número 5 temos:
n = 7
k = 3
 (em cada jogada temos 1 caso favorável entre 6 possíveis)
Substituindo os dados na fórmula:
Logo, a probabilidade de jogar o dado 7 vezes e sair 3 vezes o número 5 é de 7,8%
Exercícios Propostos
1) Um saco contém 8 bolas idênticas, mas com cores diferentes: três bolas azuis, quatro vermelhas e uma amarela. Retira-se ao acaso uma bola. Qual a probabilidade da bola retirada ser azul?
0,375 ou 37,5%
2) Se uma moeda é lançada 5 vezes, qual a probabilidade de sair "cara" 3 vezes?
0,3125 ou 31,3%
3) Qual a probabilidade de tirar um ás ao retirar ao acaso uma carta de um baralho com 52 cartas?
7,7%
Questões do Enem
1) Enem - 2012
O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa.
O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta.
As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há:
a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
Alternativa a:10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
2) Enem - 2012
Em um jogo há duas urnas com dez bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna.
	Cor
	Urna 1
	Urna 2
	Amarela
	4
	0
	Azul
	3
	1
	Branca
	2
	2
	Verde
	1
	3
	Vermelha
	0
	4
Uma jogada consiste em:
1.º: o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da urna 2
2.º: ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão
3.º: em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2
4.º: se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo
Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar?
a) Azul
b) Amarela
c) Branca
d) Verde
e) Vermelha
Alternativa e: vermelha
3) Enem - 2013
Numa escola com 1.200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras: inglês e espanhol.
Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas.
Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?
a) 1/2
b) 5/8
c) 1/4
d) 5/6
e) 5/14
Alternativa a: 1/2
4) Enem - 2013
Considere o seguinte jogo de apostas:
Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6.
O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela.
O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos.
	7
	Preço da Cartela
	6
	2,00
	
	12,00
	8
	40,00
	9
	125,00
	10
	250,00
Cinco apostadores, cada um com R$ 500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções:
Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos
Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos
Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos
Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos
Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos
Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são:
a) Caio e Eduardo
b) Arthur e Eduardo
c) Bruno e Caio
d) Arthur e Bruno
e) Douglas e Eduardo
Alternativa a: Caio e Eduardo
Números Decimais
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Os números decimais são números racionais (Q) não inteiros expressos por vírgulas e que possuem casas decimais, por exemplo: 1,54; 4,6; 8,9, etc. Eles podem ser positivos ou negativos.
As casas decimais são contadas a partir da vírgula, por exemplo o número 12,451 possui três casas decimais, ou seja, três algarismos após a vírgula.
Princípio Fundamental da Contagem
O princípio fundamental da contagem postula que:
“quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal modo que as possibilidades da primeira etapa é x e as possibilidades da segunda etapa é y, resulta no número total de possibilidades de o evento ocorrer, dado pelo produto (x) . (y)”.
Em resumo, no princípio fundamental da contagem, multiplica-se o número de opções entre as escolhas que lhe são apresentadas.
Como exemplo, podemos pensar na combinação de roupas de uma garota, sendo que ela possui 3 tipos de calças, 4 tipos de blusas, 2 tipos de sapatos e 3 tipos de bolsas.
Logo, para saber quais as diferentes possibilidades que a garota possui basta multiplicar o número de peças: 3 x 4 x 2 x 3 = 72.
Portanto, a garota possui 72 possibilidades de configurações diferentes para o uso das peças de roupas e dos acessórios apresentados.
Tipos de Combinatória
A combinatória utiliza de importantes ferramentas, ou seja, há três tipos básicos de agrupamento dos elementos: arranjos, combinações e permutações. Todas utilizam o fatorial:
Arranjos
Nos arranjos, os agrupamentos dos elementos dependem da ordem e da natureza dos mesmos.
Para obter o arranjo simples de n elementos tomados, p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão:
Como exemplo de arranjo, podemos pensar nas eleições, de modo que 20 deputados concorrem a 2 vagas no estado de São Paulo.
Dessa forma, de quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita? Observeque nesse caso, a ordem é importante, visto que altera o resultado final.
Logo, o arranjo pode ser feito de 380 maneiras diferentes.
Combinações
As combinações são subconjuntos em que a ordem dos elementos não é importante, entretanto, são caracterizadas pela natureza dos mesmos.
Assim, para calcular uma combinação simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão:
A fim de exemplificar, podemos pensar na escolha de 3 membros para formar a comissão organizadora de um evento, dentre as 10 pessoas que se candidataram.
Para tanto, Maria, João e José são os escolhidos. De quantas maneiras distintas esse grupo pode se combinar?
Note que, ao contrário dos arranjos, nas combinações a ordem dos elementos não é relevante. Isso quer dizer que a combinação Maria, João e José é equivalente à João, José e Maria.
Logo, há 120 maneiras distintas de combinar os 3 membros da comissão.
Permutações
As permutações são agrupamentos ordenados, donde o número de elementos (n) do agrupamento é igual ao número de elementos disponíveis, expresso pela fórmula:
Para exemplificar, pensemos de quantas maneiras diferentes poderiam surgir a sequência de resultados dos 5 números que saíram na loteria: 11, 12, 44, 52, 61.
Sendo assim, os números que compõem o resultado final é uma sequência de 6 números, logo:
Logo, o resultado final da loteria, podem ser permutados 720 vezes.
Exercícios de Análise Combinatória
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A análise combinatória apresenta métodos que nos permitem contar de forma indireta o número de agrupamentos que podemos fazer com os elementos de um ou mais conjuntos, levando em conta determinadas condições.
Em muitos exercícios desse assunto, podemos utilizar tanto o princípio fundamental da contagem, como também as fórmulas de arranjo, permutação e combinação.
Exercícios comentados
1) Quantas senhas com 4 algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,e 9?
Esse exercício pode ser feito tanto com a fórmula, quanto usando a princípio fundamental da contagem.
1ª maneira: usando o princípio fundamental da contagem.
Como o exercício indica que não ocorrerá repetição nos algarismos que irão compor a senha, então teremos a seguinte situação:
9 opções para o algarismo das unidades;
8 opções para o algarismo das dezenas, visto que já utilizamos 1 algarismo na unidade e não pode repetir;
7 opções para o algarismo das centenas, pois já utilizamos 1 algarismo na unidade e outro na dezena;
6 opções para o algarismo do milhar, pois temos que tirar os que já usamos anteriormente.
Assim, o número de senhas será dado por:
9.8.7.6 = 3 024 senhas
2ª maneira: usando a fórmula
Para identificar qual fórmula usar, devemos perceber que a ordem dos algarismos é importante. Por exemplo 1234 é diferente de 4321, assim iremos usar a fórmula de arranjo.
Então, temos 9 elementos para serem agrupados de 4 a 4. Desta maneira, o cálculo será:
2) Um técnico de um time de voleibol possui a sua disposição 15 jogadores que podem jogar em qualquer posição. De quantas maneira ele poderá escalar seu time?
Nesta situação, devemos perceber que a ordem dos jogadores não faz diferença. Assim, usaremos a fórmula de combinação.
Iremos combinar 6 elementos tirados de um conjunto de 15 elementos.
1) De quantas maneiras diferentes, uma pessoa pode se vestir tendo 6 camisas e 4 calças ?
Usando o princípio fundamental da contagem, temos: 6.4 = 24 maneiras diferentes
2) De quantas maneiras diferentes 6 amigos podem sentar em um banco para tirar uma foto?
Podemos usar a fórmula de permutação, pois todos os elementos farão parte da foto. Note que a ordem que faz diferença.
3) Em uma competição de xadrez existem 8 jogadores. De quantas formas diferentes poderá ser formado o pódio (primeiro, segundo e terceiro lugares)?
Como a ordem faz diferença, usaremos arranjo. Assim:
A8,3= 8!/ 8-3!= 8!/5!=336 formas diferentes.
4) Uma lanchonete tem uma promoção de combo com preço reduzido em que o cliente pode escolher 4 tipos diferentes de sanduíches, 3 tipos de bebida e 2 tipos de sobremesa. Quantos combos diferentes os clientes podem montar?
Usando o princípio fundamental da contagem, temos:
4.3.2 = 24 combos diferentes
5) Quantas comissões de 4 elementos podemos formar com 20 alunos de uma turma?
Note que como para uma comissão a ordem não faz diferença, usaremos a fórmula de combinação para calcular: