AULA 3

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AULA 3
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS (continuação)
OBJETIVO DESTA AULA:
	Ao final desta aula, você será capaz de:
1- 	Identificar mais algumas aplicações de funções vetoriais de uma variável real, tais como vetor tangente unitário e vetor normal principal;
2- 	Reconhecer o cálculo de curvatura.
INTRODUÇÃO
	Nesta aula, apresentaremos mais algumas aplicações de funções vetoriais de uma variável real. Veremos vetor tangente unitário e vetor normal principal. Além de apresentarmos o cálculo de curvatura. Tais conteúdos são muito utilizados em várias disciplinas, por exemplo, na Física.
	Nesta aula, daremos continuidade na aplicação das funções vetoriais de uma variável real, esses conteúdos estão muito presente na disciplina de Física. São elas:
• 	Vetor Tangente Unitário;
• 	Vetor Normal Principal;
• 	Curvatura.
1º VETOR TANGENTE UNITÁRIO
	Para definir o vetor tangente unitário devemos primeiro lembrar quem é o vetor tangente. Vimos, na aula anterior, que o vetor velocidade instantânea é sempre tangente à trajetória no ponto em que a partícula se encontra (definição das derivadas), portanto:
	Vetor Tangente será dado pela derivada do vetor posição σ (t). 
	Aprendemos, em cálculo vetorial, que toda vez que queremos um vetor unitário deveremos dividir o vetor por seu módulo (cálculo do versor de σ’(t)).
NOTAÇÃO:
OBSERVAÇÃO: Quando uma partícula se move ao longo de uma curva C, o vetor T(t), sendo de comprimento constante, muda somente de direção, conforme pode ser visto na figura abaixo.
	
	
EXEMPLO 1: Encontre o vetor T(t) a curva σ(t) = ( cos Θ, sen Θ), t ≥0
	
2º VETOR NORMAL PRINCIPAL
	Como vimos anteriormente, quando uma partícula se move ao longo de uma curva C, o vetor T(t), sendo de comprimento constante, muda somente de direção. A variação desta direção é medida pela derivada. Portanto podemos concluir utilizando a teoria vista na disciplina de Cálculo e recordada na aula passada, que T(t) é perpendicular a T’(t).
 	Se fizermos o vetor de T’(t), ou seja, calcular o vetor unitário de T’(t), encontraremos o vetor que denominamos como Normal Principal.
NOTAÇÃO:
	Geometricamente o vetor Normal unitário é perpendicular a σ’(t) apontando para parte interna da curva (parte côncava da curva), onde a curva muda de direção.
OBSERVE: Se ||σ’(t)|| = c, onde c é uma constante, podemos por meio da definição de comprimento (teoria vista em cálculo vetorial), ||σ’(t)|| = σ’(t) σ’(t) = c2. Se derivarmos tal expressão teremos (usando a regra do produto): σ’(t) σ’’(t) + σ’(t) σ’(t) = 0. Então 2 σ’’(t) σ’(t)  = 0 e portanto σ’’(t) σ’(t)  = 0, pela teoria aprendida em cálculo vetorial, podemos afirmar que σ’’(t) é perpendicular a σ’(t).
TEOREMA: Considere uma partícula em movimento que possui o vetor posição σ(t). Tomemos a velocidade da partícula como v(t) =‖σ′ (t)‖, este diferente de zero, então o vetor aceleração A(t) pode ser dado da seguinte forma:
A (t) = v’ (t) T (t) + v (t) T’ (t)
	Para demonstrar tal fato devemos tomar 
	Podemos reescrever como )
	Derivando o produto encontraremos , como queríamos demonstrar.
OBSERVAÇÃO: De forma análoga podemos demonstrar que se T’(t) ≠ 0, temos:
	At = componente tangencial da aceleração (T(t))
	Av = componente norma da aceleração (N(t))
EXEMPLO 1: Encontre o vetor N(t) a curva 
3º CURVATURA
DEFINIÇÃO: O arqueamento de uma curva é a taxa de variação de sua direção, ou seja, a velocidade com que a tangente muda de direção por unidade de comprimento.
OBSERVE: A curvatura de uma reta é nula, pois o vetor tangente é constante. Podemos então entender o cálculo da curvatura como a medida do quando a curva C deixa de ser uma reta. 
Trecho encontrado em: http://homes.dcc.ufba.br/~frieda/genoma/curvasparametrizadas.html
	Portanto podemos desenvolver a definição de curvatura, utilizando a regra da cadeia e observar que 
	Logo podemos definir a curvatura como sendo: .
	Vamos ver um exemplo clássico encontrado na literatura.
EXEMPLO 1: Determine a curvatura da circunstância de raio a e centro na origem. A parametrização de tal curva será: 
Portanto e . Logo 
TEOREMA: Se uma partícula em movimento possui vetor velocidade V(t), velocidade v(t), vetor aceleração A(t) e curvatura k(t), então: .
 e esta fórmula implicará que 
LEMBRE-SE: indica produto vetorial.
	Para demonstrar tal fato basta fazer o produto vetorial de A(t) e V(t).
	Tomemos e V(t) = v(t) T(t). Portanto A x V = v’v T x T + k v3 NxT = kv3N x T. (Lembre-se T x T = 0). Como . Obtemos então que e 
	Para curvas planas y = f(x) podemos desenvolver e concluir que 
RAIO DE CURVATURA DA TRAJETÓRIA EM UM DADO PONTO P
	Suponha C uma trajetória lisa definida por uma função vetorial, não retilínea, com um ponto P da trajetória.
DEFINIÇÃO: Raio da curvatura será definido como 
	O círculo que passa por P e tem raio ρ(t) e que tem centro na semirreta normal que contém N(t) é chamado de círculo de curvatura (ou círculo osculador). É o círculo que melhor descreve o comportamento da curva C perto de P, este tem a mesma tangente, a mesma normal e a mesma curvatura da curva C no ponto P. Esta definição nos mostra que pequenos círculos têm uma grande curvatura, enquanto grandes círculos têm uma pequena curvatura.
SAIBA MAIS
NOTA: Vetor binormal, B(t) = T(t) x N(t), é perpendicular a T e N e também é unitário. O plano determinado pelo vetor normal e pelo vetor binormal num ponto P sobre a curva C é chamado de plano normal e o plano determinado por T(t) e N(t) é chamado de plano osculador de C em P, este é o plano que mais se aproxima de conter a parte da curva próxima a P. Para uma curva plana, o plano osculador é o plano que contém a curva.
	Veremos a seguir um exemplo clássico encontrado em todas as literaturas:
EXEMPLO 1: A curvatura de um círculo de raio a, com centro na origem definida por σ(t) = (a cos t, a sen t), t pertencendo ao intervalo fechado de [0, 2π], é constante e igual 1/a. 
DEMONSTRAÇÃO:
 e , portanto então v(t) = a
 E .
	Então: . Logo k(t) = 1/a
NOTA: O conteúdo estudado nesta aula e na anterior faz parte da demonstração das Leis de Kepler. Tais leis tratam do movimento planetário, estudado por Johannes Kepler e você pode pesquisar mais para conhecê-las.
	A SÍNTESE DA AULA
Nesta aula, você:
Identificou mais algumas aplicações de funções vetoriais de uma variável real, tais como vetor tangente unitário e vetor normal principal;
Reconheceu o cálculo de curvatura.