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Um convite à matemática_Daniel C Filho

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1, se chamarmos ‘T : Pedro e´ terra´queo’ e ‘B: Pedro e´ brasileiro’ temos ‘B ⇒ T ’, mas
‘T 6⇒ B’ (Observac¸a˜o: 6⇒ e´ a negac¸a˜o de ⇒. Leˆ-se ‘T 6⇒ B’ da seguinte forma: ‘T na˜o implica B’),
pois, evidentemente, existem terra´queos que na˜o sa˜o brasileiros; nesse caso, diz-se que ‘ser brasileiro’ e´
uma condic¸a˜o suficiente, mas na˜o necessa´ria para que Pedro seja terra´queo. Ainda nesse caso, podemos
dizer que ‘ser terra´queo’ e´ uma condic¸a˜o necessa´ria, mas na˜o suficiente para que Pedro seja brasileiro.
Ja´ o Exemplo 2 e´ um fato verdadeiro, bastante conhecido.
O Exemplo 3 e´ falso, pois podemos escrever 26 = 2.13. Logo, se ‘R: Dois nu´meros inteiros
terminam em 6’ e ‘S: O produto desses nu´meros termina em 6’, temos ‘R ⇒ S’, mas ‘S 6⇒ R’.
Dessa forma, dizemos que ‘dois nu´meros terminarem em 6’ e´ condic¸a˜o suficiente, mas na˜o necessa´ria
para que seu ‘produto termine em 6’ ou que, ‘o produto (de dois nu´meros) terminar em 6’ e´ uma condic¸a˜o
necessa´ria, mas na˜o suficiente para que ‘dois nu´meros terminem em 6’.
EXERCI´CIOS:
1. A recı´proca de um teorema tambe´m e´ um teorema? Por queˆ?
2. Enuncie a recı´proca de cada teorema a seguir usando o mesmo estilo com que cada um foi apre-
sentado:
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Capı´tulo 4. Desvendando os teoremas-Parte I
(a) Se duas retas forem cortadas por uma transversal, e as medidas dos aˆngulos correspondentes
forem iguais, enta˜o essas retas sa˜o paralelas.
(b) Todo nu´mero da forma 4n+ 3 e´ ı´mpar.
(c) Uma condic¸a˜o necessa´ria para que uma equac¸a˜o do tipo ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f
represente uma circunfereˆncia no plano cartesiano e´ que a = b 6= 0 e c = 0.
(d) Um nu´mero e´ divisı´vel por 8 se o nu´mero formado por seus u´ltimos treˆs algarismos for
divisı´vel por 8.
(e) Uma condic¸a˜o suficiente para que o logaritmo de um nu´mero seja negativo e´ que este nu´mero
esteja no intervalo (0, 1).
3. A recı´proca do Teorema de Pita´goras e´ verdadeira. Enuncie o Teorema de Pita´goras e sua recı´proca.
Figura 4.3: Selo grego exibindo um dos casos mais importantes do Teorema de Pita´goras: 52 = 32 + 42
4. Verifique se a recı´proca de cada proposic¸a˜o abaixo e´ va´lida. Em caso afirmativo, enuncie essa
recı´proca de, pelo menos, duas maneiras distintas:
(a) Todo quadrado e´ um polı´gono de lados congruentes.
(b) Uma condic¸a˜o necessa´ria para que um nu´mero seja mu´ltiplo de 8 e´ que esse nu´mero seja par.
(c) Toda reta tangente a uma circunfereˆncia e´ perpendicular ao raio no ponto que a tangencia.
(d) Se dois nu´meros sa˜o negativos, enta˜o sua soma tambe´m e´ negativa.
(e) Uma condic¸a˜o suficiente para que uma reta seja perpendicular a um plano e´ que ela seja
perpendicular a duas retas concorrentes desse plano
5. Deˆ exemplo de sentenc¸as matema´ticas implicativas tais que:
(a) A sentenc¸a e sua recı´proca sejam verdadeiras.
(b) A sentenc¸a e sua recı´proca sejam falsas.
(c) A sentenc¸a seja verdadeira e sua recı´proca seja falsa.
(d) A sentenc¸a seja falsa e sua recı´proca seja verdadeira.
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4.4. Sentenc¸as equivalentes
4.4 Sentenc¸as equivalentes
E quando vale a recı´proca de uma sentenc¸a?
Se tivermos duas proposic¸o˜es P e Q, tais que ‘P ⇒ Q’ e, simultaneamente, sua recı´proca ‘Q⇒ P ’
sejam va´lidas, dizemos que
“(A sentenc¸a ) P (vale) se, e somente se (a sentenc¸a) Q (vale)”,
ou
“(A sentenc¸a ) P e´ condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para (a sentenc¸a) Q”
ou ainda
“(A sentenc¸a ) P e´ equivalente a (sentenc¸a) Q”.
Neste caso, e´ natural que denotemos o fato acima como “P ⇔ Q”.
OBSERVAC¸A˜O: Pode-se tambe´m ler a sentenc¸a “P ⇔ Q” da seguinte maneira:
1. Se P , enta˜o Q, e reciprocamente.
2. Se P for va´lida, enta˜o Q sera´ va´lida, e reciprocamente.
Acrescentando “e reciprocamente” ao final da frase, seguem-se todas as maneiras de se ler uma
implicac¸a˜o como exibimos no final da sec¸a˜o anterior.
Exemplo de sentenc¸a equivalente enunciada de maneiras diferentes:
Algumas das formas que usaremos para apresentar o resultado a seguir podem na˜o ser as mais usuais,
mas, com certeza, sa˜o instrutivas.
EXEMPLO 4: “Dois nu´meros complexos sa˜o raı´zes da equac¸a˜o ax2+bx+c = 0, a, b, c ∈ C, a 6= 0
se, e somente se um deles for
−b+√b2 − 4ac
2a
e o outro for
−b−√b2 − 4ac
2a
.”
Poderı´amos escrever:
“Uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que dois nu´meros complexos sejam raı´zes da equac¸a˜o
ax2+bx+c = 0, a, b, c ∈ C, a 6= 0, e´ que um deles seja −b+
√
b2 − 4ac
2a
e o outro seja
−b−√b2 − 4ac
2a
.”
Usando a linguagem de conjuntos:
“Se R = {raı´zes complexas da equac¸a˜o ax2 + bx+ c = 0, a, b, c ∈ C, a 6= 0} e
S =
{−b+√b2 − 4ac
2a
,
−b−√b2 − 4ac
2a
}
, enta˜o S = R.”
(Observe que S ⊂ R e R ⊂ S).
Ou ainda:
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Capı´tulo 4. Desvendando os teoremas-Parte I
“As condic¸o˜es abaixo sa˜o equivalentes:
i) Dois nu´meros complexos x1 e x2 sa˜o raı´zes da equac¸a˜o ax2 + bx+ c = 0, a, b, c ∈ C, a 6= 0;
ii)Um dos nu´meros complexos x1 ou x2 e´ igual a
−b+√b2 − 4ac
2a
, e o outro e´ igual a
−b−√b2 − 4ac
2a
.”
Ou usando mais sı´mbolos:
“Os nu´meros complexos x1 e x2 sa˜o raı´zes da equac¸a˜o ax2 + bx + c = 0, a, b, c ∈ C, a 6= 0⇔ um
deles for
−b+√b2 − 4ac
2a
e o outro for
−b−√b2 − 4ac
2a
.”
EXEMPLO 5:
Em vez de enunciar:
“Uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que um raio de um cı´rculo seja perpendicular a uma
corda (que na˜o e´ um diaˆmetro) e´ que ele a divida em dois segmentos congruentes”,
poderı´amos ter escrito:
“Uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que um raio de um cı´rculo divida uma corda (que na˜o
e´ um diaˆmetro) em dois segmentos congruentes e´ que ele seja perpendicular a corda”.
Ou ainda:
“Um raio e´ perpendicular a uma corda (que na˜o e´ um diaˆmetro) de um cı´rculo se, e somente se, ele
a dividir em dois segmentos congruentes”.
4.4.1 Uma outra classe de teoremas
Suponha que um teorema seja va´lido, por exemplo, “Todo nu´mero inteiro que termina em 0 ou 5 e´
mu´ltiplo de 5”, e que seu teorema recı´proco “Todo nu´mero inteiro mu´ltiplo de 5 termina em 0 ou 5”
tambe´m seja va´lido. Dessa forma, por economia, podemos enunciar esses dois teoremas como duas
sentenc¸as equivalentes, formando um u´nico teorema, da seguinte maneira:
TEOREMA: “Um nu´mero inteiro termina em 0 ou 5 se, e somente se, e´ mu´ltiplo de 5”.
De agora em diante, vamos estabelecer que uma sentenc¸a P ⇔ Q - inclusive as diferentes formas de
escreveˆ-la - e´ um teorema, desde que as sentenc¸as P ⇒ Q e Q⇒ P sejam ambas verdadeiras.
Esses tipos de teorema constituem-se de duas partes: um resultado, e seu resultado recı´proco. Para
que uma sentenc¸a desse tipo seja um teorema, ambos os resultados devem ser verdadeiros e, geralmente,
a demonstrac¸a˜o do teorema e´ feita em duas etapas, que sa˜o as demonstrac¸o˜es de cada um desses resulta-
dos.
Diante do que acabamos de expor, os Exemplos 4 e 5 anteriores sa˜o teoremas.
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4.4. Sentenc¸as equivalentes
EXERCI´CIOS:
1. Se “P e´ condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para Q”, enta˜o “Q e´ condic¸a˜o necessa´ria e suficiente
para P?” Justifique sua resposta.
2. Reescreva cada frase abaixo na forma ‘... se, e somente se...’.
(a) A condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que um polinoˆmio p, na varia´vel x, tenha x = a como
raiz e´ que esse polinoˆmio seja divisı´vel por (x− a).
(b) Um triaˆngulo ter de seus lados medindo 3, 4 e 5 e´ equivalente a esse triaˆngulo ser o triaˆngulo
retaˆngulo, de lados inteiros, com menor perı´metro.
(c) Ser par e´ uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que um nu´mero seja da forma 2n, com
n ∈ Z.
(d) A reta r e´ paralela ao plano α⇔ r e´ paralela a uma reta de α.
(e) O seno de um aˆngulo ser negativo e´ condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que esse aˆngulo
esteja no terceiro ou no quarto quadrante.
(f) Dois planos sa˜o paralelos se na˜o teˆm pontos