Homework 7 Cacyo Mecânica dos Sólidos I Jakson

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
CACYO MATTOS NUNES
Turma: A
No. Cartão: 275836
HOMEWORK 6
Sejam as hipóteses que constituem a Teoria Estrutural de Eixos Circulares sob Torção:
Hipótese Geométrica: o comprimento do eixo é muito maior que o raio de sua seção transversal;
Hipótese Cinemática: ocorrem apenas pequenas deformações, e cada ponto apenas gira em torno da linha média do eixo, sem alterar sua coordenada z ou sua distância à linha média;
Hipótese Material: o material do qual o eixo é feito é isotrópico, seu diagrama tensão-deformação possui uma região elástica linear, e nos encontramos dentro de tal região.
A equação diferencial governante desta teoria pode ser deduzida calculando-se o equilíbrio de um ponto pertencente ao eixo:
T = T + dT + bdz
0 = dT + bdz
0 = dT/dz + b
Mas se todos os pontos sofrem apenas uma rotação de um ângulo θ, que é o mesmo para todos os pontos de uma mesma seção transversal, mas varia ao longo do comprimento z do eixo, então pode-se dizer que esse deslocamento é dado pela multiplicação de uma matriz de rotação pelo vetor de coordenadas original r = < x, y, z >. Sendo θ um ângulo muito pequeno, são válidas as aproximações sen θ = θ e cos θ = 1, e assim sendo, r’ = <x – θy, y+ θx, z>. O deslocamento u = r’ – r = <- θy, θx, 0>, e o tensor de deformações infinitesimais ε = 0.5 (grad(u) + grad(u)^-1), tal que ε =
	0
	0
	- yd θ/2dz
	0
	0
	xd θ/2dz
	- yd θ/2dz
	xd θ/2dz
	0
É sabido que σ = C ε, e C =
	2G+ λ
	λ
	λ
	0
	0
	0
	λ
	2G+ λ
	λ
	0
	0
	0
	λ
	λ
	2G^11+ λ
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	2G
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	2G
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	2G
Logo σ =
	0
	0
	-yGd θ/dz
	0
	0
	xGd θ/dz
	-yGd θ/dz
	xGd θ/dz
	0
	É sabido que t = σn, e se n = < 0,0,1 >, então t = <-yGd θ/dz, xGd θ/dz,0>. Logo, o toque que atua na seção do eixo poderá ser dado por
	Então,
0 = b + d()/dz
Consideremos por exemplo o caso particular em que G = 7 10^10 Pa, r = 0.1m e b = a Nm/m. Para um círculo, I = π(r²)²/2, e se r = 0.1m, então I = 0.0001570796 (m²)². GI = 10995574.287 Nm², tal que
 + C
Sabemos que Além disso, para um ponto que se encontre na superfície do eixo (x=0.1 e y=0), teremos ε =
	0
	0
	0
	0
	0
	a 10^7 / 2.199
	0
	a 10^7 / 2.199
	0
E também σ =
	0
	0
	0
	0
	0
	a 6.366 GPa
	0
	a 6.366 GPa
	0
As forças de superfície agindo nas faces k e -k serão tk = <0, a 6.366 GPa,0> e - <0, a 6.366 GPa,0>. 
Agora, consideremos um eixo circular de parede fina, com raio de seção transversal de 0.1m, σmax = 250Mpa e CS = 1, podemos aplicar a fórmula
σ = T/2tA
Para calcular que a espessura limítrofe para este caso é t = T/0.0628 m.
Por fim, consideremos um eixo de seção quadrada de lado a, σmax = 250Mpa e CS = 1. Através da fórmula
σ = 4.81T/a³
Para poder afirmar que a aresta limítrofe vale a = 2.6796 cbrtT mm.