DISSERTAÇÃO ModelagemDesaguamentoPeneira

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Ministério da Educação e do Desporto 
Universidade Federal de Ouro Preto 
Departamento de Engenharia de Minas 
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mineral – 
PPGEM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO 
 
 
 
MODELAGEM DE DESAGUAMENTO EM PENEIRA 
 
 
 
 
 
Autor: Felipe de Orquiza Milhomem 
Orientador: Prof.º José Aurélio Medeiros da Luz 
 
 
 
 
 
OURO PRETO/MG 
JUNHO/2013
 
 
 
 
 
Ministério da Educação e do Desporto 
Universidade Federal de Ouro Preto 
Departamento de Engenharia de Minas 
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mineral – 
PPGEM 
 
 
 
 
II 
 
 
 
 
 
 
MODELAGEM DE DESAGUAMENTO EM PENEIRA 
 
 
 
Autor: Felipe de Orquiza Milhomem 
 
Orientador: Prof. Dr. José Aurélio Medeiros da Luz 
 
 
 
 
 
 
 
 
Área de Concentração: Tratamento de Minérios 
 
Ouro Preto/MG 
Junho de 2013.
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação do Departamento de Engenharia de 
Minas da Escola de Minas da Universidade 
Federal de Ouro Preto, como parte integrante dos 
requisitos para obtenção do título de Mestre em 
Engenharia Mineral. 
 
III 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Catalogação: sisbin@sisbin.ufop.br 
 
M644m Milhomem, Felipe de Orquiza. 
 Modelagem de desaguamento em peneira [manuscrito] / Felipe Orquiza 
Milhomem – 2013. 
 xvii, 147f.: il. color; graf., tab. 
 
 Orientador: Prof. Dr. José Aurélio Medeiros da Luz. 
 
 Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Escola de 
Minas. Departamento de Engenharia de Minas. Programa de Pós-Graduação 
em Engenharia Mineral. 
 Área de concentração: Tratamento de Minérios. 
 
 1. Peneiramento (Mineração) - Teses. 2. Modelagem - Teses. 3. Simulação 
por computador - Teses. 4. Escoamento - Teses. I. Luz, José Aurélio Medeiros 
da. II. Universidade Federal de Ouro Preto. III. Título. 
 
 CDU: 622.72:004.94 
 
 
 
 
 
 
 
 CDU: 669.162.16 
 
IV 
 
 
 
 
V 
 
AGRADECIMENTOS 
 
 
Gostaria de agradecer em primeiro lugar a Deus, pelo Seu amor e bondade 
incondicionais, que me forneceram as condições (de quaisquer natureza) de vencer as 
barreiras que surgiram para mim ao longo desses 2 anos. 
 
Agradeço ao meu orientador, o professor José Aurélio Medeiros da Luz, não apenas 
pelo suporte e ensinamentos técnicos, mas também pelo seu companheirismo e lições 
que me ajudaram muito. 
 
Aos professores que participaram da minha banca examinadora, Otávia Martins 
Rodrigues e Mário Cabello Russo, por se dispor a analisar e sugerir melhorias que 
ajudaram a enriquecer este trabalho. 
 
Aos meus familiares, especialmente meus pais, Assis e Irenilde, e meus irmãos, 
Fabrício e Nayara, pelo apoio, fornecido integralmente ao longo de minha vida e 
também nesta etapa. 
 
À minha namorada, Karla Marques, que me ajudou (e muito!) a superar todas as 
angústias e aos amigos, tanto aqueles que ficaram no Pará (mas que ainda sim torceram 
por mim), quanto os novos (“adquiridos” aqui em Ouro Preto), que me incentivaram e 
tornaram as coisas por aqui mais felizes e divertidas. 
 
Ao professor Carlos Alberto Pereira, pelas conversas e também pelos esclarecimentos, 
tanto os de cunho técnico quanto pessoal e aos demais professores do programa, em 
especial Rosa Malena e Érica Linhares, pelos ensinamentos e auxílio prestados, que 
contribuíram à minha formação. 
 
Aos colegas de pós-graduação, pelo apoio dentro e fora da sala de aula. 
 
Aos funcionários do DEMIN/PPGEM que me auxiliaram quando precisei de algo. 
 
VI 
 
 
À CAPES, pelo fornecimento da bolsa de estudos. 
 
E agradeço a todos aqueles que não foram lembrados aqui, mas que de forma direta ou 
indireta me ajudaram a alcançar mais esta conquista. 
 
Muito obrigado a todos! 
 
 
 
 
 
VII 
 
RESUMO 
 
 
Peneiras vibratórias são comumente utilizadas no beneficiamento mineral para a 
separação das espécies por tamanho. Elas também podem ser empregadas para a etapa 
de desaguamento de sistemas particulados como areia, finos de carvão, concentrados de 
minério e rejeitos, dentre outros, tendo como vantagem os baixos custos de montagem e 
operação. Dada sua importância no processamento mineral, este trabalho teve por 
objetivo estudar o desaguamento por peneiras vibratórias por meio da construção de um 
modelo matemático. Esse modelo será baseou-se nas forças hidráulicas descritas pela 
equação de Ergun, pela perda de carga nas aberturas da peneira (acidentes hidráulicos), 
pela altura da coluna de líquido, pelas forças interfaciais (capilaridade) e pelas forças 
mecânicas devidas ao movimento vibratório da peneira. Simulações foram realizadas 
com o intuito de verificar quais as melhores condições de drenagem do líquido (maior 
velocidade de percolação). Os melhores resultados obtidos foram com esferas de vidro, 
com 30% de sólidos, amplitude de 0,002 m e frequência de 167,55 Hz com tensão 
superficial de 72 x 10
-2
 N/m. Assim, os parâmetros que mais influenciam no processo 
são a morfologia das partículas, a concentração de sólidos na polpa e a excitação da 
peneira (frequência e amplitude). Por outro lado, tensão superficial e fração de área 
aberta mostraram pouca importância nos resultados. 
 
Palavras-chave: peneira vibratória, desaguamento, modelagem, simulação. 
 
 
VIII 
 
ABSTRACT 
 
 
Vibrating screens are commonly used in mineral processing for size separation of 
species. They may also have common use for particulate systems dewatering, with low 
operational and installation costs. This work aims to study the dewatering with vibrating 
screens through the development of a mathematical model. The model is based on the 
hydraulic forces described by Ergun's equation, on the pressure drop in the openings of 
the sieve (hydraulic accidents), on the height of the column of liquid interfacial forces 
(capillary action) and on the forces due to mechanical vibratory motion of the sieve. 
Simulations were performed in order to determine the best conditions for the liquid 
flow. The best values were achieved with glass beads at 30 % of mass solids 
concentration, 0.002 m amplitude, under frequency of 167.55 Hz and with surface 
tension of 72 x 10
-2
 N/m. The main factors that influence the dewatering in vibrating 
screens are the particles morphology, sludge concentration and amplitude and frequency 
of screen. Surface tension and screen open area didn‟t show improvement. 
 
Keywords: vibrating screen, dewatering, modelling, simulation. 
 
 
IX 
 
LISTA DE TABELAS 
 
Tabela 3.1: Índice de Hausner (Hr) e escoabilidade de meio granular ........................... 25 
Tabela3.2: Cálculos para análise granulométrica .......................................................... 31 
Tabela 3.3: Cotejo entre alguns tipos de peneiras vibratórias ........................................ 46 
Tabela 3.4: Fatores que influenciam no desaguamento com peneiras vibratórias. ......... 47 
Tabela 3.5: Aspectos levados em conta no dimensionamento de peneiras .................... 48 
Tabela 4.1: Classificação das micro esferas de vidro, de acordo com sua granulometria
 ........................................................................................................................................ 88 
Tabela 4.2: Principais parâmetros analisados de acordo com a distribuição de Rosin-
Rammler .......................................................................................................................... 89 
Tabela 4.3: Resultados encontrados para massa específica real, aparente e porosidade da 
areia ................................................................................................................................. 92 
Tabela 5.1: Variáveis analisadas em 10 diferentes cenários de simulação ..................... 99 
Tabela 5.2: Valores analisados de cada variável ............................................................ 99 
Tabela 5.3: Resultados de simulação para esferas de vidro: valores máximo e mínimo de 
velocidade de filtragem de acordo com a tensão superficial e frequência de operação 103 
Tabela 5.4: Resultados de simulação para esferas de vidro: valores máximo e mínimo de 
velocidade de filtragem de acordo com a fração de área aberta e frequência de operação
 ...................................................................................................................................... 106 
Tabela 5.5: Resultados de simulação para esferas de vidro: valores máximo e mínimo de 
velocidade de filtragem de acordo com a amplitude e frequência de operação ........... 108 
Tabela 5.6: Resultados de simulação para esferas de vidro: valores máximo e mínimo de 
velocidade de filtragem de acordo com a concentração mássica de sólidos e frequência 
de operação ................................................................................................................... 110 
Tabela 5.7: Resultados de simulação para areia: valores máximo e mínimo de 
velocidade de filtragem de acordo com a tensão superficial e frequência de operação 112 
Tabela 5.8: Resultados de simulação para areia: valores máximo e mínimo de 
velocidade de filtragem de acordo com a fração de área aberta e frequência de operação
 ...................................................................................................................................... 114 
Tabela 5.9: Resultados de simulação para areia: valores máximo e mínimo de 
velocidade de filtragem de acordo com a amplitude e frequência de operação ........... 116 
Tabela 5.10: Resultados de simulação para areia: valores máximo e mínimo de 
velocidade de filtragem de acordo com a concentração mássica de sólidos e frequência 
de operação ................................................................................................................... 118 
 
X 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 3.1: Exemplo de um típico sistema particulado. ................................................. 22 
Figura 3.2: Tempo para atingir o pico de cegamento versus índice de Hausner. ........... 26 
Figura 3.3: esquema mostrando o ângulo de repouso (β) e o ângulo de atrito interno (α).
 ........................................................................................................................................ 27 
Figura 3.4: Diâmetros equivalentes para uma mesma partícula. .................................... 28 
Figura 3.5: Demonstração da não-aderência estatística com a distribuição de Gauss de 
uma amostra peneirada. .................................................................................................. 30 
Figura 3.6: Projeção de um grão de areia através de coordenadas polares. .................... 34 
Figura 3.7: a) Modelo esquemático do processo de peneiramento; b) Exemplo de 
material retido na tela da peneira. ................................................................................... 35 
Figura 3.8: Exemplo de grelha fixa. ............................................................................... 36 
Figura 3.9: Exemplo de peneira DSM. ........................................................................... 38 
Figura 3.10: Partição do fluido em peneira DSM, segundo distribuição de Weilbul. .... 39 
Figura 3.11: Esquema de trômel com duas telas. ........................................................... 40 
Figura 3.12: Esquema típico de peneira vibratória inclinada. ........................................ 41 
Figura 3.13: Movimento da partícula em peneiras vibratórias: a) horizontais; b) 
inclinadas.. ...................................................................................................................... 41 
Figura 3.14: Ilustração dos padrões de movimento vibratório da peneira: a) movimento 
circular; b e d) movimento oval; c) movimento linear. A estrela indica o centro de 
gravidade das mesmas (A – alimentação; R – retido; P - passante). .............................. 42 
Figura 3.15: a) Desenho esquemático dos perfis de inclinação de uma peneira modular; 
b) perfil de profundidade nas regiões de alimentação e de descarga. ............................. 44 
Figura 3.16: a) Representação esquemática de uma peneira desaguadora: 1) 
alimentação, 2) filtragem da água através peneira, 3) motores que criam o movimento 
linear de vibração, 4) inclinação ascendente na descarga, proporcionando a descarga de 
sólidos desaguados. (Fonte: McLanahan, 2012); b) exemplo de uma peneira 
desaguadora industrial (Fonte: Eral, 2012). .................................................................... 45 
Figura 3.17: Desenho esquemático do processo de filtragem. ....................................... 49 
Figura 3.18: Comparação entre perda de carga com e sem vibração para peneira de 
250 x 10-6 m (60 #). Os resultados são mostrados em função do coeficiente de perda de 
carga (k) versus o tempo. ................................................................................................ 53 
Figura 3.19: Esquema das principais regiões de peneiramento. ..................................... 54 
 
XI 
 
Figura 3.20: Eficiência do peneiramento versus frequência (Dpi – diâmetro das 
partículas).. ...................................................................................................................... 55 
Figura 3.21: comparação entre o desaguamento com e sem um meio de sucção capilar. 
Os valores próximos dos pontos representam a altura do leito. ...................................... 57 
Figura 3.22: Direção da aceleração em determinados intervalos de tempo. (C – valor 
múltiplo da aceleração [-]). ............................................................................................. 58 
Figura 3.23: Forças atuantes na cinética de escoamento do líquido em um capilar devido 
à vibração. ....................................................................................................................... 59 
Figura 3.24: Influência da frequência e do parâmetro cinético na saturação da torta (S – 
saturação; f – frequência; λ - parâmetro cinético). ......................................................... 63 
Figura 3.25: Umidade versus parâmetro gravitacional. .................................................. 66 
Figura 3.26: Esquema de desaguamento com peneiras vibratórias. A polpa é alimentada 
pela esquerda, onde ocorre a filtragem do líquido. Com o movimento vibratório, os 
sólidos são levados para a parte de descarga,à direita da figura. Nesta parte, também 
ocorre a drenagem do líquido residual. ........................................................................... 67 
Figura 3.27: Coordenadas retangulares do sistema de Raja et alii: seção do sistema com 
presença da peneira (com inclinação ), polpa e torta. ..................................................... 68 
Figura 3.28: Resultados obtidos mostrando a relação entre a porosidade e o diâmetro 
das partículas (dp) com a vazão de filtrado (Q). ............................................................. 70 
Figura 4.1: modelo esquemático mostrando os elementos presentes numa peneira 
desaguadora. S – líquido sobre nadante; e – espessura do leito de material particulado 
(com presença de líquido intersticial); Z (t) – altura total do sistema. ........................... 71 
Figura 4.2: Exemplo esquemático do leito monodisperso e poros de igual quantidade 
das partículas. .................................................................................................................. 76 
Figura 4.3: Considerações quanto à presença de líquido intersticial. ............................. 79 
Figura 4.4: Evolução do perfil de umidade: teórico versus experimental. ..................... 86 
Figura 4.5: Distribuição granulométrica das amostras. .................................................. 89 
Figura 4.6: Escala de Krumbein para avaliação visual da esfericidade de partículas (no 
eixo horizontal se encontram os valores de arredondamento e no vertical, estão os 
valores de esfericidade). ................................................................................................. 93 
Figura 4.7: Amostras utilizadas: a) esferas de vidro; b) areia quartzosa.. ...................... 93 
Figura 4.8: Demonstração da obtenção da fração de área aberta da peneira. ................. 94 
Figura 5.1: Ensaios com esferas de vidro: relação entre frequência, tempo de operação e 
velocidade de filtragem para tensão superficial de 36 x 10
-2
 N/m (adição de sulfonato de 
petróleo). ....................................................................................................................... 101 
 
XII 
 
Figura 5.2: Ensaios com esferas de vidro: relação entre frequência, tempo de operação e 
velocidade de filtragem para tensão superficial de 72 x 10
-2
 N/m. ............................... 102 
Figura 5.3: Ensaios com esferas de vidro: relação entre frequência, tempo de operação e 
velocidade de filtragem para fração de área aberta de 34,2%. ..................................... 104 
Figura 5.4: Ensaios com esferas de vidro: relação entre frequência, tempo de operação e 
velocidade de filtragem para fração de área aberta de 36%. ........................................ 105 
Figura 5.5: Ensaios com esferas de vidro: relação entre frequência, tempo de operação e 
velocidade de filtragem para amplitude de vibração de 0,0015 m. .............................. 107 
Figura 5.6: Ensaios com esferas de vidro: relação entre frequência, tempo de operação e 
velocidade de filtragem para amplitude de vibração de 0,002 m. ................................ 107 
Figura 5.7: Ensaios com esferas de vidro: relação entre frequência, tempo de operação e 
velocidade de filtragem para concentração de sólidos de 30%. ................................... 109 
Figura 5.8: Ensaios com esferas de vidro: relação entre frequência, tempo de operação e 
velocidade de filtragem para concentração de sólidos de 40%. ................................... 109 
Figura 5.9: Ensaios com areia: relação entre frequência, tempo de operação e velocidade 
de filtragem para tensão superficial de 36 x 10
-2
 N/m. ................................................. 111 
Figura 5.10: Ensaios com areia: relação entre frequência, tempo de operação e 
velocidade de filtragem para tensão superficial de 72 x 10
-2
 N/m. ............................... 112 
Figura 5.11: Ensaios com areia: relação entre frequência, tempo de operação e 
velocidade de filtragem para fração de área aberta de 34,2%. ..................................... 113 
Figura 5.12: Ensaios com areia: relação entre frequência, tempo de operação e 
velocidade de filtragem para fração de área aberta de 36%. ........................................ 114 
Figura 5.13: Ensaios com areia: relação entre frequência, tempo de operação e 
velocidade de filtragem para amplitude de vibração de 0,0015 m. .............................. 115 
Figura 5.14: Ensaios com areia: relação entre frequência, tempo de operação e 
velocidade de filtragem para amplitude de vibração de 0,002 m. ................................ 116 
Figura 5.15: Ensaios com areia: relação entre frequência, tempo de operação e 
velocidade de filtragem para concentração de sólidos de 30%. ................................... 117 
Figura 5.16: Ensaios com areia: relação entre frequência, tempo de operação e 
velocidade de filtragem para concentração de sólidos de 40%. ................................... 118 
 
 
XIII 
 
LISTA DE ABREVIAÇÕES E NOTAÇÕES 
 
L
yv
 – velocidade do líquido na direção “y” [m/s]; 
F f – força de atrito viscoso, dada por: 
F i – força inercial, dada por: 
F t – força capilar (força de retenção), dada por: 
F v – força operacional aplicada, devida à aceleração e vibração da peneira, dada 
por: 
A – amplitude da vibração da peneira [m]; 
a e b – constantes; 
ab – valores que vão de 1 a 6, dependendo da característica do material (quanto 
mais fino, menor seu valor); 
Ap – área da partícula [m
2
]. 
Apo – área do poro [m²] 
as = 4/3 e; 
At – área transversal da peneira [m²]. 
ax e ay – abertura da peneira nos planos “x” e “y” respectivamente [m]; 
Ay – amplitude de vibração normal à superfície da peneira [m]. 
bs = 1/2. 
Cd – coeficiente de descarga [-]; 
C – valor múltiplo da aceleração, como função do tempo e da altura do leito [-]; 
Cml – concentração mássica de líquido [-]. 
Cms – concentração mássica de sólidos [-]; 
Cvs – concentração volumétrica de sólidos [-]. 
dh – diâmetro equivalente do tubo capilar [m]; 
dk – diâmetro de Kozeny das partículas (medido através da permeabilidade da 
torta) [m]. 
dp – diâmetro da partícula [m]. 
dpo – diâmetro do poro [m] 
e – espessura do leito [m]; 
f – frequência de operação [Hz]. 
 
XIV 
 
fa – fração de área aberta da peneira (porosidade da peneira) [-]. 
g – aceleração da gravidade [m/s²]; 
G – parâmetro gravitacional [-]; 
H – altura do tubo capilar [m]; 
h – ascensão capilar [m]; 
hc – espessura da torta [m]; 
hm – espessura da polpa [m]; 
Hr – índice de Hausner [-]; 
hscr – espessura da peneira [m]; 
k – permeabilidade do leito [-]; 
kc – permeabilidade da torta [-]; 
ke – permeabilidade do leito [-]; 
kscr – permeabilidade da peneira [-]. 
Kϕ – coeficiente de perda de carga da peneira [-]; 
L – comprimento da peneira [m]; 
m – massa da amostra seca em estufa [kg]; 
m1 – massa do conjunto (proveta + areia) [kg]; 
m1 – massa do picnômetro vazio [g]; 
m2 – massa do picnômetro + amostra [g]; 
m2 – massa total do conjunto (proveta + areia + água) [kg]; 
m3 – massa do picnômetro + amostra + água [g]; 
m4 – massa do picnômetro + água [g]; 
n – número harmônico. 
n – umidade instantânea; 
n0 – valor mínimo de n; 
np/e – número de partículas por estrato [-]. 
npo – número de poros [-]; 
pb – pressão capilar máxima (breakthrough pressure) [Pa]; 
Qvf – vazão volumétrica de filtrado [m
3
/s]; 
Rc – raio do capilar [m]. 
Reϕ – número de Reynolds da peneira [-]. 
Rf – raio da partícula no ângulo θ [mm]; 
 
XV 
 
SF – saturação da película [-]; 
Slb – saturação entre as partículas [-]. 
t – tempo de operação [s]; 
v– velocidade de percolação intersticial do fluido (velocidade superficial de 
filtragem) [m.s
-1
]; 
v – velocidade superficial de escoamento (drenagem) [m/s]. 
Va – volume de água adicionada à proveta [m
3
]. 
Vl inst – volume de líquido intersticial [m³]; 
Vl sobre – volume de líquido sobrenadante [m³]; 
Vl total – volume total de líquido [m³]. 
Vp – volume da partícula [m
3
]; 
Vpro – volume da proveta [m
3
]; 
Vs pen – volume de sólido na peneira [m³]; 
Vs– volume de sólido [m³]; 
Vv – volume de vazios [m³]; 
vx – velocidade de transporte na direção “x” [m/s]. 
α0, αn e βn – coeficientes de Fourier [-]; 
β – coeficiente de escoamento cinético (parâmetro inercial) [-]; 
γ – tensão superficial do líquido [N/m]; 
δ – ângulo de contato [º]. 
Δp – diferença de pressão [Pa]; 
Δpγ – pressão interfacial [Pa]; 
Δpϕ – perda de carga na tela da peneira [Pa]; 
εL – porosidade do líquido no leito sólido [-]; 
εs – porosidade do leito [-]; 
ηl – viscosidade dinâmica do líquido [Pa.s]; 
θ – ângulo de contato da fase sólido-líquido [°]; 
θ – ângulo de inclinação da peneira; 
λ – parâmetro cinético (múltiplo da aceleração) [-]. 
μ – viscosidade do líquido [Pa.s]; 
ρa – massa específica da água [kg/m
3
] 
ρap – massa específica aparente do sólido [kg/m
3
]. 
 
XVI 
 
ρf – massa específica do filtrado [kg.m
-3
]; 
ρl – massa específica do líquido [kg/m³]; 
ρpo – massa específica da polpa [kg/m³]; 
ρs – massa específica real do sólido [kg/m
3
]; 
φ – ângulo de fase [-]; 
ϕ – diâmetro do fio da peneira [m]; 
ϕx e ϕy – diâmetro do fio da tela nos planos “x” e “y” respectivamente [m]. 
ψ – esfericidade [-]; 
ω – frequência angular da peneira [rad/s]; 
 
 
 
XVII 
 
SUMÁRIO 
 
 
1. INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 19 
2. OBJETIVO E RELEVÂNCIA ............................................................................ 21 
3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ............................................................................ 22 
3.1 Sistemas particulados e sua caracterização .......................................................... 22 
3.1.1 Massa específica real e aparente e densidade ........................................................ 24 
3.1.2 Índice de Hausner .................................................................................................. 24 
3.1.3 Ângulo de repouso, ângulo de atrito interno e velocidade de escoamento ............ 27 
3.1.4 Tamanho e distribuição de tamanho de partículas ................................................. 28 
3.1.5 Morfologia de partículas ........................................................................................ 31 
3.1.6 Análise da morfologia de partículas a partir de séries de Fourier ......................... 33 
3.2 Peneiramento ........................................................................................................... 34 
3.2.1 Equipamentos ......................................................................................................... 36 
3.2.1.1 Grelhas ................................................................................................................ 36 
3.2.1.2 Peneiras fixas ...................................................................................................... 37 
3.2.1.3 Peneiras móveis .................................................................................................. 39 
3.2.2 Dimensionamento de peneiras ............................................................................... 47 
3.3 Mecanismos de filtragem aplicáveis ao desaguamento em peneiras .................. 48 
3.4 Perda de carga na tela da peneira ......................................................................... 52 
3.5 Vibração em peneiras ............................................................................................. 53 
3.6 Capilaridade dos sistemas particulados ................................................................ 56 
3.7 Modelagem do desaguamento em peneiras vibratórias ...................................... 57 
3.7.1 Modelo de desaguamento de peneiras de Keller e Stahl (Keller e Stahl, 
1994;1997) ...................................................................................................................... 58 
3.7.2 Modelo de desaguamento de peneiras de Ng (Ng, 1990) ...................................... 63 
3.7.3 Modelo de desaguamento Raja et alii (2010) ........................................................ 67 
4. MATERIAIS E MÉTODOS ................................................................................ 71 
4.1 Desenvolvimento do modelo matemático .............................................................. 71 
4.1.1 Perda de carga em meio poroso (Δ pe) ................................................................... 73 
4.1.2 Perda de carga na tela da peneira (Δ pϕ) ................................................................ 74 
 
XVIII 
 
4.1.3 Perda de carga interfacial (capilaridade) (Δ pγ) ..................................................... 75 
4.1.4 Pressão hidrostática (Δ ph) ..................................................................................... 78 
4.1.5 Pressão mecânica (aceleração do sistema) (Δ pm) ................................................. 81 
4.1.6 Equação para o cálculo da velocidade de drenagem .............................................. 84 
4.1.7 Equação para determinação da umidade residual da torta ..................................... 85 
4.2 Caracterização das amostras para realização da simulação .............................. 87 
4.2.1 Amostras ................................................................................................................ 87 
4.2.2 Caracterização granulométrica das amostras ......................................................... 88 
4.2.3 Determinação da massa específica das amostras (real e aparente) e porosidade ... 90 
4.2.4 Determinação da esfericidade ................................................................................ 93 
4.2.5 Características da tela da peneira ........................................................................... 94 
4.2.6 Determinação da espessura do leito de partículas e da lâmina de sobrenadante ... 95 
5. RESULTADOS ..................................................................................................... 99 
5.1 Simulação com esferas de vidro ........................................................................... 100 
5.1.1 Influência da tensão superficial para drenagem com esferas de vidro................. 100 
5.1.2 Influência da fração de área aberta da peneira para drenagem com esferas de vidro
 ...................................................................................................................................... 104 
5.1.3 Influência da amplitude do movimento para drenagem com esferas de vidro .... 106 
5.1.4 Influência da concentração mássica de sólidos para drenagem com esferas de 
vidro .............................................................................................................................. 108 
5.2 Simulação com areia ............................................................................................. 111 
5.2.1 Influência da tensão superficial para drenagem com areia .................................. 111 
5.2.2 Influência da fração de área aberta da peneira para drenagem com areia ........... 113 
5.2.3 Influência da amplitude do movimento para drenagem com areia ...................... 115 
5.2.4 Influência da concentração mássica de sólidos para drenagem com areia .......... 117 
5.3 Previsão da umidade residualda torta ............................................................... 119 
6. CONCLUSÃO ..................................................................................................... 121 
7. SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ............................................ 123 
8. REFERÊNCIAS .................................................................................................. 124 
9. ADENDOS ........................................................................................................... 131 
 
19 
 
 
 
 
 
Sistemas particulados apresentam elevada ubiqüidade, entretanto, também 
apresentam elevada complexidade no seu entendimento, caracterização e 
processamento. No beneficiamento mineral, fazem-se presentes nas variadas etapas do 
processo, a partir de etapas de cominuição de uma rocha progenitora, que devido aos 
diferentes mecanismos de quebra envolvidos, gerarão como produtos uma infinidade de 
partículas com granulações as mais diversas. Na maioria das vezes, o tratamento de 
sistemas particulados (também conhecidos como graneis ou sistemas particulados 
densificados, em contraste com os sistemas rarefeitos, como poeiras e gases) ocorre 
com presença de grande quantidade de água. 
A presença de água pode ser utilizada devido a parâmetros operacionais, como 
no caso da moagem que evita sobreaquecimento do equipamento, na classificação em 
que é realizada a separação das espécies de acordo com suas granulações, por meio de 
separação hidráulica, no peneiramento, a presença de água auxlia na separação física 
entre os graneis (inclusive, ajuda a mitigar o efeito da elevada área específica de 
partículas mais finas, que por ventura acabam aderidas em partículas maiores e 
destinadas a produtos equivocados na operação) e também em etapas de concentração. 
Neste último caso, a presença de água se faz até mais significativa, sendo 
imprescindível o seu uso (salvo em casos de utilização de técnicas que ou utilizem o 
processamento a seco, ou que façam a operação com auxílio de outros fluidos que não a 
água). 
Todavia, a água deve ser separada posteriormente da fase sólida. Basicamente, 
os métodos empregados para a separação entre as fases podem consistir na 
sedimentação do sólido em líquido estacionário (espessamento), na passagem do líquido 
através de sólido estacionário (filtragem) ou mesmo aplicação de forças centrífugas 
(ciclones) e vibratórias (peneiras desaguadoras) 
1. INTRODUÇÃO 
 
20 
 
Em geral, as operações de desaguamento podem ser executadas em conjunto, 
como sedimentação seguida de filtragem, dependendo das características do material e 
da análise econômica do empreendimento. 
A filtragem, entretanto, é uma operação cara e complexa, que se utiliza de 
diferenças de pressão (positiva ou negativa) e mesmo da presença de reagentes, 
podendo ser substituída em alguns casos pelo desaguamento com peneiras. Peneiras 
desaguadoras atuam de forma semelhante à filtragem, com o líquido filtrado escoando 
através de um meio sólido, que é retido por uma barreira física (tela com abertura menor 
que o menor tamanho de partícula). 
Dentro desse contexto, este trabalho visou à elaboração de um modelo 
matemático que permita prever quantitativamente o comportamento de peneiras 
desaguadoras. A validação do modelo matemático foi feita a partir da simulação dos 
experimentos. 
 
 
21 
 
 
 
 
 Desenvolver um modelo matemático que permita analisar e quantificar a ação 
dos mecanismos presentes no desaguamento com peneiras vibratórias, sob a 
ótica da filtragem; 
 Desenvolver um modelo matemático que permita avaliar o perfil da evolução da 
umidade residual durante a operação de desaguamento em peneiras vibratórias; 
 
Este estudo permitirá, portanto, um maior conhecimento da operação de 
desaguamento em peneiras vibratórias ao aplicar mecanismos de filtragem para o 
desaguamento. Além disso, o sistema computacional poderá ser aplicado para 
simulação de peneiras desaguadoras. 
 
2. OBJETIVO E RELEVÂNCIA 
 
22 
 
 
 
 
A seguir, serão mencionadas as principais características dos sistemas 
particulados que podem influenciar nas operações de processamento mineral e em 
especial, nas operações de separação sólido-líquido. Também será feita breve 
introdução nos princípios de filtragem e na utilização do peneiramento convencional 
para separação das partículas conforme suas faixas granulométricas. 
 
 
3.1 Sistemas particulados e sua caracterização 
 
 
Materiais particulados (caracterizados por serem grandes partículas 
macroscópicas, figura 3.1) possuem grande importância econômica em diversos setores, 
dada sua ubiqüidade, desde a grande quantidade de rochas de granulação maior 
utilizadas na construção civil, até pequenas quantidades de pequenas partículas 
produzidas na indústria farmacêutica. Outros campos fortemente influenciados pelas 
características do material particulado incluem indústria alimentícia, nanotecnológica, 
ciência dos materiais e mineração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.1: Exemplo de um típico sistema particulado. 
3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 
 
23 
 
Embora exerçam grande importância na vida cotidiana, eles apresentam alta 
complexidade e difícil quantificação dos parâmetros envolvidos na sua caracterização e 
tratamento. Tal complexidade pode ser atribuída à sua metaestabilidade, que os deixam 
no limiar entre características de sólidos e dos fluidos (líquidos e gases), conforme 
afirmam López et alii (2008). Ainda segundo esses autores, as interações entre as 
partículas são configuradas como repulsivas e dissipativas (inelásticas). 
A complexidade apresentada pelos graneis pode ser ainda aumentada no caso do 
processamento mineral, como é o caso das polpas minerais (mistura entre água e sólidos 
finamente cominuídos) que apresentam características híbridas entre o sólido e o fluido 
e exibem comportamento reológico não-newtoniano (LUZ, 2011). Seu conhecimento no 
processamento mineral é crucial, portanto, para o bom andamento de diversas operações 
como cominuição, peneiramento, manuseio (bombeamento, estocagem, etc.) separação 
sólido-líquido e concentração das espécies minerais. 
Quanto ao grau de granulação (ou dimensão do sistema disperso em um meio 
contínuo) os sistemas particulados classificam-se em: solução verdadeira, dispersão 
coloidal, (as maiores partículas apresentam-se com pelo menos uma dimensão superior 
a um micrômetro), ou suspensão (as partículas possuem dimensão maior que o limite 
coloidal). 
A caracterização de partículas é importante em todos os aspectos da produção 
das mesmas: fabricação, manipulação, processamento e aplicações. Caracterização das 
partículas é a primeira tarefa necessária requerida num processo que envolve as 
partículas sólidas. Inclui não só os parâmetros intrínsecos estáticos (tais como tamanho, 
forma, densidade, morfologia, etc.), mas também o seu comportamento dinâmico em 
relação ao fluxo de fluido (por exemplo, o coeficiente de arrasto e da velocidade 
terminal). 
Deve-se levar em conta que esses sistemas são o somatório das características de 
todas as pequenas partículas. Assim, certas características levam em conta partículas 
individuais (com sua generalização para as demais), como forma, dureza, massa 
específica real, condutividade, etc. e aquelas características da associação de todo o 
sistema, tais como área específica, massa específica aparente, permeabilidade, ângulo de 
repouso natural, etc. 
 
24 
 
Ademais, também pode ser realizada a caracterização no que concerne às suas 
características de operação, como o escoamento em silos,o transporte em correias e 
carregadores, a sua explosividade, etc. 
 
 
3.1.1 Massa específica real e aparente e densidade 
 
 
A massa específica de um corpo diz respeito à relação entre a sua massa e o 
volume ocupado pela mesma. Podem ser considerados dois aspectos da massa 
específica de um corpo: a aparente e a real. A primeira considera o volume total da 
amostra (inclusive os vazios), e assim, é depende do grau de compactação do material. 
A massa específica real, por sua vez, considera somente o volume do material sólido 
que ocupa dado volume, sem considerar, entretanto, o espaço vazio entre os mesmos. 
Comumente, se confunde massa específica real e densidade. A densidade 
considera a razão entre a massa específica de um corpo com a massa específica da água 
a 4º C (277 kelvins), isto é, uma grandeza adimensional. O valor de densidade de um 
material representa quantas vezes ele é mais ou menos denso que a água. Um exemplo: 
o valor padrão de densidade da água, à temperatura de 4° C é de 1,00. O valor do 
mercúrio, nesta temperatura, é de 13,585, ou seja, ele é quase 14 vezes mais denso que a 
água. 
 
 
3.1.2 Índice de Hausner 
 
 
O seu conhecimento permite descrever o grau de empacotamento e a 
escoabilidade do granel. Trata-se de uma propriedade importante, que possibilita 
avaliar, por exemplo, a estocagem de sólidos em silos, prever o tempo até que a peneira 
atinja o pico de entupimento das telas (Robberts e Beddow, 1969) ou exerce influência 
na uniformidade da dosagem das máquinas de fabricação de fármacos. Além disso, 
 
25 
 
deve-se ter em mente que quanto maior o grau de compactação da amostra, menor será 
sua porosidade. 
Esse índice é a razão entre a massa específica compactada e a massa específica 
aparente da amostra. Segundo Prista el al (2002 apud BLOCK, 2007), valores do índice 
de Hausner menores que 1,25 indicam materiais facilmente compressíveis. Valores 
típicos de índice de Hausner podem ser encontrados na tabela 3.1. 
 
 
Tabela 3.1: Índice de Hausner (Hr) e escoabilidade de meio granular 
Hr Escoamento 
< 1,25 Fácil 
1,25 - 1,5 Necessidade de lubrificante 
> 1,5 Muito difícil 
Fonte: Block, 2007 
 
 
Assim, um índice de Hausner elevado indica alta compressibilidade do material 
e por consequência, o seu escoamento será difícil. 
Ainda pode ser definida uma relação entre o índice de Hausner e a esfericidade, 
que segundo Zou e Yu (1996) pode ser dada pela seguinte fórmula: 
 
Hr = 1,48 × 10
−0,136×ψ (3.1) 
 
Onde: 
 
Hr – índice de Hausner [-]; 
ψ – esfericidade [-]. 
 
Segundo esses autores, o índice de Hausner é dependente da forma das 
partículas, embora o conhecimento do índice de Hausner permita determinar a forma 
das partículas. 
 
26 
 
Outra importância do índice de Hausner está relacionado com a obstrução 
(cegamento) das aberturas da peneira. Roberts e Beddow (1968) realizaram estudos para 
analisar os fatores que afetam a obstrução das aberturas da peneira. Segundo os autores, 
para material esférico, a obstrução da tela é constituída por quatro estágios: aumento 
rápido do cegamento, levando ao pico de cegamento (peak blinding), que por sua vez 
leva a uma redução gradual do peneiramento, chegando na etapa final denominada 
“hard blinding”, que reduz a eficiência do peneiramento, bem como as partículas são 
difíceis de remover. E esse tempo é relacionado com a morfologia das partículas, bem 
como com o índice de Hausner. Quando se tem um elevado índice de Hausner, a taxa de 
peneiramento é pequena, e vice-versa. Os resultados encontrados demonstraram que 
quando o índice de Hausner é maior (escoamento difícil que leva a uma redução na taxa 
de peneiramento), o tempo levado para atingir o “pico de cegamento” é maior. Isso 
pode ser observado na figura 3.2 a seguir. 
 
 
 
Figura 3.2: Tempo para atingir o pico de cegamento versus índice de Hausner. 
Fonte: Roberts e Beddow, 1968. 
 
 
27 
 
3.1.3 Ângulo de repouso, ângulo de atrito interno e velocidade de escoamento 
 
 
Todos são importantes parâmetros da reologia de particulados, e estão 
relacionados com a facilidade de escoamento do material granular. O ângulo de repouso 
(figura 3.3) natural ou estático de um material granular é o ângulo medido da horizontal 
com a superfície da pilha de material particulado. Este é o ângulo segundo o qual o 
material, partindo do repouso, escoará. O ângulo de repouso depende das características 
intrínsecas do material, de sua forma geométrica e da faixa granulométrica, mas 
também sofre influência marcante da umidade, da pressão de compactação, da presença 
de partículas argilosas, da temperatura, do tempo de estocagem e do modo de formação 
da pilha (SILVA, 2005). 
O ângulo de atrito interno também depende das características do material, e 
consiste no ângulo da superfície do material particulado formado com a parte inferior de 
um dispositivo de armazenamento, conforme a figura. Percebe-se que o ângulo de atrito 
interno deve ser maior que o ângulo de repouso para que ocorra o escoamento do 
material particulado. 
A velocidade de escoamento está intrinsecamente relacionada com o índice de 
Hausner, uma vez que materiais altamente compactados apresentam baixa velocidade de 
escoamento em silos e outras estruturas. 
 
 
Figura 3.3: esquema mostrando o ângulo de repouso (β) e o ângulo de atrito interno (α). 
 
28 
 
3.1.4 Tamanho e distribuição de tamanho de partículas 
 
 
O conceito de “tamanho” de partículas é um conceito impreciso no caso do 
processamento mineral, pois as partículas não possuem formas definidas como esferas 
ou cubos. Para estas formas, pode-se usar o diâmetro ou a largura, respectivamente, para 
medir seus tamanhos. A determinação do tamanho em corpos irregulares, entretanto, 
pode ser apenas estimada. 
Segundo Svarovsky (2000), existem três grupos de tamanhos que podem 
descrever partículas irregulares: diâmetro da esfera equivalente, diâmetro do círculo 
equivalente e diâmetro estatístico. 
O conceito da esfera equivalente consiste em relacionar alguma propriedade 
dependente do tamanho da partícula (maior ou menor dimensão, área projetada, área 
superficial, massa, etc.) e relacioná-la com uma dimensão linear (ALLEN, 1997). Neste 
caso, alguma dessas propriedades é relacionada como o diâmetro da esfera, conforme 
pode ser visto na figura 3.4, retirada de França e Couto, 2007. 
 
 
 
Figura 3.4: Diâmetros equivalentes para uma mesma partícula. 
Fonte: França e Couto, 2007 
 
 
 
29 
 
O segundo grupo é aquele relacionado com o diâmetro de um círculo que tem a 
mesma propriedade que a área projetada das partículas. 
Por fim, tem-se a medida estatística do tamanho de partículas, que é obtido 
quando uma dimensão linear é medida (por microscópio) paralelamente a uma direção 
fixa. No adendo I é possível encontrar os grupos que descrevem o diâmetro de 
partículas irregulares. 
No beneficiamento mineral, cuja predominância é de partículas irregulares, o 
tamanho pode então ser somente encontrado de forma indireta. Uma das formas de se 
fazer isso é se encontrar a menor abertura em uma peneira de malha quadrada, na qual a 
partícula passará. O diâmetro da partícula ficará então compreendido entre o tamanho 
da abertura na qual ela passou e aquele em que ela ficou retida. Assim, não se tem uma 
definição absoluta do tamanho da partícula, mas sim uma estimação dos tamanhos entre 
os quais a partícula se encontra. 
Além dessa técnica, algumas partículas também podem ter seu tamanho medido 
por meio do uso do conceito de tamanho equivalente, mencionado anteriormente. Aescolha de algum desses diâmetros para a caracterização das partículas dependerá da 
aplicação pretendida. 
 Como a medição das dimensões de partículas individuais seria visualmente 
impossível (dada a grande quantidade de partículas presentes), faz-se a análise com 
funções de distribuição, que definem quantitativamente como os valores e propriedades 
estão distribuídos entre as partículas na população inteira de partículas (KING, 2001). O 
alcance de tamanhos que podem ser analisados vai desde o diâmetro de 1 m até valores 
menores que 1µm. 
 Segundo Luz (2011), a determinação do tamanho das partículas dificilmente 
apresentará aderência estatística com a distribuição de Gauss. Com isso, a curva de uma 
análise de distribuição granulométrica (por exemplo: porcentagem passante versus 
diâmetro da partícula) terá um comportamento que se afasta da posição simétrica. Tal 
comportamento se dá em virtude da separação preferencial entre as diferentes classes de 
tamanho de partículas. Um exemplo de comportamento assimétrico (com assimetria à 
direita ou positiva) pode ser visualizado na figura 3.5 a seguir, que mostra uma curva de 
análise granulométrica de uma areia quartzosa. 
 
 
30 
 
 
Figura 3.5: Demonstração da não-aderência estatística com a distribuição de Gauss de uma 
amostra peneirada. 
 
 
No processamento mineral, uma forma bastante comum para se realizar a análise 
da distribuição de tamanhos é por meio da análise granulométrica, que consiste na 
determinação de tamanhos e a frequência em que os mesmos ocorrem, em determinada 
faixa de tamanho (LIMA e LUZ, 2000; 2007). A sua apresentação pode ser feita por 
meio de tabelas ou gráficos de quantidade (passante ou retida na peneira) versus 
tamanho da partícula. Uma forma de elaboração de gráfico para análise de tamanho 
pode ser visualizado na tabela 3.2. 
Nessa tabela, a análise de tamanho de partículas é realizada em uma série de 
peneiras, e as porcentagens de material podem ser separadas entre retido simples 
(quantidade absoluta retida em uma peneira), retido acumulado (quantidade retida ao 
longo das peneiras em série) e passante acumulado (proporção acumulada de material 
passante naquela malha). No adendo II, estão algumas das principais funções de 
distribuição de tamanho. 
 
 
 
 
 
31 
 
Tabela 3.2: Cálculos para análise granulométrica 
Tamanho 
[m] 
Massa 
[g] 
Retido simples 
[%] 
Retido 
acumulado [%] 
Passante 
acumulado [%] 
d1 m1 R1=(m1/mt)x100 RA1=R1 P=100-RA1 
d2 m2 R2=(m2/ mt)x100 RA2=R1+R2 P=100-RA2 
.... ... ... ... ... 
dn mn Rn=(mn/ mt)x100 RAn=RAn-1+Rn P=100-RAn 
[-] 
1
n
t
i
m


 
t
1
R
n
i

 [-] [-] 
 
 
3.1.5 Morfologia de partículas 
 
 
Partículas com formato irregular estão presentes em diversos ramos da indústria, 
e seu comportamento peculiar em comparação com partículas esféricas [ditas ideais] 
incentiva pesquisadores a realizarem estudos variados sobre suas características. 
Segundo Asahina e Taylor (2011), entre esses estudos sobre partículas irregulares, 
figuram: 
 
1. Preenchimento de espaço vazio (quantos corpos caberiam em uma estrutura 
de armazenagem); 
2. Porosidade e permeabilidade de materiais de construção e; 
3. Número de contatos entre partículas. 
 
Os autores ainda enumeram os principais atributos analisados das partículas, 
como peso (o mais simples de ser medido), volume, área superficial, tamanho e forma. 
Com relação à forma das partículas, esta influencia propriedades como fluidez, 
empacotamento, interação com fluidos, porosidade, comportamento da torta e poder de 
cobertura de pigmentos (ALLEN, 1997). Qualitativamente, foram designados termos 
para a forma das partículas: acicular, angular, cristalina, dentrítica, etc. 
 
32 
 
Entretanto, segundo Gotoh e Finney (1975), estes termos são inadequados para 
análise quantitativa. Ainda segundo esses autores, a dificuldade em realizar a análise da 
forma das partículas consiste no fato de que tamanho e forma são matemática e 
logicamente inseparáveis. Um exemplo dado pelos autores é que, realizando a medição 
do tamanho da partícula por meio do diâmetro equivalente da esfera, podem ser usados 
diâmetros equivalentes baseados em diferentes propriedades, como o diâmetro de esfera 
com mesmo volume, área superficial ou mesma área projetada que a partícula irregular 
a ser medida (conforme mostrado na figura 3.4). Quanto mais as partículas forem 
irregulares, mais divergentes serão os valores de diâmetro adotados. Foram então 
criadas várias relações numéricas, com a finalidade de se realizar uma medição 
quantitativa das características das partículas. Segundo Allen (1997), a quantificação 
das partículas pode ser feita de forma macroscópica, através de coeficientes de forma 
(relação entre tamanhos medidos e o volume ou a superfície da partícula) e de forma 
microscópica, através de fractais ou por transformada de Fourier. 
Uma das principais formas de análise de morfologia de partículas é por meio da 
esfericidade das mesmas. A esfericidade (ψ) é dada pelo quociente da área superficial 
da esfera de mesmo volume que a partícula e a área superficial da partícula, ou seja: 
 
área superficial da esfera de mesmo volume que a partícula
ψ=
área superficial da partícula
 (3.2) 
 
Ou: 
 
 
2 3
3
p
p
π× 6V
ψ=
A
 (3.3) 
 
Onde: 
 
ψ – esfericidade [-]; 
Vp – volume da partícula [m
3
]; 
Ap – área da partícula [m
2
]. 
 
 
33 
 
Para uma partícula esférica, a esfericidade é igual a 1. Para as demais formas de 
partículas, a esfericidade é sempre um valor menor que isso. 
 
 
3.1.6 Análise da morfologia de partículas a partir de séries de Fourier 
 
 
Utilizando séries de Fourier, é possível transformar as características da 
morfologia das partículas em sinais em forma de onda, que permitem encontrar o 
contorno da partícula e seu centro de gravidade, onde está estabelecido um sistema de 
coordenadas polares. Isso permite identificar a análise da forma das partículas. 
Uma série de Fourier consiste de uma função periódica que apresenta a seguinte 
forma geral: 
 
 
rj(θ) = 𝛼0 + 𝛼n × cos⁡(𝑛ℎθ) + 𝛽n × sen(𝑛ℎθ) 
N
n=1
 (3.4) 
 
Onde: 
 
rj – raio da partícula no ângulo θ [mm]; 
α0, αn e βn – coeficientes de Fourier [-]; 
nh – número harmônico. 
 
É obtida uma curva, que considera os raios do objeto e os ângulos formados por 
cada um deles. Com isso, tem-se a morfologia da partícula. Na figura 3.6 está um 
exemplo da aplicação da série de Fourier para determinação da morfologia da partícula. 
 
 
 
34 
 
 
Figura 3.6: Projeção de um grão de areia através de coordenadas polares. 
Fonte: Davis, 2002. 
 
 
3.2 Peneiramento 
 
 
 A operação de peneiramento consiste de mecanismos mecânicos de separação de 
partículas baseados no tamanho das mesmas. É utilizada uma superfície uniformemente 
perfurada, que agirá como um dispositivo de passa/não-passa. Partículas maiores que a 
abertura ficarão retidas na superfície da peneira, enquanto as mais finas irão passar por 
ela. A figura 3.7 mostra um esquema do processo de separação em peneira: 
 
 
 
35 
 
 
Figura 3.7: a) Modelo esquemático do processo de peneiramento; b) Exemplo de material retido 
na tela da peneira. 
 
 
Wills e Munn (2005) enumeram uma grande quantidade de objetivos do 
peneiramento na indústria mineral: 
 
1. Separação ou classificação: visa separar as partículas pelo seu tamanho; 
2. Escalpe: usado para remover as frações mais grossas do material, podendo asmesmas serem britadas ou mesmo removidas do processo; 
3. Bitolamento: preparar os produtos em tamanhos específicos, onde existem 
normas que especificam as granulometrias do produto final; 
4. Recuperação do meio: para lavagem do meio magnético em circuitos que 
utilizam esta prática; 
5. Desaguamento: para reduzir a umidade de polpas. 
 
Assim, com tantas operações possíveis de serem realizadas com peneiramento, 
existem variados tipos de equipamentos industriais. No desaguamento, os equipamentos 
mais comuns de serem utilizados são as peneiras DSM e as peneiras vibratórias com 
inclinação ascendente (no sentido de descarga). Os demais tipos possuem grande 
aplicabilidade nos processos de separação de partículas por tamanho. 
 
 
 
36 
 
3.2.1 Equipamentos 
 
 
Encontram-se disponíveis uma variedade de equipamentos para o peneiramento 
industrial, de acordo com a necessidade ou objetivos do peneiramento (alívio do 
britador, peneiramento com elevada eficiência, desaguamento, etc.) 
 
 
3.2.1.1 Grelhas 
 
 
São barras metálicas dispostas paralelas umas às outras tendo como 
característica a robustez, possibilitando o escalpe do R.O.M. (material não processado, 
proveniente da mina; do inglês – Run of Mine) para aliviar o britador. Podem ser 
horizontais ou inclinadas e vibratórias ou estacionárias. Uma grelha fixa está 
representada na figura 3.8. 
 
 
 
Figura 3.8: Exemplo de grelha fixa. 
Fonte: Luz, 2011. 
 
 
 
37 
 
Grelhas fixas são barras equidistantes apoiadas numa estrutura de suporte, 
inclinadas na direção do fluxo cerca de 15° a 45°. São sempre utilizadas a seco e 
possuem baixa eficiência (até 50 %) em virtude da ausência de vibração. 
As grelhas vibratórias são semelhantes às fixas, diferindo apenas por estarem 
sujeitas à vibração, o que implica em aumento da eficiência, segundo 
Chaves e Peres (2006) estando entre 60 e 70 %. Apesar do aumento da eficiência, sua 
função ainda é de servir de alívio para o britador. 
Exemplos de utilização de grelha podem ser encontrados, por exemplo, na mina 
Pitinga, onde se utiliza grelha fixa com abertura de 406 mm, cujo passante alimenta 
uma grelha vibratória de abertura de 100 mm (LUZ et al, 2001). O material retido na 
grelha alimenta umk britador de mandíbulas de 800 x 500 mm. 
 
 
3.2.1.2 Peneiras fixas 
 
 
 Nesta categoria se encontram as peneiras curvas do tipo DSM (nome da empresa 
holandesa que as desenvolveu – Dutch State Mines), figura 3.9, introduzidas na década 
de 50 para o desaguamento de carvão. Possibilitam o desaguamento e uma separação 
precisa de finos e possuem aberturas transversais ao fluxo, que impedem o cegamento 
(obstrução por oclusão e por obturação) das aberturas (LUZ, 2011). 
 
 
 
38 
 
 
Figura 3.9: Exemplo de peneira DSM. 
Fonte: Gupta e Yan, 2006. 
 
 
 Outra característica que impede a obstrução das aberturas é o formato das barras, 
que são prismáticas, possuindo seção transversal triangular, cujo vértice se encontra 
voltado para baixo e a base se encontra voltada para a superfície de separação. Isso evita 
o “encaixe” (ou engaste) de partículas irregulares. 
A alimentação é feita no compartimento superior da peneira, de forma que o 
arranjo da alimentação propicia energia potencial suficiente para que as forças 
gravitacionais atuem e ajam para que a lama passe pela peneira (GUPTA e YAN, 2006). 
A curvatura da peneira ainda ajuda o líquido a escoar pela superfície da peneira por 
meio de forças inerciais (“centrífugas”). 
Segundo Luz (2011), realizando-se análise de regressão não-linear, a partição do 
fluido pode ser expressa pela seguinte distribuição de Weilbul (com coeficiente de 
correlação estatística de 99,42 %): 
 
Rpass = 97,1 × 1 − exp − 
Re − 17,5
166,5
 
1,355
 (3.5) 
 
 
39 
 
Na figura 3.10 está visualizada a partição do fluxo segundo a equação 3.5: 
 
 
 
Figura 3.10: Partição do fluido em peneira DSM, segundo distribuição de Weilbul. 
Fonte: Luz, 2011. 
 
 
3.2.1.3 Peneiras móveis 
 
 
Neste grupo, encontram-se inseridas as peneiras que possuem algum tipo de 
movimento (rotativo, excêntrico, etc) que auxiliam nas operações. 
 
 
3.2.1.3.1 Peneiras revolventes (trômel) 
 
 
 Esta peneira é caracterizada por uma superfície cilíndrica ou troncocônica 
revestida com tela, com inclinação leve, de cerca de 2º a 12º. Sua alimentação ocorre na 
parte superior, com o material descendo e sendo rodado. 
 
40 
 
As principais vantagens são sua simplicidade de construção, facilidade de 
operação, baixo custo de aquisição e durabilidade. Outra vantagem é que o movimento 
revolvente diminui a obstrução dos furos por partículas placoidais ou material estranho. 
A figura 3.11 mostra o desenho esquemático de um trômel. 
 
 
 
Figura 3.11: Esquema de trômel com duas telas. 
Fonte: Luz, 2011. 
 
 
3.2.1.3.2 Peneiras vibratórias 
 
 
As peneiras vibratórias (figura 3.12) são constituídas por um chassi robusto, 
apoiado em molas, um mecanismo acionador do movimento vibratório e um, dois ou 
três suportes para as telas (“decks”) (KELLY e SPOTSWOOD, 1982). Existem variados 
tipos: peneiras inclinadas, horizontais, de ressonâcia, modulares, de alta frequência, etc. 
 
 
 
41 
 
 
Figura 3.12: Esquema típico de peneira vibratória inclinada. 
Fonte: Linatex Vibrating Screens, 2011. 
 
 
As partículas apresentarão movimento de acordo com a inclinação da peneira. 
Partículas transportadas em peneiras com vibração horizontal possuem movimentação 
linear, com um ângulo de 45 º com a horizontal enquanto nas peneiras inclinadas, as 
partículas descrevem trajetórias circulares num plano vertical, apresentado maior 
velocidade de transporte (GALERY et alii, 2007). Na figura 3.13, está ilustrado o 
movimento da partícula de acordo com a inclinação da peneira e com os elementos do 
sistema oscilatório. 
 
 
 
Figura 3.13: Movimento da partícula em peneiras vibratórias: a) horizontais; b) inclinadas. 
Fonte: Galery et alii, 2007. 
 
42 
 
Quanto ao movimento de vibração da peneira, os principais são: circular, linear e 
oval, conforme ilustrado na figura 3.14. 
 
 
 
Figura 3.14: Ilustração dos padrões de movimento vibratório da peneira: a) movimento circular; 
b e d) movimento oval; c) movimento linear. A estrela indica o centro de gravidade das mesmas 
(A – alimentação; R – retido; P - passante). 
Fonte: Wills e Munn, 2005. 
 
 
O movimento circular acontece quando o eixo de vibração coincide com o 
centro de gravidade da peneira (figura 3.14; - a). O eixo de vibração pode ser instalado 
acima do centro de gravidade, proporcionando movimento elíptico em direção à 
descarga na alimentação, movimento circular no centro da peneira e movimento elíptico 
com inclinação para trás (figura 3.14 - b). Essa configuração permite uma rápida 
passagem das partículas no início da peneira e uma redução de sua velocidade no final, 
permitindo maior chance das partículas encontrarem berturas para passar. 
Para que ocorra o movimento linear (figura 3.14 - c), são instalados dois 
excitadores atuando em direções opostas. Esse movimento pode ser usado tanto em 
peneira inclinadas quanto horizontais, em peneiras modulares ou reciprocativas. 
O movimento oval se utiliza de três eixos de vibração. Essa configuração possui 
os benefícios da capacidade conseguida com o movimento linear com a eficiência das 
peneiras de movimento circular. 
 
43 
 
3.2.1.3.3 Peneiras modulares (banana screen) 
 
 
Segundo Kelly e Spotswood (1982), o processo de peneiramentopossui três 
regiões distintas do fluxo das partículas. Na primeira região, a quantidade de partículas 
passante é pequena porque ainda está ocorrendo a estratificação do leito, ocorrendo a 
maior eficiência na segunda região do fluxo de partículas. Caso a inclinação da peneira 
na primeira região for muito elevada, as partículas passariam muito rápido pela mesma, 
ocorrendo uma grande taxa de passagem das partículas. 
Peneiras modulares são construídas de acordo com essa característica: são 
peneiras vibratórias de movimento linear, projetadas com o deck dividido em mais de 
um valor de inclinação, possibilitando o aumento da eficiência do peneiramento. 
Uma peneira modular é constituída principalmente por três módulos de 
inclinação. No primeiro módulo, há elevada inclinação da peneira, ocasionando um 
rápido alívio da peneira e baixa altura do leito. Entretanto, uma inclinação excessiva 
levaria a uma passagem muito rápida das partículas pela peneira, impedindo o 
peneiramento de partículas mais difíceis. 
Assim, o segundo módulo apresenta-se com uma inclinação adequada ao 
peneiramento, que é facilitado pelo menor volume do leito. 
Por fim, o terceiro módulo possui inclinação bastante reduzida, aumentando o 
tempo de passagem das partículas na peneira, propiciando assim o máximo possível de 
chances das partículas passarem pela tela da peneira, aumentando a eficiência do 
processo. Na figura 3.15 há um exemplo do princípio de funcionamento de uma peneira 
modular, com três módulos de inclinação, e a profundidade do leito 
 
 
 
44 
 
 
Figura 3.15: a) Desenho esquemático dos perfis de inclinação de uma peneira modular; b) perfil 
de profundidade nas regiões de alimentação e de descarga. 
Fonte: Linatex Vibrating Screens, 2011. 
 
 
3.2.1.3.4 Peneiras desaguadoras 
 
 
Segundo Chaves (2004), as peneiras vibratórias apresentam boa aplicabilidade 
para materiais de 0,635 mm a 0,0318 mm peneirados a seco, e de 6,35 cm a 0,3 mm se 
peneirados a úmido. Fora desta faixa, apresentam baixa eficiência. Na faixa 
intermediária de umidade, que vai de 43 a 60 %, as peneiras vibratórias passam a 
apresentar-se com a função desaguadora. Ainda segundo Chaves (2004), a água 
presente nesses valores faz com que as partículas hidrofílicas fiquem coesas, aderidas 
umas às outras, se movendo em bloco sobre a tela, permitindo até mesmo o 
desaguamento de partículas com tamanho inferior à abertura da tela. 
Assim, peneiras desaguadoras são, basicamente, peneiras vibratórias que são 
alimentadas com polpa mineral e produzem um produto filtrado com pouca umidade. 
As peneiras desaguadoras possuem leve inclinação ascendente no sentido de descarga e 
uma malha com abertura menor que a menor partícula presente na alimentação, 
proporcionando a filtragem da água e a descarga do produto. A vibração do sistema 
auxilia no desaguamento, podendo atingir valores finais de umidade entre 10 e 15 % 
 
45 
 
(ERAL, 2012) embora alguns fabricantes atestem valores de até 7 % de umidade 
(AZFAB, 2012). Um esquema de uma peneira desaguadora se encontra na figura 3.16. 
 
 
Figura 3.16: a) Representação esquemática de uma peneira desaguadora: 1) alimentação, 
2) filtragem da água através peneira, 3) motores que criam o movimento linear de vibração, 
4) inclinação ascendente na descarga, proporcionando a descarga de sólidos desaguados. (Fonte: 
McLanahan, 2012); b) exemplo de uma peneira desaguadora industrial (Fonte: Eral, 2012). 
 
 
Peneiras utilizadas no desaguamento encontram uma variedade de aplicações, 
tanto na mineração, como na reciclagem e descontaminação de solos, na indústria 
química e alimentícia. 
Na indústria mineral, encontram aplicações para o desaguamento de alguns 
minerais metálicos, areia, rocha britada, sais de potássio e carvão. Dentre as vantagens 
na sua utilização, estão os baixos custos operacionais e de construção. 
A tabela 3.3 mostra os exemplos de aplicação entre os diferentes tipos de 
peneira. 
 
 
 
 
 
 
46 
 
Tabela 3.3: Cotejo entre alguns tipos de peneiras vibratórias 
 Aplicação 
Tipo de 
peneira 
Desaguamento de 
concentrados 
minerais, rejeito e 
areia 
Recuperação de 
finos de carvão 
Separação 
por tamanho 
Preparação da 
alimentação 
Deslamagem 
Remoção de 
lixo 
Desaguadora X X X 
Modular X 
Horizontal X X X X 
Fonte: Linatex Vibrating Screens, 2011. 
 
 
Segundo Keller e Stahl (1994), o desaguamento vibratório com peneiras é 
influenciado por uma série de fatores, referentes à construção do equipamento, 
condições operacionais e parâmetros do material, conforme pode ser observado na 
tabela 3.4. 
Ainda segundo esses autores, a operação de peneiras desaguadoras pode ser 
formalmente considerada como uma centrífuga descontínua, para intervalos de tempo 
extremamente curtos. 
Tal abordagem, entretanto, não será considerada neste trabalho para a elaboração 
do modelo de desaguamento em peneiras. Este trabalho focará na constatação de que há 
a atuação de princípios de filtragem na operação da peneira desaguadora, uma vez que 
tem-se um elemento filtrado (a água) que passa através de um meio sólido poroso, bem 
como de outros parâmetros, como influências de forças de superfície (capilaridade) da 
vibração mecânica do sistema e da coluna de líquido acima do leito de partículas. 
 
 
 
 
47 
 
Tabela 3.4: Fatores que influenciam no desaguamento com peneiras vibratórias. 
Influência exercida 
Parâmetros de 
construção 
Condições 
operacionais 
Parâmetros do material 
Capacidade Largura da peneira 
 
Capacidade e 
Desaguamento 
 
Ângulo de 
vibração 
Amplitude 
Propriedades elásticas do 
sistema granular 
Ângulo da peneira Frequência Massa específica 
Forma de vibração Altura do leito Concentração de sólidos 
 
Desaguamento 
 
 
Tamanho da 
abertura 
Tempo de 
residência 
Tamanho das partículas 
Área aberta efetiva Viscosidade 
Comprimento da 
peneira 
Tensão superficial 
 Taxa de compressão 
 Fonte: Keller e Stahl,1994. 
 
 
3.2.2 Dimensionamento de peneiras 
 
 
Segundo Gupta e Yan (2006), para o dimensionamento de peneiras, devem ser 
levados em consideração aspectos do equipamento e do material, de acordo como está a 
seguir: 
 
 
 
 
 
48 
 
Tabela 3.5: Aspectos levados em conta no dimensionamento de peneiras 
Aspectos relativos ao equipamento Características do material 
Área disponível Tamanho e forma do material 
Abertura (tamanho e tipo) Umidade residual 
Inclinação Profundidade da camada de material 
Método de vibração Tipo de peneiramento: seco ou úmido 
Número de decks 
 
 
Fabricantes de equipamentos e estudiosos desenvolveram métodos para o 
dimensionamento que podem ser baseados no cálculo da capacidade unitária ou da área 
de peneiramento. Alguns dos métodos são apresentados no adendo III. 
 
 
3.3 Mecanismos de filtragem aplicáveis ao desaguamento em peneiras 
 
 
 As operações de separação sólido-líquido possuem grande importância no 
processamento mineral. Dentre suas várias aplicações, pode-se citar sua importância 
para a separação de minérios com liberação em distribuição granulométrica fina em 
suspensões líquidas ou limitar o despejo de efluentes industriais para o meio ambiente 
(OLIVEIRA e LUZ, 2007). 
Tendo em vista a presença de água em quase todas as etapas e processos de 
beneficiamento, é imprescindível a separação entre as fases, tanto do ponto de vista 
técnico (geração de um produto desaguado facilita o transporte, dentre outros) como do 
ambiental.49 
 
 Existem várias técnicas para separação sólido-líquido, sendo as principais: 
sedimentação, filtragem e secagem. Outras que também são utilizadas são a ciclonagem, 
o peneiramento e a flotação. 
 A filtragem pode ser definida como uma operação na qual os sólidos são retidos 
em um meio poroso, sendo permitida a passagem do líquido. O líquido passante é 
denominado filtrado e os sólidos retidos são denominados torta. Um desenho 
esquemático da filtragem é ilustrado na figura 3.17. 
 
 
 
Figura 3.17: Desenho esquemático do processo de filtragem. 
 
 
Operações em peneiras desaguadoras atuam com princípio semelhante ao da 
filtragem, em virtude de ocorrer a passagem do líquido filtrado, permanecendo o sólido 
retido na barreira física proporcionada pelas peneiras (estas possuindo abertura 
idealmente menor que o menor tamanho de partícula na polpa). Assim, os mecanismos 
básicos de filtragem também podem ser aplicáveis às peneiras desaguadoras. 
A equação básica da filtragem é baseada na lei de Darcy, que descreve a vazão 
de um líquido através de um leito poroso em regime lamelar (SVAROVSKY, 2000; 
FUERSTENAU e HAN, 2003): 
 
Qvf = 𝑘 ×
A × ∆p
η
f
× e
 (3.6) 
 
 
Torta 
Suspensão 
Suporte do 
meio filtrante 
Filtrado 
 
50 
 
Onde: 
 
Qvf – vazão volumétrica de filtrado [m
3
.s
-1
]; 
k – permeabilidade do leito [-]; 
At – área da seção transversal [m
2
]; 
Δp – diferença de pressão [Pa]; 
ηf – viscosidade dinâmica do filtrado [Pa.s]; 
e – espessura do leito [m]; 
 
A Lei de Darcy, entretanto, não é válida para regimes turbulentos. Forchheimer 
(1901, apud HLUSHKOU e TALLAREK, 2006) sugeriu então uma equação para 
descrever o escoamento em meios porosos, que, em contraste com a equação linear de 
Darcy, estabelece uma relação não linear de alta ordem entre a queda de pressão e a taxa 
de escoamento: 
 
∆P
e
=
η
f
× 𝑣
ke
+ ρ
f
× ki × 𝑣
2 (3.7) 
 
Onde: 
 
v – velocidade de percolação intersticial do fluido (velocidade superficial de 
filtragem) [m.s
-1
]; 
ρf – massa específica do filtrado [kg.m
-3
]; 
ke – permeabilidade do leito [-]; 
ki – coeficiente de escoamento cinético (parâmetro inercial) [-]; 
ηf – viscosidade dinâmica do filtrado [Pa.s]. 
 
Esta equação mostra que se a velocidade de drenagem for muito pequena (ou 
seja, em regime laminar), a equação se reduzirá à equação de Darcy. Entretanto, para 
velocidades crescentes, a equação deixa de possuir uma relação linear entre a queda de 
pressão e a velocidade do drenagem. Caso tenham-se velocidades muito elevadas 
 
51 
 
(regime turbulento), o termo quadrático do lado direito da equação passa a ser 
dominante. 
Ergun (1952) mostrou que para o regime turbulento é utilizada a equação de 
Burke e Plummer (1952 apud ERGUN, 1952), levando em conta a porosidade do leito: 
 
∆P
e
= ki 
1 − ε
ε3
 ×
ρ
f
× 𝑣
dp
2
 (3.8) 
 
Onde: 
 
ε – porosidade do leito [-]; 
dp – diâmetro da partícula [m]. 
 
Carman (1937 apud ERGUN 1952) e Kozeny (1927 apud ERGUN 1952) 
também estudaram, individualmente, a queda de pressão através do leito para regimes 
laminares, propondo a seguinte equação: 
 
∆P
e
= ke 
 1 − ε 2
ε3
 ×
 η
f
× 𝑣 
dp
2 (3.9) 
 
Analisando as duas equações, Ergun (1952) propôs uma equação para a perda de 
pressão, sendo esta causada tanto pelo regime laminar como pelo regime turbulento, 
podendo ser aplicada para todos os tipos de escoamento: 
 
∆P
e
= 150 
 1 − ε 2
ε3
 
η
f
× 𝑣
dp
2 + 1,75 
1 − ε
ε3
 
ρ
f
× 𝑣2
dp
 (3.10) 
 
Considerando a forma das partículas, a esfericidade pode ser colocada na 
equação, bem como a velocidade de percolação pode ser substituída pela velocidade 
superficial de filtragem (Qvf/At), resultando: 
 
 
52 
 
∆P
e
= 150 
 1 − ε 2
ε3
 
η
f
 dp × ψ 
2 
Qvf
At
 + 1,75 
1 − ε
ε3
 
ρ
f
 dp × ψ 
 
Qvf
At
 
2
 (3.11) 
 
 
3.4 Perda de carga na tela da peneira 
 
 
A queda de pressão em barreiras uniformemente distribuídas, ou seja, em 
peneiras de malha quadrada é usualmente dada por (TILTON, 2008): 
 
2
2
l vp K 
 
 
 (3.12) 
 
Onde: 
 
Δpϕ – perda de carga na tela da peneira [Pa]; 
Kϕ – coeficiente de perda de carga da peneira [-]; 
ρl – massa específica do líquido [kg/m³]; 
v – velocidade superficial de escoamento [m/s]. 
 
Muitos trabalhos tem sido desenvolvidos ao longo dos anos para analisar a 
influência os aspectos mais importantes na perda de carga na tela da peneira. 
Miguel (1998), por exemplo, analisou a passagem de ar através de peneiras utilizadas 
em estufas e concluiu que a forma e geometria dos fios da tela não influenciam no fluxo 
de fluido. Resultado semelhante pode ser observado por Das e Chhabra (1989), que 
verificaram que não há influências dos aspectos estruturais da peneira na perda de carga, 
embora haja uma boa correlação entre o número de Reynolds e a perda de carga. 
Contudo, cabe ressaltar que tais trabalhos foram realizados em condições 
estáticas e há pouca literatura disponível que leva em conta a vibração do sistema. 
Nesse aspecto, Zong-ming et alii (2010) realizaram estudos da perda de carga em 
peneiras vibratórias e compararam com resultados em condições estáticas. O resultado 
pode ser visualizado na figura 3.18. 
 
53 
 
 
 
 
Figura 3.18: Comparação entre perda de carga com e sem vibração para peneira de 250 x 10-6 
m (60 #). Os resultados são mostrados em função do coeficiente de perda de carga (k) versus o 
tempo. 
Fonte: Zong-ming et alii (2010) 
 
 
Essa diferença no comportamento, segundo os autores, deve-se ao fato de que a 
vibração proporciona não apenas a descida (filtragem) do fluido através da peneira, 
como também em dados momentos, ocorre a ascensão de parte do mesmo. O coeficiente 
de perda de carga é maior quando peneira e fluido se movem no mesmo sentido e menor 
quando em sentidos contrários. 
 
 
3.5 Vibração em peneiras 
 
 
 A vibração é um importante parâmetro para a eficiência de peneiras, tanto no 
que concerne à classificação quanto ao desaguamento. 
Na classificação de partículas, a vibração proporciona a estratificação do 
sistema. Com isso, ocorrerá a passagem das partículas mais finas através dos espaços 
entre partículas mais grossas, proporcionando às primeiras a chance de se reportarem à 
 
54 
 
superfície da peneira. Além disso, a vibração do sistema aumenta a quantidade de 
apresentações na superfície de peneiramento, aumentando assim a eficiência do 
processo. No peneiramento convencional (de classificação), existem basicamente 3 
regiões (figura 3.19): 
 
 
 
Figura 3.19: Esquema das principais regiões de peneiramento. 
Fonte: Kelly e Spotswood, 1982. 
 
 Região I de estratificação do leito; 
 Região II de equilíbrio dinâmico (maior fluxo de passagem de 
partículas); 
 Região de peneiramento por tentativas (últimas tentativas de passagem 
das partículas). 
Chen e Tong (2009) analisaram o efeito da frequência na eficiência do processo, 
utilizando diferentes tamanhos de partículas. Segundo eles, existe um valor de 
frequência no qual a eficiência do processo será ótima e, de forma geral, a eficiência do 
 
55 
 
peneiramento é inversamente proporcional à frequência. Entretanto, ainda segundo 
esses autores, baixas frequências levam o material a permanecer mais tempo na tela, o 
que embora aumente a eficiência, reduz a produtividade. Na figura 3.20 está mostrada a 
influência