Exercícios de Intervalo de Confiança em Estatística

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EXERCÍCIOS PARA CASA - AULA-9 
 
- Exemplo pg. 22 (para casa) 
 O preço médio de um automóvel Palio ELX 1.0 4 portas ano 2001 é R$ 17727 
(segundo o Jornal Valor Econômico de 07/07/2003). 
 Suponha que o desvio padrão REAL dos preços seja R$ 1500 e o tamanho da 
amostra é n = 25 carros. 
 Encontre intervalos de confiança 95% e 99% para os preços de Palios ELX 1.0 
quatro portas ano 2001 supondo que os preços são Normalmente distribuídos. 
 
RESPOSTA 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 95% 
 [ 17.139 ; 18.315 ] 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 99% 
 [16.953,60 ; 18.500,40] 
 
 
 
- Exemplo pg. 23 (para casa) 
 Toma-se uma amostra de 25 usuário de um cartão de crédito e observa-se que o 
gasto médio mensal é R$ 600. 
 O desvio padrão é conhecido e igual a R$ 250. 
 Encontre intervalos de confiança 95 e 99% para o gasto médio com cartão na 
população de usuários. 
 
RESPOSTA 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 95% 
 [ 502 ; 698 ] 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 99% 
 [471,10 ; 728,9] 
 
 
 
 
 
 
 
n
zXIC

 21
 
n
zXIC

 2/1
 
n
zXIC

 21
 
n
zXIC

 2/1
 
 
Exemplo pg. 33 (da aula-9) 
 
 Numa amostra de 16 postos de gasolina no Rio de Janeiro, o preço médio do litro 
da gasolina aditivada foi de R$ 1.78. 
 O desvio padrão dos preços estimado na amostra é R$ 0.20. Encontre intervalos 
de confiança 90%, 95% e 99% para o preço médio da gasolina aditivada no Rio de 
Janeiro e compare-os com os encontrados no exemplo da página 18. 
 
 
RESPOSTA 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 90% 
 [ R$1,692 ; R$1,868 ] 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 95% 
 [ R$1,673 ; R$1,886 ] 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 99% 
 [ R$1,633 ; R$1,927 ] 
 
 
 
Exemplo pg. 68 (da aula-9) 
 
 Estuda-se um certo processo químico com o objetivo de tentar aumentar a 
produção de um certo composto. Atualmente usa-se na produção um certo tipo 
de catalisador A, mas um outro tipo de catalisador B é aceitável. 
 Faz-se uma experiência com n = 8 tentativas para o catalisador A e o mesmo no de 
repetições para o catalisador B. 
 As médias e variâncias amostrais são: 
 
 
 Construa um intervalo de confiança 95% para m1- m2. 
 
RESPOSTA 
 
 
 [ -4,152 ; 0,112 ] 
 
 
 
 
n
S
tXIC n 2/;1
 
n
S
tXIC n 2/;1
 
n
S
tXIC n 2/;1
994,0R
IC
.02.4S ,89.3 e 75.93 ,73.91 22
2
1  SYX
Exemplo pg. 73 (da aula-9) 
 
 Sejam X1, X2, ..., X9 iid Normais com média  e variância σ
2. 
 Observa-se S2 = 7.63. Encontre um intervalo de confiança 95% para σ2. 
RESPOSTA 
 
- O intervalo de confiança 95% para a variância da distribuição é: 
 
 
Exemplo pg. 80 (da aula-9) 
 
 Uma pesquisa do governo afirma que 10% dos homens com idade inferior a 25 
anos estão desempregados. 
 Encontre a probabilidade de que, ao tomarmos uma amostra de 400 homens com 
menos de 25 anos, a proporção estimada de desempregados seja superior a 12%. 
RESPOSTA 
 
 
- Logo, existe uma probabilidade de cerca de 9% de que a estimativa amostral 
ultrapasse os 12%, mesmo que o valor real seja 10%. 
 
Exemplo pg. 83(da aula-9) 
 Considere novamente a situação do exemplo anterior. 
 Suponha que a probabilidade de um homem com menos de 25 estar 
desempregado é desconhecida, e será estimada a partir de uma amostra de 400 
homens. 
 Suponha que observamos p^= 0.12 . Encontre um intervalo de confiança 90% 
aproximado para p. 
RESPOSTA 
 
 
- Ou seja, nestas condições de 90% de probabilidade da taxa de desemprego real 
estar entre 9.33% e 14.67%. 
 
 
 
)28.004 ,481.3(
    0918.033.1Pr12.0ˆPr  Zp
 %67.14%33.9Pr  p
4.1- Seja X uma variável aleatória contínua que segue uma Normal com média “μ” e 
Variância “σ2”, ambas desconhecidas. 
Seja X = (3, 7, 2, 4, 4, 9, 6, 8, 5, 2), uma amostra aleatória de tamanho 10 desta 
população: 
 Pede-se: 
a)- (1.0 pt) O intervalo de confiança ao nível de significância de 70% e 90%, , para a “S”. 
b)- (1.0 pt) O intervalo de confiança ao nível de significância de 90% e 99%, para “S2”. 
RESPOSTA 
 
a) O intervalo de confiança ao nível de significância de 70% e 90%, , para a “S”. 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 70% 
 [ 4,148 ; 5,852 ] 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 90% 
 [ 3,58 ; 6,42 ] 
 
b)- (1.0 pt) O intervalo de confiança ao nível de significância de 90% e 99%, para “S2”. 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 90% 
 [ 3,19 ; 16,22 ] 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 99% 
 [ 2,29 ; 31,12 ] 
 
 
 
 
 
 
 
 
n
S
tXIC n 2/1,1 
 
n
S
tXIC n 2/1,1 
IC
IC
4.2- Uma certa empresa de pesquisa resolveu analisar 2 resultados distintos das alturas 
dos estudantes de Engenharia Civil da PUC e da UFRJ, tomou-se uma amostra de 20 
alunos da PUC e 18 alunos da UFRJ, e obteve os seguintes resultados amostrais: 
X Puc = 1,78m SPuc= 0,5m 
X UFRJ = 1,72m SUFRJ = 0,6m 
Pede-se: 
O Intervalo de confiança para a diferença das médias das duas universidades (μPuc –μUFRJ) 
ao nível de significância de 90%. Pelo resultado pode-se afirmar que a média das alturas 
dos alunos da PUC é estatisticamente maior do que a média da UFRJ? 
RESPOSTA 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 90% 
 
 [ -0,2327 ; 0,35274 ] 
Não, O Zero está contido no Intervalo de Confiança , portando as médias de sua alturas 
podem ser iguais ao nível de significância de 90%. 
 
 
3 - Você é contratado pra auditar a pesquisa sobre as intenções de voto do segundo 
turno da eleição presidencial de 2010.. 
c) (1.5 pts) A pesquisa da Datafolha divulgou uma semana antes da eleição o seguinte 
resultado: a proporção dos eleitores que votam na Dilma é de 52% com uma 
margem de erro de ±2 (pontos percentuais), isso significa que o intervalo de 
confiança é IC=[50% , 54%]. Também foi divulgado que o número de pessoas 
ouvidas foi de 1500 pessoas. 
Deduza o grau de confiança (1-α) empregado nesta pesquisa, utilizando o 
Teorema Central do Limite. 
 
RESPOSTA 
 
 [1-α] = 0,8788 ou 87,88% 
 
 
 
 
 
1785,0R
IC
 
FORMULÁRIO PARA PROVA 
 
Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas 
 
Distribuição Bernoulli - X ~ Bernoulli(p) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Binomial - X ~ Bin (n,p) 
Função de probabilidade: 
 
Distribuição Geométrica - X ~ Geom (p) 
Função de probabilidade: 
 
Distribuição Binomial Negativa - X ~ NegBin (r,p) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Poisson - X ~ Poisson(μ) 
Função de probabilidade:Distribuição Exponencial - X ~ Exp(λ) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Normal - X ~ N(μ,σ2) 
Função de probabilidade: 
 
 
Se X ~ N(μ,σ2) 
)1,0(~ N
X
Z



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  1)Pr()( 1 xx ppxXxf 
  )1(
)!(!
!
)1(Pr)( xnxxnx pp
xnx
n
pp
x
n
xXxf  








 .)Pr()( 1 pqxXxf x
 ..
1
1
)Pr()( rxr qp
r
x
xXxf 








 
!
)Pr()(
x
e
xXxf
x  

  0 e 0 onde .exp.)(  xxxf 
 
R 0 onde .
2
1
)( 22
2
2
2


 



eexf
x
 
Intervalos de Confiança 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- onde a e b são tirados da tabela qui- 
quadrado com (n-1) graus de liberdade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 






 
n
zX
n
zX
n
zXIC

 2/12/12/1 ; 





 
n
s
tX
n
s
tX
n
s
tXIC nnn 2/1,12/1,12/1,1 ; 







 




  
)ˆ1(ˆ
ˆ , 
)ˆ1(ˆ
ˆ 
)ˆ1(ˆ
ˆ 2/12/12/1
n
pp
zp
n
pp
zp
n
pp
zpIC 
 RzYXRzYXRzYXIC 2/12/12/1 ;    















2
)1()1(11 22
2
1
mn
SnSm
mn
R
aaSnbSn  1]/)1(/)1Pr[( 222 
 




n
i
i XX
n
s
1
22
1
1



n
i
iX
n
X
1
1
Tabelas 
Tabela da N(0,1) (Ф(
0Z
) = Pr(Z≤
0Z
) 
 
 
 
z z) z z) z z) z z)
0.00 0.5000 0.62 0.7324 1.24 0.8925 1.86 0.9686
0.02 0.5080 0.64 0.7389 1.26 0.8962 1.88 0.9699
0.04 0.5160 0.66 0.7454 1.28 0.8997 1.90 0.9713
0.06 0.5239 0.68 0.7517 1.30 0.9032 1.92 0.9726
0.08 0.5319 0.70 0.7580 1.32 0.9066 1.94 0.9738
0.10 0.5398 0.72 0.7642 1.34 0.9099 1.96 0.9750
0.12 0.5478 0.74 0.7704 1.36 0.9131 1.98 0.9761
0.14 0.5557 0.76 0.7764 1.38 0.9162 2.00 0.9772
0.16 0.5636 0.78 0.7823 1.40 0.9192 2.02 0.9783
0.18 0.5714 0.80 0.7881 1.42 0.9222 2.04 0.9793
0.20 0.5793 0.82 0.7939 1.44 0.9251 2.06 0.9803
0.22 0.5871 0.84 0.7995 1.46 0.9279 2.08 0.9812
0.24 0.5948 0.86 0.8051 1.48 0.9306 2.10 0.9821
0.26 0.6026 0.88 0.8106 1.50 0.9332 2.12 0.9830
0.28 0.6103 0.90 0.8159 1.52 0.9357 2.14 0.9838
0.30 0.6179 0.92 0.8212 1.54 0.9382 2.16 0.9846
0.32 0.6255 0.94 0.8264 1.56 0.9406 2.18 0.9854
0.34 0.6331 0.96 0.8315 1.58 0.9429 2.20 0.9861
0.36 0.6406 0.98 0.8365 1.60 0.9452 2.22 0.9868
0.38 0.6480 1.00 0.8413 1.62 0.9474 2.24 0.9875
0.40 0.6554 1.02 0.8461 1.64 0.9495 2.26 0.9881
0.42 0.6628 1.04 0.8508 1.66 0.9515 2.28 0.9887
0.44 0.6700 1.06 0.8554 1.68 0.9535 2.30 0.9893
0.46 0.6772 1.08 0.8599 1.70 0.9554 2.32 0.9898
0.48 0.6844 1.10 0.8643 1.72 0.9573 2.34 0.9904
0.50 0.6915 1.12 0.8686 1.74 0.9591 2.36 0.9909
0.52 0.6985 1.14 0.8729 1.76 0.9608 2.38 0.9913
0.54 0.7054 1.16 0.8770 1.78 0.9625 2.40 0.9918
0.56 0.7123 1.18 0.8810 1.80 0.9641 2.42 0.9922
0.58 0.7190 1.20 0.8849 1.82 0.9656 2.44 0.9927
0.60 0.7257 1.22 0.8888 1.84 0.9671 2.46 0.9931
 
 
 
 
 
μ X 
σZ 
Tabelas