Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

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Cap´ıtulo 4
Introduccio´n a las Ecuaciones
Diferenciales
4.1. Modelizacio´n matema´tica
En e´ste Cap´ıtulo pretendemos dar una visio´n, en te´rminos sencillos, del papel que jue-
gan las ecuaciones diferenciales en el campo que se conoce con el nombre de modelizacio´n
(o modelacio´n) matema´tica.
Es conocido que muchas leyes del Universo se pueden expresar en el lenguaje de
las Matema´ticas, y para resolver muchos problemas esta´ticos basta utilizar herramientas
propias del A´lgebra. Sin embargo, los feno´menos naturales ma´s interesantes implican
cambios, y se describen mejor mediante ecuaciones que relacionen cantidades variables.
Dado que la derivada de una funcio´n y = f(x) respecto de la variable independiente x,
mide la tasa de cambio de la funcio´n f respecto de la variable x, parece natural que las
ecuaciones en las que intervienen derivadas sean las que describen el universo cambiante.
Una ecuacio´n que contiene una funcio´n desconocida y una o ma´s de sus derivadas, se
llama ecuacio´n diferencial.
El estudio de las ecuaciones diferenciales tiene como fines fundamentales la determi-
nacio´n de la solucio´n cuando sea posible, y en otro caso el ana´lisis del comportamiento
cualitativo de la misma. En el contexto de la Ingenier´ıa es muy conveniente, adema´s, inci-
dir en la obtencio´n de la propia ecuacio´n, que describe una situacio´n f´ısica. En particular,
se muestran algunos ejemplos que ilustran e´ste proceso de traducir leyes en te´rminos de
ecuaciones diferenciales, (segunda ley del movimiento de Newton, ley de enfriamiento,
desintegracio´n radioactiva, tasa de cambio con respecto al tiempo de una poblacio´n P (t),
etc.). Fije´monos en e´ste u´ltimo ejemplo : la tasa de cambio con respecto al tiempo de una
poblacio´n P (t) con ı´ndices constantes de nacimiento y mortalidad se puede considerar, en
casos simples, proporcional al taman˜o de la poblacio´n. Es decir
dP
dt
= kP, k = cte.
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32 CAPI´TULO 4. INTRODUCCIO´N A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
0 1 2 3 4 5 6
−6
−4
−2
0
2
4
6
c=1
c=0.5
c=0
Figura 4.1: Soluciones de P ′(t) = P (t)
En e´ste caso toda funcio´n de la forma P (t) = Cekt es una solucio´n de esta ecuacio´n
diferencial. Por tanto, cuando k sea conocida la ecuacio´n diferencial tiene infinitas solu-
ciones (una para cada C). Esto es caracter´ıstico de algunas ecuacio´nes diferenciales, y
ello exige usar informacio´n adicional para seleccionar entre todas las soluciones una en
particular que se ajuste a la situacio´n bajo estudio. Por ejemplo, en el caso P ′(t) = P (t)
las soluciones son de la forma P (t) = Cet, algunas de ellas representadas en la Figura
4.1. Se hace notar que las gra´ficas de todas ellas llenar´ıan por completo el plano sin que
haya dos que se corten (consecuencia del teorema de existencia y unicidad que se vera´) y
que, en consecuencia, la eleccio´n de cualquier punto, en particular sobre el eje P , es decir
fijado un valor P (0), conduce a la determinacio´n de una u´nica solucio´n que pasa por ese
punto.
Pudiera suceder que ninguna de las soluciones obtenida se adapte a todos los datos
conocidos a priori. En e´ste caso lo que cabe pensar es que la ecuacio´n diferencial no des-
cribe adecuadamente el problema f´ısico y habra´ que considerar otra ecuacio´n diferencial,
ma´s complicada, que tenga en cuenta otros factores que puedan influir sobre la solucio´n.
Desgraciadamente, esto es una constante que se repite en todo problema de modelizacio´n
matema´tica, y que se esquematiza en la Figura 4.2.
Un modelo matema´tico satisfactorio ha de cumplir dos requerimientos importantes:
1. Ser lo suficientemente detallado como para representar adecuadamente la situacio´n
del mundo real.
2. Ser lo suficientemente sencillo para que sea posible un ana´lisis matema´tico pra´ctico.
4.2. ANA´LISIS CUALITATIVO, RESOLUCIO´N ANALI´TICA Y RESOLUCIO´N NUME´RICA33
Figura 4.2: Modelizacio´n matema´tica
Si falla lo primero, las soluciones pueden ser no realistas, y si falla lo segundo puede
ser irrealizable. Por tanto, sistema´ticamente, se ha de llegar a un compromiso entre lo
f´ısicamente realista y lo matema´ticamente viable.
4.2. Ana´lisis cualitativo, resolucio´n anal´ıtica y reso-
lucio´n nume´rica
Antes de resolver una ecuacio´n diferencial podemos intentar predecir el comportamien-
to de las posibles soluciones. Es lo que llamaremos ana´lisis cualitativo.
Por ejemplo en el modelo anterior, si en el instante inicial P (0) = 0, que se conoce con
el nombre de condicio´n inicial, resultara´ que P (t) = 0 es una solucio´n del problema ya
que satisface la ecuacio´n diferencial y la condicio´n inicial. Corresponde a una poblacio´n
que en el instante inicial no tiene ningu´n individuo.
Si P (0) 6= 0 resultara´ que dP
dt
(0) 6= 0 y por tanto la poblacio´n no es constante.
Por ejemplo, si k > 0 y P (0) > 0, la poblacio´n esta´ creciendo, ya que su derivada es
positiva. P (t) se hace mayor, y la derivada tambie´n, por lo que la poblacio´n crece cada
vez mas ra´pidamente. En el supuesto P (0) < 0, que no tendr´ıa sentido en un problema
de evolucio´n de poblaciones, resulta que la derivada en el instante inicial es negativa
(suponiendo k > 0), con lo cual P (t) es decreciente en ese instante, y posteriormente
tambie´n, y adema´s con pendientes cada vez mayores en valor absoluto.
34 CAPI´TULO 4. INTRODUCCIO´N A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Un segundo procedimiento para abordar el problema es lo que llamaremos resolu-
cio´n anal´ıtica, que consistira´ en la bu´squeda de una funcio´n anal´ıtica que sea solucio´n
del problema. Es el procedimiento descrito en la seccio´n anterior. Como se ha podido ob-
servar, las soluciones que se obtienen anal´ıticamente confirman las previsiones del ana´lisis
cualitativo.
Una tercera manera de resolver la ecuacio´n diferencial, que denominaremos resolu-
cio´n nume´rica, consistira´ en la resolucio´n aproximada. Sera´ el me´todo al que tendremos
necesidad de recurrir la mayor parte de las veces ya que los problemas de la vida real, en
general, no tienen solucio´n anal´ıtica.
En resumen, el presente curso trata la resolucio´n de problemas en los que intervienen
ecuaciones diferenciales para lo cual emplearemos los tres me´todos descritos anteriormen-
te.
1. Ana´lisis cualitativo. Trata de predecir el comportamiento de las soluciones. Esta´ es-
pecialmente indicado en el caso de ecuaciones auto´nomas, que son aquellas en las
que la funcio´n segundo miembro no depende de la variable independiente, como el
caso tratado anteriormente. En otras situaciones mas generales ya es mas proble-
matico el tratamiento cualitativo, que podr´ıa consistir en representaciones gra´ficas
de campos de pendientes. En la actualidad estos me´todos gra´ficos quedan en un
segundo plano, debido fundamentalmente la existencia de me´todos nume´ricos cada
vez mas precisos.
2. Resolucio´n anal´ıtica. Consiste en encontrar la solucio´n anal´ıtica del problema bajo
estudio, cuando sea posible. En muchas ocasiones no existira´ solucio´n anal´ıtica y en
otras, aunque exista, resultara´ complicado encontrarla. En los pro´ximos cap´ıtulos
resolveremos anal´ıticamente algunos casos particulares sencillos y para otros mas
complejos, que tengan solucio´n anal´ıtica, podemos apoyarnos en la parte simbo´lica
de Matlab (funcio´n dsolve).
3. Resolucio´n nume´rica. Trata la resolucio´n aproximada de aquellos problemas que
no tengan solucio´n anal´ıtica o sea muy complicado encontrarla. Introduciremos el
me´todo de Euler que, aunque es muy sencillo, y no demasiado preciso, es el funda-
mento de casi todos los dema´s. Tambie´n describiremos otros me´todos mucho mas
precisos como los me´todos de Runge-Kutta. Implementaremos estos algoritmos en
Matlab y haremos uso de funciones especificas del programa citado (ode23, ode45,..)
4.3. Definiciones y clasificacio´n
.
Una ecuacio´n diferenciales una ecuacio´n en la que interviene una funcio´n inco´gnita
(escalar o vectorial) y una o ma´s de sus derivadas.
4.3. DEFINICIONES Y CLASIFICACIO´N 35
Existen distintos tipos de ecuaciones diferenciales:
Ecuacio´n diferencial ordinaria (e.d.o.), si la funcio´n inco´gnita es una funcio´n
escalar de una variable independiente.
Sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, si la funcio´n inco´gnita es una
funcio´n vectorial de una variable independiente.
Ecuacio´n en derivadas parciales (e.d.p.), si la funcio´n inco´gnita es una funcio´n
escalar de ma´s de una variable independiente.
Sistema de ecuaciones en derivadas parciales, si la funcio´n inco´gnita es una
funcio´n vectorial de ma´s de una variable independiente.
Orden de una ecuacio´n diferencial es el orden de la derivada ma´s alta, y al exponente
al que esta´ elevada dicha derivada se le llama grado. Si la funcio´n inco´gnita es y = y(t),
f(t, y, y′, y′′, · · · , y(n)) = 0 es una e.d.o. de orden n. Consideraremos ecuaciones de esta
forma que sean resolubles en la derivada de mayor grado, es decir en la forma y(n) =
g(t, y, y′, y′′, · · · , y(n−1)), que se denomina forma normal de la ecuacio´n diferencial.
Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n en forma normal se escribe
r(n) = F (t, r, r′, r′′, · · · , r(n−1)).
Por ejemplo, si r(t) = (x(t), y(t)) un sistema en forma normal de orden 2 ser´ıa:
d2x
dt2
= F1(t, x, y, x
′, y′)
d2y
dt2
= F2(t, x, y, x
′, y′).
Veremos ma´s adelante que hay una equivalencia entre sistemas y ecuaciones, por ejem-
plo una e.d.o. de orden n es equivalente a un sistema de primer orden y dimensio´n n.
En una e.d.p. la funcio´n inco´gnita depende de ma´s de una variable independiente, por
ejemplo una e.d.p. de segundo orden es la siguiente
∂2u
∂x2
+ 3
∂2u
∂y2
− ∂
2u
∂x∂y
+
∂u
∂y
+ 2u− 3x+ 4 = 0,
donde u : Ω ⊂ R2 −→ R.
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