9 Metodo dedutivo

Prévia do material em texto

n. 9 – Método Dedutivo 
 
A lógica formal lida com um tipo particular de argumento, 
denominado de argumento dedutivo, que nos permite deduzir 
uma conclusão M, com base num conjunto de proposições 
𝑃, 𝑄, 𝑅, … , 𝑇 as quais representam fórmulas inteiras bem-
formadas da lógica proposicional (e não apenas proposições 
simples). 
Os raciocínios dedutivos se caracterizam por apresentar 
conclusões que devem, necessariamente, ser verdadeiras caso 
todas as premissas sejam verdadeiras, desde que o raciocínio 
respeite uma forma lógica válida. 
Sejam as proposições simples 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑡 (verdadeiras) e 𝑐 
(falsa), tais proposições substituídas respectivamente por 
proposições compostas 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑇 (tautológicas) e 𝐶 
(contradição), exemplificaremos como ficam as demonstrações 
no Método Dedutivo. 
 
Exemplos de demonstração das implicações 
1. Seja 𝑝 uma proposição qualquer, 𝑡 (verdadeira) e 𝑐 (falsa): 
 
𝑎. 𝑐 ⟹ 𝑝 
 
 𝑐 ⟹ 𝑝 
𝑐 → 𝑝 ⟺ ~ 𝑐 ˅ 𝑝 
 ⟺ 𝑡 ˅ 𝑝 
 ⟺ 𝑡 
 
𝑏. 𝑝 ⟹ 𝑡 
 
 𝑝 ⟹ 𝑡 
𝑝 → 𝑡 ⟺ ~ 𝑝 ˅ 𝑡 
 ⟺ 𝑡 
 
 
Observando-se as tabelas-verdade temos que 
 𝑐 → 𝑝 e 𝑝 → 𝑡 são condicionais tautológicas. 
 
𝑝 ~𝑝 𝑐 𝑡 ~𝑝 ˅ 𝑡 𝑐 → 𝑝 𝑝 → 𝑡 
V F F V V V V 
F V F V V V V 
 
 
2. 𝑝 ˄ 𝑞 ⟹ 𝑝 (Simplificação) 
 
 𝑝 ˄ 𝑞 ⟹ 𝑝 
𝑝 ˄ 𝑞 → 𝑝 ⟺ ~ (𝑝 ˄ 𝑞 )˅ 𝑝 
 ⟺ (~𝑝 ˅ ~𝑞) ˅ 𝑝 
 ⟺ ~𝑝 ˅ ~𝑞 ˅ 𝑝 
 ⟺ ~𝑝 ˅ 𝑝 ˅ ~𝑞 
 ⟺ (~𝑝 ˅ 𝑝)˅ ~𝑞 
 ⟺ 𝑇 ˅ ~𝑞 
 ⟺ 𝑇 
 
Lembrando que: 
𝑝 ~𝑝 ~𝑝 ˅ 𝑝 
V F V 
F V V 
 
Logo, (~𝑝 ˅ 𝑝) é 𝑢𝑚𝑎 𝑡𝑎𝑢𝑡𝑜𝑙𝑜𝑔𝑖𝑎, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 (~𝑝 ˅ 𝑝) = 𝑇 
 
 
3. 𝑝 ⟹ 𝑝 ˅ 𝑞 (Adição) 
 
 𝑝 ⟹ 𝑝 ˅ 𝑞 
𝑝 → 𝑝 ˅ 𝑞 ⟺ ~𝑝 ˅ ( 𝑝 ˅ 𝑞) 
 ⟺ 𝑇 ˅ 𝑞 
 ⟺ 𝑇 
 
4. (𝑝 → 𝑞) ˄ 𝑝 ⟹ 𝑞 (Modus Ponens) 
 
 (𝑝 → 𝑞) ˄ 𝑝 ⟹ 𝑞 
(𝑝 → 𝑞) ˄ 𝑝 ⟺ 𝑝 ˄ (𝑝 → 𝑞) 
 ⟺ 𝑝 ˄ (~𝑝 ˅ 𝑞) 
 ⟺ (𝑝 ˄ ~𝑝) ˅ (𝑝 ˄ 𝑞) 
 ⟺ 𝐶 ˅ (𝑝 ˄ 𝑞) 
 ⟺ 𝑝 ˄ 𝑞 
 ⟹ 𝑞 
 
 
Lembrando que: 𝑝 ˄ ~𝑝 = 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑖çã𝑜, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 (𝑝 ˄ ~𝑝) = 𝐶 
Fazendo 𝑝 ˄ 𝑞 = 𝑚 
𝑚 𝐶 𝐶 ˅ 𝑚 𝑚 ⟺ 𝐶 ˅ 𝑚 
V F V V 
F F F V 
 
Da mesma forma, por Modus Ponens temos que: 
 (𝑝 → 𝑞)˄ 𝑝 ⟹ 𝑞 
 
 
5. (𝑝 → 𝑞) ˄ ~𝑞 ⟹ ~𝑝 (Modus Tollens) 
 
(𝑝 → 𝑞) ˄ ~𝑞 ⟹ ~𝑝 
(𝑝 → 𝑞) ˄ ~𝑞 ⟺ (~𝑝 ˅ 𝑞) ˄ ~𝑞 
 ⟺ (~𝑝 ˄ ~𝑞) ˅ (𝑞 ˄ ~𝑞) 
 ⟺ (~𝑝 ˄ ~𝑞) ˅ 𝐶 
 ⟺ ~𝑝 ˄ ~𝑞 
 ⟹ ~𝑝 
 
Lembrando que: 
𝑞 ~𝑞 𝑞 ˄~𝑞 
V F F 
F V F 
 
6. (𝑝 ˅ 𝑞) ˄ ~𝑝 ⟹ 𝑞 (Silogismo Disjuntivo) 
 
(𝑝 ˅ 𝑞) ˄ ~𝑝 ⟹ 𝑞 
(𝑝 ˅ 𝑞) ˄ ~𝑝 ⟺ (𝑝 ˄ ~𝑝) ˅ (𝑞 ˄ ~𝑝) 
 ⟺ 𝐶 ˅ (𝑞 ˄ ~𝑝) 
 ⟺ 𝑞 ˄ ~𝑝 
 ⟹ 𝑞 
 
7. 𝑝 ˄ 𝑞 ⟹ 𝑝 ˅ 𝑞 
 
 𝑝 ˄ 𝑞 ⟹ 𝑝 ˅ 𝑞 
𝑝 ˄ 𝑞 → 𝑝 ˅ 𝑞 ⟺ ~(𝑝 ˄ 𝑞) ˅ (𝑝 ˅ 𝑞) 
 ⟺ (~𝑝 ˅ ~𝑞) ˅ (𝑝 ˅ 𝑞) 
 ⟺ (~𝑝 ˅ 𝑝) ˅ (~𝑞 ˅ 𝑞) 
 ⟺ 𝑇 ˅ 𝑇 
 ⟺ 𝑇 
 
8. 𝑝 ⟹ 𝑞 → 𝑝 
 
 𝑝 ⟹ 𝑞 → 𝑝 
𝑝 → (𝑞 → 𝑝) ⟺ ~ 𝑝 ˅ (𝑞 → 𝑝) 
 ⟺ ~ 𝑝 ˅ (~𝑞 ˅ 𝑝) 
 ⟺ (~ 𝑝 ˅ 𝑝 ) ˅ ~𝑞 
 ⟺ 𝑇 ˅ ~𝑞 
 ⟺ 𝑇 
 
9. 𝑝 ⟹ ~𝑝 → 𝑞 
 
 𝑝 ⟹ ~𝑝 → 𝑞 
𝑝 → (~𝑝 → 𝑞) ⟺ ~𝑝 ˅ (~𝑝 → 𝑞) 
 ⟺ ~𝑝 ˅ (~~𝑝 ˅ 𝑞) 
 ⟺ ~𝑝 ˅ (𝑝 ˅ 𝑞) 
 ⟺ (~𝑝 ˅ 𝑝) ˅ 𝑞 
 ⟺ 𝑇 ˅ 𝑞 
 ⟺ 𝑇 
10. 𝑝 → 𝑞 ⟹ 𝑝 ˄ 𝑟 → 𝑞 
 
 𝑝 → 𝑞 ⟹ 𝑝 ˄ 𝑟 → 𝑞 
(𝑝 → 𝑞) → (𝑝 ˄ 𝑟 → 𝑞) ⟺ ~(𝑝 → 𝑞) ˅(𝑝 ˄ 𝑟 → 𝑞) 
 ⟺ ~(~𝑝 ˅ 𝑞) ˅[~(𝑝 ˄ 𝑟)˅ 𝑞] 
 ⟺ (𝑝 ˄ ~𝑞) ˅ ( ~𝑝 ˅ ~𝑟) ˅ 𝑞 
 ⟺ (𝑝 ˄ ~𝑞) ˅ ( ~𝑝 ˅ 𝑞) ˅ ~𝑟 
 ⟺ (𝑝 ˄ ~𝑞) ˅ ~ (𝑝 ˄ ~𝑞) ˅ ~𝑟 
 ⟺ 𝑇 ˅ ~𝑟 
 ⟺ 𝑇 
 
11. 𝑝 → 𝑞 ⟺ 𝑝 ˄ ~𝑞 → 𝑐 (Redução ao Absurdo) 
 
 𝑝 → 𝑞 ⟺ 𝑝 ˄ ~𝑞 → 𝑐 
𝑝 ˄ ~𝑞 → 𝑐 ⟺ ~(𝑝 ˄ ~𝑞) ˅ 𝑐 
 ⟺ ~(𝑝 ˄ ~𝑞) 
 ⟺ (~𝑝 ˅ 𝑞) 
 ⟺ 𝑝 → 𝑞 
 
12. 𝑝 → 𝑞 ⟺ 𝑝 ˅ 𝑞 → 𝑞 
 
 𝑝 → 𝑞 ⟺ 𝑝 ˅ 𝑞 → 𝑞 
𝑝 ˅ 𝑞 → 𝑞 ⟺ ~(𝑝 ˅ 𝑞) ˅ 𝑞 
 ⟺ (~𝑝 ˄ ~𝑞) ˅ 𝑞 
 ⟺ (~𝑝 ˅ 𝑞) ˄ ( ~𝑞 ˅ 𝑞) 
 ⟺ (~𝑝 ˅ 𝑞) ˄ 𝑇 
 ⟺ (~𝑝 ˅ 𝑞) 
 ⟺ 𝑝 → 𝑞 
 
13. (𝑝 → 𝑞) ˄ (𝑝 → ~𝑞) ⟺ ~𝑝 
 
 (𝑝 → 𝑞) ˄ (𝑝 → ~𝑞) ⟺ ~𝑝 
(𝑝 → 𝑞) ˄ (𝑝 → ~𝑞) ⟺ (~𝑝 ˅ 𝑞) ˄ (~𝑝 ˅ ~𝑞) 
 ⟺ (~𝑝 ˄ ~𝑝) ˅ (𝑞 ˄ ~𝑞) 
 ⟺ ~𝑝 ˅ 𝐶 
 ⟺ ~𝑝 
 
 
14. 𝑝 ˄ 𝑞 → 𝑟 ⟺ 𝑝 → (𝑞 → 𝑟) (Exportação-Importação) 
 
 𝑝 ˄ 𝑞 → 𝑟 ⟺ 𝑝 → (𝑞 → 𝑟) 
𝑝 → (𝑞 → 𝑟) ⟺ ~ 𝑝 ˅ (𝑞 → 𝑟) 
 ⟺ ~ 𝑝 ˅ (~𝑞 ˅ 𝑟) 
 ⟺ (~ 𝑝 ˅ ~𝑞) ˅ 𝑟 
 ⟺ ~(𝑝 ˄ 𝑞)˅ 𝑟 
 ⟺ 𝑝 ˄ 𝑞 → 𝑟 
 
15. (𝑝 → 𝑟) ˄ (𝑞 → 𝑟) ⟺ 𝑝 ˅ 𝑞 → 𝑟 
 
 (𝑝 → 𝑟) ˄ (𝑞 → 𝑟) ⟺ 𝑝 ˅ 𝑞 → 𝑟 
(𝑝 → 𝑟) ˄ (𝑞 → 𝑟) ⟺ (~𝑝 ˅ 𝑟) ˄ (~𝑞 ˅ 𝑟) 
 ⟺ (~𝑝 ˄ ~𝑞) ˅ ( 𝑟 ˄ 𝑟) 
 ⟺ (~𝑝 ˄ ~𝑞) ˅ 𝑟 
 ⟺ ~(𝑝 ˅ 𝑞) ˅ 𝑟 
 ⟺ (𝑝 ˅ 𝑞) → 𝑟 
 ⟺ 𝑝 ˅ 𝑞 → 𝑟 
 
 
16. (𝑝 → 𝑞) ˅ (𝑝 → 𝑟) ⟺ 𝑝 → 𝑞 ˅ 𝑟 
 
 (𝑝 → 𝑞) ˅ (𝑝 → 𝑟) ⟺ 𝑝 → 𝑞 ˅ 𝑟 
 (𝑝 → 𝑞) ˅ (𝑝 → 𝑟) ⟺ (~𝑝 ˅ 𝑞) ˅ (~𝑝 ˅ 𝑟) 
 ⟺ (~𝑝 ˅ ~𝑝 ) ˅ (𝑞 ˅ 𝑟) 
 ⟺ ~𝑝 ˅ (𝑞 ˅ 𝑟) 
 ⟺ 𝑝 → (𝑞 ˅ 𝑟) 
 ⟺ 𝑝 → 𝑞 ˅ 𝑟 
 
 
17. (𝑝 → 𝑟) ˅ (𝑞 → 𝑠) ⟺ 𝑝 ˄ 𝑞 → 𝑟 ˅ 𝑠 
 
 (𝑝 → 𝑟) ˅ (𝑞 → 𝑠) ⟺ 𝑝 ˄ 𝑞 → 𝑟 ˅ 𝑠 
 (𝑝 → 𝑟) ˅ (𝑞 → 𝑠) ⟺ (~𝑝 ˅ 𝑟) ˅ (~𝑞 ˅ 𝑠) 
 ⟺ (~𝑝 ˅ ~𝑞) ˅ (𝑟 ˅ 𝑠) 
 ⟺ ~(𝑝 ˄ 𝑞) ˅ (𝑟 ˅ 𝑠) 
 ⟺ 𝑝 ˄ 𝑞 → 𝑟 ˅ 𝑠 
 
 
18. 
𝑎. ~𝑝 ⟺ 𝑝 ↓ 𝑝 
 
 
 ~𝑝 ⟺ 𝑝 ↓ 𝑝 
 
~𝑝 ⟺ ~𝑝 ˄ ~𝑝 
 ⟺ 𝑝 ↓ 𝑝 
 
 
𝑏. 𝑝 ˄ 𝑞 ⟺ (𝑝 ↓ 𝑝) ↓ (𝑞 ↓ 𝑞) 
 
 𝑝 ˄ 𝑞 ⟺ (𝑝 ↓ 𝑝) ↓ (𝑞 ↓ 𝑞) 
𝑝 ˄ 𝑞 ⟺ ~~𝑝 ˄ ~~ 𝑞 
 ⟺ ~𝑝 ↓ ~ 𝑞 
 ⟺ (𝑝 ↓ 𝑝) ↓ (𝑞 ↓ 𝑞) 
 
 
𝑐. 𝑝 ˅ 𝑞 ⟺ (𝑝 ↓ 𝑞) ↓ (𝑝 ↓ 𝑞) 
 
 𝑝 ˅ 𝑞 ⟺ (𝑝 ↓ 𝑞) ↓ (𝑝 ↓ 𝑞) 
𝑝 ˅ 𝑞 ⟺ ~(~𝑝 ˄~ 𝑞) 
 ⟺ ~(𝑝 ↓ 𝑞) 
 ⟺ (𝑝 ↓ 𝑞) ↓ (𝑝 ↓ 𝑞) 
 
𝑑. 𝑝 → 𝑞 ⟺ [(𝑝 ↓ 𝑝) ↓ 𝑞] ↓ [(𝑝 ↓ 𝑝) ↓ 𝑞] 
 
 𝑝 → 𝑞 ⟺ [(𝑝 ↓ 𝑝) ↓ 𝑞] ↓ [(𝑝 ↓ 𝑝) ↓ 𝑞] 
𝑝 → 𝑞 ⟺ ~𝑝 ˅ 𝑞 
 ⟺ ~(𝑝 ˄ ~ 𝑞) 
 ⟺ ~(~~𝑝 ˄ ~ 𝑞) 
 ⟺ ~(~𝑝 ↓ 𝑞) 
 ⟺ (~𝑝 ↓ 𝑞) ↓ (~𝑝 ↓ 𝑞) 
 ⟺ [(𝑝 ↓ 𝑝) ↓ 𝑞] ↓ [(𝑝 ↓ 𝑝) ↓ 𝑞] 
 
19. 
𝑎. ~𝑝 ⟺ 𝑝 ↑ 𝑝 
 ~𝑝 ⟺ 𝑝 ↑ 𝑝 
~𝑝 ⟺ ~𝑝 ˅ ~𝑝 
 ⟺ 𝑝 ↑ 𝑝 
 
 
 
𝑏. 𝑝 ˄ 𝑞 ⟺ (𝑝 ↑ 𝑞) ↑ (𝑝 ↑ 𝑞) 
 
 𝑝 ˄ 𝑞 ⟺ (𝑝 ↑ 𝑞) ↑ (𝑝 ↑ 𝑞) 
𝑝 ˄ 𝑞 ⟺ ~(~𝑝 ˅ ~𝑞) 
 ⟺ ~(𝑝 ↑ 𝑞) 
 ⟺ (𝑝 ↑ 𝑞) ↑ (𝑝 ↑ 𝑞) 
 
 
 
𝑐. 𝑝 ˅ 𝑞 ⟺ (𝑝 ↑ 𝑝) ↑ (𝑞 ↑ 𝑞) 
 
 𝑝 ˅ 𝑞 ⟺ (𝑝 ↑ 𝑝) ↑ (𝑞 ↑ 𝑞) 
𝑝 ˅ 𝑞 ⟺ ~~𝑝 ˅ ~~ 𝑞 
 ⟺ ~𝑝 ↑ ~ 𝑞 
 ⟺ (𝑝 ↑ 𝑝) ↑ (𝑞 ↑ 𝑞) 
 
 
𝑑. 𝑝 → 𝑞 ⟺ 𝑝 ↑ (𝑞 ↑ 𝑞) 
 
 𝑝 → 𝑞 ⟺ 𝑝 ↑ (𝑞 ↑ 𝑞) 
𝑝 → 𝑞 ⟺ ~𝑝 ˅ 𝑞 
 ⟺ ~𝑝 ˅ ~~𝑞 
 ⟺ 𝑝 ↑ ~𝑞 
 ⟺ 𝑝 ↑ (𝑞 ↑ 𝑞) 
 
Exercícios: demonstração das implicações 
 
1. Seja 𝑝 uma proposição qualquer, 𝑡 (verdadeira) e 𝑐 (falsa): 
 
𝑎. 𝑐 ⟹ 𝑝 
 
 𝑐 ⟹ 𝑝 
𝑐 → 𝑝 ⟺ 
 ⟺⟺ 
 
𝑏. 𝑝 ⟹ 𝑡 
 
 𝑝 ⟹ 𝑡 
𝑝 → 𝑡 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 
2. 𝑝 ˄ 𝑞 ⟹ 𝑝 (Simplificação) 
 
 𝑝 ˄ 𝑞 ⟹ 𝑝 
𝑝 ˄ 𝑞 → 𝑝 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 
3. 𝑝 ⟹ 𝑝 ˅ 𝑞 (Adição) 
 𝑝 ⟹ 𝑝 ˅ 𝑞 
𝑝 → 𝑝 ˅ 𝑞 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 
4. (𝑝 → 𝑞) ˄ 𝑝 ⟹ 𝑞 (Modus Ponens) 
 
(𝑝 → 𝑞) ˄ 𝑝 ⟹ 𝑞 
(𝑝 → 𝑞) ˄ 𝑝 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟹ 
 
5. (𝑝 → 𝑞) ˄ ~𝑞 ⟹ ~𝑝 (Modus Tollens) 
 
(𝑝 → 𝑞) ˄ ~𝑞 ⟹ ~𝑝 
(𝑝 → 𝑞) ˄ ~𝑞 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟹ 
 
6. (𝑝 ˅ 𝑞) ˄ ~𝑝 ⟹ 𝑞 (Silogismo Disjuntivo) 
 
(𝑝 ˅ 𝑞) ˄ ~𝑝 ⟹ 𝑞 
(𝑝 ˅ 𝑞) ˄ ~𝑝 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟹ 
 
7. 𝑝 ˄ 𝑞 ⟹ 𝑝 ˅ 𝑞 
 
 𝑝 ˄ 𝑞 ⟹ 𝑝 ˅ 𝑞 
𝑝 ˄ 𝑞 → 𝑝 ˅ 𝑞 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 
8. 𝑝 ⟹ 𝑞 → 𝑝 
 𝑝 ⟹ 𝑞 → 𝑝 
𝑝 → (𝑞 → 𝑝) ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 
9. 𝑝 ⟹ ~𝑝 → 𝑞 
 𝑝 ⟹ ~𝑝 → 𝑞 
𝑝 → (~𝑝 → 𝑞) ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 
10. 𝑝 → 𝑞 ⟹ 𝑝 ˄ 𝑟 → 𝑞 
 𝑝 → 𝑞 ⟹ 𝑝 ˄ 𝑟 → 𝑞 
(𝑝 → 𝑞) → (𝑝 ˄ 𝑟 → 𝑞) ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 
11. 𝑝 → 𝑞 ⟺ 𝑝 ˄ ~𝑞 → 𝑐 (Redução ao Absurdo) 
 𝑝 → 𝑞 ⟺ 𝑝 ˄ ~𝑞 → 𝑐 
𝑝 ˄ ~𝑞 → 𝑐 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 
12. 𝑝 → 𝑞 ⟺ 𝑝 ˅ 𝑞 → 𝑞 
 
 𝑝 → 𝑞 ⟺ 𝑝 ˅ 𝑞 → 𝑞 
𝑝 ˅ 𝑞 → 𝑞 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 
13. (𝑝 → 𝑞) ˄ (𝑝 → ~𝑞) ⟺ ~𝑝 
 
 (𝑝 → 𝑞) ˄ (𝑝 → ~𝑞) ⟺ ~𝑝 
(𝑝 → 𝑞) ˄ (𝑝 → ~𝑞) ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 
14. 𝑝 ˄ 𝑞 → 𝑟 ⟺ 𝑝 → (𝑞 → 𝑟) (Exportação-Importação) 
 
 𝑝 ˄ 𝑞 → 𝑟 ⟺ 𝑝 → (𝑞 → 𝑟) 
𝑝 → (𝑞 → 𝑟) ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 
15. (𝑝 → 𝑟) ˄ (𝑞 → 𝑟) ⟺ 𝑝 ˅ 𝑞 → 𝑟 
 (𝑝 → 𝑟) ˄ (𝑞 → 𝑟) ⟺ 𝑝 ˅ 𝑞 → 𝑟 
(𝑝 → 𝑟) ˄ (𝑞 → 𝑟) ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 
16. (𝑝 → 𝑞) ˅ (𝑝 → 𝑟) ⟺ 𝑝 → 𝑞 ˅ 𝑟 
 (𝑝 → 𝑞) ˅ (𝑝 → 𝑟) ⟺ 𝑝 → 𝑞 ˅ 𝑟 
 (𝑝 → 𝑞) ˅ (𝑝 → 𝑟) ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 
17. (𝑝 → 𝑟) ˅ (𝑞 → 𝑠) ⟺ 𝑝 ˄ 𝑞 → 𝑟 ˅ 𝑠 
 (𝑝 → 𝑟) ˅ (𝑞 → 𝑠) ⟺ 𝑝 ˄ 𝑞 → 𝑟 ˅ 𝑠 
 (𝑝 → 𝑟) ˅ (𝑞 → 𝑠) ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
18. 
𝑎. ~𝑝 ⟺ 𝑝 ↓ 𝑝 
 ~𝑝 ⟺ 𝑝 ↓ 𝑝 
~𝑝 ⟺ 
 ⟺ 
 
𝑏. 𝑝 ˄ 𝑞 ⟺ (𝑝 ↓ 𝑝) ↓ (𝑞 ↓ 𝑞) 
 𝑝 ˄ 𝑞 ⟺ (𝑝 ↓ 𝑝) ↓ (𝑞 ↓ 𝑞) 
𝑝 ˄ 𝑞 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 
𝑐. 𝑝 ˅ 𝑞 ⟺ (𝑝 ↓ 𝑞) ↓ (𝑝 ↓ 𝑞) 
 𝑝 ˅ 𝑞 ⟺ (𝑝 ↓ 𝑞) ↓ (𝑝 ↓ 𝑞) 
𝑝 ˅ 𝑞 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 
 
𝑑. 𝑝 → 𝑞 ⟺ [(𝑝 ↓ 𝑝) ↓ 𝑞] ↓ [(𝑝 ↓ 𝑝) ↓ 𝑞] 
 𝑝 → 𝑞 ⟺ [(𝑝 ↓ 𝑝) ↓ 𝑞] ↓ [(𝑝 ↓ 𝑝) ↓ 𝑞] 
𝑝 → 𝑞 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 
19. 
𝑎. ~𝑝 ⟺ 𝑝 ↑ 𝑝 
 ~𝑝 ⟺ 𝑝 ↑ 𝑝 
~𝑝 ⟺ 
 ⟺ 
 
 
𝑏. 𝑝 ˄ 𝑞 ⟺ (𝑝 ↑ 𝑞) ↑ (𝑝 ↑ 𝑞) 
 𝑝 ˄ 𝑞 ⟺ (𝑝 ↑ 𝑞) ↑ (𝑝 ↑ 𝑞) 
𝑝 ˄ 𝑞 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 
𝑐. 𝑝 ˅ 𝑞 ⟺ (𝑝 ↑ 𝑝) ↑ (𝑞 ↑ 𝑞) 
 𝑝 ˅ 𝑞 ⟺ (𝑝 ↑ 𝑝) ↑ (𝑞 ↑ 𝑞) 
𝑝 ˅ 𝑞 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 
𝑑. 𝑝 → 𝑞 ⟺ 𝑝 ↑ (𝑞 ↑ 𝑞) 
 𝑝 → 𝑞 ⟺ 𝑝 ↑ (𝑞 ↑ 𝑞) 
𝑝 → 𝑞 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 ⟺ 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
ALENCAR FILHO, Edgard. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo, Nobel, 2002. 
 
BISPO, Carlos Alberto F.; CASTANHEIRA, Luiz B.; FILHO, Oswaldo Melo S. Introdução à 
Lógica Matemática. São Paulo: Cengage Learning, 2011. 
 
CARVALHO, Sérgio; CAMPOS, Weber. Raciocínio Lógico Simplificado. V. 1. Rio de Janeiro: 
Elsevier. 2010 
 
CASTRUCCI, Benedito. Introdução à Lógica Matemática. 6 ed. São Paulo: Nobel, 1984. 
 
DIAS, Carlos Magno Corrêa. Lógica matemática: introdução ao cálculo proposicional. 3 ed. 
Curitiba: C. M. C. Dias, 2011. 
 
GERÔNIMO, João Roberto; FRANCO, Valdeni Soliani. Fundamentos da Matemática: uma 
introdução à lógica matemática, teoria dos conjuntos, relações e funções. 2 ed. Maringá: 
Eduem, 2008. 
 
MORTARI, Cezar A. Introdução à Lógica. São Paulo: Editora UNESP: Imprensa Oficial do 
Estado, 2001.