C´alculo Diferencial e Integral II prova 1 2

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Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Cieˆncias Exatas – ICEx
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo Diferencial e Integral II
Resoluc¸a˜o da 1a prova - Turma B2 - 13/04/2011
1. (6 pontos). Determine a soma da se´rie
∞∑
n=2
1
n2 − 1 .
Soluc¸a˜o.
ai =
1
i2 − 1 =
1
2
(
1
i− 1 −
1
i+ 1
)
.
sn =
1
2
n∑
i=1
(
1
i− 1 −
1
i+ 1
)
=
=
1
2
((1− 1
3
) + (
1
2
− 1
4
) + (
1
3
− 1
5
) + (
1
4
− 1
6
) + . . .+ (
1
n− 2 −
1
n
) + (
1
n− 1 −
1
n+ 1
))
=⇒ sn = 1
2
(1 +
1
2
− 1
n
− 1
n+ 1
) e´ a soma parcial. Portanto
∞∑
k=1
1
n2 − 1 = limn→∞ sn = limn→∞
1
2
(1 +
1
2
− 1
n
− 1
n+ 1
) =
1
2
(1 +
1
2
) =
3
4
.
2. (12 pontos). Determine se as seguintes se´ries sa˜o divergentes ou convergentes.
(a)
∞∑
n=1
n2
en3
(b)
∞∑
n=1
(−1)n n+ 4
n2 + n+ 3
Soluc¸a˜o. (a) Vemos que f(x) =
x2
ex3
e´ cont´ınua e decrescente pois
f ′(x) =
ex
3
.2x− x2.ex3 .3x2
e2x3
=
ex
3
.(2− 3x3).x
e2x3
< 0, x ≥ 1.
Integrando por substituic¸a˜o, u = x3, du = 3x2 dx,∫ ∞
1
x2
ex3
dx =
1
3
∫ ∞
1
e−u du = −1
3
e−u
]∞
1
= −1
3
e−∞ +
1
3
e−1 =
1
3e
< ∞
e a integral converge. Portanto, a se´rie converge.
(b) Temos
(
x+ 4
x2 + x+ 3
)′
=
(x2 + x+ 3)− (x+ 4)(2x+ 1)
(x2 + x+ 3)2
=
x2 + x+ 3− 2x2 − x− 8x− 4
(x2 + x+ 3)2
=
−x2 − 8x− 4
(x2 + x+ 3)2
< 0, x ≥ 1,
e lim
n→∞
n+ 4
n2 + n+ 3
= 0.
Portanto, a se´rie converge, pelo Teste da Integral.
3. (15 pontos). Determine se as seguintes se´ries sa˜o absolutamente convergentes, con-
dicionalmente convergentes ou divergentes.
(a)
∞∑
n=1
senn
n!en
Soluc¸a˜o. bn =
1
n!en
⇒ bn+1
bn
=
n!en
(n+ 1)!en+1
=
1
(n+ 1)e
→ 0 < 1⇒
∞∑
n=1
bn converge.
Mas se an :=
senn
n!en
, enta˜o |an| = |senn|
n!en
≤ bn = 1
n!en
⇒
∞∑
n=1
|an| tambe´m converge
pelo Teste de Comparac¸a˜o.
Ou seja, a se´rie
∞∑
n=1
senn
n!en
e´ absolutamente convergente.
(b)
∞∑
n=1
n!
(−4)n
Soluc¸a˜o. Se an =
n!
(−4)n , enta˜o
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = (n+ 1)!(−4)n+1 .(−4)nn! = n+ 14 , e
lim
n→∞
∣∣∣∣an+1(an
∣∣∣∣ = limn→∞ n+ 14 =∞ > 1 ⇒ A se´rie diverge pelo Teste da Raza˜o.
(c)
∞∑
n=1
(−1)n n
2
(n+ 2) ln(n+ 3)
Soluc¸a˜o. Temos, se an = (−1)n 1
(n+ 2) ln(n+ 3)
, que
|an| = 1
(n+ 2) ln(n+ 3)
≥ bn = 1
(n+ 3) ln(n+ 3)
e
∫ ∞
1
1
(x+ 3) ln(x+ 3)
dx =
∫ ∞
1
1
u
du = ln ∞− ln 4 =∞.
(Para ver que {bn} e´ decrescente, ver racioc´ınio abaixo em (i)). A se´rie
∑
bn diverge
pelo Teste da Integral.
E a se´rie dada na˜o converge absolutamente, pe´lo Teste de Comparac¸a˜o.
Mas como
(i)
{
1
n+ 2
}
e
{
1
ln(n+ 3)
}
sa˜o decrescentes e positivas ⇒
{
1
(n+ 2) ln(n+ 3)
}
e´ decrescente, e
(ii) lim
n→∞
1
(n+ 2) ln(n+ 3)
= 0,
temos que a se´rie dada converge, pelo Teste da Se´rie Alternada, e portanto ela con-
verge condicionalmente pois ja´ sabemos que na˜o converge absolutamente.