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Regreção Linear- Economia - Econometria

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de
Regressão:
Introdução
Rodrigo de
Sá
Natureza da
regressão
Conceitos da
regressão
(população)
Conceitos da
regressão
(amostra)
Estimação
Hipóteses
O método dos mínimos quadrados ordinários (MQO)
Queremos estimar Y
i
= β
0
+ β
1
X
i
+ u
i
através de
Y
i
= βˆ
0
+ βˆ
1
X
i
+ uˆ
i
= Yˆ
i
+ uˆ
i
.
Fazemos isso minimizando
∑
uˆ
2
i
=
∑(
Y
i
− Yˆ
i
)
2
∑
uˆ
2
i
=
∑(
Y
i
− βˆ
0
+ βˆ
1
X
i
)
2
.
Resolvendo...
Análise de
Regressão:
Introdução
Rodrigo de
Sá
Natureza da
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Conceitos da
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Estimação
Hipóteses
Estimador de MQO
Estimador da inclinação
βˆ
1
=
∑(
X
i
− X¯) (Y
i
− Y¯ )∑(
X
i
− X¯)2
βˆ
1
=
∑(
X
i
− X¯)Y
i∑
X
2
i
− nX¯ 2
βˆ
1
=
∑(
Y
i
− Y¯ )X
i∑
X
2
i
− nX¯ 2
Estimador do intercepto
βˆ
0
= Y¯ − βˆ
1
X¯
Análise de
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Estimação
Hipóteses
Exemplo 5 - Consumo X Renda
Figura: Consumo e renda familiar
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Hipóteses
Exemplo 5 - Consumo X Renda
Figura: Calculando...
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Hipóteses
Exemplo 5 - Consumo X Renda
Figura: Reta de regressão estimada
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Hipóteses
Propriedades numéricas dos estimadores de MQO
1
Os estimadores de MQO são expressos exclusivamente em
termo das quantidades observadas pela amostra (Y e X ).
2
Eles são ESTIMADORES DE PONTO, isto é, dada uma
amostra, cada estimador fornecerá um único ponto do
parâmetro relevante da população.
3
Depois de obter as estimativas de MQO (β
0
e β
1
), pode-se
obter facilmente a reta de regressão da amostra, que
apresenta as seguintes propriedades:
1
Ela passa pelas médias de Y e X .
2
O valor médio do Y estimado é igual ao valor médio do Y
real (observado na amostra).
3
O valor médio dos resíduos é zero.
4
Os resíduos não tem correlação com o Y previsto,
5
Os resíduos não tem correlação com o X .
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Hipóteses
Hipóteses subjacentes ao MQO
O objetivo é utilizar βˆ
0
e βˆ
1
para fazermos inferência sobre
β
0
e β
1
e Yˆ
i
para tentarmos saber algo sobre E (Y |X
i
).
Para isso precisamos de hipóteses estatísticas sobre como
as variáveis são geradas (suas distribuições de
probabilidade).
O MODELO CLÁSSICO (OU PADRÃO, OU
GAUSSIANO) DE REGRESSÃO LINEAR (MCRL) têm 10
hipóteses que vão garantir suas propriedades estatísticas.
Análise de
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Hipóteses
1. Linear nos parâmetros
Caso contrário, estaríamos estimando um modelo
especificado de forma incorreta!
Lembrem-se que o modelo PODE ser não-linear nas
variáveis.
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2. X fixados
Os valores das variáveis explicativas (X
i
) são fixados em
amostragem repetida.
As variáveis explicativas são não-estocásticas.
Isso implica que a análise de regressão é condicional aos
dados valores do regressor.
Mais uma vez o exemplo do consumo! (11)
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3. O erro tem média zero
Dado o valor de X
i
, o valor médio do termo de perturbação
aleatória u
i
é zero,
E (u
i
|X
i
) = 0.
Isto implica que os fatores não incluídos explicitamente no
modelo (e, portanto, incluídos em u
i
) não afetam
sistematicamente o valor médio de Y .
Assim,
E (Y
i
|X
i
) = β
0
+ β
1
X
i
.
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3. O erro tem média zero
Figura: Distribuição condicional do erro
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4. Homoscedasticidade
Os erros são HOMOCEDÁSTICOS, ou seja, sua
VARIÂNCIA É CONSTANTE PARA QUALQUER VALOR
DE X
i
.
var (u
i
|X
i
) = E (u
i
− E (u
i
) |X
i
)2
var (u
i
|X
i
) = E
(
u
2
i
|X
i
)
var (u
i
|X
i
) = σ2.
Se os erros fossem HETEROCEDÁSTICOS, poderíamos
denotar a sua variância como var (u
i
|X
i
) = σ2
i
.
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4. Homoscedasticidade
Figura: Erros homocedásticos
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4. Homoscedasticidade
Figura: Erros heterocedásticos
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4. Homoscedasticidade
Exemplos
Homocedástica: o consumo aumenta com a renda, mas a
variabilidade é igual tanto para pessoas com maior ou
menor renda.
Heterocedástica: o consumo aumenta com a renda, mas a
variabilidade também aumenta com a renda. Indivíduos
pobres, em geral, consomem toda a renda (pouca
variabilidade). Indivíduos mais ricos podem consumir
grande parte da renda como também podem poupá-la.
É importante que os erros tenham variância constante pois
o modelo clássico considera todos os Y
i
importantes.
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5. Os erros não são correlacionados entre si
Não existe nenhuma autocorrelação entre as perturbações.
Dados dois valores X
i
e X
j
quaisquer (i 6= j), a correlação
entre u
i
e u
j
é zero.
cov (u
i
, u
j
|X
i
,X
j
) = 0.
Caso contrário, Y
t
dependeria também de u
t−1, e não só
das variáveis explicativas.
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Hipóteses
5. Os erros não são correlacionados