Analises Combinatorisas

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CURSO LOGOS
MATEMÁTICA – PROF. FERRARI
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Fatorial
     Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n!) como sendo:
n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n 
Exemplos:
a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
b) 4! = 4.3.2.1 = 24
c) observe que 6! = 6.5.4!
 
Princípio fundamental da contagem
    Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por:
T = k1. k2 . k3 . ... . kn 
Exemplo:
    O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?
Solução: 
Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ.
Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares.  
Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos. 
Exercícios Propostos
1) Ana possui em seu closet 90 pares de sapatos, todos devidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado à Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira do closet quatro caixas de sapatos. O número de retiradas possíveis que Ana pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a:
a) 681384 b) 382426 c) 43262 d) 7488 e) 2120
R.: letra a
2) Diante do caixa eletrônico de um banco, Mariana não conseguia lembrar-se de sua senha de seis dígitos. Lembrava-se apenas dos dois primeiros (mês de seu nascimento) e dos dois últimos (sua idade atual). Supondo que levou cerca de um minuto em cada tentativa de completar a senha e que esgotou todas as alternativas distintas possíveis, somente acertando na última, Mariana retirou os reais desejados após cerca de:
a) 1h e 40min b) 1h e 30 min c) 1h e 21min d) 1h e) 45min
R.: letra a
3) Para ter acesso a certo arquivo de um microcomputador, o usuário deve realizar duas operações: digitar uma senha composta por três algarismos distintos e, se a senha digitada for aceita, digitar uma segunda senha, composta por duas letras distintas, escolhidas num alfabeto de 26 letras.
Quem não conhece as senhas pode fazer tentativas. O número máximo de tentativas necessárias para ter acesso ao arquivo é
a) 4120 b) 3286 c) 2720 d) 1900 e) 1370
R.: letra e
4) Uma família formada por 3 adultos e 2 crianças vai viajar num automóvel de 5 lugares, sendo 2 na frente e 3 atrás. Sabendo-se que só 2 pessoas podem dirigir e que as crianças devem ir atrás e na janela, o número total de maneiras diferentes através das quais estas 5 pessoas podem ser posicionadas, não permitindo crianças irem no colo de ninguém, é igual a:
a) 120 b) 96 c) 48 d) 24 e) 8
R.: letra e
5) Com os algarismos de 1 a 9, o total de números de 4 algarismos diferentes, formados por 2 algarismos pares e 2 ímpares, é igual a:
a) 126 b) 504 c) 720 d) 1440 e) 5760
R.: letra d
6) Apesar de todos caminhos levarem a Roma, eles passam por diversos lugares antes. Considerando-se que existem três caminhos a seguir quando se deseja ir da cidade A para a cidade B, e que existem mais cinco opções da cidade B para Roma, qual a quantidade de caminhos que se pode tomar para ir de A até Roma, passando necessariamente por B?
a) Oito b) Dez c) Quinze d) Dezesseis e) Vinte
R.: letra c
7) Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto por meio de uma senha. Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas condições, o número máximo de tentativas para abrir os cadeados é
a) 518 400 b) 1 440 c) 720 d) 120 e) 54
R.: letra a
8) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo a que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente,
a) 1112 e 1152. b) 1152 e 1100. c) 1152 e 1152. d) 384 e 1112. e) 112 e 384.
R.: letra c
9) A senha para um programa de computador consiste em uma seqüência LLNNN, onde “L” representa uma letra qualquer do alfabeto normal de 26 letras e “N” é um algarismo de 0 a 9. Tanto letras como algarismos podem ou não ser repetidos, mas é essencial que as letras sejam introduzidas em primeiro lugar, antes dos algarismos. Sabendo que o programa não faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas, o número total de diferentes senhas possíveis é dado por:
a) 226 310 b) 262 103 c) 226 210 d) 26! 10! e) C26,2 C10,3
R.: letra b
10) Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com a mesma probabilidade de vencer. O número de diferentes maneiras para a classificação dos três primeiros lugares é igual a:
a) 24360 b) 25240 c) 24460 d) 4060 e) 4650
R.: letra a
Permutação simples
    Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. 
Exemplo: com os elementos A, B, C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.
O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é   
Pn = n! onde n! = n(n-1)(n-2)... .1 . 
	Pn = n!
Exemplos:
a)  P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
b) Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares.
P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 
OBS.: 
Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum.
Exemplos: 
a) Os possíveis anagramas da palavra REI são: 
REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER.
b) Quantos são os anagramas da palavra ANEL?
A quantidade de letras da palavra (nesse caso são 4) e fazendo 4!
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
  
Permutações com elementos repetidos
   Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por:
 
 Exemplo: 
    Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA. (não considere o acento)
Solução: 
   Temos 10 elementos, observe que temos letras repetidas: dois M, três A, dois T. Então, para termos anagramas diferentes não importará qual é dos dois M, qual A ou qual T está sendo usado. Desde que tenhamos anagramas diferentes.
   Na fórmula anterior, teremos: n = 10, a = 2, b = 3 e c = 2. Sendo k o número procurado, podemos escrever: 
Resposta: 151200 anagramas.
Exercícios Propostos
1) Seis pessoas, entre elas João e Pedro, vão ao cinema. Existem seis lugares vagos, alinhados e consecutivos. O número de maneiras distintas como as seis podem sentar-se sem que João e Pedro fiquemjuntos é:
a) 720 b) 600 c) 480 d) 240 e) 120
R.: letra c
2) Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo-se que a locomotiva deve ir à frente, e que o vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes de montar a composição é:
a) 120 b) 230 c) 500 d) 600 e) 720
R.: letra d
3) O número de maneiras diferentes em que 3 rapazes e 2 moças podem sentar-se em uma mesma fila, de modo que somente as moças fiquem todas juntas, é igual a:
a) 6 b) 12 c) 24 d) 36 e) 48
R.: letra c
4) No desenho a seguir, as linhas horizontais e verticais representam ruas, e os quadrados representam quarteirões. 
A quantidade de trajetos de comprimento mínimo ligando A e B que passam por C é: 
a) 12 b) 13 c) 15 d) 24 e) 30
R.: letra e
5) Um clube resolve fazer uma Semana de Cinema. Para isso, os organizadores escolhem sete filmes, que serão exibidos um por dia. Porém, ao elaborar a programação, eles decidem que três desses filmes, que são de ficção científica, devem ser exibidos em dias consecutivos.
Nesse caso, o número de maneiras DIFERENTES de se fazer a programação dessa semana é:
a) 144 b) 576 c) 720 d) 1040 d) 1440
R.: letra c
6) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a:
a) 16 b) 24 c) 32 d) 46 e) 48
R.: letra e
7) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a
a) 2 b) 4 c) 24 d) 48 e) 120
R.: letra d
8) Em um teste psicológico, uma criança dispõe de duas cores de tinta: azul e vermelho, e de um cartão contendo o desenho de 6 quadrinhos, como na figura abaixo. O teste consiste em pintar os quadrinhos de modo que, pelo menos quatro deles sejam vermelhos.
É correto afirmar que o número de modos diferentes de pintura do cartão é de:
a) 6 b) 12 c) 22 d) 24 e) 36
R.: letra c
9) Um grupo de amigos formado por três meninos - entre eles Caio e Beto - e seis meninas - entre elas Ana e Beatriz -, compram ingressos para nove lugares localizados lado a lado, em uma mesma fila no cinema. Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmo pacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porque querem compartilhar do mesmo pacote de salgadinhos. Além disso, todas as meninas querem sentar-se juntas, e todos os meninos querem sentar-se juntos. Com essas informações, o número de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se é igual a:
a) 1920		d) 540 b) 1152		e) 860 c) 960
R.: letra a
10) Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas em uma fila. O número de diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo podem escolher escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, é igual a:
a) 80 b) 72 c) 9 d) 18 e) 56
R.: letra b 
Arranjos simples
  Dado um conjunto com n elementos, chama-se arranjo simples, a todo agrupamento de p elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos:
a) arranjos de 2 a 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.
b) arranjos de 3 a 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Representando o número total de arranjos de n elementos tomados p a p por An,p , teremos a seguinte fórmula:
 
Exemplo:
    Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer (no máximo) para conseguir abri-lo? 
Solução: 
 As seqüências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado: 
10.9.8 = 720  
Observe que 720 = A10,3
Exercícios Propostos
1) Quantas motos podem ser licenciadas se cada placa tiver 2 vogais (podendo haver vogais repetidas) e 3 algarismos distintos?
a) 25.000 b) 120 c) 120.000 d) 18.000 e) 32.000
R.: letra d
2) Assinale a alternativa na qual consta a quantidade de números inteiros formados por três algarismos distintos, escolhidos dentre 1, 3, 5, 7 e 9, e que são maiores que 200 e menores que 800.
a) 30 b) 36 c) 42 d) 48 e) 54
R.: letra b
3) Quantos números pares de quatro algarismos distintos podem ser formados com os elementos do conjunto A={0,1,2,3,4}?
a) 60 b) 48 c) 36 d) 24 e) 18
R.: letra a
4) Oito pessoas desejam formar uma chapa para concorrer à direção de uma agremiação. De quantos modos distintos essa chapa pode ser formada se, em cada uma delas, haverá um presidente, um secretário e um tesoureiro?
a) 256 b) 288 c) 336 d) 356 e) 369
R.: letra c
5) Para ter acesso a uma sala reservada, cada usuário recebe um cartão de identificação com 4 listras coloridas, de modo que qualquer cartão deve diferir de todos os outros pela natureza das cores ou pela ordem das mesmas nas listras. Operando com 5 cores distintas e observando que listras vizinhas não tenham a mesma cor, quantos usuários podem ser identificados?
a) 10 b) 20 c) 120 d) 320 e) 625
R.: letra d
6) Seis pessoas, entre elas Pedro, estão reunidas para escolher entre si, a diretoria de um clube. Esta é formada por um presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. O número de maneiras para a composição da diretoria, onde José não é o presidente, será:
a) 120 b) 360 c) 60 d) 150 e) 300
R.: letra e
7) Ágata é decoradora e precisa atender o pedido de um excêntrico cliente. Ele – o cliente – exige que uma das paredes do quarto de sua filha seja dividida em uma seqüência de 5 listras horizontais pintadas de cores diferentes, ou seja, uma de cada cor. Sabe-se que Ágata possui apenas 8 cores disponíveis, então o número de diferentes maneiras que a parede pode ser pintada é igual a:
a) 56 b) 5760 c) 6720 d) 3600 e) 4320
R.: letra c
Combinações simples
    Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados p a p aos subconjuntos formados por p elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados.
Exemplo: 
No conjunto E = {a,b.c,d} podemos considerar:
a) combinações de 2 a 2: ab, ac, ad, bc, bd, cd.
b) combinações de 3 a 3: abc, abd, acd, bcd.
c) combinações de 4 a 4: abcd.
Representando por Cn,po número total de combinações de n elementos tomados p a p, temos a seguinte fórmula:
OBS.: 
1°) Como são subconjuntos de um conjunto, a ordem dos elementos não importa. Só consideramos subconjuntos distintos os que diferem pela natureza dos seus elementos. 
Exemplo:
    Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?
Solução: 
    Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10. 
    Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a: 
Exercícios Propostos
1) O número de maneiras que se pode escolher uma comissão de três elementos num conjunto de dez pessoas é:
a) 120. b) 210 c) 102 d) 220 e) 110
R.: letra a
2) e um acervo que contém três quadros de Anita Malfati e oito de Di Cavalcanti, pretende-se formar exposições constituídas de um quadro de Anita Malfati e três quadros de Di Cavalcanti. Quantas exposições diferentes são possíveis?
a) 56 b) 168 c) 93 d) 59 e) 140
R.: letra b
3) Com 5 professores e 6 alunos, quantas comissões com 4 pessoas podem ser formadas com, pelo menos, 2 professores?
a) 180 b) 215 c) 280 d) 315 e) 325
R.: letra b
4) Em um edifício residencial, os moradores foram convocados para uma reunião, com a finalidade de escolher um síndico e quatro membros do conselho fiscal, sendo proibida a acumulação de cargos. A escolha deverá ser feita entre dez moradores. De quantas maneiras diferentes será possível fazer estas escolhas?
a) 64 b) 126 c) 252 d) 640 e) 1260
R.: letra e
5) Marcam-se 3 pontos sobre uma reta r e 4 pontos sobre outra reta paralela a r. O número de triângulos que existem, com vértices nesses pontos, é:
a) 60 b) 35 c) 30 d) 9 e) 7
R.: letra c
6) O bufê de saladas de um restaurante apresenta alface, tomate, agrião, cebola, pepino, beterraba e cenoura. 
Quantos tipos de saladas diferentes podem ser preparados com cinco desses ingredientes, de modo que todas as saladas contenham alface, tomate e cebola?
a) 4 b) 12 c) 8 d) 3 e) 6
R.: letra e
7) Em um grupo de dança participam dez meninos e dez meninas. O número de diferentes grupos de cinco crianças, que podem ser formados de modo que em cada um dos grupos participem três meninos e duas meninas é dado por:
a) 5.400 b) 6.200 c) 6.800 d) 7.200 e) 7.800
R.: letra a
8) Se o conjunto X tem 45 subconjuntos de dois elementos, então o número de elementos de X é igual a:
a) 10 b) 20 c) 35 d) 45 e) 90
R.: letra a
9) Na Mega Sena são sorteadas seis dezenas de um conjunto de 60 possíveis (as dezenas sorteáveis são 01, 02, 03, ..., 60). Uma aposta simples (ou aposta mínima), na Mega Sena, consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou que as seis dezenas que serão sorteadas no próximo concurso da Mega Sena estarão entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45. O número mínimo de apostas simples para o próximo concurso da Mega Sena que Pedro deve fazer para ter certeza matemática de que será um dos ganhadores, caso o seu sonho esteja correto é:
a) 8 b) 28 c) 40 d) 60 e) 84
R.: letra b
10) Quer-se formar um grupo de dança com 9 bailarinas, de modo que 5 delas tenham menos de 23 anos, que uma delas tenha exatamente 23 anos, e que as demais tenham idade superior a 23 anos. Apresentaram-se, para a seleção, quinze candidatas, com idades de 15 a 29 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O número de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas é igual a:
a) 120 b) 1220 c) 870 d) 760 e) 1120
R.: letra e
11) Ana precisa fazer uma prova de matemática composta de 15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa resolver 10 questões das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questões?
a) 3003 c) 2980 c) 2800 d) 3006 e) 3005
R.: letra a
12)  Beatriz é fisioterapeuta e iniciou em sua clínica um programa de reabilitação para 10 pacientes. Para obter melhores resultados neste programa, Beatriz precisa distribuir esses 10 pacientes em três salas diferentes, de modo que na sala 1 fiquem 4 pacientes, na sala 2 fiquem 3 pacientes e na sala 3 fiquem, também, 3 pacientes. Assim, o número de diferentes maneiras que Beatriz pode distribuir seus pacientes, nas três diferentes salas, é igual a:
a) 2.440  b) 5.600  c) 4.200  d) 24.000  e) 42.000
R.: letra c
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