GabP2TxTy

Prévia do material em texto

MAT 003 Prova 1 - Turmas TX e TY 06/05/2014
(Q1) (30 pontos) Utilizando coordenadas esfe´ricas, calcule a integral
ZZZ
W
(9�x2� y2� z2) dV ,
onde W e´ o hemisfe´rio so´lido x2 + y2 + z2  9, z � 0.
(Q2) (30 pontos) Determine o trabalho realizado pelo campo de forc¸a ~F (x, y) = x sen y~i + y~j
sobre uma part´ıcula que se move ao longo do segmento da curva y = x2 de (1, 1) a (2, 4).
(Q3) (20 pontos) Considere a elipse � :
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
a) Mostre que a a´rea da elipse pode ser calculada pela integral de linha
I
�
x dy.
b) Resolva a integral de linha do item anterior para encontrar a a´rea da elipse.
(Q4) (20 pontos) Considere o campo vetorial
~F (x, y, z) =
1
k~rk↵ ~r,
onde ~r = x ~i+ y ~j + z ~k e ↵ 2 R. Denote por BR a bola centrada na origem de raio R > 0 e
por @BR sua fronteira (casca). Determine um intervalo adequado para ↵ tal queZZ
@BR
~F · dS 6=
ZZZ
BR
div(~F ) dV.
Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas. Boa prova!