Como se encontra o plano tangente á um ponto de uma curva

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Como se encontra o plano tangente á um ponto de uma curva?
Resposta: Diferentemente à linha reta, o declive de uma curva varia constantemente à medida que se movimenta ao longo do gráfico. O Cálculo apresenta aos estudantes o conceito de que cada ponto desse gráfico poderá ser descrito com um declive, ou uma "taxa de mudança instantânea". A linha tangente é uma linha reta relativa a esse declive, que passa através do mesmo ponto no gráfico. Para descobrir qual é a equação da tangente, será preciso saber como extrair a derivada da equação original. Podemos encontra usando dois métodos: 
1º Encontrando a equação de uma tangente 
Esboce a função e a tangente (recomendável). O gráfico ajuda a acompanhar o problema e conferir se a resposta faz sentido. Esboce a função em um pedaço de papel quadriculado, usando uma calculadora gráfica se necessário. Desenhe a tangente que passa pelo ponto determinado (lembre-se de que ela passa por esse ponto e possui o mesmo declive do gráfico nesse local). 
Exemplo 1: parábola. Desenhe a tangente que passa pelo ponto (-6, 1).
Você ainda não conhece a equação da tangente, mas pode observar que o declive é negativo e que sua intercepção y é também negativa (bem abaixo do vértice da parábola, com valor y = -5,5). Se a sua resposta final não for igual a esses detalhes, você poderá conferir os cálculos em busca de erros. 
Obtenha a derivada de primeira ordem para descobrir a equação do declive da tangente. Para a função f(x), a derivada primeira f'(x) representa a equação do declive da tangente em qualquer ponto de f(x). Há muitas formas de se derivar. Aqui está um exemplo simples que usa a regra das potências:[1] 
Exemplo 1 (cont.): o gráfico é descrito pela função f(x)=0,5x2+3x−1{\displaystyle f(x)=0,5x^{2}+3x-1}
Lembre-se da regra das potências ao fazer derivadas: ddxxn=nxn−1{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}.
A primeira derivada da função será igual a f'(x) = (2)(0,5)x + 3 - 0.
f'(x) = x + 3. Insira qualquer valor “a” para o x dessa equação e o resultado será igual ao declive da tangente de f(x) no ponto em que x = a. 
Insira o valor x do ponto a ser investigado. Leia o problema para descobrir as coordenadas do ponto cuja tangente você quer descobrir. Insira a coordenada x desse ponto em f'(x). O resultado será o declive da tangente nesse ponto. 
Exemplo 1 (cont.): o ponto mencionado no problema é (-6, -1). Use a coordenada x = -6 como valor da variável independente em f'(x):
f'(-6) = -6 + 3 = -3
O declive da tangente é igual a -3.
Escreva a equação da tangente na forma fundamental. A forma fundamental de uma equação linear é representada por y−y1=m(x−x1){\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}, onde m representa o declive (coeficiente angular da reta) e (x1,y1){\displaystyle (x_{1},y_{1})} representa um ponto da reta.[2]Agora, você tem toda a informação necessária para escrever a equação da tangente nessa forma. 
Exemplo 1 (cont.): y−y1=m(x−x1){\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}
O coeficiente angular da reta é igual a -3 e, por isso, y−y1=−3(x−x1){\displaystyle y-y_{1}=-3(x-x_{1})}.
A tangente passa pelo ponto (-6, -1), de modo que a equação final pode ser representada por y−(−1)=−3(x−(−6)){\displaystyle y-(-1)=-3(x-(-6))}.
Simplifique-a para y+1=−3x−18{\displaystyle y+1=-3x-18}
y=−3x−19{\displaystyle y=-3x-19}.
Confirme a equação em seu gráfico. Se você possui uma calculadora gráfica, monte a função original e a tangente para comprovar que o resultado está correto. Caso esteja trabalhando no papel, volte ao gráfico anterior para garantir que não haja erros na resposta. 
Exemplo 1 (cont.): o esboço inicial revelou que o declive da tangente foi negativo, e a intercepção y estava bem abaixo de -5,5. A equação da tangente que encontramos é representada por y = -3x - 19 na forma fundamental, indicando que -3 representa o declive e -19, a intercepção y. Ambos os atributos são iguais às previsões iniciais. 
Tente resolver um problema mais difícil. Aqui está um acompanhamento de todo o processo, mais uma vez. Agora, o objetivo é encontrar a tangente de f(x)=x3+2x2+5x+1{\displaystyle f(x)=x^{3}+2x^{2}+5x+1} em x = 2:
 Com a regra das potências, a derivada primeira será igual a f′(x)=3x2+4x+5{\displaystyle Tente resolver um problema mais difícil. Aqui está um acompanhamento de todo o processo, mais uma vez. Agora, o objetivo é encontrar a tangente de f(x)=x3+2x2+5x+1{\displaystyle f(x)=x^{3}+2x^{2}+5x+1} em x = 2: 
Com a regra das potências, a derivada primeira será igual a f′(x)=3x2+4x+5{\displaystyle f'(x)=3x^{2}+4x+5}. Essa função nos mostrará qual é o declive da tangente. 
Uma vez que x = 2, encontre f′(2)=3(2)2+4(2)+5=25{\displaystyle f'(2)=3(2)^{2}+4(2)+5=25}. Esse é o declive da função quando x = 2. 
Observe que não temos o valor do ponto nesse momento, mas apenas uma coordenada x. Para descobrir qual é a coordenada y, insira x = 2 na função inicial: f(2)=23+2(2)2+5(2)+1=27{\displaystyle f(2)=2^{3}+2(2)^{2}+5(2)+1=27}. O ponto será (2,27). 
Escreva a equação da tangente na forma fundamental: y−y1=m(x−x1){\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}
y−27=25(x−2){\displaystyle y-27=25(x-2)}
Se necessário, simplifique-a para y = 25x - 23. 
f'(x)=3x^{2}+4x+5}. Essa função nos mostrará qual é o declive da tangente.
 Uma vez que x = 2, encontre f′(2)=3(2)2+4(2)+5=25{\displaystyle f'(2)=3(2)^{2}+4(2)+5=25}. Esse é o declive da função quando x = 2.
 Observe que não temos o valor do ponto nesse momento, mas apenas uma coordenada x. Para descobrir qual é a coordenada y, insira x = 2 na função inicial: f(2)=23+2(2)2+5(2)+1=27{\displaystyle f(2)=2^{3}+2(2)^{2}+5(2)+1=27}. O ponto será (2,27).
 Escreva a equação da tangente na forma fundamental: y−y1=m(x−x1){\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}
 y−27=25(x−2){\displaystyle y-27=25(x-2)}
 Se necessário, simplifique-a para y = 25x - 23.