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Um convite à matemática_Daniel C Filho

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podemos ficar tranqu¨ilos, ningue´m no dia-a-dia e´ obrigado a interpretar matemati-
camente a frase anterior.
De um simples exemplo, ja´ da´ para perceber que as coisas na Matema´tica devem ser expressas com a
linguagem e os cuidados especı´ficos que, muitas vezes, sa˜o diferentes daqueles que estamos acostumados
a usar na Linguagem Coloquial. Alertados deste fato, vamos aprender como isso e´ feito.
DEFINIC¸A˜O:
Chamamos frase a um conjunto de palavras (incluindo os sinais de acentuac¸a˜o e pontuac¸a˜o) ou
sı´mbolos matema´ticos, que se relacionam para comunicar uma ide´ia.
Uma sentenc¸a ou proposic¸a˜o e´ uma frase (que no nosso caso pode, eventualmente, incluir apenas
sı´mbolos matema´ticos) tal que:
1. Apresenta-se de forma estruturada como uma orac¸a˜o, com sujeito, verbo e predicado;
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Capı´tulo 2. A lo´gica-matema´tica
2. E´ afirmativa declarativa (na˜o e´ interrogativa, nem exclamativa);
3. Satisfaz o Princı´pio do Terceiro Excluı´do, que garante que uma sentenc¸a ou e´ falsa ou e´ ver-
dadeira, na˜o havendo uma terceira alternativa; e o Princı´pio da Na˜o-contradic¸a˜o, que assegura
que uma sentenc¸a na˜o pode ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo.
Iremos admitir os dois princı´pios acima citados. Logo, segundo a definic¸a˜o anterior, toda sentenc¸a
ou e´ verdadeira ou e´ falsa, na˜o havendo uma terceira opc¸a˜o, e na˜o podendo ser ao mesmo tempo falsa e
verdadeira. Por estes fatos, a lo´gica que iremos utilizar tem a caracterı´stica de ser bivalente.
Perceba que uma sentenc¸a ou proposic¸a˜o e´ uma afirmac¸a˜o de significado preciso, que na˜o deixa
margens para interpretac¸o˜es ambı´guas. Em Matema´tica, as ide´ias precisam ter essa caracterı´stica e
assim, os resultados formais sa˜o formuladas por meio de sentenc¸as. A Lo´gica Formal tambe´m trabalha
diretamente com sentenc¸as, como veremos mais adiante.
Como exemplo, considere as frases a seguir:
P1: A soma das medidas dos aˆngulos internos de um triaˆngulo e´ igual a cento e oitenta graus.
P2: 87 < 852.
P3: Existe x ∈ R positivo tal que x < 0, 1 e x2 > 10.
P4:
√
2 6∈ N.
P5: Todo nu´mero par e´ divisı´vel por 3.
P6: Para todo x ∈ R temos 2x2 + 8x− 10 < 0 ou x ≥ 1 ou x ≤ −5.
P7: O Brasil e´ o maior paı´s da Ame´rica Latina.
P8:
√
3 + 3
√
2 > 3
√
3 + 3
√
2 e
√
3 +
√
2 < 3
√
3 + 3
√
2.
P9: 3 + 9 = 11.
P10: Se a1, a2, . . . , an forem os termos de uma progressa˜o aritme´tica, enta˜o
a1 + a2 + . . .+ an =
n(a1 + an)
2
.
P11: x ∈ R, x2 − 16 > 0⇒ x > 4 ou x < −4.
Voceˆ pode verificar que todas as frases acima sa˜o sentenc¸as. Todas elas satisfazem as condic¸o˜es 1),
2) e 3) da definic¸a˜o.
Dizemos que o valor lo´gico de uma sentenc¸a e´ verdadeiro quando a sentenc¸a e´ verdadeira, e falso,
caso contra´rio. Tambe´m diremos que uma sentenc¸a e´ va´lida se seu valor lo´gico for verdade, e na˜o-va´lida
se for falso. Do item 3) da definic¸a˜o de sentenc¸as, segue que a toda sentenc¸a esta´ associado um u´nico
valor lo´gico: falso ou verdadeiro.
A Lo´gica Formal visa estudar as relac¸o˜es entre as sentenc¸as, sem se preocupar efetivamente com
os valores lo´gicos de sentenc¸as ba´sicas. Ja´ a Matema´tica, tem como um de seus objetivos, descobrir
e provar se certas sentenc¸as sa˜o falsas ou verdadeiras. E´ interessante observar que, a`s vezes, leva-se
se´culos para isso! Na Sec¸a˜o 7.2 damos alguns exemplos famosos de casos desse tipo.
Nos exemplos precedentes, todas as sentenc¸as sa˜o verdadeiras, com excec¸a˜o de P3, P5, P8, P9 e,
apenas P7 na˜o e´ uma sentenc¸a matema´tica, ja´ que nela na˜o aparecem objetos matema´ticos.
Neste ponto, cabe-nos esclarecer que, agora, na˜o e´ importante se preocupar com as demonstrac¸o˜es
dos va´rios resultados que ira˜o aparecer em va´rias partes do texto. Aqui nossa preocupac¸a˜o e´ outra. Mas
adiantamos que, quando chegar o devido momento, iremos nos devotar totalmente a`s demonstrac¸o˜es.
Voltando ao tema desta sec¸a˜o, para gravar mais acuradamente a definic¸a˜o do que seja uma sentenc¸a,
vamos agora analisar algumas frases que deixam de satisfazer pelo menos uma das condic¸o˜es 1), 2) ou
3) e, consequ¨entemente, na˜o sa˜o sentenc¸as:
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2.1. Como formular um resultado matema´tico? Sentenc¸as, sentenc¸as abertas e quantificadores
a)
1
9
+ 9
Essa frase na˜o esta´ estruturada como uma sentenc¸a, pois na˜o cumpre a condic¸a˜o 1) da definic¸a˜o. A
frase tem sujeito (‘um nono mais nove’), mas na˜o tem verbo nem predicado. Na˜o ha´ alguma afirmac¸a˜o
nela, apenas uma frac¸a˜o somada a um nu´mero. Para tornar-se uma sentenc¸a, ela poderia ser completada,
por exemplo, como:
1
9
+ 9 =
82
9
.
Dessa forma, essa frase e´ afirmativa declarativa, tem sujeito (‘um nono mais nove’), verbo e pre-
dicado (‘e´ igual a oitenta e dois nonos’) e cumpre os dois Princı´pios (do Terceiro Excluı´do e da Na˜o-
contradic¸a˜o). Algue´m tambe´m a poderia ter completado como:
1
9
+ 9 =
√
5,
ou de outras maneiras. Da maneira que a completamos, ela tornou-se uma sentenc¸a falsa.
b) 109 > 910 ?
A frase esta´ estruturada como uma orac¸a˜o, satisfaz os dois Princı´pios, mas e´ interrogativa. Portanto,
na˜o e´ uma sentenc¸a.
c) 2x+ 6 = 3
Essa frase esta´ estruturada como uma orac¸a˜o, mas observe que para x =
−3
2
, a frase e´ verdadeira
e e´ falsa para x = 1, x = −9 ou para qualquer outro valor de x diferente de −3
2
. Portanto, na˜o ha´
como determinar se ela e´ verdadeira ou falsa, ja´ que nada foi dito sobre o valor da varia´vel x. Este fato
contradiz o Princı´pio do Terceiro Excluı´do e, dessa forma, a frase na˜o e´ uma sentenc¸a.
Chama-se sentenc¸a aberta a uma frase apresentada como a anterior, subordinada a uma varia´vel (a`s
vezes, a algum objeto) que fica livre, sobre a (o) qual nada se afirma, na˜o possibilitando determinar o
valor lo´gico dessa frase. Apesar do incoˆmodo de chamar “sentenc¸a aberta” a uma frase que, na verdade,
na˜o e´ uma sentenc¸a conforme definimos anteriormente, vamos respeitar essa terminologia usada na
literatura.
A frase “Este nu´mero na˜o e´ par” tambe´m e´ uma sentenc¸a aberta.
Note que uma sentenc¸a aberta pode conter mais de uma varia´vel livre, como esta,
‘x2 + y > cos z’.
2.1.1 Os quantificadores universal e existencial
Uma das maneiras de transformar uma sentenc¸a aberta numa sentenc¸a, e´ quantificar, em um determinado
conjunto, cada varia´vel livre que aparece na sentenc¸a aberta. Ou seja, indicar a quantidade de elemen-
tos de determinado conjunto que gozam da propriedade correspondente a cada varia´vel que aparece na
sentenc¸a aberta. Uma das formas de conseguir isso e´ utilizando as palavras ‘existe’ ou ‘para todo’.
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Capı´tulo 2. A lo´gica-matema´tica
Por exemplo, uma maneira de transformar a sentenc¸a aberta acima, ‘2x+ 6 = 3’, em uma sentenc¸a,
seria escrever:
“Existe x ∈ R, tal que 2x+ 6 = 3.”
Dessa maneira, temos uma sentenc¸a!
Semelhantemente, poderı´amos ter escrito
“Para todo x ∈ R, temos 2x+ 6 = 3”,
frase que agora tambe´m e´ uma sentenc¸a.
Observe que a primeira das duas u´ltimas sentenc¸as e´ verdadeira, enquanto a segunda e´ falsa.
Os termos ‘para todo’ e ‘existe’ sa˜o, com muita raza˜o, chamados, respectivamente, de quantifi-
cador universal e quantificador existencial e sa˜o, respectivamente, denotados pelos sı´mbolos ∀ e ∃. Os
quantificadores teˆm uma importaˆncia muito grande dentro da Linguagem Matema´tica. O quantificador
universal e´ usado para definir propriedades que valem para todos os elementos de um conjunto. Ja´ o
quantificador existencial e´ usado para definir propriedades que valem para, pelo menos, um elemento de
um conjunto.
Ao usar qualquer desses quantificadores tenha em mente os seguintes cuidados:
1. Cada quantificador de uma sentenc¸a deve estar subordinado a uma varia´vel pertencente a um de-
terminado conjunto;
No exemplo “Para todo x ∈ R, temos 2x + 6 = 3”, escolhemos o