cap 11 - rotacao

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Rotação
Capítulo 11
Física 1 – Prof. Fernando Pilotto
UERGS - Guaíba
Rotação
• Neste capítulo vamos estudar a rotação de 
objetos sólidos em torno de um eixo fixo
• Num objeto sólido (corpo rígido), as partes não 
se movem umas em relação às outras
• O eixo de rotação é fixo 
As variáveis da rotação
• O objeto gira em torno 
de um eixo fixo
• Algum ponto no objeto 
deve servir de 
referência para 
medirmos a rotação
• A linha que passa por 
este ponto e pelo eixo 
de rotação é a linha de 
referência
• Quando o objeto gira, 
a linha de referência 
gira também
• Assim podemos 
marcar a posição 
angular do objeto
r
s
=θ
θ é positivo no sentido anti-
horário.
• Deslocamento angular
• Velocidade angular média
• Velocidade angular instantânea
12 θθθ −=∆
12
12
ttt −
−
=
∆
∆
=
θθθ
ω
dt
d
tt
θθ
ω =
∆
∆
=
→∆ 0
lim
• Aceleração angular média
• Aceleração angular instantânea
12
12
ttt −
−
=
∆
∆
=
ωωω
α
dt
d
tt
ωω
α =
∆
∆
=
→∆ 0
lim
• Regra da mão direita para o vetor 
velocidade angular
Grandezas angulares como 
vetores
• Cuidado: o deslocamento 
angular não obedece a lei 
comutativa da adição
• Deslocamentos 
infinitesimais são 
comutativos
Rotação com aceleração angular 
constante
const
dt
d
==
ω
α
dt
dθ
ω =
t⋅+= αωω 0
2
00 2
1
tt ⋅+⋅+= αωθθ
integrando 1 vez
integrando 2 vezes
Relação entre variáveis lineares e 
angulares no movimento circular
• Posição 
• Velocidade escalar
rs θ=
( ) r
dt
d
r
dt
d
dt
ds
v
θθ ===
rv ω=
• O vetor aceleração pode ser 
decomposto numa componente 
tangencial e outra radial
• A componente tangencial está
relacionada à velocidade 
escalar de giro
• A componente radial está
relacionada à mudança de 
direção da velocidade
( ) rr
dt
d
r
dt
d
dt
dv
at α
ω
ω ====
r
r
r
r
v
ar
2
22 )(
ω
ω
===
Torque 
• Como já vimos, o vetor soma de todas as 
forças que agem sobre um objeto é que 
determina o movimento do centro de 
massa
• Como veremos, o torque determina a 
rotação do objeto em torno de um eixo
• Uma força é aplicada a um objeto que 
pode girar em torno de um eixo que passa 
pelo ponto O
• O vetor dá a distância entre o eixo e o 
ponto de aplicação da força
• Φ é o ângulo entre a força e o vetor
r
r
r
r
• A força tem uma componente radial e 
outra tangencial
• Somente a componente tangencial produz 
giro
• Quanto mais o ponto de aplicação da 
força estiver afastado do eixo, maior será
a capacidade de giro da força
• O torque é dado por
• torque
braço de alavanca
• Torque
• unidade padrão do torque: Nm
• (não confundir com unidade de energia, J)
φτ
τ
sinrF
Fr
=
×=
rrr
Lei de Newton para a rotação
• A segunda lei de Newton é
• Considerando a rotação em torno de um 
eixo fixo e a definição de torque,
armamrFr rrrr
rrr
×=×=×= )(τ
amF r
r
=
)(sin αφτ rmrmramra t ===
ατ 2mr=
Momento de inércia
• No movimento rotacional, a inércia é dada 
por
• “I” é o momento de inércia de uma 
partícula de massa m à distância r do eixo 
de rotação
ατ I= 2mrI =
Momento de inércia de um corpo 
rígido
• Se o corpo rígido é composto de várias 
partículas de massa mi, temos
• O torque total que atua sobre o corpo é
ατ 2iii rm=
( ) αααττ Irmrm iiiii ==== ∑∑∑ 22
∑= 2iirmI ∫= dmrI
2
Exemplos 
d
eixo de rotação
2
22
2
2
1
22
mddmdmrmI ii =





+





==∑
eixo de rotação
2222 0 mdmdmrmI ii =+==∑
Aro girando em torno do eixo central
222 MRdmRdmrI === ∫∫
Haste fina girando em torno do 
ponto central perpendicularmente 
ao comprimento ( )∫∫∫ ===
2/
0
2
2/
0
22 22
LL
drrdmrdmrI ρ
( )3
2/
0
32/
0
2 2/
3
2
3
22 L
L
Mr
L
Mdrr
L
MI
LL
=





== ∫
12
2MLI =
Teorema dos eixos paralelos
• I: momento de inércia 
em relação a um eixo 
qualquer
• ICM: momento de inércia 
em relação a um eixo 
que passa pelo centro 
de massa
• h: distância entre os 
dois eixos
2MhII CM +=
[ ]∫∫ −+−== dmbyaxdmrI 222 )()(
[ ]∫ +−++−= dmybyyaaxxI 2222 22
[ ] [ ] [ ]∫∫∫ +++−+= dmbadmyxdmyxI 2222 2
[ ] ∫∫ ++−= dmhdmyxII CM 22
posição do centro de massa: (0,0)
2MhII CM +=
Trabalho 
• De forma geral, o trabalho é dado por
• Se o movimento for circular, dx = ds = rdθ
xdFdW r
r
⋅=
θθ drFrdFdW t=⋅= )(
rr
θτddW =
∫=
f
i
dW
θ
θ
θτ
Potência 
τω
θτ
===
dt
d
dt
dWP
taxa de realização de trabalho
velocidade angular
Energia cinética
( ) 2222
2
1
2
1
2
1
ωω mrrmmvK ===
2
2
1
ωIK =
Teorema do trabalho-energia cinética:
22
2
1
2
1
ifif IIKKKW ωω −=−=∆=