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Um convite à matemática_Daniel C Filho

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Os pitago´ricos ja´ conheciam o menor desses pares de nu´meros: (220 e 284) (soma dos
divisores de 220: 1+ 2+4+5+10+ 11+ 20+ 22+ 44+ 55+ 110 = 284; soma dos divisores de 284:
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220). O segundo exemplo, se´culos mais tarde, foi dado por Fermat e o terceiro,
por Descartes, ambos no Se´culo XV II .
Coube a Euler descobrir outros 60 pares desses nu´meros. Quem vir os pares de nu´meros amigos
encontrados por Euler, pode constatar sua capacidade de trabalhar com nu´meros enormes, numa e´poca
em que mesmo uma calculadora manual era apenas um sonho. E´ interessante registrar que apesar da
sua argu´cia e habilidade para lidar com produtos e somas de grandes nu´meros, Euler deixou escapar, de-
sapercebidamente, um par de nu´meros amigos relativamente pequeno: (1184,1210), que foi descoberto
em 1866, por Nicolo` Paganini, um garoto de apenas 16 anos!
Muitos acreditavam que tal como os quadrados ma´gicos, os pares de nu´meros amigos tinham poderes
sobrenaturais e os usavam em talisma˜s e poc¸o˜es ma´gicas.
Com a computac¸a˜o, se conhece mais de dois milho˜es de pares de nu´meros amigos, e essa quantidade
cresce a cada momento.
7.3.6 Nu´meros de Fermat
Existem outros primos de Fermat ale´m de F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257 e F4 = 65537?
Os ca´lculos computacionais na˜o sa˜o animadores, ja´ que ate´ onde se conseguiu verificar, todos outros
nu´meros de Fermat sa˜o compostos. Chega-se a acreditar que a resposta a essa pergunta e´ negativa,
mas caso exista algum deles, sera´ um nu´mero muito grande, com muitos dı´gitos. So´ para se ter uma
ide´ia do “tamanho” desses nu´meros, o u´ltimo resultado, de 22 de novembro de 2005, e´ que o nu´mero
1207.2410108 + 1 divide o nu´mero de Fermat F410105 (Descobridor: Jun Tajima). Com certeza, breve-
mente esta descoberta ja´ estara´ superada.
Vide o que se encontrou ate´ o momento sobre os fatores de certos nu´meros de Fermat na pa´gina:
http://www.prothsearch.net/fermat.html
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7.3. Alguns problemas em aberto de fa´cil entendimento para os na˜o-especialistas
7.3.7 Outros problemas em abertos
1. Outros problemas envolvendo nu´meros primos:
(a) Existe sempre um nu´mero primo entre dois quadrados consecutivos de nu´meros naturais n2
e (n+ 1)2? ([Toeplitz, 1957]; p. 204)
(b) Ha´ infinitos primos da forma n!− 1 ou n! + 1? Esses primos sa˜o chamados primos fatoriais.
E primos da forma n2 + 1?
(c) Mesma pergunta anterior, onde n! e´ substituı´do por #n. Define-se #n como o produto de
todos os primos menores do que ou iguais a n.
2. UM PROBLEMA EM ABERTO DE FA´CIL ENTENDIMENTO FORA DA TEORIA DOS NU´-
MEROS: Dada uma curva no plano, que seja fechada e na˜o tenha auto-intersec¸a˜o (curva simples),
sempre existem quatro pontos nessa curva que formam os ve´rtices de um quadrado?
([Guy, 1991];p.51)
7.3.8 Dinheiro para quem resolver problemas matema´ticos
Quem resolver algum dos problemas anteriores, podera´ ter seu momento de glo´ria e, ale´m de obter
prestı´gio, quic¸a´, podera´ receber algum bom retorno financeiro por seu feito. Existia uma pa´gina na
Internet na qual seu autor prometia preˆmios em dinheiro para quem resolvesse qualquer dos problemas
que ele sugeria. O dinheiro na˜o era muito, mas o fato merece ser registrado.
Ja´ o bem sucedido banqueiro texano Andrew Beal, um amador que tem a Matema´tica como hobby,
na sua tentativa de provar o Teorema de Fermat, chegou na seguinte conjectura:
CONJECTURA DE BEAL: “Sejam A,B,C, x, y e z inteiros positivos com x, y, z > 2. Se
Ax +By = Cz, enta˜o A,B e C possuem um fator primo em comum.”
O banqueiro oferece um preˆmio, que agora chega a $100.000,00, para quem der um contra-exemplo
ou provar sua conjectura.
Vide [Mauldin, 1997] ou http://www.math.unt.edu/ mauldin/beal.html
Ja´ que estamos falando em preˆmios, vale conferir o artigo
“Bons de conta. Brasileiros perdem noites de sono em busca de respostas que valem milho˜es”
da Revista ISTOE´ de 2 de Agosto de 2000.
Finalizamos este capı´tulo ressaltando que, em geral, novos problemas surgem na tentativa de demon-
strar um problema. E e´ dessa forma que a Matema´tica se mante´m viva e sempre desafiadora.
EXERCI´CIOS:
1. Mostre que o par (1184, 1210), encontrado por Paganini, e´ de nu´meros amigos.
2. Verifique que 496 e 8128 sa˜o nu´meros perfeitos
Dica: Na˜o va´ desprender muito esforc¸o. Prove que eles sa˜o nu´meros perfeitos de Euclides da
forma 2n−1(2n − 1) com 2n − 1 primo.
121
Capı´tulo 7. Conjecturas, problemas em aberto e contra-exemplos
3. Prove o resultado de Euclides para nu´meros perfeitos pares:
“Se 2n − 1 for um nu´mero primo, enta˜o 2n−1(2n − 1) e´ um nu´mero perfeito”
Dica: Use a fo´rmula 1+2+. . .+2k−1 = 2k−1, que pode ser demonstrada por induc¸a˜o (Sec¸a˜o 15.1).
4. Conforme ja´ dissemos, mostre que todo nu´mero perfeito par e´ soma de uma sequ¨eˆncia de nu´meros
inteiros consecutivos.
Dica: Use a fo´rmula da soma dos n primeiros nu´meros naturais
1 + 2 + 3 + . . .+ (n− 1) + n = n(n+ 1)
2
,
que e´ um exercı´cio proposto na Sec¸a˜o 15.1.
7.3.9 Curiosidade: Uma palestra silenciosa
Em 1644, entre os nu´meros da forma 2n − 1 que Mersenne afirmara serem primos, estava 267 − 1.
Com refereˆncia a este nu´mero, em um encontro da American Mathematical Society em 1903, o
matema´tico F.N. Cole (1861-1927) deu, o que parece ter sido a u´nica palestra silenciosa de toda histo´ria.
Ao ser anunciada sua confereˆncia, o matema´tico dirigiu-se lentamente a` lousa, escreveu silenciosamente
quanto valia 267−1 e, sem pronunciar qualquer palavra, escreveu quanto resultava o produto dos nu´meros
193 707 721 e 761 838 257 287,
mostrando que dava o mesmo resultado. Logo depois guardou o giz e retornou em sileˆncio a` sua cadeira.
Toda plate´ia explodiu em entusia´stica vibrac¸a˜o.
122
CAPI´TULO 8
Te´cnicas de demonstrac¸a˜o
“Na˜o e´ apenas uma ou duas vezes, mas um sem nu´mero de vezes que uma mesma ide´ia
aparece no mundo.”
Aristo´teles (c.384-322 a.C.) in Sobre os Ce´us. T. L. Heath Manual of Greek Mathematics,
Oxford: Oxford University Press, 1931.
“Euclides me ensinou que sem hipo´teses na˜o ha´ qualquer demonstrac¸a˜o. Portanto, em
qualquer argumento, examine as hipo´teses”.
Eric Temple Bell (1883-1960)
In H. Eves Return to Mathematical Circles., Boston: Prindle, Weber and Schmidt, 1988.
“Repetir repetir - ate´ ficar diferente”
Manoel de Barros na poesia ‘Uma dida´tica da invenc¸a˜o’, in O Livro das Ignoranc¸as,
Civilizac¸a˜o Brasileira, 1993
8.1 Introduc¸a˜o
No Capı´tulo 6 vimos o que e´ uma demonstrac¸a˜o e sua importaˆncia na Matema´tica. Respeitando a
definic¸a˜o que demos do que e´ uma demonstrac¸a˜o, adiantamos que ha´ uma total liberdade de raciocı´nio
e de procedimentos que algue´m pode utilizar para provar qualquer resultado matema´tico. Isso inclui,
tambe´m, quando possı´vel, o uso de recursos computacionais.
Na verdade, em muitas demonstrac¸o˜es, sa˜o usados argumentos bastante engenhosos e elaborados, o
que as tornam admira´veis. E´ nesse ponto que reside a qualidade de uma boa demonstrac¸a˜o, a efica´cia da
teoria empregada para fazeˆ-la funcionar, e a habilidade de quem a elaborou.
Vamos aos poucos neste capı´tulo, comec¸ar a estudar os tipos mais usuais de te´cnicas de demonstrac¸a˜o.
Com esse intuito, classificamos as demonstrac¸o˜es em:
1. Demonstrac¸o˜es diretas;
2. Demonstrac¸o˜es indiretas:
2.1 Demonstrac¸o˜es por reduc¸a˜o a um absurdo;
2.2 Demonstrac¸o˜es usando a contrapositiva.
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Capı´tulo 8. Te´cnicas de demonstrac¸a˜o
Dentre as te´cnicas que estudaremos e que podem ser u´teis nessas classes de demonstrac¸a˜o esta˜o as
que chamaremos:
1. Demonstrac¸o˜es por verificac¸a˜o;
2. Demonstrac¸o˜es com o auxı´lio de figuras;
3. Demonstrac¸o˜es usando o Princı´pio de Induc¸a˜o Finita.
Voceˆ deve ter notado pelos va´rios livros que ja´ estudou, e esse fato agora ressaltamos, que, em geral,
quando algue´m