Exercícios resolvidos CAP.12 - Gravitação

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1. Determine a velocidade necessária para se escapar da atração gravitacional de um 
asteróide de raio R e densidade volumétrica ρ. 
 
Dados: R e ρ. 
Resolução: 
Velocidade de escape (ve) é a velocidade inicial 
mínima necessária para se escapar da atração 
gravitacional de um corpo, partindo-se da superfície 
do mesmo e chegando ao repouso somente no infinito. 
Nessa distância, a energia mecânica será nula. Assim, 
pelo princípio de conservação da energia mecânica, 
E(R) = E(∞) (1) 
U(R) + K(R) = U(∞) + K(∞) = 0 (2) 
0
2
1 2
e =+− mv
R
GMm
 (3) 
R
GM
v
2
e = (4) 
Mas, como ρπ=ρ= 3
3
4
RVM (5) 
ρ
π
= GRv
3
8
e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA – CCE 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – FIS 205 
CAPÍTULO 12 – GRAVITAÇÃO 
 
 
2. (a) Segundo o livro “Da Terra até a Lua” escrito por Júlio Verne em 1865, um objeto foi 
arremessado por um gigantesco canhão, na superfície da Terra, em direção à Lua. 
Desprezando a resistência do ar, a rotação da Terra, a atração da Lua e, sabendo que 
a massa da Terra é M, o raio da Terra R e a constante gravitacional G, determine a 
velocidade mínima do objeto na boca do canhão para que o mesmo atinja uma altura 
igual ao raio da Terra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Duas partículas, A (massa M) e B (massa 4M), encontram-se separadas por uma 
distância L. A que distância (x) da partícula A, na linha que une A e B, devemos colocar 
uma terceira partícula, de tal forma que a força gravitacional resultante exercida pelas 
partículas A e B sobre ela seja nula? Expresse sua resposta em função de L. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R 
M 
m 
v
r
 
h 
Terra 
Pelo Princípio de Conservação da Energia Mecânica, a energia 
mecânica do objeto no lançamento, na superfície da Terra deverá 
ser no mínimo suficiente para que o objeto “apenas” atinja uma 
altura h = R. Neste caso a Energia cinética a uma altura h poderá 
ser igual a zero. 
R
GM
v
R
GM
R
GM
v
R
GMm
R
GMm
mv
R
GMm
mv
R
GMm
UKU
EE
fii
finalinicial
=





=




 −=
−=
−=+−
=+
=
2
1
2
1
1
2
1
22
1
22
1
2
2
2
 
Lx
Lx
xLx
x
xL
x
xL
xL
MmG
x
GMm
FF
F
BA
3
1
3
2
2
4
)(
)(
4
0
2
2
22
=
=
−=
=
−
=
−
−
=
=
=∑
r
 
L - x 
0 
x 
B A 
M 4M m AF
r
 BF
r
 
x 
3. É teoricamente possível colocar um satélite entre a Terra e o Sol, sobre a reta que une os 
dois astros, num ponto onde as forças gravitacionais do Sol e da Terra sobre o satélite se 
combinam de modo que a órbita do satélite seja circular e síncrona com o movimento de 
revolução da Terra. O satélite fica sempre sobre a reta que une o centro do Sol ao centro 
da Terra. Dar a expressão da velocidade orbital v do satélite, nessa situação, em função 
de G, MS, MT, D e r. 
Dados: G, MS, MT, D e r 
 
Solução: ∑ −= radrad maF 
cTS maFF −=+− ×(-1) 
r
v
m
rD
mGM
r
mGM TS
2
22 )(
=
−
− 




×
m
r
 
Resposta: 
( ) 




−
−=
2
rD
rM
r
M
Gv TS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MS 
MT 
r 
D 
m 
Sol 
Satélite 
Terra