195057 Aula 4 MaqFlu

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Máquinas de Fluxo e Deslocamento
Equação Fundamental
Instituto de Federal de Goiás - IFG
Professora: Thamise Vilela
Máquinas de Fluxo e Deslocamento
Métodos para os cálculos relativos às máquinas hidráulicas 
hipótese que o rotor tem número infinito de pás (infinitamente finas)
análise feita em uma única pá
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Equação fundamental
Equação de Euler
A equação de Euler é a equação básica para o desenvolvimento/estudo de bombas, ventiladores e turbinas. Expressa o intercâmbio de energia entre o rotor e o fluido.
considerando uma máquina ideal: 
Número infinito de pás 
Espessura infinitesimal das pás 
Fluido incompressível 
Sem atrito (fluido ideal) 
Isento de choque na entrada 
Regime permanente
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Principio da conservação da quantidade de movimento angular (QMA)
Desconsiderando os torques devido às forças de superfície e de corpo (do campo gravitacional), e considerando regime permanente, resulta: 
Máquinas de Fluxo e Deslocamento
Máquinas de Fluxo e Deslocamento
: 
Considerando uma máquina geradora e usando as relações do triângulo de velocidades na entrada (4): 
E a partir do triângulo de velocidades na saída (5):
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: 
E a partir do triângulo de velocidades na saída (5):
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Para rotor de uma máquina geradora
Considerando o módulo do torque, com Teixo>0 em máquinas geradoras
Lembrando que “θ” é o ângulo formado entre “r” e “C”
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O torque teórico para máquinas geradoras é
Para máquinas motoras 
Forma genérica para máquinas hidráulicas geradoras e motoras
“+” indica máquinas geradoras
 “-“ indica máquinas motoras 
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A potência hidráulica (Ph) é definida como o produto do torque (T) pela velocidade angular (ω)
A potência hidráulica também pode ser obtida pelo produto do peso específico (ϒ) pela vazão (Q) pela energia por unidade de peso (H) fornecida/recebida pelo rotor para/do fluido
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Logo (Equação de Euler ou equação fundamental das máquinas de fluxo)
válida para máquinas radiais e axiais
válida também para o caso em que a massa específica varie ao longo do rotor, pois a massa específica não aparece na equação.
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Casos especiais (simplificação)
Para máquinas axiais: u4=u5 e Cm4=Cm5 
Nas turbinas hidráulicas para reduzir as perdas por atrito no tubo de sucção busca-se Cu5=0 resultando α5=90º 
Para máquinas geradoras desprovidas de pás diretrizes, como bombas e ventiladores centrífugos, normalmente assume-se α4=90º e Cu4=0. Neste caso o escoamento entra no rotor na direção radial. 
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Outras formas da equação fundamental ideal das máquinas de fluxo
A partir do triângulo de velocidades pode-se tirar as seguintes relações: 
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Representa a energia teórica entregue/recebida ao/pelo fluido pelas pás (espessura desprezível) do rotor (com número infinito de pás).
Altura teórica com número infinito de pás usando Bernoulli no canal do rotor
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Fazendo z5≈z4: 
A energia de pressão estática, que o fluido recebe ao passar pelo rotor de uma máquina de fluxo pode ser expressa por:
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Termo “I” representa o aumento da pressão decorrente da ação da força centrífuga sobre as partículas fluidas, provocado pela diferença de velocidade tangencial na entrada e saída como consequência do movimento do rotor.
Obs.: no caso do rotor axial a velocidade tangencial na entrada e saída são iguais e este termo é nulo. 
O termo “II” deve-se a transformação de energia de velocidade em energia de pressão, decorrente da diminuição da velocidade relativa entre a entrada e a saída, no interior dos canais em forma de difusores, constituídos pelas pás do rotor. 
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Energia de pressão dinâmica
 Além do aumento da energia de pressão estática, há o aumento da energia de pressão dinâmica, devido à variação da energia cinética do fluido ao escoar da entrada para a saída do rotor. 
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Conceitos de ação e reação
A interpretação dos conceitos de ação e reação tem por base o conceito de energia de pressão estática. 
E as máquinas de ação e reação são classificadas conforme: 
Hest=0 → máquina de ação ou pressão constante Hest>0 → máquina de reação 
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Conceitos de ação e reação
 Existe um número adimensional chamado de grau de reação (degree of reaction): indica como cada uma destas máquinas transforma a energia.
 Quando a avaliação é feita sob o escoamento ideal, sem perdas, esta grandeza é denominada grau de reação teórico e é dada por, 
EXEMPLOS
Exemplo 1: Um rotor de bomba centrífuga de 200 mm de diâmetro de saída gira a 3500 rpm. O ângulo das pás na saída é igual a 22º e a componente meridiana da velocidade absoluta na saída é igual a 3,6 m/s. Determinar a altura teórica para número infinito de pás. Considere escoamento com entrada radial.
Exemplo 2: Uma bomba centrífuga opera a 2,0 m3 /min e rotação de 1200 rpm. A altura da pá na saída é de 20 mm. O ângulo construtivo das pás na saída é de 25º. A componente meridiana da velocidade absoluta na saída é de 2,5 m/s. Determine: a) as alturas e potência teórica para número infinito de pás; b) as expressões das alturas e potências em função da vazão
Exemplo 3: Uma bomba centrífuga opera a 0,005 m3 /s e rotação de 1500 rpm. O diâmetro do rotor na entrada é de 100 mm e na saída 200 mm. As alturas da pá na entrada e saída são 10 mm e 5 mm respectivamente. Determine a energia de pressão transmitida pelo rotor em termos de altura equivalente. O ângulo construtivo das pás na saída é de 30º.
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Equação fundamental – efeito do número finito de pás
 Das condições iniciais estipuladas, duas afetam o rendimento de forma mais significativa, o atrito e o número finito de pás. No caso do atrito atribui-se um rendimento hidráulico que considera estas perdas, já o número finito de pás altera o triângulo de velocidades devido ao fenômeno conhecido por “escorregamento“. 
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Escorregamento
 Gera uma redução na componente tangencial da velocidade absoluta, resultando em redução da carga do rotor. 
 Ao se deslocar pelo rotor a partícula, devido à sua inércia, tende a manter sua orientação com relação aos eixos fixos, criando um movimento circulatório em relação ao canal, conhecido como vórtice relativo (relative circulation). 
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Escorregamento
Devido à inexistência de atrito, a partícula atingirá a seção de saída do rotor (III) com a mesma direção que entrou (I). 
Enquanto a partícula atravessa o rotor, este está em movimento, arrastando a partícula tangencialmente. Um observador, solidário ao rotor, verá a partícula num movimento radial, mas com certa rotação ao se mover (vórtice relativo).
O vórtice relativo produz uma corrente radial com sentido centrípeto junto à face de ataque da pá, em sentido contrário à corrente de passagem, resultando em uma redução da velocidade relativa nesta região. No dorso da pá (nas costas da pá) o sentido das duas correntes é o mesmo, e ocorre um aumento da velocidade relativa nesta região. Isto gera um gradiente de pressão através do canal com sobrepressão na face de ataque e depressão no dorso.
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A diferença de pressão gera um “tombamento” da velocidade relativa de saída do rotor na direção do dorso da pá, fazendo que a inclinação da velocidade relativa seja menor que o ângulo construtivo das pás do rotor
A consideração de número finito de pás aumenta a velocidade relativa (W5#) se comparada ao que haveria
se a consideração fosse com número infinito de pás (W5∞). Como a velocidade tangencial (u5) é a mesma e a vazão não se altera, ou seja Cm5#= Cm5∞, ocorre uma redução em C5∞ e consequentemente em Cu5∞. Reduzindo Cu5∞ ocorre automaticamente uma redução na altura (Ht∞) entregue ou recebida pelo rotor.
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Máquinas geradoras
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Correção da altura (Ht) devido ao número finito de pás 
Como o número finito de pás pode alterar o triângulo de velocidades na saída, deve-se considerar estas variações para o cálculo da altura teórica para número finito de pás (Ht). 
Para máquinas motoras (turbinas) essas alterações podem ser desconsideradas e a altura teórica para número finito de pás (Ht) resulta: 
Os cálculos para definição da carga serão feitos considerando o escoamento congruente com as pás, ou seja,
com número infinito de pás. Enquanto para as turbinas este procedimento é geralmente adequado e este valor pode
ser usado como aproximação, no caso de bombas e ventiladores devem ser realizados alguns procedimentos para
correção. A não correção neste último caso poderia levar a erros de até 35%.
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Já nas geradoras (bombas e ventiladores) estes efeitos diminuem a altura teórica sendo necessária uma correção: 
Onde o fator “a” é um termo de correção, que Henn (2012) chama de fator de deficiência de potência (slip fator).
Deve-se observar que não é um rendimento, pois não considera as perdas energéticas, mas sim a impossibilidade de atingir a situação idealizada, ou seja, a máquina teórica com número finito de pás entregará (ou receberá) menos energia que o quantificado para máquina teórica ideal (teórica com número infinito de pás).
Os cálculos para definição da carga serão feitos considerando o escoamento congruente com as pás, ou seja,
com número infinito de pás. Enquanto para as turbinas este procedimento é geralmente adequado e este valor pode
ser usado como aproximação, no caso de bombas e ventiladores devem ser realizados alguns procedimentos para
correção. A não correção neste último caso poderia levar a erros de até 35%.
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Um dos métodos para definir o fator de deficiência de potência é dado por Pfleiderer
Exemplo
Exemplo 4: Um rotor de bomba centrífuga tem diâmetros de 150mm e 300mm na entrada e saída respectivamente. As alturas das pás são de 75 mm e 50 mm na entrada e saída. Os ângulos construtivos das pás na entrada e saída são 20º e 25º. A bomba gira a 1450 rpm e opera com água. Pede-se: a) altura teórica para número infinito de pás; b) considerando que a bomba tem 7 pás determine a altura teórica para número finito de pás (bomba sem pás guias). 
(R. Ht∞=37,41 e Ht=27,77mca)
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Efeito da espessura das pás
Considerando pás de espessura finita (espessura não desprezível), a área da seção transversal disponível para a passagem do escoamento é reduzida, se comparada à área existente antes das pás do rotor. Como isto não implica em variação de energia, a componente tangencial da velocidade absoluta (Cu) não varia. A componente da velocidade que será afetada é aquela relacionada à vazão, que é a velocidade meridiana (Cm).
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Linha cheia para o caso em que o escoamento é congruente com a pá (uma das consequências da hipótese de número infinito de pás), e a velocidade meridiana (Cm) foi calculada descontando a área ocupada pelas pás (pá com espessura não desprezível).
Linha tipo “traço-ponto” para o caso em que o escoamento sofre o efeito do escorregamento e não é congruente com a pá (uma das consequências da hipótese de número finito de pás) e a velocidade meridiana foi calculada descontando a área ocupada pelas pás (pá com espessura não desprezível).
Linha tracejada para o caso do escoamento já fora do rotor, onde não há a restrição de área devido à presença das pás, o que reduz a velocidade meridiana (Cm).
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Perdas e rendimentos
Na transformação da energia hidráulica em trabalho mecânico, ou vice-versa, uma parcela da energia é perdida em processos irreversíveis, que degradam formas de energia mais nobres (mecânica) em formas de energia de qualidade inferior (calor e energia interna). 
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Perdas e rendimentos
As perdas são classificadas como internas e externas. 
Internas: localizadas no interior da carcaça da máquina, resultado da movimentação do fluido nesta região.
Externas: encontradas fora da carcaça, como o atrito do eixo com mancais, anéis de vedação e outras, que não estão relacionadas com o movimento do fluido em seu interior.
As perdas mais significativas são:
Hidráulicas (perda interna)
Volumétricas (perda interna)
Mecânicas (perda externa)
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Perdas e rendimento hidráulicos
É a principal perda 
Fontes: atrito e variações de seção e de velocidade, que em geral reduzem a pressão. 
Conhecidas por “perdas nas pás”, pois as perdas ocorrem principalmente nos canais. 
Representadas aqui por “Jh”, tendo por unidade a energia por unidade de peso.
Nas bombas/ventiladores o trabalho dessa perda deve ser fornecido pelas pás ao fluido de trabalho, 
turbinas esse trabalho é fornecido pelo fluido.
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As perdas ocorrem desde a seção de entrada até a de saída e são provocadas pelo:
atrito de superfície entre o fluido e as paredes da máquina (canais de rotor e sistema diretor);
deslocamento de camada limite provocado pela forma dos contornos internos das pás, aletas e outras partes constitutivas;
pela dissipação de energia por mudança brusca de seção e direção dos canais que conduzem o fluido através da máquina; 
pelo choque do fluido contra o bordo de ataque das pás, que ocorre quando a máquina funciona fora do ponto nominal (ponto de projeto).
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Estas perdas devem ser consideradas nos cálculos das alturas de elevação/queda (H),
Rendimento hidraulico
Esse rendimento varia de 0,5 em bombas pequenas até 0,90 em grandes bombas. Em geral, para efeitos de projeto considera-se esse valor entre 0,85 e 0,88. Quando trabalham no ponto de projeto, as máquinas de fluxo têm esse rendimento entre 0,85 e 0,93 (orientativo).
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Perdas e rendimento volumétricos
Ocorrem devido à “fuga” de fluido pelos espaços entre o rotor e a carcaça, e entre a carcaça e o eixo (nos labirintos das turbomáquinas). 
Não afetam muito a altura de elevação.
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Os labirintos são os espaços entre o rotor/carcaça e eixo/carcaça da máquina, sendo sua função evitar o atrito sólido (contato) entre estas partes e ao mesmo tempo minimizar a fuga de fluido. São formados por anéis de desgaste renováveis, alojados na parte fixa da máquina ou no rotor, ou em ambos. Estes anéis permitem diminuir afolga e substituição destas partes quando gastos, sem que esse desgaste afete diretamente as partes fixas e móveis da máquina. Os anéis de desgaste são em geral de materiais menos resistentes que o da máquina.
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 ‘qe’ se dá pelo labirinto “Lae” para fora da máquina (eixo/carcaça), podendo ser muitas vezes desprezada. 
‘qi’ se dá pelo labirinto “Lai” entre o rotor e a carcaça. Esta fuga ocorre no sentido da região de alta pressão para a de baixa pressão,.
Desta forma a vazão que realmente passa pelo rotor (Figura 4.13) e participa efetivamente das trocas de energia:
Rendimento volumétrico: 
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Perdas e rendimento mecânicos
São as perdas externas e representam principalmente as perdas por atrito em mancais, gaxetas e atrito do ar nos acoplamentos e volantes de inércia. 
As perdas nos mancais são função do peso da parte rotativa
que ele suporta, da velocidade tangencial do eixo e do coeficiente de atrito entre as superfícies de contato. 
No caso das gaxetas deve-se considerar a velocidade tangencial do eixo, o coeficiente de atrito, da superfície de atrito e do grau de aperto da sobreposta da gaxeta, quanto maior este aperto maiores as perdas mecânicas.
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Rendimento mecânico
Seu valor varia de 0,92 a 0,95 nas bombas mais recentes, sendo maiores nas de maior dimensão. Quando trabalham no ponto de projeto, as máquinas de fluxo têm rendimento mecânico na ordem de 0,99 (valor orientativo).
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Rendimento total
A potência efetiva relaciona-se com a potência hidráulica através do rendimento total (total efficiency ou gross efficiency) da instalação.
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Nas grandes bombas centrífugas esse rendimento passa de 85%. Nas pequenas, dependendo do tipo e condições de operação pode baixar a menos de 40%. Um valor razoável para o caso de estimativas é 60% para bombas pequenas e 75% para bombas médias. Quando trabalham no ponto de projeto, as máquinas de fluxo têm esse rendimento entre 80% e 90% (orientativo).
Potências
A potência é efetivamente a grandeza mais importante em termos de custos envolvidos em uma instalação, tanto de máquinas geradoras como máquinas motoras. Esta grandeza define a quantidade de energia por unidade de tempo (taxa de energia) consumida por máquinas geradoras (bombas e ventiladores).
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Potência efetiva (eficaz ou total)
Nem toda energia cedida ou recebida pelo fluido pode ser transformada em trabalho mecânico no eixo da máquina, tem se então a potência eficaz ou efetiva, que expressa pela potência entregue/recebida do fluido, mais as potências perdidas no processo.
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“Pef“ é a potência eficaz no eixo da máquina
“Pi“ é a potência interna
 “Ppm” é a potência mecânica perdida
Para o caso de bombas, a potência efetiva ou eficaz (Pef) é definida como sendo a potência entregue pelo motor ao eixo da bomba. Também conhecida por potência motriz e BHP (Break Horse Power).
Todas as perdas internas e externas produzem uma perda de potência que reduz a entrega, ou aumenta a necessidade, de potência eficaz das máquinas.
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Potência interna
Considerando somente as perdas internas (hidráulica e volumétrica) obtêm-se a potência interna, que é a potência no eixo de entrada da bomba/ventilador, ou a potência no eixo de saída da turbina. Têm a propriedade de transmitir calor ao fluido de trabalho.
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Considerando o atrito nas paredes externas do rotor, que gera uma potência de atrito no rotor (Pr), e a perda por troca de fluido, que gera uma potência Pa, então a potência interna é dada por
A perda por troca ocorre devido à troca de fluido entre a região atrás do rotor e os canais das pás, que ocorre devido a desaceleração do escoamento, pois nesse caso a camada limite na região de saída deve fluir contra pressão crescente. Esta perda ocorre somente nas bombas e não nas turbinas.
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Potência hidráulica
Define-se a potência hidráulica como sendo o produto do peso de fluido que passa através da máquina, na unidade de tempo, pela altura de queda ou elevação. Conceito é útil tanto para bombas como para turbinas hidráulicas.
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γ: peso específico em [N/m3]
Q: vazão em volume [m3/s]
H: altura de queda ou elevação [m]
Ph: potência hidráulica [W]
g: gravidade (adota-se nesta apostila o valor de 9,81 [m/s2]
ρ: massa específica [kg/m3]
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Potência hidráulica é a potência fornecida pela máquina geradora (bomba) para o fluido. Esta potência difere da potência efetiva devido a perdas que ocorrem nas transformações de energia.
A potência perdida interna é a produzida pelas perdas de pressão e por fuga de fluido:
“Ph“ é a potência hidráulica
“Ppi” é a potência perdida interna
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Exemplo: Uma bomba trabalha com uma altura manométrica igual a 22m e uma vazão igual a 20 l/s. O impelidor gira a 1500rpm. O diâmetro do rotor na entrada é de 135mm e na saída de 270mm. A largura da pá saída é de 10mm. O ângulo da pá na saída é de 30º. Considere um rotor com 7 pás. A espessura da pá é de 3mm. Determinar: 
a) a potência teórica da bomba.
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