cap 08 - conserv energia

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Conservação da Energia
Capítulo 08
Física 1 – Prof. Fernando Pilotto
UERGS - Guaíba
• As leis de Newton foram formuladas por 
volta de 1690.
• Os conceitos relacionados à energia 
foram evoluindo lentamente.
• Somente em 1850, com muito custo, foi 
formulado o princípio da conservação da 
energia.
Trabalho 
• O trabalho é a transferência de energia 
por meio de uma força
• O objeto que aplica a força transfere 
energia para o outro.
∫ ⋅= rdFW
rr
Energia cinética
• Já vimos um tipo de energia
• A energia cinética está associada ao movimento
• Para um objeto atingir uma certa velocidade, ele 
tem de receber uma certa quantidade de 
energia cinética
• Se o objeto diminui a velocidade, ele tem de 
liberar um pouco de energia cinética
2
2
v
mK =
Energia potencial
• A energia potencial é um tipo de energia 
que está relacionada à configuração 
interna de um objeto ou à sua localização 
em relação a outros objetos.
• A energia potencial depende da natureza 
das forças envolvidas e do tipo de objeto.
potencial
[Do lat. med. potentiale.] 
Adjetivo de dois gêneros. 
1.Respeitante a potência. 
2.Virtual, possível. 
3.Filos. Que está em potência. [Opõe-se a atual (4) e virtual (4).]
Substantivo masculino. 
4.Poder ou força potencial: 
“Esses dois núcleos, o de Paris e o de Varsóvia, .... estabeleciam o dever de 
acudir com todo o seu potencial militar em caso de ‘agressão’” (Fidelino de 
Figueiredo, Entre Dois Universos, p. 88). 
Em potencial. 1. Como possibilidade ou probabilidade de realização ou 
aproveitamento; como virtualidade: 
O Brasil apresenta grandes riquezas em potencial.
• Quando o objeto sobe, o vetor 
deslocamento aponta para cima e o 
vetor força aponta para baixo
• O trabalho realizado pela força 
gravitacional exercida pela Terra 
sobre o objeto é
• Como o trabalho altera a energia 
cinética, a velocidade diminui
mghdFW −=⋅=
rr
if KKKW −=∆=
Energia potencial gravitacional
• Quando o objeto desce, o vetor 
deslocamento e o vetor força 
apontam para baixo
• O trabalho realizado pela força 
gravitacional exercida pela Terra 
sobre o objeto é
• Como o trabalho altera a energia 
cinética, a velocidade aumenta
mghdFW +=⋅=
rr
if KKKW −=∆=
• A Terra e um objeto que esteja em 
sua superfície formam um sistema
• Esse sistema pode acumular energia 
– a energia potencial gravitacional
• Quando um objeto é atirado para 
cima, ele perde energia cinética 
(velocidade) e ganha energia potencial 
gravitacional
• Quando o objeto cai, ele perde 
energia potencial gravitacional e 
ganha energia cinética (velocidade)
• A energia total é conservada, ou seja, 
não se altera.
• Deste modo,
• No entanto,
• A energia potencial então é calculada 
como
UKE +=
0=∆+∆=∆ UKE
KU ∆−=∆
KW ∆=
WU −=∆
• O trabalho realizado pela força 
gravitacional da Terra sobre o objeto 
é
• E a energia potencial gravitacional é
• A energia total do objeto é
mghdFW −=⋅=
rr
0
h
WU −=∆
mghU =∆
mghmvUKE +=+= 221
Energia potencial elástica
• Um objeto está preso a uma 
mola; x é o deslocamento a 
partir do equilíbrio
• A força que ele sofre é
[ ]xx xkxdxkWU 0221
0
)( ′=′′−−=−=∆ ∫
kxF −=
x
r
F
r
x
r
F
r
2
2
1 kxU =∆
Um pequeno detalhe
• Vimos que a energia potencial está relacionada 
à configuração interna do objeto ou do sistema
• Vimos também que a variação da energia 
potencial é o oposto do trabalho realizado
• Note que somente as variações da energia 
potencial têm significado
• O valor da energia potencial depende de 
convenções arbitrárias
• Podemos medir ∆U, mas não podemos medir U
WU −=∆
Energia potencial elástica
A energia potencial elástica pode ser escrita como
onde C é uma constante arbitrária.
Convenção: A escolha mais simples é estipular que a energia potencial é nula 
quando o deslocamento é nulo,
Portanto:
0)0( =U 00
2
1)0( 2 ==+= CCkU
CkxxU += 2
2
1)(
2
2
1)( kxxU =
Energia potencial gravitacional
A energia potencial gravitacional pode ser escrita como
onde C é uma constante arbitrária.
Convenção: A escolha mais simples é estipular que a energia potencial é nula 
quando a altura é nula,
Portanto:
0)0( =U 00)0( ==+⋅= CCmgU
CmghhU +=)(
mghhU =)(
Uma nova maneira de entender 
o movimento
• Em vez de pensar nas forças que atuam 
sobre o objeto, focamos na energia que o 
objeto possui
O pêndulo
O sistema 
massa-mola
Exercícios 
Forças conservativas e não-
conservativas
• Cuidado: essa terminologia é enganadora
• Se uma força for conservativa, existe uma 
energia potencial associada a ela (força 
gravitacional, força elétrica, força da mola)
• Se a força não for conservativa, não há energia 
potencial (atrito, força magnética – depende da 
velocidade)
• A energia é conservada – sempre – não importa 
se a força é conservativa ou não
Teste 1
• A energia potencial depende somente da 
posição do objeto
• Vejamos o seguinte: um objeto está numa 
posição inicial; aí uma força atua sobre ele 
de modo que ele se mova e acabe 
parando na mesma posição inicial
• Como a posição é a mesma, temos ∆U=0
• Como ∆U= – W, temos W=0
• Teorema: se o trabalho realizado por uma força 
ao longo de qualquer circuito fechado for nulo, a 
força é conservativa
• Se para todo caminho 
fechado, então existe uma energia potencial 
U(x)
0)( == ∫ dxxFW
Teste 2
• Suponha que o objeto saia da posição “a”, 
vá para a posição “b” e depois volte para a 
posição “a”
• Se a força é conservativa, então W=0
• Ou seja
• Note que, , portanto, se 
percorrermos o caminho 2 no sentido 
inverso, temos e assim
• Concluindo: 
• Em palavras: se a força é conservativa, o 
trabalho não depende do caminho
02,1, =+ baab WW
2,2, abba WW −=dxxd −=′
∫=
f
i
x
x
dxxFW )(
2,2,1, abbaab WWW =−=
Cálculo da força a partir da energia 
potencial
• Vimos que
• Se o objeto for deslocado por uma 
distância infinitesimal,
• Ou seja
∫−=−=∆
f
i
x
x
dxxFWU )(
dxxFdU )(−=
dx
dU
xF −=)(
Exemplos 
• Força gravitacional
• Força da mola
mghU =
mg
dh
dUF −=−=
2
2
1 kxU =
kx
dx
dUF −=−=
O gráfico da energia potencial
• O gráfico da energia potencial pode dizer muita 
coisa sobre o movimento
• Note que a força é um vetor (tem 3 
componentes) enquanto que a energia potencial 
é um escalar
• Assim, muitas vezes é melhor pensar em termos 
de energia do que em termos de forças
O objeto tem 
esta energia:
)(
2
1 2 xUmvE +=
Esta região é proibida, pois 
requer mais energia (6 J) do que 
o objeto tem (5 J). )(2
15 2 xUmvJ +=
O objeto tem 3,5 J 
de energia
)(
2
1 2 xUmvE +=
Região em que acontece 
o movimento
X
dx
dU
xF −=)(
F
r
Derivada negativa, força positiva
F
r
Derivada positiva, força negativa
F
r
F
r
dx
dU
xF −=)(
F
r
Se um objeto é largado nesta posição, a força o levará para a esquerda; ele 
vai acelerar até x4, depois vai desacelerar até x3, depois vai acelerar até x2
e vai desacelerar até o ponto de retorno. Depois o objeto vai percorrer tudo 
de novo, indo e voltando infinitamente.
F
r
F
rF
r
X
dx
dU
xF −=)( Quando a derivada énula, não há força.
0
rr
=F
equilíbrio metaestável
equilíbrio instável
equilíbrio estável
Observação: as seções 8.6, “Conservação da Energia”, 8.7, “Trabalho 
Executado por Forças de Atrito”, 8.8, “Massa e Energia”, e 8.9, 
“Quantização da energia”, não caem na prova.