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Conteu´do
1 Ca´lculo Fraciona´rio: Aspectos Histo´ricos 1
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 O ca´lculo diferencial e integral usual: breve histo´rico . . . . . . . . . 2
1.3 Uma questa˜o contra-intuitiva: o nascimento do Ca´lculo Fraciona´rio . 3
1.4 Uma cronologia do CF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 O CF no Brasil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Conceitos Preliminares 7
2.1 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Existeˆncia da TL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.3 TL das derivadas de f(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.4 Transformada de Laplace Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.5 Produto de Convoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Func¸a˜o Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 Relac¸o˜es envolvendo a func¸a˜o Gama . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2 Extensa˜o da Func¸a˜o Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Func¸a˜o Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Func¸a˜o de Gel’Fand Shilov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Func¸a˜o de Mittag-Leffler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5.1 Func¸a˜o de Mittag-Leffler com dois paraˆmetros . . . . . . . . 14
2.5.2 Exemplos e casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5.3 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Integrais e Derivadas Fraciona´rias 17
3.1 Integral Fraciona´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1 Considerac¸o˜es sobre o exemplo anterior . . . . . . . . . . . . 19
3.1.2 Escolha do limite inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Integral fraciona´ria de Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1 Lei dos expoentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Derivada fraciona´ria segundo Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . . 21
3.3.1 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.2 Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 Derivada fraciona´ria segundo Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.1 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5 Derivada de Gru¨nwald− Letnikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
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Cap´ıtulo 1
Ca´lculo Fraciona´rio:
Aspectos Histo´ricos
1.1 Introduc¸a˜o
Parece razoa´vel dizer que o homem tem buscado, ao longo de sua existeˆncia, com-
preender os fenoˆmenos do mundo que o cercam na intenc¸a˜o de explorar suas carac-
ter´ısticas, a dinaˆmica comportalmental e sua previsibilidade nos meios pelos quais
esta˜o inseridos. Neste sentido, a modelagem matema´tica pode ser compreendida
como a arte de fornecer uma descric¸a˜o matema´tica de um dado fenoˆmeno do mundo
real por meio de suas mais amplas te´cnicas, sejam anal´ıticas ou nume´ricas.
A formulac¸a˜o de modelos matema´ticos tem como uma de suas bases mais so´lidas,
do ponto de vista da rigor matema´tico e da grande aplicabilidade, o uso de equac¸o˜es
diferenciais que, por sua vez, sa˜o estruturas advindas do ca´lculo diferencial e integral
usual, ou seja, baseiam-se na descric¸a˜o de um determinado fenoˆmeno atrave´s de
suas taxas de variac¸a˜o, neste caso, papel desempenhado pelas conhecidas derivadas
de ordem inteira, cujo desenvolvimento, conhecimento e validac¸a˜o sa˜o amplamente
difundidos na literatura em obras cla´ssicas sobre o tema.
Valeremo-nos das ideias apresentadas em [14], e sem nos preocupar com o rigor
matema´tico mais exigente neste momento, vamos conduzir o seguinte racioc´ınio:
podemos dar uma interpretac¸a˜o para uma operac¸a˜o simples de potenciac¸a˜o xk como:
x.x.x.x . . . x︸ ︷︷ ︸
k vezes
Contudo, foge a intuic¸a˜o da interpretac¸a˜o usual o caso de uma operac¸a˜o de
potenciac¸a˜o quando o expoente na˜o e´ um nu´mero natural, como por exemplo em:
31/2, xpi, eΦ.
Lofti Asker Zadeh(1965) revolucionou o cena´rio da lo´gica cla´ssica com a pu-
blicac¸a˜o do artigo cient´ıfico intitulado ”Fuzzy Sets” [26], introduzindo o conceito
fuzzy para a teoria cla´ssica de conjuntos, onde o grau de pertinencia de um elemento
em relac¸a˜o a um determinado conjunto na˜o se restringia aos moldes abruptos da
lo´gica cla´ssica (0 ou 1, verdadeiro ou falso, pertencente ou na˜o-pertencente), mas
sim, seguiria graus de pertinencia que podem eventualmente assumir valores no
intervalo [0,1], como 1/2, por exemplo. Embora possa parecer paradoxal em um
primeiro momento, o aparato lo´gico-matema´tico da chamada lo´gica fuzzy possibili-
tou o refinamento de problemas nos mais diversos campos da atuac¸a˜o humana, do
2 Ca´lculo Fraciona´rio: Aspectos Histo´ricos
universo teo´rico ao impulso de sofisticadas tecnologias do mundo real.
De maneira ana´loga, pode parecer invia´vel, ou ainda desconexo da realidade,
considerar um modelo matema´tico baseado em equac¸o˜es diferenciais cuja ordem das
derivadas na˜o sa˜o nu´meros inteiros, ja´ que tais considerac¸o˜es e estruturas fogem aos
padro˜es usuais de ana´lise e soluc¸a˜o desenvolvidos no ca´lculo diferencial e integral
usual. Contudo, a medida que tem-se maior engajamento matema´tico, questo˜es
como as aqui exemplificada podem receber novos significados e possibilidades, assim
como conexidade com os conteu´dos
Neste sentido, este cap´ıtulo tem por objetivo apresentar um prelu´dio histo´rico so-
bre o chamado ca´lculo de ordem na˜o inteira, popularmente conhecido como ”Ca´lculo
Fraciona´rio” (CF), conduzindo o leitor atrave´s de uma narrativa sobre a origem,
as motivac¸o˜es, assim como sobre alguns dos principais mentores e suas importantes
contribuic¸o˜es para este ramo da ana´lise matema´tica, cujo formato contemporaˆneo
tem sido de vastas aplicac¸o˜es nas diferentes a´reas do conhecimento, sejam estas
de cara´ter matema´tico, f´ısico ou, ainda, biolo´gico. Espera-se, ainda, destacar bre-
vemente o desenvolvimento do CF no Brasil, os autores pioneiros, os trabalhos
desenvolvidos, assim como alguns grupos de pesquisa presentes em universidades
brasileiras.
1.2 O ca´lculo diferencial e integral usual: breve
histo´rico
No se´culo XVII, Issac Newton [1642-1727] e Gottfried Leibniz [1646-1716] trabalha-
ram, independentemente um do outro, na algebrizac¸a˜o do me´todo da exausta˜o para
o ca´lculo de a´reas, idealizado por Arquimedes [287 a.C - 212 a.C]. Em s´ıntese, este
me´todo consiste em: dada uma regia˜o que deseja-se determinar sua a´rea, inscreve-
se nesta uma regia˜o poligonal cuja a´rea seja poss´ıvel determinar. A partir da´ı,
escolhe-se, novamente, outra regia˜o poligonal conveniente que melhor aproxime a
a´rea desejada. O processo e´ feito exaustivamente, ate´ que a a´rea da regia˜o desejada
seja coberta pelas poligonais adotadas. Com as atuac¸o˜es de Newton e Leibniz e com
a modernizac¸a˜o das notac¸o˜es matema´ticas, este ramo foi gradativamente sendo co-
nhecido por ca´lculo integral, cujas aplicac¸o˜es contemporaˆneas na˜o so´ se restringem
ao problema das a´reas, mas abrangem problema oriundos dos mais diversos campos
da cieˆncia, como nas engenharias, na biologia, na f´ısica, na medicina, na economia,
na estat´ıstica, dentre uma infinidade de problemas do mundo real.
Mais tarde, baseado na ideia de Fermat [1601-1655] em determinar ma´ximos e
mı´nimos de algumas func¸o˜es,Leibniz algebriza o me´todo das tangentes investigado
por Fermat, destinado a fornecer um nu´mero associado ao declive de uma reta ou
determinar a direc¸a˜o da reta tangente num ponto arbitra´rio de uma curva. Eis que
surge, ale´m dos conceitos de varia´veis e paraˆmetros, a notac¸a˜o dy/dx de forma a
expressar um quociente entre quantidades infinitesimais. Desta notac¸a˜o, surge o
conceito de derivada como taxa de variac¸a˜o de uma func¸a˜o, cujo desenvolvimento
inspirou a nomeac¸a˜o ”ca´lculo diferencial”.
Na˜o demorou muito ate´ que alguns matema´ticos percebessem a conexa˜o entre
os chamados ca´lculo diferencial e ca´lculo integral, ainda que o desenvolvimento
rigoroso e sistema´tico somente foi feito por Leibniz e Newton quando mostraram,
atrave´s do Teorema Fundamental do Ca´lculo que os problemas das duas vertentes
eram inversos.
A partir da´ı, todo o conhecimento do chamado ca´lculo diferencial e integral teve
seu desenvolvimento impulsionado grac¸as a grande forc¸a do teorema fundamental
O surgimento do CF 3
do ca´lculo e das notac¸o˜es modernas designadas para tal.
1.3 Uma questa˜o contra-intuitiva: o nascimento
do Ca´lculo Fraciona´rio
Segundo [7] o CF teˆm sua discussa˜o ta˜o antiga quanto aquelas promovidas sobre o
ca´lculo diferencial e integral usual, contudo, ainda pode ser considerada uma novela
recente, visto que somente a partir de um pouco mais de vinte anos tem sido, de
fato, desenvolvido de maneira rigorosa e especializada, o que torna o assunto de
muito interesse para cientistas nas diversas a´reas do conhecimento humano.
E´ conhecido o fato de que, durante o desenvolvimento do chamado ca´lculo di-
ferencial e integral, muitas foram as correspondeˆncias trocadas por diversos ma-
tema´ticos com as e´picas discusso˜es dos problemas que investigavam. Entretanto,
uma particular situac¸a˜o chama a atenc¸a˜o no contexto do CF: Em uma das cartas
de Leibiniz para l´Hospital [1661-1704] ha´ a formulac¸a˜o de uma questa˜o que en-
volveria uma generalizac¸a˜o da derivada de ordem inteira para a derivada de ordem
na˜o inteira. l´Hospital, enta˜o, em uma pergunta contra intuitiva, questiona Leibniz
sobre qual deveria ser a interpretac¸a˜o, segundo a notac¸a˜o moderna de Leibniz, para
a derivada de ordem n = 1/2, que sugere derivar a func¸a˜o meia vez. Ou seja, dada
y(x):
d1/2
dx1/2
y(x) =??
Eis que, em uma resposta ousada tanto quanto profe´tica, em uma carta datada
de 30 de Setembro de 1695 Leibiniz responde a l´Hospital que, para y(x) = x:
d1/2x = x
√
dx : x
e, embora aparentemente seja um paradoxo, algum dia gerara´ muitas consequeˆncias
frut´ıferas. Este e´ considerado, por muitos autores, o nascimento do ca´lculo de ordem
na˜o inteira.
Figura 1.1: Lebiniz, Newton e l´Hospital
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4 Ca´lculo Fraciona´rio: Aspectos Histo´ricos
1.4 Uma cronologia do CF
Durante o desenvolvimento do CF, uma extensa e ilustre lista de matema´ticos po-
deria ser apresentada. Dada sua extensa˜o, mas na˜o esquecendo do brilhantismo dos
nomes na˜o citados, apresentamos, aqui, uma lista reduzida dos principais nomes
cuja atuac¸a˜o no CF nos u´ltimos se´culos foi de noto´rio destaque [7]. Sa˜o eles:
• P.S. Laplace (1812);
• J.B.J. Fourier (1822);
• N.H. Abel (1823-1826);
• J. Liouville (1832-1873);
• B. Riemann (1847);
• H. Holmgren (1865-67);
• A.K. Gru¨nwald (1867-1872);
• A.V.Letnikov (1868-1872);
• H. Laurent (1884);
• P.A. Nekrassov (1888);
• A. Krug (1890);
• J.Hadamard (1892);
• O. Heaviside (1892-1912);
• S. Pincherle (1902);
• G.H. Hardy e J.E. Littlewood (1917-1928);
• H. Weyl (1917);
• P. Le´vy (1923);
• A. Marchaud (1927);
• H.T. Davis (1924-1936);
• A. Zygmund (1935-1945);
• E.R. Love (1938-1996);
• A. Erde´lyi (1939-1965);
• H. Kober (1940);
• D.V. Widder (1941);
• M. Riesz (1949).
Exerc´ıcios 5
1.5 O CF no Brasil
Impulsionados pelo aumento significativo de pesquisas e publicac¸o˜es realizadas por
outros pa´ıses nas u´ltimas de´cadas, pesquisadores brasileiros tem dado contribuic¸o˜es
no desenvolvimento e na divulgac¸a˜o do CF, atrave´s de publicac¸o˜es em perio´dicos
especializados, assim como nos grupos de pesquisa dos programas de po´s graduac¸a˜o
em muitas universidades do pa´ıs.
No trabalho intitulado ”Derivada Fraciona´ria, Transformada de Laplace e outros
bichos” de Ricieri (1993) ha´, provavelmente, a primeira menc¸a˜o a` derivada de ordem
na˜o inteira no Brasil.
A primeira dissertac¸a˜o acerca do tema, em lingua portuguesa, surge no Brasil
em 2008 e segue intitulada ”Sobre a func¸a˜o de Mittag-Leffler” cuja autoria se da´ a
Danilo Castro Rosendo [22], orientado pelo Prof. Dr. Edmundo Capelas de Oliveira,
v´ınculados ao Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Matema´tica da UNICAMP.
No ano seguinte, em 2009, a primeira tese de doutorado dedicada exclusivamente
ao CF e´ publicada por Rubens de Figueiredo Camargo [1], intitulada ”Ca´lculo Fra-
ciona´rio e Aplicac¸o˜es”, obra pela qual ha´ a primeira investigac¸a˜o sistema´tica rigo-
rosa e aprofundada dos conceitos e aplicac¸o˜es advindas do CF, em l´ıngua portu-
guesa. Esta obra recebeu menc¸a˜o honrosa pela Sociedade Brasileira de Matema´tica
Aplicada e Computacional, na modalidade de teses de doutorado.
O ca´lculo de ordem na˜o inteira tem sido sistematicamente utilizado na mode-
lagem de problemas advindos das a´reas de matema´tica, biologia, medicina dentre
outras, de onde podemos citar alguns trabalhos recentes, tais como: [16] (Medicina),
[6] (Sistemas Dinaˆmicos, F´ısica-Matema´tica) e [11] (Derivada de Caputo).
1.6 Exerc´ıcios
1. Enuncie o Teorema Fundamental do Ca´lculo e utilize-o para demonstrar a
Fo´rmula de Barrow, isto e´, se f e´ cont´ınua em [a, b] e F uma primitiva de f
em [a, b], enta˜o:
∫ b
a
f(x)dx = F (x)|ba = F (b)− F (a)
2. Pesquise sobre o me´todo de exausta˜o para o ca´lculo de a´reas sob curvas e como
se deu a modernizac¸a˜o para o conceito da integral de Riemann.
3. Determine quais sa˜o as vantagem do uso da transformada de Laplace, usual-
mente denotada por L , para a modelagem matema´tica via equac¸o˜es diferen-
ciais de ordem inteira. Pesquise, ainda, como tal metodologia e´ empregada no
aspecto do Ca´lculo Fraciona´rio.
4. Tal como supor derivadas de ordem na˜o inteira de determinada func¸a˜o, pode
parecer contra-intuitivo a tentativa de determinar o fatorial de nu´meros na˜o
inteiros, como por exemplo (1/2)!. Neste sentido, pesquise sobre a chamada
func¸a˜o gama, denotada por Γ, e sua importancia diante do CF.
5. Pesquise sobre as poss´ıveis similaridades da chamada Func¸a˜o de Mittag-Leffler
no contexto do ca´lculo fraciona´rio e a func¸a˜o ex no contexto do ca´lculo dife-
rencial e integral usual.
6 Ca´lculo Fraciona´rio: Aspectos Histo´ricos
Cap´ıtulo 2
Conceitos Preliminares
Nesse cap´ıtulo apresentaremos alguns resultados de Transformadas de Laplace (TL),
func¸o˜es gama, func¸a˜o beta, func¸a˜o de Gel’Fand Shilov e de Mittag-Leffler . Todos
esses resultados sa˜o essenciais para o desenvolvimento dos pro´ximos cap´ıtulo, em que
sera˜o abordadas as integrais e derivadas de ordem na˜o-inteira e algumas aplicac¸o˜es.
2.1 Transformada de Laplace
Vamos apresentar no formato de revisa˜o a Transformada de Laplace e a metodologia
das transformadas integrais para se resolver uma equac¸a˜o diferencial. A demons-
trac¸a˜o de algumas propriedades na˜o sera´ feita e deve ser encarada como exerc´ıcio.
Definic¸a˜o 2.1. Sendo f : [0,∞) −→ R, definimos a sua TL, denotada por L [f(t)]
e F (s) como
L [f(t)] ≡ F (s) =
∫ ∞
0
e−stf(t)dt, (2.1.1)
com Re(s) > 0, sempre que a integral existir.
2.1.1 Existeˆncia da TL
A existeˆncia da TL e´ garantida para uma classe bastante ampla de func¸o˜es ditas
admiss´ıveis, que satisfazem os crite´rios:
(a) ser integra´vel por partes;
(b) ser de ordem exponencial, isto e´, existirem α,M ∈ R tais que f(t) = Meαt.
As func¸o˜es sin t , cost, polinomiais, exponenciais e suas combinac¸o˜es lineares
sa˜o admiss´ıveis. Ja´ as func¸o˜es ln t, tan t, fatorial, tt e et
2
na˜o sa˜o.
2.1.2 Exemplos
Exemplo 2.1. Algumas TL:
(a) L [1] =
1
s
(b) L [t] =
1
s2
8 Conceitos Preliminares
(c) L [sin t] =
1
s2 + 1
(d) L [cos t] =
s
s2 + 1
Propriedade 2.1. Linearidade 1: Sejam f(t) e g(t) func¸o˜es admiss´ıveis com TL,
F (s) e G(s), respectivamente. Enta˜o, para escalares α e β:
L [αf(t) + βg(t)] = αF (s) + βG(s).
Propriedade 2.2. Escada: Seja L [f(t)] = F (s), enta˜o L [f(at)] =
1
a
F
( s
a
)
.
Demonstrac¸a˜o: Seja L [f(t)] =
∫∞
0
e−stf(t)dt ≡ F (s).
L [f(at)] =
∫ ∞
0
e−stf(at)dt u=at=
∫ ∞
0
e−
s
auf(u)
1
a
du
=
1
a
∫ ∞
0
e−
s
auf(u)du
=
1
a
F
( s
a
)
.
Propriedade 2.3. Sejam L [f(t)] = F (s) e n ∈ N, temos
L [tnf(t)] = (−1)n d
nF (s)
dsn
. (2.1.2)
Demonstrac¸a˜o: Notemos que
de−st
ds
= −te−st =⇒ d
ne−st
dsn
= (−1)ntne−st, isto e´,
(−1)n d
ne−st
dsn
= tne−st. Logo,
L [tnf(t)] =
∫ ∞
0
e−sttnf(t)dt =
∫ ∞
0
(−1)n d
ne−st
dsn
f(t)dt
= (−1)n d
n
dsn
∫ ∞
0
e−stf(t)dt
= (−1)n d
nF (s)
dsn
.
Exemplo 2.2. Determine a TL das seguintes func¸o˜es:
(a) sin(at).
L [sin t] =
1
a
1( s
a
)2
+ 1
=
a
s2 + a2
.
1Esta propriedade decorre do fato da TL ser definida em termos de uma integral, que e´ um
oerador linear.
Transformada de Laplace 9
(b) t sin(at).
L [t sin(at)] = (−1)1 d
ds
(
a
s2 + a2
)
= −1(−a)2s(s2 + a2)−2 = 2as
(s2 + a2)2
.
(c) tn.
L [tn] = L [tn.1] = (−1)n d
n
dsn
(
1
s
)
= (−1)n(−1)nn!s−(n+1) = n!
sn+1
.
2.1.3 TL das derivadas de f(t)
Propriedade 2.4. Seja L [f(t)] = F (s), enta˜o L [f ′(t)] = sF (s)− f(0).
Demonstrac¸a˜o:
L [f ′(t)] =
∫ ∞
0
e−stf ′(t)dt = e−stf(t)
∣∣∣∣∣
∞
0
+ s
∫ ∞
0
e−stf(t)dt = sF (0)− f(0).
Propriedade 2.5. Seja L [f(t)] = F (s), enta˜o L [f ′′(t)] = s2F (s)− sf(0)− f ′(0).
Demonstrac¸a˜o:
L [f ′′(t)] =
∫ ∞
0
e−stf ′′(t)dt = e−stf ′(t)
∣∣∣∣∣
∞
0
+ s
∫ ∞
0
e−stf ′(t)dt︸ ︷︷ ︸
L [f ′(t)]
= s2F (s)− sf(0)− f ′(0).
Propriedade 2.6. SejaL [f(t)] = F (s), enta˜oL [f (n)(t)] = snF (s)−
n−1∑
k=0
sn−1−kf (k)(0).
2.1.4 Transformada de Laplace Inversa
Como o operador inverso da TL existe, e´ u´nico e esta´ bem definido, neste material
vamos utilizar este fato, ou seja, vamos supor que L [f(t)] = F (s) enta˜o o operador
L −1 e´ o operador tal que
L −1 [F (s)] = L −1 [L [f(t)]] = f(t).
Exemplo 2.3. Como L [eat] =
1
s− a , enta˜o L
−1
[
1
s− a
]
= L −1 [L [eat]] = eat.
2.1.5 Produto de Convoluc¸a˜o
Naturalmente a TL do produto na˜o e´ o produto das transformadas (por exemplo
L [1] =
1
s
e L [1.1] = L [1] 6= L [1].L [1]).
A convoluc¸a˜o ou produto de convoluc¸a˜o e´ um produto conveniente no sentido
em que esta propriedade e´ va´lida.
10 Conceitos Preliminares
Definic¸a˜o 2.2. Sejam f, g : [0,∞) −→ R, func¸o˜es admiss´ıveis com TL dadas por
F (s) e G(s), respectivamente. Definimos a convoluc¸a˜o (de Laplace) entre f e g
como
(f ∗ g) (t) =
∫ t
0
f(t− τ)g(τ)dτ. (2.1.3)
Teorema 2.1. (Convoluc¸a˜o) Com as hipo´teses da definic¸a˜o anterior temos
L [(f ∗ g) (t)] = L [f(t)] .L [g(t)] = F (s)G(s). (2.1.4)
Corola´rio 2.1. Com as hipo´teses da definic¸a˜o anterior temos:
L [(F (s).F (s))] = L −1L [[(f ∗ g) (t)]] = (f ∗ g) (t) (2.1.5)
Exemplo 2.4. Resolva o problema de valor inicial (PVI): y′′(t) + y(t) = sin(2t),
y(0) = 2 e y′(0) = 1.
Resolvendo esse problema por TL temos que
L [y′′(t) + y(t)] = L [sin(2t)],
e pela linearidade
L [y′′(t)] +L [y(t)] = L [sin(2t)].
Seque que
Y (s) =
2s
s2 + 1
+
1
s2 + 1
+
2
s2 + 4
1
s2 + 1
.
Aplicando a TL inversa e sabendo que L −1
[
s
s2 + 1
]
= cos t , L −1
[
1
s2 + 1
]
=
sin t , L −1
[
2
s2 + 4
]
= sin(2t) e L −1
[
2
s2 + 4
.
1
s2 + 1
]
= L −1 [L [sin 2t ∗ sin t]] =
sin 2t ∗ sin t = ∫ t
0
sin(t− τ) sin(2τ)dτ = −1
3
sin 2t+
2
3
sin t, conclu´ımos que a soluc¸a˜o
do PVI e´ dado por
y(t) = 2 cos t+
5
3
sin t− 1
3
sin 2t.
2.2 Func¸a˜o Gama
Essa func¸a˜o conhecida como func¸a˜o de Euller de 2a espe´cie tem grande importaˆncia
em diversas a´reas do conhecimento como, por exemplo, na estat´ıstica (distribuic¸a˜o
de probabilidade) e na f´ısica quaˆntica (espalhamento e transformadadas integrais).
Neste livro a func¸a˜o Gama desempenha um papel central na conversa˜o e genera-
lizac¸a˜o do ca´lculo usual no ca´lculo de ordem na˜o inteira.
Definic¸a˜o 2.3. A func¸a˜o Γ : D ⊂ C −→ C pode ser definida como
Γ(z) =
∫ ∞
0
tz−1e−tdt, para Re(z) > 0. (2.2.6)
Para z = a + bi, com a > 0 a func¸a˜o Gama e´ anal´ıtica (isto e´, cont´ınua e
diferencia´vel).
Func¸a˜o Gama 11
2.2.1 Relac¸o˜es envolvendo a func¸a˜o Gama
1. Tomando t = sv em (2.1) temos Γ(z) =
∫ ∞
0
(sv)z−1e−svsdv = sz
∫ ∞
0
vz−1e−svdv,
da´ı
Γ(z) = szL [tz−1], para t ≥ 0. (2.2.7)
2. Fatorial: Pela equac¸a˜o (2.2.7), para z = n+ 1, n ∈ N, temos:
Γ(n+ 1) = sn+1L [tn] = sn+1
(
n!
sn+1
)
= n! (2.2.8)
3. Relac¸a˜o funcional: Γ(z + 1) = zΓ(z).
Resolvendo a integral Γ(z + 1) =
∫ ∞
0
tze−tdt por partes
Γ(z + 1) = ztz−1e−t
∣∣∣∣∣
∞
0︸ ︷︷ ︸
0
+z
∫ ∞
0
tz−1e−tdt︸ ︷︷ ︸
Γ(z)
,
Γ(z + 1) = zΓ(z). (2.2.9)
2.2.2 Extensa˜o da Func¸a˜o Gama
A Func¸a˜o Gama converge para valores de z tais que Re(z) > 0. A fim de obter a
definic¸a˜o da func¸a˜o gama para todo plano complexo vamos escrever a equac¸a˜o (2.1)
como
Γ(z) =
∫ 1
0
tz−1e−t︸ ︷︷ ︸
I1
+
∫ ∞
1
tz−1e−tdt︸ ︷︷ ︸
I2
. (2.2.10)
Temos que I2 converge em todo plano complexo, desta forma, para obter a
func¸a˜o gama para valores cuja parte real e´ menor do que zero devemos analisar I1.
I1 =
∫ 1
0
tz+n
tn+1
[
e−t −
(
1− t+ t
2
2
− t
3
3!
+ . . .+ (−1)n t
n
n!
)
+
+
(
1− t+ t
2
2
− t
3
3!
+ . . .+ (−1)n t
n
n!
)]
dt.
I1 =
∫ 1
0
tz+n
tn+1
[
e−t −
(
1− t+ t
2
2
− t
3
3!
+ . . .+ (−1)n t
n
n!
)]
dt+
+
∫ 1
0
n∑
k=0
(−1)ktz−1+k
k!
dt
I1 =
∫ 1
0
tz+n
tn+1
[
e−t −
n∑
k=0
(−1)ntk
k!
]
dt+
n∑
k=0
(−1)k
k!(z + k)
.
12 Conceitos Preliminares
Tomando n −→∞, temos I1 =
n∑
k=0
(−1)n
k!(z + k)
, pois e−t =
n∑
k=0
(−1)ktk
k!
.
Enta˜o (2.2.10) e´ dada por
Γ(z) =
∫ ∞
1
tz−1e−tdt+
∞∑
k=0
(−1)k
k!(z + k)
(2.2.11)
A expressa˜o (2.2.11) e´ conhecida como expansa˜o de Mittag-Leffler da func¸a˜o
gama e a partir dela notamos que a singularidade da func¸a˜o gama ocorre em Z− .
Figura 2.1: Func¸a˜o Gama.
2.3 Func¸a˜o Beta
Definic¸a˜o 2.4. Denotada por B(z, ς) com Re(z) e Re(ς) > 0 maiores que zero a
func¸a˜o beta e´ definida por
B(z, ς) =
∫ 1
0
tz−1(1− t)ς−1dt. (2.3.12)
Tomando µ = 1−t observamos que a func¸a˜o beta e´ sime´trica (B(z, ς) = B(ς, z)).
A func¸a˜o beta esta´ relacionada com a func¸a˜o gama atrave´s da fo´rmula:
B(z, ς) =
Γ(z)Γ(ς)
Γ(z + ς)
(2.3.13)
Embora existam outras propriedades e aplicac¸o˜es para func¸a˜o beta na˜o iremos
avanc¸ar neste sentido.
2.4 Func¸a˜o de Gel’Fand Shilov
Crucial para apresentar a Integral Fraciona´ria de maneira simples (como uma con-
voluc¸a˜o de Laplace) definimos a func¸a˜o a seguir.
Func¸a˜o de Mittag-Leffler 13
Definic¸a˜o 2.5. Sendo n ∈ R, definimos a func¸a˜o Gel’Fand Shilov de ordem n
como:
φn(t) =

tn−1
(n− 1)! , se t ≥ 0
0 , se t < 0
. (2.4.14)
A partir da generalizac¸a˜o do fatorial pela func¸a˜o gama podemos escrever a func¸a˜o
Gel´Fand Shilov de ordem ν ∈ C− Z− como:
φν(t) :=

tν−1
Γ(ν)
, se t ≥0
0 , se t < 0
. (2.4.15)
Exemplo 2.5. Calcularemos a transformada de Laplace(TL)da func¸a˜o de Gel’Fand
Shilov.
Ao aplicar a TL e fazer w = st:
L [φν(t)] =
∫ ∞
0
φν(t)e
−stdt =
∫ ∞
0
tν−1
Γ(ν)
e−stdt
=
1
Γ(ν)
∫ ∞
0
(w
s
)ν−1
e−w
1
s
dw
=
s−ν
Γ(ν)
∫ ∞
0
wν−1e−wdw
=
1
sνΓ(ν)
Γ(ν) =
1
sν
.
Portanto,
L [φν(t)] = s
−ν . (2.4.16)
2.5 Func¸a˜o de Mittag-Leffler
Conhecida por muitos autores como “rainha das func¸o˜es especiais” [2] a func¸a˜o de
Mittag-Leffler (e suas generalizac¸o˜es) desempenha no Ca´lculo Fraciona´rio um papel
similar ao que a func¸a˜o exponencial desempenha no Ca´lculo usual, tanto no sentido
de soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o diferencial quanto no sentido da derivada ser mu´ltipla
da func¸a˜o.
Definic¸a˜o 2.6. Sejam z, α ∈ C com Re(α) > 0. A cla´ssica func¸a˜o de Mittag-Leffler
(FML), conforme introduzida em 1903 e´ dada por [2, 15].
Eα(z) =
∞∑
k=0
zk
Γ(kα+ 1)
. (2.5.17)
.
Tomando a Se´rie de Taylor para a func¸a˜o exponencial e α = 1 observamos que
E1(z) = e
z.
14 Conceitos Preliminares
Figura 2.2: Func¸a˜o Mittag-Leffler com α inteiro.
2.5.1 Func¸a˜o de Mittag-Leffler com dois paraˆmetros
Definic¸a˜o 2.7. Sendo β ∈ C com Re(β) > 0 e Re(α) > 0 definimos a FML de dois
paraˆmetros como:
Eα,β(z) =
∞∑
k=0
zk
Γ(kα+ β)
. (2.5.18)
2.5.2 Exemplos e casos particulares
A FML e suas generalizac¸o˜es teˆm uma se´rie de casos particulares e aplicac¸o˜es (de
fato, no estudo das transformadas integrais e das func¸o˜es especiais e´ imprescend´ıvel
a ana´lise das FML). Aqui vamos apresentar alguns exemplos simples.
Exemplo 2.6. E2(−z2) =
∞∑
k=0
(−z2)k
Γ(2k + 1)
=
∞∑
k=0
(−1)k.z2k
Γ(2k + 1)
=
∞∑
k=0
(−1)k.z2k
(2k)!
=
cos z.
Exemplo 2.7. zE2,2(−z2) = z
∞∑
k=0
(−z2)k
Γ(2k + 2)
2.5.3 Transformada de Laplace
Calculemos a TL de tβ−1Eα,β (atα).
Func¸a˜o de Mittag-Leffler 15
Figura 2.3: Func¸a˜o Mittag-Leffler com 0 < α ≤ 1.
L
[
tβ−1Eα,β (atα)
]
=
∫ ∞
0
tβ−1Eα,β (atα) e−stdt
=
∫ ∞
0
tβ−1e−st
∞∑
k=0
(atα)k
Γ(αk + β)
dt
=
∞∑
k=0
ak
Γ(αk + β)
∫ ∞
0
tαk+β−1e−stdt
u=st
=
∞∑
k=0
ak
Γ(αk + β)
∫ ∞
0
(u
s
)αk+β−1
e−u
1
s
dt
=
∞∑
k=0
ak
Γ(αk + β)
1
sαk+β
∫ ∞
0
uαk+β−1e−udu
=
∞∑
k=0
ak
Γ(αk + β)
1
sαk+β
Γ(αk + β)
=
∞∑
k=0
ak
sαk+β
=
1
sβ
∞∑
k=0
( a
sα
)k
.
Sejam a, s e α tais que
∣∣∣∣∣ asα
∣∣∣∣∣ < 1, segue que:
L
[
tβ−1Eα,β (atα)
]
=
1
sβ
(
1
1− asα
)
=
sα−β
zα − a
Enta˜o, o par de transformadas de Laplace da func¸a˜o de Mittag-Leffler com dois
paraˆmetros e´ dada por:
L
[
tβ−1Eα,β(atα)
]
=
sα−β
sα − a (2.5.19)
L −1
[
sα−β
sα − a
]
= tβ−1Eα,β(atα).
2.6 Exerc´ıcios
1. Resolva a equac¸a˜o diferencial y′′−y′−2y = 0 com condic¸o˜es iniciais y(0) = 1,
y′(0) = 0.
2. Prove a propriedade (2.6) .
3. Utilize o produto de convoluc¸a˜o para calcular a transformada de Laplace in-
versa de F (s) =
1
s2(s2 + 1)
.
4. (a) Mostre queL [eat cos(bt)] =
s− a
(s− a)2 + b2 eL [e
at sin(bt)] =
b
(s− a)2 + b2 .
(b) Utilize as expresso˜es anteriores para recuperar o valor da transformada
de Laplace de sin bt, cos bt e eat.
5. Mostre que :
(a) E2(z
2) = cosh(z)
(b) zE2,2(z
2) = sinh(z)
6. Calcule: Γ
(
1
2
)
.
7. Mostre que φα(t) ∗ φβ(t) = φα+β(t).
Cap´ıtulo 3
Integrais e Derivadas
Fraciona´rias
Inicialmente sera´ feito a formalizac¸a˜o da integral fraciona´ria segundo Riemann-
Liouville. Em seguida, a definic¸a˜o de derivada fraciona´ria sera´ feita a partir das
ideias de Riemann-Liouville e tambe´m de Caputo. Ambas necessitam da definic¸a˜o
de integral fraciona´ria para a formulac¸a˜o da derivada fraciona´ria, por esse motivo
e´ necessa´rio definir primeiro a integral fraciona´ria e depois a derivada fraciona´ria
[2, 20].
Vamos apresentar a derivada fraciona´ria como sendo o operador inverso a es-
querda da integral fraciona´ria. A integral fraciona´ria, por sua vez sera´ introduzida
como sendo uma generalizac¸a˜o do operador integral que sera´ apresentado a seguir.
Do ponto de vista alge´brico a definic¸a˜o e´ clara, mas do ponto de vista geome´trico
ainda e´ confuso.
3.1 Integral Fraciona´ria
A seguir apresentamos a motivac¸a˜o para a definic¸a˜o de integral fraciona´ria.
Definic¸a˜o 3.1. Seja f : [0,∞) → R uma func¸a˜o cont´ınua por partes no intervalo
[0,∞) e integra´vel em todo subintervalo de [0,∞). Definimos o operador integral I,
agindo sobre f(t), como
If(t) =
∫ t
0
f(s)ds
e por Ikf(t) = (II...I)f(t).
Observe que
I2f(t) =
∫ t
0
If(s)ds.
17
joaol
Realce
18 Integrais e Derivadas Fraciona´rias
Utilizando o Teorema de Fubinni [9], vem
I2f(t) =
∫ t
0
∫ s
0
f(ξ)dξds
=
∫ t
0
∫ t
ξ
f(ξ)dsdξ
=
∫ t
0
f(ξ)(t− ξ)dξ.
Da´ı
I3f(t) =
∫ t
0
I2f(s)ds
=
∫ t
0
∫ s
0
f(ξ)(t− ξ)dξds
=
∫ t
0
∫ t
ξ
(s− ξ)f(ξ)dsdξ
=
∫ t
0
(t− ξ)2
2
f(ξ)dξ.
Usando esse procedimento sucessivamente, temos
Inf(t) =
∫ t
0
(t− s)n−1
(n− 1)! f(s)ds.
Como Γ(n) = (n− 1)! para n ∈ Z+, vem
Inf(t) =
1
Γ(n)
∫ t
0
(t− s)n−1f(s)ds. (3.1.1)
Teorema 3.1. Sendo f como na definic¸a˜o anterior, n ∈ N, t ∈ R+, temos que
Inf(t) = φn(t) ∗ f(t), na qual * denota a convoluc¸a˜o de Laplace e φn(t) a func¸a˜o
Gel’fand-Shilov (2.4.14).
Demonstrac¸a˜o: A partir da definic¸a˜o 3.4 e pela definic¸a˜o de produto convoluc¸a˜o,
vem
(φα ∗ f)(t) =
∫ t
0
φα(t− s)f(s)ds
=
∫ t
0
(t− s)α−1
Γ(α)
f(s)ds
=
1
Γ(α)
∫ t
0
(t− s)α−1f(s)ds.
Portanto,
(φα ∗ f)(t) = Iαf(t).
A partir do que foi apresentado acima, temos a seguinte definic¸a˜o
Integral Fraciona´ria 19
Definic¸a˜o 3.2. A integral fraciona´ria de ordem ν de uma func¸a˜o integra´vel f :
[0,∞[→ R, denotada por Iν e´ definida como
Iνf(t) = φν(t) ∗ f(t)
=
1
Γ(ν)
∫ t
0
(t− τ)ν−1f(τ)dτ
=
1
Γ(ν)
∫ t
0
f(τ)
(t− τ)1−ν dτ
Observac¸a˜o 3.1. Embora essa definic¸a˜o seja absolutamente rigorosa do ponto de
vista alge´brico, a interpretac¸a˜o f´ısica e geome´trica deste operador ainda na˜o esta´
clara.
Exemplo 3.1. Seja f(t) = tn, com n ∈ N, verifique que Iνf(t) = t
ν+µΓ(µ+ 1)
Γ(ν + µ+ 1)
.
De fato, usando a definic¸a˜o (3.2), temos que
Iνtn =
1
Γ(ν)
∫ t
0
(t− τ)ν−1τndτ
Tomando u =
τ
t
, vem
Iνtn =
tν−1
Γ(ν)
∫ 1
0
(1− u)ν−1(ut)ntdu
=
tν+n
Γ(ν)
∫ 1
0
(1− u)ν−1undu
Usando a relac¸a˜o entre func¸a˜o beta e func¸a˜o gama (2.3.13), conclu´ımos
Iνtn =
Γ(n+ 1)
Γ(ν + n+ 1)
tν+n (3.1.2)
3.1.1 Considerac¸o˜es sobre o exemplo anterior
1. Note que na demonstrac¸a˜o do exemplo (3.1) na˜o foi utilizado o fato de n ser
natural (exceto pela existeˆncia de Γ(n+ 1)), ou seja, de modo geral, temos
Iνtλ =
Γ(λ+ 1)tν+λ
Γ(λ+ 0 + 1)
para Re(λ) ≥ −1.
2. Para n, k ∈ N, temos Intk = k!
(k + n)!
tn+k.
3. Operador integral × integral indefinida.
• Para o operador integral, para n, k = 1, temos
It =
t2
2
;
...
Int =
1!
(n+ 1)!
tn+1.
20 Integrais e Derivadas Fraciona´rias
• Para a integral indefinida, temos:∫
tdt =
t2
2
+ c1∫ (
t2
2
+ c1
)
dt =
t3
3!
+ c1t+ c2
...∫ ∫
...
∫
tdt =
tn+1
(n+ 1)!
+ c1
tn−1
(n− 1)! + ...+ cn
No caso em que f(0) = 0 = f ′(0) = f ′′(0) = ...fn(0), o operador integral e´ igual
a integral indefinida.
3.1.2 Escolha do limite inferior
Quando definimos o operador integral If(t) =
∫ t
0
f(τ)dτ, o limite inferior da integral
foi escolhido. De fato, ao inve´s de 0 poder´ıamos ter tomado o mesmo como sendo
uma constante arbitra´ria c ou como sendo −∞.
Ale´m disso, poder´ıamos ter tomado a integrala partir de valores maiores que t,
isto e´
Ibf(t) =
∫ b
t
f(τ)dτ.
Essas observac¸o˜es e procedimentos similares aos que foram feitos para o operador
integral fraciona´rio da˜o origem a diversas definic¸o˜es, que sera˜o apresentadas a seguir.
Para mais detalhes veja [2].
3.2 Integral fraciona´ria de Riemann-Liouville
Definic¸a˜o 3.3. Sejam a, b, tais que −∞ < a < b <∞. Definimos
Iαa+f(t) =
1
Γ(α)
∫ t
a
f(τ)
(t− τ)1−α dτ
Iαb−f(t) =
1
Γ(α)
∫ b
t
f(τ)
(t− τ)1−α dτ
Exemplo 3.2. 1. Iαa+(t− a)β−1 =
Γ(β)
Γ(α+ β)
(t− a)β+α−1
2. Iαb−(b− t)β−1 =
Γ(β)
Γ(α+ β)
(b− t)β+α−1
3.2.1 Lei dos expoentes
A lei dos expoentes ocupa um papel de destaque no ca´lculo fraciona´rio e embora
na˜o seja sempre va´lida para a derivada fraciona´ria esta propriedade e´ verificada
para a integral fraciona´ria [4, 5, 20].
Teorema 3.2. Sejam α, β ≥ 0 temos que Iα[Iβf(t)] = Iα+βf(t), e IαIβ = IβIα.
Derivada fraciona´ria segundo Riemann-Liouville 21
Demonstrac¸a˜o: Como
Iα[Iβf(t)] = Iα[φβ(t) ∗ f(t)]
= φα(t) ∗ φβ(t) ∗ f(t)
e Iα+βf(t) = φα+β(t)∗f(t). Vamos mostrar que φα(t)∗φβ(t) = φα+β(t) = φβ+α(t).
Pela definic¸a˜o de produto de convoluc¸a˜o, vem
φα(t) ∗ φβ(t) =
∫ t
0
φα(t− τ)φβ(τ)dτ
=
∫ t
0
(t− τ)α−1
Γ(α)
τβ−1
Γ(β)
dτ
=
1
Γ(α)Γ(β)
∫ t
0
(t− τ)α−1τβ−1dτ
Tomando u =
τ
t
, obtemos
=
tα−1
Γ(α)Γ(β)
∫ 1
0
(1− u)α−1(ut)β−1tdu
=
tα+β−1
Γ(α)Γ(β)
∫ 1
0
(1− u)α−1uβ−1du
=
tα+β−1
Γ(α+ β)
= φα+β(t).
A u´ltima passagem acima e´ justificada pela utilizac¸a˜o da definic¸a˜o de func¸a˜o beta
e pela relac¸a˜o entre func¸a˜o Gama e Beta. A comutatividade e´ imediata. Com isso
conclu´ımos o resultado.
Com o avanc¸o do ca´lculo de ordem na˜o inteira, surgiram va´rias formulac¸o˜es
para os conceitos de integral e derivada de ordem arbitra´ria. Dentre esses conceitos
podemos destacar, as derivadas de ordem fraciona´ria de Riemann-Liouville, Caputo,
Gru¨nwald−Letnikov, Weyl, Riez, entre outras definic¸o˜es. Mais informac¸o˜es podem
ser vistas em [2, 5, 20].
A seguir apresentaremos as definic¸o˜es de derivada de Riemann-Liouville, Caputo
e Grunwald-Letnikov.
3.3 Derivada fraciona´ria segundo Riemann-Liouville
A definic¸a˜o de derivada de ordem fraciona´ria de Riemann-Liouville e´ uma con-
sequeˆncia direta do Teorema Fundamental do Ca´lculo [9].
A partir desse teorema, se f : [0, b]→ R e´ uma func¸a˜o cont´ınua e se F : [0, b]→ R
e´ a func¸a˜o definida por
F (x) =
∫ x
0
f(t)dt,
enta˜o F e´ diferencia´vel e F ′ = f.
joaol
Realce
22 Integrais e Derivadas Fraciona´rias
Por esse teorema temos que (DIf)(t) = f(t). De forma geral, e´ fa´cil ver por
induc¸a˜o finita que para todo m ∈ N a relac¸a˜o
(DmImf)(t) = f(t), (3.3.3)
e´ verdadeira, em que Dmf = (DD...D)f e´ a composic¸a˜o m vezes do operador
derivada de ordem m de f .
Sejam m, n ∈ N tal que m e´ o menor inteiro maior que n e f : [0, b]→ R e´ uma
func¸a˜o cont´ınua que admite derivadas ate´ ordem n, usando a relac¸a˜o (3.3.3) temos
Dm−nIm−nf(t) = f(t).
Por outro lado, aplicando o operador Dn em ambos os lados
DmIm−n = Dnf(t),
como a integral fraciona´ria pode ser definida para nu´meros na˜o inteiros α > 0, enta˜o
Dαf(t) = DmIm−αf(t).
Portanto a discussa˜o anterior motiva a seguinte definic¸a˜o formal.
Definic¸a˜o 3.4. Sejam ν > 0 e n o menor inteiro maior que ν, assim a derivada
fraciona´ria de Riemann-Liouville de ordem ν da func¸a˜o f e´ dada por
DνRf(t) = D
n[In−νf(t)],
Observac¸a˜o 3.2. Definimos o operador integral Iα tal que I0f(t) = f(t). Com
isso, se ν = n, n ∈ N enta˜o
Dν = Dn[In−νf(t)]
= Dn[I0f(t)]
= Dnf(t)
Exemplo 3.3. A derivada de ordem ν segundo Riemann-Liouville de f(t) = tµ,
µ > −1 e µ 6= 0 e´
DνRf(t) =
Γ(µ+ 1)
Γ(µ− ν + 1) t
µ−ν . (3.3.4)
De fato, usando a definic¸a˜o de derivada segundo Riemann-Liouville temos
DνRf(t) = [I
n−νtµ]
O resultado do lado direito da equac¸a˜o acima e´ dado pela equac¸a˜o (3.1.2), com isso
DνRf(t) = D
n
[
Γ(µ+ 1)
Γ(n− α+ µ+ 1) t
n−ν+µ
]
=
Γ(µ+ 1)
Γ(n− ν + µ+ 1)D
n[tn−ν+µ]
=
Γ(µ+ 1)
Γ(n− ν + µ+ 1)
Γ(µ− ν + n+ 1)
Γ(µ− ν + 1)tµ−ν
=
Γ(µ+ 1)
Γ(µ− ν + 1) t
µ−ν
joaol
Realce
Derivada fraciona´ria segundo Riemann-Liouville 23
Exemplo 3.4. Sendo t0 = 1, calcule DαRt
0.
De fato,
DαRt
0 = Dn[In−αt0]
= Dn
[
Γ(1)
Γ(n− α+ 1) t
n−α
]
=
Γ(1)
Γ(n− α+ 1)D
n[tn−α]
Usando o resultado do exemplo anterior, temos
DαRt
0 =
t−α
Γ(1− α)
Portanto a derivada segundo Riemann-Liouville de uma constante na˜o e´ igual a
zero.
Este e´ um fato importante mas na˜o contraria a noc¸a˜o usual de que no caso
inteiro a derivada e´ a taxa de variac¸a˜o, pois para k ∈ Z− = {0,−1,−2,−3, ...}
temos |Γ(k)| → ∞. Da´ı
Dαt0 =

t−α
Γ(1− α) se α 6∈N
0 se α ∈ N.
Em particular
D
1
2 t0 =
t−
1
2
Γ( 12 )
=
1√
pit
.
O pro´ximo teorema nos diz como se comporta a composic¸a˜o a direita e a esquerda
entre a derivada e a integral fraciona´ria de Riemann-Liouville. Mais informac¸o˜es
podem ser vistas em [2, 5, 20].
Teorema 3.3. Sa˜o va´lidas as composic¸o˜es a direita e a esquerda para os operadores
integral e derivada fraciona´ria segundo Riemann-Liouville.
DνRI
νf(t) = f(t)
IνDνRf(t) = f(t)−
m∑
k=1
1
Γ(ν − k + 1) t
ν−kDm−kIm−νf(0).
Demonstrac¸a˜o: Temos
DνRI
νf(t) = DmIm−νIνf(t) = DmImf(t).
Por outro lado, note que
IνDνRf(t) = DI
ν+1Dνf(t) = D[Iν+1Dνf(t)].
24 Integrais e Derivadas Fraciona´rias
Logo,
IνDνRf(t) =
d
dt
[
1
Γ(ν + 1)
∫ t
0
(t− s)νDνf(s)ds
]
=
d
dt
[
1
Γ(ν + 1)
∫ t
0
(t− s)νDmIm−νf(s)ds.
]
Integrando sucessivamente por partes, vem que
1
Γ(ν + 1)
∫ t
0
(t− s)νDmIm−νf(s)ds = 1
Γ(ν + 1)
[(t− s)νDm−1Im−νf(s)]t0
− 1
Γ(ν + 1)
{∫ t
0
ν(t− s)ν−1Dm−1Im−νf(s)ds
}
=
1
Γ(ν + 1)
[−tνDm−1Im−νf(0)]− 1
Γ(ν)
∫ t
0
(t− s)ν−1Dm−1Im−νf(s)ds
=
1
Γ(ν + 1)
[−tνDm−1Im−νf(0)]− 1
Γ(ν)
[(t− s)ν−1Dm−2Im−νf(s)]t0
− 1
Γ(ν)
{∫ t
0
(ν − 1)(t− s)ν−2Dm−2Im−νf(s)ds
}
=
1
Γ(ν + 1)
[−tνDm−1Im−νf(0)]− 1
Γ(ν)
[−tν−1Dm−2Im−νf(0)]
+
1
Γ(ν − 1)
∫ t
0
(t− s)ν−2Dm−2Im−νf(s)ds
=
1
Γ(ν + 1)
[−tνDm−1Im−νf(0)]+ 1
Γ(ν)
[−tν−1Dm−2Im−νf(0)]
+
1
Γ(ν − 1)
∫ t
0
(t− s)ν−2Dm−2Im−νf(s)ds
...
=
1
Γ(ν + 1)
[−tνDm−1Im−νf(0)]+− 1
Γ(ν)
[−tν−1Dm−2Im−νf(0)]+ ...+
+
1
Γ(ν + 1− (m− 1)) [−t
ν−(m−1)Im−νf(0)] +
1
Γ(ν −m+ 1)
∫ t
0
(t− s)ν−mIm−νf(s)ds
= −
m∑
k=1
1
Γ(ν − k + 2) [t
ν−k+1Dm−kIm−νf(0)] +
1
Γ(ν −m+ 1)
∫ t
0
(t− s)ν−mIm−νf(s)ds
= −
m∑
k=1
1
Γ(ν − k + 2) [t
ν−k+1Dm−kIm−νf(0)] + Iν−m+1Im−νf(t)
= −
m∑
k=1
1
Γ(ν − k + 2) [t
ν−k+1Dm−kIm−νf(0)] + If(t).
Portanto,
IνDνRf(t) =
d
dt
{
−
m∑
k=1
1
Γ(ν − k + 2) [t
ν−k+1Dm−kIm−νf(0)] + If(t)
}
= −
m∑
k=1
1
Γ(ν − k + 1) t
ν−kDm−kIm−νf(0)] + f(t).
Derivada fraciona´ria segundo Riemann-Liouville 25
Disto segue que,
IνDνRf(t) = f(t)−
m∑
k=1
1
Γ(ν − k + 1) t
ν−kDm−kIm−νf(0)].
A pro´xima propriedade fornece a condic¸a˜o suficiente para que a derivada de
Riemann-Liouville de uma func¸a˜o f coincida com a derivada de Riemann-Liouville
de uma func¸a˜o g.
Propriedade 3.1. A igualdade DβRf(t) = D
β
Rg(t) e´ va´lida, se, e somente se,
f(t) = g(t) +
n∑
j=1
cjt
β−j , com t > 0 e n− 1 < β < n. (3.3.5)
Demonstrac¸a˜o: Condic¸a˜o necessa´ria. Para n ∈ N, pode-se induzir do ca´lculo usual
que
Df(t) = Dg(t)⇔ f(t) = g(t) + a1
D2f(t) = D2g(t)⇔ f(t) = g(t) + a1t+ a2.
Assim sucessivamente
Dnf(t) = Dng(t)⇔ f(t) = g(t) +
n−1∑
i=0
ait
i. (3.3.6)
Por outro lado,
DβRf(t) = D
β
Rg(t)⇔
Dn[In−βf(t)] = Dn[In−βg(t)].
Note que n e´ inteiro, enta˜o de (3.3.6), podemos escrever
In−βf(t) = [In−βg(t)]+
n−1∑
i=0
ait
i.
Aplicando o operador derivada em ambos os lados e usando o teorema 3.3
Dn−βR I
n−βf(t) = Dn−βR
[
In−βg(t) +
n−1∑
i=0
ait
i
]
f(t) = Dn−βR [I
n−βg(t)] +Dn−βR
[
n−1∑
i=0
ait
i
]
.
Logo,
f(t) = g(t) +
n−1∑
i=0
aiD
n−β
R [t
i]. (3.3.7)
Analisando Dn−βR [t
i] da equac¸a˜o (3.3.7) e usando o exemplo (3.3), obtemos
Dn−βR t
i =
Γ(i+ 1)
Γ(i− (n− β) + 1) t
−n+β+i
=
Γ(i+ 1)
Γ(i− n+ β + 1) t
−n+β+i.
26 Integrais e Derivadas Fraciona´rias
Substituindo esse u´ltimo resultado na equac¸a˜o (3.3.7)
f(t) = g(t) +
n−1∑
i=0
ai
[
Γ(i+ 1)
Γ(i− n+ β + 1) t
−n+β+i
]
= g(t) +
a0Γ(1)t
β−n
Γ(β − n+ 1) +
a1Γ(2)t
β−n+1
Γ(β − n+ 2) + ...+
an−1Γ(n)tβ−1
Γ(β)
= g(t) + c1t
β−1 + c2tβ−2 + ...+ cntβ−n
= g(t) +
n∑
j=1
cjt
β−j .
Condic¸a˜o suficiente. Aplicando o operador derivada em ambos os lados de (3.3.5)
DβRf(t) = D
β
Rg(t) +D
β
R
 n∑
j=1
cjt
β−j
 . (3.3.8)
Enta˜o, o segundo termo da equac¸a˜o (3.3.8) pode ser escrito como
DβR
 n∑
j=1
cjt
β−j
 = Dn
In−β
 n∑
j=1
cjt
β−j

= Dn
n∑
j=1
cjI
n−β [tβ−j ].
De acordo com o exemplo (3.1)
DβR
 n∑
j=1
cjt
β−j
 = Dn n∑
j=1
cj
[
tn−jΓ(β − j + 1)
Γ(n− j + 1)
]
=
n∑
j=1
(
cj
Γ(β − j + 1)
Γ(n− j + 1)D
n[tn−j ]
)
.
Mas
Dn[tn−j ] = 0,
enta˜o, segue que
DβR
 n∑
j=1
cjt
β−j
 = 0.
Portanto, de (3.3.8) conclu´ımos o resultado
DβRf(t) = D
β
Rg(t).
Derivada fraciona´ria segundo Riemann-Liouville 27
3.3.1 Transformada de Laplace
Teorema 3.4. A transformada de Laplace da derivada de Riemann-Liouville de
ordem β e´ dada por L[DβRf(t)] = sβF (s) −
m−1∑
k=0
D(k)Im−βf(0)sm−k−1, em que
L[f(t)] = F (s).
Demonstrac¸a˜o: Pela definic¸a˜o 3.4 e aplicando a transformada de Laplace vem
L[DβRf(t)] = L[Dm(Im−βf(t))].
Usando a propriedade 3.2 e o lema ??
L[DβRf(t)] = sm[s−m+βL[f(t)]]−
m−1∑
k=0
D(k)Im−βf(0)sm−1−k
= sβF (s)−
m−1∑
k=0
D(k)Im−βf(0)sm−1−k.
Observando a u´ltima expressa˜o vemos que o ca´lculo da transformada de La-
place da derivada fraciona´ria de Riemann-Liouville depende das condic¸o˜es iniciais
dadas na derivada fraciona´ria da func¸a˜o, ou seja, depende de condic¸o˜es que na˜o sa˜o
suficientemente interpretadas.
Este fato e´ uma das motivac¸o˜es para a introduc¸a˜o da derivada de Caputo que
sera´ apresentada posteriormente.
3.3.2 Aplicac¸a˜o
Em 1823 Abel desenvolveu um estudo que e´ tido como a primeira aplicac¸a˜o do
ca´lculo de ordem na˜o inteira. Mais informac¸o˜es podem ser vistas em [2, 20].
Tal estudo tinha como objetivo determinar a curva S, na qual o tempo gasto
por um objeto de massa m para deslizar (sem atrito), ate´ seu ponto de equil´ıbrio,
independente do seu ponto de partida, seja o mesmo. Esse problema e´ conhecido
como tauto´crona.
A soluc¸a˜o proposta por Abel parte do princ´ıpio da conservac¸a˜o da energia total,
isto e´, visto que o campo gravitacional e´ conservativo, a soma entre a energia cine´tica
k(t) =
mv2(t)
2
e a energia potencial, P (y(t)) = mgy(t) e´ constante.
Com isso, queremos determinar S em func¸a˜o y. Como a part´ıcula esta´ restrita
a mover-se pela curva, temos
v(t) =
dS(t)
dt
em que S e´ a distaˆncia na curva.
No instante inicial a velocidade e´ zero e a altura e´ y(0), da´ı temos para um
instante qualquer t que
mg(y0) =
mv2(t)
2
+mgy(t)
v2(t) = 2g(y0 − y)
= ±
√
2g(y0 − y)
28 Integrais e Derivadas Fraciona´rias
Da´ı
dS
dt
= ±
√
2g(y0 − y)
dS = ±
√
2g(y0 − y)dt
dt = ± 1√
2g
(y0 − y)− 12 ds
Como S ≡ S(y) enta˜o dS =
(
dS
dy
)
dy, assim
dt = ± 1√
2g
(y0 − y)− 12
(
dS
dy
)
dy (3.3.9)
A medida em que o tempo passa a altura diminui, enta˜o
dy
dt
< 0. Isso implica
que na equac¸a˜o (3.3.9) devemos considerar apenas o sinal negativo.
Por outro lado, seja τ o tempo total de descida de y0 ate´ 0, podemos escrever
τ =
∫ 0
y0
− 1√
2g
(y0 − y)− 12
(
dS
dy
)
dy
= − 1√
2g
∫ y0
0
(y0 − y)− 12
(
dS
dy
)
dy
=
Γ( 12 )√
2g
∫ y0
0
(y0 − y)− 12
Γ( 12 )
(
dS
dy
)
dy
Tomando φ 1
2
(t) =
t
1
2−1
Γ( 12 )
e φ 1
2
(t0 − t) = (t0−t)
1
2
Γ( 12 )
, obtemos
τ =
Γ( 12 )√
2g
[
φ 1
2
(y) ∗
(
dS
dt
)]
=
(
pi
2g
) 1
2
I
1
2
(
dS
dy
)
Como a derivada de Riemann-Liouville e´ o operador inverso da integral fraciona´ria
vem
D
1
2 τ =
√(
pi
2g
)
D
1
2 I
1
2
(
dS
dy
)
τ√
piy
=
√
pi
2g
dS
dy
dS
dy
=
√
2g
pi
τy−
1
2
Integrando ambos os lados a u´ltima equac¸a˜o obtemos
S(y) =
2
√
2g
pi
τy
1
2 .
Derivada fraciona´ria segundo Caputo 29
3.4 Derivada fraciona´ria segundo Caputo
A primeira definic¸a˜o de derivada fraciona´ria foi a de Riemann-Liouville, dada em
(3.4), mas somente com a definic¸a˜o de Caputo algumas aplicac¸o˜es pra´ticas foram
poss´ıveis. Para mais informac¸o˜es veja [?, 2, 8]. A seguir, a definic¸a˜o segundo Caputo
[19].
Definic¸a˜o 3.5. Sejam f(t) uma func¸a˜o diferencia´vel, m ∈ N e ν 6∈ N tais que
m− 1 < Re(ν) < m. A derivada de ordem ν no sentido de Caputo e´ definida como
sendo a integral fraciona´ria de uma derivada de ordem inteira, de forma que a lei
dos expoentes fac¸a sentido, isto e´1,
Dνf(t) = Im−ν Dmf(t) = φm−ν ∗Dmf(t). (3.4.10)
Observac¸a˜o 3.3. Note que a definic¸a˜o de derivada fraciona´ria segundo Caputo e´
mais restritiva que a definic¸a˜o de Riemann-Liouville, uma vez que requer a integra-
bilidade da derivada de ordem n da func¸a˜o. Sempre que utilizarmos o operador DνC
sera´ considerado que esta hipo´tese e´ satisfeita.
Observac¸a˜o 3.4. Para α = n, temos:
Dαf(t) = In−α[Dnf(t)]
= I0[Dnf(t)]
= Dn[f(t)]
Exemplo 3.5. Para f(t) = t0, temos
Dαt0 = In−α[Dnt0]
= 0
Exemplo 3.6. A derivada de ordem ν segundo Caputo de f(t) = tµ, µ > −1 e
µ 6= 0 e´
Γ(µ+ 1)
Γ(µ− ν + 1) t
µ−ν . (3.4.11)
Com efeito, note que
Dntµ = µ(µ− 1)(µ− 2)...(µ− n+ 1)tµ−n,
=
Γ(µ+ 1)
Γ(µ− n+ 1) t
µ−n.
Por outro lado
DνCf(t) = I
n−ν [Dnf(t)]
= In−ν
[
Γ(µ+ 1)
Γ(µ− n+ 1) t
µ−n
]
=
Γ(µ+ 1)
Γ(µ− n+ 1)I
n−ν [tµ−n]
=
Γ(µ+ 1)
Γ(µ− n+ 1)
Γ(µ− n+ 1)
Γ(µ− ν + 1) t
µ−ν
=
Γ(µ+ 1)
Γ(µ− ν + 1) t
µ−ν .
1Segue, como consequeˆncia da definic¸a˜o, que Dνtβ = tβ−νΓ(β+ 1)/Γ(β− ν + 1), que recupera
o resultado cla´ssico quando ν = n e β = m, com n,m ∈ N.
joaol
Realce
30 Integrais e Derivadas Fraciona´rias
Portanto Dαtµ ≡ DαRtµ.
Teorema 3.5. Sejam DνRf(t) a derivada fraciona´ria de f segundo Riemann-Liouville,
DνCf(t) a derivada fraciona´ria de f segundo Caputo e m o menor inteiro maior que
ν. Assim, a igualdade e´ satisfeita
DνRf(t) = D
ν
Cf(t) +
m−1∑
k=0
tk−ν
Γ(k − ν + 1)D
kf(0).
Demonstrac¸a˜o: Pela Definic¸a˜o 3.5, temos
DνCf(t) = I
m−ν [Dmf(t)]
Aplicando o operador integral em ambos os lados
IνDνCf(t) = I
νIm−ν [Dmf(t)].
Pelo teorema 3.2, obte´m-se
IνDνCf(t) = I
ν+m−ν [Dmf(t)],
= Im[Dmf(t)].
De acordo com o teorema 3.3,
IνDνCf(t) = f(t)−
n−1∑
k=0
Dkf(0)
tk
k!
.
Aplicando o operador derivada e pelo teorema 3.3
DνRI
νDνCf(t) = D
ν
R
[
f(t)−
n−1∑
k=0
Dkf(0)
tk
k!
]
= DνRf(t)−DνR
n−1∑
k=0
Dkf(0)
tk
k!
= DνRf(t)−
n−1∑
k=0
Dkf(0)
k!
DνRt
k.
Da equac¸a˜o (3.4.11) vem
DνRt
k =
Γ(k + 1)
Γ(k − ν + 1) t
−ν+µ.
Enta˜o,
DνCf(t) = D
ν
Rf(t)−
n−1∑
k=0
Dkf(0)
k!
Γ(k + 1)
Γ(k − ν + 1) t
k−ν
= DνRf(t)−
n−1∑
k=0
Dkf(0)
k!
k!
Γ(k − ν + 1) t
k−ν
= DνRf(t)−
n−1∑
k=0
Dkf(0)
Γ(k − ν + 1) t
k−ν .
Derivada fraciona´ria segundo Caputo 31
Portanto,
DνRf(t) = D
ν
Cf(t) +
n−1∑
k=0
Dkf(0)
Γ(k− ν + 1) t
k−ν .
A pro´xima propriedade fornece a condic¸a˜o para que a derivada segundo Caputo
da func¸a˜o f seja igual a derivada segundo Caputo da func¸a˜o g. A demonstrac¸a˜o
sera´ omitida. Para mais detalhes, veja [8].
Teorema 3.6. A igualdade DβCf(t) = D
β
Cg(t) e´ va´lida, se, e somente se,
f(t) = g(t) +
n∑
j=1
cjt
β−j , com t > 0 e m− 1 < β < m.
Lema 3.1. InDnf(t) = f(t)−
n−1∑
k=0
Dkf(0)
tk
k!
.
Demonstrac¸a˜o: Usando o Princ´ıpio da Induc¸a˜o Finita, temos, para n = 1:
IDf(t) =
∫ t
0
Df(s)ds
= f(t)− f(0)
= f(t)−
0∑
k=0
Dkf(0)
tk
k!
.
Agora, suponha que a proprosic¸a˜o seja verdadeira para n = m, ∀m ∈ N, ou seja,
ImDmf(t) = f(t)−
m−1∑
k=0
Dkf(0)
tk
k!
.
Da´ı,
Im+1Dm+1f(t) = I[ImDm]f(t)
= I
[
D(f)−
m−1∑
k=0
DkDf(0)
tk
k!
]
= I
[
Df(t)−
m−1∑
k=0
Dk+1f(0)
tk
k!
]
= f(t)− f(0)−
m−1∑
k=0
Dk+1f(0)
tk+1
(k + 1)!
= f(t)− D
0f(0)
0!
−
(
Df(0)
1!
t+D2
f(0)
2!
t2 + ...+Dm
f(0)
m!
tm
)
= f(t)−
m∑
k=0
Dkf(0)
tk
k!
.
Portanto pelo Princ´ıpio da Induc¸a˜o Finita, vem
InDnf(t) = f(t)−
m∑
k=0
Dkf(0)
tk
k!
.
32 Integrais e Derivadas Fraciona´rias
3.4.1 Transformada de Laplace
Nessa sec¸a˜o sera˜o introduzidos os conceitos de transformada de Laplace para a de-
rivada de Caputo, bem como a transformada de Laplace inversa para essa derivada.
Propriedade 3.2. A transformada de Laplace da derivada de ordem m e´ dada por
L[Dmf(t)] = smL[f(t)]−
m−1∑
k=0
D(k)f(0)sm−1−k.
A demonstrac¸a˜o pode ser encontrada em [2].
Teorema 3.7. A transformada de Laplace da derivada de Caputo de ordem β e´
dada por L[DβCf(t)] = sβF (s)−
m−1∑
k=0
D(k)f(0)sβ−k−1, em que L[f(t)] = F (s).
Demonstrac¸a˜o: Usando a definic¸a˜o 3.5 e aplicando a transformada de Laplace
L[DβCf(t)] = L[Im−β(Dmf(t))]
= s−m+βL[Dmf(t)].
A partir da propriedade 3.2, temos
L[DβCf(t)] = s−m+β
[
smL[f(t)]−
m−1∑
k=0
D(k)f(0)sm−1−k
]
= sβL[f(t)]−
m−1∑
k=0
D(k)f(0)sβ−1−k
= sβF (s)−
m−1∑
k=0
D(k)f(0)sβ−1−k.
Ao passo que a transformada de Laplace da derivada fraciona´ria de Riemann-
Lioville depende de condic¸o˜es na integral fraciona´ria que na˜o tem interpretac¸a˜o f´ısica
trivial, e transformada de Laplace da derivada de Caputo depende de condic¸o˜es
iniciais dadas nas derivadas usuais da func¸a˜o (que sa˜o fisicamente interpretadas).
Definic¸a˜o 3.6. A transformada de Laplace inversa de DβCf(t) e D
β
Rf(t) e´ dada
por
L−1
[
sβF (s)−
m−1∑
k=0
D(k)f(0)sβ−k−1
]
= DβCf(t)
L−1
[
sβF (s)−
m−1∑
k=0
D(k)Im−βf(0)sm−1−k
]
= DβRf(t).
Observac¸a˜o 3.5. Tanto a derivada de Riemann-Liouville quanto a de Caputo de-
pendem de uma integral que vai do instante escolhido como inicial ate´ o momento
t. Desta forma estes operadores sa˜o na˜o locais e preservam os chamados efeitos de
memo´ria [2, ?].
Derivada de Gru¨nwald− Letnikov 33
3.5 Derivada de Gru¨nwald− Letnikov
Essa formulac¸a˜o ao contra´rio das anteriores decorre diretamente da definic¸a˜o usual
de derivada. Ale´m disso, esta definic¸a˜o na˜o passa pela escolha do limite inferior
da integral. O pro´ximo operador e´ de grande utilidade em problemas envolvendo
resoluc¸o˜es que necessitam de soluc¸o˜es nume´ricas. Pore´m o incoveniente desta de-
finic¸a˜o reside no fato da derivada ser dada a partir de uma se´rie.
Sejam f uma func¸a˜o definida em um intervalo e x0 um ponto fixo no interior
desse intervalo. A partir da definic¸a˜o cla´ssica de derivadas, no´s temos que
D1f(x0) = lim
h→0
f(x0)− f(x0 − h)
h
D2f(x0) = lim
h→0
f(x0)− 2f(x0 − h) + f(x0 + 2h)
h2
...
Dnf(x0) = lim
h→0
∑n
m=0(−1)m
(
n
m
)
f(x0 −mh)
hn
Observac¸a˜o 3.6. Temos que(
n
m
)
=
n!
m!(n−m)!(
u
v
)
=
Γ(u+ 1)
Γ(v + 1)Γ(u− v + 1) , u, v 6∈ N.
A definic¸a˜o do operador de Gru¨nwald−Letnikov e´ feita como uma generalizac¸a˜o
da equac¸a˜o anterior.
Definic¸a˜o 3.7. Seja α um nu´mero real. O operador de Gru¨nwald−Letnikov (GL)
para derivadas de ordem na˜o inteira e´ definido como
Dαf(x0) = lim
h→0
∑n
m=0(−1)m
(
α
m
)
f(x0 −mh)
hα
(3.5.12)
Podemos reescrever a equac¸a˜o (3.5.12) como
Dαf(x0) = lim
h→0
h−α
n∑
m=0
w(α)m f(x0 −mh)
em que 0 < α < 1, n =
t− a
h
, com a e t sendo os limites reais do operador Dα, h e´
o espac¸amento e w
(α)
m e´ o coeficiente de Gru¨nwald− Letnikov .
Esses coeficientes, w
(α)
m sa˜o os coeficientes na expansa˜o da se´rie de poteˆncia de
(1− ξ)α, ou seja
(1− ξ)α =
n∑
m=0
w(α)ξ
m
m e w
(α)
m = (−1)m
(
α
m
)
=
Γ(m− α)
Γ(−α)Γ(m+ 1) .
Do ponto de vista pra´tico, tais coeficientes podem ser vistos pelas seguintes
fo´rmulas de recorreˆncia
joaol
Realce
34 Integrais e Derivadas Fraciona´rias
w
(α)
0 = 1 , w
(α)
j =
(
1− 1 + α
j
)
w
(α)
j−1 , j = 1, 2, ...
w
(α−1)
0 = 1 , w
(α−1)
j =
(
1− α
j
)
w
(α−1)
j−1 , j = 1, 2, ....
Sobre os coeficientes de Gru¨nwald−Letnikov podemos enunciar o seguinte lema.
A demonstrac¸a˜o e´ consequeˆncia imediata das fo´rmulas de recorreˆncia.
Lema 3.2. Sejam 0 < α < 1, w
(α)
n e w
(α−1)
n os coeficientes do operador GL. Enta˜o
para n = 1, 2, ... tem-se: −1 < w(α)n < 0 e 0 < w(α−1)n < 1.
O operador de Gru¨nwald − Letnikov usado juntamente com o operador de
Caputo, fornece diversas aplicac¸o˜es em me´todos nume´ricos, que sa˜o utilizados para
resolver equac¸a˜o diferenciais fraciona´rias [5].
Exemplo 3.7.
D
1
2 = lim
h→0
1
h
1
2
∞∑
k=0
(
1
2
1
)
f(t0 − kh)
= lim
h→0
1
h
1
2
[(
1
2
0
)
f(t0)−
(
1
2
1
)
f(t0 − h) +
(
1
2
2
)
f(t0 − 2h)−
(
1
2
3
)
f(t0 − 3h) + ...
]
= lim
h→0
1
h
1
2
[
f(t0)− 1
2
f(t0 − h)− 1
23
f(t0 − 2h)− 1
24
f(t0 − 3h) + ...
]
Exerc´ıcios 35
3.6 Exerc´ıcios
1. Calcule a integral fraciona´ria de ordem 1/2 de f(t) = t2.
2. Calcule:
a) D
1
2
R t
−
1
2
b) D
1
2
R [D
1
2 t
−
1
2 ]
c) D1Rt
1
2
d) D
3
2
R t
−
1
2
3. Mostre que a derivada de ordem ν segundo Riemann-Liouville de f(t) = tµ,
µ > −1 e µ 6= 0 e´ DνRf(t) =
Γ(µ+ 1)
Γ(µ− ν + 1) t
µ−ν .
4. Mostre que a igualdade DβCf(t) = D
β
Cg(t) e´ va´lida, se, e somente se, f(t) =
g(t) +
n∑
j=1
cjt
β−j , com t > 0 e m− 1 < β < m.
5. Mostre que a transformada de Laplace da derivada de ordem m e´ dada por
L[Dmf(t)] = smL[f(t)]−
m−1∑
k=0
D(k)f(0)sm−1−k.
36 Exerc´ıcios
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	Cálculo Fracionário: Aspectos Históricos
	Introdução
	O cálculo diferencial e integral usual: breve histórico
	Uma questão contra-intuitiva: o nascimento do Cálculo Fracionário
	Uma cronologia do CF
	O CF no Brasil
	Exercícios
	Conceitos Preliminares
	Transformada de Laplace
	Existência da TL
	Exemplos
	TL das derivadas de f(t)
	Transformada de Laplace Inversa
	Produto de Convolução
	Função Gama
	Relações envolvendo a função Gama
	Extensão da Função Gama
	Função Beta
	Função de Gel'Fand Shilov
	Função de Mittag-Leffler
	Função de Mittag-Leffler com dois parâmetros
	Exemplos e casos particulares
	Transformada de Laplace
	Exercícios
	Integrais e Derivadas Fracionárias
	Integral Fracionária
	Considerações sobre o exemplo anterior
	Escolha do limite inferior
	Integral fracionária de Riemann-Liouville
	Lei dos expoentes
	Derivada fracionária segundo Riemann-Liouville
	Transformada de Laplace
	Aplicação
	Derivada fracionária segundo Caputo
	Transformada de Laplace
	Derivada de Grnwald-Letnikov
	Exercícios