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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Matema´tica 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 15
Temas abordados : Integrac¸a˜o por partes
1) Use integrac¸a˜o por partes para calcular as integrais abaixo.
(a)
∫
x cos
(x
2
)
dx (b)
∫
x2 ln(2x)dx (c)
∫
xe3xdx
(d)
∫
ln(5x)dx (e)
∫
x3e−xdx (f)
∫
4x sec2(2x)dx
(g)
∫
x(x+ 1)8dx (h)
∫
x√
x+ 2
dx (i)
∫
lnx
x2
dx
2) Em cada um dos itens abaixo, determine a func¸a˜o y(x) que satisfaz as condic¸o˜es indicadas.
(a) y′(x) = (1− x)ex e y(0) = 4.
(b) y′(x) = x2 cos(x) e y(pi) = 0.
(c) y′(x) = x ln(
√
x) e o gra´fico de y(x) passa pelo ponto (2,−3).
(d) y′(x) = e2xsen(x) e o gra´fico de y(x) passa pelo ponto (0, 4
5
).
3) Para os itens abaixo, considere a integral
∫
x
√
x+ 5 dx.
(a) Resolva a integral usando a mudanc¸a de varia´veis u = x+ 5.
(b) Resolva a integral novamente usando integrac¸a˜o por partes.
(c) Verifique que, embora as soluc¸o˜es encontradas nos itens acima sejam diferentes, a
diferenc¸a entre elas e´ constante.
4) Calcule as integrais abaixo usando, antes da integrac¸a˜o por partes, uma substituic¸a˜o
apropriada.
(a)
∫
x7 cos(x4)dx (b)
∫
e
√
xdx (c)
∫
x3ex
2
dx
5) Apo´s identificar a te´cnica apropriada, determine o valor das integrais abaixo.
(a)
∫
xex
2
dx (b)
∫
tan(x)dx (c)
∫
sen(lnx)dx
(d)
∫
x ln(x)dx (e)
∫
cos(1/x)
x2
dx (f)
∫
x sen(2x)dx
Lista de Exerc´ıcios – Semana 15 - Pa´gina 1 de 2
RESPOSTAS
1) Em todos os itens abaixo C ∈ R e´ uma constante de integrac¸a˜o.
(a) 2x sen
(
x
2
)
+ 4 cos
(
x
2
)
+ C
(b) 1
3
x3 ln(2x)− 1
9
x3 + C
(c) 1
3
xe3x − 1
9
e3x + C
(d) x ln(5x)− x+ C
(e) −e−x(x3 + 3x2 + 6x+ 6) + C
(f) 2x tan(2x) + ln(cos(2x)) + C
(g) (x+1)
10
10
− (x+1)9
9
+ C
(h) 2x
√
x+ 2− 4
3
(x+ 2)3/2 + C
(i) − 1
x
(1 + ln x) + C
2) (a) y(x) = (2− x)ex + 2
(b) y(x) = x2 sen(x)− 2 sen(x) + 2x cos(x) + 2pi
(c) y(x) = x
2
4
(
lnx− 1
2
)− 5
2
− ln 2
(d) y(x) = −1
5
e2x cos(x) + 2
5
e2x sen(x) + 1
3) (a) 2
3
x(x+ 5)3/2 − 4
15
(x+ 5)5/2 + C1, com C1 ∈ R
(b) 2
5
(x+ 5)5/2 − 10
3
(x+ 5)3/2 + C2, com C2 ∈ R
(c) a diferenc¸a entre a func¸a˜o do item (a) e a do item (b) e´ igual a −20
3
+ C1 − C2
4) Em todos os itens abaixo C ∈ R e´ uma constante de integrac¸a˜o.
(a) 1
4
cos(x4) + 1
4
x4 sen(x4) + C
(b) 2e
√
x(
√
x− 1) + C
(c) e
x2
2
(x2 − 1) + C
5) Em todos os itens abaixo C ∈ R e´ uma constante de integrac¸a˜o.
(a) 1
2
ex
2
+ C
(substituic¸a˜o)
(b) − ln(| cos(x)|) + C
(substituic¸a˜o)
(c) x
2
( sen(ln(x))− cos(ln(x))) + C
(partes 2 vezes)
(d) x
2
2
ln(x)− x2
4
+ C
(partes)
(e) − sen( 1
x
) + C
(substituic¸a˜o)
(f) 1
4
sen(2x)− 1
2
x cos(2x) + C
(partes)
Lista de Exerc´ıcios – Semana 15 - Pa´gina 2 de 2