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Um convite à matemática_Daniel C Filho

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prova algum resultado, na˜o cita o tipo de demonstrac¸a˜o que ira´ utilizar, com excec¸a˜o, a`s
vezes, do Me´todo de demonstrac¸a˜o por reduc¸a˜o a um absurdo que apresentaremos na Sec¸a˜o 11.1.
Ao final deste e dos pro´ximos capı´tulos, esperamos que os leitores ao se depararem com alguma
demonstrac¸a˜o sejam capaz de distinguir qual me´todo esta´ sendo utilizado e, o mais importante, possam
manipula´-lo com pleno domı´nio.
“Como saber qual tipo de demonstrac¸a˜o que devo usar para provar um determinado resultado?”
Na˜o ha´ resposta precisa para essa pergunta. Na˜o existe uma “receita infalı´vel” que pode sempre
ser aplicada para provar qualquer resultado. Como ja´ vimos, um dado que comprova ainda mais o que
estamos dizendo e´ que ha´ ainda muitos problemas em aberto na Matema´tica que teˆm resistido ao longo
de centenas de anos a`s mais diversas tentativas de demonstra´-los (Vide Sec¸a˜o 7.3).
Um me´todo de demonstrac¸a˜o adequado que algue´m pode usar para provar determinado resultado
depende do resultado em si, da existeˆncia de uma teoria eficaz para atacar o problema e, muitas vezes,
de uma escolha possı´vel e pessoal do tipo de argumentac¸a˜o que podera´ ser usada naquela demonstrac¸a˜o.
Lembremos que na Sec¸a˜o 4.1.1 dissemos existir 370 demonstrac¸o˜es diferentes para o Teorema de Pita´-
goras. Cada uma com suas particularidades, usando argumentos, muitas vezes, bastante distintos.
Em geral, mesmo na˜o existindo regras para seguir, uma primeira atitude para iniciar uma demonstra-
c¸a˜o e´ tentar usar um mesmo argumento para provar resultados semelhantes. Por vezes, quando possı´vel,
resultados bastante distintos tambe´m podem ser provados usando-se uma mesma ide´ia.
Em verdade, um bom comec¸o que ajuda muito, e´ conhecer detalhadamente as demonstrac¸o˜es de
diversos resultados e, ao se deparar com algum outro resultado que deseja demonstrar, tentar empregar
alguma dessas ide´ias e te´cnicas para este fim. Na˜o tenha medo de imitar uma demonstrac¸a˜o conhecida.
Ale´m desses casos, e´ claro que devemos levar em conta e confiar na inventividade de cada um, que
na˜o deve possuir limites.
Por fim, terminado o trabalho de provar algum resultado, e´ necessa´rio saber redigir a demonstrac¸a˜o.
Este e´ o passo final. Na˜o e´ exagero dizer que expor suas ide´ias e saber redigir uma demonstrac¸a˜o e´ ta˜o
importante quanto inventa´-las. Dessa forma, estude as regras das Grama´ticas Normativas e as respeite,
leia com muita atenc¸a˜o as demonstrac¸o˜es dos bons livros, analisando o estilo de cada escritor, treine
redac¸a˜o matema´tica e se esforce para desenvolver seu estilo pessoal de escrever. O ato de escrever
melhora as ide´ias, fortalece as convicc¸o˜es nos argumentos, apura os pensamentos e deve se tornar uma
pra´tica.
8.2 As te´cnicas mais simples de demonstrac¸a˜o
Seguindo nosso objetivo, comecemos com uma classe de demonstrac¸o˜es chamadas demonstrac¸o˜es
diretas. Se quisermos demonstrar uma proposic¸a˜o da forma H ⇒ T usando a demonstrac¸a˜o direta,
supo˜e-se que a hipo´tese H e´ va´lida e, usando-se um processo lo´gico-dedutivo, se deduz diretamente a
tese T .
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8.2. As te´cnicas mais simples de demonstrac¸a˜o
Relembrando um pouco, note que, quase todas as demonstrac¸o˜es que apareceram no texto ate´ este
ponto foram utilizando demonstrac¸o˜es diretas.
Partindo para exemplos do processo de demonstrac¸a˜o direta, vamos inicialmente introduzir a`s de-
monstrac¸o˜es diretas mais simples, que na˜o requerem argumentos e nem procedimentos muito elaborados.
Alertamos com isso, que na˜o queremos dizer que esse tipo de demonstrac¸a˜o deva ser feito sem o rigor
necessa´rio ou com argumentos duvidosos.
Essas demonstrac¸o˜es requerem apenas uma simples verificac¸a˜o para que funcionem. Como o nome
ja´ traduz a ide´ia, as chamaremos demonstrac¸a˜o por verificac¸a˜o.
Por exemplo, consideremos o seguinte teorema:
TEOREMA: Existem dois, e apenas dois mu´ltiplos simultaˆneos de 2 e de 3 entre os nu´meros de 9 a
19, incluindo estes.
Uma maneira simples para provar esse resultado e´ escrever todos os nu´meros entre 9 e 19, e verificar
quais deles satisfazem a tese; isto e´, quais sa˜o mu´ltiplos de 2 e de 3 simultaneamente, assegurando-se que
nenhum outro tenha a mesma propriedade. Para este fim na˜o e´ necessa´rio usar argumento especial algum,
basta um simples raciocı´nio para checar no conjunto {9, 10, . . . , 18, 19} dos elementos que satisfazem a
hipo´tese, quais cumprem a tese, e pronto! Primeiramente, excluem-se os nu´meros ı´mpares, e dentre os
remanescentes, determina-se quais deles sa˜o tambe´m divisı´veis por 3, restando apenas os nu´meros 12 e
18.
Conve´m observar que, nessa linha, mesmo provar um resultado de enunciado aparentemente in-
ocente, como
“Ha´ pelo menos um nu´mero primo no conjunto {224 + 1, 225 + 1, 226 + 1}”
ja´ seria uma outra histo´ria!!!(Por queˆ?)
EXERCI´CIOS:
A partir deste ponto, ale´m de resolver um problema, voceˆ deve primar por escrever sua resoluc¸a˜o,
treinando para redigir demonstrac¸o˜es e desenvolver seu estilo pro´prio de escrever matema´tica.
1. Escreva os detalhes da demonstrac¸a˜o apresentada no final da sec¸a˜o.
2. Treine um pouco com as demonstrac¸o˜es por verificac¸a˜o. Use este me´todo para provar os seguintes
resultados:
(a) Os nu´meros 13, 18, 29, 34 e 125 podem ser escritos como a soma de quadrados de dois
nu´meros primos.
(b) O conjunto {1, 31, 7, 15} e´ formado por nu´meros da forma 2n−1, para algum nu´mero natural
n .
(c) Considere um so´lido formado por um paralelepı´pedo de cujo interior se retirou um outro
paralelepı´pedo com faces paralelas ao primeiro. Mostre que o so´lido resultante do processo
acima na˜o satisfaz a Relac¸a˜o de Euler: V − A+ F = 2.
(d) Na sequ¨eˆncia abaixo de cinco nu´meros naturais consecutivos, na˜o existem nu´meros primos
6! + 2, 6! + 3, 6! + 4, 6! + 5, 6! + 6.
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Capı´tulo 8. Te´cnicas de demonstrac¸a˜o
(e) O mesmo resultado anterior para a sequ¨eˆncia de cem nu´meros consecutivos
101! + 2, 101! + 3, ..., 101! + 100, 101! + 101.
(f) Mostre que e´ possı´vel escrever um mesmo nu´mero racional de infinitas maneiras.
3. Seguem abaixo alguns resultados para serem provados, que tambe´m na˜o necessitam de artifı´cios
especiais ou de alguma argumentac¸a˜o mais elaborada.
Prove que:
(a) Existem treˆs retaˆngulos diferentes, com lados de medidas inteiras e a´reas valendo 42 cm2.
(b) Para qualquer natural n, existe uma sequ¨eˆncia com n elementos de nu´meros naturais suces-
sivos, que na˜o conte´m nu´meros primos (generalizac¸a˜o dos Exercı´cios 2(d) e 2(e)).
Observe que esse exercı´cio assegura que e´ possı´vel encontrar uma sequ¨eˆncia de nu´meros
consecutivos, com a quantidade de elementos que quisermos, sem que qualquer deles seja
primo! Esse fato reforc¸a que quanto maior for um nu´mero n, menor a possibilidade dele ser
primo.
Menos formalmente, o resultado significa que, na sequ¨eˆncia dos nu´meros naturais, existem
verdadeiros desertos de nu´meros primos do “tamanho” que quisermos. Um fato realmente
fanta´stico, ja´ que o conjunto dos nu´meros primos e´ infinito (Exercı´cio 5 da Sec¸a˜o 15.1).
(c) O fatorial n! de qualquer nu´mero natural n > 4 termina em 0.
8.3 Demonstrac¸o˜es usando ‘artifı´cios’
Sem entrar em digresso˜es sobre terminologias, escolhemos a palavra artifı´cio para chamar um argumento
qualquer que seja mais elaborado do que os usados na sec¸a˜o anterior.
Comecemos aprendendo argumentac¸o˜es que requerem apenas certos artifı´cios simples.
APRENDENDO A PENSAR MATEMATICAMENTE
Sabe-se que nu´meros racionais podem ser representados como nu´meros fraciona´rios, isto e´, quo-
cientes de um nu´mero inteiro por outro nu´mero inteiro, tal que o denominador na˜o e´ o inteiro nulo.
Os nu´meros racionais tambe´m podem ser escritos em sua forma decimal. Prova-se que ao serem es-
critos desta maneira, eles sa˜o nu´meros decimais