RESUMO CÁLCULO NUMÉRICO

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RESUMO DE CÁLCULO NUMÉRICO PARA P2
Polinômio de LaGrange:
	L20	 L21	L22
O modelo acima é para um polinômio de grau 2;
O polinômio de grau 2 depende de 3 pontos tabelados
O polinômio de grau 3 depende de 4 pontos tabelados, e assim por diante...
Para testar o polinômio, substituir um valor de x da tabela e o resultado deve ser sua respectiva f(x) apresentada na tabela.
Polinômio de Newton
O polinomio de newton depende de algumas condições para funcionar:
Os valores para interpolação devem estar entre 0 e 1;
O passo da variável independente deve ser constante;
Caso a tabela da variável independente comece em 2, 3, qualquer número, será necessário efetuar uma mudança de variável para variável independente;
Para construir o polinômio de Newton:
Montar a tabela das diferenças, conforme exemplo abaixo:
	x
	f(x)
	Δf
	Δ2f
	Δ3f
	Δ4f
	0
	1,221
	0,271
	0,059
	0,015
	-0,001
	1
	1,492
	0,330
	0,074
	0,014
	0,008
	2
	1,822
	0,404
	0,088
	0,022
	
	3
	2,226
	0,492
	0,110
	
	
	4
	2,718
	0,602
	
	
	
	5
	3,320
	
	
	
	
Nesta tabela acima, acompanhar cada passagem do delta com seu respectivo erro, pois a partir do momento que o erro for MAIOR do que o valor da tabela de diferenças, descartamos tudo que vier após esse ponto.
	x
	fx
	Δf
	Δ2f
	Δ3f
	Δ4f
	0
	1,221
	0,271
	0,059
	0,015
	-0,001
	1
	1,492
	0,330
	0,074
	0,014
	0,008
	2
	1,822
	0,404
	0,088
	0,022
	16E≤0,0080
	3
	2,226
	0,492
	0,110
	8E≤0,0040
	
	4
	2,718
	0,602
	4E≤0,0020
	
	
	5
	3,320
	2E≤0,0010
	
	
	
	
	E≤0,0005
	
	
	
	
Conforme destacado em vermelho, o erro é igual ao valor da tabela de diferenças, portanto o polinômio de newton será de grau 3 - última coluna válida da tabela de diferenças
A fórmula para o polinômio de Newton de grau 3 segue abaixo. Graus maiores ou menores seguem o mesmo padrão. Para a tabela em específico deste exercício, será a segunda equação demonstrada:
A partir da segunda equação, desenvolvemos as distributivas e reduzimos os termos semelhantes para chegar no polinômio interpolador de Newton.
Integração Numérica
Existem dois métodos para o cálculo de integrais numericamente, que são os métodos do Trapézio e de Simpson.
Trapézio:
Usa dois pontos tabelados;
Passo constante;
Menor precisão do que Simpson, (usando o mínimo de pontos tabelados);
Para tabelas maiores, aplicar o método quantas vezes necessário;
"Transformamos" na fórmula da integral em uma f(x), para calcular o valor numérico.
Como usar o método - Exemplo:
Definição do passo - o passo é definido da seguinte forma:
Tabelamos o valor da função a ser integrada, para cada ponto da tabela, usando o passo calculado:
	x
	f(x)
	1
	0,5000 - f(xo)
	1,2
	0,3254 - f(x1)
	1,4
	0,2065- f(x2)
222)
	1,6
	0,1324- f(x3)
	1,8
	0,0870- f(x4)
	2,0
	0,0588- f(x5)
Na tabela, a fórmula do trapézio será aplicada cinco vezes:
T1 - Usando f(xo) e f(x1)
T2 - Usando f(x1) e f(x2)
T3 - Usando f(x2) e f(x3)
T4 - Usando f(x3) e f(x4)
T5 - Usando f(x4) e f(x5)
A fórmula padrão do trapézio segue abaixo e, em seguida, a aplicação do exemplo:
O resultado apresentado deverá ser sempre um número acompanhado do final "+ erro" caso não seja solicitado calcular o erro de truncamento.
Simpson:
O método de Simpson para integração numérica é, na quantidade mínima de pontos, mais preciso do que o método do trapézio. Este método funciona da seguinte forma:
Utiliza três pontos tabelados;
Utiliza passo constante, assim como o trapézio;
Em tabelas maiores, o processo é aplicado quantas vezes necessário;
"Transformamos" na fórmula da integral em uma f(x), para calcular o valor numérico.
Como usar o método - Exemplo:
Primeiro, calculando o passo:
Tabelamos o valor da função a ser integrada, para cada ponto da tabela, usando o passo calculado:
	x
	f(x)
	1,00
	2,0000 - f(xo)
	1,25
	2,2789 - f(x1)
	1,50
	2,6082- f(x2)
222)
	1,75
	2,9793- f(x3)
	2,00
	3,3863- f(x4)
	2,25
	3,8246- f(x5)
	2,50
	4,2907 - f(x6)
Na tabela, a fórmula de Simpson será aplicada três vezes:
S1 - Usando de f(xo) a f(x2)
S2 - Usando de f(x2) a f(x4)
S3 - Usando de f(x4) a f(x6)
Abaixo, será apresentada a fórmula padrão de Simpson (três pontos tabelados) e, em seguida, a fórmula para o exercício:
	
O resultado apresentado deverá ser sempre um número acompanhado do final "+ erro" caso não seja solicitado calcular o erro de truncamento.
Erro de Truncamento
O erro de truncamento é calculado a partir de duas fórmulas: uma para o método do trapézio e outra para o método de Simpson.
Para o método do trapézio:
Ou seja, deveremos derivar duas vezes a função que deve ser integrada e, dentro do intervalo tabelado (com o cálculo do passo), deveremos calcular, para qual valor de x a segunda derivada irá assumir o maior valor.
Depois de calculado o valor do erro de truncamento, deveremos SEMPRE arredondar esse valor para cima
Para o método de Simpson:
Ou seja, deveremos derivar quatro vezes a função que deve ser integrada e, dentro do intervalo tabelado (com o cálculo do passo), deveremos calcular, para qual valor de x a segunda derivada irá assumir o maior valor.
Depois de calculado o valor do erro de truncamento, deveremos SEMPRE arredondar esse valor para cima
Erro de Arredondamento - Método do Trapézio:
O erro de arredondamento é calculado através da seguinte fórmula:
Erro de Arredondamento - Método de Simpson:
O erro de arredondamento é calculado através da seguinte fórmula:
Observação importante: Para ambos os métodos, o erro geral, definido por |Eg| é resultado da soma do erro de truncamento com o erro de arredondamento. Depois de calcular o erro geral, assim como o erro de truncamento, o valor final deverá ser arredondado para cima.
Equações Diferenciais Ordinárias - EDO's
Método de Euler - Modificado
Para calcular uma EDO utilizando o método de Euler - Modificado, devemos seguir os seguintes passos listados abaixo. Vale lembrar que para o cálculo da EDO, algumas condições iniciais precisam ser dadas, como algum valor de y, etc.
Montar as fórmulas para o método, deixando em função de x, y e respectivos K's;
Calcular f(x + h) e montar a tabela.
As fórmulas para o método de Euler-Modificado são:
Exemplo: Calcular a EDO . Dados: y(0) = 1, h = 0,2, intervalo [0,1]
Montar as fórmulas para o método, deixando em função de x, y e respectivos K's
 
Com as fórmulas montadas, podemos iniciar o cálculo dos valores da tabela:
	x
	y
	k1
	k2
	0
	1
	0
	0,1
	0,2
	1,02
	0,204
	0,31212
	0,4
	1,0824
	0,43296
	0,562848
	0,6
	1,1949696
	0,71698176
	0,8866674432
	0,8
	1,37230308864
	1,09784247091
	1,33387860216
	1,0
	1,63907880907
	
	
Obs: Coforme informado, é necessário uma condição inicial. Neste caso, a condição inicial foi que y(0) = 1
Método de Runge - Kutta de 4º Ordem
Este é outro método para o cálculo de EDO's, porém este método utiliza mais fórmulas para efetuar o processo. Os passos a serem seguidos para calcular a EDO são os mesmos utilizados no método de Euler - Modificado
	
Montar as fórmulas para o método, deixando em função de x, y e respectivos K's;
Calcular f(x + h) e montar a tabela.
As fórmulas para o método de Runge-Kutta de 4º Ordem são:
	
Exemplo: Calcular a EDO . Dados: y(1) = 1 / h = 0,1 / 1 ≤ x ≤ 1,5
Montar as fórmulas para o método, deixando em função de x, y e respectivos K's
Com as fórmulas montadas, podemos iniciar o cálculo dos valores da tabela:
	x
	y
	k1
	k2
	k3
	k4
	11
	2
	2,31
	2,3426
	2,7154
	1,1
	1,2357
	2,7141
	3,1496
	3,1997
	3,7288
	1,2
	1,5527
	3,7265
	4,3476
	4,4252
	5,1876
	1,3
	1,9937
	5,1836
	6,0828
	6,2042
	7,3195
	1,4
	2,6116
	7,3125
	8,6340
	8,8256
	10,4825
	1,5
	3,4902
	
	
	
	
Obs: Coforme informado, é necessário uma condição inicial. Neste caso, a condição inicial foi que y(1) = 1
T1�T2�T3�T4�T5
S1����
S2����
S3����