Problem 4.14

Prévia do material em texto

Problem 4.14 [Difficulty: 3] 
 
 
 
Given: Data on velocity field and control volume geometry 
 
Find: Surface integrals 
 
Solution: 
 
First we define the area and velocity vectors 
 
jdxdzidydzAd ˆˆ +=r kcjbyiaxV ˆˆˆ ++=r or kjyixV ˆˆ2ˆ2 ++=r 
We will need the equation of the surface: xy
2
3= or yx
3
2= 
Then 
 ( ) ( )
( )
s
m2466
4
32
3
12
2
3
3
2
ˆˆˆˆˆ
3
2
0
2
3
0
2
2
0
2
0
2
0
3
0
2
0
2
0
2
0
3
0
−=−−=
−−=−−=−−=
−⋅++−=⋅
∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫
∫∫
baQ
xbyaxdxdzbydydzadzbydxdzaxdy
jdxdzidydzkcjbyiaxdAV
AA
r
 
We will again need the equation of the surface: xy
2
3= or yx
3
2= , and also dxdy
2
3= and ba = 
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( )
2
4
22
2
0
22
0
3
2
2
0
3
2
2
0
2
0
2
0
2
0
22
2
0
2
0
22
s
mˆ60ˆ96ˆ64
ˆ12ˆ24ˆ16
2
6ˆ
3
9ˆ
3
6
ˆ3ˆ
2
9ˆ3
3ˆˆ
2
3ˆ
2
3
2
3ˆˆ
2
3ˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆˆ
kji
kacjaiaxacjxaixa
kdzacxdxjdzdxxaidzdxxa
axdxdzkcjaxiax
xdxdzadxdzaxkcjaxiax
bydxdzaxdydzkcjbyiax
jdxdzidydzkcjbyiaxkcjbyiaxAdVV
A
A
A
AA
−−=
−−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
−−=
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++−=
−−++−=
−⋅++−++−=⋅
∫ ∫∫ ∫∫ ∫
∫
∫
∫
∫∫ rrr
 
x 
y 
5 m
4 m
3 m 
z